函数的不动点(高考题)
高中数学函数不动点题解题技巧
高中数学函数不动点题解题技巧在高中数学中，函数不动点是一个重要的概念，也是一种常见的题型。
函数不动点指的是一个函数的输入等于输出的点，即f(x) = x。
解题时，我们需要找到函数的不动点，并求解。
一、基本概念函数不动点是指在函数中，存在一个点x，使得f(x) = x。
这意味着当我们将x 作为函数的输入时，函数的输出等于x本身。
函数不动点的求解可以通过方程f(x) = x来实现。
二、解题方法为了解决函数不动点的题目，我们可以采用以下几种方法：1. 图像法图像法是一种直观的方法，通过绘制函数的图像来找到函数的不动点。
首先，我们可以将函数的表达式转化为图像，然后观察图像与y=x的交点。
这些交点就是函数的不动点。
例如，考虑函数f(x) = 2x - 1。
我们可以绘制出它的图像，并观察图像与y=x的交点。
通过观察，我们可以发现函数的不动点为x=1。
2. 代数法代数法是一种通过代数运算来求解函数不动点的方法。
我们可以将方程f(x) = x转化为f(x) - x = 0的形式，然后求解这个方程。
例如，考虑函数f(x) = x^2 - 3x + 2。
我们可以将方程f(x) - x = 0转化为x^2 - 4x + 2 = 0的形式，然后求解这个方程。
通过解方程，我们可以得到函数的不动点为x=1和x=2。
3. 迭代法迭代法是一种通过迭代计算来逼近函数的不动点的方法。
我们可以选择一个初始值x0，然后通过不断迭代计算来逼近函数的不动点。
例如，考虑函数f(x) = sin(x)。
我们可以选择一个初始值x0，然后通过不断迭代计算来逼近函数的不动点。
具体的迭代计算公式为x(n+1) = sin(x(n))。
通过不断迭代计算，我们可以逼近函数的不动点。
三、举一反三函数不动点题型可以通过举一反三的方法来扩展。
我们可以将题目中的函数替换为其他函数，然后采用相同的解题方法来求解。
例如，考虑函数f(x) = 2sin(x)。
我们可以使用相同的解题方法来求解函数的不动点。
用“函数的不动点”巧解高考试题
引 理２若 列 ｝足Ｘ１ｎ ＋ｘ 数 ｛ 满 ｎ一 ｂ＋ 云 ４ ｚ
（ ０且 。 函 （） ａ ＋ ＋ 云 的 小 ｄ ） 是 数厂 。 ． 如 最 ＞ ， ｚ 一Ｔ ２
不动点 ， 则 ｌ ～ 一日 一 ）． （ ０
【 １ （ ０ ２年京 、 春季 卷 ） 例 】 ２０ 皖 已知 函数 ／（ ＝ ） ＝
ｎ ＝２ （ ≥ １ ， ａ＋３ ｍ ）则该数列通项 ｎ 一—
—
．
解 ： ｘ ｘ ３求 出 不 动 点 Ｘ 一－ ３ 由引 理 １ 得 由 ＝２ ＋ ， Ｏ － ， ，
数列 ｛ ｝ “＋３ 为首项 ， ａ＋３是 —４ ２为公 比的等 比数列 ， 故 ｎ ＋３ ×２ ， ｎ 一２ －３ —４ 即 ．
Ｚ Ｉ ＧＸＵ ＩＯＮ Ｅ Ｊ ＡＯＸ Ｊ Ｃ Ｉ ＩＥ ＡＮＫＡ Ｏ
考试 研究
用“ 函数 的 不 动 点 ’ 解 高考 试 题 ’ 巧
甘 肃天水 市一 中（ ４ ０ ０ 赵建 忠 ７ １０ ）
在 高考 中， 我们经常会碰到 以高等数学 内容 为背景 的试题 ， 这些试题不仅要求 学生掌握 扎实 的基础知 识和 基本技能 ， 而且还能提高他们适应 新背景 、 发现新 问题 、 解决新问题的能力． 随着新 教材 的全面贯 彻 ， 以导数 、 微 积分 、 概率统计 为背 景的考 试题 ， 家都 比较熟悉 ， 大 在此 不再 赘述． 文重点 分析 以高 等数 学 内容“ 本 函数 的不 动 点” 为背景 的试题 ， 消除这些试题在学生 中的思想 障碍．
定 义 对 于 函 数 定 义 Ｌ（ ， 存 在 ｚ ∈ Ｒ。 厂 ｚ） 若 。 使 ｆ ｘ ） 成 立 ， 称 Ｘ 为 函数 ｆ ｘ 的 一个 不 动点 ． （ｏ一 。 则 ｏ （）
专题14 函数不动点问题(原卷版)
专题14函数不动点问题一、单选题1．（2020·广东海珠·高二期末）设函数()f x （a R e ∈，为自然对数的底数），若曲线y x x =上存在点00()x y ，使得00()f y y =，则a 的取值范围是 A ．1e[1]e-, B ．1e[e 1]e-+， C ．[1e 1]+， D ．[1,e]2．（2021·四川·高考真题（文））设函数（a ∈R ，e 为自然对数的底数）．若存在b ∈[0，1]使f （f （b ））=b 成立，则a 的取值范围是（ ） A ．[1，e]B ．[1，1+e]C ．[e ，1+e]D ．[0，1]3．（2021·山西省榆社中学高三月考（理））若存在一个实数t ，使得()F t t =成立，则称t 为函数()F x 的一个不动点.设函数()1(xg x e x a =+-(a R ∈，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()g x 的一个不动点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ C ．⎛⎤⎥ ⎝⎦ D ．⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭4．（2021·四川自贡·高二期末（文））设函数()()1ln 2=+-∈f x x x a a R ，若存在[]1,b e ∈(e 为自然对数的底数)，使得()()f f b b =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,122⎡⎤--⎢⎥⎣⎦eB ．e 1,ln 212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,ln 212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．（2021·重庆一中高一期中）设函数()2xf x e x a =+-（,a R e ∈为自然对数的底数），若存在实数[]0,1b ∈使()()f f b b =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]0,eB ．[]1,1e +C ．[]1,2e +D ．[]0,16．（2021·全国·高三专题练习）设函数()f x a ∈R ，e 为自然对数的底数），若曲线sin y x =上存在点()00x y ，使得()()00f f y y =，则a 的取值范围是（ ）．A ．[]1e ，B ．111e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C ．[]1e 1+， D ．11e 1e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，7．（2021·黑龙江·哈尔滨三中二模（理））设函数()2xf x e x a =+-（a R ∈），e 为自然对数的底数，若曲线sin y x =上存在点()00,x y ，使得()()00f f y y =，则a 的取值范围是（ ）A ．11,1e e -⎡⎤-++⎣⎦B ．[]1,1e +C ．[],1e e +D ．[]1,e8．（2016·江西南昌·高三专题练习）设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数），若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是 A ．[]1,e B ．1,1e -⎡⎤⎣⎦ C ．[]1,1e +D ．1,1e e -⎡⎤+⎣⎦9．（2016·海南·高三月考（理））设函数(),f x a R e =∈为自然对数的底数）.若曲线sin y x =上存在 00,x y 使得()()00f f y y =，则a 的取值范围是 A ．[]1,eB ．11,1e -⎡⎤-⎣⎦C ．[]1,1e +D ．11,1e e -⎡⎤-+⎣⎦10．（2016·安徽合肥·高三期中（理））设函数，为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是 A ．B ．C ．D ．11．（2014·重庆·高二期中（文））设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数）．若存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立，则a 的取值范围是 A ．[1,]eB ．[1,1]e +C ．[,1]e e +D ．[0,1]12．（2021·全国·高一单元测试）设函数()f x =a ∈R ），若存在[]02,3x ∈，使得()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，则a 的取值范围为（ ） A ．[]ln33,ln 22-- B ．[]ln36,ln 22-- C ．[]ln36,ln 24--D ．[]ln 22,ln33++13．（2017·河北衡水中学二模（文））设函数()3(xg x e x a a =+-∈,R e 为自然对数的底数），定义在R 上的连续函数()f x 满足：()()2f x f x x -+=，且当0x <时，()'f x x <，若存在()(){}0|222x x f x f x x ∈+≥-+，使得()()00g g x x =，则实数a 的取值范围为A ．12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],2e -∞+C ．1,2e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦D ．(2⎤-∞⎦14．（2021·云南大理·模拟预测（理））在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）A ．()ln 1f x x =-B ．()e 1x f x =+C ．1()f x x x=+D ．2()21f x x x =+-15．（2021·河北·衡水中学实验学校一模（文））设函数()f x =e 1e 1sin 22y x -+=+上存在点0(x ，0)y 使得00(())f f y y =成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[0，21]e e -+B ．[0，21]e e +-C ．[0，21]e e --D ．[0，21]e e ++16．（2021·安徽省怀宁县第二中学高三月考（理））设D 是函数()y f x =定义域内的一个区间，若存在0x D ∈，使()00f x x =-，则称0x 是()f x 的一个“次不动点”，也称()f x 在区间D 上存在“次不动点”，若函数()2532f x ax x a =--+在区间[1，4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[12,+∞)B ．1(,]2-∞C ．(-∞,0)D ．(0,12)17．（2021·全国·高二课时练习）设函数()f x =若曲线sin y x =上存在点()00,x y ，使得()()00f f y y =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,2e +B ．13,1e -⎡⎤-⎣⎦C ．[]1,1e +D ．13,1e e --⎡⎤+⎣⎦18．（2021·湖南·邵阳市第二中学模拟预测（理））设函数()f x 若曲线cos y x =上存在点()00,x y ，使得()()00f f y y =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]1,eB ．1e 3,1-⎡⎤-⎣⎦C ．[]1,e 1+D ．1e 3,e 1-⎡⎤-+⎣⎦19．（2021·江苏·南京田家炳高级中学高三月考）对于函数()f x ，把满足()00f x x =的实数0x 叫做函数()f x 的不动点.设()ln f x a x =，若()f x 有两个不动点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,eB ．(),e +∞C ．()1,+∞D ．()1,e20．（2021·浙江·高一期末）设函数35()22xx f x x a x +=+-++，若曲线cos y x =上存在点00(,)x y ，使得00(())f f y y =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．133[,]52-- B ．35[,]22-C ．314[,]23-D ．514[,]23二、多选题21．（2021·吉林·梅河口市第五中学高一月考）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L .E .J .Brouwer ）.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在实数0x ，使得()00f x x =，那么我们就称该函数为“不动点”函数.下列函数为“不动点”函数的是（ ） A ．()1f x x x =++B ．()235f x x x =--C ．4()3(0)f x x x x=->D ．221,0()1,0x x x f x x x ⎧++>⎪=⎨-≤⎪⎩22．（2021·全国·高二单元测试）定义方程()()f x f x '=的实数根0x 为函数()f x 的“新不动点”，下列函数中只有一个“新不动点”的函数为（ ） A ．()212g x x =B ．()e 2xg x x =--C ．()ln g x x =D ．()sin 2cos g x x x =+23．（2021·辽宁沈阳·高一期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L .E .J .Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数.下列为“不动点”函数的是（ ）A ．()3f x x +B ．()23g x x x =-+C ．()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D ．()1f x x x=-三、填空题24．（2021·云南师大附中高三月考（理））设函数()f x =e 1e 1sin 22y x -+=⋅+上存在点()00,x y ，使得()()00f f y y =成立，则实数a 的取值范围是___________.25．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数()2,xf x e x a a R =+-∈，若曲线sin y x =上存在点00,x y ，使得()()00f f y y =，则实数a 的取值范围是__________．26．（2017·江苏·常熟中学高三月考）已知函数()()ln R x f x x a a x =+-∈，若曲线122e e 1x x y +=+（e 为自然对数的底数）上存在点()00,x y 使得()()00f f y y =，则实数a 的取值范围为__________.27．（2021·黑龙江·铁人中学高二期末（文））对于函数()f x ，把满足()00f x x =的实数0x 叫做函数()f x 的不动点，设()ln f x a x =，若()f x 有两个不动点，则实数a 的取值范围是__________．。
不动点和稳定点
不动点和稳定点
今天说⼀道创新题.
分析：对于创新题、新定义题，⾸先要理解新定义表达的是什么意思.
本题中的不动点可以这样理解：⾃变量经过对应关系f处理⼀次，得到的函数值等于这个⾃变量，则此⾃变量称为函数的不动点.
类似地，稳定点可以这样理解：⾃变量经过对应关系f处理⼆次，得到的函数值等于这个⾃变量，则此⾃变量称为函数的稳定点.
本题中函数f(x)的稳定点和不动点是刚好相同，要求参数a的范围.
翻译成数学语⾔，就是这样的：
⾸先分析不动点需要满⾜的条件.
为保证上述⽅程有根，则判别式必须⾮负.
再来分析稳定点需要满⾜的条件.
对⽅程（1）的处理就是本题的技巧所在.
这个⽅程展开之后，有x的四次，有x的两次，还有x的⼀次，以我们⽬前的知识储备，是⽆法解根的.⽽且也没有所谓的判别式.
肿么办涅？
抓住本题的特点：不动点和稳定点是完全相同的.(题中⽤的是“恰好”⼆字）
这个结论为我们处理⽅程（1）提供了⽅法.即，⽅程（1）如果因式分解的话，必然会分解出因式（x2-x+a)出来.
于是我们把式⼦（x2-x+a)拼凑出来.
观察上式，因式（x2-x+a)已经出现.
因为稳定点和不定点完全⼀样，所以⽅程x2+x+a+1=0应该⽆解，或者⽅程x2+x+a+1=0的根与⽅程x2-x+a=0的根⼀样.
若⽅程x2+x+a+1=0⽆解，可求出a的范围.
若⽅程x2+x+a+1=0的根与⽅程x2-x+a=0的根⼀样，可求出a的值.
两种情况（1）（2）取并集，再与前⾯范围取交集，求出最后结果.。
不动点_精品文档
不动点不动点是一个在数学和计算机科学中经常讨论的概念。
在函数论和离散动力系统中，不动点是指一个函数的输入值与输出值相等的点。
通俗来说，就是一个函数的输入经过函数的变换后等于原来的输入，即输入与输出保持不变。
数学中的不动点在数学中，不动点理论变得非常重要。
给定一个函数f(x)，如果存在一个值x使得f(x) = x，那么x就是函数f的不动点。
换句话说，不动点就是函数经过变换之后保持不变的点。
1. 单变量函数中的不动点考虑一个单变量函数f(x)，不动点可以通过解方程f(x) = x来找到。
对于简单的函数，这可能是一个直接的过程。
例如，对于函数f(x) = 2x，我们可以将方程f(x) = x写成2x = x，并解得x = 0。
所以0是这个函数的不动点。
2. 多变量函数中的不动点对于多变量函数f(x1, x2, …, xn)，不动点是指当所有变量的值都等于函数的输出值时的点。
换句话说，如果对于所有的i（1 ≤ i ≤ n），都有fi(x1, x2, …, xn) = xi，那么(x1, x2, …, xn)就是函数f的不动点。
例如，考虑函数f(x, y) = (y, x)，可以验证当x = y时，f(x, y) = (y, x)，所以(x, x)是函数f的不动点。
计算机科学中的不动点在计算机科学中，不动点的概念经常用在函数式编程中。
在函数式编程中，函数通常被视为一等公民，可以作为参数传递给其他函数，或作为返回值。
而不动点则是指函数f(x) = x的解。
函数式编程中的不动点的一个重要应用是高阶函数的定义。
高阶函数是指接受一个或多个函数作为参数，并返回一个函数的函数。
不动点可以作为高阶函数的定义和实现的基本工具。
1. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过不动点来求解方程的方法。
对于一个方程f(x) = 0，可以通过迭代计算不动点来逼近方程的解。
具体来说，我们可以定义一个迭代函数g(x) = x - f(x)/f’(x)，其中f’(x)表示f关于x的导数。
专题1：函数的零点、不动点、稳定点
奥数专题1：函数的零点、不动点、稳定点一、基本知识1. 满足f(x)=0的x 的值叫做函数f(x)的零点2. 满足f(x)=x 的x 的值叫做函数f(x)的不动点3. 满足f(f(x))=x 的x 的值叫做函数f(x)的稳定点4. 若函数f(x)=ax+b(a ≠1)的不动点为x 0=b 1−a ，则函数f(x)可写成f(x)=a (x −b 1−a )+b 1−a ，f (2)(x )=a 2(x −b 1−a )+b 1−a ,⋯f (n )(x )=a n (x −b 1−a )+b 1−a ,此定理即：若x 0是f(x)的不动点，则x 0也是f （n ）(x)的不动点二、例题选讲1.设{}{}R x x x f f x B R x x f x x A R c b c bx x x f ∈==∈==∈++=,))((,),(),,()(2,如果A 中只含有一个元素,则有 （ ）A AB ⊂ B A B ⊂C B A =D φ=B A2.设c bx x x f ++=2)(，若方程x x f =)(无实根，则方程x x f f =))((（ ）A.有四个相异实根B.有两个相异实根C.有一个实根D.无实根3.已知c bx ax x f ++=2)(满足c b a f >>=,0)1(。
（1）求cb a b ac ,,的取值范围；（2）证明方程0)(=x f 有两个不等实根；（3）)(x f 图像与x 轴交于A 、B 两点，求AB 。
4.已知)()(2c b a c bx ax x f >>++=的图像上有两个点))(,()),(,(R f R B r f r A 满足0)1(,0)()()]()([2==+++f R f r f a R f r f a ．（1）求证：0≥b ；（2）求方程0)(=x f 的另一根的取值范围；（3）求证：)3(),3(++R f r f 中至少有一个为正数．5.对于函数)(x f ，若x x f =)(，则称x 为)(x f 的不动点；若x x f f =))((，则称x 为)(x f 的稳定点；函数)(x f 的不动点和稳定点的集合分别是A 、B ，即{}{}x x f f x B x x f x A ====))((,)(。
不动点的性质与应用
不动点的性质与应用一、不动点：对于函数()()f x x D ∈，我们把方程()f x x =的解x 称为函数()f x 的不动点，即()y f x =与y x =图像交点的横坐标.例1：求函数12)(-=x x f 的不动点.例2：求函数12)(2-=x x g 的不动点.二、稳定点：对于函数()()f x x D ∈，我们把方程[()]f f x x =的解x 称为函数()f x 的稳定点，即[()]y f f x =与y x =图像交点的横坐标.很显然，若0x 为函数)(x f y =的不动点，则0x 必为函数)(x f y =的稳定点.证明：因为00)(x x f =，所以000)())((x x f x f f ==，故0x 也是函数)(x f y =的稳定点. 例3：求函数12)(-=x x f 的稳定点.例4：求函数12)(2-=x x g 的稳定点.例5、对于函数f (x )，我们把使得f (x )=x 成立的x 称为函数f (x )的不动点。
把使得f (f (x ))=x 成立的x 称为函数的f (x )的稳定点，函数f (x )的不动点和稳定点构成集合分别记为A 和 B. 即A ={x |f (x )=x },B ={x |f (f (x ))=x }，（1）请证明：A ⊆B ；（2）2()(,)f x x a a R x R =-∈∈，且A =B ≠∅，求实数a 的取值范围.例6、已知函数(),y f x x D =∈，若存在0x D ∈，使得00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的不动点；若存在0x D ∈，使得00[()]f f x x =，则称0x 为函数()f x 的稳定点，则下列结论中正确的是_________(填上所有正确结论的序号).①112-、是函数2()21f x x =-的两个不动点；②若0x 为函数()y f x =的不动点，则0x 必为函数()y f x =的稳定点； ③若0x 为函数()y f x =的稳定点，则0x 必为函数()y f x =的不动点； ④函数2()21f x x =-共有三个稳定点；⑤()f x =例7、设函数())f x a R =∈.若方程f (f (x ))=x 有解,则a 的取值范围为( )A.1(,]4-∞B. 1[0,]8C. 1(,]8-∞ D.[1,+∞)例8：已知()bx x x f -=3，若()x f 在[1,)+∞上单调．（1）求b 的取值范围；（2）已知()bx x x f -=3，若设001,()1x f x ≥≥，且满足00[()]f f x x =，求证：00()f x x =．例9：已知()()20f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根。
数列问题不动点法的运用
数列问题不动点法的运用
有一位名叫ZeroToss的网友给我提出下列的数列问题，问我如何解决?
其实，本题可用“不动点法”求数列的通项公式。
首先，我们要知道，什么叫做函数的“不动点”？
对于一个函数f(x)，我们把满足f(m)=m的值x=m称为函数f(x)的“不动点”。
巧用“不动点”法求数列的通项公式，是高考中的一种比较特殊的方法。
为了让同学们好好理解并掌握这一方法。
下面我们以典型例题来加以说明（由于篇幅的关系，我们只讲步骤和方法，至于详细的证明，同学们可以在相关的《高中数学竞赛教程中》找到）。
当函数有两个“不动点”时，请同学们看下面的几个例题，即可掌握方法。
从上面的方法中，大家可以概括总结出函数“不动点”法求数列通项公式的基本方法了吗？
其实，第二种题型，相应的函数有两个不动点的，一般是形如
a(n+1)=(pan+m)/(qan+u)这样的数列求通项.这样的数列相应的函数的不动点为f(x)=(px+m)/(qx+u)=x的解x1=u，x2=v，最后一般都化归为:数列{(an-u)/(an-v)}是等比数列来求通项的问题。
我们现在再来看网友ZeroToss提出的数列问题的解答：。
不动点迭代法例题
不动点迭代法例题不动点迭代法（Fixed Point Iteration Method）是一种数值计算方法，用于求解非线性方程的近似解。
它基于不动点定理，即对于某个函数f(x)，如果存在一个点a满足f(a)=a，则a被称为f的不动点。
不动点迭代法的基本思想是通过一系列的迭代计算，逐步逼近函数的不动点。
为了说明不动点迭代法的原理和应用，我们来看一个简单的例题：求非线性方程f(x) = x^2 - 3x + 2的近似解。
首先，我们需要对方程进行变形，将其转化为x = g(x)的形式。
在这个例题中，我们可以将方程变形为x = g(x) = (x^2 + 2) / 3。
现在，我们的目标是通过迭代计算，逐步逼近函数g的不动点。
我们选择一个初始值x0作为迭代的起点，在这个例题中，我们可以选择x0 = 0作为初始值。
然后，我们通过迭代公式xn+1 = g(xn)来计算下一个近似解，直到满足某种收敛条件为止。
现在，我们可以进行迭代计算。
根据迭代公式，我们有：x1 = g(x0) = (x0^2 + 2) / 3 = (0^2 + 2) / 3 = 2/3x2 = g(x1) = (x1^2 + 2) / 3 = (2/3^2 + 2) / 3 = 22/27x3 = g(x2) = (x2^2 + 2) / 3 = (22/27^2 + 2) / 3 ≈ 14.963...通过不断迭代计算，我们可以得到一系列近似解。
在实际情况中，我们通常设置一个收敛条件，例如当两个近似解之间的差值小于某个阈值时，我们认为迭代已经收敛，找到了非线性方程的近似解。
不动点迭代法是一种简单而有效的数值计算方法，广泛应用于各个领域。
当然，它也存在一些限制，例如只能用于具有单根的非线性方程，对初始值的选择较为敏感等。
总之，不动点迭代法是一种通过迭代计算逼近函数的不动点的数值计算方法。
它可以帮助我们求解非线性方程的近似解，并在工程和科学中发挥重要作用。
2023高考压轴卷——数学(理)(全国乙卷)含解析
KS5U2023全国乙卷高考压轴卷数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合1282x A x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭∣，{}1,0,1,2B =-，则A B = （）A.{}2 B.{}1,0- C.{}0,1,2 D.{}1,0,1,2-2.设命题:p x ∀∈R ，e 1x x ≥+，则p ⌝是（）A.x ∀∈R ，e 1≤+x x B.x ∀∈R ，e 1x x <+C.x ∃∈R ，e 1≤+x x D.x ∃∈R ，e 1x x <+3.已知复数z 满足()1i 2i z -=-，则复数z 的虚部为（）A.12B.1i 2C.32D.3i 24.已知△ABC 中，D 为BC 边上一点，且13BD BC =，则AD =（）A.1233AC AB +B.2133AC AB +C.1344AC AB +D.3144AC AB +5.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）A.6B.3π3C.D.π36.如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等，则甲同学成绩的方差为（）A.4B.2C.D.7.已知30,10,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则x ＋2y 的最大值为（）A.2B.3C.5D.68.函数()4ee x xf x +-=-（e 是自然对数的底数）的图象关于（）A.直线e x =-对称B.点(e,0)-对称C.直线2x =-对称D.点(2,0)-对称9.已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，若()*5,p q p q +=∈N ，则p q a a =（）A.8B.16C.32D.6410.已知点(),P x y 到点()1F 和点)2F 的距离之和为4，则xy （）A.有最大值1B.有最大值4C.有最小值1D.有最小值4-11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则下述结论中正确的个数为（）①MN ∥平面ABCD ；②平面1A ND ⊥平面1D MB ；③直线MN 与11B D 所成的角为45︒；④直线1D B 与平面1A ND 所成的角为45︒．A.1B.2C.3D.412.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数()()e ln xf x x a x =-为“不动点”函数，则实数a 的取值范围是（）A.(],0-∞ B.1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.(],1-∞ D.(],e -∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()()2sin 0,08f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，其最小正周期为T ，且322T ππ<<，则ω的值为______．14.已知点()1,0A ，()2,2B ，C 为y 轴上一点，若π4BAC ∠=，则⋅= AB AC ______．15.3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为3D 线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm ，下底直径为9cm ，高为9cm ，则喉部（最细处）的直径为______cm ．16.在数列{}n a 中，11a =，()()*212nn n a a n ++-=∈N ．记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则4n S =______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()sin 2cos cos 02B C B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，（1）求证：B C =；（2）若3cos 5A =，ABC ∆的外接圆面积为254π，求ABC ∆的周长．18.研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化．某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天昼夜温差x（℃）47891412新增就诊人数y（位）1y2y3y4y5y6y参考数据：6213160iiy==∑，()216256iiy y=-=∑．（1）已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为1724，求1y的值；（2）已知两个变量x与y之间的样本相关系数1516r=，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程ˆˆˆy bx a=+，据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数（结果保留整数）．参考公式：()()()121ni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，()()ni ix x y yr--=∑．19.如图，△ABC是正三角形，在等腰梯形ABEF中，//AB EF，12AF EF BE AB===．平面ABC⊥平面ABEF，M，N分别是AF，CE的中点，4CE=．（1）证明：//MN平面ABC；（2）求二面角--M AB N的余弦值．20.已知函数()ln e 2e e xf x a x x a =+-+．（1）当e a =时，求曲线() y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若a 为整数，当1x ≥时，()0f x ≥，求a 的最小值．21.已知椭圆()2222:10+x y C a b a b=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12，M 为椭圆C 上一动点，FAM△面积的最大值为332．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点M 的直线:1l y kx =+与椭圆C 的另一个交点为N ，P 为线段MN 的中点，射线OP 与椭圆交于点D ．点Q 为直线OP 上一动点，且2OP OQ OD ⋅=，求证：点Q 在定直线上．（二）选考题：共10分．请考生在22~23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222x pty pt=⎧⎨=⎩（t 为参数），()2,4为曲线C 上一点的坐标．（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程；（2）过点O 任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C 交于点A ，B ，以直线OA 的斜率k 为参数，求线段AB 的中点M 的轨迹的参数方程，并化为普通方程．［选修4—5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()21f x x a x =++-．（1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）若0a >，0b >时，对任意[]1,2x ∈使得不等式()21f x x b >-+恒成立，证明：2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【KS5U 答案1】C【分析】由指数函数的单调性得{}13A x x =-<<，后由交集定义可得KS5U 答案.【KS5U 解析】13128222132x x x -<<⇔<<⇔<-<<，则{}13A x x =-<<，又{}1,0,1,2B =-，则A B = {}0,1,2.故选：C【KS5U 答案2】D【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后再动，原题让我们选择一个全称命题的否定，任意和存在是一对，要注意互相变化，大于等于的否定是小于.【KS5U 解析】x ∀∈R ，e 1x x ≥+的否定是x ∃∈R ，e 1x x <+.故选：D 【KS5U 答案3】A【分析】根据复数的除法运算可求得31i 22z =+，即可求得结果.【KS5U 解析】由()1i 2i z -=-可得()()()()222i 1i 2i 22i i i 31i 1i 1i 1i 1i 22z -+-+--====+--+-，所以复数z 的虚部为12.故选：A 【KS5U 答案4】A【分析】利用向量的线性运算即可求得.【KS5U 解析】在△ABC 中，BC AC AB=-.因为13BD BC =，所以()1133B AC AB D BC ==- .所以()112333AD AB BD AB A A C AB C AB =++-==+.故选：A 【KS5U 答案5】B【分析】由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算．【KS5U 解析】设圆锥母线长为l ，高为h ，底面半径为1r =，则由2π1πl ⨯=得2l =，所以h ==所以2211ππ1π333V r h ==⨯=．故选：B ．【KS5U 答案6】B【分析】由平均数相等求出m ，再求方差.【KS5U 解析】由80290392180290329189055m ⨯+⨯++++⨯+⨯++++==可得，8m =，即甲同学成绩的方差为()22221211225+++=,故选：B 【KS5U 答案7】C【分析】作出可行域，根据简单线性规划求解即可．【KS5U 解析】作出可行域如图：由2z x y =+可得：122zy x =-+，平移直线12y x =-经过点A 时，z 有最大值，由3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得(1,2)A ，max 145z =+=．故选：C【KS5U 答案8】D【分析】根据对称性进行检验．【KS5U 解析】由题意()()2e 2e 42e 42e 2e eee e x x x xf x -----+--++--=-=-，它与()f x 之间没有恒等关系，相加也不为0，AB 均错，而44(4)4(4)e e e e ()x x x x f x f x --+----+--=-=-=-，所以()f x 的图象关于点(2,0)-对称．故选：D ．【KS5U 答案9】C【分析】当1n =时，由122n n S +=-可得1a ，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，验证1a 是否适合可得通项公式，代入通项公式求解可得结果.【KS5U 解析】解：当1n =时，211222a S ==-=，当2n ≥时，()1122222n n n n n n a S S +-=-=---=，12a = ，符合上式，∴数列{}n a 的通项公式为：2n n a =,5222232p q q p q p a a +=⋅===，故选：C.【KS5U 答案10】A【分析】根据题意，求出点P 的轨迹方程，利用三角换元法即可求解.【KS5U 解析】因为点(),P x y 到点()1F 和点)2F 的距离之和为4，所以点P 的轨迹是以()1F ，)2F 为焦点的椭圆，且长轴长24a =，焦距21c b ==，所以点P 的轨迹方程为2214x y +=，设(2cos ,sin ),(02π)P θθθ≤≤，则[]2cos sin sin21,1xy θθθ==∈-，所以xy 有最大值1，故选：A.【KS5U 答案11】C【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可.【KS5U 解析】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2，111(0,0,0),(2,0,2),(2,2,0),(0,0,2),(2,2,2),(1,0,1),(1,1,1)D A B D B M N ，由正方体的性质可知：1D D ⊥平面ABCD ，则平面ABCD 的法向量为1(0,0,2)DD =，(0,1,0)MN =，因为10D D MN ⋅= ，所以1D D MN ⊥ ，而MN ⊄平面ABCD ，因此MN ∥平面ABCD ，故①对；设平面1A ND 的法向量为(,,)m x y z = ，(1,1,1)DN =，1(2,0,2)DA = ，所以有1100(1,0,1)2200m DN m DN x y z m x z m DA m DA ⎧⎧⊥⋅=++=⎧⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨+=⊥⋅=⎩⎪⎪⎩⎩，同理可求出平面1D MB 的法向量(1,0,1)n =，因为110m n ⋅=-= ，所以m n ⊥，因此平面1A ND ⊥平面1D MB ，故②正确；因为(0,1,0)MN =，11(2,2,0)B D =-- ，所以11cos ,2MN B D 〈〉=-，因为异面直线所成的角范围为(0,90] ，所以直线MN 与11B D 所成的角为45︒，故③正确；设直线1D B 与平面1A ND 所成的角为θ，因为1(2,2,2)D B =- ，平面1A ND 的法向量为(1,0,1)m =-，所以11162sin cos ,32D B m D B m D B mθ⋅=〈〉===≠⋅ ，所以直线1D B 与平面1A ND 所成的角不是45︒，因此④错误，一共有3个结论正确，故选：C 【KS5U 答案12】B【分析】根据题意列出关于0x 和a 的等式，然后分离参数，转化为两个函数有交点.【KS5U 解析】由题意得若函数()()e ln xf x x a x =-为不动点函数则满足()()00000e ln x f x x a x x =-=，即00ln 1x ae x =+，即00ln 1x x a e +=设()ln 1xx g x e+=，()()()()()21ln 1ln 1ln 1x x xx x x e e x x g x e e ''--+⋅-+'==设()()2111ln 1,0h x x h x x x x'=--=--<,所以()h x 在()0+∞，单调递减，且()10h =()0,1x ∈，()()0,0h x g x '>>所以()g x 在()01，上单调递增，()()()1,,0,0x h x g x ∞+<'∈<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，所以()1max ln111g x e e+==当()10,,ln 10,0,xx x e e ⎛⎫∈+<> ⎪⎝⎭则()0g x <,当()1,,ln 10,0,xx x e e⎛⎫∈+∞+>> ⎪⎝⎭则()0g x >所以()g x的图像为：要想00ln 1x x a e +=成立，则y a =与()g x 有交点，所以()max1a g x e≤=,故选：B 【KS5U 答案13】54【KS5U 解析】根据题意，()2sin cos 28242A A f x A x x ππωω⎛⎫⎛⎫=+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，分析可得22A =，所以4A =()2cos 224f x x πω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()2242k k πππωπ⨯+=+∈Z ，所以()14k k ω=+∈Z ，又因为最小正周期为T ，且322T ππ<<，所以可得23222πππω<<，则223ω<<，所以ω的值为1．【KS5U 答案14】5【分析】设(0,)C y ，利用余弦定理求C 点坐标，然后利用数量积的坐标表示求解即可.【KS5U 解析】设(0,)C y，所以AB ==AC ==，BC ==，因为π4BAC ∠=，所以由余弦定理得222π2cos 4BC AB AC AB AC =+-，即224851y y y -+=++3y =，所以(0,3)C ，所以(1,2)AB =，(1,3)AC =- ，所以1(1)235AB AC ⋅=⨯-+⨯= ，故KS5U 答案为：5【KS5U 答案15】【分析】由已知，根据题意，以最细处所在的直线为x 轴，其垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出,a b 之间的关系，由题意底直径为6cm ，所以双曲线过点()3,m ，下底直径为9cm ，高为9cm ，所以双曲线过点9,92m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部（最细处）的直径.【KS5U 解析】由已知，以最细处所在的直线为x 轴，其垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设双曲线方程为()222210,0x y a b a b -=>>，由已知可得，c e a ==，且222c a b =+，所以224a b =，所以双曲线方程为222214x y a a-=，底直径为6cm ，所以双曲线过点()3,m ，下底直径为9cm ，高为9cm ，所以双曲线过点9,92m ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入双曲线方程得：()222222914819414m a a m aa ⎧-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得：2m a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以喉部（最细处）的直径为cm.故KS5U答案为：【KS5U 答案16】242n n+【分析】根据当n 为奇数时，22n n a a +-=，当n 为偶数时，22n n a a ++=，分组求和即可.【KS5U 解析】由题知，11a =，2(1)2nn n a a ++-=,当n 为奇数时，22n n a a +-=，所以奇数项构成等差数列，首项为1，公差为2，当n 为偶数时，22n n a a ++=，所以2468......2a a a a =++==,所以4135412464(......)(......)n n n S a a a a a a a a -=+++++++++22(21)1222422n n n n n n -=⨯+⨯+⨯=+故KS5U 答案为：242n n+【KS5U 答案17】(1)见证明；(2)4.【分析】（1）由()sin 2cos cos 02B C B C π⎛⎫+++=⎪⎝⎭，利用诱导公式、两角和与差的正弦公式化简可得sin()0B C -=，从而可得结论；（2）利用圆的面积公式可求得三角形外接圆半径52R =，利用同角三角函数的关系与正弦定理可得2sin 4a R A ==，结合（1），利用余弦定理列方程求得b c ==，从而可得结果.【KS5U 解析】（1）∵sin()2cos cos 02B C B C π⎛⎫+++=⎪⎝⎭，∴sin()2sin cos 0B C B C +-=，∴sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C B C +-=，∴cos sin sin cos 0B C B C -=，∴sin()0B C -=.∴在ABC ∆中，B C =，（2）设ABC ∆的外接圆半径为R ，由已知得2254R ππ=，∴52R =，∵3cos 5A =，0A π<<，∴4sin 5A =，∴2sin 4a R A ==，∵BC =，∴b c =，由2222cos a b c bc A =+-⋅得2261625b b =-，解得b =，∴4a b c ++=，∴ABC ∆的周长为4.【KS5U 答案18】（1）110y =,（2）33人【分析】（1）根据题意由1373C 1C y -求解；（2）根据样本相关系数1516r =，求得()()61i i i x x y y =--∑，再利用公式求得ˆˆ,b a 即可.【小问1KS5U 解析】解：∵1373C 171C 24y -=，∴()()11176571224y y y ⨯⨯=--，∴()()111127201098y y y --==⨯⨯，∴110y =．【小问2KS5U 解析】∵6154i i x ==∑，∴9=x ，∴()62164i i x x =-=∑．∵()()()()6611581616iiiii x x y y x x y y r =----==⨯∑∑，∴()()61815i i i x x y y =--=⨯∑，∴()()()12181515ˆ648niii ni i x x y y bx x ==--⨯===-∑∑．又∵()6666222221111266256iii i i i i i y y yy y y y y ====-=-⋅+=-=∑∑∑∑，解得22y =．∴1541ˆˆ22988ay bx =-=-⨯=，∴4115ˆ88yx =+，当15x =时，4115ˆ153388y=+⨯≈，∴可以估计，昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数为33人．【KS5U 答案19】【分析】（1）取CF 的中点D ，连接DM ，DN ，证明平面//MND 平面ABC ，原题即得证；（2）取AB 的中点O ，连接OC ，OE ．求出122AF EF EB AB ====，取EF 的中点P ，连接OP ，以O 为原点，OP ，OB ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立直角坐标系如图所示．利用向量法求解.【小问1KS5U 解析】解：取CF 的中点D ，连接DM ，DN ，∵M ，N 分别是AF ，CE 的中点，∴//DM AC ，//DN EF ，又∵DM ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴//DM 平面ABC ．又//EF AB ，∴//DN AB ，同理可得，//DN 平面ABC ．∵DM ⊂平面MND ，DN ⊂平面MND ，DM DN D = ，∴平面//MND 平面ABC ．∵MN ⊂平面MND ，∴//MN 平面ABC．【小问2KS5U 解析】取AB 的中点O ，连接OC ，OE ．由已知得//,OA EF OA EF =，∴OAFE 是平行四边形，∴//,//OE AF OE AF ．∵△ABC 是正三角形，∴OC AB ⊥，∵平面ABC⊥平面ABEF ，平面ABC ⋂平面ABEF AB =，∴OC ⊥平面ABEF ，又OE ⊂平面ABEF ，∴OC OE ⊥．设12AF EF EB AB a ====，OC =．在Rt COE 中，由222OC OE CE +=，解得2a =，即122AF EF EB AB ====，取EF 的中点P ，连接OP ，则OP AB ⊥，以O 为原点，OP ，OB ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立直角坐标系如图所示．则()0,2,0A -，(0,0,C，)E，31,22N ⎛ ⎝，()0,2,0OA =-，1,22ON ⎛= ⎝ ，由已知易得，平面ABM的一个法向量为(0,0,OC = ，设平面ABN 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,OA n ON n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,310,22y x y z -=⎧+=⎩取2x =，则平面ABN 的一个法向量为()2,0,1n =-,∴cos ,5OC n OC n OC n ⋅==-，∵二面角--M AB N 为锐角，∴二面角--M AB N 的余弦值为55．【KS5U 答案20】（1）2e e y =-,（2）2【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率及切点即可求解KS5U 答案；（2）根据导函数分子部分的最小值与零比较分类讨论，分别分e a ≥、2a =、1a ≤讨论即可.【小问1KS5U 解析】当e a =时，()2eln e 2e e xf x x =+-+，所以2(1)e e f =-，又因为()ee 2e xf x x=+-，其中0x >，则在点(1,(1))f 处的切线斜率(1)0k f '==，所以切线方程为2e e y =-【小问2KS5U 解析】由题知(e 2e)()x a x f x x+-'=，其中1x ≥，设()(e 2e)x g x a x =+-，则()(1)e 2e x g x x '=+-，可知()g x '为[1,)+∞上的增函数，则()(1)0g x g ''≥=，所以()g x 为[1,)+∞上的增函数，则min ()(1)e g x g a ==-.①当e 0a -≥，即e a ≥时，()0g x ≥，即()0f x '≥，所以()f x 为[1,)+∞上的增函数，则()(1)e e>0f x f a ≥=-，由于a 为整数，可知3a ≥时，()0f x ≥恒成立，符合题意.②当2a =时，()2ln e 2e 2e xf x x x =+-+，()2(e 2e)xg x x =+-，则()g x 的最小值为min ()(1)2e<0g x g ==-，又2(2)22(e 2e)>0g =+-，由于()g x 为[1,)+∞上的增函数，则存在0(1,2)x ∈使得0()0g x =（即02e 2e x x =-），当01x x <<时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 为减函数；当0x x >时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 为增函数，则00000001()()2ln e 2e 2e=2(ln e 2e)x f x f x x x x x x ==+-+--+极小值，其中0(1,2)x ∈，令1()ln e 2e(1<<2)u x x x x x =--+，则22211e 1()e=<2)x x u x x x x x-++'=+-，当12x <<时，()0u x '<，()u x 在(1,2)上单调递减，则1()(2)ln 202u x u >=->，即0()()0f x f x =>极小值.所以2a =也符合题意.③当1a ≤时，min ()(1)e<0g x g a ==-，由于()g x 为(1,)+∞上的增函数，则存在实数1m >，且(1,)x m ∈，使得()0g x <，即()0f x '<，故()f x 为(1,)m 上的减函数，则当(1,)x m ∈时，()(1)(1)e 0f x f a <=-≤，故1a ≤不符合题意，舍去.综上所述，a 的最小值为2.【KS5U 答案21】【分析】(1)按照题目所给的条件即可求解；(2)作图，联立方程，将M ，N ，P ，Q ，D 的坐标用斜率k 表示出来，(3)按照向量数量积的运算规则即可.【小问1KS5U 解析】设椭圆的半焦距为c ，由椭圆的几何性质知，当点M 位于椭圆的短轴端点时，FAM △的面积取得最大值，此时1()2FAMSa cb =+，1()22a cb ∴+=，()a c b ∴+=．由离心率12c a =得2a c =，b ∴=，解得1c =，2a =，b =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；【小问2KS5U解析】由题意作下图：设()11,M x y ，()22,N x y ．由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234880k x kx ++-=．∵点(0,1)在这个椭圆内部，所以0∆>，122843k x x k +=-+，122843x x k =-+，()212122286224343k y y k x x k k ∴+=++=-+=++，∴点P 的坐标为2243,4343k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭当0k ≠时，直线OP 的斜率为34k -，∴直线OP 的方程为34y x k =-，即43kx y =-，将直线OP 的方程代入椭圆方程得22943Dy k =+，2221643D k x k =+，设点4,3k Q y y ⎛⎫-⎪⎝⎭，由2OP OQ OD ⋅= 得22222443169433434343k kk y y k k k k ⎛⎫-⋅-+⋅=+ ⎪++++⎝⎭，化简得()222216916943343k k y k k ++⋅=++，化简得3y =，∴点Q 在直线3y =上，当直线l 的斜率0k =时，此时(0,1)P，D ，由2OP OQ OD ⋅=得(0,3)Q ，也满足条件，∴点Q 在直线3y =上；综上，椭圆C 的标准方程为22143x y +=，点Q 在直线3y =上.【KS5U 答案22】（1）2x y =,（2）221x y =-【分析】（1）根据曲线C 的参数方程为222x pty pt=⎧⎨=⎩（t 为参数），消去参数t 求解；（2）设OA 的斜率为k ，方程为y kx =，则OB 的方程为：1=-y x k，分别与抛物线方程联立，求得A ，B 的坐标，再利用中点坐标求解.【小问1KS5U 解析】解：因为曲线C 的参数方程为222x pt y pt =⎧⎨=⎩（t 为参数），消去参数t 可得：22x py =，将点()2,4代入可得12p =，所以曲线C 的普通方程为：2x y =；【小问2KS5U 解析】由已知得：OA ，OB 的斜率存在且不为0，设OA 的斜率为k ，方程为y kx =，则OB 的方程为：1=-y x k ，联立方程2,,y kx x y =⎧⎨=⎩可得：()2,A k k ，同理可得：211,B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设(),M x y ，所以2211,211,2x k k y k k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩所以22214222x k y k=+-=-，所以221x y =-即为点M 轨迹的普通方程．【KS5U 答案23】【分析】（1）分段求解()f x 的最小值和范围，即可求得结果；（2）转化()21f x x b >-+为233a b x x +>-+，结合二次函数在区间上的最值，利用不等式，即可证明.【小问1KS5U 解析】当1a =时，()121f x x x =++-，当1x ≤-，()31f x x =-+，()min ()14f x f =-=；当11x -<<，()3f x x =-+，()()2,4f x ∈；当1x ≥，()31f x x =-，()min ()12f x f ==；∴当1a =时，()f x 的最小值为2．【小问2KS5U 解析】0a >，0b >，当12x ≤≤时，2211x a x x b ++->-+可化为233a b x x +>-+，令()233h x x x =-+，[]1,2x ∈，()()()max 121h x h h ===，∴1a b +>∴22222111()122222a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+++=++++≥+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b =时取得等号；又当1a b +>时，2()122a b a b ++++2>，故2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
高中数学函数不动点方程题解题技巧
高中数学函数不动点方程题解题技巧在高中数学中，函数不动点方程是一个常见的题型。
这类题目通常要求找出一个函数的不动点，即满足f(x) = x的解。
在解题过程中，我们可以运用一些技巧来简化计算，提高解题效率。
首先，我们来看一个简单的例子。
设函数f(x) = 2x + 1，要求解方程f(x) = x。
我们可以将方程改写为2x + 1 = x，然后将x移到方程的一边，得到x = -1。
这样，我们就找到了函数f(x)的不动点。
这个例子中，我们可以观察到一个规律：不动点即为函数图像与y = x的交点。
因此，我们可以通过作图来解决这类问题。
以函数f(x) = 2x + 1为例，我们可以绘制它的图像，并与直线y = x相交，交点即为不动点。
除了作图法，我们还可以利用代数方法解决不动点方程。
考虑函数f(x) = x^2 -3x + 2，要求解方程f(x) = x。
我们可以将方程改写为x^2 - 4x + 2 = 0，然后利用求根公式求解。
通过求根公式，我们可以得到x = 1和x = 2，这两个解分别对应函数f(x)的不动点。
在解决不动点方程时，我们还可以运用迭代法。
迭代法的基本思想是通过不断迭代逼近函数的不动点。
以函数f(x) = x^2 - 2为例，要求解方程f(x) = x。
我们可以先取一个初始值x0，然后通过迭代公式xn+1 = f(xn)来逐步逼近不动点。
通过计算，我们可以得到x1 = 2和x2 = 1.5，这两个值逐渐接近函数f(x)的不动点。
除了上述方法，我们还可以通过函数的图像特征来解决不动点方程。
以函数f(x) = sin(x)为例，要求解方程f(x) = x。
我们可以观察到函数f(x)的图像是一条连续的曲线，且在不动点附近呈现线性关系。
因此，我们可以通过观察图像的斜率来逼近不动点。
通过计算，我们可以得到x = 0和x = 1.895，这两个值分别对应函数f(x)的不动点。
综上所述，解决高中数学函数不动点方程题可以运用多种方法。
专题1：函数的零点、不动点、稳定点
奥数专题1：函数的零点、不动点、稳定点一、基本知识1. 满足f(x)=0的x 的值叫做函数f(x)的零点2. 满足f(x)=x 的x 的值叫做函数f(x)的不动点3. 满足f(f(x))=x 的x 的值叫做函数f(x)的稳定点4. 若函数f(x)=ax+b(a ≠1)的不动点为x 0=b 1−a ，则函数f(x)可写成f(x)=a (x −b 1−a )+b 1−a ，f (2)(x )=a 2(x −b 1−a )+b 1−a ,⋯f (n )(x )=a n (x −b 1−a )+b 1−a ,此定理即：若x 0是f(x)的不动点，则x 0也是f （n ）(x)的不动点二、例题选讲1.设{}{}R x x x f f x B R x x f x x A R c b c bx x x f ∈==∈==∈++=,))((,),(),,()(2,如果A 中只含有一个元素,则有 （ ）A AB ⊂ B A B ⊂C B A =D φ=B A2.设c bx x x f ++=2)(，若方程x x f =)(无实根，则方程x x f f =))((（ ）A.有四个相异实根B.有两个相异实根C.有一个实根D.无实根3.已知c bx ax x f ++=2)(满足c b a f >>=,0)1(。
（1）求cb a b ac ,,的取值范围；（2）证明方程0)(=x f 有两个不等实根；（3）)(x f 图像与x 轴交于A 、B 两点，求AB 。
4.已知)()(2c b a c bx ax x f >>++=的图像上有两个点))(,()),(,(R f R B r f r A 满足0)1(,0)()()]()([2==+++f R f r f a R f r f a ．（1）求证：0≥b ；（2）求方程0)(=x f 的另一根的取值范围；（3）求证：)3(),3(++R f r f 中至少有一个为正数．5.对于函数)(x f ，若x x f =)(，则称x 为)(x f 的不动点；若x x f f =))((，则称x 为)(x f 的稳定点；函数)(x f 的不动点和稳定点的集合分别是A 、B ，即{}{}x x f f x B x x f x A ====))((,)(。
[实用参考]不动点定理及其应用(高考)
![[实用参考]不动点定理及其应用(高考)](https://img.taocdn.com/s3/m/b8b670becc22bcd126ff0c88.png)
摘要本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式.其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用.关键词：Banach不动点定理,数列通项，有界性，单调性，收敛性.AbstractThisarticlefirstlPintroducedtheFiGpointTheoreminBanachspace,theone-dimensionaleGtende dformoftheFiGpointTheoreminotherlineartopologicalspaceandtheeGtendedformingeneralcomplete metricspace.Then,wesummarizedtheproblemonsequenceofnumberusingFiGpointTheorem,analPzin gthecharacteristicsoftestsemergedonmathpapersofallpartsofourcountrPrecentPears,includingthepro blemofgeneraltermandboundednessofasequenceofnumber.Atlast,attractivefiGpointandrejectionfiG pointinFiGpointTheoremwereintroducedwhichcansolvetheproblemaboutthemonotonicitPandastrin gencPofsequenceofnumber.KePwords:BanachfiGedpointtheorem,Sequence,Boundedness,MonotonicitPConvergence.目录第1章绪论 (1)1.1导论 (1)1.1.1 选题背景 (1)1.1.2 选题意义 (2)1.1.3 课题研究内容 (2)1.2 研究现状 (2)1.3本章小结 (3)第2章不动点定理 (4)2.1 有关概念 (4)2.2 不动点定理和几种推广形式 (4)2.3 本章小结 (7)第3章不动点定理在数列中的应用 (8)3.1 求数列的通项公式 (8)3.2 数列的有界性 (9)3.3 数列的单调性及收敛性 (11)3.3.1数列的单调性、收敛性的重要结论 (11)3.3.2数列的单调性、收敛性的证明 (14)3.4 本章小结 (17)第6章结束语 (18)参考文献 (19)第1章绪论1.1导论不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1]．在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论[2]．1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念[3]．我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4]．不动点理论一个发展方向是只限于欧氏空间多面体[5]上的映射,不动点理论的另一个发展方向是不限于欧氏空间中多面体上的映射，而考察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题．最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6]，他于1922年提出的压缩映像原理发展了迭代思想，并给出了Banach 不动点定理[6]．这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、积分方程、隐函数理论等中的许多存在性与唯一性问题均可以归结为此定理的推论．1.1.1选题背景不动点定理在微分方程、函数方程、动力系统理论等中有极为广泛的应用.函数的"不动点"理论虽然不是中学教材的必修内容，但是它的存在确实使一些数学问题在无法想象中得到了解决.已知递推公式求其数列通项，数列有界性、数列的单调性及收敛性等，历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．因此，它就自然成为各类数学竞赛和选择性考试必选的内容之一，尤其在近年的高考中对该定理的应用越来越频繁.1.1.2选题意义利用“不动点”法巧解高考题，递推公式求数列的通项，证明数列的有界性、数列的单调性及收敛性等，历来是高考的重点和热点题型，那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此本文对函数“不动点”问题的研究结果，来简化求数列的通项公式、数列的有界性、数列的单调性及收敛性等问题具有指导意义和理论意义.1.1.3课题研究内容本文通过介绍不动点定理的证明，不动点定理的迭代思想和不动点定理的推论，研究了以下的内容：①利用不动点定理的迭代思想，简化求递推数列的通项问题.②以不动点定理为指导思想，证明数列的有界性.③利用不动点及特征函数的性质研究数列的单调性及收敛性，并借此解决一些高考题．1.2研究现状不动点理论一直是一个既比较古老的问题，又比较有新生命力的领域，它的历史悠久，却又是近现代一个发展较快的理论定理.自不动点理论问世以来，特别是最近的二三十年来，由于学术上的不断发展和数学工作者的不懈努力，这门学科的理论及应用的研究已经取得了重要的进展，不断有新的不动点理论研究成果涌现，并日臻完善.不动点的有关理论是泛函分析中最重要的原理之一，它依据于著名的巴拿赫（Banach ）压缩映射定理，如今已广泛应用于数学分析的各个方面.许多著名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数()f x ()f x 把单位闭区间[0,1]映到[0,1][0,1]中，则有0[0,1]x ∈，使00()f x x =.波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题.近年来，有不少人研究中学数学中所涉及到的不动点问题，将拓扑学不动点定理的一些基本思想，采用通俗易懂的语言和形象生动的例子运用到初等数学中去，扩大中学生的知识领域，加深中学生对数学基础知识的掌握.在中学中，不动点有关知识常常用来解决一些初等数学中的问题，例如以“不动点”为载体、将函数、数列、不等式、方程以及解析几何等知识有机地交汇在一起的数学问题，从而体现了用不动点有关知识来求解这些问题有时是非常简单和巧妙的.1.3本章小结本章介绍了选题的背景和意义，并对课题的要求和研究内容作了分析，对不动点定理的现况作了概要性的说明，是不动点定理及其应用的前期研究基础.第2章不动点定理2.1有关概念函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点，即函数()f x 的取值过程中，如果有0x ,使0()f x x =.就称0x 为()f x 的一个不动点．对此定义，有两方面的理解：⑴代数意义：若方程00()f x x =有实数根0x ，则00)(x x f =有不动点0x ． ⑵几何意义：若函数)(x f y =与x y =有交点),(00y x ，则0x 为()y f x =的不动点．为了介绍不动点的一般概念，本文先介绍以下相关概念.定义1[7]度量空间:设X 是一个集合，R X X →⨯:ρ.如果对于任何X z y x ∈,,，有 ⑴（正定性）(,)0x y ρ≥,并且(,)0x y ρ=当且仅当y x =；⑵（对称性）(,)(,)x y y x ρρ=；⑶（三角不等式）(,)(,)(,)x z x y y z ρρρ≤+，则称ρ是集合X 的一个度量,偶对()ρ,X 是一个度量空间.定义2[7]压缩映射：给定()ρ,X 如果对于映射T :X X →存在常数K ,10<<K 使得(,)(,)Tx Ty K x y ρρ≤，(,)x y X ∀∈则称T 是一个压缩映射.定义3[7]CauchP 列：给定(,)X ρ,{}n x X ⊂,若对任取的0>ε,有自然数N 使对εN n m >∀,,都成立(,)m n x x ρε<则称序列{}n x 是CauchP 列.定义4[7]完备度量空间：给定(,)X ρ，若X 中任一CauchP 列都收敛,则称它是完备的.定义5[8]不动点：给定度量空间(,)T ρ及X X →的映射T 如果存在X x ∈*使**xTx =则称*x 为映射T 的不动点.定义6[9]凸集：设X 是维欧式空间的一点集，若任意的两点X x X x ∈∈21,的连线上的所有的点)10(,)1(21≤∂≤∈∂-+∂X x x ;则称X 为凸集.2.2不动点定理和几种推广形式不动点理论是关于方程的一种一般理论.数学里到处要解方程，诸如代数方程、微分方程、函数方程等，种类繁多，形式各异，但是它们常能改写成()f x x =的形状这里的x 是某个适当的空间X 中的点，f 是X 到X 的一个映射，把每个x 移到()f x .方程()f x x =的解恰好就是在f 这个映射下被留在原地不动的点，故称不动点，于是解方程的问题就是化成了找不动点的这个几何问题，不动点理论就是研究不动点的有无、个数性质与方法.首先,本文介绍Banach 不动点定理的证明定理l （Banach 不动点定理——压缩映射原理[10]）设(,)X ρ是一个完备的度量空间T 是(,)X ρ到其自身的一个压缩映射,则T 在X 中存在惟一的不动点.证明首先,证明T 存在不动点取定X x ∈0以递推形式n n Tx x =+1确定一序列{}n x 是CauchP 列.事实上，由1111221210(,)(,)(,)(,)(,)(,)m m m m m m m m m m m x x Tx Tx K x x K Tx Tx K x x K x x ρρρρρρ+------=≤=≤≤≤任取自然数n m ,,不妨设n m <那么 1111101010(,)(,)(,)()(,)1()(,)(,)11m m n m n m m n n n m mm x x x x x x K K K x x K K K x x x x K Kρρρρρρ-----≤++≤+++-=≤-- 从而知{}n x 是一CanchP 列,故存在X x ∈*使*x x n →且*x 是T 的不动点,因为******1(,)(,)(,)(,)(,)()n n n n x Tx x x x Tx x x K x x n ρρρρρ-≤+=+→→∞故**(,)0x Tx ρ=,即**x Tx =,所以*x 是T 的不动点.其次,下证不动点的惟一性设T 有两个不动点*1*,x x ,那么由**x Tx =及*1*1x Tx =有 ******111(,)(,)(,)x x Tx Tx K x x ρρρ=≤设*1*x x ≠,则**1(,)0x x ρ>,得到矛盾，从而*1*x x =，唯一性证毕. 作为Brouwer 不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder 证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder 不动点定理I ：定理2设E 是Banach 空间，X 为E 中非空紧凸集，X X f →:是连续自映射，则f 在X 中必有不动点.Sehauder 不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意X x ∈，()x f 是紧的)，这时映射的定义域可不必是紧集，甚至不必是闭集，有下面定理，我们称其为Schauder 不动点定理II ：定理3设E 是Banach 空间，X 为E 中非空凸集，X X f →:是紧的连续自映射，则f 在X 中必有不动点.定义6设E 是线性拓扑空间，如果E 中存在由凸集组成的零邻域基，则称E 是局部凸的线性拓扑空间，简称局部凸空间.1935年，TPehonoff 进一步将Sehauder 不动点定理I 推广到局部凸线性拓扑空间，得到了下面的不动点定理，我们称其为TPehonoff 不动点定理：定理4设E 是局部凸线性拓扑空间，X 是其中的非空紧凸集，X X f →:是连续自映射，则f 必有不动点，即存在X x ∈0，使得00()f x x =.1950年，Hukuhara 将Schauder 不动点定理II 与TPehonoff 不动点定理结合起来得到下面的定理，我们称其为Sehauder--TPchonoff 不动点定理：定理5设E 是局部凸线性拓扑空间，X 是其中的非空凸集，X X f →:是紧连续自映射，则f 必有不动点，即存在X x ∈0，使得00()f x x =.从20世纪30年代起，人们开始关注集值映射的不动点问题.所谓集值映射的不动点， 定义如下：定义7设X 是拓扑空间，X X T 2:→是集值映射，其中X2表示X 的所有非空子集的集合.若存在X x ∈0，使00()x T x ∈，则称0x 是T 的不动点.1941年，kllcIltani 把Bmuwer 不动点定理推广到集值映射的情形，得到下面的不动点定理，我们称其为Kakutani 不动点定理：定理6设m R X →是凸紧集，且X X T 2:→是具闭凸值的上半连续集值映射，则T 必有不动点.1950年，Botmenblust ，Karlin 把Sehauder 不动点定理I 推广到集值映射的情形： 定理7设E 是Banach 空间，X 是E 中的非空紧凸集，X X T 2:→是具有闭凸值的上半连续集值映射，则T 必有不动点.1952年，Fan ，Glicksberg 分别把TPehonoff 不动点定理推广到集值映射的情形，成为Kakutani-Fan-Glicksberg 不动点定理或K-F —G 不动点定理.即： 定理8设E 是局部凸的Hausdorff 线性拓扑空间，X 是E 中的非空紧凸集，XX T 2:→是具有闭凸值的上半连续集值映射，则T 必有不动点. 1968年，Browder 又证明了另一种形式的关于集值映射的不动点定理，本文称此定理为Fan-Browder 不动点定理：定理9设X 是Hausdorff 线性拓扑空间E 中的非空凸紧子集，集值映射XX S 2:→满足：(1)对任意X x ∈，()S x 是X 中的非空凸集(2)对任意{}1,():()y X S y x X y S x -∈=∈∈是Z 中的开集则存在X x ∈0，使00()x S x ∈.本章小结本章详细介绍了Banach 不动点定理及其证明，概况了对不动点定理的几种推广形式.第3章不动点定理在数列中的应用在高考试题中，数列向所对应函数的不动点收敛的问题，常可以用单调性结合数学归纳法的方法来解决．“不动点”问题虽不是高考大纲的要求，但在函数迭代、力程、数列、解析几何中都有重要的价值和应用，在历年的高考中也经常看到“不动点”的影子以全国卷I 为例，20PP 年，20PP 年、20PP 年高考的压轴题都是可以用“不动点”的方法比较容易地去解决．用“不动点”的方法在学生平时解题中主要是求数列的通项公式、数列的单调性、有界性及收敛性等.3.1求数列的通项公式定理10已知数列{}n x 满足()()d cx b ax x f x f x n n ++==-,1,其中0,0≠-≠bc ad c ，设p 是()x f 唯一的不动点，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-p x n 1是一个等差数列. 证明因为p 是()x f 唯一的不动点，所以p 是方程d cx b ax x ++=，亦即p 是一元二次方程()02=--+b x a d cx 的唯一解.得ap cp pd b cd a p -=--=2,2 所以 ()()()()d cx p x pc a dcx ap cp x pc a d cx pd b x pc a p d cx b ax p x n n n n n n n n n +--=+-+-=+-+-=-++=---------111211111()()()()p x cp a cp d pc a c px cp d p x c pc a p x pc a d cx p x n n n n n n --++-=-++--=--+=------11111111把cd a p 2-=代入上式，得: px d a c p x n n -++=--1121 令d a c k +=2，可得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-p x n 1是一个等差数列. 在初等数学中经常会遇到求这类问题，已知数列{}n x 的首项，数列的递推关系，求数列的通项，这类问题往往难度很大，通过不定点定理，大大降低了此类问题的难度.例1若1121,1--=-=n n a a a （*N n ∈，且2≥n ）求数列{}n a 的通项公式. 解根据迭代数列121--=n n a a ，构造函数()x x f -=21，易知()x f 有唯一的不动点1=p ，根据定理可知2,1,1,0=-===d c b a ，则111111-+-=--n n a a 即数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是以首项21-，公差为1-的等差数列.则对应的通项公式为 ()()n n a n -=--+-=-21112111 解得nn a n 2123--= 又11-=a 也满足上式.所以{}n a 的通项公式为nn a n 2123--=. 对于此类形式的数列，已知数列{}n x 满足()()dcx b ax x f x f x n n ++==-,1,其中0,0≠-≠bc ad c ，求其通项.运用不动点定理，可以简单快捷地解答.即数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是以首项1a ，公差为da c +2的等差数列. 推论已知数列{}n x 满足()()b ax x f x f x n n +==-,1,其中0≠a ，设p 是()x f 唯一的不动点，则数列{}p x n -是一个公比为a 等比数列例2若32,111+=-=-n n a a a ，（*N n ∈，且2≥n ），求数列{}n a 的通项公式.解根据迭代数列321+=-n n a a ，构造函数()32+=x x f ，易知()x f 有唯一的不动点3-=p ，根据推论可知3,2==b a ，则()()()3231--=---n n a a所以()3231+=+-n n a a所以{}3+n a 是以231=+a 为首项，2为公比的等比数列，则当2≥n 时，有n n a 23=+，故32-=n n a又11-=a 也满足上式.所以{}n a 的通项公式为32-=n n a .在高中阶段，学生在学习了数列之后，经常会遇到已知1a 及递推公式，求数列()n n a f a =+1的通项公式的问题，很多的题目令人感到非常棘手.而不动点定理给出了一个“公式”性的方法——不动点法，应用此法可巧妙地处理此类问题.3.2数列的有界性在高考中会经常出现证明数列有界性的问题，不等式问题是高考中的一个难点，数列与不等式结合，使得这类问题更加的棘手了，而不动点定理却给了我们思想上的一个指导，即解决这类问题，我们可以先求出不动点，然后用数学归纳法证明.例3(20PP 年全国II )函数()x x x x f ln -=.数列{}n a 满足()n n a f a a =<<+11,10．证明:11<<+n n a a ．分析函数()x x x x f ln -=的不动点是1=x 显然此题就是要证明数列向不动点1=x 收敛证明当()1,0∈x 时，()0ln '>-=x x f ，所以()x f 在区间()1,0内是增函数；又101<<a ，所以()()11ln 111121=<-==<f a a a a f a a ；。
高考数学复习--不动点法求数列通项
即数列
1
an
是公差为
1 2
，首项为
1 a1
1
的等差数列，
所以 1 1 1 n 1 1 n 1
an a1 2
22
an
2 n 1
.
思考：递推函数具有什么结构，能够用取倒数？ 是不是递推函数是分式函数都可以取倒数！
典型例题：
变式 1：数列an 中， a1 1
an1
1 2 an
，求 an 的通项公式.
变式 1：数列an 中， a1 1
an1
1 2 an
，求 an 的通项公式.
解：由条件 an1
1 2 an
得： an1 1
1 2 an
1
an 1 2 an
两端同时取倒数得： 1 2 an 1 1 an1 1 an 1 an 1
即数列
1 an
1
是公差为
1
，首项为
1 a1
1
高考数学复习
不动点法求数列通项
知识梳理：函数不动点的定义 函数的不动点是被这个函数映射到其自身的一个点，即如果 x0 ,使 f (x0 ) x0 ，
则称 x0 为 f (x) 的一个不动点．
⑴代数意义：若方程 f (x) x 有实数根 x0 ，则函数 f x 有不动点 x0 ．
⑵几何意义：若函数 y f (x) 的图像与 y x 的图像有公共点 (x0 , y0 ) ，则 x0 为 y f (x) 的不动点．
分析：这个题目两端同时取倒数还可以吗？
1 an1 2 an
那么 an1
2an 2 an
为什么能够行？
具有什么结构特点可以取倒数？
an1
1 2 an
使用函数不动点探究数列性质——从2019年高考数学浙江卷第10题说起
出 Ａ 为准确选项；同时借助蜘蛛网图，也可探究数列 的收敛性与单调性，对数列有更加本质的分析．
新课标提出数学学科六大核心素养，本题正是数 学核心素养在高考试题中的具体呈现：将数列的性质 探究变形为函数不动点问题，考查数学建模与数学抽 象；借 助 函 数 不 动 点 研 究 数 列 的 性 质，考 查 学 生 直 观 想象能力；对 参 数 讨 论 时 采 用 的 分 类 与 整 合 思 想，考 查学生的逻辑推理能力．
檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯
（上接第２５页） 的图像，发现它们有两个交点（２，２） 和（－１，－１）．
当犪１ ＝２或 －１时，蜘蛛网图固定于一点（２，２）或 （－１，－１），此时犪狀 ＝２或 －１，排除Ｃ选项．同时结合 蜘蛛网图也可继续探究数列的收敛性：
学活动应着眼于解题的过程与方法，摒弃直接告诉的 做法，让 学 生 亲 身 经 历 数 学 解 题 的 思 维 全 过 程，学 会 探究问题的方向，感受数学运算过程所带来的成功体 验，从而提升学生解决问题能力，培养学生运算、逻辑 推理等核心素养．
参考文献： ［１］罗增儒．一个 最 大 值 问 题 的 教 学 分 析 ［Ｊ］．中 学 数
当犪１ ∈ ［－２，２）时，如图７，犪狀 ∈ ［－２，２］； 当犪１ ∈ （－ ∞，－２）∪ （２，＋ ∞）时，如图８，犪狀 →＋ ∞．
图７ 图８
最后研究 Ｄ选项，当犫＝－４时，根据递推关系绘 制函数犳（狓）＝狓２ －４和函数犵（狓）＝狓 的图像，发现
（ ） （ 它们 有 两 个 交 点 １＋ 槡１７，１＋ 槡１７ 和 １－ 槡１７，
函数不动点
函数不动点1 什么是函数不动点函数不动点是指对某个函数的参数进行某些给定的条件变化，使得此函数的值不变的点。
举个例子，一元二次函数ax²+bx+c中,当b²-4ac=0时，这个函数只有一个不动点；如果b²-4ac<0时，函数就没有不动点。
2 函数不动点的概念函数不动点一般涉及四个概念：（1）函数的参数发生了变化；（2）函数的值不变；（3）函数的值可以是最大值或最小值；（4）函数的值可以是某一特定值。
函数的不动点分为局部不动点和全局不动点。
局部不动点就是在某一函数的某一一段区间内，其函数值与参数发生变化而不变的点。
而全局不动点就是指对某个函数而言，它在整个参数范围内函数值都不变的点，常叫全局极值点。
3 函数不动点的类型主要有两种不动点，一种是极大值的不动点，另一种是极小值的不动点。
极大值的不动点指的是，函数在某一点上的值比它的左右附近的值都要大，这个不动点称为极大值不动点。
而函数在某一点处的值要比它的左右附近值都小，此点就叫做极小值不动点。
也有一类特殊的不动点，它既是极大值又是极小值，一般被称作最大最小值不动点。
4 函数不动点的意义函数不动点可以用来研究函数的极值，支持函数增长或者减少的构筑和分析，也可以用来检验一些非函数的几何性质。
它是数学建模的基础，为最优化问题的求解提供帮助，在建模和优化方面尤其重要。
另外，函数的不动点也被广泛地用于物理学、化学、生物学等各个领域中。
就是这样，函数不动点可以解决许多数学问题，可以把矛盾形式简单化，使问题看起来更容易处理。
它是数学建模和处理最优化问题的重要工具，对科学研究和科技发展也有着重要意义。
函数迭代和不动点
函数迭代和不动点1 问题提出古代有一个善于经营的商人，他每天的银子都可以翻番，但是需要交税。
第一种交税方式是每天固定缴纳10两银子，第二种交税方式是每天缴纳总银两的三分之一。
假设商人星期一早上有12两银子，那么到了星期五生意结束后，他按哪种交税方式合算呢？先来看第一种方式，设每天开始时商人有银两x，那么当天结束时的银两为f(x)=2x-10.设第一天开始时银两为t, 那么结束时银两为f(t)=2t-10.第二天开始时银两为f(t),结束时的银两为f(f(t))=2f(t)-10=2(2t-10)-10=4t-30.第三天开始时银两为f(f(t)),结束时的银两为f(f(f(t)))=2f(f(t))-10=2(4t-30)-10=8t-70.同理第四天结束时的银两为f(f(f(f(t))))=2f(f(f(t)))-10=2(8t-70)-10=16t-150.第五天结束时的银两为f(f(f(f(f(t)))))=2f(f(f(f(t))))-10=2(16t-150)-10=32t-310.已知t=12，所以按照第一种缴税方式第五天结束后商人还剩银两为32x12-310=74，缴纳的税为50两.再看第二种缴税方式，设每天开始时商人有银两x，那么当天结束时的银两为f(x)=4x/3.设第一天开始时银两为t, 那么结束时银两为f(t)=4t/3.第二天开始时银两为f(t),结束时的银两为f(f(t))=4f(t)/3=16t/9 第三天开始时银两为f(f(t)),结束时的银两为f(f(f(t)))=4f(f(t))/3=64t/27第四天开始时银两为f(f(f(t))),结束时的银两为f(f(f(f(t))))=4f(f(f(t)))/3=256t/81第五天结束时的银两为f(f(f(f(f(t)))))=4f(f(f(f(t))))/3=1024t/243.已知t=12，所以按照第二种缴税方式第五天结束后商人还剩银两为1024x12/243=50.6，可以计算缴纳的税约为77.1两.这种同一个函数复合多次，我们叫做函数的迭代。
高中数学常用方法---利用函数的不动点求数列的通项公式
高中数学常用方法—利用函数的不动点求数列的通项公式1． 函数的不动点：给出函数 yf (x) ，满足方程 f ( x 0 ) x 0 的解 x 0 ，称为函数 yf ( x) 的一个不动点。
例 求函数 f ( x) 2x 4 的不动点。
解：令 2x4 x ，解出 x4 ，即 4 是函数 f ( x)2x 4 的一个不动点。
2． 用函数的不动点求数列的通项公式： 如果给出的数列的递推式中不含有自变量n 的函数 f ( n) ，那么就可以考虑用函数的不动点法：首先求出函数的不动点，然后把递推式的两边都减去不动点，最后把递推式的两边都化为相同的形式去求数列的通项公式。
例已知数列a n中， a 1 1， a n 1 2a n 1 求数列的通项公式 a n 。
解：因为 a n12a n 1 ，所以 x 2 x 1 x1，两边都减去不动点1 得 a n 1 1 2a n 1 1 ，所以可以得到an 11 2(a n 1) ， 设 a n 1 b n ， 所 以 b n 1 2b n ， 数 列 a n 为 等 比 数 列 ， 故 b n b 1 2n12n， 所 以a nb n 1 n。
21例已知数列n中， a 11， a n 11a n 1求数列的通项公式 a n 。
a2解：因为 a n11a n 1 ，所以 x1x 1x 2 ，两边都减去不动点2 得 a n 12 2a n 1 2 ，所以可以得到2 2111 n 1an 122 b n ，所以 b n 1b n b 11 n ，所以a n2 b n 21 n 。
(a n 2) ，设 a nb n ，故2222231：若函数 f ( x) ax b, a 0且 a 1ax b 的一个不动点，即f ( p)p ，如果数列．定理， p 是函数 f ( x)x n 满足递推关系 x nf (x n 1 ), n 1，则 x n p a( x n 1 p) 。
4． 定理 2 ：设 f ( x)ax b c 0, adbc 0 ，数列x 满足递推关系xf ( x 1 ), n 1 ，且初始值cx dnnnx 1 f ( x 1 ) ，如果函数 f ( x) ax bx n p kxn 1p ，这里 ka pc有两个相异的不动点p, q ，则qxn 1q，也就是cx dx na qc说数列x n p 是以 k 为公比的等比数列；如果函数 f (x)axb只有唯一的不动点 p ，则 11k ，x n qcx dx n p x n 1p这里 k2c ，即数列 1 是以 k 为公差的等差数列。