人教A版高中数学选修2-1课件：2-4 第10课时 抛物线的简单几何性质
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人教A版高中数学选修2-1课件-抛物线的简单几何性质
决焦点弦、弦中点等问题．(难 推理、直观想象及数学运算的核
点)
心素养．
自主 预习 探新 知
1．抛物线的几何性质
标准方程
y2＝2px(p ＞0)
y2＝－2px(p x2＝2py(p＞ x2＝－
＞0)
0)
2py(p＞0)
图形
性质 焦点
p2，0
－p2，0
0，p2
0，－p2
准线
性 范围 质 对称轴
顶点 离心率
x＝－2p
x＝p2
y＝－2p
y＝p2
x≥0， y∈R
x≤0，y∈R _y≥__0_，__x_∈__R__ ___y≤__0，__x∈__R__
__x_轴____
__y_轴___
__(0_,0_) ____
e＝_1__
2．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B 两点，(1)设y1yA2(＝x1，－yp21)，，B(xx12x，2＝y2_)，_p4_2则__有；：
直线与抛物线的位置关系
【例3】 (1)已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则( ) A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为 k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共 点；没有公共点？
＝x，由 y2＝2px， 得A(2p,2p)，则B(2p，－2p)，所以|AB|＝4p，所 以S△ABO＝12·4p·2p＝4p2，选择B．]
(2)解：设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)， 交点A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)(y2<0)，
高二数学人教A版选修2-1课件：2.4.2 抛物线的简单几何性质
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
【例 3】已知抛物线 y2=6x 的弦 AB 经过点 P(4,2),且 OA⊥OB(O 为坐标原点),求弦 AB 的长.
思路分析:要求弦 AB 的长,只需求出 A,B 两点的坐标.为此,设出 A,B 两点的坐标,利用 OA⊥OB 以及 A,B,P 三点共线的条件求解.
������22 6
,������2
,
得������12 ������22
36
+y1y2=0.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
∵y1y2≠0,∴y1y2=-36.
①
∵点 A,B 与点 P(4,2)在一条直线上,
∴������6������121 --24
=
������1 -������2 ���6���12-���6���22
A
������ 2
,������
,B
������ 2
,-������
可知通径的长|AB|等于 2p.
目标导航
预习导引
123
抛物线 x=3y2 的通径长等于
.
提示:抛物线方程化为 y2=13x,2p=13,故其通径长为13.
目标导航
预习导引
123
3.直线与抛物线的位置关系 若直线平行或重合于对称轴,则直线与抛物线只有一个公共点;若直线不平行于对称轴,则直线与抛物线有 相切、相交、相离三种情况.
(8)S△AOB=2s������i2n������.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
【例2】 已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点. (1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值; (2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离. 思路分析:(1)由倾斜角可知斜率,从而得到l的方程,与抛物线方程联立,结合抛物线定义可求得|AB|的值;(2) 由|AB|=9求得弦AB中点的横坐标即可求得M到准线的距离.
高二数学(人教A版)选修2-1课件2-4-2 抛物线的简单几何性质
(1)设点 P 到直线 x＝－1 的距离为 d，A(－1,1)，求|PA| ＋d 的最小值； (2)若 B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
[解析]
(1)如图， 易知抛物线的焦点为 F(1,0)， 准线方程是 x＝－1， 由抛物线的定义知：|PF|＝d.于是，问题转化为：在曲线上求一 点 P，使|PA|＋|PF|最小．显然，连 AF 交抛物线于 P 点，故最 小值为 22＋12，即 5.
设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于点 A 到准线 x＝－1 的距离|AA′|， 即|AF|＝|AA′|＝x1＋1，同理|BF|＝x2＋1， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5.
命题方向
探索延拓创新 最值问题
[例 3] 线焦点．
设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，F 为抛物
∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. ∵x1>0，x2>0,2p>0，∴x1＝x2，
由此可得|y1|＝|y2|， 即线段 AB 关于 x 轴对称． 由于 AB 垂直于 x 轴，且∠AOx＝30° . y1 3 2 ∴ ＝tan30° ＝ ，而 y1 ＝2px1，∴ y1＝2 3p x1 3 于是|AB|＝2y1＝4 3p.
[点评]
(1)求边长并不困难，往往会直观上承认抛物线与
正三角形的对称轴是公共的而忽略了它的证明．但在选择题中 可直接利用． 3 y＝ x x＝0 x＝6p 3 (2)可由 ，解得 或 . y ＝ 0 2 y＝2 3p y ＝2px 得 A(6p,2 3p)， ∴|AB|＝2y＝4 3p.
等腰 Rt△ABO 内接于抛物线 y2＝2px(p>0)，O 为抛物线 的顶点，OA⊥OB，则△ABO 的面积是( A．8p2
人教a版高中数学选修2-1 2.4.2《抛物线的简单几何性质》课件(共29张ppt)
作业 P73 5 , 6
o F x 2 p ─过焦点垂直轴的弦长.
焦点 F (
p , 0) 和准线 l
通径.
:x
p
2
2
对称你性和认顶为点这关个于 x标轴对准称,方顶点程(0,对0)(应抛物的线和抛轴的物交点线)
还有范围什么几x≥何0性, y质 R呢(向?右上方和右下方无限延伸)
离心率 e
e 1 (即 MF d )
方程 图
p
p
由
x
y cot
p 2
消去
y
并整理得
x2
2 (2 pcot2
p)x
p2
0
y2 2 px ∴ AB = 2
p cot2
2
p
2p
sin2
y
5 4 3 2 1
-1
O1
2
3
4
5x
-1
-2
-3
-4
-5
练习 P72 4
x=3
例3 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点 A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴。
当1 k 0或0 k 1 时,直线与抛物线有两个公共点; 2
当k 1或k 1 时,直线与抛物线没有公共点。 2
练习:过点 M(0,1) 且和抛物线 C: y2 4x 仅有一个
公共点的直线的方程是__________________________.
联立
y y
kx 2 4x
1
y 1或 x 0或 y x1
证明：以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，建立直角
坐标系。设抛物线的方程为y2 则直线OA的方程为y 2 p x,
高中数学人教A版选修2-1课件：2.4.2 抛物线的简单几何性质
������ 2 4
������
������ 2
(������≠0).
2 , ������ ������2 2 2 2 消去 y,得 k x -p(k +2)x+ = 0,
������ sin������ 又 k=tan θ= , 代入|AB|=x1+x2+p,得 cos������ sin2 ������+2cos2 ������ 2������ |AB|= · p+p= 2 . sin2 ������ sin ������
2������2 +16
������4 +64
=2
16������2 1+ 4 ,③ ������ +64
题型一
题型二
题型三
题型四
当 a≠0 时,由③得,
������1 ������2 + =2 1+ ������2 ������1
16
������2 + 2 ������
16 ≤2 1+ = 2 2. 2 × 8 64
2
联立解得p=4,x0=2. 故抛物线的方程为 y2=8x.
题型一
பைடு நூலகம்
题型二
题型三
题型四
与抛物线有关的最值问题
【例 3】 已知点 F(0,1),直线 l:y=-1,P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q,且������������ ·������������ = ������������ ·������������. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知圆 M 过定点 D(0,2),圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A,B 两点,设|DA|=l1,|DB|=l2,求
������
������ 2
(������≠0).
2 , ������ ������2 2 2 2 消去 y,得 k x -p(k +2)x+ = 0,
������ sin������ 又 k=tan θ= , 代入|AB|=x1+x2+p,得 cos������ sin2 ������+2cos2 ������ 2������ |AB|= · p+p= 2 . sin2 ������ sin ������
2������2 +16
������4 +64
=2
16������2 1+ 4 ,③ ������ +64
题型一
题型二
题型三
题型四
当 a≠0 时,由③得,
������1 ������2 + =2 1+ ������2 ������1
16
������2 + 2 ������
16 ≤2 1+ = 2 2. 2 × 8 64
2
联立解得p=4,x0=2. 故抛物线的方程为 y2=8x.
题型一
பைடு நூலகம்
题型二
题型三
题型四
与抛物线有关的最值问题
【例 3】 已知点 F(0,1),直线 l:y=-1,P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q,且������������ ·������������ = ������������ ·������������. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知圆 M 过定点 D(0,2),圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A,B 两点,设|DA|=l1,|DB|=l2,求
高中数学(人教A版选修2-1)课件：2-4-2 抛物线的简单几何性质
栏目 导引
第一章
三角函数
[再练一题] 1.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0) 上，求这个正三角形的边长. 【导学号：37792086】
栏目 导引
第一章
三角函数
【解】 如图，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且它们的坐标分 别为(x1，>0)的焦点，斜率为2 2 的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9. (1)求该抛物线的方程； → ＝OA → ＋λOB → ，求λ的值. (2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC
栏目 导引
第一章
三角函数
【精彩点拨】 (1)设出直线方程，直线方程与抛物线方程联立，根据焦点 弦长公式求解. → ＝OA → ＋λOB → ，可用λ (2)根据(1)求出点A、B的坐标，设出点C的坐标，由OC 表示点C的坐标，最后根据点C在抛物线上求出λ值.
有且只有一个 无
Δ＝0 Δ<0
公共点
栏目 导引
第一章
三角函数
1.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1 ＋x2＝6，则|AB|＝( A.10 C.6 ) B.8 D.4
【解析】 |AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
【答案】 B
栏目 导引
第一章
三角函数
p 于是A －2，－ p 3p 3p ， B － ， 2 ， 2 2
1 p 从而△AOB的面积为 2 · 3 p· 2 ＝ 3 ，可得p＝2.因为抛物线开口向右，所以 其标准方程为y2＝4x.
栏目 导引
第一章
三角函数
人教版高中数学选修2-1(A版)课件：第二章 2.4 2.4.2 抛物线的简单几何性质 (共55张PPT)
命运。 时间告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。 一切伟大的行动和思想，都有一个微不足道的开始。 要生活得漂亮，需要付出极大忍耐。一不抱怨，二不解释。 没有哪一个聪明人会否定痛苦与忧愁的锻炼价值。 强烈的信仰会赢取坚强的人，然后又使他们更坚强。 人一旦觉悟，就会放弃追寻身外之物，而开始追寻内心世界的真正财富。 当你被压力压得透不过气来的时候，记住，碳正是因为压力而变成闪耀的钻石。 不要让追求之舟停泊在幻想的港湾，而应扬起奋斗的风帆，驶向现实生活的大海。 人一旦觉悟，就会放弃追寻身外之物，而开始追寻内心世界的真正财富。 语言是心灵和文化教养的反映。 在经过岁月的磨砺之后,每个人都可能拥有一对闪闪发光的翅膀,在自己的岁月里化茧成蝶。 别人对你好，你要争气，图日后有能力有所报答，别人对你不好，你更要争气望有朝一日，能够扬眉吐气。 让珊瑚远离惊涛骇浪的侵蚀吗？那无异是将它们的美丽葬送。 成长这一路就是懂得闭嘴努力，知道低调谦逊，学会强大自己，在每一个值得珍惜的日子里，拼命去成为自己想成为的人。 树立必信的信念，不要轻易说“我不行”。志在成功，你才能成功。 大器不必晚成，趁着年轻，努力让自己的才能创造最大的价值。 世界原本就不是属于你，因此你用不着抛弃，要抛弃的是一切的执着。万物皆为我所用，但非我所属。 诚无悔，恕无怨，和无仇，忍无辱。——宋《省心录》 通往光明的道路是平坦的，为了成功，为了奋斗的渴望，我们不得不努力。
高中数学新人教A版选修2-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质
②有一个交点,
> 0.
即 A=0(直线与抛物线的对称轴平行,即相交);
≠ 0,
(2)直线与抛物线相切⇔有一个公共点,即
= 0.
≠ 0,
(3)直线与抛物线相离⇔没有公共点,即
< 0.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l
③当Δ<0时,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.
综上所述,(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点;
(2)当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点;
(3)当k>1时,直线l与C没有公共点.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟方程思想解决直线与抛物线的位置关系
题,通过我们学过的数学知识进行求解.利用抛物线模型解决问题
时,关键是建立坐标系得到抛物线的标准方程,一般都是将抛物线
的顶点作为坐标原点,将对称轴作为x轴或y轴建立坐标系,其次要注
意抛物线上关键点的坐标,并善于运用抛物线的对称性进行求解.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3如图是抛物线形拱桥,当水面到直线l时,拱顶离水面2
图形
对称轴
x轴
焦点
F
顶点
原点(0,0)
准线
x=-2
离心率
e=1
p
2
x轴
,0
p
开口方向 向右
p
F - ,0
2
p
y轴
F 0,
p
y轴
> 0.
即 A=0(直线与抛物线的对称轴平行,即相交);
≠ 0,
(2)直线与抛物线相切⇔有一个公共点,即
= 0.
≠ 0,
(3)直线与抛物线相离⇔没有公共点,即
< 0.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
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变式训练2设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l
③当Δ<0时,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.
综上所述,(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点;
(2)当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点;
(3)当k>1时,直线l与C没有公共点.
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探究一
探究二
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反思感悟方程思想解决直线与抛物线的位置关系
题,通过我们学过的数学知识进行求解.利用抛物线模型解决问题
时,关键是建立坐标系得到抛物线的标准方程,一般都是将抛物线
的顶点作为坐标原点,将对称轴作为x轴或y轴建立坐标系,其次要注
意抛物线上关键点的坐标,并善于运用抛物线的对称性进行求解.
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探究一
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变式训练3如图是抛物线形拱桥,当水面到直线l时,拱顶离水面2
图形
对称轴
x轴
焦点
F
顶点
原点(0,0)
准线
x=-2
离心率
e=1
p
2
x轴
,0
p
开口方向 向右
p
F - ,0
2
p
y轴
F 0,
p
y轴
高中数学人教A版选修2-1配套课件：2.4.2抛物线的简单几何性质
第二章
2.4
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1
抛物线的焦点弦
思维导航
2．由抛物线的定义知抛物线上任一点 P到焦点F的距离与 到准线的距离相等，而准线方程已知，那么|PF|能否用点P的坐 标表示？
第二章
2.4
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1
新知导学
2．焦半径 抛物线上一点与焦点 F连接的线段叫做焦半径，设抛物线 上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为
y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py 方程 (p>0) (p>0) (p>0) p p p p 焦半 x0＋2 |AF|＝_____ y0＋2 |AF|＝_____ |AF|＝_____ 2－x0 |AF|＝_____ 2－y0 径|AF| 标准 y2＝2px (p>0)
于6的抛物线方程是________． [答案] y2＝24x或y2＝－24x
[解析] ∵顶点与焦点距离为 6， p 即2＝6，∴2p＝24， 又∵对称轴为 x 轴， ∴抛物线方程为 y2＝24x 或 y2＝－24x．
第二章
2.4
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1
第二章
2.4
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1
→ CA＝( a－x0，a－x2 ． 0)，∵∠ACB＝90° → → ∴CA· CB＝( a－x0，a－x2 (－ a－x0，a－x2 0)· 0)＝0．
2 2 2 ∴x2 － a ＋ ( a － x ) ＝ 0 ，则 x 0 0 0－a≠0． 2 2 ∴(a－x2 0)(a－x0－1)＝0，∴a－x0－1＝0． 2 ∴x2 ＝ a － 1 ，又 x 0 0≥0．∴a≥1．
人教A版高中数学选修2-1课件2.4.2抛物线的几何性质
准线方程
范围
x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR x轴 原点 即(0，0) e=1
对称轴
顶点 离心率
y轴
例1.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原 2 求它的标准方程 2 点,并且过点M(2,), . Ex1.顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过 点M(2,) ,求它的标准方程. 2的抛物线有几条 2
例2.已知抛物线y 2 4x的焦点为F, 斜率为1的直线过抛物线的焦点F且与 抛物线交于A，B两点，求AB的长度。
0 y2=8x ,作倾斜角为的直线, 45 Ex1.过抛物线的焦点 求被 抛物线截得的弦长。
Ex2.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于 点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的y 4 x ,直线 l 过定点 P (2,1) ,斜率为 k , k 为何值时 ,直线 l 与抛物线 y 2 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点?
2
EX1.过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 4 x 仅有一个公共点 y 1或 x 0或 y x 1 的直线的方程是__________________________.
Ex2.如图所示，过点P(2,0)且斜率为k的直线l交 抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点． (1)写出直线l的方程；
(2)求x1x2与y1y2的值；
(3)求证：OM⊥ON.
1.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(P>0),O为 抛物线的顶点,OA⊥OB,则ΔAOB的面积为 A.8p2B.4p2C.2p2D.p2
Ex2.P721、2
Ex3.已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且 垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标 原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标 准方程．
2018年秋高中数学人教A版选修2-1课件：2.4.2抛物线的简单几何性质 精品
︱AB︱=8
A
B
说明：(1)直线被曲线截得的弦 |AB|＝ 1＋k2 |x1－x2| (2)过抛物线的焦点的弦 |AB|= x1+x2+p
变式练习: 1.斜率为 1 的直线 l 被抛物线 C: y2 4x 截得的弦长
|AB|=8,则直线的 l 的方程是___y_＝__x_－__1_____.
2.直线 l 和抛物线 C: y2 4x 交于 A，B 两点，且线段 AB
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
二、讲授新课：
问题：你能说出直线与抛物线位置关系吗？ y
x F
问题：已知直线 l：y＝kx-1 和抛物线C：
y2＝4x，试判断当 k 为何值时，l与C有：
①一个公共点； k 0 或 k 1
x y m 0
【课堂小结】 判断直线与抛物线位置关系的操作程序： 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与抛物线的 对称轴平行
相交（一个交点）
计算判别式 >0 =0 <0 相交 相切 相离
思考：
已知抛物线 y2=4x ,动弦 AB 的长为8，求 AB 中点横 坐标的最小值.
2p越大，抛物线张口越大.
y
y2=2px
A p , p
2
2p
OF
x
B
p , p 2
6、 焦半径
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物
线的焦半径。
y
焦半径公式：
P
|PF|=x0+p/2
OF
高中数学选修2-1人教A版：2.3.2抛物线的简单几何性质课件
y p 2
3、椭圆和双曲线的性质：
方程
性质
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
图形
范围 对称性 顶点坐标
离心率
a x a,b y b
关于x, y轴及原点对称 A1(a,0), A2 (a,0) B1(0,b), B2 (0,b)
A1A2叫长轴, B1B2叫短轴
一、复习回顾：
1、抛物线的定义：
动点M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比
是常数e 1，则这个点的轨迹是抛物线.
定点F是抛物线的焦点， 定直线l叫做抛物线的准线，
y
l d .M
常数e＝1是抛物线的离心率 .
y2 2 px p 0是焦准距
K.
OF
x
－－抛物线标准方程
2、抛物线的标准方程：
高中数学选修2-1人教A版：2.3.2抛物 线的简 单几何 性质课 件
判断直线与双曲线位置关系的步骤：
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
高中数学选修2-1人教A版：2.3.2抛物 线的简 单几何 性质课 件
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
标准方程 y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
y
图形
F
o
x
. .
y F ox
焦点 准线
F ( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
x p 2
3、椭圆和双曲线的性质：
方程
性质
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
图形
范围 对称性 顶点坐标
离心率
a x a,b y b
关于x, y轴及原点对称 A1(a,0), A2 (a,0) B1(0,b), B2 (0,b)
A1A2叫长轴, B1B2叫短轴
一、复习回顾：
1、抛物线的定义：
动点M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比
是常数e 1，则这个点的轨迹是抛物线.
定点F是抛物线的焦点， 定直线l叫做抛物线的准线，
y
l d .M
常数e＝1是抛物线的离心率 .
y2 2 px p 0是焦准距
K.
OF
x
－－抛物线标准方程
2、抛物线的标准方程：
高中数学选修2-1人教A版：2.3.2抛物 线的简 单几何 性质课 件
判断直线与双曲线位置关系的步骤：
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
高中数学选修2-1人教A版：2.3.2抛物 线的简 单几何 性质课 件
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
标准方程 y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
y
图形
F
o
x
. .
y F ox
焦点 准线
F ( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
x p 2
高中数学人教A选修2-1 2-4-2 抛物线的简单几何性质 课件(17张)
2
( p 0)
(2 2) 2 p 2 p 2
因此所求抛物线标准方程为： y 2 4 x
变式：求顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴， 并且经过点(2, 2 2 )的抛物线的标准方程。
例 2： 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 4 x 的焦 点 F ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
焦点
准线
x
y
o
x
y
o
x
﹒
o
y
x
一、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、
有
范围
y
由抛物线y2 =2px（p>0）
2 px y 0 p0
2
o
F(
p ,0 ) 2
x
所以抛物线的范围为 x 0, y R
x0
2、
对称性
y
( x, y)
关于x轴
对称
( x, y )
高二数学选修2-1
抛物线的简单几何性质
问题1：椭圆、双曲线都有哪些性质？
椭圆：范围、对称性、顶点、离心率。 双曲线：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。
问题2：如何研究得到这些性质？
通过方程得到;通过图形得到。
问题3 抛物线的标准方程和图形各是什么？
P的几何意义是什么？
﹒ ﹒ ﹒
y
图 形
o
标准方程
AB = (x1 - x2 )2 +(y1 - y 2 )2 = 8
法二:活用定义,运用韦达定理,计算弦长. 解法2 F(1 , 0), l的方程为：y x 1
y x 1 2 x 6x 1 0 2 y 4x
( p 0)
(2 2) 2 p 2 p 2
因此所求抛物线标准方程为： y 2 4 x
变式：求顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴， 并且经过点(2, 2 2 )的抛物线的标准方程。
例 2： 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 4 x 的焦 点 F ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
焦点
准线
x
y
o
x
y
o
x
﹒
o
y
x
一、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、
有
范围
y
由抛物线y2 =2px（p>0）
2 px y 0 p0
2
o
F(
p ,0 ) 2
x
所以抛物线的范围为 x 0, y R
x0
2、
对称性
y
( x, y)
关于x轴
对称
( x, y )
高二数学选修2-1
抛物线的简单几何性质
问题1：椭圆、双曲线都有哪些性质？
椭圆：范围、对称性、顶点、离心率。 双曲线：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。
问题2：如何研究得到这些性质？
通过方程得到;通过图形得到。
问题3 抛物线的标准方程和图形各是什么？
P的几何意义是什么？
﹒ ﹒ ﹒
y
图 形
o
标准方程
AB = (x1 - x2 )2 +(y1 - y 2 )2 = 8
法二:活用定义,运用韦达定理,计算弦长. 解法2 F(1 , 0), l的方程为：y x 1
y x 1 2 x 6x 1 0 2 y 4x
人教A版高中数学选修2-1课件抛物线的简单几何性质
抛物线相交于A, B两点，求线段AB的长。
解：由题意可知，p 2, p 1,
准线l : x 1.
2
A’
y
A
设A(x1, y1), B(x2, y2), A, B到
准线l的距离分别为dA, dB.
OF
x
由抛物线的定义可知
B’ B
AF dA x1 1,
BF dB x2 1,
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过 点M (2,2 2),所以，可设它的标准方程为y2 2Px(P 0)
因为点M在抛物线上，所以 (2 2)2 2P 2，即p 2
因此，所求抛物线的标 准方程是 y2 4x
例4 斜率为1的直线l经过抛物线y2 4x的焦点F,且与
（5）一次项系数的绝对值越大，开口越大
课堂小结
（1）抛物线的简单几何性质 （2）抛物线与椭圆、双曲线几何性质的不同点 （3）应用性质求标准方程的方法和步骤
小结：
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法
2、抛物线的定义、标准方程和它 的焦点、准线、方程
3、注重数形结合的思想。
课堂作业：
所以AB AF BF x1 x2 2
例4 斜率为1的直线l经过抛物线y2 4x的焦点F,且与
抛物线相交于A, B两点，求线段AB的长。
由已知得抛物线的焦点为F (1,0),
所以直线AB的方程为y x 1 A’
代入方程 y2 4x,得(x 1)2 4x,
y
A
化简得x2 6x 1 0.
4) AB x1 x2 P
例 5、已知抛物线顶点在原点，以 x 轴为 对称轴且与圆 x2＋y2＝4 相交的公共弦长 为 2 3 ，求抛物线的方程。
人教A版高中数学选修2-1课件高二下学期抛物线几何性质1
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2.4.2抛物线的简单几何性质(1) y 2 2 px ( p 0)
1.范围 2.对称性 3.顶点 4.离心率
例 1. 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 4x 的焦点 F ， 且与抛物线相交于 A ， B 两点，求线段 AB 的长.
例 1. 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 4x 的焦点 F ， 且与抛物线相交于 A ， B 两点，求线段 AB 的长.
y A
K O F x
B
l
变式 1.如图， M 是抛物线 y 2 4x 上一点， F 是抛物线
的焦点，以 Fx 为始边、 FM 为终边的角 xFM 600 ， 求 FM .
变式 2.过抛物线 y 2 2 px 的焦点 F 任作一条直线 m ，
交抛物线于 A、B 两点，求证：以 AB 为直径的圆和抛物
例 2.直线 l 经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的焦点 F ，且 与抛物线相交于 A ， B 两点，求线段 AB 的长度的最小值
例 2.直线 l 经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的焦点 F ，且 与抛物线相交于 A ， B 两点，求线段 AB 的长度的最小值
5.通径
线的准线相切．
yA
K O F质(1)：自1和自2
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2.4.2抛物线的简单几何性质(1) y 2 2 px ( p 0)
1.范围 2.对称性 3.顶点 4.离心率
例 1. 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 4x 的焦点 F ， 且与抛物线相交于 A ， B 两点，求线段 AB 的长.
例 1. 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 4x 的焦点 F ， 且与抛物线相交于 A ， B 两点，求线段 AB 的长.
y A
K O F x
B
l
变式 1.如图， M 是抛物线 y 2 4x 上一点， F 是抛物线
的焦点，以 Fx 为始边、 FM 为终边的角 xFM 600 ， 求 FM .
变式 2.过抛物线 y 2 2 px 的焦点 F 任作一条直线 m ，
交抛物线于 A、B 两点，求证：以 AB 为直径的圆和抛物
例 2.直线 l 经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的焦点 F ，且 与抛物线相交于 A ， B 两点，求线段 AB 的长度的最小值
例 2.直线 l 经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的焦点 F ，且 与抛物线相交于 A ， B 两点，求线段 AB 的长度的最小值
5.通径
线的准线相切．
yA
K O F质(1)：自1和自2
人教A版高中数学选修2-1课件：2.3.2《抛物线的简单几何性质》(2)(新).pptx
设AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F
的一条弦。设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的
中点M(x0,y0),过A,B,M分别向抛物线
的准线作垂线，垂足为A1,B1,M1,则 y
A1
A(x1,y1)
M1
M
OF
B1
B(x2,y2)
(1)|AB|＝x1+x2+p A1
y2=2px(p>0)
练习1：
如图，定长为3的线段AB的两 端点在抛物线y2=x上移动，设 线段AB的中点为M，求点M到y 轴的最短距离。
练习2：正三角形的一个顶点位 于坐标原点，另外两个顶点在 抛物线y2=2px(p>0)上，求这个 三角形的边长。
变式：已知在抛物线y=x2上三个 点A、B、C组成一个等腰直角三 角形，且顶点B是直角顶点，
MA MB
AB过定点.
将“探究6”的MA MB “直线MA 与直线MB的倾斜角之差为900”变为 “直线MA与直线MB的倾斜角之和 为1800”，直线AB不过定点，但可得
探究8若M为抛物线 y2 2 px( p 上0) 一个定点，A、B是抛物线上的两个 动点，且直线MA与直线MB的倾斜 角互补，求证：直线AB的斜率为定 值。
PF x0 2p
P(x0，y0)在x2=2py上,
PF y0 2
P(x0，y0)在x2=-2py上,
p PF －y0
2
抛物线的几何性质：
1、抛物线的范围: y2=2px
y
X0
x
y取全体实数
2、抛物线的对称性 y2=2px
Y
关于x轴对称
没有对称中心，因 此X ，抛物线又叫做 无心圆锥曲线。 而椭圆和双曲线又 叫做有心圆锥曲线
人教A版高中数学选修2-1课件 抛物线的简单几何性质课件
人民教育出版社A版 高二 |选修2-1
3. 顶点： 抛物线只有一个顶： 抛物线的离心率是确定的，等于１
5、通径：抛物线的通径为2p，2p越大，抛物线的张口越大
人民教育出版社A版 高二 |选修2-1
方程
y2 = 2px （p＞0） y l O F x
y2 = -2px （p＞0） y F O l x y∈R
6.焦半径
连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.
y
焦半径公式： P
p PF x 0 . 2
O
F
x
人民教育出版社A版 高二 |选修2-1
三、课堂小结
1. 范围： 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也 可以无限延伸，但没有渐近线；
2. 对称性： 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心；
3.顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。在方程（1）中，当
y=0时，x=0，因此抛物线（1）的顶点就是坐标原点。
人民教育出版社A版 高二 |选修2-1
4.离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物 线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1。
人民教育出版社A版 高二 |选修2-1
x2 = 2py （p＞0） y O l
x∈R
y≥0
x2 = -2py （p＞0） F x y O
图
l
F y≤0 x
形
范围 对称性 顶点 离心率
x≥0
y∈R
x≤0
x∈R
关于x轴对称
关于x轴对称 （0,0） e=1
关于y轴对称
关于y轴对称
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四、课堂练习
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(指定小组回焦点为(2,0),得直线的方程为 y=x-2. 2 2 2 代入 y =8x,得(x-2) =8x,即 x -12x+4=0. 所以 x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16. 【答案】16
预学 4:常见的与抛物线有关的最值问题的题型及解题 方法 (1)题型:求抛物线上一点到定直线的最小距离;求抛物线上 一点到定点的最值问题. 2 2 (2)方法:以抛物线 y =2px(p>0)为例,设 P(x0,y0)是 y =2px 上 一点,则 x0 =
【答案】y2=4 2x
4.分别根据下列条件写出抛物线的标准方程. (1)焦点是 F(3,0);
1 (2)准线方程是 x=-4;
(3)焦点到准线的距离是 2.
【解析】(1)设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0), 2 又焦点 F(3,0),∴p=6,∴抛物线方程为 y =12x. 2 (2)由题意,设抛物线的标准方程为 y =2px(p>0), 又准线方程为 x=-4,∴p=2. ∴抛物线方程为 y =x. (3)∵焦点到准线的距离为 2,∴p=2, ∴抛物线的标准方程为 y2=±4x 或 x2=±4y.
3.已知抛物线的顶点在原点 O,焦点在 x 轴的正半轴上,过焦点且 垂直于 x 轴的弦 AB 与顶点 O 所成的△ABO 面积是 4,则抛物线的 标准方程为 .
【解析】设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0),则 S△ABO=2³2p
p ³2 =4,所以 p=2
1
2,故抛物线的标准方程为 y2=4 2x.
第 10 课时 抛物线的简单几何性质
重点:抛物线的性质及其应用. 难点:正确地根据方程讨论曲线的几何性质,并注意椭圆、双 曲线、抛物线的性质的联系与区别. 学法指导:通过研究抛物线的标准方程和图形掌握抛物线的 几何性质;在处理习题的过程中要有意识地总结抛物线的一些常 用性质,比如焦点弦的性质;对于抛物线的实际应用问题要注意 体会其处理方法(常常要进行建系),将题目给定的长度关系转化 为坐标关系,从而利用方程或性质来解决.
|-2+ | 7 2 所以最短距离为 d= 2 4 = 8 .
1
1
x2 y2 1.抛物线 y =-2px(p>0)的焦点恰好与椭圆 + =1 的一个焦点重 9 5
2
合,则 p=(
).
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】椭圆中 a2=9,b2=5,所以 c2=a2-b2=4,所以 c=2,所以 F1(-2,0),F2(2,0),抛物线 y2=-2px(p>0)的焦点 F 与 F1 重合,所以 -2 =-2,所以 p=4. 【答案】C
|x 0 -y 0 -2| |x 2 -x 0 +2| 1 1 2 7 则 d= 2 = 0 2 = 2|(x0-2) +4|. 1 7 2 当 x0=2时,dmin= 8 . 2
2
(法二)由
y=x ,
消去 y,得 x -x-m=0, x-y + m = 0,
1
2
令Δ=1+4m=0,得 m=-4,
所以切线方程为 x-y-4=0,
预学 1:在上述情境中,如果不计其他因素,那么水池的 半径至少要 2.25 米,才能使喷出的水流不致落到池外. 议一议:影响抛物线开口大小的量是什么?是如何影响 的?(抢答)
【解析】影响抛物线开口大小的量是参数 p.p 值越大,抛物 线的开口越开阔,反之,开口越扁狭.
预学 2:抛物线 y2=2px(p>0)的一些简单几何性质 (1)范围:因为 p>0,由方程 y =2px 可知,这条抛物线上任意一 点 M 的坐标(x,y)满足等式.所以这条抛物线在 y 轴的右侧;当 x 的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延 伸,它开口越开阔. 2 (2)对称性:以-y 代 y,方程 y =2px(p>0)不变,因此这条抛物 线是以 x 轴为对称轴的轴对称图形,抛物线的对称轴叫作抛物线 的轴.
p
2.过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两 点,若 x1+x2=10,则弦 AB 的长度为( ). A.16 B.14 C.12 D.10
2
【解析】设抛物线的焦点为 F,则 |AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=10+2=12. 【答案】C
y2 y2 0 0 , 即 P 点坐标为 ( ,y0 ),由两点间的距离公式、点 2p 2p
到直线的距离公式表示出所求距离,再用函数最值的方法求解. 议一议:求抛物线 y=x2 上的点 P(x0,y0)到直线 l:x-y-2=0 的 最短距离.
【解析】(法一)设抛物线 y=x 上一点 P(x0,y0)到直线 l:x-y-2=0 的距离为 d,
【解析】有一条对称轴,即 y 轴,不是中心对称图形.
预学 3:焦半径公式 已知 P(x1,y1)是抛物线 y2=2px(p>0)上的任意一点,焦点为 F,
p p 则|PF|的长等于点 P(x1,y1)到准线 l:x=- 的距离,即|PF|=x1+ . 2 2
2
想一想:过抛物线 y =8x 的焦点作倾斜角为 45°的直线,则 被抛物线截得的弦长为 .
2
(3)顶点:抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的顶点.在方程 y2=2px(p>0)中,当 y=0 时,x=0,因此这条抛物线的顶点就是坐标 原点. (4)离心率:抛物线上的点与焦点和准线的距离的比,叫作抛 物线的离心率,用 e 表示,按照抛物线的定义,e=1. (5)通径:过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的一条弦, 称为抛物线的通径,通径长为 2p,且通径是所有过焦点的弦中的 最短弦. 议一议:抛物线 x2=2py(p>0)有几条对称轴?是否是中心对 称图形?(指定小组回答,其他组补充)
某公园要建造一个如图 1 的圆形喷水池,在水池中央垂直于 水面安装一个花形柱子 OA,O 恰在水面中心,OA=0.81 米,安置在柱 子顶端 A 处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛 物线路径落下,且在过 OA 的任一平面上抛物线路径如图 2 所示. 为使水流形状较为漂亮,设计成水流在与 OA 距离为 1 米处达到距 水面最大高度 2.25 米.