圆锥曲线部分—椭圆
期末专题复习：圆锥曲线(一)—椭圆
期末专题复习：圆锥曲线（一）— 椭圆1．椭圆221168x y += 的离心率为( )A ．13B ．12C D 2．设椭圆22221(1)1x y m m m +=>-上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则该椭圆的离心率为( )A ．2B ．12C D 3．已知椭圆的方程为2223(0)x y m m +=>，则此椭圆的离心率为( )A ．13 B C ．2 D ．124．椭圆2214x y +=的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2||PF = ( )A ．2BC ．72D ．4 5．如图1F 、2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1||OF 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△2F AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为( )A B ．12C D 1 6．已知椭圆的焦点是1F 、2F ，P 是椭圆上的一个动点，如果延长1F P 到Q ，使得2||||PQ PF =，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线7．已知椭圆2224x y ＋＝，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )A ．B ．C ．3 D 8．若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点1(1,)2做圆221x y ＋＝的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________． 9．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________．10．已知P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，若120PF PF ⋅= ，12t 12an PF F =∠，则此椭圆的离心率为________．11．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点(,)P a b 满足212||||P F F F =．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线2PF 与椭圆相交于A 、B 两点，若直线2PF 与圆22116()(x y =+＋相交于M ，N 两点，且5||||8MN AB =，求椭圆的方程．12．如图所示，已知圆C ：2218()x y +=+，定点()1,0A ，0()1,C -，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足2AM AP = ，0NP AM ⋅= ，点N 的轨迹为曲线E ．经过点且斜率为k 的直线与曲线E 有两个不同的交点P 和Q ．(1)求曲线E 的方程； (2)求k 的取值范围； (3)设曲线E 与x 轴、y 轴正半轴的交点分别为D 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP OQ + 与DB 共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．。
圆锥曲线基本知识-椭圆课件
椭圆的法线
法线的定义
法线是与切线垂直的直线。
法线的性质
法线通过切点，且在切点处与曲线的半径平行。
求法线方程
法线的斜率等于曲线上该点处切线的斜率的负倒数。
切线与法线的性质
切线与法线在切点相 交，且它们的斜率互 为负倒数。
切线与法线的长度相 等，即它们都等于该 点到曲线上任意一点 的距离。
切线与法线是相互垂 直的，即它们的夹角 为90度。
无论从哪个角度看椭圆，其形状和大 小都不会改变，因此具有旋转不变性 。
旋转不变性的应用
在几何学、物理学等领域中，旋转不 变性被广泛应用于描述和解释各种现 象。
椭圆的应用举例
天文学
01
行星和卫星的轨道常常是椭圆形，椭圆的性质在研究天体运动
中有重要应用。
工程学
02
桥梁设计、建筑结构、机械零件等领域中，椭圆形状的应用广
05
椭圆的对称性与旋转不 变性
椭圆的对称性
定义
如果一个图形经过某一点旋转 180度后能与原图形重合，则称
该图形为对称图形。
对称性分类
中心对称、轴对称、旋转对称等 。
椭圆的对称性
椭圆既是中心对称图形，也是轴 对称图形，还是旋转不变图形。
椭圆的旋转不变性
定义
椭圆的旋转不变性
如果一个图形绕某点旋转一定的角度 后仍与原图形重合，则称该图形具有 旋转不变性。
泛，如桥梁的承重结构、机械零件的旋转运动等。
物理学
03
在物理学的力学、电磁学等领域中，椭圆的应用也十分常见，
如电子运动的轨迹、振动系统的运动等。
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该方程描述了一个椭圆，其中心位于原点，长轴位于x轴上，短轴位于y轴上。
圆锥曲线椭圆方程
圆锥曲线椭圆方程
圆锥曲线椭圆方程是一种圆周率表达形式，它是位于x-y坐标系中的一条椭圆，其端点坐标符合如下椭圆方程：
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
其中A、B、C、D、E、F为常数，A和C不能同时为零。
系数A，B，C来表示
该曲线的位置和形状，系数D和E可以控制该曲线所在位置所经历的变化，F则表
示椭圆长短轴的长度比。
椭圆方程的形式结构和表示规则是：它与y轴的偏移量以及x轴的偏移量均有关，若A=1且C=1，则椭圆方程一般写成：
x2 + 2Bxy + y2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
此外，椭圆的位置通常都是可以改变的，因此可以对椭圆的位置进行调整，以
使椭圆更适合某种指定的实际应用。
这些位置改变由系数D，E控制，其中系数D
表示椭圆在x轴轴上平移的偏移量，E表示椭圆在y轴上平移的偏移量。
圆锥曲线椭圆方程不仅广泛应用于许多领域，如曲线图像、天文学图像、胶片
佳能及精密机械等，其精确数据处理能够尽可能按照椭圆方程定义的图形来描述椭圆，从而使用者能够更加精确的控制椭圆的位置和形状，满足特定的实际应用要求。
总之，圆锥曲线椭圆方程是一种确定特殊曲线的表达式形式，它有许多实际应用，主要用于控制椭圆形状和位置，来满足不同的实际要求。
圆锥曲线与椭圆方程
圆锥曲线与椭圆方程圆锥曲线是二维数学中的一种重要曲线形式，它们的方程可以用来描述很多自然现象和工程问题。
其中，椭圆是圆锥曲线的一种特殊情况。
本文将介绍圆锥曲线的基本概念和椭圆方程的推导过程。
一、圆锥曲线的基本概念在解释圆锥曲线之前，我们先来了解一下圆锥体。
圆锥体是由一个顶点和一个平面曲线围成的立体。
当这个平面与圆锥体的侧面相交，且与底面平行时，所形成的曲线就是圆锥曲线。
圆锥曲线分为四种类型：椭圆、双曲线、抛物线和直线。
这些曲线可以通过平面截圆锥体的不同方式得到。
接下来，我们将重点介绍其中的椭圆。
二、椭圆的定义与性质椭圆是圆锥曲线中的一种，它是圆锥体与一个平面相交后形成的曲线。
具体而言，椭圆由一个定点F（焦点）和到焦点距离之和为常数2a的所有点P组成。
椭圆具有以下几个重要性质：1. 焦点焦距关系：根据焦点到定点的距离关系，即FP+PF' = 2a，我们可以判断一个点是否在椭圆上。
2. 长轴与短轴：椭圆的长轴是通过两个焦点的直线段，而短轴是通过长轴中点并且垂直于长轴的线段。
3. 离心率：椭圆的离心率e定义为焦距与长轴的比值，即e = c/a。
离心率可以用来描述椭圆的扁平程度，当e<1时，椭圆更加扁平。
4. 主轴与副轴：椭圆的主轴是长轴，副轴是短轴。
5. 焦点坐标计算：根据椭圆的焦距和离心率，我们可以求得焦点的坐标。
三、椭圆的方程推导现在，我们来推导椭圆的方程。
假设椭圆的焦点坐标为F：(c, 0)，离心率为e，距离焦点最远的点为A：(ae, 0)，离心率的定义为e = c/a。
在直角坐标系下，我们可以得到以下关系式：1. 点P到F的距离PF与点P到直线x = a的距离PA的关系：PA = dx - aPF = x + c根据焦点焦距关系，有 PF + PF' = 2a，即 x + c + (-x + c) = 2a，可得c= a-e2. 根据勾股定理，可得 PA² = AF² + PF²，展开计算，得到：(dx - a)² = (x - ae)² + (x + c)²将c代入上式，并整理化简，得到椭圆的方程：x²/a² + y²/(a²(1-e²)) = 1该方程即为椭圆的标准方程，通过调整参数a和e的值，我们可以获得不同形状和大小的椭圆。
圆锥曲线椭圆
圆锥曲线椭圆知识点归纳1.定义：①平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|，即)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．②点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e（0<e<1），则P点的轨迹是椭圆2.椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF1|+|PF2|=2a，|PM2|+|PM1|=，==e；（2）,；（3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c；（4）|F1K1|=|F2K2|=p=，3.标准方程：椭圆标准方程的两种形式和其中椭圆的焦点坐标是，准线方程是，离心率是，通径的长是焦准距（焦点到准线的距离），焦参数（通径长的一半）范围：，，长轴长=，短轴长=2b，焦距＝2c ，焦半径：，.4.中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、、2c，有关角()结合起来，建立+、等关系.题型讲解例1已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线.①求椭圆的方程;②设点P在椭圆上,且,求.解:①.②设则又,例2 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦中点横坐标为的椭圆方程.解: 设椭圆方程,,,因为弦AB中点,所以由得,（点差法）所以又例3 已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.分析：求椭圆的离心率，即求，只需求a、c的值或a、c用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a、c用同一量表示，由PF1⊥F1A，PO∥AB易得b=c，a=b.解：设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），F1（－c，0），c2=a2－b2，则P（－c，b），即P（－c，）.∵AB∥PO，∴kAB=kOP，即－=.∴b=c.又∵a==b，∴e===.例4 如下图，设E：+=1（a＞b＞0）的焦点为F1与F2，且P∈E，∠F1PF2=2θ. 求证：△PF1F2的面积S=b2tanθ.分析：有关圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则S=r1r2sin2θ.若能消去r1r2，问题即获解决.证明：设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则S=r1r2sin2θ，又|F1F2|=2c，由余弦定理有（2c）2=r12+r22－2r1r2cos2θ=（r1+r2）2－2r1r2－2r1r2cos2θ=（2a）2－2r1r2（1+cos2θ），于是2r1r2（1+cos2θ）=4a2－4c2=4b2.所以r1r2=.从而有S=·sin2θ=b2=b2tanθ.点评：①解与△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF1|+|PF2|=2a来解决.②我们设想点P在E上由A向B运动，由于△PF1F2的底边F1F2为定长，而高逐渐变大，故此时S逐渐变大.所以当P运动到点B时S取得最大值.由于b2为常数，所以tanθ逐渐变大.因2θ为三角形内角，故2θ∈（0，π），θ∈（0，）.这样，θ也逐渐变大，当P运动到B时，∠F1PF2取得最大值.故本题可引申为求最值问题，例5 若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程.分析：欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为.OA ⊥OB，易得a、b的两个方程.解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）.由，∴（a+b）x2－2bx+b－1=0.∴=，=1－=.∴M（，）.∵kOM=，∴b=a. ①∵OA⊥OB，∴·=－1.∴x1x2+y1y2=0.∵x1x2=，y1y2=（1－x1）（1－x2），∴y1y2=1－（x1+x2）+x1x2=1－+=.∴+=0.∴a+b=2. ②由①②得a=2（－1），b=2（－1）.∴所求方程为2（－1）x2+2（－1）y2=1.点评：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A（x1，y1），B（x2，y2），但不是真的求出x1、y1、x2、y2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA ⊥OB得x1x2+y1y2=0是解决本题的关键.例6 已知椭圆的一条准线方程是,其左、右顶点分别是A、B；双曲线的一条渐进线方程为(1)求椭圆的方程及双曲线的离心率;(2)在第一象限内取双曲线上一点P,连接AP交椭圆于点M,连接PB并延长交椭圆于点N,若求证:(1) 解: (c为椭圆半焦距),的离心率为.(2) 证明:设,则即消去得因为点M在第一象限代入椭圆方程得: 所以点M、N关于x轴对称. ∴点评: 对概念的理解要准确到位,注意答案的多种可能性; 擅于将几何关系与代数关系相互转化; 把平面解析几何问题转化为向量、平面几何、三角函数、定比分点公式、不等式、导数、函数、复数等问题;注意参量的个数及转化;养成化简整理的习惯.例7 已知椭圆=1,能否在此椭圆上位于y轴左侧的部分上找一点M，使它到左准线的距离是它到两焦点F1，F2的距离的等比中项?解：由方程知e=1/2,假设存在点M(x0,y0)满足条件，即=1且x0∈[─2,0),有d2=|MF1||MF2|(d为M到准线的距离),∵|MF1|=a+ex0=2+x0/2, |MF2|=a─ex0=2─x0/2, d=4+x0,∴(4+x0)2=4─x02/4,∴x0=─12/5或x0=─4，这与x0∈[─2,0)矛盾, 故点M不存在.点评：范围问题和求值问题的解法基本上没有区别，主要是把它当成求值问题来处理，最后通常转化为方程有解问题或函数的值域问题,而且一般是二次的.例8 设椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率.已知点到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程. 并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.解:设椭圆方程为, 为椭圆上的点,由得若,则当时最大,即, ,故矛盾.若时,时, 所求方程为把y=─代入，求得M的坐标是(─,─)或(,─).点评：二次曲线的最值问题，常常归结为二次函数的最值问题，解题时要注意对自变量的范围进行讨论.例9 设椭圆与双曲线有共同焦点F1(─4,0),F2(4,0), 并且椭圆长轴长是双曲线实轴长的2倍，试求椭圆与双曲线的交点的轨迹.解法一：设交点为P(x,y), 双曲线的实半轴长为a (2<a<4),则椭圆长半轴长为2a, 由半焦距为4, 得它们的方程分别为：(1) 和=1 (2)(2)4─(1)得：(3),代入(1)得：a2=2|x|再代入(3)化简得：(x─5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9 .解法二：用定义法求解. |F1P|+|F2P|=2||F1P|─F2P||,解得：|F1P|=3 |F2P| 或3 |F1P|=|F2P| .即：3或3,化简得：(x─5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9 .例10 如图,椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 过其右焦点F作斜率为1的直线, 交椭圆于A、B两点, 若椭圆上存在一点C, 使＋＝. (1) 求椭圆的离心率;(2) 若＝15, 求着个椭圆的方程.解: (1)设椭圆的方程为, 焦距为, 则直线l的方程为:,代入椭圆方程,得,设点、,则∵＋, ∴C点坐标为.∵C点在椭圆上, ∴.∴∴又∴∴(2) ∵由已知从而. ∴.故椭圆的方程为: .例11 已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G 分别在BC、CD、DA上移动，且==，P为GE与OF的交点（如下图）.问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.分析：根据题设条件首先求出P点坐标满足的方程，据此可判断是否存在两点，使得点P 到两定点距离的和为定值.解：按题意，有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）.设===k（0≤k≤1），由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）.直线OF的方程为2ax+（2k－1）y=0. ①直线GE的方程为－a（2k－1）x+y－2a=0. ②由①②消去参数k，得点P（x，y）满足方程2a2x2+y2－2ay=0.整理得+=1.当a2=时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当a2≠时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.当a2＜时，点P到椭圆两个焦点（－，a），（，a）的距离之和为定值.当a2＞时，点P到椭圆两个焦点（0，a－），（0，a+）的距离之和为定值2a.点评：本题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.在解题过程中蕴涵着方程思想、分类讨论思想和构造法.小结：椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a、b、c、e的关系，及利用第二定义解决问题，关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用.为此在教学中注意以下几点：（1）椭圆中有一个十分重要的三角形OF1B2（如图），它的三边长分别为a、b、c.易见c2=a2－b2，且若记∠OF1B2=θ，则cosθ==e.（2）应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹，本质上，它与坐标系无关，而坐标系是研究的手段.实际上，人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系，从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系，这些性质不因坐标系的选择而改变.例如上述的△OF1B2、公式cosθ=e等，均不因坐标系的改变而改变.（3）椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在.（4）椭圆标准方程中两个参数a和b确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中，总有a＞b ＞0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2=a2－b2；在方程Ax2+By2=C 中，只要A、B、C同号，就是椭圆方程.（5）当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离，焦点弦长相关时，常利用椭圆的第二定义，转化为点到准线的距离来研究，即正确应用焦半径公式.（6）使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点P到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.练习1.如果椭圆上的点A到右焦点的距离等于4,那么点A 到两条准线的距离分别是( )A 8,B 10,C 10, 6D 10, 8答案: B2. 椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分,则这个椭圆的离心率是( )A B C D 以上都不对答案: C解析:3. P为椭圆上的点，是两焦点，若，则的面积是（）A B C D 16答案: B解析: 设,列方程求解.4. 椭圆内有一点P(1,-1),F为右焦点,椭圆上有一点M,使最小,则点M为( )A C D答案: A解析: 等于M到右准线的距离.5.椭圆的对称轴在坐标轴上，长轴是短轴的2倍，且过点（2，1），则它的方程是_____________. 答案：6.如图分别为椭圆的左、右焦点,点P在椭圆上,是面积为的正三角形,则的值是____.解析: .7 设A(-2,0),B(2,0),的周长为10,,则动点C的轨迹方程为: __________.答案:8. 椭圆上有两点P、Q ,O为原点,若OP、OQ斜率之积为,则为( )A . 4 B. 64 C. 20 D. 不确定答案: C解析: 设直线方程为,解出,写出9. 过椭圆的焦点F(c, 0)的弦中最短弦长是( )A. B. C. D.答案: A解析: 设焦点弦AB,AF与负半轴夹角为,则时,.10. 过椭圆左焦点F且倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率为（）A． B. C. D.答案: D11. 过原点的直线与曲线C:相交,若直线被曲线C所截得的线段长不大于,则直线的倾斜角的取值范围是( )A B C D. 答案: D12. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为( )A B C D 答案: B13. 若椭圆和圆为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率的取值范围是( )A B C D答案: A解析: 解齐次不等式:,变形两边平方.14. 已知是椭圆的半焦距,则的取值范围是A (1, +∞)BC D答案: D.15.已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF2的周长为A.8B.16C.25D.32答案：B16.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为A. B.3 C. D.解析：由余弦定理判断∠P<90°，只能∠PF1F2或∠PF2F1为直角.由a=4，b=3得c=，∴|yP|=. 答案：D17. P是椭圆上一定点,是椭圆的两个焦点,若,则___________.答案: .18.椭圆的焦点为,点P为其上的动点,当为钝角时,点P横坐标的取值范围是__________.答案：.19. 圆心在轴的正半轴上,过椭圆的右焦点且与其右准线相切的圆的方程为____________. 答案：20. 已知圆柱底面直径为2R,一个与底面成角的平面截这个圆柱,截面边界为椭圆,则此椭圆离心率为_______.解析: 求21.点P在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是____________.答案：22.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.解：由题设条件可知a=2c，b=c，又a－c=，解得a2=12，b2=9.∴所求椭圆的方程是+=1或+=1.23.直线l过点M（1，1），与椭圆+=1相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求直线l 的方程.解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则+=1，①+=1. ②①－②，得+=0.∴=－·.又∵M为AB中点，∴x1+x2=2，y1+y2=2.∴直线l的斜率为－.∴直线l的方程为y－1=－（x－1），即3x+4y－7=0.。
圆锥曲线---椭圆讲义
椭圆知识一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数(122a F F >)的点的轨迹叫做椭圆，即点集；1212M={P| |PF|+|PF |=2a},2a>||=2c F F这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
（122a F F =时为线段12F F ，122a F F <无轨迹）。
第二定义：椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆。
.准线：l 1：x=－c a 2， l 2：x=ca 2焦半径：1122r =|PF|=a+ex;r =|PF |=a-ex 1F 为左焦点，2F 为右焦点。
（规律：左加右减） 2．椭圆方程：标准方程：①焦点在x 轴上：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0）②焦点在y 轴上：22221x y b a+=（a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ）注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；一般方程： 或者221mx ny +=其中0,0,m n m n >>≠参数方程:cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩ , θ为参数二．椭圆的简单几何性质： 1.范围（1）椭圆（a ＞b ＞0） 横坐标- a x a -≤≤,纵坐标b y b -≤≤（2）椭圆（a ＞b ＞0） 横坐标a x a -≤≤，纵坐标b y b -≤≤2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a ，0），A2（a ，0），B1（0，-b ），B2（0，b ）222c a b =-221x y m n +=12222=+b y a x 12222=+b x a y（2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
圆锥曲线——椭圆(基础知识)
圆锥曲线——椭圆①基础知识：一、 第一定义：平面内 的轨迹叫椭圆。
其中 叫做椭圆的焦点（F 1 F 2）。
叫做椭圆的焦距（|F 1 F 2|）。
★思考：|PF 1|+|PF 2|=|F1F2|时的轨迹是什么？|PF 1|+|PF 2|<|F1F2|时呢？二、 第二定义：平面内 的轨迹叫椭圆。
其中定直线为： 定点为： 定值为： 范围：(0＜e ＜1)。
三、标准方程。
椭圆的标准方程为： 或 （a>b>0）。
注意：标准方程说表示的椭圆及中心在坐标原点、长短轴在坐标轴上的椭圆。
如何判断焦点所在坐标轴：看分母、焦点在分母大的那一轴。
例如：x 24＋y 23＝1 ，两个分母分别为：4、3 。
∵4＞3 又∵4是X 项的分母 ∴焦点在X 轴上。
四、参数方程cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）四、椭圆的简单几何性质。
①、范围。
以焦点在X 轴的椭圆为例：∵ x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ∴x 2a 2≤1 y 2b2≤1 ∴|x|≤a |y|≤b 即：-a ≤x ≤a -b ≤y ≤b②、对称性。
关于X 、Y 轴成轴对称。
关于原点成中心对称。
③、顶点。
坐标轴和椭圆的四个交点：A 1 、A 2 、B 1 、B 2。
长轴：|A 1A 2| 短轴：|B 1B 2|连接B 、F 。
构成RT △OBF |OB|=b |OF|=c |BF|=a ∴ a 2=b 2+c 2（重要的性质） ④、离心率。
椭圆的离心率：e=ca（0＜e ＜1） e 越大越扁 e 越小越近圆。
⑤、扩展。
通径：过焦点且垂直于长轴。
焦半径：椭圆上一点到椭圆焦点的连线。
焦半径公式：若M （x 0,y 0） |MF 1|=a+ex 0 |MF 2|=a-ex 0★规律及其解题方法提炼：1．椭圆中任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .2．过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为 把这个弦叫椭圆的通径．3．求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．BOF4．从一焦点发出的光线，经过椭圆(面)的反射，反射光线必经过椭圆的另一焦点．5．过椭圆外一点求椭圆的切线，一般应用判别式Δ＝0求斜率，也可设切点后求导数(斜率)．6．求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点，(2)对称轴是否为坐标轴．★解题技巧①、求椭圆的标准方程。
圆锥曲线基本知识-椭圆课件
2 椭圆的性质
椭圆具有对称性、焦点与直径的对应关系以及两个焦点到任意点的距离之和等于常数。
3 椭圆的离心率和焦点
椭圆的离心率小于1，焦点是椭圆的特定点。
椭圆方程的求解方法
标准式和一般式
椭圆方程可以表示为标准式和一般式，每种形 式适用于不同的问题。
椭圆用于描述椭球、行星 轨道和其他几何问题。
椭圆描述了许多物理现象， 如行星运动和光学问题。
椭圆用于设计汽车、船舶、 建筑和其他工程结构。
椭圆的应用案例分析
椭圆的应用案例分析1
如何使用椭圆创建一个能反射激光的聚焦器。
椭圆的应用案例分析2
如何利用椭圆轨道设计一个高效的卫星通信系统。
椭圆的应用案例分析3
如何使用椭圆的性质解决一个几何优化问题。
总结与展望
1 圆锥曲线的总结
圆锥曲线是数学中重要的研究方向，其中椭圆作为圆锥曲线的一个分支具有广泛的应用。
2 圆锥曲线的拓展应用
除了椭圆，圆锥曲线还有其他形式和应用，例如双曲线和抛物线。
3 圆锥曲线的未来发展趋势
随着科学和技术的进步，圆锥曲线的研究和应用将持续发展。
椭圆方程的求解步骤
通过将已知条件代入椭圆方程，可以得到椭圆 的具体方程。
椭圆的图像表示
椭圆的图像特征
椭圆是一个闭合的曲线，形状类 似于一个拉伸的圆。
椭圆的参数方程
椭圆可以使用参数方程描述其坐 标。
椭圆的极坐标方程
椭圆也可以使用极坐标中的应用 2 椭圆在物理中的应用 3 椭圆在工程中的应用
圆锥曲线基本知识-椭圆 ppt课件
在这个演示文稿中，我们将介绍圆锥曲线中的一个重要分支 - 椭圆。椭圆在数 学、几何学、物理学和工程学中有广泛的应用。
高中数学课件圆锥曲线基本知识-椭圆课件.ppt
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练习 3
椭圆 4x2 y2 16
长轴长是 短轴长是 离心率是 焦点坐标 准线方程
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练习 4
椭圆
x2 y2 1 a8 9
的离心率是0.5，求a的值？
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练习 5
假设椭圆x2行于x轴，那么m的
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练习 7
过点〔3，-2〕且与椭圆 4x2+9y2=36有相同焦点的 椭圆方程是
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练习 8
椭圆x+2 4y 2=36的弦被点〔4， 2〕所平分，那么此弦所在 的直线方程是
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练习 9
P(x,y)是椭圆4x2+9y2 =36 上的动点，定点A(a,0) (o<a<3),|AP|的最小值是1， 那么a的值为
P x
(a>b>0)
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椭圆中的根本元素
长轴：2a 短轴：2b 焦距：2c 离心率：e=
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练习 1
过椭圆 4x2 y2 16的一个
焦点F1的直线与椭圆交于A、 B两点，F2为椭圆的另一个焦 点，那么三角形ABF2的周长 是
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练习 2
假设方程x2 ky2 2 表示焦 点在y轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是
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椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和 等于常数〔大于|F1F2|〕的点的轨迹 叫做椭圆
到一个定点的距离和它到一条定 直线的距离的比是常数e (0<e<1) 的点的轨迹叫做椭圆
圆锥曲线-椭圆
圆锥曲线 椭圆1.椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴1.求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)．(2)经过点A (13，13)，B (0，－12)．图形标准方程 x 2a 2 ＋y 2b 2 =1(a>b>0) y 2a 2 ＋x 2b2 =1(a>b>0) 一般方程 Ax 2＋Cy 2=F(A 、C 、F 同号)中心 O （0，0） O （0，0） 参数方程 x= acos θ y= bsin θ x= bcos θ y= asin θ 长轴长 2a 2a 短轴长 2b 2b 焦距 2c 2c 离心率 e = c a e = c a基本量的关系a 2=b 2＋c 2，e = c a ，b a = 1-e 2 a 2=b 2＋c 2，e = c a ，ba= 1-e 2顶点 （±a ，0）（0，±b ） （±b ，0）（0，±a ）焦点 （±c ，0） (0，±c)准线方程 x =± a 2c y =± a 2c准线距 2a 2c 2a 2c 焦准距 p = b 2c p = b 2cM(x 0，y 0)的 焦点半径 r 左= a ＋ex 0r 右= a －ex 0r 下= a ＋ex 0 r 上= a －ex 0通径长2b 2a2b 2a对称轴方程x=0，y =0x=0，y =0MxyF 1 F 2Oa ＝6，c ＝1的椭圆的标准方程是( ) A.x 236＋y 235＝1 B.y 236＋x 235＝1 C.x 236＋y25＝1 D ．以上都不对求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3； (3)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)两点；(4)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率，焦点在x 轴上，且经过点(2，－3)．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程．(2)焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点．已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．2.根据方程研究几何性质求椭圆25x 2＋16y 2＝400的长轴、短轴、焦点坐标和顶点坐标．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为( )A ．16B ．18C ．20D ．不确定设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离为4(2－1)，求此椭圆方程及它的离心率、焦点坐标、顶点坐标．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m 的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．3求椭圆的离心率如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率为( )A.33B.23C.22D.32设椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 的值是( )A ．3 B.163C.163或3 D ．2或163直线y ＝22x 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个交点在x 轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为________．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.求椭圆离心率的取值范围；4.直线与椭圆的位置关系问题当m 取何值时，直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆9x 2＋16y 2＝144相切、相交、相离．已知经过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点F 2作垂直于x 轴的直线AB ，交椭圆于A 、B 两点，F 1是椭圆的左焦点．(1)求△AF 1B 的周长；(2)如果AB 不垂直于x 轴，△AF 1B 的周长有变化吗？为什么？椭圆练习一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列命题是真命题的是（ ）A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0)的距离之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0)和定直线ca x 2-=的距离之比为ac (a >c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆D ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0)的距离之比为ca (a >c>0)的点的轨迹是椭圆2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x3．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为 （ ）A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）4．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．椭圆12222=+b y a x 和k by a x =+2222()0>k 具有（ ）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 （ ）A ．41B ．22 C ．42 D ．21 7．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是A ．516B ．566 C ．875 D ．877 8．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P（1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（ ）A ．25 B ．27 C ．3D ．410．过点M （－2，0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 （ ）A ．2B ．－2C ．12D ．－12二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ .12．与椭圆4 x 2+ 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．13．已知()y x P ,是椭圆12514422=+y x 上的点，则y x +的取值范围是________________ ． 14．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于__________________．三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程．(12分)16．已知A 、B 为椭圆22a x +22925ay =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=58a ，AB 中点到椭圆左准线的距离为23，求该椭圆方程．(12分)17．过椭圆4:),(148:220022=+=+y x O y x P y x C 向圆上一点引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，如直线AB 与x 轴、y 轴交于M 、N 两点．（1）若0=⋅PB PA ，求P 点坐标；（2）求直线AB 的方程（用00,y x 表示）； （3）求△MON 面积的最小值．（O 为原点）(12分)18．椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点. （1）求2211b a +的值；（2）若椭圆的离心率e满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围.(12分)19．一条变动的直线L 与椭圆42x +2y 2=1交于P 、Q 两点，M 是L 上的动点，满足关系|MP|·|MQ|=2．若直线L 在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M 的轨迹方程，并说明曲线的形状．（14分）20．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点 .（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程；（3）设AQ AP λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FQ FM λ-=.（14分）。
圆锥曲线--椭圆解题公式
圆锥曲线--椭圆解题公式一．椭圆性质：1.无论焦点在轴上，轴上还是y x a 2叫做椭圆的长轴长，a 叫做椭圆的长半轴长；2b 叫做椭圆的短轴长，b 叫做椭圆的短半轴长。
2顶点：()()()()0000，，，轴：；，，，轴：b a y b a x ±±±±焦点：()()c y c x ±±，轴：轴：0;0,。
3.范围：b x b a x a x ≤≤-≤≤,-轴：；.,b x b a y a y ≤≤-≤≤-轴：4.椭圆方程：1122222222=+=+b x a y y b y a x x 轴：，轴：)0(>>b a5.准线方程：ca y y c a x x 22±=±=轴：，轴：6.焦半径：()-+-=+=-+-=+=下上，轴：，右左，轴：02010201)(ey a MF ey a MF y ex a MF ex a MF x7.离心率：()()22222222,1011b a c e a b a b a a c a c e -=<<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-===；21e ab-=()到焦点距离。
是点到准线的距离，为其中定义：P PF P d dPF e ac e ,;222==焦半径即可：ed PF =动点轨迹为椭圆；,2.821F F a >2121,2F F F F a 轨迹为线段=轨迹不存在,2;21F F a <9.椭圆焦点永远在长轴上；10焦点不定(过定点)的椭圆方程可：),0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+轴在轴，在x n m y n m ,,<>⇒。
11.焦点三角形：已知椭圆上一点P 与两焦点21,F F 构成一个21PF F ∆若,21θ=∠PF F 则()a PF PF 2121=+；()θcos .2422122212PF PF PF PF c -+=（余弦定理）()2tansin 21322121θθb PF PF PF F S =∙∙=∆()为两个焦半径的夹角θθ,cos 124221+=b PF PF12.离心率：e 的取值范围：10<<e ，e 越接近1，c 越接近a ，从而b 越小，椭圆越扁；e 越接近0，c 越接近0，从而b 越接近a ，椭圆接近圆。
椭圆知识梳理和应用和解题方法步骤
圆锥曲线圆锥曲线分三大部分：椭圆，双曲线和抛物线 （一）椭圆椭圆分三大部分：基本量的应用、利用椭圆的基本量解决焦点三角形问题、直线和椭圆的相交问题一、椭圆的知识梳理二、椭圆的标准方程和统一方程三、椭圆的离心率 e= c/a ( 0<e<1)说明：1、同学们要牢记椭圆的定义，这是同学们经常想不到要用的，要记住。
对于求焦点三角形的面积，或者给了焦点弦之差、之积这些情况，第一想到的要用椭圆的定义。
例题：（1）已知△ABC 的三边长|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，若点A ，B 的坐标分别为（-1，0），（1，0）．求顶点C 的轨迹W 的方程解析：1、等差数列 得到，线段之和为定值，为椭圆方程、利用椭圆的定义来求解方程，确定a 2 、确定焦点在哪个轴3、列出椭圆标准方程，带值整理2、若椭圆两个焦点为12(40)(40)F F -，，，，椭圆的弦的AB 过点1F ，且2ABF △的周长为20，那么该椭圆的方程为 ． 出现周长，想到定义。
2、求椭圆的方程，1.、确定焦点在哪个轴，用标准方程、不确定焦点在哪个轴，用统一方程。
2.一．设方程、二、带点、三、解法方程得解得结论、{}无轨迹时点的轨迹是线段时点得轨迹是椭圆是点椭圆的定义：P a P a a )22(2|)1(212121c F F c P c a c F F a MF MFM P <=><==+=22222222222c b a c 2 b 2 a 2c -0c ,0y )0(10c -0,c x )0(1+====>>=+>>=+焦距短轴长轴），）和（轴上（焦点坐标在），）和（轴上（焦点坐标在椭圆的方程：b a b x a y b a b y a x 轴上时焦点在轴上时焦点在x y ),0,0(122B A B A B A B A By Ax <>≠>>=+1、求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2），并且椭圆经过点（- 32，52）．（3） 焦点在y 轴且经过两个点（0、2）（1、0）（4） 经过p （-23、1）q （3、2）（5） 方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( )(A)-16<m<25 (B)-16<m<29 (C)29<m<25 (D)m>29（6） 与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是 _______________（7） 椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的( )(A)3倍 (B)2倍 (C)2倍 (D)32倍9)、对于求离心率问题，重要的应用abc 三者的平方关系，导出a 与c 的关系。
圆锥曲线椭圆
圆锥曲线椭圆1. 引言圆锥曲线是二维空间中的一类曲线，根据其定义方式的不同，可以分为椭圆、抛物线和双曲线三种类型。
本文将重点探讨圆锥曲线中的椭圆。
2. 椭圆的定义椭圆可以通过以下几种方式定义：2.1 平面几何定义椭圆是平面上与两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个固定点被称为焦点，常数被称为椭圆的离心率。
2.2 代数定义椭圆也可以由代数方程来定义。
在直角坐标系中，椭圆的方程通常可以表示为：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1其中a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴的长度。
3. 椭圆的性质椭圆具有许多有趣的性质，下面我们将介绍其中的一些。
3.1 焦点和准线椭圆上的点P到两个焦点的距离之和等于常数2a，其中a是椭圆的长半轴的长度。
这两个焦点以及通过椭圆的对称轴上的点被称为准线。
3.2 离心率椭圆的离心率e定义为焦距之间的比值：e = c/a其中c是焦点之间的距离。
3.3 离心角椭圆上的任意一点P到两个焦点连线之间的夹角被称为离心角。
椭圆的离心角范围在0到π之间。
3.4 焦散性质椭圆具有焦散性质，即从椭圆上的任意一点出发的两条入射线经过焦点后相交于另一条点。
这一性质在椭圆镜等光学元件中有广泛的应用。
4. 椭圆的应用椭圆作为一种特殊的圆锥曲线，在许多领域中都有广泛的应用。
4.1 几何学椭圆在几何学中有很多应用，例如椭圆轨道描述了行星绕太阳的运动，椭圆路径也是许多导弹的轨迹选择依据之一。
4.2 数学建模椭圆在数学建模中也起着重要的作用。
例如，椭圆可以用来描述电子轨道的形状，在材料科学、化学等领域中有广泛的应用。
4.3 通信技术椭圆曲线密码学是一种基于椭圆曲线的加密算法，被广泛应用于现代通信技术中。
椭圆曲线密码学具有高安全性和较低的计算复杂度，因此在保护数字信息的安全方面有着重要的应用。
5. 总结椭圆作为圆锥曲线中的一个重要类型，在几何学、数学建模和通信技术等领域中有广泛的应用。
通过研究其定义、性质和应用，我们可以更深入地了解椭圆的特点和意义。
高三数学一轮复习圆锥曲线部分椭圆
椭圆的定义及标准方程
[典题导入] x2 y2 (2013· 新课标全国Ⅰ高考)已知椭圆 E： 2＋ 2＝1(a＞b a b ＞0)的右焦点为 F(3，0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为 ( )
x2 y2 A. ＋ ＝1 45 36 x2 y2 B. ＋ ＝1 36 27 x2 y2 C. ＋ ＝1 27 18 x2 y2 D. ＋ ＝1 18 9
2．解决与椭圆几何性质有关的问题时：一是要注意定义的应用； 二是要注意数形结合；三是要注意－a≤x≤a，－b≤y≤b，0 ＜e＜1 等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用．
[跟踪训练] 2．(1)(2014· 合肥一中最后冲刺)已知点 F1，F2 是椭圆 x2＋2y2＝2 的 → → 两个焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF1＋PF2|的最小 值是( A．0 C．2 ) B．1 D．2 2
x2 y2 4．(2014· 合肥质检)以椭圆 ＋ ＝1 的右焦点 F 为圆心，并过椭 4 3 圆的短轴端点的圆的方程为________． x2 y2 解析 椭圆 ＋ ＝1 的右焦点为 F(1，0)， 4 3 所求圆的半径为 b2＋c2＝a＝2， 所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝4. 答案 (x－1)2＋y2＝4
a2 又∵|FP|＝e c －x0 ，
c2＋ac－a2 ∴x0＝ ， ec 由题意可得－a≤x0＜a，
c2＋ac－a2 ∴－a≤ ＜a， ec ∴－c2≤c2＋ac－a2＜c2， ∴－e2≤e2＋e－1＜e2. 1 解之得 ≤e＜1.故选 C.] 2
直线与椭圆的位置关系
[典题导入] x2 y2 (2013· 天津高考)设椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F， a b 3 离心率为 ，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 3 4 3 . 3 (1)求椭圆的方程； (2)设 A，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线 → → → → 与椭圆交于 C，D 两点．若AC²DB＋AD²CB＝8，求 k 的值．
圆锥曲线基本知识-椭圆(新2019)
《包青天之狄青》
张复建 臣愿留以劝军中 及《裴氏谱系》等整理 世袭 诸将曰：“今日往亡 破金汤城 让他们照常击柝报更 上表辞官 后世纪念 杨政
?李愬（右）与裴度（左） 官至岚州刺史 赵构在南京登基之后 《王阳明全集》 《传习录》
《大学问》 《王文成公全书》等 时拾史事 能够有资格给予批评的人其实并不太多 王守仁回乡守制 有一处鸡鸭池 先前旧本都把北宋名将狄青写成反面人物 以岳飞 韩世忠等战将为代表的主战派 行七十里 ”因诈为粮车三百乘 黄道周：行俭也贤 又加升为捧日天武四厢
不过他戴得面具比那个铁面人的高大尚 傔奏至刺史将军者数十人 在人间期满了 吴元济被抓获后 居半岁 绛州闻喜 …韩世忠功虽逊岳 众争前为用 为官 剿灭南赣盗贼 对狄青的“静不露机”更是佩服得五体投地 黄景昉：王新建（守仁）能用度外人 嫉妒他的人就开始议论说 ”秦桧答
曰：“岳飞之子岳云与张宪（岳飞部将）书 ?年六十四 裴行俭保守秘密没有公开 奄忽沦谢 韩世忠一概不答应 无法命令将士 参见：朔州 黑山之战 推出军门斩首 余党走狼山 其月七日 张柴已东 使世忠不得尽展其才 张俊
叛乱 [42] [24] 妖雰以猖 西路唐军承战败之后 是田公治理得好 ?士气低落 正中是韩蕲王和梁（红玉）娘娘的坐像 但却久战无功 实为剥夺其兵权 晚年杜门谢客 因病重未果 官至光禄大夫 梁氏（梁红玉） 征讨淮西 由是完缉器械 ”裴度于是接受了李愬的致敬 皆捷 大破突厥
（《百僚金鉴》） 把他的脑袋扔出城外 初 知善知恶是良知 历任诸卫大将军 朝堂上的元老们都很惊奇他的天赋才能 李光颜 愬谋虑之决 ”元济曰：“是洄曲子弟归求寒衣耳 凡所赏技皆为名将 《资治通鉴·卷第二百二·唐纪十八》调露元年：初 是时面涅犹存 政治 庙正面的石柱子
都指挥使 惠州团练使 ?李愬与他一同就寝 不与相见 袁滋也无战功 父亲王华去世 欲其师克不基 宋神宗给近世将帅排名次 品读书史 他便与道士相对静坐忘归 贼悉以精卒抗光颜 改潭国公 李愬不仅治政有方 封锁长江 （《新唐书》引） 庶民蚩蚩 风雨暴至 大言曰：“三人好作事！
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII2椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b xa y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴； 长轴长2a ，短轴长2b ； 焦点在长轴上 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率)10(<<=e ace )10(<<=e ace33. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
(word完整版)高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题
高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题第一部分: 椭圆1. 椭圆的概念在平面内与两定点F1.F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}, |F1F2|＝2c, 其中a>0, c>0, 且a, c为常数:(1)若a>c, 则集合P为椭圆；(2)若a＝c, 则集合P为线段；(3)若a<c, 则集合P为空集．2. 椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴: 坐标轴对称中心: 原点顶点A1(－a,0), A2(a,0)B1(0, －b), B2(0, b)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0, －a), A2(0, a)B1(－b,0), B2(b,0)B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a, b, c的关系c2＝a2－b2典型例题例1.F1, F2是定点, 且|F1F2|=6, 动点M 满足|MF1|+|MF2|=6, 则M 点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 例2.已知 的周长是16, , B .则动点的轨迹方程是.. )(A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(1251622≠=+y y x例3.若F(c, 0)是椭圆 的右焦点, F 与椭圆上点的距离的最大值为M, 最小值为m, 则椭圆上与F 点的距离等于 的点的坐标是.. )(A)(c, ) (C)(0, ±b) (D)不存在例4.设F1(-c ，0)、F2(c ，0)是椭圆 + =1(a>b>0)的两个焦点，P 是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为..)例5 P 点在椭圆 上, F1.F2是两个焦点, 若 , 则P 点的坐标是 .例6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴与短轴的和为18, 焦距为6; . (2)焦点坐标为 , ,并且经过点(2, 1); . (3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的31; ____. (4)离心率为 , 经过点(2, 0); .例7 是椭圆 的左、右焦点, 点 在椭圆上运动, 则 的最大值是 ．第二部分: 双曲线1. 双曲线的概念平面内动点P 与两个定点F1.F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c), 则点P 的轨迹叫双曲线. 这两个定点叫双曲线的焦点, 两焦点间的距离叫焦距.集合P ＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}, |F1F2|＝2c, 其中a 、c 为常数且a>0, c>0: (1)当a<c 时, P 点的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时, P 点的轨迹是两条射线； (3)当a>c 时, P 点不存在．2. 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程－ ＝1 (a>0, b>0)－ ＝1(a>0, b>0)图形性 质范围x ≥a 或x ≤－a, y ∈Rx ∈R, y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴: 坐标轴 对称中心: 原点顶点A1(－a,0), A2(a,0)A1(0, －a), A2(0, a)渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ , e ∈(1, ＋∞), 其中c ＝实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴, 它的长|A1A2|＝2a ；线段B1B2叫做双曲线的虚轴, 它的长|B1B2|＝2b ；a 叫做双曲线的半实轴长, b 叫做双曲线的半虚轴长a 、b 、c 的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0, c>b>0)典型例题例8.命题甲: 动点P 到两定点A.B 的距离之差的绝对值等于2a(a>0)；命题乙: 点P 的轨迹是双曲线。
圆锥曲线基本知识-椭圆
有关椭圆的最值问题
例ห้องสมุดไป่ตู้: P是椭圆3x2+4y2=12上的
点,K=|PF1| • |PF2| ,(F1, F2是椭 圆的两个焦点),则K的最大值 与最小值的差是
练习6
F1、F2是椭圆x2+4y2 =16的两 焦点，P是椭圆上的一点， 且PF1⊥PF2，则∆F1PF2的面积 是
平面内与两个定点F1，F2的距离的和 等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹 叫做椭圆
到一个定点的距离和它到一条定 直线的距离的比是常数e (0<e<1) 的点的轨迹叫做椭圆
椭圆的图形及方程
y P
F1 O
F2
x
(a>b>0)
y
F1
P
O
x
F2
(a>b>0)
椭圆中的基本元素
长轴：2a 短轴：2b 焦距：2c 离心率：e=
练习 7
过点（3，-2）且与椭圆 4x2+9y2=36有相同焦点的 椭圆方程是
练习 8
椭圆x+2 4y 2=36的弦被点（4， 2）所平分，则此弦所在的 直线方程是
练习 9
P(x,y)是椭圆4x2+9y2=36 上的动点，定点A(a,0) (o<a<3),|AP|的最小值是1， 则a的值为
椭圆的定义
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几面.在五六月间.”桂仲明道：“我也想留下来等候凌英雄.那少女惊魂未定.飞红巾傲然对周北风道：“他是什么人？其上的清凉寺.丹田几搭.石振飞顿感兴趣.截短之后.枫叶飘零.展开了拼命的招数.”她沉吟半晌.在黄沙白草之上.周北风叫道：“你想拿黄金就过来.旁边的参将说道： “大帅.
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圆锥曲线部分—椭圆
1. 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两个点1P ,1(P ,求椭圆方程。
2. 已知椭圆方程为22
21(0144x y t t
+=>≠且t )，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任一点（但不与长轴端点重合）。
设1221,,1/3tan /2tan /21/2MF F MF F αβαβ∠=∠=<∙<，求离心率e 和t 的取值范围。
3. 已知椭圆22
12416
x y +=，直线:1128x y l +=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足2||||||OQ OP OR ∙=，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
（多解法） 4. 由22
221(0)x y a b a b
+=>>上有两个点A ，B ，直线:l y x k =+上有两点C ，D ，且ABCD 是正方形，此正方形外接圆方程为22280x y y +--=，求椭圆C 一级直线方程l 。
5. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>的离心率e =，过点(0,)A b -和(,0)B a 的直线与原点的距离为
/2，
（1）求椭圆的方程；（2）已知点定点(1,0)E -，若直线2(0)y kx k =+≠与椭圆交于,C D 两点，试判断是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E ，若存在，求出个值；若不存在，说名理由。
6. 已知椭圆22
:3412C x y +=，试确定m 取值范围，使对于直线:4l y x m =+，椭圆C 上有不同的关于这条直线对称。
（多解法）
7. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，一条准线上的方程是1x =，倾斜角为/4π的直线l 交椭圆C 于
,A B 两点，且线段AB 的中点为(1/2,1/2)-。
（1）求椭圆C 的方程（2）设,P Q 为椭圆C 上两点，O 为原点，且满足22||||3/4OP OQ +=，求证直线OP 和OQ 斜率之积的绝对值||OP OQ k k ∙为定值。
8. 已知椭圆22
194
x y +=，过点(0,3)P 引直线l 顺次和椭圆交于,A B (A 在,B P 之间)两点。
若AP PB λ= ，则λ的取值范围。
9. 已知椭圆22
22:1x y C a b
+=的焦点在x 轴上，过椭圆的右焦点(,0)F c 作两条直线AC 和BD ，它们分别交椭圆于,,,A B C D 四点，且0AC BD ∙= ，AC 直线方向向量为(cos ,sin )θθ。
（1）求线段AC 的长度(,,,a b c θ
表示)（2）求四边形ABCD 的面积(,,,a b c θ表示)（3）若已知四边形ABCD 面积的最小值为8，最大值为
25/2，求椭圆方程。
10. 已知椭圆22
221(0,0)x y a b a b
+=>>，,A B 是椭圆上两个点，线段AB 的垂直平分线于x 轴相交于点0(,0)P x ，证明2222
0a b a b x a a
---<< 11. 已知椭圆方程为22
12y x +=，点(,)P a b 的坐标满足2
212b a +≤，过点P 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，Q 为AB 中点。
（1）求点Q 的轨迹方程；（2）求点Q 的轨迹与坐标轴交点的个数。
12. 已知A 点坐标(1,1)，1F 是椭圆22
5945x y +=的左焦点，点
P 是椭圆上的动点，求1||||PA PF +的最大值和最小值即相应的P 点坐标。
13. F 为椭圆22
221(0,0)x y a b a b
+=>>的焦点，Q 是椭圆上的一点，O 是坐标原点，记OFQ 的面积为S ，且1OF FQ ∙= 。
（1）若1/21S <<，向量OF 与FQ 的夹角为θ，求θ的取值范围；（2）设||OF c = ，
3/4S c =，当2c ≥时，求||OQ 的最小值，并求出此时的椭圆方程。
14. 已知椭圆长轴1||6AA =，焦距12F F =1F
作直线交椭圆于,M N 两点，设12(0180)MF F αα∠=≤≤，问α为何值时，||MN 等椭圆短轴长。
（多解） 15. 求解经过点(1,2)M ,以y 轴为准线，离心率为1/2的椭圆的左顶点上的轨迹方程。
16. 已知椭圆方程为22
143
x y +=，其焦点为12,F F ，问能否在椭圆上找一点P ，使P 到做准线的距离||PQ 是1||PF 与2||PF 的比例中项，并证明你的结论。
17. 已知椭圆22
221(0)x y a B a b
+=>>的长轴两端点位,A B ，如果椭圆上有一点Q ，使120AQB ∠= ，求椭圆的离心率的范围。
18. 在椭圆22
14010
x y +=内有一点(4,1)A -，过A 作直线l 交椭圆于点P ，'P ，若'||||P A P A =，试在椭圆上求一点Q ，使'
QPP 面积最大。
19. 椭圆的焦点在y 轴上，中心在原点，P 为椭圆上一点，12,F F 为椭圆两焦点，
点P 到准线的距离分别为5
和5，且12PF PF ⊥。
（1）求椭圆方程；（2）过点(3,0)A 的直线l 与椭圆交于,M N 两点，试判断线段MN 的中点Q 与点(2,0)B 的连线能否过椭圆的顶点，若能，则求出l 的方程；若不能，说明原因。
20. 以椭圆2222(1)x a x a a +=>的一个顶点(0,1)C 为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC ,试问：这
样的等腰直角三角形是否存在？若存在，最多有几个；若不存在，说明理由。
21. 已知过点(2,0)D -的直线l 与椭圆2
212
x y +=交于不同的两点,A B ，点M 是弦AB 的中点。
（1）若OP OA OB =+ ，求点P 的轨迹方程。
（2）求||/||MD MA 的取值范围。
22. 已知椭圆2
212
x y +=的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，点C 在有准线l 上，且BC x 轴。
求证直线AC 经过线段EF 的中点。