数列培优1

数列专题1（培优）
递推公式求通项的再补充
类型1、 r n n pa a =+1)0,0(>>n a p
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。

例：已知数列｛n a ｝中，2111,1n n a a
a a ⋅==+)0(>a ，求数列{}.的通项公式n a
变式:（2005，江西,理,21．本小题满分12分）
已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(2
1,110N n a a a a n n n ∈-==+ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+ （2）求数列}{n a 的通项公式a n .
类型2、 q pn a a n n +=++1或n n n pq a a =⋅+1
解法：这种类型一般可转化为{}12-n a 与{}n a 2是等差或等比数列求解。

例：（I ）在数列}{n a 中，n n a n a a -==+6,111，求n a （II ）在数列}{n a 中，n n n a a a 3,111==+，求n a
类型3 周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

例：若数列{}n a 满足⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<≤-≤≤=+)121(,12)210(,21n n n n n a a a a a ，若761=a ，则20a 的值为___________。

变式:（2005，湖南,文，5）
已知数列}{n a 满足)(133
,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a = （ ）
A ．0
B ．3-
C ．3
D ．23 类型4 h
ra q pa a n n n ++=+1 解法：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h ra q pa a n n n ++=
+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h a r qr ph -
≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h rx q px x ++=,当特征方程有且仅有一根0x 时,则01n a x ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭
是等差数列;当特征方程有两个相异的根1x 、
2x 时，则12n n a x a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭
是等比数列。

例：已知数列}{n a 满足性质：对于,324,N 1++=
∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.
例：已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.3
25131+-=+n n n a a a （1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a （4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？
变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分12分）
数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(211
≥-=n a b n n
（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值； （Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S
数列综合问题
1、已知数列{}n a 前n 项和().,12
3*N n a S n n ∈-= (){}()的取值范围。

成立，求实数有若对于任意的的通项公式；求k n a k N n a n n 14,21*+≥⋅∈
2、（2008年湖南卷理）数列{}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22
n n n n n a a a a a n ππ+===++=满足 (Ⅰ)求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设21122,.n n n n n a b S b b b a -==+++证明：当162.n n S n
≥-<时，
3、（2006年山东卷理）已知12a =，点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上，其中1,2,3,n
=
（I ）证明：数列{lg(1)}n a +是等比数列； （II ）设12(1)(1)
(1)n n T a a a =+++，求n T 及数列{}n a 的通项； （III ）记112n n n b a a =++，求数列{}n b 的前n 项n S ，并证明：2131
n n S T +=-.。