二阶常系数齐次线性微分方程(精选)
二阶常系数齐次线性微分方程
求ypyqy0的通解的步骤
•第一步 写出微分方程的特征方程
r2prq0;
•第二步 求出特征方程的两个根r1、r2; •第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的
通解
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•特征方程的根与通解的关系
而
ex
cos
x
1 2
(
y1
y2)
ex
sin
x
1 2i
(
y1
y2)
>>>
故excosx和exsinx也是方程的解;
函数excosx与exsinx的比值为cotx 不是常数
故excosx和exsinx是方程的线性无关解
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§12.8 二阶常系数齐次线性微分方程
方 程 ypyqy0 称 为 二 阶 常 系 数 齐 次线性微分方程 其中p、q均为常数
如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分 方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2 就是它的通解
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•特征方程的根与通解中项的对应
•单实根r对应于一项 Cerx ;
•一对单复根r1 2i 对应于两项 ex(C1cosxC2sinx);
•k重实根r对应于k项 erx(C1C2x Ckxk1);
•一对k重复根r1 2i 对应于2k项 ex[(C1C2x Ck xk1)cosx(D1D2x Dkxk1)sinx]
高等数学-十九 二阶线性常系数齐次微分方程-精选文档
(常数)
定理3
若
y 是二阶线性非齐次方程(2)的特解,
y 是方程(2)所对应的齐次方程的通解，则
Y y y 就是方程(2)的通解。
定理4 若 y 1 , y 2 分别是方程
a y b y c y f () x 1
与 a y b y c y f () x 的特解, 那么 y y 1 y 2 2
x 2
3
x
e 2x
x
x
根据例1知道该方程所对应的齐次方程的通解 ,所以该方程的通解为 yce cx 1 2 e x x 1 3 x Y ce cx 1 2 e xe 3
x
二、二阶线性常系数齐次微分方程求通解的方法
a y b y c y 0
由定理知，要求齐次线性方程的通解，只要 求出它的两个线性无关的特解即可.
ye
x
y e
代入齐次方程得
y e （ 为常数） 2 x x x a e b e c e 0
2 x
x
e( a b c ) 0
x
2
e( a b c ) 0 e
x
2
x
0
a b c 0
二阶线性常系数微分方程
一. 二阶线性常系数微分方程解的性质
二. 二阶线性常系数齐次微分方程求解的方法
形如
a y b y c y fx () （其中 a , b , c 为常数）
即
叫做二阶线性常系数微分方程 当
f ( x) 0
a y b y c y 0 (1 )
bcy acy ( 1 1 cy ccy ( 1 1 cy ( 1 1 cy ) 2 2) 2 2) 2 2
10.6二阶常系数齐次线性微分方程
微积分
二阶常系数齐次微分方程
―、特征方程法
二阶常系数齐次线性方程解法
特征方程法
y" + py' + qy = 0
设y = /x,将其代入上方程，
(r2 + pr + q )erx = 0
得
故有 r °+ pr + q = 0
主 ・.・e’x 特征0方, 程
特征根 ％ =~P2 -4q, 2
微积分
例2求微分方程y" -2y -8y=0
解特征方程为
r2 一 2r 一 8 = (r 一 4)(r + 2) = 0
解得 “=4g=_2
故所求通解为
一 y = c1 e4 x + c 2 e
2x
经济数学
微积分
例 ， 3求方程y" + 2y + 5y = 0的通
解. 解 特征方程为r2 + 2r + 5 = 0 ,
3)有一对共轭复根(A< 0)
伊 特征根为 r = a + ip, r2 = a- ，
( 伊 ) y1 = e a+ )% y2 = e(a-ip x,
1
重新组合yi = 2顷1 + y 2) =e" * p,
_i
y2 =
(yi - y2) =e"sin p，
2i
(注：利用欧拉公式eliC = cosx + isinx.)
二阶常系数齐次线性微分 方
第6节二阶常系数齐次线性微分方程 第十章微分方程与差分方程
主讲 韩华
二阶常系数齐次线性微分方程的解法
欢迎阅读matlab和simulink控制系统教程本教程可以帮助您学习如何使用matlab和simulink对自动控制系统进行分析和设计教程包含matlab和simulink基础同时还介绍了一些最常见的经典现代控制系统设计技术
二阶常系数齐次线性微分方程的解法
1、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 y''+py'+qy = 0（其中p，q为常数）的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，求解步骤： （1）特征方程：λ2+pλ+q = 0; （2）根据特征方程的根分为以下三种情形：
2、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 y''+py'+qy = f（x）（其中p，q为常数）的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程，根据f（x）的不同形式可将求特解方程分为如下两 种情况： （1）f（x）=Pn（x）ekx
（2）f（x]
【2019年整理】二阶线性常系数齐次微分方程的解
通解形式
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解 微分方程的特征方程为
r22r10 即(r1)20 特征方程有两个相等的实根r1r21 因此微分方程的通解为yC1ex C2xex 即y(C1C2x)ex
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返回下页结束铃源自•特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
中p、q均为常数 •特征方程及其根
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的求根公式为
r1, 2
p
p2 4q 2
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•特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
方程ypyqy0的通解
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
•第一步 写出微分方程的特征方程
r2prq0 •第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 •第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的 通解
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•特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
二阶常系数齐次线性微分方程
微积分Calculus二阶常系数齐次线性微分方程()(1)11()()()()n n n n y P x y P x y P x y f x −−'++++=当均为常数时，称为阶常系数线性微分方程，否则，称为变系数微分方程。
n ()i p x 一n 阶常系数线性微分方程n 阶线性微分方程本节只研究二阶常系数线性微分方程：时，二阶常系数线性齐次微分方程()0f x =时，二阶常系数线性非齐次微分方程()0f x ≠形如的微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中为常数.'''09-24y py qy ++=（）p q 、1二阶常系数齐次线性微分方程定理一如果函数都是齐次方程（9-24）的解，则也是方程（9-24）的解，其中为任意常数。
)((2211x x y c y c +）c c 21、y 1(x)和y 2(x)定义一设两个函数在区间内有定义1）若常数，即与不成比例，则称函数在内线性无关.（2）若（常数），即与成比例，则称函数在内线性相关。
定理二若函数是齐次方程（9-24）的两个线性无关的解，则其通解为其中为任意常数。
特征方程法假设方程有形如的解，则代入方程后得特征根因为，故有特征方程2二阶常系数齐次线性微分方程解法二阶常系数齐次线性方程特征方程为1）特征方程有两个不等的实根，则是方程的两个线性无关的解，故齐次方程的通解为2）特征方程有两相等的实根，则一特解为，设另一特解为得齐次方程的通解为3）特征方程有一对共轭复根，y1=e(α+iβ)x,y2=e(α−iβ)x重新组合y1=12(y1+y2)=eαx cosβxy 2=12i(y1−y2)=eαx sinβx得齐次方程的通解为二阶常系数齐次线性方程的特征方程，特征根特征根通解形式实根实重根共轭复根特征方程为求方程的通解。
解解得特征根故所求通解为二相关练习例一特征方程为求方程的通解。
解解得故所求通解为例二特征方程为求解初值问题解特征根为通解为将条件代入得故所求特解为例三。
二阶线性常系数齐次微分方程的解
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例 3 求微分方程y2y5y 0的通解
解 微分方程的特征方பைடு நூலகம்为
r22r50
特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根 因此微分方程的通解为yex(C1cos2xC2sin2x)
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
•第一步 写出微分方程的特征方程
r2prq0 •第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 •第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的 通解
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❖特征方程的根与通解的关系
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❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例2 求方程y2yy0的通解
中p、q均为常数 ❖特征方程及其根
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的求根公式为
r1, 2
p
p2 4q 2
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❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
二阶常系数齐次线性微分方程
第七章常微分方程7.10 二阶常系数齐次线性微分方程数学与统计学院赵小艳1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法1 二阶常系数齐次线性微分方程的形式 )(1)1(1)(t F x a x a x a x n n n n =++++-- n 阶常系数线性微分方程的标准形式21=++x a x a x 二阶常系数齐次线性方程的标准形式.,,,,121均为实常数其中n n a a a a - )1()()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- ,2211x C x C x +=则其通解为,,21解是其线性无关的两个特若x x .,21为任意常数其中C C 解的结构1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法,t e x λ=设则 ()0212=++t e a a λλλ得 0212=++a a λλ特征方程 ,2422111a a a -+-=λ,11t e x λ=,22t e x λ=且它们线性无关，通解为 .,)(212121为任意常数其中C C e C e C t x tt ,λλ+=特征根为: ,2422112a a a ---=λ情形1 有两个不相等的实根 )0(>∆,021=++x a x a x 对于对应特解 ,,21解是其线性无关的两个特若x x ,2211x C x C x +=则其通解为.,21为任意常数其中C C 待定系数法2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法,11t e x λ=,2121a -==λλ情形2 有两个相等的实根 )0(=∆故一特解为 ,,,222代入原方程并化简得将x x x ()(),022112111=+++'++''u a a u a u λλλ,)(12t e t u x λ=设另一特解为特征根为 2121,)()('1112t t e t u e t u x λλλ+= ,)()('2)("1112112tt t e t u e t u e t u x λλλλλ++=,11t e x λ=情形2 有两个相等的实根 )0(=∆故一特解为 通解为 (),te t C C t x 121)(λ+=,,,222代入原方程并化简得将x x x ()(),022112111=+++'++''u a a u a u λλλ,0=''u 得(),t t u =取,12t te x λ=则特征根为 2121(),21C t C t u +=,)(12t e t u x λ=设另一特解为0=0=.,21为任意常数其中C C ,2121a -==λλ,1βαλi +=,2βαλi -=,)(1t i e x βα+=t i e x )(2βα-=情形3 有一对共轭复根 )0(<∆由解的性质 ()21121x x x +=,cos t e t βα=()21221x x ix -=.sin t e t βα=通解为 (),sin cos 21t βC t βC e x t α+=特征根为 2121对应特解为 t e i t e t t ββααsin cos -=.,21为任意常数其中C C .,21线性无关且x x.044的通解求方程=++x x x解 特征方程为 ,0442=++λλ,221-==⇒λλ故所求通解为 ().221te t C C x -+=例1 解 特征方程为 ,0522=++λλ,2121i ±-=⇒，λ故所求通解为 ().2sin 2cos 21x C x C e y x +=-.052的通解求方程=+'+''y y y 例2 021=++x a x a x 0212=++a a λλ特征方程为,)1(21时λλ≠;)(2121t t e C e C t x λλ+=通解为,)2(21时λλλ==;)()(21te t C C t x λ+=通解为,)3(2,1时βαλi ±=().sin cos )(21t βC t βC e t x t α+=通解为()().00,2004422的解满足初始条件求='==++y y y x y x y d d d d 解 特征方程为 ,01442=++λλ.212,1-=⇒λ故所求通解为 x e x C C y 2121)(-+=例3 ()()得由00,20='=y y ,21=C .12=C 为方程满足初始条件的解.22121x x xe e y --+=021=++x a x a x 0212=++a a λλ特征方程为,)1(21时λλ≠;)(2121t t e C e C t x λλ+=通解为,)2(21时λλλ==;)()(21te t C C t x λ+=通解为,)3(2,1时βαλi ±=().sin cos )(21t βC t βC e t x t α+=通解为1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法01)1(1)(=+'+++--x a x a xa x n n n n 特征方程为 0111=++++--n n n n a a a λλλ 特征方程的根 相对应的线性无关的特解 重根是若k λt k t t et te e λλλ1,,,- 重是若共轭复根k i βα±.sin ,,sin ,sin ,cos ,,cos ,cos 11t βe t t βte t βe t βe tt βte t βe t αk t αt αt αk t αt α-- 注意： n次代数方程有n 个根, 而特征方程的每个根都对应着一个特解. 3 高阶常系数齐次线性微分方程的解法.2211n n x C x C x C x +++= 通解为特征根为.2,1321-===λλλ故所求通解为 ()t e t C C x 21+=解 ,0233=+-λλ特征方程为 ()(),0212=+-λλ().0233的通解求方程=+-x x x 例4 特征根为 .,,154321i i -====-=λλλλλ故所求通解为 ()()t.t C C t t C C sin cos 5432++++解 ,01222345=+++++λλλλλ特征方程为 ()(),01122=++λλ()()().022345的通解求方程=+++++x x x x x x 例5 .e C t 23-+t e C x -=1。
二阶常系数齐次线性微分方程
例3 求方程 y 2 y 3 y 0 的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 3 0 ,
解得 r1 1 , r2 3 故所求通解为
y C1e x C2e3 x .
例4 求微分方程 y 4 y 4 y 0 满足初始条件
y x 0 1, y x 0 4的特解
有一对共轭复根 特征根为
( 0)
r2 i ,
rx
,
重新组合
1 y1 ( y1 y2 ) ex cos x, 2 1 y2 ( y1 y2 ) ex sin x , 2i
y2 e( i ) x ,
( D1 D2 x Dk x k 1 )sin x].
例 求微分方程 y (4) 2 y ''' 5 y '' 0 的通解 解 特征方程为
r 4 2r 3 5r 2 0 ,
r 2 (r 2 2r 5) 0 ,
解得 r1 r2 0, r3,4 1 2i. 故所求通解为
作业(P103)：28(2)(3)
n阶常系数齐次线性微分方程解法： y ( n ) p1 y ( n1) pn1 y pn y 0.
其特征方程为
r n p1r n1 pn1r pn 0,
在复数范围内它有 n 个根。 方程通解分三种情况： （1）有 n 个不同实特征根时，通解为 y C1er1x C2er2 x Cnern x ; （2）若 r 为 k 重实特征根时，通解中包含 (C1 C2 x Ck x k 1 )e rx ; （3）若 r i 为 k 重共轭复特征根时，通 解中包含 e x [(C1 C2 x Ck x k 1 )cos x
二阶常系数齐次线性微分方程
就必定是方程的通解.
定义 设y1(x) 与y2(x)是定义在某区间 内的两个函数, 如果存在不为零的常数k
(或存在不全为零的常数k1, k2), 使得对于 该区间内的一切x, 有
y2(x) k y1 ( x)
(或k1y1(x) k2 y2 (x) 0)
定理.(叠加原理) 若函数 y1( x), y2( x) 是方程
y P( x) y Q( x) y 0
的两个解, 则 y C1 y1( x) C2 y2( x)也是该方程 的解.
证:将 y C1 y1( x) C2 y2( x) 代入方程左边, 得
[C1 y1 C2 y2 ] P( x)[C1 y1 C2 y2 ]
成立, 则称函数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线
性相关, 否则称y1(x)与y2(x)线性无关.
思考:
中有一个恒为0, 则
必线性相关
定理. (二阶齐次线性方程通解的结构) 是二阶线性齐次方程的两个
线性无关的特解, 则 y C1 y1( x) C2 y2( x)
数) 是该方程的通解.
例于书上, 1(5), 2(5)交作业.
(2) 当 p2 4q 0 时, 特征方程有两相等实根 则微分方程有一个特解
设另一特解为 , ( u(x) 待定).
代入原微分方程 y py qy 0得:
er1 x [( u 2r1u r12u ) p(u r1u )q u 0
u ( 2r1 p )u ( r12 p r1 q )u 0
(3) 根据特征方程根的不同情况, 写出微分方 程的通解.
二阶常系数齐次线性微分方程解读
容易验证: y1 ( x) e , y2 ( x) 2e 都是它的解. 由定理知
x
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) C1e 2C2e
x
x
(C1 2C2 )e Ce x
x
也是它的解. 但这个解中只含有一个任意常 数C, 显然它不是所给方程的通解.
问题: 方程的两个特解 y1(x), y2(x) 满足 什么条件时, y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 才是方程 的通解？ 由例7-12的分析可知, 如果方程的两个 特解y1(x), y2(x)之间不是常数倍的关系, 那 么它们线性组合得到的解
定理表明, 二阶线性齐次微分方程任何 两个解 y1(x), y2(x) 的线性组合
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
仍是方程的解. 那么, C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 是不是方程的通解呢？
例. 对于二阶常系数线性齐次微分方程
y'' 2 y' y 0,
利用解的叠加原理, 得原方程线性无关特解:
y1 ( y1 y2 ) e
1 2
x
cos x
y2 ( y1 y2 ) e
1 2i
x
sin x
因此原方程的通解为
ye
x
(C1 cos x C 2 sin x )
求y+py+qy=0的通解的步骤:
(1) 写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0 (2) 求出特征方程的两个根r1, r2
成立, 则称函数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线 性相关, 否则称y1(x)与y2(x)线性无关.
二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程y ''+py '+qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程y ''+py '+qy =0得(r 2+pr +q )e rx =0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解.特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1q p p r -±+-= 求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解.这是因为,函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又x r r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=.(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+''0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,所以xr xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为x r x r xe C e C y 1121+=.(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α-i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α-i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ),y 2=e (α-i β)x =e αx (cos βx -i sin βx ),y 1+y 2=2e αx cos βx , )(21cos 21y y x e x +=βα, y 1-y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y ix e x -=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解.可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解.因此方程的通解为y =e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y ''+py '+qy =0的通解的步骤为:第一步 写出微分方程的特征方程r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.例1 求微分方程y ''-2y '-3y =0的通解.解 所给微分方程的特征方程为r 2-2r -3=0, 即(r +1)(r -3)=0.其根r 1=-1, r 2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为y =C 1e -x +C 2e 3x .例2 求方程y ''+2y '+y =0满足初始条件y |x =0=4、y '| x =0=-2的特解.解 所给方程的特征方程为r 2+2r +1=0, 即(r +1)2=0.其根r 1=r 2=-1是两个相等的实根, 因此所给微分方程的通解为y =(C 1+C 2x )e -x .将条件y |x =0=4代入通解, 得C 1=4, 从而y =(4+C 2x )e -x .将上式对x求导,得y'=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y'|x=0=-2代入上式,得C2=2.于是所求特解为x=(4+2x)e-x.例3 求微分方程y''-2y'+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0.特征方程的根为r1=1+2i,r2=1-2i,是一对共轭复根,因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程:方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) +⋅⋅⋅+p n-1y'+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2 ,⋅⋅⋅,p n-1,p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D,及微分算子的n次多项式:L(D)=D n+p1D n-1+p2 D n-2 +⋅⋅⋅+p n-1D+p n,则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n-1+p2 D n-2 +⋅⋅⋅+p n-1D+p n)y=0或L(D)y=0.注: D叫做微分算子D0y=y, D y=y', D2y=y'', D3y=y''',⋅⋅⋅,D n y=y(n).分析:令y=e rx,则L(D)y=L(D)e rx=(r n+p1r n-1+p2 r n-2 +⋅⋅⋅+p n-1r+p n)e rx=L(r)e rx.因此如果r是多项式L(r)的根,则y=e rx是微分方程L(D)y=0的解.n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:L(r)=r n+p1r n-1+p2 r n-2 +⋅⋅⋅+p n-1r+p n=0称为微分方程L(D)y=0的特征方程.特征方程的根与通解中项的对应:单实根r对应于一项:Ce rx;一对单复根r1,2=α±iβ对应于两项:eαx(C1cosβx+C2sinβx);k重实根r对应于k项:e rx(C1+C2x+⋅⋅⋅+C k x k-1);一对k重复根r1,2=α±iβ对应于2k项:eαx[(C1+C2x+⋅⋅⋅+C k x k-1)cosβx+( D1+D2x+⋅⋅⋅+D k x k-1)sinβx].例4 求方程y(4)-2y'''+5y''=0 的通解.解这里的特征方程为r4-2r3+5r2=0,即r2(r2-2r+5)=0,它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=1±2i .因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ).例5 求方程y (4)+β 4y =0的通解, 其中β>0. 解 这里的特征方程为r 4+β 4=0. 它的根为)1(22,1i r ±=β, )1(24,3i r ±-=β.因此所给微分方程的通解为)2sin 2cos (212x C x C ey x βββ+=)2sin 2cos (432 x C x C e x βββ++-.。
06 第六节 二阶常系数齐次线性微分方程
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程根据二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求得二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解. 本节和下一节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其解法. 本节先讨论二阶常系数齐次线性微分方程及其解法.分布图示★ 二阶常数系数齐次线性方程的解法★ 例1 ★ 例2★ 例3 ★ n 阶常数系数线性微分方程的解法★ 例4 ★ 例5★ 例6★ 例7★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题7—6 ★ 返回内容要点一、二阶常系数齐次线性微分方程及其解法0=+'+''qy y p y (6.1)特征方程 ,02=++q pr r (6.2)称特征方程的两个根,1r 2r 为特征根.)sin cos ()(,002121212121212121x C x C e y i r i r e x C C y r r e C e C y r r qy y p y q pr r x xr xr x r βββαβαα+=-=+=+==+==+'+''=++有一对共轭复根有二重根有二个不相等的实根的通解微分方程的根特征方程 这种根据二阶常系数齐次线性方程的特征方程的根直接确定其通解的方法称为特征方程法.二、 n 阶常系数齐次线性微分方程的解法n 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n (6.6)其特征方程为0111=++++--n n n n p r p r p r (6.7)根据特征方程的根，可按下表方式直接写出其对应的微分方程的解:x k k k k rxk k e x x D x D D x x C x C C i k e x C x C C r k αβββα]sin )(cos )[()(111011101110------+++++++±+++ 复根重共轭是重根是通解中的对应项特征方程的根注: n 次代数方程有n 个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各含一个任意常数. 这样就得到n 阶常系数齐次线性微分方程的通解为.2211n n y C y C y C y +++=例题选讲二阶常系数齐次线性微分方程及其解法例1（E01）求方程032=-'-''y y y 的通解.解 所给微分方程的特征方程为,0322=--r r其根3,121=-=r r 是两个不相等的实根，因此所求通解为.321x x e C e C y +=-例2（E02）求方程044=+'+''y y y 的通解.解 特征方程为,0442=++r r 解得1r 2r =,2-=故所求通解为.)(221x e x C C y -+=例3（E03）求方程052=+'+''y y y 的通解.解 特征方程为,0522=++r r 解得2,1r ,21i ±-=故所求通解为).2sin 2cos (21x C x C e y x +=-n 阶常系数齐次线性微分方程的解法例4（E04）求方程052)4(=''+'''-y y y 的通解.解 特征方程为,052234=+-r r r 即,0)52(22=+-r r r特征根是1r 2r =0=和43，r ,21i ±-=因此所给微分方程的通解为).2sin 2cos (4321x C x C e x C C y x +++=例5求方程0444=+w dxw d β的通解, 其中.0>β 解 特征方程为.044=+βr 由于44β+r βββ2422422r r r -++=222222)(ββr r -+=),2)(2(2222ββββ+++-=r r r r特征方程为,0)2)(2(2222=+++-ββββr r r r 特征根为),1(22,1i r ±=β),1(24,3i r ±-=β因此所给方程的通解为 w ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x C x C e x 2sin 2cos 212βββ.2sin 2cos 432⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-x C x C e x βββ例6 求下列微分方程的通解.(1) ()();0235='++y y y(2)().022)4(6=+''--y y y y解 )1( 特征方程为,0235=++r r r 即,0)1(22=+r r 特征根,01=r ,32i r r ==,54i r r -== 通解为.sin )(cos )(54321x x C C x x C C C y ++++=(2) 特征方程为,022246=+--r r r 即,0)1)(2(42=--r r 特征根,21=r ,22-=r ,13=r ,14-=r ,5i r =,6i r -= 通解为x x x x e C e C e C e C y --+++=432221.sin cos 65x C x C ++例7（E05）已知一个四阶常系数齐次线性微分方程的四个线性无关的特解为,2sin 3,2cos ,,4321x y x y xe y e y x x ====求这个四阶微分方程及其通解.解 由1y 与2y 可知，它们对应的特征根为二重根21r r =,1=由3y 与4y 可知，它们对应的特征根为一对共轭复根.24,3i r ±=所以特征方程为,0)4()1(22=+-r r 即,04852234=+-+-r r r r它所对应的微分方程为,04852)4(=+'-''+'''-y y y y y其通解为.2sin 2cos )(4321x C x C e x C C y x +++=课堂练习1.求解下列二阶常系数齐次线性微分方程：(1) 065=+'+''y y y ；(2) 092416=+'-''y y y ；(3) .0258=+'+''y y y2.求方程022)3()4()5(=+'+''+++y y y y y y 的通解.3.求微分方程y y y y y ln )(22='-''的通解.。