长宁区2018届高三第一次质量调研数学试题及答案
2018年上海市长宁区、嘉定区高考一模数学
9 9 3 2 ，B1C=D1C= 9 16 =5，
B1C D1C B1 D1 2 B1C D1C
2 2 2
∴ cos D1C B1 ∴∠D1CB1=arccos
25 25 18 16 ， 255 25
16 . 25 16 . 25
∴异面直线 A1B 与 B1C 所成角为 arccos
4
)，知 cos
2
mn 1 ∈( ，1)， 4 2
m ＜1 ， 2
∴m=1，n=3， 3 ∴ a b＝ ， 2 答案：B
1 2 x， 0 x 2 16.已知函数 f x ＝ ，且 f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn﹣1(x))，n=1，2，3，…. 1 2 2 x， ＜x 1 2
3 4 ，1]时，f1(x)=2﹣2x，f2(x)=4﹣4x=x，解得 x= . 4 5 2 ∴f 的 2 阶根的个数是 2 . 依此类推 n ∴f 的 n 阶根的个数是 2 . 答案：C
当 x∈( 三.解答题(本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分) 17.如图，设长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=BC=3，AA1=4. (1)求四棱锥 A1﹣ABCD 的体积； (2)求异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)
2
2 3 3 4
n1 ， n 1源自当 n 为偶数时， Tn -1+
1 ， n 1
n
当 n 为奇数时， Tn -1+ 1 1 综上所述 T n -1+ 答案： -1+
n
1 1 ， 1 n 1 n 1
长宁区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案
长宁区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则（ ）A ．()()()213f f f -<<B ．()()()123f f f <-<C ．()()()312f f f <<D ．()()()321f f f <-<2． 已知x ，y 满足约束条件，使z=ax+y 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ）A ．﹣3B ．3C ．﹣1D ．13． 已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的右焦点F ，直线x=与其渐近线交于A ，B 两点，且△ABF 为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4． 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．54B ．162C ．54+18D ．162+185． 已知2a =3b =m ，ab ≠0且a ，ab ，b 成等差数列，则m=（ ）A ．B ．C ．D ．66． 若⎩⎨⎧≥<+=-)2(,2)2(),2()(x x x f x f x则)1(f 的值为（ ） A ．8 B ．81 C ．2 D ．217． 如果函数f （x ）的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且最小值为3，那么f （x ）在区间上是（ ）A ．增函数且最小值为3B ．增函数且最大值为3C ．减函数且最小值为﹣3D ．减函数且最大值为﹣38． 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公比q=2，S k+2﹣S k =48，则k 等于（ ）A ．7B ．6C ．5D ．49． 设集合A={x|y=ln （x ﹣1）}，集合B={y|y=2x }，则AB （ ）A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）D ．（1，2）10．已知f （x ）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f （x ）＞xf ′（x ）恒成立，则不等式x 2f （）﹣f （x ）＞0的解集为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（1，+∞）D ．（2，+∞）11．某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（ ）A.83 B ．4 C.163 D ．20312．已知命题p ：2≤2，命题q ：∃x 0∈R ，使得x 02+2x 0+2=0，则下列命题是真命题的是（ ） A ．￢p B ．￢p ∨qC ．p ∧qD ．p ∨q二、填空题13．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数()()21xf x ex ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是14．由曲线y=2x 2，直线y=﹣4x ﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为 ．15．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过F 且倾斜角等于的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交于点A ，则AF 的长为 ．16．已知||=1，||=2，与的夹角为，那么|+||﹣|= ．17．1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆，则该双曲线的离心率为______________.【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．18．命题“若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0”的逆否命题是 （填“真命题”或“假命题”．）三、解答题19．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。
长宁区2018学年第一学期高三数学教学质量检测试卷及答案
长宁区2018学年第一学期高三数学教学质量检测试卷及答案考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合{}4,3,2,1=A ，{}6,4,2=b ，则=B A ． 2．已知3211=-x ，则=x ．3．二项式61⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，常数项为 （结果用数值表示）．4．已知向量)2,1(),,3(-==b m a ，若向量a ∥b，则实数m = ．5．若圆锥的侧面面积为π2，底面面积为π，则该圆锥的体积为 ． 6．已知幂函数αx x f =)(的图像过点)22,2(，则)(x f 的定义域为 ． 7．已知角⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，且2tan -=α，则=-)sin(απ ． 8．已知函数x x f a log )(=和)2()(-=x k x g 的图像如右图所示，则不等式0)()(≥x g x f 的解集是 ．9．如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD 的高度，D 为楼顶．线段AB 的长度为m 600，在A 处测得︒=∠30DAB ，在B 处测得︒=∠105DBA ，且此时看楼顶D 的仰角︒=∠30DBC .已知楼底C 和A 、B 在同一水平面上，则此楼高度=CD m （精确到1m ）．ABCD10．若甲、乙两位同学随机地从6门课程中选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的概率为 ．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n n a a 211=++，若数列{}n S 收敛于常数A ，则首项1a 取值的集合为 ．12．已知321,,a a a 与321,,b b b 是6个不同的实数，若方程||||||||||||321321b x b x b x a x a x a x -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有 个元素．二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知R ∈x ，则“0≥x ”是“3>x ”的 （ ）．（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件14．有一批种子，对于1颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，……．下表是不同发芽天数的种子数的记录：统计每个种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是 （ ）． （A ）2 （B ）3 （C ）5.3 （D ）4 15．已知向量a 和b 的夹角为3π，且2a =，3b =，则()()22a b a b -⋅+=（ ）． （A ）10- （B ）7- （C ）4- （D ）1-16．某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数)(x f y =的定义域为D ，D x x ∈21,．①若当0)()(21=+x f x f 时，都有021=+x x ，则函数)(x f y =是D 上的奇函数． ②若当)()(21x f x f <时，都有21x x <，则函数)(x f y =是D 上的增函数． 下列判断正确的是 （ ）．（A ）①和②都是真命题 （B ）①是真命题，②是假命题 （C ）①和②都是假命题 （D ）①是假命题，②是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）求下列不等式的解集： （1）235x -<； （2）442120xx-⋅->． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示．在阳马ABCD P -中，⊥PD 底面ABCD ．（1）已知m CD AD 4==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为︒15，求立柱PD 的长（精确到m 01.0）；（2）证明：四面体PDBC 为鳖臑．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，复数i 1b a z +=，B A z cos i cos 2+=（其中i 是虚数单位），且i 321=⋅z z ．（1）求证：c A b B a =+cos cos ，并求边长c 的值； （2）判断ABC ∆的形状，并求当b =A 的大小．A BCD P20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知函数1)(2++-=mx x x f ，)6sin(2)(πω+=x x g ．（1）若函数x x f y 2)(+=为偶函数，求实数m 的值； （2）若0ω>，()2()3g x g π≤，且函数)(x g 在[0,]2π上单调，求实数ω的值； （3）令1=ω，若当]2,1[1∈x 时，总有],0[2π∈x ，使得)()(12x f x g =，求实数m 取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，a a =2． （1）若数列{}n a 是等差数列，且158=a ，求实数a 的值；（2）若数列{}n a 满足)(2*2N ∈=-+n a a n n ，且101919a S =，求证：数列{}n a 是等差数列；（3）设数列{}n a 是等比数列．试探究当正实数a 满足什么条件时，数列{}n a 具有如下性质M ：对于任意的()*2n n ≥∈N，都存在*m ∈N ，使得数列()()10mn m n Sa S a +--<．写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数a 的集合．2018学年第一学期高三数学质量检测试卷参考答案与评分标准一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．}6,4,3,2,1{ 2．1 3．20 4．6-5．π33 6．),0(+∞ 7．552 8．)2,1[ 9．212 10．209 11．⎭⎬⎫⎩⎨⎧31 12．3二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．B 14．B 15．D 16．C三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由5|32|<-x 得 5325<-<-x ，……………………4分 解得 41<<-x ．所以原不等式的解集是 )4,1(-．…………………………………6分 （2）原不等式可化为()()22260x x +->， ……………………4分 因为220x+>，所以62>x， ……………………………………5分 解得 6l o g 2>x ． ………………………………………7分所以原不等式的解集是()2log 6,+∞． ……………………………8分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）解：因为侧棱⊥PD 底面ABCD ， 则侧棱PB 在底面ABCD 上的射影是DB ，所以PBD ∠就是侧棱PB 与底面ABCD 所成的角，即︒=∠15PBD ．……2分在PDB ∆中，)(24,9022m CD AD DB PDB =+=︒=∠， ………3分由DB PDPBD =∠tan 得 2415tan PD =︒，解得 )(52.1m PD =． ………5分 所以立柱PD 的长约为 m 52.1． ………………………………6分 （2）由题意知底面ABCD 是长方形，所以BCD ∆是直角三角形． ………………………2分 因为侧棱⊥PD 底面ABCD ， 得BC PD DB PD DC PD ⊥⊥⊥,,，所以PDC ∆、PDB ∆是直角三角形． …………………………4分 因为DC BC ⊥，PD BC ⊥，又D DC PD = ，PD DC ,≠⊂平面PDC ， 所以⊥BC 平面PDC ． …………………………………………6分 又因为PC ≠⊂平面PDC ，所以PC BC ⊥，所以PBC ∆ 为直角三角形． …………………………………7分 由鳖臑的定义知，四面体PDBC 为鳖臑． ………………………8分 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）证明：由余弦定理得 bc a c b A ac b c a B 2cos ,2cos 222222-+=-+=，则 bca cb b ac b c a a A b B a 22cos cos 222222-+⋅+-+⋅=+ca cbc b c a 22222222-++-+=c = 所以 c A b B a =+cos cos ． ……………………………3分 由题意得 (i)(cos icos )3i a b A B +⋅+=， 即 3i )i cos cos ()cos -cos (=++A b B a B b A a ，由复数相等的定义可得0cos -cos =B b A a ，且3cos cos =+A b B a ，………………………5分 即 3=c ． ………………………………………………6分 （2）由（1）得 0cos -cos =B b A a ． ………………………1分 由正弦定理得 0cos sin cos sin =⋅-⋅B B A A ，即 B A 2sin 2sin =． ……………………………………………………2分 因为 ),0(π∈A 、),0(π∈B ， 所以 B A 22= 或 π=+B A 22，即 B A =或2π=+B A ，即B A =或2π=C ．所以 ABC ∆知等腰三角形或直角三角形．………………………………4分当B A =时，2cos cA b == ，所以6A π=； ……………………6分当2π=C时，sin 3b A c ==arcsin 3A = ． ……………8分20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）设()()2h x f x x =+，则()()221h x x m x =-+++由于()h x 是偶函数，所以对任意R ∈x ，()()h x h x -=成立．……2分 即 1)2(1))(2()(22+++-=+-++--x m x x m x 恒成立．即 0)2(2=+x m 恒成立， …………………………………3分 所以 02=+m ，解得 2-=m ．所以所求实数m 的值是 2-=m ． …………………………………4分 （2）由()2()3g x g π≤， 得22,362k k Z πππωπ⋅+=+∈ ，即132k ω=+()k Z ∈ ………2分 当[0,]2x π∈时，[,]6626x ππωππω+∈+()0ω>，因为sin y x =在区间[,]62ππ的单调递增， 所以262ωπππ+≤，再由题设得203ω<< …………………………5分所以12ω=． ……………………………………6分（3）设函数()f x 在[]1,2上的值域为A ，()g x 在[]0,π上的值域为B ， 由题意和子集的定义，得A B ⊆．………………………………………2分 当],0[π∈x 时，]67,6[6πππ∈+x ，]2,1[)(-∈x g ． ………………3分 所以当[]1,2x ∈时，不等式2112x mx -≤-++≤恒成立，由[]1,1,2m x x x ≤+∈恒成立，得2m ≤， 由[]2,1,2m x x x≥-∈恒成立，得1m ≥，综上，实数m 的取值范围为[]1,2 ． ………………6分 其它做法，对应给分。
2018届上海市嘉定、长宁区高三一模数学试题(带答案解析)
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，且满足 ，试确定 的值，使得数列 为等差数列；
（3）将数列 中的部分项按原来顺序构成新数列 ，且 ，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列 ．
参考答案
1．
【解析】
【分析】
集合 ， 是数集，集合的交集运算求出公共部分.
11．已知数列 的前 项和为 ，且 , （ ），若 ,
则数列 的前 项和 _______________.
12．若不等式 对任意满足 的实数 ， 恒成立，则实数 的最大值为__________．
13．设角 的始边为 轴正半轴，则“ 的终边在第一、二象限”是“ ”的…（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
当n为偶数时， ，当n为奇数时， ，综上所述 ,故填 或 .
点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．
12．
【解析】
∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；
∴该选项正确．
故选D．
考点：点、线、面的位置关系．
15．B
【解析】
，由 与 的夹角 ，知 ，故 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，故选B.
16．C
【解析】
当 时， 解得 ，
当 时， 解得
的1阶根的个数是2.
时， ，解得 ；
时， ，解得 ；
2018届上海市嘉定、长宁区高三一模
数学试题
1．已知集合 ， ，则 ___________________.
2018届高三数学下学期第一次测评试题理(含解析)
八市·学评2017-2018（下）高三第一次测评理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足,其中为虚数单位，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，所以，则，故选D．2. 集合,,若只有一个元素，则实数的值为（）A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】B【解析】因为只有一个元素，而，所以或，选B.3. 已知满足约束条件,则的最小值是( )A. 1B.C.D.【答案】C【解析】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，设，则，表示可行域内点与原点的连线的斜率，由图象可知，当取点时，取得最大值，由，解得，此时的最大值为，所以的最小值为，故选C．4. 某校对高二一班的数学期末考试成绩进行了统计，发现该班学生的分数都在90到140分之间，其频率分布直方图如图所示，若130~140分数段的人数为2，则100~120分数段的人数为（）A. 12B. 28C. 32D. 40【答案】B【解析】100~120分数段对应纵坐标为，根据对应关系得，选B.5. 已知，则( )A. B. C. D. 6【答案】A【解析】由题意可知，则，所以，故选A．6. 某几何体的三视图如图所示，则改几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由给定的三视图可知，原几何体上半部分，表示一个半径为的四分一个球，下半部分表示一个底面半径为，高为的半个圆锥，所以该几何体的体积为，故选C．7. 已知函数,若,则( )A. B. C. 或 D. 0【答案】D【解析】由函数的解析式可知，当时，令，解得；当时，令，解得（舍去），综上若，则，故选D．8. 设等差数列的首项大于0，公差为,则“”是“为递减数列”的( )A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意，当时，，所以，即数列为递减数列；若数列为递减数列，则，因为，所以，所以是数列为递减数列的充要条件，故选A．9. 双曲线的右焦点为,过点斜率为的直线为,设直线与双曲线的渐近线的交点为为坐标原点，若的面积为,则双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D. 4【答案】D【解析】过点且斜率为的直线方程为，与双曲线的渐近线联立，得到，因为的面积为，所以，所以，所以双曲线的离心率为，故选D．10. 设函数与且)在区间具有不同的单调性，则与的大小关系是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，因为与在区间具有不同的单调性，则，所以，，所以，故选D．11. 记实数种的最小数为,若函数的最小正周期为1，则的值为( )A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】由题意，如图所示，函数和的图象关于对称，则函数的周期为的周期的一半，若的最小正周期为，则的周期为，即，解得，故选C．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的周期求解问题，解答中根据函数和的图象之间的关系，得到函数与和的关系即可求解，其中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．12. 已知函数,若函数有4个不同的零点，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，当时，作图可知，选C.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.。
2018年长宁区高考数学一模试卷含答案
2018年长宁（嘉定）区高考数学一模试卷含答案2017.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,5}B =，则A B =2. 不等式01x x ≤+的解集为 3. 已知4sin 5α=，则cos()2πα+= 4. 131lim 31n n n +→∞-=+ 5. 已知球的表面积为16π，则该球的体积为6. 已知函数()1log a f x x =+，1()y f x -=是函数()y f x =的反函数，若1()y f x -=的图像 过点(2,4)，则a 的值为7. 若数列{}n a 为等比数列，且53a =，则2738a a a a -= 8. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()()a b c a b c ac ++-+=，则B =9. 若1(2)n x x+的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的 值为10. 已知函数()f x 是定义在R 上且周期为4的偶函数，当时[2,4]x ∈，43()|log ()|2f x x =-，则1()2f 的值为 11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，12n n n S a a +=（*n N ∈），若121(1)n n n n n b a a ++=-， 则数列{}n b 的前n 项和n T =12. 若不等式222()x y cx y x -≤-对满足0x y >>的任意实数x 、y 恒成立，则实数c 的最大值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设角α的始边为x 轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sin 0α>”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件14. 若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线， 则下列命题一定正确的是（ ）A. l 与1l 、2l 都不相交B. l 与1l 、2l 都相交C. l 至多与1l 、2l 中的一条相交D. l 至少与1l 、2l 中的一条相交15. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义||cos ||ααβθβ⊗=，其中θ为α和β的夹角， 若两个非零的平面向量a 和b 满足：① ||||a b ≥；② a 和b 的夹角(0,)4πθ∈；③ a b ⊗和 b a ⊗的值都在集合{|,}2n x x n N =∈中，则a b ⊗的值为（ ） A. 52 B. 32C. 1D. 12 16. 已知函数1202()12212x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，且1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=， 1,2,3,n =⋅⋅⋅，则满足方程()n f x x =的根的个数为（ ） A. 2n 个 B. 22n 个 C. 2n 个 D. 2(21)n -个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，设长方体1111ABCD A B C D -中，3AB BC ==，14AA =.（1）求四棱锥1A ABCD -的体积；（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18. 已知复数z 满足||z =，2z 的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设z 、2z 、2z z -在复平面上的对应点分别为A 、B 、C ，求ABC ∆的面积.19. 一根长为L 的铁棒AB 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽2AC BD m ==.（1）设BOD θ∠=，试将L 表示为θ的函数；（2）求L 的最小值，并说明此最小值的实际意义.20. 已知函数()22x x f x -=+.（1）求证：函数()f x 是偶函数；（2）设a R ∈，求关于x 的函数22222()x x y af x -=+-在[0,)x ∈+∞时的值域()g a 表达式；（3）若关于x 的不等式()21x mf x m -≤+-在(0,)x ∈+∞时恒成立，求实数m 的取值范围.21. 已知数列{}n a 满足：11a =，11n a +=*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足212211683n n n n S S n n a a ++=+--，试确定1b 的值， 使得数列{}n b 为等差数列； （3）将数列21{}na 中的部分项按原来顺序构成新数列{}n c ，且15c =，求证：存在无数个 满足条件的无穷等比数列{}n c .参考答案一. 填空题1. {2,4}2. (1,0]-3. 45-4. 135. 323π 6. 4 7. 188. 23π 9. 1120 10. 12 11. 11(1)1n n n +++--+ 12. 4二. 选择题13. A 14. D 15. B 16. C三. 解答题17.（1）12；（2）16arccos 25. 18.（1）1z i =+或1z i =--；（2）1.19.（1）22sin cos L θθ=+；（2）min L =. 20.（1）证明略；（2）2a ≤时，值域为[24,)a -+∞，2a >时，值域为2[2,)a --+∞；（3）13m ≤-.21.（1）n a =；（2）11b =；（3）证明略.。
2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷
2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A∩B=．2．（4分）不等式的解集为．3．（4分）已知，则=．4．（4分）=．5．（4分）已知球的表面积为16π，则该球的体积为．6．（4分）已知函数f（x）=1+log a x，y=f﹣1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f ﹣1（x）的图象过点（2，4），则a的值为．7．（5分）若数列{a n}为等比数列，且a5=3，则=．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B=．9．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为．11．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，2S n=a n•a n+1（n∈N*）．若b n=（﹣1）n，则数列{b n}的前n项和T n=．12．（5分）若不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设角α的始边为x轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件14．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交15．（5分）对任意两个非零的平面向量和，定义，其中θ为和的夹角，若两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中，则的值为（）A．B．C．1 D．16．（5分）已知函数，且f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣（x）），n=1，2，3，…．则满足方程f n（x）=x的根的个数为（）1A．2n个B．2n2个C．2n个D．2（2n﹣1）个三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（14分）已知复数z满足，z2的虚部为2．（1）求复数z；（2）设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．19．（14分）一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m．（1）设∠BOD=θ，试将L表示为θ的函数；（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．20．（16分）已知函数f（x）=2x+2﹣x．（1）求证：函数f（x）是偶函数；（2）设a∈R，求关于x的函数y=22x+2﹣2x﹣2af（x）在x∈[0，+∞）时的值域g （a）表达式；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．21．（18分）已知数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且满足，试确定b1的值，使得数列{b n}为等差数列；（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列{c n}，且c1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{c n}．2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A∩B={2，4} ．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，∴A∩B={2，4}．故答案为：{2，4}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）不等式的解集为（﹣1，0] ．【分析】分式不等式转化为其等价不等式组，解出即可．【解答】解：∵，∴或，解得：﹣1＜x≤0，故答案为（﹣1，0]．【点评】本题考查了分式不等式的解法，考查转化思想，是一道基础题．3．（4分）已知，则=．【分析】原式利用诱导公式化简，将sinα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sinα=，∴cos（+α）=﹣sinα=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．4．（4分）=．【分析】分式同时除以3n，当n→+∞时，（）n→0，即可求得答案．【解答】解：==，∴=，故答案为：．【点评】本题考查极限的运算，考查转化思想，属于基础题．5．（4分）已知球的表面积为16π，则该球的体积为．【分析】通过球的表面积求出球的半径，然后求出球的体积【解答】解：一个球的表面积是16π，所以球的半径为：2，所以这个球的体积为：=．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查球的表面积、体积的计算，考查计算能力，公式的应用．6．（4分）已知函数f（x）=1+log a x，y=f﹣1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f ﹣1（x）的图象过点（2，4），则a的值为4．【分析】由y=f﹣1（x）的图象过点（2，4）得函数y=f（x）的图象过点（4，2），把点（4，2）代入y=f（x）的解析式求得a的值．【解答】解：∵y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），∴函数y=f（x）的图象过点（4，2），又f（x）=1+log a x，∴2=1+log a4，即a=4．故答案为：4．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是基础的计算题．7．（5分）若数列{a n}为等比数列，且a5=3，则=18．【分析】根据题意，由矩阵的定义可得=a2•a8﹣a3•（﹣a7）=a2•a8+a3•a7，进而由等比数列的性质可得a2•a8=a3•a7=9，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，=a2•a8﹣a3•（﹣a7）=a2•a8+a3•a7，又由数列{a n}为等比数列，且a5=3，则有a2•a8=a3•a7=9，则=9+9=18；故答案为：18．【点评】本题考查等比数列的性质，涉及矩阵的运算，关键是掌握等比数列的性质．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B=．【分析】由条件利用余弦定理求得cosB的值，可得B的值．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac，又cosB==﹣，∴B=，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．9．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为 1120 ．【分析】由已知求得n 值，写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得r 值，则答案可求．【解答】解：由题意可知，2n =256，解得n=8．∴=，其展开式的通项=，令8﹣2r=0，得r=4． ∴该展开式中常数项的值为．故答案为：1120．【点评】本题考查二项式系数的性质，熟练掌握二项展开式的通项是关键，是基础题．10．（5分）已知函数f （x ）是定义在R 上且周期为4的偶函数，当x ∈[2，4]时，，则的值为． 【分析】由函数的奇偶性与周期性把f （）转化为求f （）的值求解． 【解答】解：∵函数f （x ）是定义在R 上且周期为4的偶函数， ∴，又当x ∈[2，4]时，，∴f （）=f （）=．故答案为：．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是基础题．11．（5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，2S n =a n •a n +1（n ∈N *）．若b n =（﹣1）n，则数列{b n }的前n 项和T n = ﹣1+．【分析】根据数列的递推公式可得数列{a n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，a n=n，则b n=（﹣1）n=（﹣1）n•（+），再分n为偶数和奇数两种情况求出前n项和．【解答】解：∵2S n=a n•a n+1（n∈N*）．当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣1•a n，∴2a n=2S n﹣2S n﹣1=a n（a n+1﹣a n﹣1），∵a1=1，∴a n≠0∴a n+1﹣a n﹣1=2，∴（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）=2，∴a n﹣a n﹣1=1，∴数列{a n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴a n=1+（n﹣1）=n，∴b n=（﹣1）n=（﹣1）n•=（﹣1）n•（+），数列{b n}的前n项和T n=﹣（1+）+（+）﹣（+）+…+（﹣1）n•（+），当n为偶数时，T n=﹣1+，当n为奇数时，T n=﹣1+﹣（+）=﹣1﹣，综上所述T n=﹣1+，故答案为：﹣1+．【点评】本题考查了数列的递推公式关系式，和数列的通项公式，以及数列的前n项和，属于中档题．12．（5分）若不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为2﹣4．【分析】不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，变形为c≤=，令，可得=f（t），利用导数研究函数f（t）的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：∵不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，∴c≤=，令，∴=f（t），f′（t）==，当t时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；当1＜t＜时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．∴当t=2+时，f（t）取得最小值，=2﹣4．∴实数c的最大值为2﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设角α的始边为x轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【分析】“α的终边在第一、二象限”⇒“sinα＞0”，“sinα＞0”⇒“α的终边在第一、二象限或α的终边在x轴正半轴”，由此能求出结果．【解答】解：∵角α的始边为x轴正半轴，∴“α的终边在第一、二象限”⇒“sinα＞0”，“sinα＞0”⇒“α的终边在第一、二象限或α的终边在x轴正半轴”，∴“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查正弦函数的符号与所在象限的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．14．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【分析】可以画出图形来说明l与l1，l2的位置关系，从而可判断出A，B，C是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l1，l2都不相交，这样可推出和l1，l2异面矛盾，这样便说明D正确．【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选：D．【点评】考查异面直线的概念，在直接说明一个命题正确困难的时候，可说明它的反面不正确．15．（5分）对任意两个非零的平面向量和，定义，其中θ为和的夹角，若两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中，则的值为（）A．B．C．1 D．【分析】根据新定义求出=cosθ=，=cosθ=，m∈N，再根据夹角的范围求出mn=3，m，n∈N，再根据第1个条件，即可求出m，n的值，问题得以解决【解答】解：∵=cosθ=，=cosθ=，m∈N，由与的夹角θ∈（0，），知cos2θ=∈（，1），故mn=3，m，n∈N，∵，∴0＜=＜1，∴m=1，n=3，∴=，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求得m=1，n=3，是解题的关键，属于中档题．16．（5分）已知函数，且f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣（x）），n=1，2，3，…．则满足方程f n（x）=x的根的个数为（）1A．2n个B．2n2个C．2n个D．2（2n﹣1）个【分析】本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知条件和递推关系，先求出f的1阶根的个数，2阶根的个数，然后总结归纳其中的规律，f的n阶根的个数．【解答】解：当x∈[0，]时，f1（x）=f（x）=2x=x，解得x=0；当x∈（，1]时，f1（x）=f（x）=2﹣2x=x，解得x=，∴f的1阶根的个数是2．当x∈[0，]时，f1（x）=f（x）=2x，f2（x）=4x=x，解得x=0；当x∈（，]时，f1（x）=f（x）=2x，f2（x）=2﹣4x=x，解得x=；当x∈（，]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=﹣2+4x=x，解得x=；当x∈（，1]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=4﹣4x=x，解得x=．∴f的2阶根的个数是22．依此类推∴f的n阶根的个数是2n．故选：C．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【分析】（1）A1到平面ABCD的距离d=AA1=4，S正方体ABCD=AB×BC=9，由此能求出四棱锥A1﹣ABCD的体积．（2）由A1B∥D1C，知∠D1CB1是异面直线A1B与B1C所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1B与B1C所成角．【解答】解：（1）∵A1到平面ABCD的距离d=AA1=4，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，∴S=AB×BC=3×3=9，正方体ABCD∴四棱锥A1﹣ABCD的体积V==．（2）∵A1B∥D1C，∴∠D1CB1是异面直线A1B与B1C所成角（或所成角的补角），∵B1D1==3，B1C=D1C==5，∴cos∠D1CB1===，∴∠D1CB1=arccos．∴异面直线A1B与B1C所成角为．【点评】本题考查四棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18．（14分）已知复数z满足，z2的虚部为2．（1）求复数z；（2）设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．【分析】（1）设z=a+bi（a，b∈R），由已知列关于a，b的方程组，求解可得复数z；（2）分类求得A、B、C的坐标，再由三角形面积公式求解．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），由已知可得：，即，解得或．∴z=1+i或z=﹣1﹣i；（2）当z=1+i时，z2=2i，z﹣z2=1﹣i，∴A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），故△ABC的面积S=×2×1=1；当z=﹣1﹣i时，z2=2i，z﹣z2=﹣1﹣3i，∴A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（﹣1，﹣3），故△ABC的面积S=×2×1=1．∴△ABC的面积为1．【点评】本题考查复数的乘方和加减运算，考查复数相等的条件和复数的几何意义，以及三角形的面积的求法，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m．（1）设∠BOD=θ，试将L表示为θ的函数；（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．【分析】（1）利用直角三角形中的边角关系，求得L的解析式．（2）求导，分析导函数的符号，进而可得L的最值，进而得到最值的含义．【解答】解：（1）∵走廊的宽AC=BD=2m．∠BOD=∠BAC=θ，∴；（2）∵∴．∵θ∈（0，），L′＜0，L为减函数；θ∈（，），L′＞0，L为增函数；∴θ=时，L取最小值4，该最小值表示：超过则无法通过．【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法，利用导数研究函数的最值，难度中档．20．（16分）已知函数f（x）=2x+2﹣x．（1）求证：函数f（x）是偶函数；（2）设a∈R，求关于x的函数y=22x+2﹣2x﹣2af（x）在x∈[0，+∞）时的值域g （a）表达式；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用奇偶性的定义，可得函数f（x）是偶函数；（2）令t=f（x）=2x+2﹣x．则t≥2，22x+2﹣2x=t2﹣2，y=22x+2﹣2x﹣2af（x）=t2﹣2at ﹣2，结合二次函数的性质分类讨论，可得不同情况下，函数的值域；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，即m ≤在x∈（0，+∞）时恒成立，求出的最小值，可得答案．【解答】证明：（1）∵函数f（x）=2x+2﹣x的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=2﹣x+2x=2x+2﹣x=f（x），故函数f（x）是偶函数；解：（2）令t=f（x）=2x+2﹣x．则t≥2，22x+2﹣2x=t2﹣2y=22x+2﹣2x﹣2af（x）=t2﹣2at﹣2，当a≤2时，当t=2时，函数取最小值2﹣4a，无最大值；此时函数的值域为[2﹣4a，+∞），a＞2时，当t=a时，函数取最小值﹣a2﹣2，无最大值；此时值域为[﹣a2﹣2，+∞）；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立即m（2x+2﹣x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立即m≤=1﹣=1﹣在x∈（0，+∞）时恒成立当x=1时，2﹣x=，此时（2﹣x）2﹣2﹣x+1取最小值，故取最大值，故1﹣取最小值﹣故．【点评】本题考查的知识点是的奇偶性，单调性，值域，恒成立问题，是函数图象和性质的综合应用．21．（18分）已知数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且满足，试确定b1的值，使得数列{b n}为等差数列；（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列{c n}，且c1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{c n}．【分析】（1）由a1=1，两边平方化简可得﹣=4，则数列{}是以1为首项，以4为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式即可求得，即可求得数列{a n}的通项公式；（2）由（1）可得化简整理﹣=1，得利用等差数列的通项公式可得：=b1+n﹣1，即S n=（b1+n﹣1）（4n﹣3），当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1，化为b n=4b1+8n ﹣11，取n=1即可得出；（3）解法1：令等比数列{c n}的公比q=4m（m∈N*），则c n=c1q n﹣1=5×4m（n﹣1），设k=m（n﹣1），可得5×4m（n﹣1）=3[5（1+4+42+…+4k﹣1）+2]﹣1，…．因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，可得数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，进而证明结论．解法2：设c2=4k2﹣3（k2≥3），所以公比q=，由等比数列{c n}的各项为整数，则q为整数，取q=4m+1，故c n=5•（4m+1）n﹣1，利用等差数列定义可得k n 是正整数，因此以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，即可证明．【解答】解：（1），则﹣=4，n∈N*∴数列{}是以1为首项，以4为公差的等差数列，则=1+4（n﹣1）=4n﹣3，∴，∴数列{a n}的通项公式；（2）由（1）可得，=（4n+1）S n+16n2﹣8n﹣3，∵，∴（4n﹣3）S n+1∴﹣=1，∴数列{}是等差数列，首项为S1，公差为1．∴=b1+n﹣1，∴S n=（b1+n﹣1）（4n﹣3），当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=（b1+n﹣1）（4n﹣3）﹣（b1+n﹣2）（4n﹣7），化为b n=4b1+8n ﹣11，若数列{b n}为等差数列，则上式对于n=1时也成立，∴b1=4b1﹣3，解得b1=1．∴b n=8n﹣7为等差数列．∴b1=1，数列{b n}为等差数列；（3）证明：由（1）可得=4n﹣3．解法1：令等比数列{c n}的公比q=4m（m∈N*），则c n=c1q n﹣1=5×4m（n﹣1），设k=m（n﹣1），因为1+4+42+…+4k﹣1=，所以5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+…+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+…+4k﹣1）+2]﹣1，…（14分）因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{c n}有无数个．…（16分）解法2：设c2=4k2﹣3（k2≥3），所以公比q=．因为等比数列{b n}的各项为整数，所以q为整数，取k2=5m+2（m∈N*），则q=4m+1，故c n=5•（4m+1）n﹣1，由4k n﹣3=5•（4m+1）n﹣1得，k n=[5（4m+1）n﹣1+3]（n∈N*），=[（4m+1）n﹣1﹣（4m+1）n﹣2]=5m（4m+1）n﹣2，而当n≥2时，k n﹣k n﹣1即k n=k n﹣1+5m（4m+1）n﹣2，…（14分）又因为k1=2，5m（4m+1）n﹣2都是正整数，所以k n也都是正整数，所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m+1（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{c n}有无数个．…（16分）【点评】本题考查了构造方法、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，推理能力与计算能力，属于难题．。
上海市长宁区高三第一学期期末(一模)学科质量检测数学试题及答案(word版)
长宁区-第一学期高三级质量调研考试 数学试卷 .12考生注意：1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分． 4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B =U 2. 已知1312x -=，则x =3. 在61()x x+的二项展开式中，常数项为 （结果用数值表示）4. 已知向量(3,)a m =r ，(1,2)b =-r，若向量a r ∥b r ，则实数m =5. 若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为6. 已知幂函数()a f x x =的图像过点2(2,)2，则()f x 的定义域为 7. 已知(,)2a ππ∈，且tan 2a =-，则sin()a π-=8. 已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f xg x ≥的解集是9. 如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD 的高度，D 为楼顶，线段AB 的长度为600m ，在A 处测得30DAB ∠=︒，在B 处测得105DBA ∠=︒，且此时看楼顶D 的仰角 30DBC ∠=︒，已知楼底C 和A 、B 在同一水平面上，则此楼高度CD = m（精确到1m ）10. 若甲、乙两位同学随机地从6门课程中选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的 概率为11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n a a ++=，若数列{}n S 收敛于常数A ，则首项1a 取值的集合为12. 已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123||||||||||||x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有 个元素二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知x ∈R ，则“0x ≥”是“3x >”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 有一批种子，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，下表是 不同发芽天数的种子数的记录：发芽天数 1 2 3 4 5 6 7 8≥种子数82622241242统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（ ） A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 415. 已知向量a r 和b r 夹角为3π，且||2a =r ，||3b =r ，则(2)(2)a b a b -⋅+=r r r r （ ）A. 10-B. 7-C. 4-D. 1- 16. 某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题： 已知函数()y f x =的定义域为D ，12,x x D ∈，① 若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数； ② 若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数. 下列判断正确的是（ ）A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①和②都是假命题D. ①是假命题，②是真命题三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 求下列不等式的解集： （1）|23|5x -<； （2）442120x x -⋅->18. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四 个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢 结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD . （1）已知4AD CD m ==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15︒，求立柱PD 的长； （精确到0.01m ）（2）求证：四面体PDBC 为鳖臑.19. 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，复数1i z a b =+，2cos icos z A B =+，（其中i 是虚数单位），且123i z z ⋅=.（1）求证：cos cos a B b A c +=，并求边长c 的值； （2）判断△ABC 的形状，并求当3b =时，角A 的大小.20. 已知函数2()1f x x mx =-++，()2sin()6g x x πω=+.（1）若函数()2y f x x =+为偶函数，求实数m 的值；（2）若0ω>，2()()3g x g π≤，且函数()g x 在[0,]2π上是单调函数，求实数ω的值； （3）若1ω=，若当1[1,2]x ∈时，总有2[0,]x π∈，使得21()()g x f x =，求实数m 的取值 范围.21. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2a a =. （1）若数列{}n a 是等差数列，且815a =，求实数a 的值；（2）若数列{}n a 满足22n n a a +-=（n *∈N ），且191019S a =，求证：{}n a 是等差数列；（3）设数列{}n a 是等比数列，试探究当正实数a 满足什么条件时，数列{}n a 具有如下性质M ：对于任意的2n ≥（n *∈N ），都存在m *∈N ，使得1()()0m n m n S a S a +--<，写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数a 的集合.长宁区-第一学期高三级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．}6,4,3,2,1{ 2．1 3．20 4．6-5．π33 6．),0(+∞ 7．552 8．)2,1[ 9．212 10．209 11．⎭⎬⎫⎩⎨⎧31 12．3二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．B 14．B 15．D 16．C三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由5|32|<-x 得 5325<-<-x ，……………………4分 解得 41<<-x ．所以原不等式的解集是 )4,1(-．…………………………………6分 （2）原不等式可化为()()22260x x +->， ……………………4分 因为220x+>，所以62>x， ……………………………………5分 解得 6log 2>x ． ………………………………………7分所以原不等式的解集是()2log 6,+∞． ……………………………8分 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）解：因为侧棱⊥PD 底面ABCD ，则侧棱PB 在底面ABCD 上的射影是DB ，所以PBD ∠就是侧棱PB 与底面ABCD 所成的角，即︒=∠15PBD ．……2分 在PDB ∆中，)(24,9022m CD AD DB PDB =+=︒=∠， ………3分由DB PDPBD =∠tan 得 2415tan PD =︒，解得 )(52.1m PD =． ………5分 所以立柱PD 的长约为 m 52.1． ………………………………6分（2）由题意知底面ABCD 是长方形，所以BCD ∆是直角三角形． ………………………2分 因为侧棱⊥PD 底面ABCD ， 得BC PD DB PD DC PD ⊥⊥⊥,,，所以PDC ∆、PDB ∆是直角三角形． …………………………4分因为DC BC ⊥，PD BC ⊥，又D DC PD =I ，PD DC ,≠⊂平面PDC ， 所以⊥BC 平面PDC ． …………………………………………6分 又因为PC ≠⊂平面PDC ，所以PC BC ⊥，所以PBC ∆ 为直角三角形． …………………………………7分 由鳖臑的定义知，四面体PDBC 为鳖臑． ………………………8分 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）证明：由余弦定理得 bc a c b A ac b c a B 2cos ,2cos 222222-+=-+=，则 bca cb b ac b c a a A b B a 22cos cos 222222-+⋅+-+⋅=+ca cbc b c a 22222222-++-+=c = 所以 c A b B a =+cos cos ． ……………………………3分 由题意得 (i)(cos icos )3i a b A B +⋅+=， 即 3i )i cos cos ()cos -cos (=++A b B a B b A a ，由复数相等的定义可得0cos -cos =B b A a ，且3cos cos =+A b B a ，………………………5分 即 3=c ． ………………………………………………6分（2）由（1）得 0cos -cos =B b A a ． ………………………1分 由正弦定理得 0cos sin cos sin =⋅-⋅B B A A ，即 B A 2sin 2sin =． ……………………………………………………2分 因为 ),0(π∈A 、),0(π∈B ， 所以 B A 22= 或 π=+B A 22， 即 B A =或2π=+B A ，即B A =或2π=C ．所以 ABC ∆知等腰三角形或直角三角形．………………………………4分当B A =时，32cos 2cA b == ，所以6A π=； ……………………6分当2π=C 时，3sin 3b A c ==，所以3arcsin 3A = ． ……………8分20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）设()()2h x f x x =+，则()()221h x x m x =-+++ 由于()h x 是偶函数，所以对任意R ∈x ，()()h x h x -=成立．……2分 即 1)2(1))(2()(22+++-=+-++--x m x x m x 恒成立． 即 0)2(2=+x m 恒成立， …………………………………3分 所以 02=+m ，解得 2-=m ．所以所求实数m 的值是 2-=m ． …………………………………4分 （2）由()2()3g x g π≤， 得22,362k k Z πππωπ⋅+=+∈ ，即132k ω=+()k Z ∈ ………2分 当[0,]2x π∈时，[,]6626x ππωππω+∈+()0ω>，因为sin y x =在区间[,]62ππ的单调递增， 所以262ωπππ+≤，再由题设得203ω<< …………………………5分所以12ω=． ……………………………………6分（3）设函数()f x 在[]1,2上的值域为A ，()g x 在[]0,π上的值域为B ， 由题意和子集的定义，得A B ⊆．………………………………………2分 当],0[π∈x 时，]67,6[6πππ∈+x ，]2,1[)(-∈x g ． ………………3分 所以当[]1,2x ∈时，不等式2112x mx -≤-++≤恒成立，由[]1,1,2m x x x ≤+∈恒成立，得2m ≤， 由[]2,1,2m x x x≥-∈恒成立，得1m ≥，综上，实数m 的取值范围为[]1,2 ． ………………6分 其它做法，对应给分。
高考最新-2018年南京市高三第一次质量检测数学 精品
2018年南京市高三第一次质量检测数 学班级 学号 姓名 成绩 18. 3. 4一．选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分) 1. 函数)2x (2x 1y ≠-=的反函数是 ( ) A. )0x (2x 1y ≠+= B. )R x (2x y ∈-=C. )0x (2x1y ≠-= D. )R x (2x y ∈+=2. 直线l 1, l 2互相平行的一个充分条件是 ( )A. l 1, l 2 都平行于同一个平面B. l 1, l 2与同一个平面所成的角相等C. l 1平行于 l 2 所在的平面D. l 1, l 2都垂直于同一个平面3. 若点)y ,x (A 是300°角终边上异于原点的一点, 则xy的值为 ( ) A.3 B. －3 C. 33 D. －334. 32)x2x (-的展开式的常数项为 ( )A. 6B. －6C. 12D. －12 5. 与直线05y 4x 3=++的方向向量共线的一个单位向量是 ( ) A. )4,3( B. )3,4(- C. )54,53( D. )53,54(- 6. 已知函数f (x)＝x 3x 3-, 则函数f (x)在区间]2,2[ -上的最大值是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 在等比数列}a {n 中, 前n 项和为S n . 若,63S ,7S 63== 则公比q 的值是 ( ) A. 2 B. －2 C. 3 D. －38. 若)1,2(P - 为圆⎩⎨⎧θ=θ+=sin 5y cos 51x )20(π<θ≤的弦的中点,则该弦所在直线的方程是( )A. 03y x =--B. 0y 2x =+C. 01y x =-+D. 05y x 2=--9. 已知双曲线的中心在坐标原点,离心率2e =,且它的一个顶点与抛物线x 8y 2-=的焦点重合,则此双曲线的方程为 ( )A.14y 12x 22=- B. 112y 4x 22=- C. 13y x 22=- D. 1y 3x 22=- 10. 5人站成一排,甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数 ( )A. 18B. 24C. 36D. 48 11. 设正数x , y 满足,y log x log )3y x (log 222+=++则y x +的取值范围是 ( ) A. ]6,0( B. ),6[∞+C. ),71[∞++D. ]71,0(+12. 如图, 设点A 是单位圆上的一定点, 动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周, 点P 所旋转过的弧的长为l , 弦AP 的长为d, 则函数的图象 大致是 ( )二．填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13. 函数x cos x sin x cos y 2+=的最小正周期是 . 14. 如图, 在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中, ∠ABC ＝90°,AB ＝BC ＝AA 1＝2, 点D 是A 1C 1的中点, 则异面 直线AD 和BC 1所成角的大小为 . 15. 函数)1a 0()2x (log y a <<-=的定义域是.16. 已知)1,0(B ),0,3(A 坐标原点O 在直线AB 上的射影为点C, 则=⋅ .三．解答题(本大题6小题, 共74分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分12分)已知53sin ,21)tan(=β=α-π, ),2(ππ∈β . 求)2tan(β-α的值.18. (本小题满分12分)一位射击选手100发子弹的射击结果统计如下:试根据以上统计数据估算:(1) 该选手一次射击射中8环以上(含8环)的概率;(2) 该选手射击2发子弹取得19环以上(含19环)的成绩的概率.19. (本小题满分12分)如图, 在矩形ABCD中, AB＝2BC, P, Q分别为线段AB, CD的中点,EP⊥平面ABCD.(1) 求证: AQ∥平面CEP;(2) 求证:平面AEQ⊥平面DEP;(3) 若EP＝AP, 求二面角Q—AE—P的大小.20. (本小题满分12分)已知数列}a {n 的前n 项和为).R a (n )1a (n S 2n ∈-+= 设集合}N n |)nS ,a {(A n n +∈= ,}.R y ,x ,1y x 41|)y ,x {(B 22∈=-=(1) 求数列}a {n 的通项公式;(2) 若以集合A 中的元素作为点的坐标,则这些点是否都在同一条直线上? 并说明理由; (3) “B A 至多只有一个元素”是否正确? 如果正确, 请给予证明; 如果不正确, 请举例说明.21. (本小题满分12分) 已知函数)0x (1x x x3)x (f 2>++=.(1) 试确定函数)x (f 的单调区间,并证明你的结论; (2) 若1x ≥1, 2x ≥1, 证明: 1|)x (f )x (f |21<-22. (本小题满分14分)已知点P 与定点F )0,1( 的距离和它到定直线l: 4x 的距离之比 是1 : 2.(1) 求点P 的轨迹C 方程;(2) 过点F 的直线交曲线C 于A, B 两点, A, B 在l 上的射影分别为M, N. 求证AN 与BM 的公共点在x 轴上.2018南京市高三第一次质量检测数学(答卷纸)班级学号姓名得分（每小题4分，共16分）13. ; 14. ; 15.;16.;三. 解答题（共74分）17．（本小题满分12分）解:18．（本小题满分12分）解:19．（本小题满分12分）解:20．（本小题满分12分）解:21．（本小题满分12分）解:22．（本小题满分14分）解：数 学 参 考 答 案 2018－3－4（每小题4分，共16分）13. π ; 14. 30° ; 15. ]3,2(; 16. 43;三. 解答题（共74分） 17．（本小题满分12分） 解: 21tan 21)tan(-=α⇒=α-π…………(2分) 34tan 1tan 22tan 2-=α-α=α⇒…………(4分) ),2(ππ∈β ,54sin 1cos 2-=β--=β∴,43tan -=β∴…………(8分)247)43)(34(1)43(34tan 2tan 1tan 2tan )2tan(-=--+---=β⋅α+β-α=β-α∴…………(12分) 18．（本小题满分12分）解: (1)用射中8环以上的频率作为概率的近似值,得射中8环以上的概率约为 8.0100253520p =++=…………(5分)(2)记一次射击击中10, 9环的概率粉身分别约为35.0p ,2.0p 21== ” …………(5分) “2发击中19环以上”可分别为以下两种互斥的事件…………(7分)记“两次均为10环”的事件为A, 则P =)A (0.18…………(9分) 记“一次10环,一次9环”的事件为B,则P =)B (14.035.02.02p p C 2112=⨯⨯=…………(11分) ∴P =+)B A (18.014.004.0=+…………(12分)19．（本小题满分12分） 证明: (1)在矩形ABCD 中,∵AP ＝PB, DQ ＝QC, ∴AP CQ.∴AQCP 为平行四边形. ∴CP ∥AQ. …………(2分) ∵CP ⊂平面CEP, AQ ⊄平面CEP,∴AQ ∥平面CEP. …………(4分) (2) ∵EP ⊥平面ABCD, AQ ⊂平面ABCD,∴AQ ⊥EP. …………(5分)∵AB ＝2BC, P 为AB 中点, ∴AP ＝AD. 连PQ, ADQP 为正方形. ∴AQ ⊥DP. 又EP ∩DP ＝P, …………(6分) ∴AQ ⊥平面DEP. …………(7分)∵AQ ⊂平面AEQ. ∴平面AEQ ⊥平面DEP. …………(8分)(3)过P 作PO ⊥AE, 垂足为O, 连OQ. ∵QP ⊥AB, QP ⊥EP, ∴QP ⊥平面AEP. 则OQ ⊥AE.∴∠QOP 为二面角Q —AE —P 的平面角. …………(10分)∵EP ＝AP ＝AD AB 21=, ∴OP ＝22EP ＝22AP ＝22PQ.∴tan ∠POQ ＝arctan 2.即二面角Q —AE —P 的大小为arctan 2.…………(12分) 20．（本小题满分12分）解: (1)当1n =时, a 1a 1S a 11=-+==…………(1分)当2n ≥时, )]1n )(1a ()1n [(]n )1a (n [S S a 221n n n --+---+=-=- ＝2a n 2-+…………(3分) 可见, 当1n =时, 满足上式.所以, 数列}a {n 的通项公式是)N n (2a n 2a n +∈-+= …………(4分) (2)由数列}a {n 的通项公式是,2a n 2a n -+= 可知数列}a {n 是等差数列.∴=+=2)a a (n S n 1n 2)a a (n n +, ∴).a a (21n S n n +=…………(6分) ∴点)nS ,a (n n 的坐标满足方程),a x (21y +=∴点)nS ,a (n n 在直线)a x (21y +=上.所以, 以集合A 中的元素为坐标的点)nS ,a (n n 均在直线)a x (21y +=上. …………(8分)(3)由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=4y 4x )a x (21y 22, 消去y, 得4a ax 22--=…………①…………(9分) 当0a =时, 方程①无解, 此时, ;B A ∅= …………(10分)当0a ≠时, 方程①只有一个解,a24a x 2+-= 此时方程组也只有一个解, 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=a 44a y a2a 4x 22故上述方程组至多．．有一解, 所以B A 至多有一个元素…………(12分)21．（本小题满分12分）解: (1) 函数)x (f 在区间]1,0( 上是增函数, 函数)x (f 在区间),1[∞+ 上是减函数.………(1分) 下面证明: 设21x x 0<<, 则)x (f )x (f 21-)1x x )(1x x ()1x x (x 3)1x x (x 31x x x 31x x x 32221211212222122221211++++++-++=++-++= )1x x )(1x x ()]x x x x x ()x x x x x [(3222121221221121221++++++-++= )1x x )(1x x ()]x x ()x x x x [(322212121221221++++-+-=)1x x )(1x x ()]x x ()x x (x x [(3222121121221++++---= )1x x )(1x x ()1x x )(x x (32221212112++++--=,…………(3分) ∵43)21x (1x x 21121++=++,∴01x x 121>++, 同理01x x 222>++. 又21x x <, ∴0x x 12>-.…………(4分) ① 当1x x 021≤<<时, 1x x 21<, 01x x 21<-. ∴,0)x (f )x (f 21<-∴)x (f )x (f 21<. ∴函数)x (f 在区间]1,0( 上是增函数.②当21x x 1<≤时, 1x x 21>, ∴01x x 21>-. ∴,0)x (f )x (f 21>-∴)x (f )x (f 21>. ∴函数)x (f 在区间),1[∞+ 上是减函数. 综上所述: 函数)x (f 在区间]1,0( 上是增函数, 在区间),1[∞+ 上是减函数. …………(6分)(2) 由可知,函数在区间上减函数,∵,1x 1≥,1x 2≥∴1)1(f )x (f ,1)1(f )x (f 21=≤=≤…………(8分)又在函数1x x x 3)x (f 2++=中, ∵30x >, ,01x x 2>++ ∴0)x (f >.∴0)x (f 1>, 0)x (f 2>, ∴,1)x (f 01≤<1)x (f 02≤<…………(10分) ∴,1)x (f 01≤<0)x (f 12<≤-, ∴1)x (f )x (f 121<-<-. ∴1|)x (f )x (f |21<-.…………(12分)22．（本小题满分14分）解： (1) 如图(1) 设P 点的坐标为)y ,x ( ,则由题设得:21|4x |y )1x (22=-+-, 化简得: 222)4x (]y )1x [(4-=+-,即,12y 4x 322=+即13y 4x 22=+. ∴点P 的轨迹C 的方程是13y 4x 22=+.…………(5分) (2) ①当AB 轴时, AB 的坐标分别为)23,1( , )23,1( -,AN 与BM 的交点为)0,25( 在x 轴上. …………(6分)②当AB 不垂直于x 轴时,设直线AB 的方程为)1x (k y -=,代入椭圆13y 4x 22=+,得0)12k 4(x k 8x )3k 4(2222=-+-+…………(7分) 设)y ,x (A 11 , )y ,x (B 22 , 则)y ,4(M 1 , )y ,4(N 2 ,且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+3k 412k 4x x 3k 4k 8x x 22212221…………(8分) ∵直线AN 方程是121121x x x x y y y y --=--, 直线BM 方程是4x 4x y y y y 2121--=--. 联列, 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=----=--4x 4x y y y y x 4x x y y y y 212111121, 消去y, 得: 4x 4x 4x 4x 22--=--. 即,16x x x )8x x (2121-=-+ 即258x x 16x x x 2121=-+-=, …………(10分)把25x =代入直线AN 的方程11121x 4x x y y y y --=-- 得1212111121x 4y x y 25y 23)x 25(x 4y y y y --+=---+= 0x 4]4x x )x x (25[k 12121=---+=…………(13分)∴AN 与BM 交于点)0,25( 是x 轴上一定点. …………(14分)(2) 解法二: 如图(2) 当AB 不垂直于x 轴时,设AF ＝n, 则AM ＝2n, 设BF ＝m, 则BN ＝2m, 在△ABN 和△BAM 中, FH ∥AM, FH 1∥BN, ∴△ABN ∽△AFH 和△BAM ∽△BFH 1∴m2FHm n n BN FH AB AF =+⇒= mn mn2FH +=⇒,…………(10分)同理可推, ∴n 2FH n m mAM FH BA BF 11=+⇒= mn mn2FH 1+=⇒, …………(12分)∴1FH FH =,∴H 与H 1重合∴AN 与BM 交点是x 轴上一定点. …………(14分)。
高三数学-2018年高三年级质量检测1答案 精品
2018年高三年级质量检测1参考答案一．B A C C D B C A C D D B二．13．165 14．a 23 15．2116．①②③三．17．（Ⅰ）由 18514104==S a ∴ ,18599102110,14311=⋅⋅⋅+=+d a d a 351==d a ……3分 由233)1(5+=∴⋅-+=n a n a n n ……6分（Ⅱ）设新数列为{n b }，由已知，223+⋅=n n b …… 9分 .2)12(62)2222(3321n n G n n n +-=+++++=∴ *)(,62231N n n G n n ∈-+⋅=∴+ ……12分18．（Ⅰ）设20,52,52|),,(2222=+∴=+∴==y x y x c y x x y y x 2,02),2,1(,//=∴=-∴= ……2分由 20222=+=y x x y ∴ 42==y x 或 42-=-=y x ∴)4,2(),4,2(--==或 ……5分（Ⅱ）0)2()2(),2()2(=-⋅+∴-⊥+b a b a b a b a ……7分 0||23||2,02322222=-⋅+∴=-⋅+ ……（※） ,45)25(||,5||222=== 代入（※）中, 250452352-=⋅∴=⨯-⋅+⨯∴ ……10分 ,125525||||cos ,25||,5||-=⋅-=⋅=∴==b a θπθπθ=∴∈],0[ ……12分19．（甲）解：（Ⅰ）以C 为原点，为x 轴，为y 轴，1CC 为z 轴建立空间直角坐标系。
……2分设AC=2，则C （0，0，0），A （0，2，0），C 1（0，0，2），E （1，1，0）……4分设G （0，2，h ），则),1,1(),2,2,0(1h AC -=-= ……6分 由,1AC ⊥得01=⋅AC ，即0×（－1）+（－2）×1+2h =0，解得h =1， 即点G 为AA 1的中点 ……8分（Ⅱ）)1,2,1(),0,0,1(--=∴F ……10分636222,cos =⨯=>=<GF AC ……12分 （乙）解（Ⅰ）连结A 1B 、A 1C ，由已知得A 1B//FG. ……2分⊥BC 平面A 1ACC 1，且AC 1 ⊥A 1C ，A 1B 在平面A 1ACC 1上的射影为A 1C. 由三垂线定理,得AC 1 ⊥A 1B ……4分1AC FG ⊥∴即AC 1与GF 所成的角为90°……6分（Ⅱ）,11FG B E EFG B V V --= FG S 1B ∆ =2236321=⨯⨯ ……8分 点E 到平面AA 1B 1B 的距离为2245sin =︒⋅AE ……10分 2122223311=⨯⨯=∴-EFG B V ……12分20．由于每人可进住任1房间，进住哪间房是等可能的，每人都有6种等可能的方法，根据乘法原理，4人进住6个房间共有64种方法 ……3分（Ⅰ）指定的4个房间各有1人，有44A 种方法，5416)(444==A A P (6)分（Ⅱ）从6间中选出4间有46C 种方法，4个人每人去1间有44A 种方法， ∴18566)(44644444==⋅=A A C B P ……9分 （Ⅲ）从4人中选2个人去指定的某个房间，共有24C 种选法，余下2人每人都可去5个房间中的任1间,因而有52种种方法。
高三数学-2018年江苏省南京市高三第一次调研测试数学试卷及答案 精品
2018年江苏省南京市高三第一次调研测试数 学 2018.03本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试用时120分钟． 注意事项：答题前，考生务必将学校、姓名、班级、学号写在答卷纸的密封线内．选择题答案按要求填涂在答卷纸上；非选择题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内，答案不写在试卷上．考试结束，将答卷纸收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k次的概率P n (k )＝C kn P k (1－P )n -k ．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．设集合A ，B 是全集U 的两个子集，则A ⊂≠B 是∁U B ⊂≠∁U A 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知过点A (－2，m )和B (m ，4)的直线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，则m 的值为 A ．－8 B ．8 C ．0 D ．2 3．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右）， 那么在这100株树木中，底部周长小于110cm 的株数是 A ．30 B ．60C ．70D ．804．若椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a ＞0)的一条准线经过抛物线y 2＝－8x 的焦点，则该椭圆的离心率为A ．12B ．13C ． 32D ． 225．函数y ＝log 2x －1x(x ＞1)的反函数是周长(cm)A ．y ＝11－2x (x ＞0)B ．y ＝11－2x (x ＜0)C ．y ＝11＋2x (x ＞0)D ．y ＝11＋2x (x ＜0)6．设α，β为两个不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α∥β，l ⊂α，则l ∥β； ②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β； ④若m 、n 是异面直线，m ∥α，n ∥α，且l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α. 其中真命题的序号是A ．①③④B ．①②③C ．①③D ．②④ 7．如果将函数y ＝sin2x ＋3cos2x 的图象按向量a 平移后所得的图象关于y 轴对称，那么向量a 可以是 A ．(π6，0) B ．(－π6，0) C ．(π12，0) D ．(－π12，0)8．若(1＋2x )n 展开式中x 3的系数等于x 2的系数的4倍，则n 等于A ．7B ．8C ．9D ．109．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β 均为锐角，则β 等于 A ．5π12 B ．π3 C ．π4 D ．π610．将红、黑、白三个棋子放入如图所示的小方格内，每格只能放一个棋子，且3个棋子既不同行也不同列，则不同的放法有 A ．576种 B ．288种 C ．144种 D ．96种第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．11．在等差数列{a n }中，已知a 3＝8，a 6＝14，则数列{a n }的前8项的和S 8＝_____． 12．若关于x 的方程x 2＋1＝ax 有正实数根，则实数a 的取值范围是 ． 13．已知M (2，0)，N (0，2)，点P 满足−→MP ＝12−→MN ，O 为坐标原点，则−→OM ⋅−→OP ＝_______．14．已知函数y ＝f (x )的图象如图，则不等式f (2x ＋1x －)＞0的解集为__________．15．已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点都在直径为3的球面上，AA 1=AB =2，点E 是DD 1的中点，则异面直线A 1E 与B 1D 所成角的大小为是__________． ▲ ▲ ▲ ▲ ▲16．在△ABC 中，已知tan C2＝sin(A ＋B )，给出以下四个论断：①tan A ⋅cot B ＝1 ②1＜sin A ＋sin B ≤ 2 ③sin 2A ＋cos 2B ＝1 ④sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2其中一定正确的是_______________（填上所有正确论断的序号）．三、解答题：本大题5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分，第一小问满分6分，第二小问满分6分) 在军训期间，某校学生进行实弹射击．（Ⅰ）通过抽签，将编号为1~6的六名同学排到1~6号靶位，试求恰有3名同学所抽靶位号与其编号相同的概率；（Ⅱ）此次军训实弹射击每人射击三次，总环数不少于28环的同学可获得射击标兵称号．已知某同学击中10环、9环、8环的概率分别为0.1、0.2、0.2，求该同学能获得射击标兵称号的概率．18．(本小题满分16分，第一小问满分5分，第二小问满分5分，第三小问满分6分) 如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA ∥PB ，PB ＝AB ＝2MA ． （Ⅰ）证明：AC ∥平面PMD ；（Ⅱ）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小；（Ⅲ）求平面PMD 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小．19．(本小题满分14分，第一小问满分6分，第二小问满分8分)▲ A B C D P O M设不等式组⎩⎨⎧x ＋y >0，x －y >0表示的平面区域为D ．区域D 内的动点P 到直线x ＋y ＝0和直线x －y ＝0的距离之积为1．记点P 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点F (2，0)的直线与曲线C 交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求线段AB 的长．20． (本小题满分14分，第一小问满分5分，第二小问满分9分) 已知函数f (x )＝x |x 2－a |，a ∈R ．（Ⅰ）当a ≤0时，求证函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数； （Ⅱ）当a ＝3时，求函数f (x )在区间[0，b ]上的最大值．21．(本小题满分14分，第一小问满分6分，第二小问满分8分) 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋1． （Ⅰ）证明数列{1a n－1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求证：∑ni=1a i (a i －1)＜3．2018年南京市高三数学第一次调研测试参考解答及评分标准2018.03说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．11．88 12．[2，＋∞）13．2 14．（－2，1）15．45°16．②④．三、解答题17．解：（Ⅰ）设恰有3名同学所抽靶位号与其号码相同的事件为A，则事件A所包含的基本事件的种数为2C36，而六名同学通过抽签排到1~6号靶位的排法种数为A66．…3分由于每位同学通过抽签排到某个靶位是等可能的，所以P(A)＝2C36A66＝1 18．答：恰有3名同学所抽靶位号与其号码相同的概率为1 18．……………………………6分（Ⅱ）设该同学恰好击中28环、29环、30环的事件分别为B，C，D，他能获得射击标兵称号的事件为E，则事件B，C，D彼此互斥。
2018届高三第一次(3月)质量检查数学理试题(小题解析) 含解析
厦门市2018届高中毕业班第一次质量检查数学（理科）试题 2018.03本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：1. 已知集合{}2560A x x x =--≤，11B x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭0，则AB 等于A. [16]-，B. (16]，C. [1+)-∞，D. [23]， 答案：B解析：集合{}16A x x =-≤≤，{}1B x x =>，所以，A B ＝(16]，2.已知复数iia z -+=1（其中i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则实数a 等于 A. 1- B. 0 C. 1D. 答案：C 解析：i i a z -+=1＝1(1)2a a i-++为纯虚数，所以，a ＝1 3. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若45A a b =︒==，，则B 等于A. 30︒B. 60︒C. 30︒或150︒D. 60︒或120︒ 答案：D解析：由正弦定理，=，解得：sin B =，因为b ＞a ，故B ＝60︒或120︒4. 若实数x y ，满足条件1230x x y y x≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则1y z x =+的最小值为A.13B. 12C. 34D. 1答案：B解析：不等式所表示的平面区域如下图所示，1yz x =+0(1)y x -=--，表示平面区域内一点P （x ，y ）与点Q （－1,0）之间连线的斜率，显然直线BQ 的斜率最小，B （1,1），此时min 101112BQ z k -===+ 5.已知平面α⊥平面β，=l αβ，直线m α⊂，直线n β⊂，且m n ⊥，有以下四个结论：① 若//n l ，则m β⊥ ② 若m β⊥，则//n l③ m β⊥和n α⊥同时成立 ④ m β⊥和n α⊥中至少有一个成立 其中正确的是A ．①③B ． ①④C ． ②③D ． ②④ 答案：B解析：如下图（1），m n ⊥，//n l ，则有m l ⊥，由面面垂直的性质，知m β⊥，故①正确；如图（2），可知②③不正确；由图（1）（2）（3）知④正确，故选B 。
高三数学-2018年高三年级质量检测2018答案001 精品
2018年高三年级质量检测10答案一、选择题：1.D 2.C 3.B 4.C 5.B 6.A7.C 8.B 9.D 10.C 11.A 12.C二、填空题：13．}21|{<<-x x ； 14．431--或； 15．52； 16．2411三、解答题：17．解：),2sin ,2(cos 2cos 2)2cos 2sin 2,2cos 2(2αααααα==).2cos ,2(sin 2sin 2)2cos 2sin 2,2sin 2(2ββββββ==b ………………4分.2sin 2||,2cos 2||),,2(2),2,0(2),2,(),,0(βαππβπαππβπα==∈∈∴∈∈故,2,2cos 2cos22cos 2cos 121αθααθ=∴===∴……………………7分 .22,2220,2sin 2sin 22sin 2cos 222πβθππββββθ-=∴<-<===∴而……10分因62,22221πβαπβαθθ-=-∴+-=-，从而.216sin 2sin -=-=-πβα……12分18．（1）设数列1，3，6，…为{A n }，A n =a n +b n ，其中{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，q ，d 分别为数列{a n }、数列{b n }的公比与公差，而b 1=0，且⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+.62,3,11211111d b q a d b q a b a解之，得d 1=1，q=2，a 1=1.因而a n =2n －1，b n =n －1.……………………6分 )()(2121n n n b b b a a a S +++++++=∴ .2)1(12)]1(10[)221(1-+-=-+++++++=-n n n n n ……8分 （2）.2112)1(lim 2lim 22=--=-∞→∞→nn n n S n nn n ………………………12分19．（1）长方体A —C 1中，A 1D 1⊥面ABB 1A 1，∴A 1D 1⊥AE. 又AB=1，BB 1=2，E为BB 1中点，∴△ABE 为等腰直角三角形，AE=2，同理A 1E=2， ∴∠AEA 1=90°，即AE ⊥A 1E ，∴AE ⊥平面A 1D 1E. ………………………………4分 （2）取AA 1中点O ，连OE ，则OE ⊥AA 1，OE ⊥A 1D 1， 于是OE ⊥平面ADD 1A 1.过O 作OF ⊥AD 1于F ，连EF ， 则AD 1⊥EF. ∴∠EFO 为二面角E —AD 1—A 1的平面角. △AOF 中，OF=OA ·sin ∠OAF=OA ·55111=AD D A .5tan ==∠∴OFOEEFO . 故二面角E —AD 1—A 1的正切值是5.……………8分（2）∵AB//C 1D 1，∴AB//平面C 1D 1E. ∴A 点到平面C 1D 1E 的距离等于B 点到平面C 1D 1E 的距离. ………10分而A 1—C 是长方体，则平面C 1D 1E ⊥平面BC 1. 延长C 1E 与CB 的延长线交于N ，则平面C 1D 1E 与平面BC 1的交线为C 1N. 过B 在平面C 1NC 内作BM ⊥C 1N ，垂直足为M ，则BM 的长就是B 点到平面C 1D 1E 的距离.依题意，得.22,1121221,2121=∴⨯⨯=⨯⨯⋅=⋅BM BM BN BE BM EN 即 故A 点到平面C 1D 1E 的距离为22……………………………………12分 20．（1）设切去正方形边长为x ，则焊接成的长方体的底面边长为4－2x ，高为x ，所以V 1=（4－2x ）2·x).483(4).20(),44(42123+-='∴<<+-=x x V x x x x令2,32,0211==='x x V 得（舍去）. 而)2)(32(121--='x x V ，又当,0,232,0,3211<'<<>'<V x V x 时当时 1,32V x 时当=∴取最大值27128.…6分（2）重新设计方案如下：如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一个长方形，长为3，宽为2，此长方体容积61232=⨯⨯=V ，显然V 2>V 1.故第二种方案符合要求.………………………………………………12分图① 图② 图③21．解（1）设︒=∠-=-=∴90,3,),,0(),0,(),,(PBA bk a b k b B a A y x C BP AB 且，.3,1)3(2a b ba b -=-=-⋅-∴即………2分,2|||||,|2||==AB CA AB AC 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=∴.21,31.2120,21y b x a b y x a 即 )0(42≠-=∴x x y ，所求轨迹为抛物线 （去掉原点）.………5分（2）设),(),,(2211y x N y x M ，由条件D （－1，0），2212212222222112)()(||,)1(||,)1(||y y x x MN y x DN y x MD -+-=++=++=∴ MDN ∠ 为锐角， 222||||||MN DN MD >+∴. 01,)()()1()1(21212122122122222121>++++∴-+->+++++∴y y x x x x y y x x y x y x又 ),1(),1(2211-=-=x k y x k y 代入整理得01)1())(1(2212212>+++++-k x x k x x k …………8分由.0)42()1(,422222=+--⎩⎨⎧-=-=k x k x k x k y x y 解得 1,42212221=-=+∴x x k k x x . ,02)1(42)1(2222>⋅++--∴k kk k .212>∴k ……………………10分 又.1,016164)42(22422<>+-=--=∆k k k k 即 综上有122221<<-<<-k k 或…12分 22．（1）m=－1…………3分 （2）由（1），).1,0(11log )(≠>-+=a a x x x f a任取11)(,11)(,11)(,),,1(2221112121-+=-+=-+=<+∞∈⋅x x x t x x x t x x x t x x x x 则令设，)1)(1()(21111)()(2112221121---=-+--+=-∴x x x x x x x x x t x t . ,,1,12121x x x x <>> ,0,01,011221>->->-∴x x x x1111),()(221121-+>-+>∴x x x x x t x t 即.……………………………………6分 ),1()(,11log 11log ,12211+∞-+>-+>∴在时当x f x x x x a a a上是减函数；……7分 当0<a <1时，),1()(+∞在x f 上是增函数.……………………8分 （2）当a >1时，要使)(x f 的值域是),1(+∞，则111l o g >-+x x a，011)1(,11>-++->-+∴x a x a a x x 即 而a >1，∴上式化为0111<--+-x a a x ①………………………………10分 又),121(log 11log )(-+=-+=x x x x f a a∴当x >1时，0)(>x f . 当0)(,1<-<x f x 时.因而，欲使)(x f 的值域是),1(+∞，必须1>x ，所以对不等式①，当且仅当111-+<<a a x 时成立.………………12分32,1,1,1121+==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+=-=∴a r a a a a r 得解之.…………………………14分。
2018-2019学年上海长宁区高三一模数学试卷（附答案解析）
长宁区2019届高三第一学期期末质量检测数学试卷2018.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B = 答案：}6,4,3,2,1{ 考点：集合的运算。
解析：A 或B 元素就是A U B 的元素，不重复，所以，A B = }6,4,3,2,1{2. 已知1312x -=，则x =答案：1考点：矩阵运算。
解析：由题得：2x+1＝3，所以，x ＝1。
3. 在61()x x+的二项展开式中，常数项为 （结果用数值表示） 答案：20考点：二项式定理。
解析：6161()r r r r T C x x-+=626r r C x -=，令62r -＝0，得：r ＝3，所以，常数项为：36C ＝204. 已知向量(3,)a m = ，(1,2)b =-，若向量a ∥b ，则实数m =答案：－6考点：两个平面向量平行的性质。
解析：因向量a ∥b，所以，－m ＝6，m ＝－65. 若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 答案：π33 考点：圆锥的侧面积和体积的计算。
解析：S 侧＝rl π＝2π， 又2r ππ=，所以，r ＝1，l ＝2，所以，圆锥的高h ＝22213-=， V ＝133π⨯⨯＝π33 6. 已知幂函数()a f x x =的图像过点2(2,)2，则()f x 的定义域为 答案：),0(+∞考点：幂函数的图象，函数的定义域，指数运算。
解析：依题意，得：122222α-==，所以，12α=-，121()f x xx-==，所以，定义域为：),0(+∞ 7. 已知(,)2a ππ∈，且tan 2a =-，则sin()a π-=答案：552 考点：同角三角函数，诱导公式。
解析：依题意，得：25sin 5a =，所以，sin()a π-=25sin 5a =。
8. 已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f xg x ≥的解集是答案：)2,1[考点：对数函数、一次函数的图象及其性质，分类讨论的数学思想。
长宁区一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
长宁区一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 变量x 、y满足条件，则（x ﹣2）2+y 2的最小值为（ ）A． B． C． D ．52． 某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m n 的值是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【命题意图】本题考查样本平均数、中位数、茎叶图等基础知识，意在考查识图能力和计算能力． 3． 方程x= 所表示的曲线是（ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分4．若双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=2相切，则此双曲线的离心率等于（ ）A．B．C．D ．25． 设直线x=t 与函数f （x ）=x 2，g （x ）=lnx 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN|达到最小时t 的值为（ ）A ．1B．C．D．6． 若a ＞b ，则下列不等式正确的是（ ）A．B ．a 3＞b 3C ．a 2＞b 2D ．a ＞|b|7． 如图，正六边形ABCDEF 中，AB=2，则（﹣）•（+）=（ ）A ．﹣6B ．﹣2 C ．2 D ．68． 在复平面内，复数（﹣4+5i ）i （i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________9． 已知函数f （x ）=sin 2（ωx ）﹣（ω＞0）的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（ ）A ．πB ．C ．D ．10．若函数21,1,()ln ,1,x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩则函数1()2y f x x =+的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．设向量，满足：||=3，||=4， =0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．y=|x|（x ∈R ）B ．y=（x ≠0）C ．y=x （x ∈R ）D ．y=﹣x 3（x ∈R ）二、填空题13．函数f （x ）=x 2e x 在区间（a ，a+1）上存在极值点，则实数a 的取值范围为 ．14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 、Q 分别是B 1C 1、CC 1的中点，则直线A 1P 与DQ 的位置关系是 ．（填“平行”、“相交”或“异面”）15．已知函数32()39f x x ax x =++-，3x =-是函数()f x 的一个极值点，则实数a = ． 16．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定(),A Bk k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给 出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ> ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞. 其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）17．已知=1﹣bi ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则|a ﹣bi|= ．18．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，6=-b a ，向量c a -，c b -的夹角为23π，23c a -=，则a 与c的夹角为__________，a c ⋅的最大值为 ． 【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力. 三、解答题19．已知集合P={x|2x 2﹣3x+1≤0}，Q={x|（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）≤0}．（1）若a=1，求P ∩Q ；（2）若x ∈P 是x ∈Q 的充分条件，求实数a 的取值范围．20．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。
长宁区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
长宁区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 在等比数列{a n }中，已知a 1=3，公比q=2，则a 2和a 8的等比中项为（ ）A ．48B ．±48C ．96D ．±962． 已知集合，则A0或B0或3 C1或D1或33． 空间直角坐标系中，点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C 的坐标为（ ）A ．（4，1，1）B ．（﹣1，0，5）C ．（4，﹣3，1）D ．（﹣5，3，4）4． 复数z=在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5． 如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=x的图象是（）A ．①B ．②C ．③D ．④6． 甲、乙两所学校高三年级分别有1 200人，1 000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：分组[70,80[80,90[90,100[100,110频数34815分组[110,120[120,130[130,140[140,150]频数15x32乙校：分组[70,80[80,90[90,100[100,110频数1289班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________分组[110,120[120,130[130,140[140,150]频数1010y3则x ，y 的值分别为 A 、12,7B 、 10,7C 、 10，8D 、 11,97． 已知定义在实数集R 上的函数f （x ）满足f （1）=3，且f （x ）的导数f ′（x ）在R 上恒有f ′（x ）＜2（x ∈R ），则不等式f （x ）＜2x+1的解集为（ ）A ．（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣1，1）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 8． 与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为（）A ．B ．C ．D ．9． 为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知三个社区分别有低收入家C B A ,,庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从社C 区抽取低收入家庭的户数为（ ）A ．48B ．36C ．24D ．18【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题．10．在数列{a n }中，a 1=3，a n+1a n +2=2a n+1+2a n （n ∈N +），则该数列的前2015项的和是（）A ．7049B ．7052C ．14098D ．1410111．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b=a ；当a ＜b 时，a ⊕b=b 2，则函数f （x ）=（1⊕x ）x ﹣（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（ ）A ．﹣1B ．1C ．6D ．1212．若命题p ：∃x 0∈R ，sinx 0=1；命题q ：∀x ∈R ，x 2+1＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．￢p 为假命题B ．￢q 为假命题C ．p ∨q 为假命题D ．p ∧q 真命题二、填空题13．调查某公司的四名推销员，其工作年限与年推销金额如表推销员编号1234工作年限x/（年）351014年推销金额y/（万元）23712由表中数据算出线性回归方程为=x+．若该公司第五名推销员的工作年限为8年，则估计他（她）的年推销金额为 万元．14．以抛物线y 2=20x 的焦点为圆心，且与双曲线：的两条渐近线都相切的圆的方程为 ． 15．已知向量满足，，，则与的夹角为.b a ,42=2||=4)3()(=-⋅+【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题.16．已知是圆为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF于P ，则动点P 的轨迹方程为 ． 17．设所有方程可以写成（x ﹣1）sin α﹣（y ﹣2）cos α=1（α∈[0，2π]）的直线l 组成的集合记为L ，则下列说法正确的是 ；①直线l 的倾斜角为α；②存在定点A ，使得对任意l ∈L 都有点A 到直线l 的距离为定值；③存在定圆C ，使得对任意l ∈L 都有直线l 与圆C 相交；④任意l 1∈L ，必存在唯一l 2∈L ，使得l 1∥l 2；⑤任意l 1∈L ，必存在唯一l 2∈L ，使得l 1⊥l 2．18．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B ，若|AF|=3|BF|，则l 的斜率是 ．三、解答题19．甲、乙两位选手为为备战我市即将举办的“推广妈祖文化•印象莆田”知识竞赛活动，进行针对性训练，近8次的训练成绩如下（单位：分）：甲 83 81 93 79 78 84 88 94乙 87 89 89 77 74 78 88 98（Ⅰ）依据上述数据，从平均水平和发挥的稳定程度考虑，你认为应派哪位选手参加？并说明理由；（Ⅱ）本次竞赛设置A 、B 两问题，规定：问题A 的得分不低于80分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值100元的奖品，问题B 的得分不低于90分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值300元的奖品．答题顺序可自由选择，但答题失败则终止答题．选手答题问题A ，B 成功与否互不影响，且以训练成绩作为样本，将样本频率视为概率，请问在（I ）中被选中的选手应选择何种答题顺序，使获得的奖品价值更高？并说明理由． 20．（本小题12分）在多面体中，四边形与是边长均为正方形，平面ABCDEFG ABCD CDEF a CF ⊥，平面，且．ABCD BG ⊥ABCD 24AB BG BH ==（1）求证：平面平面；AGH ⊥EFG （2）若，求三棱锥的体积．4a =G ADE -【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识，间在考查空间想象能力、逻辑推理能力，以及转化的思想、方程思想．21．（文科）（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．[)[)[)0,0.5,0.5,1,,4,4.5L（1）求直方图中的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．22．（本小题满分12分）已知点为圆上一个动点，点是在轴上的投影，为线段上一点，且与点关M 22:4C x y +=D M x P MD Q 于原点对称，满足．O QP OM OD =+u u u r u u u u r u u u r（1）求动点的轨迹的方程；P E （2）过点作的切线与圆相交于两点，当的面积最大时，求直线的方程．P E l ,A B QAB ∆l 23．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数（,是自然对数的底数）.（1）若函数在区间上是单调减函数,求实数的取值范围；（2）求函数的极值；（3）设函数图象上任意一点处的切线为，求在轴上的截距的取值范围．24．若{a n }的前n 项和为S n ，点（n ，S n ）均在函数y=的图象上．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设，T n 是数列{b n }的前n 项和，求：使得对所有n ∈N *都成立的最大正整数m ．长宁区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：∵在等比数列{a n}中，a1=3，公比q=2，∴a2=3×2=6，=384，∴a2和a8的等比中项为=±48．故选：B．2．【答案】B【解析】，，故或，解得或或，又根据集合元素的互异性，所以或。
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长宁区2018届高三第一次质量调研 数学试题 2017.12一. 填空题（本大题满分54分）本大题有14题, 考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果, 每个空格填对得4分, 否则一律得零分.1. 已知集合{1,2,3,4}A =, {2,4,5}B =, 则A B =I ______________.2. 不等式01xx £+的解集为___________________. 3. 已知4sin 5a =, 则cos 2p a 骣÷ç+=÷ç÷ç桫__________. 4. 131lim31n n n +-=+_____________.5. 已知球的表面积为16p , 则该球的体积为____________.6. 已知函数()1log a f x x =+, 1()y f x -=是函数()y f x =的反函数, 若1()y f x -=的图 像过点(2,4), 则a 的值为_____________.7. 若数列{}n a 为等比数列, 且53a =, 则2738a a a a -=__________.8. 在△ABC 中, 角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c , 若()()a b c a b c ac ++-+=, 则B =___________.9. 若12nx x骣÷ç+÷ç÷ç÷桫的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256, 则该展开式中常数项的 值为____________.10. 已知函数()f x 是定义在R 上且周期为4的偶函数. 当[2,4]x Î时, 43()log 2f x x 骣÷ç=-÷ç÷ç桫, 则12f 骣÷ç÷ç÷ç桫的值为__________. 11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S , 且11a =, 12n n n S a a +=（*n ÎN ）, 若121(1)n n n n n b a a ++=-,则数列{}n b 的前n 项和n T =_______________. 12. 若不等式222()x y cx y x -?对满足0x y >>的任意实数x , y 恒成立, 则实数c 的最大值为_____________.二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题, 每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑, 选对得5分, 否则一律得零分.13. 设角a 的始边为x 轴正半轴, 则“a 的终边在第一、二象限”是“sin 0a >”的…（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件14. 若直线1l 和2l 是异面直线, 1l 在平面a 内, 2l 在平面b 内, l 是平面a 与平面b 的交线, 则下列命题一定正确的是……………………………………………………………（ ）. A. l 与1l 、2l 都不相交B. l 与1l 、2l 都相交C. l 至多与1l 、2l 中的一条相交D. l 至少与1l 、2l 中的一条相交15. 对任意两个非零的平面向量a u r 和b u r , 定义||cos ||a ab q b ?u ru r u r u r , 其中q 为a u r 和b u r 的夹角. 若两个非零的平面向量a r 和b r 满足: ①||||a b ³r r ; ②a r 和b r 的夹角0,4p q 骣÷çÎ÷çç÷桫; ③a b Är r 和b a Är r 的值都在集合,2n x x n 禳镲镲=?睚镲镲铪N 中. 则a b Är r 的值为…………（ ）.A. 52B. 32C. 1D. 1216. 已知函数12,0,2()122,1,2x x f x x x ìïï＃ïï=íïï-<?ïïïî且1()()f x f x =, 1()(())n n f x f f x -=, 1,2,3,n =…. 则满足方程()n f x x =的根的个数为……………………………（ ）. A. 2n 个 B . 22n 个C. 2n 个D. 2(21)n -个三. 解答题（本大题满分76分）本大题共5题, 解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分, 第1小题满分6分, 第2小题满分8分） 如图, 设长方体1111ABCD A B C D -中, 3AB BC ==, 14AA =. （1）求四棱锥1A ABCD -的体积;（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18. （本题满分14分, 第1小题满分6分, 第2小题满分8分） 已知复数z满足z =2z 的虚部为2.（1）求复数z ;（2）设22,,z z z z -在复平面上的对应点分别为A , B , C , 求△ABC 的面积.19. （本题满分14分, 第1小题满分6分, 第2小题满分8分）一根长为L 的铁棒AB 欲通过如图所示的直角走廊, 已知走廊的宽2AC BD ==m . （1）设BOD q ?, 试将L 表示为q 的函数;（2）求L 的最小值, 并说明此最小值的实际意义.20. （本题满分16分, 第1小题满分4分, 第2小题满分5分, 第3小题满分7分） 已知函数()22x x f x -=+. （1）求证: 函数()f x 是偶函数;（2）设a ÎR , 求关于x 的函数22222()x x y af x -=+-在[0,)x ??时的值域()g a 的表达式;（3）若关于x 的不等式()21x mf x m -?-在(0,)x ??时恒成立, 求实数m 的取值范围.qO ACB DEq21. （本题满分18分, 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分8分） 已知数列{}n a 满足: 11a =,11n a +=*n ÎN .（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S , 且满足122211683n nnn S S n n a a ++=+--, 试确定1b 的值, 使得数列{}n b 为等差数列;（3）将数列21n a 禳镲镲睚镲镲铪中的部分项按原来顺序构成新数列{}n c , 且15c =, 求证: 存在无数个满足条件的无穷等比数列{}n c .参考答案第一部分、填选 第二部分、简答题11. 1)1(1+-+-n n或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-++-为偶数，为奇数n n nn n n ,1,1217. （本题满分14分, 第1小题满分6分, 第2小题满分8分） （1）因为⊥A A 1平面ABCD , 所以A A 1就是四棱锥ABCD A -1的高.9=⋅=BC AB S ABCD , ……………………………………………………………（3分）41=AA , 所以1249313111=⨯⨯=⋅=-A A S V ABCD ABCD A . …………………………（6分） 故四棱锥ABCD A -1的体积为12.（2）连结D A 1、BD , 因为11B A ∥DC , 且DC B A =11, 所以四边 形CD B A 11是平行四边形, 所以D A 1∥C B 1. 故D BA 1∠或其补角就是 异面直线B A 1与C B 1所成的角. …………………………………（2分）在△BD A 1中, 52121=+=A A AB B A, 52121=+=A A AD D A ,2322=+=AD AB BD . ……………………………………………（4分）所以, 25162cos 11221211=⋅-+=∠D A B A BD D A B A D BA . …………………………………（7分） 所以, 异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为2516arccos . ……………………………（8分）18. （本题满分14分, 第1小题满分6分, 第2小题满分8分）（1）设i y x z +=（R ∈y x ,）, 则⎩⎨⎧==+,22,222xy y x …………………………（3分）解得⎩⎨⎧==1,1y x 或⎩⎨⎧-=-=.1,1y x ………………………………………………………（5分）123456 }4,2{]0,1(-54-31 332π4 7 891011 1218 32π 1120 21 422-13 14 15 16 ADBC所以i 1+=z 或i 1--=z . ……………………………………………………………（6分） （2）由（1）知, i 1+=z 时, i 22=z , i 12-=-z z , …………………………（1分） 所以, )1,1(A , )2,0(B , )1,1(-C , ………………………………………（2分）1=∆ABC S . …………………………………………………………（4分）当i 1--=z 时, i 22=z , i 312--=-z z , ……………………………………（5分） 所以, )1,1(--A , )2,0(B , )3,1(--C , ……………………………………（6分）1=∆ABC S . ……………………………………………………………（8分）19. （本题满分14分, 第1小题满分6分, 第2小题满分8分） （1）θcos 2=AO , θsin 2=BO . ………………………………（２分） θθθθθθcos sin )cos (sin 2sin 2cos 2+=+=+=BO AO L , ⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ. …………（6分）（2）设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin πθθθx , ⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ, 则]2,1(∈x , ……（2分）所以, 21cos sin 2-=x θθ, 此时14)(2-=x xx L . ………………………………（4分）任取1x 、]2,1(2∈x , 且21x x <, )1)(1()1(41414)()(2221212122221121--+=---=-x x x x x x x x x x x L x L , 因为1x 、]2,1(2∈x , 且21x x <, 所以0)1)(1(2221>--x x , 0)1(42121>+x x x x , 故0)()(21>-x L x L , 即)(x L 在]2,1(∈x 时是减函数, 所以24min =L . ……（7分）L 最小值的实际意义是: 在拐弯时, 铁棒的长度不能超过24m , 否则, 铁棒无法通过. 也就说, 能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为24m . …………………………（8分）20. （本题满分16分, 第1小题满分4分, 第2小题满分5分, 第3小题满分7分） （1）函数)(x f 的定义域为R , 对任意R ∈x , )(22)(x f x f x x=+=--,所以, 函数)(x f 是偶函数. ………………………………………………（4分）（2）2)22(2)22()22(222222-+-+=+-+=----x x x x x x x xa a y , ………………（1分）令t xx=+-22, 因为0≥x , 所以12≥x , 故2≥t ,原函数可化为222--=at t y , ),2[∞+∈t ,2)(22222---=--=a a t at t y 图像的对称轴为直线a t =,当2≤a 时, 函数222--=at t y 在),2[∞+∈t 时是增函数,值域为),42[∞+-a ; …………………………………………………………（3分）当2>a 时, 函数222--=at t y 在],2[a t ∈时是减函数, 在),[∞+∈a t 时是增函数, 值域为),2[2∞+--a . ……………………………………………………………（5分）综上, ⎩⎨⎧>∞+--≤∞+-=.2,),2[,2,),42[)(2a a a a a g （3）由12)(-+≤-m x mf x , 得12]1)([-≤--xx f m , …………………………（1分）当0>x 时, 12>x , 所以222)(>+=-xx x f , 所以011)(>>-x f ,所以, xx xx x x x x f m 21221122121)(122-+-=-+-=--≤---恒成立. ……………………………（3分）令xt 21-=, 则0<t , 1111)1(21221222-+=+-=+-=-+-tt t t t t t t x x x ,由0<t , 得21-≤+t t , 所以311-≤-+t t , 011131<-+≤-tt . ………………（6分）所以, 31-≤m , 即m 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-31,. …………………………………（7分）21. （本题满分18分, 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分8分） （1）因为41121+=+nn a a , 所以411221+=+n n a a , 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧21n a 是首项为1, 公差为4的等差数列. ………………………………（2分）所以, 34)1(4112-=-+=n n a n , 又由题意, 0>n a , 所以341-=n a n （*N ∈n ）. …………（4分）（2）由381622121--+=++n n a Sa S n n n n , 得)14)(34()14()34(1+-++=-+n n S n S n n n ,故134141=--++n S n S n n , 即数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-34n S n 是首项为1b , 公差为1的等差数列, ……（2分） 所以,)1(341-+=-n b n S n, 令2=n , 3, 得5412+=b b , 13413+=b b . 若}{n b 为等差数列, 则3122b b b +=, 解得11=b . ………………………………（4分）当11=b 时, n n S n 342-=, 78-=n b n , }{n b 为等差数列.所以, 当11=b 时, 数列}{n b 为等差数列. …………………………………………（6分） （3）3412-=n a n , *N ∈n , 先证数列155-⨯=n n c 满足题意, 即证此数列中的任何一项都是数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧21n a 中的项. ……………………（2分）令34551-=⨯-m n , 则只需证*N ∈m 即可. …………………（3分）此时, 1)5551(1515143512+++++=+--=+=-n nn m , 故*N ∈m . …………（6分） 所以, 此数列}{n c 中的第n 项是数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧21n a 中的第1)5551(12+++++-n 项. …（7分）（也可以用数学归纳法证明35+n能被4整除, 证明如下）①当1=n 时, 835=+n, 能被4整除; ……………………………………（4分） ②假设当k n =（*N ∈k ）时结论成立, 即35+k能被4整除,那么当1+=k n 时, 12)35(5351-+=++kk ,因为35+k 与12都能被4整除, 所以351++k 也能被4整除,即1+=k n 时, 结论也成立. ……………………………………（6分）由①, ②知, 当*N ∈n 时, 35+n能被4整除. ……………………………………（7分）因此, 以5为首项, 5, 25, …, k5, …为公比的无穷等比数列均满足题意, 命题得证. …（8分） （注: 还可由3)14(35++=+nn, 用二项展开式证明能被4整除）。