第6章%20对偶原理及灵敏度分析
运筹学 对偶理论和灵敏度分析
1.单纯形的矩阵描述
用矩阵语言描述单纯形法的关键是写出两个基本的 表达式,设线性规划的标准型为 maxz=CX AX=b X≥0
C=(CB,CN)，X=(XB,XN)’，A=(B,N)
由约束条件AX=(B,N)(XB,XN)=BXB+NXN=b，可以得 到用非基变量表示基变量的表达式:
-2 -3 -1 -1 1/3 x3 -1/3 0 x1 4/3 1 x5 1/3 0 0
' ' - a 1k / alk ' ' - a 2k / alk ... ' 1 / alk ... ' ' - a mk / alk
3对偶理论
某厂生产甲乙两种产品，各自的零部件分别在A、B车间生产，最 后都需在C车间装配，相关数据如表所示： 问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。 工时单耗 生产能力 产品 甲 乙 车间 A 1 0 8 B 0 2 12 C 3 4 36 单位产品获利 3 5 • maxZ= 3x1 +5 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 S.t. 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0
(4)影子价格在资源采购决策中的应用。
当资源的市场价格低于影子价格，企业买进该资源，扩 大生产，当资源的市场价格高于影子价格，企业应设法转让 该资源。
(5)利用影子价格分析工艺改变后对资源节约的收益。 例如设工厂现有钢材100吨，其影子价格为3/4，采用新 工艺后，钢材可以节约2%，则由此带来的经济收益为：
(3)影子价格在新产品开发决策中的应用。 产品 资源 A B 影子价格(万元)
钢材 煤 机时
单位利润(万元)
第六章单纯形法灵敏度分析与对偶
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
∴ 最优生产计划是：生产1个单位产品C，生产2个单位产 品D，不生产A、B产品。可得最大总利润 88 个单位。
可能改变 C – CBB-1A ≤ 0 变
求出使该表达式仍然成立的 C 的变化范围
若 C 的变化超出该范围，则原最优解将改变
例1：某工厂用甲、乙两种原料生产A、B、C、 D
四种产品，要求确定总利润最大的最优生产 计划。该问题的线性规划模型如下：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4
则：在原最终单纯形表上，新变量对应的系数列为Pj '= B-1Pj，
检验数为 σj= Cj – CBB-1 Pj
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≤ 0，则原最优解不变；
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≥ 0，则继续迭代以求出新的最优解。
例3： 沿用例1 ►
如果该工厂考虑引进新产品E ，已知生产 E 产品1 个单位要消耗甲材料3个单位和乙材料1个单位。
要求：⑶产品E 的利润达到多少时才值得投产？
解： 设生产 E 产品X7个单位，单位产品的利润为C7，
则模型变为：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 + 0x5 + 0x6+ C7x7 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 + x5 + 3 x7 = 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 + x6 + x7 = 3 （乙材料）
对偶理论及灵敏度分析
问 题 的 导 出
工 时 材 料 单件利润
1 1 2
•出卖资源获利应不少于生产产品的获利; 约束 •价格应该尽量低，这样，才能有竞争力; 目标
•价格应该是非负的
A
B
1
4 3
C
1
7 3
拥有量
问 题 的 导 出
工 时 材 料 单件利润
1
1 2
3
9
用y1和y2分别表示工时和材料的出售价格 总利润最小 保证A产品利润 min W=3y1+9y2 y1+y2≥2
保证B产品利润
保证C产品利润
y1+4y2≥3
y1+7y2≥3
售价非负
y1≥0
y2≥0
A
B
1
4 3
C
1
7 3
拥有量
问 题 的 导 出
工 时 材 料 单件利润
1
1 2
3
9
minW 3 y1 9 y2
y1 y 2 2 y 4y 3 1 2 s.t. y1 7 y 2 3 y1 0, y 2 0
对 称 形 式 的 对 偶 问 题
max Z CX
对 偶 问 题 的 定 义
AX b s.t. X 0
minW b Y
T
T
T T T A Y C s.t. T Y 0
或 min Yb
YA C s.t. Y 0
对 称 形 式 的 对 偶 问 题
4 y1 8 y 2 12 y 3 4 5 y 9 y 13y 2 1 2 3 3 6 y1 10 y 2 y1符号不限, y 2 0, y 3 0
对偶理论与灵敏度分析课件
航空航天领域
飞机和航天器的设计过程中需要 对气动性能、结构性能等进行灵
敏度分析，以优化设计方案。
机械工程领域
在机械设计中，需要对机构性能 、动力学特性等进行灵敏度分析 ，以提高机械设备的性能和稳定
性。
环境工程领域
在环境治理和生态保护方面，需 要对污染物扩散、水体自净等进 行灵敏度分析，以制定有效的环
详细描述
在机器学习中，我们通常会使用各种模型来预测未知数据。对偶理论和灵敏度分析可以 帮助我们理解这些模型的预测能力和泛化性能。例如，通过对偶理论，我们可以将一个 复杂的模型转化为一个更简单的模型，从而更容易理解和使用。同时，灵敏度分析可以
用来研究模型参数变化对预测结果的影响，从而更好地调整模型参数。
详细描述
在优化问题中，对偶理论可以将原问题转化为一个等价的优 化问题，有时这个新问题可能更容易求解。同时，灵敏度分 析可以用来研究原问题的参数变化对最优解的影响，从而更 好地理解问题的性质和最优解的稳定性。
金融问题中的对偶与灵敏度分析
总结词
在金融领域，对偶理论和灵敏度分析可 以用于风险评估、投资组合优化等问题 。
对偶理论的应用场景
资源分配问题
对偶理论可以应用于资源分配问 题，通过求解对偶问题来获得最
优解。
运输问题
对偶理论可以应用于运输问题，通 过求解对偶问题来获得最优解。
投资组合优化
对偶理论可以应用于投资组合优化 问题，通过求解对偶问题来获得最 优解。
02
灵敏度分析简介
灵敏度分析的定义
01
灵敏度分析是指对系统参数变化 引起系统性能变化的程度进行分 析，旨在了解系统对参数变化的 敏感程度。2
灵敏度分析算法的改进
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题
b'= B-1 b=
-2 0
σj= Cj-CBB-1 P j
CB CB 0 0 0 XB x3 x4 x5 j CB CB 50 0 XB x1 x4 b b
50 x1 1 2 0
50
100 x2 1 1 1
怎么样 简单吧
对称型线性规划问题
2、非对称型对偶问题
表 对偶变换的规则
好难记呀！
原问题(max,) 技术系数矩阵 A 价值系数 C 右端项 b 第 i 行约束条件为 型 第 i 行约束条件为 型 第 i 行约束条件为 = 型 决策变量 xj 0 决策变量 xj 0 决策变量 xj 不限
最 终 3/5 -3/10 1/10 3/10 -1/10 单 纯 -2/5 1/5 -2/5 -1/5 2/5 形 表 0 -1/2 -1/2 ½-M ½-M 格
x3
x4
x5
x6
x7
例5：对称形线性规划问题：
maxZ=50x1+100x2+0x3 +0x4 +0x5 maxZ=50x1+100x2 x1 +x2 ≤300 x1 +x2 +x3 =300
XS
b
B CB
检验数j
当迭代若干步，基变量为X B时，新的单纯形表: Cj
CB XB CB CN XN B-1N CN- CB B-1N 0 XS B-1 - CB B-1
XB
B-1b
I 0
检验数j
举例
maxZ=3x1 +5 x2 +0x3 +0x4+0x5 =0 x1 + x3 =8 2x2 + x4 =12 3x1 +4 x2 + x5=36
运筹学-对偶理论及灵敏度分析
1 − 2 ≥
1, 2 ≥ 0
max =
=
≥0
s.t.ቊ
原问题
原问题与对偶问题
综上所述，我们可以归纳
原问题与对偶问题
= 21 + 32
1 + 22 ≤ 8
41
≤ 16
s. t.
42 ≤ 12
1 , 2 ≥ 0
min = 81 + 162 + 123
恒有cx≤ yb
③最优性：x是原问题的可行解，y是对偶问题的可行
解，且有cx=yb，则x是原问题的最优解，y是对偶问题
的最优解
④强对偶性：若原问题及对偶问题均有可行解，
则两者均具有最优解，且最优解的目标函数值相同
⑤松紧定理：在线性规划问题的最优解中，对应
某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取
40
X1
15
1
3/2
0
-1/2
1/2
0
0
X5
9
0
3/2
0
-3/2
1/2
1
50
x2
15/2
0
-1/4
1
3/4
-1/4
0
用x1‘替换x1
以x1‘作为换入变量，x1作为换出变量
灵敏度分析
增加一个约束条件的变化
计划生产如下所示：
产品
资源
产品A
产品B
资源总量
煤
1
2
30
劳动日
3
2
60
仓库
0
2
24
利润
40
50
产品A、B增加一道检验程序，A检测3小时/件，B检测2小时/件，
线性规划中的对偶问题与灵敏度分析
线性规划中的对偶问题与灵敏度分析线性规划是一种优化方法，广泛应用于各个领域的决策问题。
在线性规划中，对偶问题与灵敏度分析是两个重要的概念和工具，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
1. 对偶问题在线性规划中，对偶问题是指与原始问题相对应的一个问题。
它通过转换原始问题并构造一个新的问题，以便从不同的角度来解释和解决原始问题。
对偶问题能够提供原始问题的一些有用信息，并且在某些情况下，对偶问题的解与原始问题的解是相等的。
对偶问题的构造可以通过拉格朗日对偶性理论来完成。
该理论通过构造一个拉格朗日函数，将原始问题中的约束条件转化为拉格朗日乘子，从而得到对偶问题。
对偶问题的目标函数是原始问题的约束条件的线性组合。
解决对偶问题可以通过求解拉格朗日函数的最优化问题来实现。
对于线性规划问题，对偶问题的解可以通过求解一组线性方程或线性不等式来获得。
对偶问题的解不仅可以提供原始问题的一些信息，还可以用于检验原始问题的解的可行性和最优性。
2. 灵敏度分析灵敏度分析是在线性规划中评估解决方案对问题参数变化的响应程度的方法。
它可以帮助我们了解如果问题的参数发生变化，对解决方案的影响有多大，并做出相应的调整和决策。
灵敏度分析可以通过改变单个参数或多个参数来进行。
其中，常见的灵敏度分析包括目标函数系数的变化、约束条件右侧常量的变化和新增或取消约束条件。
这些变化可以用来模拟实际情况中可能发生的条件变化，以及评估解决方案的稳定性和可行性。
在进行灵敏度分析时，我们可以通过计算变动参数对解决方案的影响程度来得到一些关键指标。
例如，参数的变化导致目标函数值的变化量称为“影子价格”，而约束条件右侧常量的变化导致解决方案中相应决策变量的变化量，则称为“机会成本”。
灵敏度分析的结果可以帮助我们确定参数的重要性，判断解决方案的可行性和稳定性，以及找到最佳的决策方案。
在实际应用中，灵敏度分析可以帮助我们应对不确定性和风险，做出更加准确和可靠的决策。
第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶
这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的
z
有关了。这将使得最优目
j
标值特别“恶化”而不是改进，故这时约束条件的对偶价格应取 z j 值的相反
数- z j。
对于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方
程的人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变
量的 z j值。
管理运筹学
XB
bb12
5
5
,
X
B
5
5
b3 15
15
对于b1：比值的分母取B－1的第一列，这里只有β11=1，而β21=β31=0，则
1
max
b1
11
5 1
5
Δb1无上界，即Δb1≥－5，因而b1在[35,+∞) 内变化时对偶价格不变。
管理运筹学
18
§1 单纯形表的灵敏度分析
对于b2：比值的分母取B－1的第二列，β12＜0，β22＞0，则
§1 单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量Ck系数灵敏度分析
1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广矩阵不变，又因为Xk是非 基变量，所以基变量的目标函数的系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变
xBi di1
|
d 'i1
0
50
而Min
xBi di1
|
d 'i1
0
25,故有当 50
b1
25,即250
b
b
325第一个
约束条件的对偶价格不变。
韩伯棠管理运筹学(第三版)_第六章_单纯形法的灵敏度分析与对偶
迭代 基
次数 变 量
CB
x1 x2 。 s1 50 100 0
s2
s3
0 0b
x1 50 1 0 1
0 -1 50
S2 0 0 0 -2
1 1 50
2
x2 100 0 1 0
0 1 250
zj
50 100 50 0 50
σj=cj-zj
0 0 -50
0 -50 2750 0
❖
从上表可以发现设备台时数的约束方程中的松弛变量S1
j ck akj 0, ck akj j ,
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
而当j k时, k ck ck zk ck ck zk ckaKK ,
因为xk是基变量,知 k 0, akk 1,故知 k 0.
x1 x2 s1 50 100 0 1 01 0 0 -2 0 10
s2
s3
00
b
0 -1 50
1 1 50
0 1 250
zj σj=cj-zj
50 100 50 0 0 -50
0 50 0 -50
Z= 27500
先对非基变量s1的目标函数的系数C3进行灵敏度 分析。这里σ3=-50，所以当C3 的增量ΔC3≤-(-50)即 ΔC3≤50时，最优解不变，也就是说S1的目标函数的系 数C′3=C3+△C3≤0+50=50时，最优解不变。
规划问题的对偶价格就不变。而要使所有的基变量仍然
是基变量只要当bj 变化成b′j =bj+△bj时，原来的基不变所 得到的基本解仍然是可行解，也就是所求得的基变量的
管理运筹学ppt6第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶ok
§ 1 单纯形表的灵敏度分析
解：首先求出x3在最终表上的系数列B−1P'6，zj,σj
迭代 基变
x1
x2
s1
s2
s3
x3
次数 量
cB
50 100
0
0
0
160
x1
50
1
0
1
0
-1
10.5
s2
0
0
0
-2
1
1
20
2
x2
100
0
1
0
0
1
1
zj
50
100
50
0
50 125
σj=cj-zj
0
0
-50
0
-50 35
➢ 基变量系数cB变化 ➢ 对所有的zj都变化，包括zk
z j cB p j
假设cB=(cB1, cB2,…, ck ,…,cBm)
(cB1, cB2,…, ck+ck ,…,cBm)
§ 1 单纯形表的灵敏度分析
原最优单纯形表可表示如下。
迭代 基变
…
xk
…
xj
…
次数 量
cB
…
ck
…
cj
…
xB1
若要最优解不变
j = j ck akj
当j≠k时， j
0
akj 0
ck
j
akj
akj 0
ck
j
akj
当j=k时， k ck ck zk
xk为基变量 k 0, akk 1
k = 0
=ck ck zk ck akk
max{
j
第6章 对偶原理及灵敏度分析
习题 6 6.1 试建立下述LP问题的对偶关系表，并写出其对偶问题：（1）max z=4x1+3x2+6x3s.t.123123123123 360 22340 2260,0,0 x x xx x xx x xx x x++≤⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥≥≥⎩（2）min w=60x1+10x2+20x3s.t.123123123123321210,0,0 x x xx x xx x xx x x++≥⎧⎪-+≥-⎪⎨+-≥⎪⎪≥≥≥⎩（3）min w=5x1-3x2s.t.123123123123 24221330,0,0 x x xx x xx x xx x x-+≥⎧⎪+-≥⎪⎨--≥⎪⎪≥≥≥⎩（4）max z=4x1+3x2+6x3s.t.1231231232410 253150,0,0 x x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎨⎪≥≥≥⎩（5）min w=2x1+2x2+4x3s.t.123123123232352 3734650,0x x xx x xx x xx x++≥⎧⎪++≤⎪⎨++=⎪⎪≤≥⎩(6) min w=2x1+3x2+6x3+x4s.t.123412341234124344721 273818 25340,0,0x x x xx x x xx x x xx x x+++=⎧⎪+++≥⎪⎨-+-≤⎪⎪≥≤≥⎩6.2 已知LP问题：min z= 5x1+6x2+3x3s.t. 12312312312312312231235535020769307241510654510200,0,0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++≥⎧⎪+-≥⎪⎪+-≥⎪++≥⎪⎨+-≥⎪⎪+≥⎪-≥⎪⎪≥≥≥⎩ 试通过求解其对偶问题来确定该LP 问题的最优解。
6.3 已知LP 问题：max z= x 1+2x 2s.t.121212210,0x x x x x x -≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩（1）试证明它与其对偶问题均无可行解。
运筹学线性规划的灵敏度分析与对偶
7
(2) 若 ck 是基变量的系数
设
c
' k
ck
Δc k , 为基变量的价值系数，
则
C
' B
c1
c k Δc k
C B 0
Δc k
σ
' j
cj
C
' B
B
1
P
j
cj
C
' B
P
' j
c j C B 0
Δc k
P
' j
σ j 0
Δc k
P
' j
σ j Δc k a rj
当 所有的
s.t 2x1 x2 3x3 x5 4 x1~x5 0
试求 c3 在多大范围内变动时，原最优解保持不变。
解：最优单纯形表
CI
-2 -3 -4
0
0
CB
XB
b
x1 x2
x3
x4
x5
-3
X2
2/5
0 1 -1/5 -2/5 1/5
-2 X1 11/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
-z
28/5 0 0 -9/5 -8/5 -1/5
10
7
-1
-2
-z
43
0
0 22
-5
-7
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
-3 x2 5/7 -4/7 1
0
-3/7 1/7
-2 x1 11/7 1/7 0
1
-1/7 -2/7
-z
37/7 -24/7 0
0 -11/7 -1/7
运筹学精品课件之 对偶问题和灵敏度分析
关键看σ j 0? 还是>0? . 用(三)类似方法解决。
(2)、基变量Xj工艺改变，复杂
例：产品A工艺改变，对甲、乙需求变为2，2。 利润为7，问最优方案如何？
0 X4 2 8 X2 10
80
1 0 0 1 -1/2 1 1 1 0 1/2 -5 0 -2 0 -7/2
这时最优方案发生了改变。
基变量Xj工艺改变
•也可能 B-1 b出现负数
•检验数与基变量均不满足最优解要求
例 p1’ = 1
3
C1’ = 7
p一1’ = B-1 p1’ = σ一1’= -4
(2)、 b1改变, b1=30 ，B-1 b= 2 -1
30 40 =
-1 1 20 -10
5 X1 40 1 0 0 2 -1 8 X2 -10 0 1 1 (-1) 1
120 0 0 -2 -2 -3
5 X1 20 1 2 2 0 1 0 X4 10 0 -1 -1 1 -1
100 0 -2 -4 0 -5
问：如何安排产品产量，可获最大利润？
解 maxZ=5X1 +8X2 +6X3
X1+ X2 + X3+X4 = 12 X1+2X2+2X3 +X5 =20
X1 … X5 0
58 60 0
X1 X2 X3 X4 X5 0 X4 12 1 1 1 1 0 0 X5 20 1 2 2 0 1
058 60 0
② C1改变 C1=10， σ 5 =2>0 ,换基
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习题 6 6.1 试建立下述LP问题的对偶关系表，并写出其对偶问题：（1）max z=4x1+3x2+6x3s.t.123123123123 360 22340 2260,0,0 x x xx x xx x xx x x++≤⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥≥≥⎩（2）min w=60x1+10x2+20x3s.t.123123123123321210,0,0 x x xx x xx x xx x x++≥⎧⎪-+≥-⎪⎨+-≥⎪⎪≥≥≥⎩（3）min w=5x1-3x2s.t.123123123123 24221330,0,0 x x xx x xx x xx x x-+≥⎧⎪+-≥⎪⎨--≥⎪⎪≥≥≥⎩（4）max z=4x1+3x2+6x3s.t.1231231232410 253150,0,0 x x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎨⎪≥≥≥⎩（5）min w=2x1+2x2+4x3s.t.123123123232352 3734650,0x x xx x xx x xx x++≥⎧⎪++≤⎪⎨++=⎪⎪≤≥⎩(6) min w=2x1+3x2+6x3+x4s.t.123412341234124 344721 273818 25340,0,0x x x xx x x xx x x xx x x+++=⎧⎪+++≥⎪⎨-+-≤⎪⎪≥≤≥⎩6.2 已知LP问题：min z= 5x1+6x2+3x3s.t. 12312312312312312231235535020769307241510654510200,0,0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++≥⎧⎪+-≥⎪⎪+-≥⎪++≥⎪⎨+-≥⎪⎪+≥⎪-≥⎪⎪≥≥≥⎩ 试通过求解其对偶问题来确定该LP 问题的最优解。
6.3 已知LP 问题：max z= x 1+2x 2s.t.121212210,0x x x x x x -≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩（1）试证明它与其对偶问题均无可行解。
（2）试构造一个LP 问题，使其本身及其对偶问题均无可行解。
6.4 不用单纯形法，利用对偶性质和其它简便方法求解下述LP 问题：(1) max w=4x 1+3x 2+6x 3s.t. 1231231233330223400,0,0x x x x x x x x x ++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥≥≥⎩(2) max z=x 1-x 2+x 3131231234230,0,0x x x x x x x x -≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥≥⎩6.5 已知LP 问题：max z= 6x 1+8x 2s.t.12121252202100,0x x x x x x +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩(1)写出它的对偶问题。
(3)用单纯形法求解原始问题。
(5)用对偶单纯形法求解对偶问题。
(6)该问题是否满足互补松弛性？为什么？6.6用对偶单纯形法求解下述LP 问题:(1)min z= x 1+x 2s.t. 1211212245360,0x x x x x x x +≥⎧⎪≤⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩ (2) min z= 3x 1+2x 2+x 3 s.t.12313231236430,0,0x x x x x x x x x x ++≤⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪≥≥≥⎩6.7 某厂拟生产甲、乙、丙三种产品，都需要在A ，B 两种设备上加工，有关数据如下表所示：（1） 如何充分发挥设备能力，使产品总产值最大？（2） 若为了提高产量，以每台时350元租金租用外厂A 设备，问是否合算？6.8 试就6.7题解答下列问题：（1）试分别确定甲产品单位产值、B 设备供量各自的影响范围。
（2）若每月能以39万元租金租用外厂B 设备300台时，则应否租用？为什么？（3）若每月A 设备提供量减少200台时，B 设备供量增加100台时，试问最优解与影子价格有何变化？6.9 已知LP 问题max z=5x 1+2x 2+3x 3s.t. 1231123212352560,0,0x x x b x x x b x x x ++≤⎧⎪--≤⎨⎪≥≥≥⎩对于给定的常数1b 和2b ，其最优单纯形表是：其中λ1，λ2，λ3，λ4，λ5是常数。
试求： （1）b 1和b 2的值。
（2）对偶问题的最优解。
（3）λ1，λ2，λ3的值。
（4）参数c 1, c 2, c 3的影响范围。
（5）参数b 1，b 2的影响范围。
（6）参数121323,,a a a 的影响范围。
（7）参数1121,a a 的影响范围。
6.10 已知LP 问题max z=-5x 1+5x 2+13x 3s.t. 12312312332012410900,0,0x x x x x x x x x ++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥≥≥⎩试用单纯形法求出最优解，然后分别对下述情况进行灵敏度分析：（1）分别确定参数1122,,c b a 的影响范围。
（2）参数b 1从20变为30。
（3）参数b 2从90变为70。
（4）参数c 3从13变为8。
（5）x 1的系数变为11121205c a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（6）x 2的系数变为21222625c a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （7）增加一个约束条件2x 1+3x 2+5x 3≤50（8）把约束条件2变为10x 1+5x 2+10x 3≤1006.11 已知LP 问题max z=2x 1+7x 2-3x 3s.t. 12312312334304100,0,0x x x x x x x x x ++≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥≥≥⎩给它引进松弛变量x 4,x 5后，用单纯形法求得其最优方程组如下：23523451235220520410z x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪-++-=⎨⎪+-+=⎩试对下述情况分别进行灵敏度分析：（1） b 1减少20，同时b 2增加10.（2） 改变x 3的系数为31323232c a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（3） 改变x 1的系数为11121432c a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （4）引进一个具有系数61626312c a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的新变x 6. （5） 改变目标函数为z=x 1+5x 2-2x 3.（6） 增加一个约束条件3x 1+2x 2+3x 3≤25.（7） 改变约束条件2为x 1+2x 2+2x 3≤40.（8） 改变约束条件1为2x 1+2x 2+x 3≤20，同时增加一个约束条件x 1+2x 2+x 3=20.6.12已知LP 问题max z=2x 1-x 2+x 3s.t. 12312312312332215340,0,0x x x x x x x x x x x x -+≤⎧⎪-++≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥≥≥⎩ 给它引进松弛变量x 4,x 5 ,x 6后，用单纯形法求得其最优方程组如下： 345234535613452185324274221z x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨++=⎪⎪+++=⎩ 试对下述情况分别进行灵敏度分析：（1） 分别确定参数13212,,,b b c a 的影响范围。
（2） 改变右端为1232042b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （3） 改变目标函数中x 3的系数为c 3=2.（4） 改变目标函数中x 1的系数为c 1=3.（5） 改变x 3的系数为31323334321c a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（6）同时改变x1和x2的系数为：11121311112caaa⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,21222322132caaa-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（7）改变目标函数为z=5x1+x2+3x3. （8）改变约束条件1为2x1-x2+4x3≤12. （9）增加一个约束条件2x1+x2+2x3≤60.。