北京市海淀区2015-2016学年第一学期期末练习高二文科数学试卷(含详细答案)
2016海淀区高二(上)期末数学(文科)
∴直线恒过定点（ 2，0）， 令 x=0，则 y= ≠ 0， ∴直线 l 不垂直 y 轴， 故选： D．
7．【解答】 ∵直线 x+ay﹣1=0 和直线 ax+4y+2=0 互相平行， ∴ 1× 4﹣ a?a=0，解得 a=2 或 a=﹣ 2， 经验证当 a=﹣ 2 时两直线重合，应舍去 故选： A
2016 海淀区高二（上）期末数学（文科）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的 .
1．（4 分）已知圆（ x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（
）
A．（1，0）， 2 B．（﹣ 1， 0），2 C． 2．（4 分）抛物线 x2=4y 的焦点到准线的距离为（ A． B．1 C． 2 D．4
8．【解答】 取 D=0，x2+y2﹣4y=0 可化为 x2+（y﹣2）2=4，圆心为（ 0， 2），半径为 2，与 x 轴切于原 点． 直线 y=2 与 x2+y2﹣4y=0 交于两点 M（﹣ 2，2），N（2，2），∴ OM⊥ON，∠ MON=9°0 ． 故选： D．
6．（4 分）已知直线 l 的方程为 x+my﹣ 2=0，则直线 l（ ） A．恒过点（﹣ 2，0）且不垂直 x 轴 B．恒过点（﹣ 2， 0）且不垂直 y 轴
C．恒过点（ 2， 0）且不垂直 x 轴 D．恒过点（ 2，0）且不垂直 y 轴 7．（4 分）已知直线 x+ay﹣1=0 和直线 ax+4y+2=0 互相平行，则 a 的取值是（ ）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 . 1．【解答】 圆（ x+1） 2+y2=2 的圆心为（﹣ 1，0）， 半径为 ． 故选： D．
高二数学文科—2015-2016北京海淀高二(上)期末文科(含解析)
圆心和半径分别为 1,0 ， 2 ．
故选 D．
2.【答案】B
【解析】根据
x2
2 py
的焦点为
0,
p 2
，准线方程为
y
p 2
，可知抛物线
x2
4y
的焦点为
0,1 ，准线为 y 1 ，所以距离为 2 ．
故选 B．
3.【答案】A
【解析】由方程可知，a2 4 ，b2 1，解得 a 2 ，b 1 ，由 c2 a2 b2 5 ，解得 c 5 ，
(说明：对于不同与答案的解法，对照答案相应步骤给分即可)
17.
【解析】（Ⅰ）由已知可得
(6
a2 16 r2 a)2 16
r
2
，
解得 a 3 ， r 5 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）结论可知圆 M 的方程为 (x 3)2 (y 4)2 25 ．
圆心到直线 4x 3y m 0 的距离为 d | 24 m | ， 5
（Ⅰ）若椭圆 G 的焦点在 y 轴上，求 m 的取值范围；
（Ⅱ）若 A0,1 在椭圆上，且以 BC 为直径的圆过点 A ，求直线 l 的方程.
北京市海淀区 2015-2016 学年高二上学期期末 数学文科试卷答案
一、选择题：本大题共 10 小题, 每小题 4 分，共 40 分.
DBACB DADCB 二、填空题：本大题共 6 小题, 每小题 4 分,共 24 分.
AB 中点. （Ⅰ）求证： BC A1C ； （Ⅱ）求证： BC1∥平面 A1CE ； （Ⅲ）若 AA1 3 ， BP a ，且 AP A1C ，写出 a 的值（不需写过程）．
19.（本小题共 12 分） 已知直线 l ： y x n 与椭圆 G ： (3 m)x2 my2 m(3 m) 交于两点 B ， C ．
2015-2016年北京海淀高三上学期期末文科数学试题及答案
2016年北京海淀高三上学期期末文科数学试题及答案海淀区高三年级2015~2016学年第一学期期末练习数学 （文科） 2016.1一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 复数(1i)(1i)+-=A.2B.1C. 1-D.2-2. 已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，且满足4320a a a -=，则4a 的值为 A.2 B.4C.8D.163. 如图, 正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+， 则λμ+的值为 A.12B. 12- C. 1 D.1- 4 .如图，在边长为3的正方形内有区域A （阴影部分所示），张明同学用随 机模拟的方法求区域A 的面积. 若每次在正方形内每次随机产生10000个点, 并记录落在区域A 内的点的个数. 经过多次试验，计算出落在区域A 内点的个 数平均值为6600个，则区域A 的面积约为 A.5B.6C. 7 D.85.某程序框图如图所示，执行该程序，如输入的a 值为1，则输出的a 值为A.1B.2C.3D.56.若点(2,3)-不在．．不等式组0,20,10x y x y ax y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩表示的平面区域内，则实数a 的取值 范围是A.(,0)-∞B. (1,)-+∞C. (0,)+∞D.(,1)-∞-EA BCD输出输入开始结束是否7. 已知函数, 1,()πsin , 1,2x x f x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩则下列结论正确的是 A ．000,()()x f x f x ∃∈-≠-R B ．,()()x f x f x ∀∈-≠R C ．函数()f x 在ππ[,]22-上单调递增D ．函数()f x 的值域是[1,1]-8.已知点(5,0)A ，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，若点F 恰好在PA 的 垂直平分线上，则PA 的长度为 A.2B. C. 3 D.4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2015-2016学年北京市海淀区高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
【解答】解：∵A＝{x|x＞1}，集合 B＝{a+2}，若 A∩B＝∅， ∴a+2≤1，即 a≤﹣1， 则实数 a 的范围为（﹣∞，﹣1]， 故选：A． 2． （4 分）已知 sinθcosθ＜0，那么角 θ 是（ A．第一或第二象限角 C．第二或第四象限角 【解答】解：由题意知，sinθcosθ＜0， 则 故选：C． 3． （4 分）已知命题 p：∃x0∈R， A．∀x0∈R， C．∃x0∈R， 【解答】解：命题 p：∃x0∈R， ∴￢p 是：∀x0∈R， 故选：A． 4． （4 分）在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝a3a5，则 a7＝（ A． B． C． ） D． ， ． ．则￢p 是（ ） 或 ，所以角 θ 在第二或第四象限， ） B．第二或第三象限角 D．第一或第四象限角
x
②f（x）＝ ③f（x）＝e ④f（x）＝sinx 既是奇函
12． （4 分）某食品的保鲜时间 t（单位：小时）与储藏温度 x（单位：℃）满足函数关系 t ＝ 且该食品在
该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，给出以下四个结 论： ①该食品在 6℃的保鲜时间是 8 小时； ②当 x∈[﹣6，6]时，该食品的保鲜时间 t 随看 x 增大而逐渐减少； ③到了此日 13 时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ④到了此日 14 时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间 其中，所有正确结论的序号是 ．
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2 *
（1）求数列{an}的通项公式； （2）求 Sn 的最大值； （3）设 bn＝|an|，求数列{bn}的前 10 项和 T10． 16． （9 分）在数列{an}中，a1＝3，an＝﹣an﹣1﹣2n+1（n≥2 且 n∈N ） ． （1）求 a2，a3 的值； （2）证明：数列{an+n}是等比数列，并求{an}的通项公式； （3）求数列{an}的前 n 项和 Sn． 17． （9 分）已知函数 f（x）＝x ﹣（2a+1）x+alnx（a＞0） ，求函数 f（x）的单调区间． 18． （9 分）已知函数 f（x）＝ax +bx+1（a，b 为实数，a≠0，x∈R） ． （Ⅰ）若函数 f（x）的图象过点（﹣2，1） ，且方程 f（x）＝0 有且只有一个根，求 f（x） 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当 x∈[﹣1，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx 是单调函数，求实数 k 的 取值范围； （Ⅲ）若函数 f（x）为偶函数，且 ＞0 时，F（m）+F（n）＞0． F（x）＝求证：当 mn＜0，m+n＞0，a
2015-2016年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷和参考答案(文科)
2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）复数（1+i）（1﹣i）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣22．（5分）已知数列{a n}是公比为2的等比数列，且满足，则a4的值为（）A．2 B．4 C．8 D．163．（5分）如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若=λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．1 D．﹣14．（5分）如图，在边长为3的正方形内有区域A（阴影部分所示），张明同学用随机模拟的方法求区域A的面积．若每次在正方形内每次随机产生10000个点，并记录落在区域A内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域A内点的个数平均值为6600个，则区域A的面积约为（）A．5 B．6 C．7 D．85．（5分）某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a值为1，则输出的a 值为（）A．1 B．2 C．3 D．56．（5分）若点（2，﹣3）不在不等式组表示的平面区域内，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）7．（5分）已知函数则下列结论正确的是（）A．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）B．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）C．函数f（x）在上单调递增D．函数f（x）的值域是[﹣1，1] 8．（5分）已知点A（5，0），抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P在抛物线C上，若点F恰好在PA的垂直平分线上，则PA的长度为（）A．2 B．C．3 D．4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）lga+lgb=1，则ab=．10．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点（1，2），则b=，其离心率为．11．（5分）某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为．12．（5分）直线l经过点A（t，0），且与曲线y=x2相切，若直线l的倾斜角为45°，则t=．13．（5分）已知圆（x﹣a）2+y2=4截直线y=x﹣4所得的弦的长度为，则a=．14．（5分）已知△ABC，存在△A1B1C1，满足==，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．（1）在满足下列条件的三角形中，存在“友好：三角形的是；（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°（2）若△ABC存在”友好“三角形，且A=70°，则另外两个角的度数分别为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）等差数列{a n}的首项a1=1，其前n项和为S n，且a3+a5=a4+7．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求满足不等式S n＜3a n﹣2的n的值．16．（13分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值与最小值的和．17．（13分）为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度t满足：27℃≤t≤30℃）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验．现有关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：℃）的记录如下：（Ⅰ）根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期．（Ⅱ）设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高温度的方差和最低温度的方差分别为D1，D2，估计D1，D2的大小？（直接写出结论即可）．（Ⅲ）从10月份31天中随机选择连续三天，求所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率．18．（14分）如图，四边形ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD∥BE，AD=PD=2BE=2，∠DAB=60°，点F为PA的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PAD；（Ⅲ）求三棱锥P﹣ADE的体积．19．（13分）已知函数．（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k有解，求实数k的取值范围．20．（14分）如图，椭圆的离心率为，其左顶点A在圆O：x2+y2=16上．（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）直线AP与椭圆W的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q．（i）当时，求直线AP的斜率；（ii）是否存在直线AP，使得？若存在，求出直线AP的斜率；若不存在，说明理由．2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）复数（1+i）（1﹣i）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：（1+i）（1﹣i）=1﹣i2=1+1=2，故选：A．2．（5分）已知数列{a n}是公比为2的等比数列，且满足，则a4的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：∵数列{a n}是公比为2的等比数列，且满足，∴=0，解得a1=1，∴a4=1×23=8．故选：C．3．（5分）如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若=λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．1 D．﹣1【解答】解：由题意正方形ABCD中，E为DC的中点，可知：=．则λ+μ的值为：．故选：A．4．（5分）如图，在边长为3的正方形内有区域A（阴影部分所示），张明同学用随机模拟的方法求区域A的面积．若每次在正方形内每次随机产生10000个点，并记录落在区域A内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域A内点的个数平均值为6600个，则区域A的面积约为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由题意，∵在正方形中随机产生了10000个点，落在区域A内点的个数平均值为6600个，∴概率P==，∵边长为3的正方形的面积为9，∴区域A的面积的估计值为≈6．故选：B．5．（5分）某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a值为1，则输出的a 值为（）A．1 B．2 C．3 D．5【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1i=1a=2×1﹣1=1，i=2，不满足条件i＞3，a=2×2﹣1=3，i=3不满足条件i＞3，a=2×3﹣3=3，i=4满足条件i＞3，退出循环，输出a的值为3．故选：C．6．（5分）若点（2，﹣3）不在不等式组表示的平面区域内，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：点（2，﹣3）不在不等式组表示的平面区域内，可知（2，﹣3）满足x﹣y≥0，满足x+y﹣2≤0，所以不满足ax﹣y﹣1≤0，即2a+3﹣1＞0，解得a＞﹣1．故选：B．7．（5分）已知函数则下列结论正确的是（）A．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）B．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）C．函数f（x）在上单调递增D．函数f（x）的值域是[﹣1，1]【解答】解：分段函数的图象如图：可知：A不正确；∀x∈R，f（﹣x）≠f（x），B不正确；函数f（x）在上单调递增，所以C不正确；函数f（x）的值域是[﹣1，1]，所以D正确．不正确的选项为D．故选：D．8．（5分）已知点A（5，0），抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P在抛物线C上，若点F恰好在PA的垂直平分线上，则PA的长度为（）A．2 B．C．3 D．4【解答】解：点A（5，0）在x轴上，抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），点P在抛物线C上，若点F恰好在PA的垂直平分线上，可知三角形PFA是等腰三角形，即：|PF|=|AF|，可得|PF|=4，由抛物线的定义可知，P的横坐标为：3，纵坐标为：2．则PA的长度为：=4．故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）lga+lgb=1，则ab=10．【解答】解：由lga+lgb=1，得：lg（ab）=1，所以，ab=10．故答案为10．10．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点（1，2），则b=2，其离心率为．【解答】解：双曲线的一条渐近线y=bx，过点（1，2），可得b=2，a=1，c=，可得双曲线的离心率为：e=．故答案为：2；．11．（5分）某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为4．【解答】解：由三视图可知三棱柱的底面为直角边为2等腰直角三角形，棱柱的高为2，这是一个歪放的三棱柱∴V==4．故答案为4．12．（5分）直线l经过点A（t，0），且与曲线y=x2相切，若直线l的倾斜角为45°，则t=．【解答】解：设切点为（m，m2），y=x2的导数为y′=2x，即有切线l的斜率为k=2m=tan45°=1，解得m=，可得切点为（，），由1=，解得t=．故答案为：．13．（5分）已知圆（x﹣a）2+y2=4截直线y=x﹣4所得的弦的长度为，则a= 2或6．【解答】解：∵圆（x﹣a）2+y2=4截直线y=x﹣4所得的弦的长度为，圆心（a，0）到直线y=x﹣4的距离d=，∴=，解得a=2或a=6．故答案为：2或6．14．（5分）已知△ABC，存在△A1B1C1，满足==，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．（1）在满足下列条件的三角形中，存在“友好：三角形的是②；（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°（2）若△ABC存在”友好“三角形，且A=70°，则另外两个角的度数分别为65°，45°．【解答】解：（1）①若存在友好三角形，则，显然不成立，故①不存在友好三角形．②若存在友好三角形，则，∴a1：b1：c1=sinA1：sinA2：sinA3=：2：2．∴a1+b1=＞2，③若存在友好三角形，则，∴a1：b1：c1=sinA1：sinA2：sinA3=：：2．∴a1+b1=2（﹣）＜2．与三角形两根之和大于第三边矛盾．故③不存在友好三角形．综上，存在友好三角形的是②．（2）C=180°﹣70°﹣B=110°﹣B．∴，即，∴，∵，∴sinA1=sin20°，sinB1=sin（90°﹣B），sinC1=sin（B﹣20°），∴A1=20°或160°，B1=90°﹣B，或B1=90°+B，C1=B﹣20°或200°﹣B．∵A1+B1+C1=180°，∴20°+90°﹣B+200°﹣B=180°，或20°+90°+B+B﹣20°=180°，解得B=65°，或者B=45°．∴C=45°，或C=65°．故答案为65°，45°．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）等差数列{a n}的首项a1=1，其前n项和为S n，且a3+a5=a4+7．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求满足不等式S n＜3a n﹣2的n的值．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d．…．（1分）因为a3+a5=a4+7，所以2a1+6d=a1+3d+7．…．（3分）因为a1=1，所以3d=6，即d=2，…．（5分）所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．…．（7分）（Ⅱ）因为a1=1，a n=2n﹣1，所以，…．（9分）所以n2＜3（2n﹣1）﹣2，所以n2﹣6n+5＜0，…．（11分）解得1＜n＜5，所以n的值为2，3，4．…．（13分）16．（13分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值与最小值的和．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1=sin2x+cos2x…．（4分）=…．（6分）所以函数f（x）的最小正周期．…．（8分）（Ⅱ）因为，所以，所以，…．（9分）根据函数f（x）=sinx的性质，当时，函数f（x）取得最小值，…．（10分）当时，函数f（x）取得最大值．…．（11分）因为，所以函数f（x）在区间上的最大值与最小值的和为0．…．（13分）17．（13分）为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度t满足：27℃≤t ≤30℃）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验．现有关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：℃）的记录如下：（Ⅰ）根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期．（Ⅱ）设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高温度的方差和最低温度的方差分别为D1，D2，估计D1，D2的大小？（直接写出结论即可）．（Ⅲ）从10月份31天中随机选择连续三天，求所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率．【解答】解：（Ⅰ）研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度t满足：27℃≤t≤30℃）的生长状况，由关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：℃）的记录，得到农学家观察试验的起始日期为7日或8日．…．（3分）（少写一个扣1分）（Ⅱ）最高温度的方差大，即D1＞D2．…．（6分）（Ⅲ）设“连续三天平均最高温度值都在[27，30]之间”为事件A，…．（7分）则基本事件空间可以设为Ω={（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…，（29，20，31）}，共计29个基本事件…．（9分）由图表可以看出，事件A中包含10个基本事件，…．（11分）所以，…．（13分）所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率为．18．（14分）如图，四边形ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD∥BE，AD=PD=2BE=2，∠DAB=60°，点F为PA的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PAD；（Ⅲ）求三棱锥P﹣ADE的体积．【解答】解：（Ⅰ）取AD中点G，连接FG，BG，∵点F为PA的中点，∴FG∥PD且．∵BE∥PD，且，∴BE∥FG，BE=FG，∴四边形BGFE为平行四边形．∴EF∥BG，又∵EF⊄平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．（Ⅱ）连接BD．∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形．∵G为AD中点，∴BG⊥AD，∵PD⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴PD⊥BG，又∵PD∩AD=D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴BG⊥平面PAD．∵四边形BGFE为平行四边形，∴EF∥BG，∴EF⊥平面PAD，又∵EF⊂平面PAE，∴平面PAE⊥平面PAD．（Ⅲ）∵△ABD为等边三角形，AD=2，∴BG=．∵．，∴V=V棱锥E﹣ADP=S△PAD•EF=．棱锥P﹣ADE19．（13分）已知函数．（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k有解，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．…．（1分）．…．（3分）当k=1时，，令f'（x）=0，得x=1，…．（4分）所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：…．（6分）所以f（x）在x=1处取得极小值f（1）=1，无极大值．…．（7分）f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．…．（8分）（Ⅱ）因为关于x的方程f（x）=k有解，令g（x）=f（x）﹣k，则问题等价于函数g（x）存在零点，…．（9分）所以．…．（10分）令g'（x）=0，得．当k＜0时，g'（x）＜0对（0，+∞）成立，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，而g（1）=1﹣k＞0，，所以函数g（x）存在零点．…．（11分）当k＞0时，g'（x），g（x）随x的变化情况如下表：所以为函数g（x）的最小值，当时，即0＜k＜1时，函数g（x）没有零点，当时，即k≥1时，注意到，所以函数g（x）存在零点．综上，当k＜0或k≥1时，关于x的方程f（x）=k有解．…．（13分）法二：因为关于x的方程f（x）=k有解，所以问题等价于方程1+kx（lnx﹣1）=0有解，…．（9分）令g（x）=kx（lnx﹣1）+1，所以g'（x）=klnx，…．（10分）令g'（x）=0，得x=1当k＜0时，g'（x），g（x）随x的变化情况如下表：所以函数g（x）在x=1处取得最大值，而g（1）=k（﹣1）+1＞0.，所以函数g（x）存在零点．…．（11分）当k＞0时，g'（x），g（x）随x的变化情况如下表：所以函数g（x）在x=1处取得最小值，而g（1）=k（﹣1）+1=1﹣k．当g（1）=k（﹣1）+1=1﹣k＞0时，即0＜k＜1时，函数g（x）不存在零点．当g（1）=k（﹣1）+1=1﹣k≤0，即k≥1时，g（e）=ke（lne﹣1）+1=1＞0所以函数g（x）存在零点．…．（13分）综上，当k＜0或k≥1时，关于x的方程f（x）=k有解．法三：因为关于x的方程f（x）=k有解，所以问题等价于方程有解，…．（9分）设函数g（x）=x（1﹣lnx），所以g'（x）=﹣lnx．…．（10分）令g'（x）=0，得x=1，g'（x），g（x）随x的变化情况如下表：所以函数g（x）在x=1处取得最大值，而g（1）=1，…．（11分）又当x＞1时，1﹣lnx＜0，所以x（1﹣lnx）＜1﹣lnx，所以函数g（x）的值域为（﹣∞，1]，…．（12分）所以当时，关于x的方程f（x）=k有解，所以k∈（﹣∞，0）∪[1，+∞）．…．（13分）20．（14分）如图，椭圆的离心率为，其左顶点A在圆O：x2+y2=16上．（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）直线AP与椭圆W的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q．（i）当时，求直线AP的斜率；（ii）是否存在直线AP，使得？若存在，求出直线AP的斜率；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆W的左顶点A在圆O：x2+y2=16上，∴a=4．又离心率为，∴，则，∴b2=a2﹣c2=4，∴W的方程为；（Ⅱ）法一：（i）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），显然直线AP存在斜率，设直线AP的方程为y=k（x+4），与椭圆方程联立得，化简得到（1+4k2）x2+32k2x+64k2﹣16=0，∵﹣4为上面方程的一个根，∴，则．由，代入得到，解得k=±1，∴直线AP的斜率为1，﹣1；（ii）∵圆心到直线AP的距离为，∴．∵，代入得到．显然，∴不存在直线AP，使得．法二：（i）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），显然直线AP存在斜率且不为0，设直线AP的方程为x=my﹣4，与椭圆方程联立得，化简得到（m2+4）y2﹣8my=0，显然﹣4上面方程的一个根，∴另一个根，即，由，代入得到，解得m=±1．∴直线AP的斜率为1，﹣1；（ii）∵圆心到直线AP的距离为，∴．∵，代入得到．若，则m=0，与直线AP存在斜率矛盾，∴不存在直线AP，使得．。
北京市海淀区2016-2017学年高二上学期期末考试数学文试卷Word版含答案
海淀区高二年级第一学期期末练习数 学 （文科） 2017.1学校 班级 姓名 成绩 本试卷共100分.考试时间90分钟.一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线0=-y x 的斜率是（ ）A ． 1 B. 1- C.4π D. 43π 2.圆()1122=+-y x 的圆心和半径分别为（ ）A ．1),1,0( B. 1),1,0( - C. 1),0,1( - D. ()1,0,1 3.若两条直线02=-y x 与012=--y ax 互相垂直，则实数a 的值为（ ） A ．4- B. 1- C.1 D. 44.双曲线1922=-y x 的渐近线方程为（ ） A ．x y 3±= B. x y 31±= C. x y 3±= D. x y 33±= 5.已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下面四种说法中，正确的是（ ）A ．//αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．//m l m n n l ⊥⎫⇒⎬⊥⎭C ．////m l l m ββ⎫⇒⎬⊥⎭D ．//m n m n γγ⎫⇒⊥⎬⊥⎭6.一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（ ）A. 53B.103C. 203D. 2537.“直线l 的方程为(2),y k x =-”是“直线l 经过点)0,2(”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件8.椭圆的两个焦点分别为(,0)F 11- 和()F ,210 ，若该椭圆与直线30x y +-=有公共点，则其离心率的最大值为（ ）A.5B.61-C. 12D. 10二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9.抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为______.10. 已知命题p ：∀∈x R ，2210x x -+>，则p ⌝是_________．11.实数x ，y 满足10,1,1x y x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩，若2m x y =-，则m 的最小值为______.12.如图，在棱长均为2的正三棱柱111C B A ABC -中， 点M 是侧棱1AA 的中点，点P 是侧面11B BCC 内的动点， 且//1P A 平面BCM ，则点P 的轨迹的长度为_______；13.将边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得2BD =，则三棱锥D ABC -的顶点D 到底面ABC 的距离为_________.14. 若曲线0),(=y x F 上的两点),(111y x P ，),(222y x P 满足2121y y x x ≥≤且，则称这两点为曲线0),(=y x F 上的一对“双胞点”.下列曲线中:①0)( 1162022>=+xy y x ； ②)0( 1162022>=-xy y x ； ③x y 42=； ④1=+y x . 存在“双胞点”的曲线序号是_____________.A 1B 1C 1ABCMP三．解答题：本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分10分）已知点)0,3(-A ，)0,1(B ，线段AB 是圆M 的直径. （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）过点（0,2）的直线l 与圆M 相交于E D ,两点，且32=DE ，求直线l 的方程.16.（本小题满分12分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，点M 为侧棱PA 的中点. （Ⅰ）求证：PC //平面BDM ； （Ⅱ）若PA PC ⊥，求证：PA ⊥平面BDM .ADPM17.（本小题满分10分）顶点在原点的抛物线C 关于x 轴对称，点)2,1(P 在此抛物线上. （Ⅰ）写出该抛物线C 的方程及其准线方程； （Ⅱ）若直线y x =与抛物线C 交于B A ,两点，求∆ABP 的面积.18.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点)1,0(D ，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过1(0,)3M -的直线l 交椭圆C 于B A ,两点，判断点D 与以AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.海淀区高二年级第一学期期末练习参考答案 2017.1数 学 ( 文科 )阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分. 一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1.A2.D3.B4.B5.D6.B7.C8.A 二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.9. 2 10. 1x ∃>，2210x x -+≤ 11. 3-14. ①③④ 三、解答题: 本大题共4小题，共44分.15. 解：（Ⅰ）已知点)0,3(-A ，)0,1(B ，线段AB 是圆M 的直径， 则圆心M的坐标为()0,1-.--------------------------2分 又因为2=AM ，--------------------------3分 所以圆M的方程为22(1)4x y ++=.-------------------------4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆M 的圆心(1,0)M -，半径为2.O设N 为DE 中点，则MN l ⊥，1||||2DN EN ==⋅= -------------------------5分则||1MN ==.--------------------------6分当l 的斜率不存在时，l 的方程为0x =，此时||1MN =，符合题意； -------------------------7分当l 的斜率存在时，设l 的方程为2y kx =+，由题意得1=--------------------------8分解得34k =，--------------------------9分故直线l 的方程为324y x =+，即3480x y -+=. --------------------------10分综上，直线l 的方程为0x =或3480x y -+=. 16.解: 证明：（Ⅰ）如图,在正四棱锥P ABCD -中, 连接AC ,设O BD AC = ，连接MO . --------------------------1分因为ABCD 为正方形，则O 为AC 中点. 又因为M 为侧棱PA 的中点， 所以MO //PC . --------------------------3分又因为⊄PC 面BDM ， ⊂MO 面BDM ，所以PC //平面BDM . --------------------------5分（Ⅱ）连接PO ，在正四棱锥P ABCD -中，⊥PO 平面ABCD ， -----------------------6分 ⊂BD 平面ABCD ，所以BD PO ⊥. ---------------------- 7分 又因为AC BD ⊥， ---------------------- 8分 O PO AC = ，且⊂AC 平面PAC ，⊂PO 平面PAC ，.PAC BD 平面所以⊥ ---------------------- 9分 PAC PA 平面又因为⊂ ，所以PA BD ⊥. ----------------------10分 由（Ⅰ）得MO //PC ，又因为PA PC ⊥，则PA MO ⊥. ------------------11分 又O BD MO = ，且⊂MO 平面BDM ，⊂BD 平面BDM ， 所以PA ⊥平面BDM . ---------------------- 12分 17解：（Ⅰ）因为抛物线的顶点在原点，且关于x 轴对称，可设抛物线方程为22y px =， ----------------------1分 由抛物线经过)2,1(P 可得2p =. ---------------------- 2分 所以抛物线方程为24y x =， ---------------------- 3分 准线方程为1x =-. ---------------------- 4分（Ⅱ）由24y xy x ⎧=⎨=⎩ ---------------------- 5分得00x y =⎧⎨=⎩或44x y =⎧⎨=⎩---------------------- 7分O可得(0,0)A ，(4,4)B .（或：AB =） --------------------8分 所以12(24)(41)442222ABP S ∆⨯+-⨯=+-=. ---------------- 10分 ( 或：点P 到直线y x =的距离2d ==---------------- 9分1222ABP S ∆=⨯=. ---------------- 10分 ) 18．解：（Ⅰ）由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过)1,0(D可得1=b .---------------------- 1分因为一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，所以a =分所以椭圆C的方程为2212x y +=.---------------------- 4分（Ⅱ）以AB 为直径的圆经过点D ，理由如下： ----------------------5分当直线AB 与x 轴垂直时，显然D 在圆上； ----------------------6分当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为13y kx =-. ----------------------7分设1122(,),(,)A x y B x y ，由221,312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得229(21)12160k x kx +--=，显然>∆.---------------------- 8分121222416,3(21)9(21)kx x x x k k +==-++---------------------- 9分 )1,(11-=y x ,)1,(22-=y x .所以)1)(1(2121--+=⋅y y x x ---------------------- 10分 )34)(34(2121--+=kx kx x x916)(34)1(21212++-+=x x k x x k 916)12(3434)12(916)1(222++⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=k k k k k0= ---------------------- 11分所以DA DB ⊥，所以点D 在圆上. ---------------------- 12分 综上所述，点D 一定在以AB 为直径的圆上.。
2015海淀区高二(上)期末数学(文科)
2015海淀区高二（上）期末数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是（）A．4 B．C．1 D．3．（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．8 B．C．D．64．（4分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y﹣3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（）A．B．1 C．D．25．（4分）命题“∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限”的否定是（）A．∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限B．∃k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限C．∀k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限D．∀k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限6．（4分）已知等差数列{a n}，则“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥AC C．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC 8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的最小值是（）A．B． C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．11．（4分）已知椭圆+=1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．13．（4分）已知平面α⊥β，且α∩β=l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，AC⊥l，BD ⊥l，AB=4，AC=3，BD=12，则线段CD的长为．14．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值范围．16．（12分）已知直线l：y=x+t与椭圆C：x2+2y2=2交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的长轴长和焦点坐标；（Ⅱ）若|AB|=，求t的值．17．（12分）如图所示的几何体中，直线AF⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，ADEF为梯形，DE∥AF，又AB=1，AF=2DE=2a．（Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）求证：直线BD⊥平面ACF；（Ⅲ）若直线AE⊥CF，求a的值．18．（10分）已知椭圆，经过点A（0，3）的直线与椭圆交于P，Q两点．（Ⅰ）若|PO|=|PA|，求点P的坐标；（Ⅱ）若S△OAP =S△OPQ，求直线PQ的方程．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】设倾斜角为θ，θ∈[0，π）．∵直线x+y﹣2=0，∴k=﹣1=tanθ，∴．故选：D．2．【解答】焦点在x轴上的椭圆，可知a2=m，b2=3，c2=m﹣3，椭圆的离心率是，可得，解得m=4．故选：A．3．【解答】由已知中的三视图可得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面面积S=2×2=4，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==，故选：B4．【解答】圆心到直线的距离d=，则直线l被圆O所截的弦长为==，故选：C5．【解答】命题为特称命题，则根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定是∀k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限，故选：C6．【解答】在等差数列{a n}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{a n}为单调递增数列，若数列{a n}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”充分必要条件，故选：C．7．【解答】如图，∵四面体A﹣BCD为正四面体，且E为AD的中点，∴BE⊥AD，CE⊥AD，又BE∩CE=E，∴AD⊥面BCE，则∀F∈BC，EF⊥AD，选项A正确；由AE⊥面BCE，∴AE⊥EF，若AC⊥EF，则CE⊥EF，∵∠BEC为锐角三角形，∴不存在F∈BC，使EF⊥AC，选项B错误；取BC中点F，可求得DF=，又DE=1，得EF=，选项C错误；AC是平面BCE的一条斜线，∴AC与平面BCE内直线的位置关系是相交或异面，选项D错误．故选：A．8．【解答】+|y|=1即为=1﹣|y|，两边平方，可得x2+y2=1+y2﹣2|y|，即有x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，如右：则由图象可得，O与点（0，）或（0，﹣）的距离最小，且为．故选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 9．【解答】当a=0时，第二个方程无意义，故a≠0，故直线x﹣ay﹣1=0可化为x﹣，由直线平行可得a=，解得a=±1故答案为：1或﹣110．【解答】∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：11．【解答】椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3∴P到另一个焦点的距离为10﹣3=7故答案为：712．【解答】因为等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，如图：所以由椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，因为△F1F2P是等边三角形，所以a=2c，则=，即e=，故答案为：．13．【解答】如图，由于此题的二面角是直角，且线段AC，BD分别在α，β内垂直于棱l，AB=4，AC=3，BD=12，作出以线段AB，BD，AC为棱的长方体，CD即为长方体的对角线，由长方体的性质知，CD==13．故答案为：13．14．【解答】抛物线y2=2x的焦点为F（，0），设P（m2，m），由|AP|=|PF|，可得|AP|2=2|PF|2，即有（m2+）2+m2=2[（m2﹣）2+m2]，化简得m4﹣2m2+1=0，解得m2=1，即有|OP|===．故答案为：．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．【解答】（本小题满分10分）（I）由题意，所求直线的斜率存在．设切线方程为y=kx+2，即kx﹣y+2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）所以圆心O到直线的距离为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以，解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所求直线方程为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）设点P（x，y），所以，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为点P在圆上，所以x2+y2=1，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又因为x2+y2=1，所以﹣1≤y≤1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）16．【解答】（I）因为x2+2y2=2，所以，所以，所以c=1，所以长轴为，焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．（II）设点A（x1，y1），B（x2，y2）．因为，消元化简得3x2+4tx+2t2﹣2=0，所以，所以，又因为，所以，解得t=±1．17．【解答】（本小题满分12分）（I）因为ABCD为正方形，所以AB∥CD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又DE∥AF，且AB∩AF=A，CD∩DE=D．所以平面ABF∥平面DCE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）而CE⊂平面EDC，所以CE∥平面ABF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）因为直线AF⊥平面ABCD，所以AF⊥BD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）因为AF∩AC=A，所以直线BD⊥平面ACF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）连接FD．因为直线AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CD，又CD⊥AD，AD∩AF=A所以CD⊥平面ADEF，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以CD⊥AE．又AE⊥CF，FC∩CD=C，所以AE⊥平面FCD，所以AE⊥FD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）所以，所以==解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）．18．【解答】（I）设点P（x1，y1），由题意|PO|=|PA|，所以点P在OA的中垂线上，而OA的中垂线为，所以有．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）把其代入椭圆方程，求得x1=±1．所以或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）设Q（x2，y2）．根据题意，直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+3，所以．消元得到（3+4k2）x2+24kx+24=0，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）=S△OPQ，因为S△OAP=2S△OPQ，所以S△OAQ即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）所以有|x1|=2|x2|，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）因为，所以x1，x2同号，所以x1=2x2．所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）解方程组得到，经检验，此时△＞0，所以直线PQ的方程为，或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）法二：设Q（x2，y2），=S△OPQ，所以|AP|=|PQ|．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）因为S△OAP即点P为线段OQ的中点，所以x2=2x1，y2=2y1﹣3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）把点P，Q的坐标代入椭圆方程得到﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解方程组得到或者，即，或者．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以直线PQ的斜率为或者，所以直线PQ的方程为，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）第11页共11 页。
2015高二海淀区第一学期期末数学文科试题及详细答案
海淀区高二年级第一学期期末练习数 学（文科）2015.1本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 直线2y x =+的倾斜角是（ ）A.π6 B.π4 C. 2π3 D.3π42. 焦点在x 轴上的椭圆2213x y m +=的离心率是12，则实数m 的值是（ ）A.4B.94C. 1D.343. 一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（ ） A. 8 B.83 C. 163D. 6 4. 已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=，则直线l 被圆O 所截的弦长为（ ）A.65 B. 1 C.85D.2 5. 命题 “0k ∃>，使得直线2y kx =-的图象经过第一象限”的否定是（ ）A. 0k ∃>，使得直线2y kx =-的图象不经过第一象限B. 0k ∃≤，使得直线2y kx =-的图象经过第一象限C. 0k ∀>，使得直线2y kx =-的图象不经过第一象限D. 0k ∀≤，使得直线2y kx =-的图象不经过第一象限6. 已知等差数列{}n a ，则“21a a >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 已知正四面体A BCD -的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是 （ ） A. F BC ∀∈，EF AD ⊥ B. F BC ∃∈，EF AC ⊥ C. F BC ∀∈，EF ≥ D. F BC ∃∈，EF AC ∥8. 已知曲线||1W y =, 则曲线W 上的点到原点距离的最小值是（ ） A.12C.21二、填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上. 9. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =10. 双曲线221169x y -=的渐近线方程为________________.11. 椭圆2212516x y +=上一点P 到一个焦点的距离为4，则P 到另一个焦点的距离是_______.12. 已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，若等边12P F F △的一个顶点P 在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率为______. 13. 已知平面αβ⊥，且l αβ=，在l 上有两点,,A B 线段AC α⊂，线段BD β⊂，, AC l ⊥, BD l ⊥ 4, 3, 12, AB AC BD === 则线段CD 的长为_____.14. 已知点(1,0)A -, 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y在抛物线上，且|||AP PF ， 则||___.OP =三、解答题:本大题共4小题,共44分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. （本小题共10分）已知点(0,2)A , 圆22:1O x y +=. ( I ) 求经过点A 且与圆O 相切的直线方程；( II ) 若点P 是圆O 上的动点，求OA AP ⋅的取值范围.16. （本小题共12分）已知直线:l y x t =+与椭圆22:22C x y +=交于,A B 两点.( I ) 求椭圆C 的长轴长和焦点坐标； ( II )若||3AB =，求t 的值.17.（本小题共12分）如图所示的几何体中，直线AF ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，ADEF 为梯形，DE AF ∥，又1AB =，2=2AF D E a =.( I ) 求证：直线C E ∥平面ABF ； ( II ) 求证：直线BD ⊥平面AC F (Ⅲ) 若直线AE CF ⊥，求a 的值.18.（本小题共10分）已知椭圆22143x y +=，经过点(0,3)A 的直线与椭圆交于,P Q 两点. ( I ) 若||||PO PA =，求点P 的坐标； ( II ) 若=OAP OPQ S S △△，求直线PQ 的方程.B海淀区高二年级第一学期期末练习数 学（文科）参考答案及评分标准2015.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.9. 1或1- 10. 34y x =或 34y x =- 11. 6 12. 1213. 13 14.说明：9，10题每个答案两分，丢掉一个减两分 三.解答题:本大题共4小题,共44分. 15. （本小题满分10分）解: （I ）由题意知道，所求直线的斜率存在，设切线方程为2y kx =+,即20kx y -+=， -------------1分 所以圆心O 到直线的距离为d =， -------------3分所以1d ==，解得k =, -------------4分所求的直线方程为2y =+或2y =+. -------------5分 （II ）设点(,)P x y ，所以 (0,2)OA =，(,2)AP x y =-， ----------6分 所以 2(2)OA AP y ⋅=-. -------------7分 又因为22=1x y +，所以11y -≤≤, -------------9分 所以[6,2]OA AP ⋅∈--. -------------10分 16．（本小题满分12分）解: （I ）因为2222x y +=,所以2212x y +=，---1分所以1a b ==，所以1c =, --------3分所以长轴为2a =焦点坐标分别为12(1,0),(1,0)F F -. -------------4分（II ）设点1122(,),(,)A x y B x y .因为22220x y y x t ⎧+-=⎨=+⎩, 消元化简得2234+220x tx t +-=, ---6分所以222122121612(22)=24804+3223t t t t x x t x x ⎧⎪∆=--->⎪-⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩-------------8分所以12||AB x x -=-------------10分又因为|AB 所以， 解得1t =±. ---------12分17.（本小题满分12分）解: （I ）因为ABCD 为正方形，所以AB CD . -------------1分又DE AF ∥，且,ABAF A CDDE D ==. 所以平面ABF ∥平面DCE . ------3分而CE ⊂平面EDC , 所以CE ∥平面ABF . ------------4分 (II) 因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥ -------------5分 因为直线AF ⊥平面ABCD ， 所以AF BD ⊥， ----6分 因为AFAC A =,所以直线BD ⊥平面ACF . -------------8分(Ⅲ) 连接 FD .因为直线AF ⊥平面ABCD ，所以AF CD ⊥，又CD AD ⊥, ADAF A =所以CD ⊥平面ADEF ， -------------9分 所以CD AE ⊥.又AE CF ⊥, FC CD C =,所以AE ⊥平面FCD ， 所以AE FD ⊥. ----11分所以π2EAD FDA ∠+∠=,所以11tan 1tan 2a EAD EAD a∠===∠解得a = -------12分 18．（本小题满分10分）解: （I ） 设点11(,)P x y , 由题意||||PO PA =,所以点P 在OA 的中垂线上，而OA 的中垂线为32y =, 所以有132y =.-------------2分 把其代入椭圆方程，求得11x =±. 所以 3(1,)2P 或3(1,)2P -. ------4分(II) 设22(,)Q x y .根据题意，直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为3y kx =+,所以22341203x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩.消元得到 22(34)24240k x kx +++=, 所以22122122(24)96(34)024+342434k k k x x k x x k ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩-----6分 因为=OAP OPQ S S △△，所以=2OAQ OPQ S S △△, 即1211||||=2||||22OA x OA x ⋅ ------7分 所以有12||=2||x x ， -------------8分因为12224034x x k =>+, 所以12x x ，同号， 所以122x x =.所以12122122224342434x x k x x k x x k ⎧⎪=⎪-⎪+=⎨+⎪⎪=⎪+⎩， -----9分 解方程组得到32k =±, 经检验，此时0∆>, 所以直线PQ 的方程为332y x =+，或332y x =-+. -------------10分法二：设22(,)Q x y ，因为=OAP OPQ S S △△，所以||||AP PQ =. ------------6分 即点P 为线段OQ 的中点， 所以2121=2, 23x x y y =-. -----7分把点,P Q 的坐标代入椭圆方程得到22112211143(2)(23)143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩ ------8分 解方程组得到11132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或者11132x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩,即3(1,)2P , 或者3(1,)2P -. -------------9分所以直线PQ 的斜率为32k =或者32k =-, 所以直线PQ 的方程为332y x =+，332y x =-+. -------------10分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。
2016.1高二文科答案
北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高二数学（文科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.B2. D3.C4. A5.C6.C7. B8. B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 2,10x x ∃∈-≤R 10. 1:4 11. 12i -+12.y = 13. 14. ①③注：12题第一空2分，第二空3分；14题多选、少选、错选均不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解： 连结BD .因为 PD ⊥底面ABCD ，所以 PD BD ⊥. 【 2分】 因为 底面ABCD 是正方形，2AB =，所以 BD =【 3分】 在直角三角形PDB 中，PB ==.【 5分】 （Ⅱ）解：因为 PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，从而△PDA ，△PDC 为全等的直角三角形， 【 7分】所以 PA PC ==【 8分】由（Ⅰ）知 PB = 所以 22222AB PA PB BC PC +==+，从而 △PAB ，△PCB 为全等的直角三角形. 【10分】 所以，四棱锥P ABCD -的表面积22PDA PAB ABCD S S S S ∆∆=++正方形 【11分】 2112222AD PD AB PA AB =⨯⋅+⨯⋅+8=+【13分】 16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：圆C 的半径 ||5OC ==， 【 3分】 从而圆C 的方程为22(4)(3)25x y -+-=． 【 5分】 （Ⅱ）解：作CD AB ⊥于D ，则CD 平分线段AB ，所以 1||||42AD AB ==． 【 7分】在直角三角形ADC 中，||3CD ==． 【 9分】 由点到直线的距离公式，得||||5m CD ==， 【11分】 所以||35m =，【12分】 解得 15m =±． 【13分】17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 交AC 于O ，连接EO ．因为 ,E O 分别为QD 和BD 的中点，则EO ∥QB ．【 2分】又 EO ⊂平面AEC ，QB ⊄平面AEC ， 【 3分】所以 QB ∥平面AEC ． 【 4分】（Ⅱ）证明： 因为矩形ABCD 所在的平面与正方形ADPQ 所在的平面相互垂直，CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥，所以CD ⊥平面ADPQ ．【 6分】 又AE ⊂平面ADPQ ， 所以CD AE ⊥． 【 7分】 因为AD AQ =，E 是QD 的中点， 所以AE QD ⊥． 【 8分】 所以AE ⊥平面QDC ． 【 9分】 所以平面QDC ⊥平面AEC ．【10分】 （Ⅲ）解：多面体ABCEQ 为四棱锥Q ABCD -截去三棱锥E ACD -所得， 【12分】所以3311221443ABCEQ Q ABCD E ACD Q ABCD V V V V ---=-==⨯⨯⨯⨯=． 【14分】 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为抛物线22(0)y px p =>的准线方程为2px =-， 【 2分】 所以 122p -=-， 解得1p =， 【 4分】所以 抛物线的方程为22y x =. 【 5分】 （Ⅱ）证明：设11(,)M x y ，22(,)N x y .将(2)y k x =-代入22y x =，消去y 整理得 22222(21)40k x k x k -++=. 【 7分】 所以 124x x =. 【 8分】由2112y x =，2222y x =，两式相乘，得 2212124y y x x =， 【 9分】注意到1y ，2y 异号，所以 124y y =-. 【10分】 所以直线OM 与直线ON 的斜率之积为12121y y x x ⋅=-， 【12分】 即 OM ON ⊥. 【13分】19.（本小题满分13分） （Ⅰ）证明：取FC 中点N .在图1中，由D ，N 分别为AC ，FC 中点，所以 DN ∥EF . 【 2分】 在图2中，由M ，N 分别为1A C ，FC 中点， 所以 MN ∥1A F ， 【 4分】 所以 平面DMN ∥平面1A EF ， 【 5分】所以 DM ∥平面1A EF . 【 6分】 （Ⅱ）解：直线1A B 与直线CD 不可能垂直. 【 7分】因为平面1A BD ⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，EF BD ⊥，所以 EF ⊥平面1A BD ， 【 8分】 所以1A B EF ⊥. 【 9分】 假设有1A B CD ⊥，注意到CD 与EF 是平面BCD 内的两条相交直线，则有1A B ⊥平面BCD . （1） 【10分】 又因为平面1A BD ⊥平面BCD ，1A E ⊂平面1A BD ，1A E BD ⊥，所以 1A E ⊥平面BCD .（2） 【11分】 而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾！ 所以直线1A B 与直线CD 不可能垂直. 【13分】20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得1b =， 【 1分】且 22222134c a e a a -===， 【 3分】解得 24a =． 【 4分】所以，椭圆C 的方程是2214x y +=． 【 5分】 （Ⅱ）证法一：易知，直线PQ 的斜率存在，设其方程为y kx m =+． 【 6分】将直线PQ 的方程代入2244x y +=，消去y ，整理得 222(14)8440k x kmx m +++-=． 【 8分】 设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则 122814kmx x k+=-+，21224414m x x k -⋅=+．（1） 【 9分】 因为 BP BQ ⊥，且直线,BP BQ 的斜率均存在，所以1212111y y x x --⋅=-， 整理得 121212()10x x y y y y +-++=．（2） 【10分】因为 11y kx m =+，22y kx m =+，所以 1212()2y y k x x m +=++，22121212()y y k x x mk x x m =+++．（3）将（3）代入（2），整理得221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m ++-++-=．（4） 【11分】将（1）代入（4），整理得 25230m m --=． 【13分】解得 35m =-，或1m =（舍去）． 所以，直线PQ 恒过定点3(0,)5-． 【14分】证法二：直线,BP BQ 的斜率均存在，设直线BP 的方程为1y kx =+． 【 6分】 将直线BP 的方程代入2244x y +=，消去y ，得 22(14)80k x kx ++=． 【 8分】 解得 0x =，或2814kx k -=+． 【 9分】设 11(,)P x y ，所以12814kx k -=+，211214114k y kx k -=+=+，所以 222814(,)1414k k P k k--++． 【10分】 以1k-替换点P 坐标中的k ，可得 22284(,)44k k Q k k -++． 【11分】 从而，直线PQ 的方程是 222222222148141488144144144k ky x k k k k k k kk k k --+++=-----++++．依题意，若直线PQ 过定点，则定点必定在y 轴上． 【13分】 在上述方程中，令0x =，解得35y =-．所以，直线PQ 恒过定点3(0,)5-． 【14分】。
北京市海淀区2015--2016学年度高三年级第二次模拟数学(文科)试卷及答案
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数学（文科）2016.5 阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.解：(Ⅰ) 设数列{}n b 的公比为q ，因为112b a ==，所以223322212b b q q a +=+=+=. ……………………….2分 解得2q =或3q =-（舍）. ……………………….4分所以112n n n b b q -==. ……………………….7分 (Ⅱ)记{}n a 的前n 项和为,n T {}n b 的前n 项和为,n H所以21242222n n a a n T n n n ++-===. ……………………….9分 11(1)2(12)2211n n n n b q H q +--===---. ……………………….12分 所以21222n n n n S T H n +=+=+- .……………………….13分16.解：（Ⅰ） 因为()2sin cos2f x x x =--所以 πππ()2sin cos2444f =--⋅=…………………2分 πππ3()2sin cos26662f =--⋅=-…………………4分因为 32>-, 所以 ππ()()46f f >…………………6分（Ⅱ）因为 2()2sin (12sin )f x x x =---…………………9分 22sin 2sin 1x x =--2132(sin )22x =-- 令 sin ,[1,1]t x t =∈-， 所以2132()22y t =--, …………………11分 因为对称轴12t =, 根据二次函数性质知，当 1t =-时，函数取得最大值3 …………………13分17解：（Ⅰ）取DP 中点F ，连接,EF FM因为在PDC ∆中，点,F M 分别是所在边的中点，所以12FMDC . …………………1分 又12EB DC ，所以FM EB ，…………………2分 所以FEBM 是平行四边形，所以BMEF ，…………………3分 又EF ⊂平面PDE ，BM ⊄平面PDE ，…………………4分所以BM平面PDE . …………………5分方法二: 取DC 中点N ，连接MN BN ，在PDC ∆中，点,N M 分别是所在边的中点，所以MNPD . …………………1分 又DNBE ，所以DEBN 是平行四边形，…………………2分 所以DEBN …………………3分 因为,,NM NB N DP DE D ==所以平面BMN 平面EDP …………………4分 因为 BM ⊂平面BMN ,所以BM平面PDE . …………………5分（Ⅱ）因为平面PDE ⊥平面EBCD ，在PDE ∆中，作PO ⊥DE 于O ，因为平面PDE 平面EBCD DE =， 所以PO ⊥平面EBCD . …………………7分在PDE ∆中，计算可得PO =…………………8分所以111(12)332P BCDE V Sh -==⋅+=. …………………10分（Ⅲ）在矩形ABCD 中，连接AC 交DE 于I ，因为tan 2DEA CAB ∠=∠=，所以π2DEA CAB ∠+∠=， 所以DE AC ⊥，…………………11分所以在四棱锥P EBCD -中，,,PI DE CI DE ⊥⊥…………………12分又PI CI I =，所以DE ⊥平面POC . …………………13分 因为PC ⊂平面POC ，所以DE ⊥PC . …………………14分方法二：由 （Ⅱ）, 连接OC .在DOC ∆中，cos ODC ∠=2DO DC ==，2222cos OC DC DO DC DO CDO =+-⋅∠，得到OC =所以222DC DO OC =+，所以DO OC ⊥…………………11分又PO OC O =，…………………12分所以DE ⊥平面POC . …………………13分 因为PC ⊂平面POC ，所以DE ⊥PC . …………………14分18解: (I)(I)A 型空调前三周的平均销售量111015125x ++==台…………………2分 （Ⅱ）设抽到的空调不是B 型且不是第一周售出的空调为事件1P …………………4分 所以110158+1233530407P ++==++…………………7分 （Ⅲ）因为C 型空调平均周销售量为10台，所以451051581215c c +=⨯---=…………………9分 又222222451[(1510)(810)(1210)(10)(10)]5s c c =-+-+-+-+- 化简得到22411591[2()]522s c =-+…………………11分 注意到4c ∈N ，所以当47c =或48c =时，2s 取得最小值所以当4578c c =⎧⎨=⎩ 或4587c c =⎧⎨=⎩时，2s 取得最小值…………………13分19.解：（Ⅰ）当2a =时，32()241f x x x x =+--，所以2'()344(32)(2)f x x x x x =+-=-+,…………………2分令'()0,f x =得122,23x x ==-， 则'()f x 及()f x 的情况如下：…………………4分所以函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-，2(,)3+∞,函数()f x 的单调递减区间为2(,2)3-. …………………6分 （Ⅱ）要使()0f x ≤在[1,)+∞上有解，只要()f x 在[1,)+∞上的最小值小于等于0. 因为22'()32(3)()f x x ax a x a x a =+-=-+，令'()0f x =，得到120,03a x x a =>=-<.…………………7分 当13a ≤时，即3a ≤时， ()fx 在区间[1,)+∞上单调递增，(1)f 为[1,)+∞上最小值 所以有(1)0f ≤，即2110a a +--≤，解得1a ≥或0a ≤，所以有13a ≤≤；…………………9分当13a >时，即3a >时，()f x 在区间[1,)3a 上单调递减，在[,)3a +∞上单调递增， 所以()3a f 为[1,)+∞上最小值， 所以有()03a f ≤，即333()1032793a a a a f =+--≤， 解得a ≥3a >. …………………11分 综上，得1a ≥.法二：（Ⅱ）要使()0f x ≤在[1,)+∞上有解，只要()f x 在[1,)+∞上的最小值小于等于0. 因为22(1)11f a a a a =+--=-，所以当20a a -≤，即1a ≥时 满足题意，…………………8分当1a <时，因为22'()32(3)()f x x ax a x a x a =+-=-+，令'()0f x =，得到12,3a x x a ==-， 因为1a <，所以()f x 在区间[1,)+∞上的单调递增，所以()f x 在区间[1,)+∞上的最小值为(1)f ，所以(1)0f ≤，根据上面得到1a ≥，矛盾. …………………11分 综上，1a ≥.（Ⅲ）1a =…………………13分20.解：（Ⅰ）因为(1,0)B -，所以0(1,)A y -，…………………1分 代入221(0)43x y y +=≥，解得032y =，…………………2分 代入直线1y kx =+,得12k =-. …………………3分（Ⅱ）解法一：设点(0,1)E , 1122(,),(,)A x y B x y . 因为221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,所以22(34)880k x kx ++-=,…………………4分所以122122834834k x x k x x k ⎧∆=⎪⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩…………………6分 又因为1121212111||(||||)1||||222S OE x x x x x x =+=⋅⋅-=-,…………………7分而12||x x -=所以1S =,…………………8分13，解得0k =,…………………9分所以23||13AD ==. …………………10分法二：解法一：设点(0,1)E , 1122(,),(,)A x y B x y . 因为22141x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩, 所以22(34)880k x kx ++-=, …………………4分所以122122834834k x x k x x k ⎧∆=⎪⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩…………………6分 点O 到直线AD的距离为d = …………………7分1212||||||AD x x x x =-=-=8分所以121||=2343S AD d k =⋅=+13，解得0k =, …………………9分所以23||13AD ==. …………………10分 （Ⅲ）因为212121()||2S y y x x =+-,…………………11分所以12121212121||121()||2x x S S y y y y x x -==++-,…………………12分 而12121211()2y y kx kx k x x +=+++=++,…………………13分 所以2122134318662234S k k S k k +==≥=-++.…………………14分。
2016-2017年北京市海淀区高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
2016-2017学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x﹣y=0的斜率是（）A．1 B．﹣1 C．D．2．（4分）圆（x﹣1）2+y2=1的圆心和半径分别为（）A．（0，1），1 B．（0，﹣1），1 C．（﹣1，0），1 D．（1，0），13．（4分）若两条直线2x﹣y=0与ax﹣2y﹣1=0互相垂直，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．44．（4分）双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B． C．D．5．（4分）已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（）A．⇒α∥β B．⇒m∥n C．⇒l∥βD．⇒m⊥γ6．（4分）一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．7．（4分）“直线l的方程为y=k（x﹣2）”是“直线l经过点（2，0）”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）椭圆的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），若该椭圆与直线x+y﹣3=0有公共点，则其离心率的最大值为（）A．B．﹣1 C．D．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．（4分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是．10．（4分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0，则￢p是．11．（4分）实数x，y满足，若m=2x﹣y，则m的最小值为．12．（4分）如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，则点P的轨迹的长度为．13．（4分）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=2，则三棱锥D﹣ABC的顶点D到底面ABC的距离为．14．（4分）若曲线F（x，y）=0上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）满足x1≤x2且y1≥y2，则称这两点为曲线F（x，y）=0上的一对“双胞点”．下列曲线中：①；②；③y2=4x；④|x|+|y|=1．存在“双胞点”的曲线序号是．三．解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D，E两点，且，求直线l 的方程．16．（12分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，点M为侧棱PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；（Ⅱ）若PA⊥PC，求证：PA⊥平面BDM．17．（10分）顶点在原点的抛物线C关于x轴对称，点P（1，2）在此抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）若直线y=x与抛物线C交于A，B两点，求△ABP的面积．18．（12分）已知椭圆经过点D（0，1），一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过的直线l交椭圆C于A，B两点，判断点D与以AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．2016-2017学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x﹣y=0的斜率是（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：由x﹣y=0，得y=x，∴直线x﹣y=0的斜率是1．故选：A．2．（4分）圆（x﹣1）2+y2=1的圆心和半径分别为（）A．（0，1），1 B．（0，﹣1），1 C．（﹣1，0），1 D．（1，0），1【解答】解：由圆的标准方程（x﹣1）2+y2=1可以得到该圆的圆心是（1，0），半径是1．故选：D．3．（4分）若两条直线2x﹣y=0与ax﹣2y﹣1=0互相垂直，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【解答】解：∵两条直线2x﹣y=0与ax﹣2y﹣1=0互相垂直，∴2a+2=0，解得a=﹣1．故选：B．4．（4分）双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B． C．D．【解答】解：双曲线中a=3，b=1，焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x，故选：B．5．（4分）已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（）A．⇒α∥β B．⇒m∥n C．⇒l∥βD．⇒m⊥γ【解答】解：三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，知：在A中，⇒α与β相交或平行，故A错误；在B中，⇒m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，⇒l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中，⇒m⊥γ，由线面垂直的判定定理得m⊥γ，故D正确．故选：D．6．（4分）一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，三棱锥P﹣ABC，点P在平面ABC的投影D，则四边形ABCD是矩形．则三棱锥的体积V==．故选：B．7．（4分）“直线l的方程为y=k（x﹣2）”是“直线l经过点（2，0）”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若直线l的方程为y=k（x﹣2），则直线l过（2，0），是充分条件，若直线l经过点（2，0），则直线方程不一定是：y=k（x﹣2），比如直线：x=0，故不是必要条件，故选：A．8．（4分）椭圆的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），若该椭圆与直线x+y﹣3=0有公共点，则其离心率的最大值为（）A．B．﹣1 C．D．【解答】解：∵椭圆的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），∴由题意，c=1，∴=，∴a越小e越大，而椭圆与直线相切时，a最小设椭圆为+=1，把直线x+y﹣3=0代入，化简整理可得（2a2﹣1）x2+6a2x+10a2﹣a4=0由△=0，解得：a2=5，于是a=，e max==．故选：A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．（4分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是2．【解答】解：根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=﹣1，∴焦点到准线的距离是1+1=2故答案为2．10．（4分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0，则￢p是∃x＞1，x2﹣2x+1≤0．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x＞1，x2﹣2x+1≤0，故答案为：∃x＞1，x2﹣2x+1≤011．（4分）实数x，y满足，若m=2x﹣y，则m的最小值为﹣3．【解答】解：满足的可行域如下图所示：当m=2x﹣y过（﹣2，﹣1）点时，m取最小值﹣3，故答案为：﹣312．（4分）如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，则点P的轨迹的长度为2．【解答】解：由题意，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，A1P∥平面BCM，则P的轨迹是平行于BC的一条线段，长度为2．故答案为2．13．（4分）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=2，则三棱锥D﹣ABC的顶点D到底面ABC的距离为．【解答】解：解：取AC的中点O，连结OB，OD，∵AD=CD=2，∠ADC=90°，∴AC=2，OD=AC=，OD⊥AC．同理OB=，∵BD=2，∴OD2+OB2=BD2，∴OB⊥OD，又AC⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，AC∩OB=O，∴OD⊥平面ABC，∴三棱锥D﹣ABC的顶点D到底面ABC的距离为OD=．故答案为：14．（4分）若曲线F（x，y）=0上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）满足x1≤x2且y1≥y2，则称这两点为曲线F（x，y）=0上的一对“双胞点”．下列曲线中：①；②；③y2=4x；④|x|+|y|=1．存在“双胞点”的曲线序号是①③④．【解答】解：由题意①，在第一、三象限，单调递减，满足题意；②，在第一象限，单调递减，第三象限单调递增，不满足题意；③y2=4x，存在“双胞点”比如（1，﹣1），（4，﹣4），满足题意；④|x|+|y|=1，存在“双胞点”比如（0，1），（1，0），满足题意；故答案为①③④．三．解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D，E两点，且，求直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径，则圆心M的坐标为（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又因为|AM|=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以圆M的方程为（x+1）2+y2=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆M的圆心M（﹣1，0），半径为2．设N为DE中点，则MN⊥l，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当l的斜率不存在时，l的方程为x=0，此时|MN|=1，符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+2，由题意得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）故直线l的方程为，即3x﹣4y+8=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）综上，直线l的方程为x=0或3x﹣4y+8=0．16．（12分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，点M为侧棱PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；（Ⅱ）若PA⊥PC，求证：PA⊥平面BDM．【解答】证明：（Ⅰ）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，连接AC，设AC∩BD=O，连接MO．（1分）因为ABCD为正方形，则O为AC中点．又因为M为侧棱PA的中点，所以MO∥PC．（3分）又因为PC⊄面BDM，MO⊂面BDM，所以PC∥平面BDM．（5分）（Ⅱ）连接PO，在正四棱锥P﹣ABCD中，PO⊥平面ABCD，（6分）BD⊂平面ABCD，所以PO⊥BD．（7分）又因为BD⊥AC，（8分）AC∩PO=O，且AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，（9分）又因为PA⊂平面PAC，所以BD⊥PA．（10分）由（Ⅰ）得MO∥PC，又因为PA⊥PC，则MO⊥PA．（11分）又MO∩BD=O，且MO⊂平面BDM，BD⊂平面BDM，所以PA⊥平面BDM．（12分）17．（10分）顶点在原点的抛物线C关于x轴对称，点P（1，2）在此抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）若直线y=x与抛物线C交于A，B两点，求△ABP的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线的顶点在原点，且关于x轴对称，可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）由抛物线经过P（1，2）可得p=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）所以抛物线方程为y2=4x，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）准线方程为x=﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）可得）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）点P到直线y=x的距离﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）18．（12分）已知椭圆经过点D（0，1），一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过的直线l交椭圆C于A，B两点，判断点D与以AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆经过D（0，1），∴b=1．（1分）∵一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，∴a=．（3分）所以椭圆C的方程为=1．（4分）（Ⅱ）以AB为直径的圆经过点D，理由如下：（5分）当直线AB与x轴垂直时，由题意知D在圆上，（6分）当直线AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程为．（7分）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得9（2k2+1）x2﹣12kx﹣16=0，△=144k2+64×9（2k2+1）＞0，（8分），，（9分），．∴（10分）==（1+k2）x1x2﹣（x1+x2）+=（1+k2）[﹣]﹣•+=0，（11分）∴DA⊥DB，∴点D在圆上．综上所述，点D一定在以AB为直径的圆上．（12分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作yxomax ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
海淀区高二数学(文)期末试卷
北京海淀区2015-2016学年度第一学期期末练习高二数 学（文科） 2016．1本试卷共100分．考试时间90分钟．一、选择题：（本大题共10小题, 每小题4分,共40分． 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）．1．已知圆22(1)=2x y ++，则其圆心和半径分别为 ( )A ．（1,0),2B ．（-1,0),2 C ．（ D ．（ 2．抛物线24x y =的焦点到其准线的距离是 （ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 43．双曲线2214x y -=的离心率为 （ ）A ．2B C ． D ． 4．圆x 2＋y 2－2x =0与圆x 2＋y 2＋4y =0的位置关系是 （ ） A ．相离 B ．外切 C ． 相交 D ．内切5．已知直线,m n 和平面α，且n α⊂，则“m n ⊥”是“m α⊥”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件6．已知直线l 的方程为20x my +-=，则直线l ( ) A ．恒过点(2,0)-且不垂直x 轴 B ．恒过点(2,0)-且不垂直y 轴 C ．恒过点(2,0)且不垂直x 轴 D ．恒过点(2,0)且不垂直y 轴7．已知直线10x ay +-=和直线420ax y ++=互相平行，则a 的取值是 （ ） A ．2 B ．2± C ．2- D ．0 8．已知O 为坐标原点，直线2y =与2240x y Dx y ++-=交于两点,M N ，则M O N ∠=（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．909．已知两平面α,β，两直线m ,n ，下列命题中正确的是 ( ) A ．若m α∥，n ⊂α，则m n ∥ B ．若m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，则α∥β C ．若m ⊥α，m n ∥，n ⊂β，则α⊥β D ．若m α∥，α∩β＝n ，则m n ∥ 10． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在正方体表面上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则点1B 和点P 构成的图形是 （ ）ED 1C 1B 1A 1D C AA ．三角形B ． 四边形C ．曲边形D ． 五边形二、填空题：（本大题共6小题, 每小题4分,共24分．把答案填在题中横线上）． 11．已知命题p ：“R x ∀∈，20x ≥”，则p ⌝：___________________________________． 12．已知111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，命题p ：“若12l l ⊥，则121k k =-”的逆否命题是_____________________，原命题p 为____________命题．（填“真”或“假”）13．双曲线2214x y -=的实轴长为__________，渐近线的方程为________________．14．已知12,F F 为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，若3(1,)2P 在椭圆上，且满足12||||4PF PF +=，则椭圆C 的方程为________________．15．已知点(5,0)A ，若抛物线24y x =上的点(,)P m n 到直线1x =-的距离与到点A 的距离相等，则m =_______________．16．已知四棱锥的三视图（如图所示），则该四棱锥的体积为__________________，在该四棱锥的四个侧面中，面积最小的侧面面积是________________．三、解答题:（本大题共3小题,共36分． 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）． 17． （本小题共10分）已知圆M :222()(4)(>0)x a y r r -+-=过点(0,0),(6,0)O A ． （Ⅰ）求,a r 的值；（Ⅱ）若圆M 截直线430x y m ++=所得弦的弦长为6，求m 的值．()主正视图俯视图()侧左视图18．（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，2AC CB ==，且AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，E 为AB 中点．（Ⅰ）求证：BC ⊥1A C ； （Ⅱ）求证：1BC //平面1ACE ； （Ⅲ）若13AA =，BP a =，且AP ⊥1A C ，写出a 的值（不需写过程）．PC 1B 1A 1EAB C19．（本小题共12分）已知直线:l y x n =+与椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-交于两点,B C ． （Ⅰ）若椭圆G 的焦点在y 轴上，求m 的取值范围；（Ⅱ）若(0,1)A 在椭圆上，且以BC 为直径的圆过点A ，求直线l 的方程．。
北京市海淀区2016-2017学年高二上学期期末考试数学文试卷含答案
海淀区高二年级第一学期期末练习数 学 （文科） 2017。
1学校 班级 姓名 成绩 本试卷共100分。
考试时间90分钟.一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线0=-y x 的斜率是（ ）A ． 1B 。
1-C. 4π D.43π2.圆()1122=+-y x 的圆心和半径分别为( ) A ．1),1,0( B 。
1),1,0( - C 。
1),0,1( -D. ()1,0,13.若两条直线02=-y x 与012=--y ax 互相垂直,则实数a 的值为（ ）A ．4- B.1-C 。
1D 。
44.双曲线1922=-y x 的渐近线方程为（）A ．x y 3±=B 。
xy 31±=C 。
x y 3±=D.x y 33±=5.已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下面四种说法中，正确的是（ ） A ．//αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．//m l m n n l ⊥⎫⇒⎬⊥⎭C ．////m l l m ββ⎫⇒⎬⊥⎭D ．//m n m n γγ⎫⇒⊥⎬⊥⎭6.一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为( ）A.53B.103C 。
203D.2537.“直线l 的方程为(2),y k x =-”是“直线l 经过点)0,2(”的（ ） A 。
充分必要条件 B 。
必要不充分条件C 。
充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件8。
椭圆的两个焦点分别为(,0)F 11- 和()F ,210 ，若该椭圆与直线30x y +-=有公共点，则其离心率的最大值为（ ) A.55B.661-C 。
612D 。
510二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
9.抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为______. 10。
已知命题p ：∀∈x R ，2210xx -+>,则p ⌝是_________．11.实数x ,y 满足10,1,1x y x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩，若2m x y =-,则m 的最小值为______.12.如图,在棱长均为2的正三棱柱111C B A ABC -中，点M 是侧棱1AA 的中点，点P 是侧面11B BCC 内的动点， 且//1P A 平面BCM ，则点P 的轨迹的长度为_______；13.将边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得2BD =，则三棱锥D ABC -的顶点D 到底面ABC 的距离为_________.14。
2015-2016年北京市人大附中高二(上)期末数学试卷(文科)及答案
2015-2016学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．（5分）命题“∃x0∈R，≤0”的否定是（）A．∃x0∈R，＞0B．∃x0∉R，≤0C．∀x∈R，2x＞0D．∀x∈R，2x≤02．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（x3）'=x2B．C．（e x）'=xe x﹣1D．（cosx）'=sinx3．（5分）如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，+∞）4．（5分）“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2（，0），则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x6．（5分）如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f′（4）=（）A．B．3C．4D．57．（5分）函数f（x）=2x3﹣3x2+a的极大值为6，那么a的值是（）A．5B．0C．6D．18．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．（5分）若椭圆的中心在坐标原点，焦点为（1，0），且过（2，0）点，则椭圆的标准方程为．10．（5分）已知函数f（x）=sinx，则f′（）=．11．（5分）已知椭圆+=1的焦点F1、F2在x轴上，离心率为，若弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为．12．（5分）函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是．13．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|=．14．（5分）如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y=f（x）的极值点；②1是函数y=f（x）的最小值点；③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增．则正确命题的序号是．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）已知点M（3，﹣6）在以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线C上，直线l：y=2x+1与抛物线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．（1）求抛物线C的方程；（2）求线段AB的长．16．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2，2]上的最值．17．（14分）已知椭圆D：+=1的半焦距c=1，且a=b．（1）求椭圆D的标准方程；（2）过点M（0，m）且斜率为的直线l与椭圆D有两个不同的交点P和Q，若以PQ为直径的圆经过原点O，求实数m的值．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．（10分）已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A 在曲线C上，∠F1AF2的平分线交x轴于点M（I）若点M的坐标为（2，0），则|AF2|=；（II）若|AF1|+|AF2|=24，则△F1AF2的面积为．19．（10分）（I）设函数f（x）=x（x+1）（x+2），则f′（0）=；（II）设函数f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+100），则f′（0）=．（只需列出式子即可）二、解答题（本大题共2小题，满分20分.请把解答过程写在答题纸上.）20．（10分）已知椭圆G：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为（，0）．（1）求G的方程；（2）直线y=kx+1与曲线G交于不同的两点A，B，若在x轴上存在一点M，使得|AM|=|BM|，求点M的横坐标的取值范围．21．（10分）设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．2015-2016学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．（5分）命题“∃x0∈R，≤0”的否定是（）A．∃x0∈R，＞0B．∃x0∉R，≤0C．∀x∈R，2x＞0D．∀x∈R，2x≤0【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x∈R，2x＞0，故选：C．2．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（x3）'=x2B．C．（e x）'=xe x﹣1D．（cosx）'=sinx【解答】解：A．（x3）'=3x2故A错误；B．（lgx）'=故B正确；C．（e x）'=e x故C错误；D．（cosx）'=﹣sinx 故D错误；故选：B．3．（5分）如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：∵x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，把x2+ky2=2转化为椭圆的标准方程，得，∴，解得0＜k＜1．∴实数k的取值范围是（0，1）．故选：A．4．（5分）“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由a＞b，c＞d便得到a+c＞b+d，即a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分条件；而由a+c＞b+d得不到a＞b，c＞d，比如a=b，c＞d，满足a+c＞b+d，但不满足a＞b，即a＞b，c＞d不是a+c＞b+d的充分条件；∴a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分不必要条件．故选：B．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2（，0），则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2（，0），可得a=1，c=，所以b=．双曲线的渐近线方程为：y=．故选：A．6．（5分）如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f′（4）=（）A．B．3C．4D．5【解答】解：由图可知，f（4）=5，又直线过（0，3），（4，5），∴，即f′（4）=．故选：A．7．（5分）函数f（x）=2x3﹣3x2+a的极大值为6，那么a的值是（）A．5B．0C．6D．1【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣3x2+a，导数f′（x）=6x2﹣6x，令f′（x）=0，可得x=0 或x=1，导数在x=0 的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值．f（0）=a=6．导数在x=1 的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值．故选：C．8．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，由于BF⊥x轴，故x B=﹣c，y B =，设P（0，t），∵=2，∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．∴a=2c，∴e==，故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．（5分）若椭圆的中心在坐标原点，焦点为（1，0），且过（2，0）点，则椭圆的标准方程为．【解答】解：由题意知椭圆的焦点在x轴上，∵椭圆经过点（2，0），焦点为（1，0），∴a=2，c=1，可得b=．因此，椭圆的标准方程为．故答案为：．10．（5分）已知函数f（x）=sinx，则f′（）=．【解答】解：f（x）=sinx，则f′（x）=cosx，则f′（）=cos=，故答案为：11．（5分）已知椭圆+=1的焦点F1、F2在x轴上，离心率为，若弦AB 经过焦点F1，则△ABF2的周长为12．【解答】解：∵椭圆的方程为+=1的焦点F1、F2在x轴上，离心率为，∴=∴a=3，又过焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，A，B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2，则△ABF2的周长l=|AB|+|AF2|+|BF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=12．故答案为：1212．（5分）函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（2，+∞）．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′e x+（x﹣3）（e x）′=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解得x＞2．故答案为：（2，+∞）．13．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|=8．【解答】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+2=8故答案为8．14．（5分）如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y=f（x）的极值点；②1是函数y=f（x）的最小值点；③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增．则正确命题的序号是①④．【解答】解：根据导函数图象可知当x∈（﹣∞，﹣2）时，f'（x）＜0，在x∈（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0则函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，故y=f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增正确，即④正确而在x=﹣2处左侧单调递减，右侧单调递增，则﹣2是函数y=f（x）的极小值点，故①正确∵函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增∴当x=﹣2处函数取最小值，1不是函数y=f（x）的最小值点，故②不正确；∵函数y=f（x）在x=0处的导数大于0∴y=f（x）在x=0处切线的斜率大于零，故③不正确故答案为：①④三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）已知点M（3，﹣6）在以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线C上，直线l：y=2x+1与抛物线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．（1）求抛物线C的方程；（2）求线段AB的长．【解答】解：（1）依题意可设：抛物线C的方程为y2=2px（p＞0）由点M（3，﹣6）在抛物线C上可得：（﹣6）2=2p×3=6p，∴p=6．故所求抛物线C的方程为y2=12x；（2）将直线l：y=2x+1与抛物线C的方程y2=12x联立化简整理可得：4x2﹣8x+1=0∴x=1±由弦长公式可得：|AB|=•=．16．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2，2]上的最值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2∴f′（x）=﹣3x2+6x+9．令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，∴函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．（Ⅱ）∵f（﹣2）=8+12﹣18﹣2=0，f（2）=﹣8+12+18﹣2=20，∴f（2）＞f（﹣2）．∵x∈（﹣1，3）时，f′（x）＞0，∴f（x）在[﹣1，2]上单调递增，又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值．于是有f（x）max=20，f（x）min=﹣7．17．（14分）已知椭圆D：+=1的半焦距c=1，且a=b．（1）求椭圆D的标准方程；（2）过点M（0，m）且斜率为的直线l与椭圆D有两个不同的交点P和Q，若以PQ为直径的圆经过原点O，求实数m的值．【解答】解：（1）由题意可知：c=1，且a=b＞0，又a2=b2+c2，联立解得c=1，b=1，a=所求椭圆D的标准方程为：+y2=1．（2）由题意易知：直线l的方程为y=x+m．联立，化简整理可得：5x2+4mx+2（m2﹣1）=0，由△=﹣4×5×2（m2﹣1）=40﹣8m2＞0，可得：＜m＜．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．∴x1+x2=，x1x2=．由以PQ为直径的圆经过原点O可得：OP⊥OQ．从而•=0，∴x1x2+y1y2=0．x2+y1y2=x1x2+=3x1x2+（x1+x2）+m2∴x=3×+m×（﹣）+m2=﹣=0，解得：m=，满足△＞0．故所求实数m的值为．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．（10分）已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A 在曲线C上，∠F1AF2的平分线交x轴于点M（I）若点M的坐标为（2，0），则|AF2|=6；（II）若|AF1|+|AF2|=24，则△F1AF2的面积为54．【解答】解：（I）双曲线C：﹣=1的a=3，b=3，c==6，则F1（﹣6，0），F2（6，0），∠F1AF2的平分线交x轴于点M，可得===，可得A在右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a=6，解得|AF2|=6；（II）由双曲线的对称性，可设A在右支上，可得|AF1|﹣|AF2|=6，且|AF1|+|AF2|=24，解得|AF1|=15，|AF2|=9，又|F1F2|=12，由92+122=152，可得AF2⊥F1F2，则△F1AF2的面积为×9×12=54．故答案为：6，54．19．（10分）（I）设函数f（x）=x（x+1）（x+2），则f′（0）=2；（II）设函数f（x）=x（x+1）（x+2）...（x+100），则f′（0）=1×2×3× (100)（只需列出式子即可）【解答】解：（Ⅰ）设g（x）=（x+1）（x+2），则f（x）=xg（x），则f′（x）=g（x）+xg′（x），∴f′（0）=g（0）+0×g′（0）=（0+1）（0+2）=2，（Ⅱ）g（x）=（x+1）（x+2）…（x+100），则f（x）=xg（x），则f′（x）=g（x）+xg′（x），∴f′（0）=g（0）+0×g′（0）=（0+1）×（0+2）×…×（0+100）=1×2×3×…×100．二、解答题（本大题共2小题，满分20分.请把解答过程写在答题纸上.）20．（10分）已知椭圆G：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为（，0）．（1）求G的方程；（2）直线y=kx+1与曲线G交于不同的两点A，B，若在x轴上存在一点M，使得|AM|=|BM|，求点M的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知：e==，a=，b2=a2+c2，联立解得a=，c=1，b2=2．所求椭圆G的方程为：=1．（2）将直线l的方程y=kx+1与椭圆G的方程联立：，化简整理可得：（3k2+2）x2+6kx﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=，x1•x2=．设线段AB中点N的坐标为（x0，y0）．则x0==，y0=kx0+1=．设x轴上M点坐标为（m，0），使得|AM|=|BM|，依题意可得：AB⊥MN．①当k=0时，直线l平行于x轴，易知：此时M点与坐标原点重合，其坐标为（0，0）；②当k≠0时，有k MN=﹣，∴===﹣，从而m=﹣=﹣，而≥2（k＞0），或≤﹣2（0＞k），故≤m＜0或0＜m≤．综上所述：实数m的取值范围是．即点M的横坐标的横坐标的取值范围是．21．（10分）设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+ax﹣lnx（x＞0），∴，又∵，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅱ）∵又∵f（x）在区间（0，1]上是减函数，∴f′（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，即对任意x∈（0，1]恒成立，∴对任意x∈（0，1]恒成立，令，∴a≤g（x）min，易知g（x）在（0，1]单调递减，∴g（x）min=g（1）=﹣1．∴a≤﹣1．（Ⅲ）设切点为M（t，f（t）），，∴过M点的切线方程为：y﹣f（t）=f′（t）（x﹣t），即又切线过原点，所以，，即t2+lnt﹣1=0，显然t=1是方程t2+lnt﹣1=0的解，设φ（t）=t2+lnt﹣1，则φ′（t）=2t+＞0恒成立，φ（t）在（0，+∞）单调递增，且φ（1）=0，∴方程t2+lnt﹣1=0有唯一解1．∴过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．。
2016-2017学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷(文科)
2016-2017学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x﹣y=0的斜率是（）A．1 B．﹣1 C．D．2．（4分）圆（x﹣1）2+y2=1的圆心和半径分别为（）A．（0，1），1 B．（0，﹣1），1 C．（﹣1，0），1 D．（1，0），13．（4分）若两条直线2x﹣y=0与ax﹣2y﹣1=0互相垂直，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．44．（4分）双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B．C．D．5．（4分）已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（）A．⇒α∥βB．⇒m∥n C．⇒l∥βD．⇒m⊥γ6．（4分）一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．7．（4分）“直线l的方程为y=k（x﹣2）”是“直线l经过点（2，0）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）椭圆的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），若该椭圆与直线x+y﹣3=0有公共点，则其离心率的最大值为（）A．B．﹣1 C．D．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．（4分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是．10．（4分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0，则￢p是．11．（4分）实数x，y满足，若m=2x﹣y，则m的最小值为．12．（4分）如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，则点P的轨迹的长度为．13．（4分）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=2，则三棱锥D﹣ABC的顶点D到底面ABC的距离为．14．（4分）若曲线F（x，y）=0上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）满足x1≤x2且y1≥y2，则称这两点为曲线F（x，y）=0上的一对“双胞点”．下列曲线中：①；②；③y2=4x；④|x|+|y|=1．存在“双胞点”的曲线序号是．三．解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D，E两点，且，求直线l 的方程．16．（12分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，点M为侧棱PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；（Ⅱ）若PA⊥PC，求证：PA⊥平面BDM．17．（10分）顶点在原点的抛物线C关于x轴对称，点P（1，2）在此抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）若直线y=x与抛物线C交于A，B两点，求△ABP的面积．18．（12分）已知椭圆经过点D（0，1），一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过的直线l交椭圆C于A，B两点，判断点D与以AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．2016-2017学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x﹣y=0的斜率是（）A．1 B．﹣1 C．D．【分析】直接化直线方程为斜截式得答案．【解答】解：由x﹣y=0，得y=x，∴直线x﹣y=0的斜率是1．故选：A．【点评】本题考查直线的斜率，考查直线方程的斜截式，是基础的计算题．2．（4分）圆（x﹣1）2+y2=1的圆心和半径分别为（）A．（0，1），1 B．（0，﹣1），1 C．（﹣1，0），1 D．（1，0），1【分析】根据圆的标准方程可以直接得到圆心和半径．【解答】解：由圆的标准方程（x﹣1）2+y2=1可以得到该圆的圆心是（1，0），半径是1．故选：D．【点评】本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题．3．（4分）若两条直线2x﹣y=0与ax﹣2y﹣1=0互相垂直，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【分析】利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：∵两条直线2x﹣y=0与ax﹣2y﹣1=0互相垂直，∴2a+2=0，解得a=﹣1．故选：B．【点评】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（4分）双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B．C．D．【分析】由标准方程，求出a和b的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．【解答】解：双曲线中a=3，b=1，焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x，故选：B．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．5．（4分）已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（）A．⇒α∥βB．⇒m∥n C．⇒l∥βD．⇒m⊥γ【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，m与n相交、平行或异面；在C 中，l与β相交、平行或l⊂β；在D中，由线面垂直的判定定理得m⊥γ．【解答】解：三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，知：在A中，⇒α与β相交或平行，故A错误；在B中，⇒m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，⇒l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中，⇒m⊥γ，由线面垂直的判定定理得m⊥γ，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．6．（4分）一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【分析】如图所示，三棱锥P﹣ABC，点P在平面ABC的投影D，则四边形ABCD 是矩形．【解答】解：如图所示，三棱锥P﹣ABC，点P在平面ABC的投影D，则四边形ABCD是矩形．则三棱锥的体积V==．故选：B．【点评】本题考查了三棱锥的三视图与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（4分）“直线l的方程为y=k（x﹣2）”是“直线l经过点（2，0）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若直线l的方程为y=k（x﹣2），则直线l过（2，0），是充分条件，若直线l经过点（2，0），则直线方程不一定是：y=k（x﹣2），比如直线：x=0，故不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线方程问题，是一道基础题．8．（4分）椭圆的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），若该椭圆与直线x+y﹣3=0有公共点，则其离心率的最大值为（）A．B．﹣1 C．D．【分析】由题意，c=1，=，从而a越小e越大，而椭圆与直线相切时，a 最小，由此能求出其离心率的最大值．【解答】解：∵椭圆的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），∴由题意，c=1，∴=，∴a越小e越大，而椭圆与直线相切时，a最小设椭圆为+=1，把直线x+y﹣3=0代入，化简整理可得（2a2﹣1）x2+6a2x+10a2﹣a4=0由△=0，解得：a2=5，于是a=，e max==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．（4分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是2．【分析】根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．【解答】解：根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=﹣1，∴焦点到准线的距离是1+1=2故答案为2．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题．10．（4分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0，则￢p是∃x＞1，x2﹣2x+1≤0．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x＞1，x2﹣2x+1≤0，故答案为：∃x＞1，x2﹣2x+1≤0【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．11．（4分）实数x，y满足，若m=2x﹣y，则m的最小值为﹣3．【分析】画出满足的可行域，进而可得当m=2x﹣y过（﹣2，﹣1）点时，m取最小值．【解答】解：满足的可行域如下图所示：当m=2x﹣y过（﹣2，﹣1）点时，m取最小值﹣3，故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，数形结合思想，难度中档．12．（4分）如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，则点P的轨迹的长度为2．【分析】由题意，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，A1P∥平面BCM，则P的轨迹是平行于BC的一条线段，即可得出结论．【解答】解：由题意，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，A1P∥平面BCM，则P的轨迹是平行于BC的一条线段，长度为2．故答案为2．【点评】本题考查线面平行，考查轨迹问题，确定P的轨迹是关键．13．（4分）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=2，则三棱锥D﹣ABC的顶点D到底面ABC的距离为．【分析】取AC的中点，连结OB，OD，求出OB，OD，利用勾股定理的逆定理得出OB⊥OD，结合OD⊥AC得出OD⊥平面ABC，由此能求出结果．【解答】解：解：取AC的中点O，连结OB，OD，∵AD=CD=2，∠ADC=90°，∴AC=2，OD=AC=，OD⊥AC．同理OB=，∵BD=2，∴OD2+OB2=BD2，∴OB⊥OD，又AC⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，AC∩OB=O，∴OD⊥平面ABC，∴三棱锥D﹣ABC的顶点D到底面ABC的距离为OD=．故答案为：【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．14．（4分）若曲线F（x，y）=0上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）满足x1≤x2且y1≥y2，则称这两点为曲线F（x，y）=0上的一对“双胞点”．下列曲线中：①；②；③y2=4x；④|x|+|y|=1．存在“双胞点”的曲线序号是①③④．【分析】利用新定义，分别验证，即可得出结论．【解答】解：由题意①，在第一、三象限，单调递减，满足题意；②，在第一象限，单调递减，第三象限单调递增，不满足题意；③y2=4x，存在“双胞点”比如（1，﹣1），（4，﹣4），满足题意；④|x|+|y|=1，存在“双胞点”比如（0，1），（1，0），满足题意；故答案为①③④．【点评】本题考查新定义，考查学生的计算能力，比较基础．三．解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D，E两点，且，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）利用A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径，则圆心M 的坐标为（﹣1，0），又因为|AM|=2，即可求圆M的方程；（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D，E两点，且，分类讨论，即可求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径，则圆心M的坐标为（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又因为|AM|=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以圆M的方程为（x+1）2+y2=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆M的圆心M（﹣1，0），半径为2．设N为DE中点，则MN⊥l，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当l的斜率不存在时，l的方程为x=0，此时|MN|=1，符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+2，由题意得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）故直线l的方程为，即3x﹣4y+8=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）综上，直线l的方程为x=0或3x﹣4y+8=0．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．16．（12分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，点M为侧棱PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；（Ⅱ）若PA⊥PC，求证：PA⊥平面BDM．【分析】（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=O，连接MO，推导出MO∥PC，由此能证明PC∥平面BDM．（Ⅱ）连接PO，推导出PO⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥平面PAC，进而BD⊥PA，再推导出MO⊥PA，由此能证明PA⊥平面BDM．【解答】证明：（Ⅰ）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，连接AC，设AC∩BD=O，连接MO．（1分）因为ABCD为正方形，则O为AC中点．又因为M为侧棱PA的中点，所以MO∥PC．（3分）又因为PC⊄面BDM，MO⊂面BDM，所以PC∥平面BDM．（5分）（Ⅱ）连接PO，在正四棱锥P﹣ABCD中，PO⊥平面ABCD，（6分）BD⊂平面ABCD，所以PO⊥BD．（7分）又因为BD⊥AC，（8分）AC∩PO=O，且AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，（9分）又因为PA⊂平面PAC，所以BD⊥PA．（10分）由（Ⅰ）得MO∥PC，又因为PA⊥PC，则MO⊥PA．（11分）又MO∩BD=O，且MO⊂平面BDM，BD⊂平面BDM，所以PA⊥平面BDM．（12分）【点评】本题考查线面平行与线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17．（10分）顶点在原点的抛物线C关于x轴对称，点P（1，2）在此抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）若直线y=x与抛物线C交于A，B两点，求△ABP的面积．【分析】（Ⅰ）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），由抛物线经过P（1，2）可得p，即可写出该抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）若直线y=x与抛物线C交于A，B两点，求出|AB|，点P到直线y=x的距离，即可求△ABP的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线的顶点在原点，且关于x轴对称，可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）由抛物线经过P（1，2）可得p=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）所以抛物线方程为y2=4x，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）准线方程为x=﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）可得）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）点P到直线y=x的距离﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（12分）已知椭圆经过点D（0，1），一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过的直线l交椭圆C于A，B两点，判断点D与以AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．【分析】（Ⅰ）由椭圆经过D（0，1），一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）以AB为直径的圆经过点D．当直线AB与x轴垂直时，D在圆上；当直线AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程为，由，得9（2k2+1）x2﹣12kx﹣16=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量数量积公式，结合已知条件能推导出点D在圆上．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆经过D（0，1），∴b=1．（1分）∵一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，∴a=．（3分）所以椭圆C的方程为=1．（4分）（Ⅱ）以AB为直径的圆经过点D，理由如下：（5分）当直线AB与x轴垂直时，由题意知D在圆上，（6分）当直线AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程为．（7分）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得9（2k2+1）x2﹣12kx﹣16=0，△=144k2+64×9（2k2+1）＞0，（8分），，（9分），．∴（10分）==（1+k2）x1x2﹣（x1+x2）+=（1+k2）[﹣]﹣•+=0，（11分）∴DA⊥DB，∴点D在圆上．综上所述，点D一定在以AB为直径的圆上．（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查点是否在圆上的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量数量积公式、椭圆性质的合理运用．。
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北京市海淀区2015-2016学年第一学期期末练习高二文科数学试卷
2016.1
本试卷共100分.考试时间90分钟.
一、选择题：本大题共10小题, 每小题4分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.已知圆2
2
(1)=2x y ，则其圆心和半径分别为
( )
A ．（1,0),2
B ．（-1,0),2
C ．（1,0),2
D ．（-1,0),2
2.抛物线2
4x y 的焦点到其准线的距离是
（
）
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
3.双曲线2
2
14x
y
的离心率为
（）
A ．
5
2
B ．
5
C ．
3
D ．
2
4.圆x 2
＋y 2
－2x=0与圆x 2
＋y 2
＋4y=0的位置关系是（
）
A.相离
B.外切
C. 相交
D.内切
5.已知直线,m n 和平面，且n
，则“m
n ”是“m ”的
（）
A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知直线l 的方程为2
0x my ，则直线l
( )
A ．恒过点(
2,0)且不垂直x 轴
B ．恒过点(
2,0)且不垂直y 轴
C ．恒过点(2,0)且不垂直x 轴
D ．恒过点(2,0)且不垂直y 轴
7.已知直线1
0x ay 和直线42
0ax
y
互相平行，则a 的取值是
（
）
A ．2
B ．2
C ．2
D ．0
8.已知O 为坐标原点，直线2y 与2
2
40x
y
Dx y 交于两点,M N ，则MON （
）
A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
9.已知两平面α,β，两直线m,n ，下列命题中正确的是(
)
A ．若m ∥α，n?α，则m ∥n
B ．若m?α，n?α，且m ∥β，n ∥β，则α∥β
C ．若m ⊥α，m ∥n ，n?β，则α⊥β
D ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n
10. 如图，在正方体
ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中
点，点P 在正方体表面上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则
点1B 和点P 构成的图形是（
）
A.三角形
B. 四边形。