函数的不动点(高考题)

例 对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠，

（1）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；

（2）对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是()f x 的不动点，且,A B 两点关于直线21

21

y kx a =++对称，求b 的最小值 解：（1）2()3f x x x =--，0x 是()f x 的不动点，

则2

000()3f x x x x =--=，得01x =-或03x =，

函数()f x 的不动点为1-和3 （2）∵函数()f x 恒有两个相异的不动点，

∴2()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实根，

224(1)440b a b b ab a ∆=--=-+>对b R ∈恒成立，

∴2

(4)160a a -<，得a 的取值范围为(0,1) （3）由2(1)0ax bx b ++-=得

1222x x b a +=-， 由题知1k =-，2

1

21y x a =-++， 设,A B 中点为E ，则E 的横坐标为21(,)2221b b a a a -

++， ∴212221

b b a a a -=++，

∴21

1

214

2a

b a a a =-=-≥-++ 当且仅当12(01)a a a =<<

，即2

a =时等号成立， ∴

b 的最小值为