高数(上)学位练习题

高数(上)学位练习题一．函数与极限1．设()f x 的定义域[0,1]D =，求下列函数的定义域：(1)2()f x ； (2)(sin )f x ； (3)()(0)f x a a +>；(4)()()(0)f x a f x a a ++->． 2．设()f x 的定义域[0,1]D =，求下列函数的定义域： (1)()x f e ；(2)(ln )f x ；(3)(arctan )f x ；(4)(cos )f x ．3．设1,||1,()0,||1,()1||1,xx f x x g x e x <⎧⎪===⎨⎪->⎩，求[()],[()]f g x g f x ．4．设20,0,0,0,()(),0,0,x x f x g x x x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩求[()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x 5．设1()1f x x=-，求[()],{[()]}f f x f f f x 6．设2(1)32f x x x +=-+，求()f x ．7．设2211()f x x xx +=+，求()f x ． 8．设1()0)f x x x=+>，求()f x ． 9．设1,||1,()0,||1,x f x x ≤⎧=⎨>⎩ 求[()]f f x ．10．设2()sin ,[()]1f x x f g x x ==-，求()g x 及其定义域． 11．当0x →时，22x x -与23x x -哪一个是高阶无穷小． 12．当1x →时，无穷小1x -和(1)31x -，(2)21(1)2x -是否同阶？是否等价？ 13．当1x →时，两无穷小11xx-+和1 14．当1x →时，无穷小1x -和(1)1(2)2(1是否同阶？是否等价？ 15．当0x →时，试确定下列各无穷小关于x 的阶数： (1)321000x x +；0)x >；0)x >；0)a >；(5)32sin x ；(7)ln(1)x +； (8)1cos x -；sin x x +．16．设0x →时，123(1)1~cos 1ax x +--，求常数a ． 17．设()232x x f x =+-，则当0x →时，则 (Ａ)()f x 是关于x 的等价无穷小；(Ｂ)()f x 是关于x 的同阶但不等价的无穷小； (Ｃ)()f x 是关于x 的高阶无穷小； (Ｄ)()f x 是关于x 的低阶无穷小；18．设数列的通项为1,n n x n=⎨⎪⎪⎩当为奇数,当n 为偶数, 则当n →∞时，n x 是(Ａ)无穷小量；(Ｂ)无穷大量；(Ｃ)有界变量；(Ｄ)无界变量． 19．当0x →时，变量211sin x x是 (Ａ)无穷小；(Ｂ)无穷大；(Ｃ)有界但不是无穷小；(Ｄ)无界但不是无穷大． 20．当0x →时，变量21sinx x是 (Ａ)无穷小；(Ｂ)无穷大；(Ｃ)有界但不是无穷小；(Ｄ)无界但不是无穷大． 21．利用等价无穷小求下列极限：(1)0tan 3lim 2x x x →；(2)()0sin()lim (,)sin n m x x n m x →为正整数；(3)30tan 3sin lim sin x xx →-；(4)0x →．22．求下列极限：(1)22468lim 54x x x x x →-+-+；(2)0lim x x∆→∆；(3)11lim(1n x x n x →--为正整数)； (4)32313lim 13x x x x x →∞+-++；(5)21lim 1x x →-；(6)1111242lim 1111393nn n→∞++++++++； (7)0)n x ≥；(8)22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪++++++⎝⎭ ． 23．求下列极限：(1)0sin lim x x x ω→；(2)0tan 3lim x x x →；(3)0sin 2lim sin 5x xx→；(4)0lim cot x x x →；(5)01cos 2lim sin x x x x →-；(6)lim 2sin ()2nn n x x →∞为不等于零的常数；(7)0tan 3lim sin 2x x x→； (8)0lim α+→．(9)0sin lim lnx xx→． 24．求下列极限：(1)10lim(1)x x x →-；(2)10lim(12)xx x →+；(3)21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭；(4)1lim 1()kx x k x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭为正整数；(5)31lim 1n n n +→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(6)22lim 1xx x →∞⎛⎫-⎪⎝⎭．(7)22cot 0lim(13tan )xx x →+；(8)123lim 6x x x x -→∞+⎛⎫ ⎪+⎝⎭．24．设0,,()0,,x x e f x x a x <⎧=⎨≥+⎩ 求a ，使()f x 在(,)-∞+∞上连续．25．设20,(cos ),()0,,x x x f x x a -⎧≠⎪=⎨=⎪⎩ 求a 使()f x 在0x =处连续．26．设21sin ,0,(),0,x x f x xa x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩ 求a 使()f x 在(,)-∞+∞上连续． 27．设1,(),1,x f x ax x <=⎪≥⎩求a 使()f x 在1x =处连续． 28．设sin[(1)],1,2(1)()1,1,a x x x f x x x -⎧>⎪-=⎨⎪+≤⎩求a 使()f x 在1x =处连续．29．设10,(1sin ),()0,2,x x ax f x x ⎧≠⎪+=⎨=⎪⎩ 求a 使()f x 在0x =处连续．30．设()(12)a xf x x =+，若补充定义3(0)f e =，求a 使()f x 在0x =处连续． 31．设11()(2)xf x x x -=-，为使()f x 在1x =处连续，须补充定义(1)f 是多少？31．设()f x =，判定()f x 的间断点1x =的类型．32．求函数2()3f x x =-的连续区间． 33．求函数21()32f x x x =-+的连续区间．34．求函数()f x =的连续区间．35．设1()arctanf x x =，判定()f x 的间断点0x =的类型． 36．设1()cos f x x x=，判定()f x 的间断点0x =的类型．37．下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续：(1)22132x y x x -=-+，1,2x x ==；(2)tan x y x =，,,0,1,2,2x k x k k πππ==+=±± ； (3)21cos,0y x x ==；(4)1,1,13,1,x x y x x x -≤⎧==⎨->⎩； (5)111,01xx e y x e -==+；(6)11,0,0,1ln(1),0,x e x y x x x x -⎧⎪>===⎨⎪+≤⎩． 答案：1．(1)[1,1]-；(2)[2,(21)]k k k ππ+∞=-∞+ ；(3)[,1]a a --；(4)若1,[,1]2a D a a ≤=-则；若12a >，则D =∅． 2．(1)(,0]-∞；(2)[1,]e ；(3)[0,tan1]；(4)[2,2]22k k k ππππ+∞=-∞-+ ．3．1,0,[()]0,0,1,0,x f g x x x -∞<<⎧⎪==⎨⎪->⎩ 1,||1,[()]||1,||1.e x g f xx e x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩1，， 4．[()]()f f x f x =，[()]0g g x =，[()]0f g x =，[()]()g f x g x =．5．1[()]1f f x x=-，{[()]}f f f x x =．6．2()56f x x x =-+．7．2()2f x x =- 8．9．()1f x =．10．2()arcsin(1)g x x =-，定义域为．11．23x x -是比22x x -高阶的无穷小．12．(1)同阶不等价；(2)等价． 13．是等价的．14．(1)同阶不等价；(2)等价．15．(1)二阶；(2)12阶； (3)一阶；(4)三阶；(5)三阶；(6)13阶；(7)一阶；(8)二阶；(9)一阶． 16．当0x →时，12231(1)1~3ax ax +-，21cos 1~2x x --，23a =-．17．(Ｂ)1~x e x -．18．Ｄ．19．Ｄ．20．Ａ．21．(1)32；(2)0(),1(),()m n m n m n <=∞>；(3)12；(3)3-．22．(1)23；(2)；（３）n ；(4)1-；(5)；(6)；43；（７）21,01,lim ,12,,2;2n n x a x x x x →∞⎧⎪≤<⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎩(8)12．23．(1)ω；(2)3；(3))25；(4)1；(5)2；(6)x ；(7)32；(8)，(9)0．24．(1)1e -；(2)2e ；(3)2e ；(4)ke -；(5)e ；(6)4e -，(7)3e ；(8)32e-．24．1a =．25．1a =．26．0a =．27．12a =．28．4a =．29．ln 2a =．30．32x =． 31．e ．32．无穷型属第二类．32．(,3)(3,4)-∞ ．33．(,1)(1,2)(2,)-∞+∞ 34．(,1)(1,)-∞-+∞ ．35．跳跃型属第一类．36．可去间断点属第一类．37．(1)1x =可去，补充(1)2f =-，2x =为无穷型属第二类；(2)0,2x x k ππ==+可去，补充(0)1,()02f f k ππ=+=，(0)x k k π=≠为无穷型属第二类，(3)为振荡型属第二类．(4) 跳跃型属第一类，(5)跳跃型属第一类，(6)0x =，跳跃型属第一类，1x =属第二类二．一元函数微分学1．设0()f x '存在，求A ：(1)000()()limx f x x f x A x∆→-∆-=∆；(2)0()limx f x A x∆→=，其中(0)0f =，且(0)f '存在．； (3)000()()limh f x h f x h A h→--+=． 2．设()f x 在x a =的某个邻域内有定义，则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是 (Ａ)1lim ()h h f a f a h →+∞⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦存在；(Ｂ)0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在； (Ｃ)0()()lim2h f a h f a h h →+-+存在； (Ｄ)0()()lim h f a f a h h→--存在．3．设0()1f x '=-，求000lim(2)()x xf x x f x x →---；4．设()f x 有连续的导函数，(0)0f =且(0)f b '=，若()sin ,0,(),0,f x a xx F x xA x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，求常数A ．5．设(),0,()(0),0,f x x F x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中()f x 在0x =处可导，(0)0f '≠，(0)0f =，则0x =是()F x 的(Ａ)连续点； (Ｂ)第一类间断点；(Ｃ)第二类间断点；(Ｄ)连续点或间断点不确定．6．设sin sin 2,0,()0,0,x xx f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩求(0)f '． 7．设()f x 在(,)-∞+∞上可导，且(1)1f '=，求0(12)(13)limx f x f x x→+--．8．设()f x 在(,)-∞+∞上可导，且(2)1f '=，数列n a 满足lim 1n n a →∞=，求(3)(1)lim1n n n nf a f a a →∞--+-．9．设()f x 在(,)-∞+∞上可导，且(0)1f '=，求0(sin )(sin 2)limx f x f x x→-．10．求下列函数的导数： (1)3cos x y e x =，(2)1sin 1cos ts t+=+，(3)2ln cos y x x x =，(4)4(25)y x =+，(5)cos(43)y x =-，(6)23x y e -=，(7)2ln(1)y x =+，(8)2tan y x =，(9)()arctan x y e =，(10)2(arcsin )y x =，(11)ln(y x =+，(12)ln(sec tan )y x x =+，(13)ln tan2x y =，(14)y =，(15)y = 11．设()f x 二阶可导，求下列函数的导数22d d ,d d y yx x(1)2()y f x =，(2)22(sin )(cos )y f x f x =+，(3)ln[()]y f x =， (4)1y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，(5)．(ln )y f x =，(6)．sin ()x f e ，(7)()xy f xe =． 12．求下列函数的n 阶导数：(1)111n n n n y x a x a x a --=++++ ，(2)2sin y x =，(3)ln y x x =，(4)x y xe =，(5)y (6)11x y x -=+，(7)ln y x =，(8)113y x=-，(9)(1)x x y e e =+． 13．求由下列方程所确定的隐函数的导数d d yx：(1)2290y xy -+=，(2)3330x y axy +-=，(3)x yxy e +=，(4)1yy xe =-，(5)221x y -=，(6)tan()y x y =+．14＊．求由下列方程所确定的隐函数的导数22d d yx：(1)2290y xy -+=，(2)1yy xe =-，(3)221x y -=，(4)tan()y x y =+．15＊求由下列参数方程所确定的函数的导数d d y x： (1)23,,x at y bt ⎧=⎨=⎩ (2)(1sin ),cos ,x y θθθθ=-⎧⎨=⎩ (3)sin ,cos ,t tx e t y e t ⎧=⎨=⎩(4)sin ,cos 2,x t y t =⎧⎨=⎩ (5)2223,13,1at x t at y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩(6)3,2,t t x e y e -⎧=⎨=⎩ (7)ln(1),arctan ,x t y t t =+⎧⎨=-⎩ 16．用洛必达法则求下列极限(注意用等价无穷小代换)00型：(1)0ln(1)lim x x x →+；(2)0lim sin x x x e e x -→-，(3)sin sin lim x a x a x a→--，(4)sin 3lim tan 5x x x π→，(5)22ln(sin )lim (2)x x x ππ→-，(6)1ln(1)lim cot x x arc x →+∞+，(7)20ln(1)lim sec cos x x x x →+-．∞∞型：(1)0ln(tan 7)lim ln(tan 2)x x x +→，(2)2tan lim tan 3x xxπ→，(3)0ln(sin 3)lim ln(sin )x x x +→，(4)0ln lim ln(sin )x x x +→． ∞-∞型：(1)2121lim 11x x x →⎡⎤-⎢⎥--⎣⎦，(2)11lim ln ln x x x x →⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，(3)11lim 1ln x x x x →⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦， 0⋅∞型：(1)0lim cot 2x x x →，(2)2120lim x x x e →，(3)1lim 1x x x e →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，(4)lim sin x kx x →∞．,1,0∞∞型： (1)tan 01lim xx x +→⎛⎫⎪⎝⎭，(2)22lim (tan )x x x ππ--→，(3)2lim 1xx a x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(4)210sin lim ϕϕϕϕ→⎛⎫ ⎪⎝⎭， (5)sin 0lim xx x +→，(6)22lim (cos )xx x ππ--→17．求下列函数的单调区间和极值(1)3226187y x x x =--+，(2)223441x x y x x ++=++，(3)(5)y x =-(4)y =(5)ln(1)y x x =-+，(6)22x y x e -=．18．求下列区间在所给区间上的最大值和最小值：(1)1(04)1x y x x -=≤≤+，(2)22tan 2tan (0)2y x x x π=-≤<，(3)221(01)1x x y x x x-+=≤≤+-． 19．求下列各函数的图形的拐点及向上凹和向下凹的区间：(1)234362y x x x x =+--，(2)2ln(1)y x =+，(3)211y x=+． 20．写出曲线1y x x=-与横轴交点处的切线方程． 21．求曲线ln y x x =的平行于直线2230x y -+=的法线方程．22．求曲线sin ,cos 2x t y t=⎧⎨=⎩对应于6t π=的点处的切线方程．23．求曲线ln 1xy y +=在点(1,1)处的法线方程．答案：1．(1)0()f x '-，(2)(0)f '，(2)02()f x '； 2．Ｄ； 3．1；4．a b +； 5．Ｂ； 6．2； 7．5； 8．2； 9．－1；10．(1)3(sin )x x cox x -；(2)21sin cos (1cos )t t t +++；(3)3sin(43)x -；(4)236x xe --； (5)22ln cos cos ln sin x x x x x x x x =-；(6)38(25)x +；(7)221x x +；(8)222sec ()x x ；(9)21x xe e +；；；(12)sec x ；(13)csc x ；；；11．(1)22()xf x '，2222()4()f x x f x '''+；(2)22sin 2(sin )(cos )x f x f x ''⎡⎤-⎣⎦， 222222cos 2(sin )(cos )sin 2(sin )(cos )x f x f x x f x f x ''''''⎡⎤⎡⎤-++⎣⎦⎣⎦；(3)()()f x f x '，22()()()()f x f x f x f x '''-；(4)21f x x ⎛⎫' ⎪⎝⎭-，4112f xf x x x ⎛⎫⎛⎫'''+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(5)(ln )f x x '，2(ln )(ln )f x f x x'''-；(6)sin sin ()cos x x f e e x '， sin 2sin 2sin sin 2sin sin ()cos ()cos ()sin x x x x x x f e e x f e e x f e e x ''''+-；(7)()(1)x x f xe e x '+，22()(1)()(2)x x x x f xe e x f xe e x '''+++；12(1)!n ，(2)12cos 22n n x π-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(3)()1(2)!1ln ,(1)n nn n y x y x--'=+=-；(4)x xne xe +；(5)1(1)(12)(1(1))(1)n mn m m n m x m -----+ ，(6)12!(1)(1)n n n x +-+；(7)1(1)!(1)n n n x --- (8)13!(13)n n n x +-，(9)(12)x n xe e +， 13．(1)y y x -；(2)22x ay ax y --；(3)(1)(1)x y x y y e y x e x x y ++--=--，(4)12y yy e e xe y-=-+-；(5)x y ；(6)222sec ()111sec ()x y x y y ⎛⎫+=-+ ⎪-+⎝⎭； 14＊．(1)3(1)()y x y x --；(2)23(3)(2)y y e y ---；(3)223y x y -；(4)252(1)y y+-． 15＊(1)32b t a ，(2)cos sin 1sin cos θθθθθθ---，(3)cos sin sin cos t t t t -+，(4)4sin t -，(5)221t t -，(6)223t e -，(7)221(1)t t t ++； 16．00型(1)1，(2)2，(3)cos a ，(4)35-，(5)18-，(6)1，(7)1； ∞∞型(1)1，(2)3，(3)1，(4)1； ∞-∞型(1)12-，(2)1-，(3)12；0⋅∞型(1)12，(2)∞，(3)1，(4)k ；00,1,0∞∞型(1)1，(2)1，(3)1，，(5)1，(6)1； 17．(1)定义域(,)-∞+∞，增区间(,1][3,)-∞-+∞ ，减区间[1,3]-，极大值(1)17y -=，极小值(3)47y =-；(2)定义域(,)-∞+∞，减区间(,2][0,)-∞-+∞ ，增区间[2,0]-，极小值(0)4y =，极大值8(2)3y -=；(3)定义域(,)-∞+∞，增区间1[1,][5,)2-+∞ ，减区间1(,1][,5]2-∞- ，极大值1()82y =，极小值(1)0,(5)y y -==；(4)定义域(,)-∞+∞，增区间[0,1][2,+∞ ，减区间(,0][1,2-∞ ，极大值(1)1y =，极小值(1)0,(2)0y y ==；(5)定义域(1,)-+∞，增区间[0,)+∞，减区间(1,0]-，极小值(0)0y =；(6)定义域(,)-∞+∞，增区间(,1][0,1]-∞- ，减区间[1,0][1,)-+∞ ，极大值1()y e±=，极小值(0)0y =．18．(1)最大值3(4)5y =，最小值(0)1y =-，(2)最大值()14y π=，没有最小值，(3)最大值(0)(1)1y y ==，最小值13()25y =．19．(1)向上凹区间(3,2)-，向下凹区间(,3)(2,)-∞-+∞ ，拐点(3,294),(2,114)-；(2)向上凹区间(1,1)-，向下凹区间(,1)(1,)-∞-+∞ ，拐点(1,ln 2),(1,ln 2)-；(3)向上凹区间(,)-∞+∞，向下凹区间(，拐点33()44； 20．2(1)y x =±； 21．230x y e ---=； 22．3202y x +-=； 23．210y x -+=；三．不定积分1．设()d arctan xf x x x C =+⎰，求1d ()x f x ⎰， 2．下列等式中，正确的是 (Ａ)()d ()f x x f x '=⎰；(Ｂ)d ()()f x f x =⎰；(Ｃ)d()d ()d f x x f x x=⎰；(Ｄ)d ()d ()f x x f x =⎰ 3．求下列不定积分：(1)2x ，(2)1d x x e x -⎛- ⎝⎰，(3)2352d 3x x xx ⋅-⋅⎰， (4)sec (sec tan )d x x x x -⎰，(5)2cosd 2x x ⎰，(6)d 1cos 2x x +⎰，(7)cos 2d cos sin x x x x -⎰，(8)22cos 2d cos sin xx x x⎰，(9)42232d 1x x x x ++⎰，(10)22212d (1)x x x x ++⎰． 4．求下列不定积分：(1)，(2)t ，(3)2d x xe x -⎰，(4)x ， (5)21d 25x x x x +++⎰，(6)2cos ()sin()d t t t ωϕωϕ++⎰，(7)x ，(8)102tan sec d x x x ⎰，(9)d ln ln ln x x x x ⎰，(10)2arccos xx ，(11)x ，(12)d sin cos x x x ⎰，(13)3cos d x x ⎰，(14)2sin d x x ⎰，(15)sin 2cos3d x x x ⎰，(16)cos cosd 2xx x ⎰，(17)sin 7sin 5d x x x ⎰， (18)3tan sec d x x x ⎰，(19)d x x xe e -+⎰，(20)x ，5．求下列不定积分：(1)2x ，(2)⎰，(3)(4)x ， (5)，(6)．6．求下列不定积分：(1)sin d x x x ⎰，(2)d xxe x -⎰，(3)cosd 2xx x ⎰，(4)2cos d x x x ⎰， (5)2tan d x x x ⎰(6)2d t te t -⎰，(7)sin cos d x x x x ⎰，(8)2(1)sin 2d x x x -⎰， (9)ln d x x ⎰， (10)arcsin d x x ⎰，(11)2ln d x x x ⎰，(12)2arctan d x x x ⎰,(13)ln(1)d x x x -⎰，(14)cos d xe x x -⎰，(15)cos ln d x x ⎰，(16)x ⎰，(17)x ⎰．7．求下列不定积分：(1)3d 3x x x +⎰，(2)223d 310x x x x ++-⎰，(3)21d 25x x x x +-+⎰，(4)2d (1)xx x +⎰，(5)2d 21xx -⎰；(6)d (1)(2)xx x +-⎰，(7)2d 2xx x x --⎰，(8)d (1)(2)(3)xx x x +++⎰，(9)，(10)，(11)31x -，(12)x ，(13)，(14)d 3cos xx +⎰，(15)d 2sin xx+⎰．答案：1．C ； 2．Ｄ；3．(1)35224235x x C ++；(2)xe C -；(3)2532ln 2ln 3xx C ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+-；(4)tan sec x x C -+；(5)sin 2x x C ++；(6)1tan 2x C +；(7)sin cos x x C -+；(8)(cot tan )x x C -++；(9)3arctan x x x C -++；(10)1arctan x C x-++．4．(1)231(23)2x C --+；(2)C -；(3)212x e C --+；(4)121(23)3x C --+；(5)21ln(25)2x x C +++；(6)31cos ()3t C ωϕω-++；C ；(8)111tan 11x C +；(9)ln |ln ln |x C +；(10)2arccos 102ln10xC -+；(11)2C +；(12) ln |tan |x C +；(13)3sin sin 3xx C -+；(14)1(2sin 2)4x x C -+；(15)1cos 2cos510x x C -+；(16)13sinsin 322x x C ++；(17)11sin 2sin12424x x C -+;(18)31sec sec 3x x C -+；(19)arctan xe C +；(20)12arcsin23x C ；5．(1)2arcsin 2a x C a ⎛-+ ⎝；(2)1arccos ||C x +；C +；33arccos||C x +；(5)arcsin x C +；(6)1(arcsin ln |2x x C +++．6．(1)cos sin x x x C -++；(2)(1)x e x C --++；(3)2sin4cos 22x xxarc C ++； (4)2sin 2cos 2sin x x x x x C +-+；(5)2tan ln |cos |2x x x x C -+++；(6)21122t e t C -⎛⎫-++ ⎪⎝⎭；(7)11cos 2sin 248x x x C -++； (8)213cos 2sin 2222x x x x C ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭； (9)(ln 1)x x C -+；(10)arcsin x x C ； (11)3311ln 39x x x C -+；(12)322111arctan ln(1)366x x x x C -+++；(13)22111(1)ln(1)242x x x x C ----+:(14)1(sin cos )2x e x x C --+；(15)(sin ln cos ln )2xx x C ++；(16)32)C +；(17)21)3C +． 7．(1)3213927ln |3|32x x x x C -+-++；(2)ln |2|ln |5|x x C -+++；(3)211ln(25)arctan 22x x x C --+++；(4)21ln ||ln(1)2x x C -++；C +；(6)12ln 31x C x -++； (7)21ln |2|ln |1|33x x C -+++；(8)132ln |2|ln |1|ln |3|22x x x C +-+-++；ln(1C +；3ln |1C ++，(11)211)2x x C -+；(12)1)x C -+；(13)1)C +；tanx C ；2tan 1xC ++．四．定积分1．说明下列积分哪一个较大？ (1)11230d ,d M x x N x x ==⎰⎰0， (2)22231d ,d M x x N x x ==⎰⎰1，(3)2221ln d ,(ln )d M x x N x x ==⎰⎰1，(4)4423ln d ,(ln )d M x x N x x ==⎰⎰3，(5)43422222sin cos d ,(sin cos )d ,1x M x x N x x x x ππππ--==++⎰⎰ 23422(sin cos )d P x x x x ππ-=-⎰．2..求函数23d 1z xy x=+⎰关于z 的二阶导数． 3．求d d xx x ⎰．4．设00sin d cos d t tx t ty t t⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰ 求d d y x ．5．求由2400sin cos d d 011yx tt t t t t+=++⎰⎰所确定的隐函数关于x 的导数y '． 6．当x 为何值时函数220()d 1x xxeI x x x -=+⎰有极值？7．求下列各导数：(1)32d d x x x ⎰，(2)cos 2sin d cos()d d x x t t x π⎰． 8．求下列极限：(1)2cos d limxx t t x→⎰，(2)()2220030d limd xt xx t e tte t→⎰⎰．(3)(arctan )d limxx t t ．9．计算下列定积分：(1)122d (115)x x -+⎰，(2)320sin cos d πϕϕϕ⎰，(3)30(1sin )d πθθ-⎰， (4)226cosd u u ππ⎰，(5)212d t te t -⎰，(6)21e ⎰；(7)4sin d x x x ππ-⎰，(8)325425sin 21x x x x -++⎰，(9)12x ⎰，(10)22cos cos 2d x x x ππ-⎰，(11)22x ππ-⎰，(12)x π⎰．(13)12123d 310x x x x ++-，(14)221d (1)xx x +⎰，(15)10d (1)(2)xx x +-⎰．10．求下列定积分：(1)x ，(2)y ，(3)1x ，(4)0(0)a x x a >⎰，(5)1(6)1-⎰，(7)41⎰，(8)1(9)0．11．求下列定积分： (1)1d tte t ⎰，(2)0sin d x x x π⎰，(3)ln 2d xxe x -⎰，(4)2sin d x x x π⎰，(5)1ln d ex x x ⎰，(6)120arcsin d x x ⎰，(7)10ln(1)d e x x -+⎰，(8)10arctan d x x x ⎰，(9)221log d x x x ⎰，(10)324d sin x x xππ⎰，(11)20cos d xe x x π⎰． 12．求函数20()(1)(2)d xI x x x x =--⎰的极值和拐点．13．求函数2031()d 1xx I x x x x +=-+⎰在区间[0,1]上的最大值和最小值．14．计算下列广义积分并判断其敛散性： (1)41d x x +∞⎰，(2)0d (0)axe x a +∞->⎰，(3)22d 1x x x +∞-∞+⎰，(4)2d 22x x x +∞-∞++⎰， (5)2d ln ex x x+∞⎰，(6)30d (1)x x x +∞+⎰，(7)2d x xe x +∞-⎰，(8)1⎰ (9)220d (1)x x -⎰，(10)10⎰(11)21⎰，(12)1e ⎰． 15．求由下列各组曲线所围成的图形的面积：(1)22,y x x y ==，(2)23y x =-，2y x =，(3)2,23y x y x ==+， (4)1,,2y y x x x===，(5)222,8y x x y =+=(两部分的面积)， (6)2,,2y x y x y x ===，(7),,1x x y e y e x -===，(8)ln ,ln ln y x y a b b a =>>轴及直线y=,y=(0)，(9)2y px=与其在点,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭处的法线．(10)224(1),4(1)y x y x =+=-． 16．求下列各曲线所围成的图形的面积：(1)2cos a ρθ=，(2)2(2cos )a ρθ=+，(3)33cos ,sin x a t y a t⎧=⎨=⎩ 17．求下列曲线所围成的图形的公共部分的面积：(1)3cos ,1cos ρθρθ==+，(2)2,cos2ρθρθ==．18．求位于曲线xy e =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积． 19．求抛物线4y ax =与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值．20．设曲线21:1(01)L y x x =-≤≤、x 轴和y 轴所围区域被曲线22:(0)L y ax a =>分成面积相等的两部分，求a 的值．21．设由曲线32,(0)y x y ax a ==>所围成的图形的面积等于由曲线32,y x y ax ==和直线()x b b a =>所围成的图形的面积，求,a b 之比．22．设1S 为由曲线221,(0)y x y ax a =-=>及y 轴所围成的图形在第一象限部分的面积，2S 为由曲线221,(0)y x y ax a =-=>及直线1x =所围成的图形的面积，求常数a ，使12S S S =+最小．23．设1S 为由曲线s i n (0),s i n (0)22y x x y t t ππ=≤≤=≤≤及y 轴所围成的图形的面积，2S 为由曲线s i n (0),s i n (0)22y x x y t t ππ=≤≤=≤≤及直线2x π=所围成的图形的面积，求常数t ，使12S S S =+最小．24．设1S 为由曲线sin ,0y x y ==及(0)2x t t π=≤≤轴所围成的图形的面积，2S 为由曲线sin ,1y x y ==及直线(0)2x t t π=≤≤所围成的图形的面积，求常数t ，使12S S S =+最小．25．求下列弧段的长度：(1)ln y x x =≤(2)),13y x x =-≤≤，(3)半立方抛物线232(1)3y x =-被抛物线23x y =截得的一段弧的长度，(4)星形线33c o s ,sin x a x y a x ⎧=⎨=⎩的全长，(5)摆线(s i n )(1c o s )x at t y a t =-⎧⎨=-⎩一拱的长度，(6),0a e θρθϕ=≤≤，(7)341,43ρθθ=≤≤，(8)心形线(1cos )a ρθ=+的全长，(9)421142x y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 12x ≤≤；(10)21123x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，23x ≤≤，(11)211ln 12103)t x t t t y t +⎧=+⎪-≤≤⎨⎪=-⎩．(12)21ln(1),02y x x =-≤≤，答案：1．(1)M N >；(2)M N <；(3)M N >；(4)M N <；(5)P M N <<．2．6622(15)(1)z z -+． 3． 4．tan t ．5．24cos (1)sin (1)x y x x +-+． 6．当0x =． 7．2；(2)22sin cos(cos )cos cos(sin )x x x x ππ--．8．(1)1；(2)24π；(3)0．9．(1)51512；(2)14；(3)43π-；(4)68π-；(5)121e --；(6)1)(7)0；(8)0；(9)3324π；(10)23；(11)43；(12)(13)145ln2136π+；(14)ln(15)2ln 23-．10．(1)2π；2)π+；(3)14π-；(4)416a π；；(6)16；(7)222ln 3+；(8)12ln 2-；(9)1)a ． 11．(1)1；(2)π；(3)1(1ln 2)2-；(4)24π-；(5)21(1)4e +；(6)14-；(7)1；(8)1(2)4π-；(9)324ln 2-；13ln 22+；(11)21(1)2e π-．12．极值17(1)12y =-，拐点42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，4112,381⎛⎫- ⎪⎝⎭． 13．最小值(0)0I =，最大值(1)I =14．(1)13；(2)1a ；(3)发散；(4)π；(5)1；(6)12；(7)12；(8)1；(9)发散；(10)π；(11)83；(12)2π． 15．(1)13；(2)323；(3)323；(4)3ln 22-；(5)442,633ππ+-；(6)76；(7)12e e +-；(8)b a -；(9)2163p ；(10)163． 16．(1)2a π；(2)2180a π；(3)238a π．17．(1)54π；(2)6π+ 18．2e ． 19．283a ．20．3a =．21．43b a =．22．1a =．23．4t π=． 24．6t π=．25．(1)131ln 22+；(2)43；(3)3285192⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(4)6a ；(5)8a ；1)a e ϕ-；(7)35ln 212+；(8)8a ；(9)3316；(10)3912；(11)13ln 232+；(11)1ln 32-．五．微分方程1．求下列微分方程的通解：(1)ln 0xy y y '-=，'=(3)22tan d sec tan d 0sex x y x y xe y +=(4)()d ()d 0x y x x y y e e x e e y ++-++=． 2．求下列微分方程的特解： (1)2sin ln ,|x y x y y y e π='==，(2)0cos d (1)sin d 0,|4xx y x e y y y π-=++==．3．求下列微分方程的通解：(1)sin cos x y y x e -'+=，(2)tan sin 2y y x x '+=，(3)2(1)2cos 0x y xy x '-+-=， (4)2d (6)2d yy x y x-=． 4．求下列微分方程的特解：(1)d sin ,|1d x y y x y x x x π=+==，(2)213d 231,|0d x y x y y x x=-+==． 5．求下列伯努利方程的通解： (1)4d 11(12)d 33y y x y x +=-，(2)3d [(1ln )]d 0x y y xy x x -++=． 6．求解下列微分方程：(1)sin y x x ''=+，求通解，(2)0xy y '''+=，求通解，(3)2()1y y '''+=，00|0,|0x x y y =='==，求特解．7．求下列微分方程的通解：(1)20y y y '''+-=，(2)40y y '''-=，(3)6130y y y '''++=，(4)22d d 420250d d x xx t t-+=． 8．求下列微分方程的特解：(1)00440,|2,|0x x y y y y y ==''''++===，(2)004290,|0,|15x x y y y y y ==''''++===． 9．求下列微分方程的通解：(1)22xy y y e '''+-=，(2)5432y y y x '''++=-，(3)4cos y y x x '''+=． 10．求下列微分方程的特解：(1)00325,|1,|2x x y y y y y ==''''-+===， (3)200633109,|,|77xx x y y y e y y ==''''-+===．答案：1．(1)Cxy e =；(2)arcsin arcsin y x C =+；(3)tan tan x y C ⋅=；(4)(1)(1)xye e C +-=．2．(1)ln tan2xy =；(2)(1)sec x e y +=3．(1)sin ()x y x C e -=+；(2)2cos 2cos y C x x =-；(3)2sin 1x C x +-；(4)3212x Cy y =+． 4．(1)1cos xy xπ--=；(2)23312xy x x e --=-．5．(1)3112xCe x y =--；(2)23222ln 33x x x C y ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．6．(1)3121sin 6y x x C x C =-++，(2)12ln ||y C x C =+，(3)ln()ln 2x x y e e -=+-． 7．(1)212x x y C e C e -=+，(2)412x y C C e =+；(3)312(cos sin )x y e C x C x -=+； (4)5212()t x C C t e =+． 8．(1)2(2)x y x e-=+；(2)23sin5x y e x -=．9．(1)212x x x y C e C e e -=++；(2)41211182xx y C e C e x --=++-； (3)1212cos 2sin 2cos sin 39y C x C x x x x =+++． 10．(1)275522x x y e e =-++；(2)9211()27x xx y e e e =+-．。