3.2 独立性检验

（3）两个临界值：3.841与6.635.
经过对χ2统计量分布的研究，已经得到了 两个临界值：3.841与6.635。
当根据具体的数据算出的χ2>3.841时，有 95%的把握说事件A与事件B有关； 当χ2>6.635时，有99%的把握说事件A与事 件B有关； 当χ2<3.841时，认为事件A与事件B无关；
对于人力资源部的研究项目，根据上述数 据能得出什么结论？
解：这是一个2×2列联表的独立性检验问 题，由公式
189(54 63 32 40) 2 2 10.759 94 95 86 103
因为10.759>6.635，所以有99%的把握说： 员工“工作积极”与“积极支持企业改革” 是有关的。可以认为企业的全体员工对待 企业改革的态度与其工作积极性是有关的。
也应该比较小。 （2）卡方统计量： 为了消除样本对上式的影响，通常用卡方 2 2 (观测值 预期值) ）来进行估 统计量（χ 预期值 计．
卡方χ2统计量公式：

2
n n11n22 n12 n21 n1 n 2 n1n2
2
用它的大小可以决定是否拒绝原来的统计 假设H0，如果算出的χ2值较大，就拒绝 H0，也就是拒绝“事件A与事件B无关”， 从而就认为它们是有关的了
因为1.780<3.841，我们没有理由说“心脏 搭桥手术”与“又发生过心脏病”有关， 可以认为病人又发作心脏病与否跟他做过 何种手术无关。
3．某大型企业人力资源部为了研究企业员 工工作积极性和对待企业改革态度的关系， 随机抽取了189名员工进行调查，所得的数 据如下表所示：
工作积极 工作一般 合计 积极支持企业 改革 54 32 86 不太赞成企业 改革 40 63 103 合计 94 95 189
因为3.689<3.841，我们没有理由说晕机与 否跟男女性别有关。尽管这次航班中男性 晕机的比例比女性晕机的比例高，但我们 不能认为在恶劣气候飞行中男性比女性更 任意晕机。
在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系： 例如，吸烟是否与患肺癌有关系？ 性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。
研究两个变量的相关关系：
定量变量——回归分析（画散点图、相关系数r、 变量 相关指数R 2、残差分析） 分类变量—— 独立性检验
本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。
1．某医疗机构为了了解患慢性支气管炎 与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查， 共调查了339名50岁以上的人，其中吸烟 者205人，不吸烟者134人．调查结果是： 吸烟的205人中有43人患呼吸道疾病（简 称患病），162人未患呼吸道疾病（简称 未患病）；不吸烟的134人中有13人患病， 121人未患病．问题：根据这些数据能否 断定“患慢性支气管炎与吸烟有关”？
象以上这种用χ2统计量研究吸烟与患呼 吸道疾病是否有关等问题的方法称为独立 性检验． 对于例1，最理想的解决办法是向所有的 50岁以上的人作调查，然后对所得的数据 进行统计处理，但这花费的代价太大，实 际上也是行不通的。339个人相对于全体50 岁以上的人，只是一小部分回忆一下数学 必修3中学过的总体与样本的关系，
类类 类
Ⅱ 类1 Ⅰ 类A 类B 合计 n11 n21 n+1 类2 n12 n22 n+2 合计 n1+ n2+ n
推断“Ⅰ和Ⅱ有关系”的步骤为：
第一步，提出假设H0：两个分类变量Ⅰ和
Ⅱ没有关系；
第二步，根据2×2列联表和公式计算χ2统 计量； 第三步，比对两个临界值，作出判断．
2： 对196个接受心脏搭桥手术的病人和 196个接受血管清障手术的病人进行3年跟 踪研究，调查他们是否又发作过心脏病， 调查结果如下表所示：
P( AB) P( A) P( B)
P( AB ) P( A) P( B )
P( AB ) P( A) P( B )
根据概率的统计定义，上面提到的众多事 件的概率都可以用相应的频率来估计。 例如 P(AB)的估计为
n1 n1 P(A)的估计为 n ，P(B)的估计为 n ，…… n1 n1 n11 于是 与 应该很接近，……。 n n n n11 n1 n1 2 n12 n1 n2 2 n21 n2 n1 2 或者说 ( ) , ( n n n ) , ( ) n n n n n n
心脏搭桥手术 血管清障手术 合计 又发作过心脏 病 39 29 68 未发作过心 脏病 157 167 324 合计 196 196 392
试根据上述数据比较两种手术对病人又发 作心脏病的影响有没有差别。
解：这是一个2×2列联表的独立性检验问 题，由公式
392(39 167 29 157) 2 2 1.780 68 324 196 196
问题：由上述结论能否得出患病与吸烟有 关？把握有多大？ （1）假设：患病与吸烟没有关系． 若将表中“观测值”用字母表示，则得下 列2×2列联表： 未患病 患病（B） 合计
B A
不吸烟（
吸烟A 不吸烟 A 合计
n11 n21 n+1
(B ) n12 n22 n&n
近似的判断方法： 设n=n11+n21+n12+n22，如果H0成立，则在 吸烟的人中患病的比例与不吸烟的人中患 病的比例应差不多，由此可得，
4．在一次恶劣气候的飞行航程中调查男女 乘客在机上晕机的情况如下表所示，根据 此资料你是否认为在恶劣气候飞行中男性 比女性更任意晕机？
晕机 男性 24 不晕机 31 合计 55
女性 合计
8 32
26 57
34 89
解：这是一个2×2列联表的独立性检验问 题，由公式
89(24 26 8 31) 2 2 3.689 55 34 32 57
（1）为了研究这个问题，将上述数据用 下表来表示：
患病 未患病 合计
吸烟 不吸烟 合计
43 13 56
162 121 283
205 134 339
（2）估计吸烟者与不吸烟者患病的可能性 差异： 43 20.1% 的人患病， 在吸烟的人中，有
205
13 9.7%的人患病． 在不吸烟的人中，有 134
n11 n21 n11 n12 n21 n22
即n11(n21+n22)≈n21(n11+n12)n11n22－ n21n12≈0，因此，|n11n22－n21n12|越小，患 病与吸烟之间的关系越弱，否则，关系越 强．
上面的话的意思是指事件A与B独立， 这时应该有P(AB)=P(A)P(B)成立， 我们用H0表示上式，即H0：P(AB)=P(A) P(B). 并称之为统计假设，当H0成立时， 下面的三个式子也成立：
3. 1 独立性检验
问题: 数学家庞加莱每天都从一家面包店
买一块1000g 的面包，并记录下买回的面 包的实际质量。一年后，这位数学家发 现，所记录数据的均值为950g。于是庞 加莱推断这家面包店的面包分量不足。 • 假设“面包份量足”，则一年购买面包的质量数据 的平均值应该不少于1000g ； • “这个平均值不大于950g”是一个与假设“面包份量 足”矛盾的小概率事件； • 这个小概率事件的发生使庞加莱得出推断结果。
当用样本平均数，样本标准差去估计总体的 相应的数字特征时，由于抽样的随机性，结 果并不惟一。现在的情况类似，我们用部分 对全体作推断，推断可能正确，也可能错误， 例如我们知道，不少的中老年烟民的身体很 好，没有患慢性支气管炎；而又有很多的从 不吸烟的中老年人体质很差，患有慢性支气 管炎。如果抽取的339个调查对象中很多人 来自上述两个群体，
一:假设检验问题的原理
假设检验问题由两个互斥的假设构成，其 中一个叫做原假设，用H0 表示；另一个叫做备 择假设，用H1表示。 例如，在前面的例子中， 原假设为： H0：面包份量足，
备择假设为： H1：面包份量不足。
这个假设检验问题可以表达为：
H0：面包份量足 ←→ H1：面包份量不足
二:求解假设检验问题
因为7.469>6.635，所以我们有99%的把握 说：50岁以上的人患慢性支气管炎与吸烟 有关。
独立性检验的一般步骤： 一般地，对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有 两类取值：类A和类B（如吸烟与不吸烟）， Ⅱ也有两类取值：类1和类2（如患呼吸道 疾病与不患呼吸道疾病），得到如下表所 示：
B A 1 2
试想会得出什么结论吧。我们说有95% （或99%）的把握说事件A与事件B有关， 是指推断犯错误的可能性为5%（或1%）， 这也是常常说成是“有95%（或99%）的 概率”，其含义是一样的。
解：由公式
339 (43 121 162 13) 2 2 7.469 205 134 56 283
( n22 n2 n2 2 ) n n n
n11 n
应该比较小 .
从而
n n n n21 n2 n1 2 n11 n1 n1 2 n12 n1 n2 2 ( 22 2 2 ) 2 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n n n n2 n2 n2 n1 n1 n2 n1 n1 n n n n n n n n
考虑假设检验问题： H0：面包分量足 ←→ H1：面包分量不足 求解思路分析：
1. 在H0成立的条件下，构造与H0矛盾的小概 率事件； 2. 如果样本使得这个小概率事件发生，就能 以一定把握断言H1成立；否则，断言没有 发现样本数据与H0相矛盾的证据。
两种变量：
定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。 变量 分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、 宗教信仰、国籍等等。