索洛模型详解S讲义教材

2020/10/1
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二. 资本积累和稳态
❖ 3.投资函数
前面的分析得到i = s y 和 y=f(k)，整理得：
i = s f(k)
从式中可以看出：
(1) 人均资本k 越高，产出f（k）和人均投资i就越大。 (2) 投资也取决于储蓄率，储蓄率越高，则在资本存量
和产出水平一定的条件下，投资水平越高，但是同时 消费越少。
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二、 技术进步的影响
❖ 前面的研究一直基于一个假定，即技术水平不变，在此条 件下考虑资本、劳动的变化对经济增长的影响。 ❖ 事实上，现实中技术的发展日新月异，对劳动生产率的提 高起到了积极的推动作用。所以，我们有必要把技术进步引 入索洛模型。
❖ 基本假设： （1）索洛模型成立； （2）人口增长率为n： （3）技术进步使劳动效率增长率为g。
= s f（k）-（δ+n）k
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3. 人口增长后稳态的变化
❖ 现在，考虑了人口的变动，稳态点就会有变化。 ❖ 稳态时， s f（k）=（δ+n）k ❖ （δ+n）k称为“平衡投资”，即存在折旧和人
口增长的情况下，新增投资必须至少等于它， 才能使资本存量保持不变，达到稳态。
❖ 人口增长的引入改变了索洛模型。从三个角度：
(1) 它能在一定程度上解释持续的经济增长。因为人口的增 长，尽管人均资本和产出不变，导致总资本和总产出也以 速度n增长。
(2) 人口增长率高的国家，稳态人均资本低，产出低，所以 生活水平也低。(比较)
(3) 人口增长对黄金率稳态的影响：引进人口增长率会改变 资本积累黄金律水平。
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第三节 人口增长与技术进步
❖ 前面的分析表明，高储蓄能提高一个经济的稳 态资本存量和产出。在原来资本水平较低时，有 更多的发展空间，促进经济增长。但资本积累本 身不能带来持续的经济增长。
❖ 要解释一个经济的持续增长就必须扩展基本的 索洛模型，即把原来没有考虑的两个因素：人口 增长和技术进步引入模型。因为现实当中，一个 国家的人口或技术总是在不断变化的。
（3） 稳定状态是一个经济的长期均衡，具 有一种真正的稳定性。不管经济的初始水平是 什么，最后总是会达到稳定状态的资本水平。
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三、储蓄率变化对稳定状态影响
y
δk
s2f(k)
i*=δk*1
s1f(k)
0
k1*
k2*
k
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❖ 求： （1）黄金律稳态时的人均资本存量k*,人均 产出y*；
❖ （2）储蓄率达到什么水平可以使资本存量达到黄 金律稳态。
❖ 解答:
(1)y=k 0.5 MPK=dy/dk=1/2K -0.5 . 求出k=25,y=5
(2) s f（k）=δk, 5s=0.25, s=0.5
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第二节 资本积累的黄金律
尽管高的储蓄率可带来高的经济增长速度，但高的资本数 量和高产出，其实并不是一个经济所追求的目标。人们的目 标是长期中的消费福利。
高储蓄是以低消费为代价的。因此，选择最佳稳态，应该 以高消费作为选定稳态的标准。
一. 假设条件
1. 索洛模型成立
2. 储蓄率s可以调整；
3. 目标：未来消费水平最高。
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2.资本积累的黄金律水平
y δk
f(k) Cg*
0
kg*
k
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通过储蓄率选择黄金律稳态
y δk
f(k) Cg*
sgf(k)
0
kg*
k
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练习题
❖ 某国生产函数Y=K 0.5 L 0.5 , δ=10%。
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例子
❖ 如：技术进步引起劳动生产率提高两倍， 原来 投入10个单位的劳动可以生产100个单位的产量， 技术进步后可以生产200个单位，也就相当于在 原来的技术水平下投入10*2=20个单位的劳动力。
Δk = i －δk= s f（k）－δk 其中，Δk是这一年中新增的资本量，反映资本存量变化。
当s f（k）>δk， 则Δk>0，资本存量增加； 当s f（k）<δk， 则Δk<0，资本存量减少; 当 s f（k）=δk， 则Δk=0，资本存量不变。
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稳态时: i = sf(k) =（δ+n）k* c=y-i=f（k*）- （δ+n）k*
消费水平的最大化表现为一阶导数为0。MPk= δ+n
2020/10/1即在黄金律稳态：资中本国矿的业边大学际管理产学院量徐=建博折旧率+人口增长率 29
人口增长率对稳态的影响
y
(δ+n2)k
(δ+n1)k sf(k)
（2） 日本和德国是两个成功的经济增长事例。二战期间 摧毁了两国的大量资本存量。但是，战后的几十年中，这两 个国家经历了最迅速的增长。在1948年到1972年间，日本 每年人均产出为8.2%，德国的每年人均产出增长率为5.7%。 相比之下，美国每年的人均产出增长率仅为2.2%。
为什么战后的日本、德国的经济会得到高速的增长？
0
k*2
k*1
k
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计算
❖ 设某国的总量生产函数：Y=K0.5L0.5，资 本存量折旧率为5%，人口增长率为1%， 储蓄率为10%。
❖ 求：（1）均衡时本国的人均资本存量、 人均产出及人均消费水平。
❖ （2）黄金律稳态时的人均资本量和人
均产出以及储蓄率水平。
这样，如果年初资本数为k, 当年折旧掉的资本
数量就是δk，与k成正比。
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折旧
δk δk
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k
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二. 资本积累和稳态
❖ 5. 资本积累和稳态
综合以上，一个经济中投资和折旧对资本存量的影 响能够用下列方程反映：
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产出、消费和投资的关系
y
c
y
i1
i
0
f(k) s1f(k) sf(k)
k
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二. 资本积累和稳态
4. 折旧
(1) 含义: 折旧是资本随着使用和时间的变化而受到的 损耗和减少。
为简单起见，假设一个经济中所有的资本都 以一个固定的比例δ折损减少。（δ称平均折 旧率）
投资、折旧和稳态
δk* y
f(k)
i*=δk*
sf(k)
0
k1 k* k2
k
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说明
（1） 资本存量的不断增加反映了经济的增
长，因为人均产出与人均资本成正比 y=f(k)
（2） 当Δk=0时，资本存量会保持稳定不变 的水平。我们称这个资本存量水平为资本存量 水平的“稳定状态”，简称“稳态”，记为k*。
2. 数学表达 我们知道： c = y – i 假定稳定状态的人均资本 为k*，则有：
i* =sf（k*）=δk* 由c = y－i 可得,
c*=f（k*）－δk* 。
❖ 表明：稳定状态资本水平 的提高，对稳定状态的人 均消费有对立的影响，它 通过使产出增加提高消费， 但又因为需要有更多的产 出去替代折旧掉的资本而 使消费减少
❖ 索洛模型基本思路：先让劳动力和技术保持不变， 然后逐步放宽假设（劳动力的变化和技术进步）研 究经济增长。
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经济增长理论——索罗模型
第一节 资本积累
一. 基本假设条件 （1）劳动力和技术水平保持不变。
（2）两部门经济（居民和生产者）： Y=C+I 。 （3）生产函数规模不变
❖ 说明：经济处于稳态时， “平衡投资”投资一部分
用于对现有资本折旧的弥补δk ，一部分给新劳动力提
供稳态水平的资本nk 。
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有人口增长时的稳态
y
(δ+n)k
δk
sf(k)
0
k*
k0
k
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3. 人口增长对索洛模型的影响
y=F（k，1）= f（k）
即人均产出只与人均资本有关。
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❖ 由S=sY, DPI=C+S， DPI=Y 得： C=(1-s)Y
两边同除以L得到人均量，用小写字母代替有： c=（1-s）y
❖ 代入①式得： y= （1 - s）y + i i=sy
该式表明投资与产出成正比。
❖ 消费最大化即求c的最 大值
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三、黄金律的基本条件
1. 数学推导
消费的最大化表现为一阶导数为0。
dc / dk = df / dk – δ= 0
MPk -δ= 0 MPk = δ
因此， MPk= δ就是消费最大化的基本条 件，即：资本的边际产出等于折旧率。
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一、 人口增长的影响
1. 基本假设：
（1）索洛模型成立；（2）人口增长率为n.
2. 人口增长的影响
假设劳动力人口以固定速率n增长, 则y=Y/L，k=K/L两 个变量都会随着人口增长而下降。假设下降速度为x。当 总资本量不变时：
K=k×L=（1-x）k ×（1+n）L=（1-x+n-xn）k×L
由于x、n都很小，xn则更小，可以忽略不计，因此， 可得x=n
也就是说，当人口以n的速度增加时，人均产出y和人 均资本k均以n的速度下降。
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❖仍然从资本积累的角度来研究。
则一年中资本的变化量（新增的资本量） 为
Δk = i-δk- nk=i-（δ+n）k
讨论：多少资本积累是长期消费最优的
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一. 假设条件
1. 索洛模型成立 2. 储蓄率s可以调整； 3. 目标：未来消费水平最高。
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二、黄金律
1. 含义: 长期中消费水平 最高的稳定状态，被称为资 本积累的“黄金律”水平。
索洛简介
❖ 1956年,麻省理工学院(MIT)的教授罗伯特•索洛 写了一篇有关经济均衡增长路径的文章，这篇文章 第一次引入了长期经济增长模型，又被称做“新古 典增长模型”（建立在凯恩斯以前的经济学家所使 用的古典模型基础上的）。
❖ 为此，索洛获得了1987年的诺贝尔经济学奖。
❖ 索洛对经济增长考察是从资本积累开始的。
当一个经济的当前资本存量水平一定时，储蓄率提高就 意味着与稳定状态之间存在着更大的差距，这样经济增长就 会有较大的空间和速度。但这仅仅是暂时的。
(2) 经济在长期中只要达到它的稳态，就不会再继续增长。
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❖ 查阅资料并利用索洛经济增长模型解释：
（1） 我国经济最近几年增长速度都很高，会不会一直这 么高下去？
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1. 效率工人/效率劳动力
❖ 把技术进步引起的劳动生产率的提高用“E” 来表示，原来L个单位的劳动力由于技术进 步的作用，现在相当于L×E个劳动力，称 “效率工人”或“效率劳动力”。
❖ 则生产函数变为： ❖ Y=F（K，L）→→→Y=F（K，L*E）
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思考题
❖ 某国生产函数Y=K 0.5 L 0.5 ,s=0.3, δ=10%。
❖ 求：稳定状态的人均资本存量k*,人均产出y*。
❖ 解答:y=k 0.5
❖ s f（k）=δk, 求出k*=9,y*=3
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Y= F（K，L） 规模收益不变：λY= F（λK,λL） （4）储蓄函数S = sY，s----储蓄率, 0≤s ≤1
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二. 资本积累和稳态
1. 人均生产函数（供给角度）
索洛生产函数为 Y=F（K，L ） 由于规模报酬不变，λY= F（λK,λL） 为简化分析：我们把上述变量都变成人均量 令λ=1/L，得 Y/L= F（K/L,1） 用y=Y/L代表人均产出，k=K/L代表人均资本存量，得：
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三、储蓄率变化的影响
1. 储蓄率变化，形成新的稳态。
和原来的稳态相比，储蓄率提高形成新稳态具有较高的资 本存量水平和较高的产出。降低储蓄率，则结果相反。
2. 储蓄率对经济增长速度的影响
储蓄率对一个经济稳定状态的影响，在一定程上说明了 储蓄率的高低对经济增长速度的影响。
(1) 较高的储蓄率意味着较高的资本存量稳定状态。