2019年上海高中数学 解三角形强化训练
最新精选2019年高中数学单元测试试题-解三角形专题完整版考核题库(含参考答案)
2019年高中数学单元测试试题 解三角形专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题 1．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列， ∠B=30°△ABC 的面积为23，那么b =（ ）A ．231+B ．31+C ．232+ D ．32+（2004全国4理11）2．若A ．B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cosB －sinA ，sinB －cosA ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2001北京安徽春季8）3．已知△ABC 中，a =10,B =60°,C =45°，则c =A.10+3 B .10（3-1） C.（3+1） D.1034．在△ABC 中，若b 2sin 2C +c 2sin 2B =2bc cos B cos C ，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题5．在ABC ∆中，已知2,1BC AB AC =⋅=，则ABC ∆面积的最大值是 ．6．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c ，则△ABC 的形状是 ▲ 三角形．（文科）7． ABC B A B A ABC ∆<∆则中，若,cos cos sin sin 的形状为_________8．在ABC ∆中，若sin cos A B a b =，则B ∠ ▲ ．9．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边为,,a b c ，若45a b B ===︒，则角A =10．在锐角△ABC 中，tan A = t + 1，tan B = t - 1，则t 的取值范围是 ．11．在等边三角形ABC 中,点P 在线段AB 上，满足AP AB λ=，若CP AB PA PB ⋅=⋅，则实数λ的值是___________．12．在△ABC 中，若sin(2π-A)=sin(π-B)，cosA=cos(π-B)，则△ABC 的三个内角中最小角的值为_______________.13．在ABC 中，若120,7,5A a b ===，则sin C =________14．在平地上一点A 处，测得一塔塔尖C 的仰角为45，向塔所在方向行进a m 到B 处，又测得塔尖C 的仰角为60，则塔高是____m15．两灯塔,A B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在C 的北偏东30，B 在C 的南偏东60，则,A B 之间的距离为__________km16． 在锐角△ABC 中，已知B A 2=，则的b a 取值范围是 ．17．△ABC 三个内角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，设),(),,(a c a b b c a --=+=，若//，则∠C 的大小为_____________．三、解答题18．设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且b c C a =+21cos . （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围. （本题满分14分）19．已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，且其对边分别为,,a b c ，这向量()()cos ,sin ,cos ,sin m B C n C B ==-u r r ，且12m n ⋅=u r r 。
2019年上海高中数学 强化训练(立体几何)
2019年上海高中数学 强化训练（立体几何）类型一：转化1、位置关系的转化线线、线面、面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容，其精髓就是平行与垂直位置关系的相互依存及转化，平行与垂直问题不但能横向转化，而且可以纵向转化。
例1-1 已知三棱锥S －ABC 中，∠ABC ＝90°，侧棱SA ⊥底面ABC ，点A 在棱SB 和SC 上的射影分别是点E 、F 。
求证EF ⊥SC 。
例1-2 设矩形ABCD ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，以EF 为棱将矩形折成二面角A －EF －C 1(如图－2)。
求证：平面AB 1E ∥平面C 1DF 。
2、降维转化由三维空间向二维平面转化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一。
降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去，用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题。
如线面垂直的判定定理的证明就是转化为三角形全等的平面问题。
例1-3 如图-3，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BC=2，BB 1=2，90=∠ABC ，E 、F 分别为AA 1、C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 .图－1 SCB例1-4 如图-4直四棱柱1111D C B A ABCD -中，21=AA ，底面ABCD 是直角梯形，∠A 是直角，AB||CD ，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线1BC 与DC 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）备注：实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。
3、割补转化“割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口。
例1-5 如图5，三棱锥P －ABC 中，已知PA ⊥BC ，PA ＝BC ＝n,PA 与BC 的公垂线ED ＝h ，求证：三棱锥P －ABC 的体积V ＝16n 2h.C 图—54、等积转化“等积法”在初中平面几何中就已经有所应用，是一种很实用的数学方法与技巧。
2019年上海高中数学 强化训练 立体几何2
侧视图正视图俯视图b ba a a a2019年上海高中数学 冲刺强化：立体几何类型一：三视图1、下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为（ ）A ．32πB ．23πC ．43πD ．34π 2、用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( )A ．9与13B ．7与10C ．10与16D ．10与153、一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为___________．4．如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱1111AA A B C ⊥面,正视图是边长为2的正方形， 该三棱柱的左视图面积为（ ）.A. 4B. 32C. 22D.35、已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是 （ ）A ．4πa 2B ．3πa 2C ．(5+2)πa 2D ．(3+2)πa 2正视图： 半径为1的半圆以及高为1的矩形侧视图： 半径为1的14圆以及高为1的矩形俯视图： 半径为1的圆俯视图主视图 _ B _1_ A _1_ B_ A_ B _1 _ A _1 _ B _ A正视图俯视图正视图 2a a 2a a R=a 侧视图 俯视图6、已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）． ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体； ④每个面都是等腰三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．7、已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是__________________cm 38、四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图：则四棱锥P ABCD -的表面积 为9、已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S10、用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是（ ）.A ．6B ．7C ．8D ．9 11、某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视 图如右图示（单位长度：cm ，图中水平线与竖线垂直）， 则制作该工件用去的铁皮的面积为 2cm ． （制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）12、如图4，点O 为正方体ABCD A B C D ''''-的中心，点E 为面B BCC ''的中心，点F 为B C ''的中点，则空间四边形D OEF '在该正方体的面上的正投影可能是 （填出所有可能的序号）．①②③俯视图左视图主视图aa a D C B A13、如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）14、如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12．则该几何体的俯视图可以是（ ）15、已知几何体A —BCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； （2）求二面角A -ED -B 的正弦值； （3）求此几何体的体积V 的大小.16、如图是一个简单的组合体的直观图与三视图.下面是一个棱长为4的正方体，正上面放一个球，且球的一部分嵌入正方体中，则球的半径是( ) A. 12 B.1 C.32 D.217、已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为ABCD1111直观图18、若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．19、一个几何体的三视图如图所示：其中，主视图中大三角形的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体几的体积为 .20．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D)12题型二：求量：1．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，则过棱1AA 和BC 的中点P 、Q 的直线与球面交点为M 、N ，则M 、N 两点间的球面距离为 （ ）A ．3π B ．2πC ．23arccos3 D ．1arccos()6-2．在长方体 1111ABCD A B C D - 中, 12,1AB AA AD ===, 点 E 、F 、G 分别是棱 1AA 、11C D 与 BC 的中点, 那么四面体 1B EFG - 的体积是 3．在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为 A. 1, 15⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. )1, 2⎡⎣ D. 1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3.5．如图，四面体DABC 的体积为61，∠ACB=45°，22=++AC BC AD ，则CD=_________。
2019年上海高考数学 立体几何强化训练
立几测001试一、选择题：1．a 、b 是两条异面直线，下列结论正确的是（ ）A ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个平面与a 、b 都平行B ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都相交C ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都平行D ．过a 可以且只可以作一个平面与b 平行2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 ( )Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．1或4 Ｄ．无法确定 3．在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别为棱1AA 、1BB 的中点，则异面直线CM 和1D N 所成角的正弦值为 ( )Ａ．19 Ｂ．23 Ｃ．9 Ｄ．94．已知平面α⊥平面β，m 是α内的一直线，n 是β内的一直线，且m n ⊥，则：①m β⊥；②n α⊥；③m β⊥或n α⊥；④m β⊥且n α⊥。
这四个结论中，不正确．．．的三个是 ( ) Ａ．①②③ Ｂ．①②④ Ｃ．①③④ Ｄ．②③④5.一个简单多面体的各个面都是三角形，它有6个顶点，则这个简单多面体的面数是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 86. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为（设地球半径为R ）( )A. R π42B. R 3πC. R 2πD. 3R7. 直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个命题(1)m l ⊥⇒βα// (2)m l //⇒⊥βα (3)βα⊥⇒m l // (4)βα//⇒⊥m l 其中正确的命题是( )A. (1)与(2)B. (2)与(4)C. (1)与(3)D. (3)与(4)8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为α，则下列不等式成立的是( ) A. 60πα<< B.46παπ<< C.34παπ<< D.23παπ<<9．ABC ∆中，9AB =，15AC =，120BAC ∠=︒，ABC ∆所在平面α外一点P 到点A 、B 、C 的距离都是14，则P 到平面α的距离为( )Ａ．7 Ｂ．9 Ｃ．11 Ｄ．1310．在一个45︒的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角45︒，则此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为 ( )Ａ．30︒ Ｂ．45︒ Ｃ．60︒ Ｄ．90︒11. 如图,E, F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D,DD 2的中点, 沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作 D.给出下列位置关系:①SD ⊥面DEF; ②SE ⊥面DEF; ③DF ⊥SE; ④EF ⊥面SED,其中成立的有: ( )12. 某地球仪的北纬60度圈的周长为6πcm,则地球仪的表面积为( )A. 24πcm 2B. 48πcm 2C. 144πcm 2D. 288πcm 2二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 直二面角α—MN —β中，等腰直角三角形ABC 的斜边BC ⊂α，一直角边AC ⊂β，BC 与β所成角的正弦值是46，则AB 与β所成角大小为__________。
2019届高考数学专题一三角函数及解三角形课后综合提升练1.1.2三角恒等变换与解三角形
第二讲三角恒等变换与解三角形(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若cos α=-,α是第三象限的角,则= ( )A.3B. -C.D.【解析】选B.因为cos α=-,α是第三象限的角,所以sin α=-,则===-.2.设a=2sin cos,b=cos25°-sin25°,c=,则 ( )A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b【解析】选 C.因为a=sinπ=sin 72°,b=cos 10°=sin 80°,c=tan 60°=,函数y=sin x在区间上是增函数,所以c=<a<b.3.已知A是△ABC的内角且sin A+2cos A=-1,则tan A= ( )A.-B.-C.D.【解析】选A.因为sin A+2cos A=-1,所以代入sin2A+cos2A=1中,整理得5cos2A+4cos A=0,所以cos A=0或cos A=-,当cos A=0时,sin A=-1,矛盾,所以cos A=-,sin A=,所以tan A=-.4.在△ABC中,已知tan A=,tan B=,且△ABC最大边的长为,则△ABC的最小边为( )A.1B.C.D.3【解析】选 C.设△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c.在△ABC中,tan(A+B)===1,即tan C=-1,所以C=135°,所以c=,因为tan B>tan A,则角A所对的边最小.由tan A=可知sin A=,由正弦定理=,得a=sin A·=×=.5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccos B=2a+b,若△ABC的面积S=c,则ab的最小值为( )A. B. C. D.3【解析】选B.由题意得2sin Ccos B=2sin A+sin B⇒2sin Ccos B=2(sin Bcos C+cos Bsin C)+sin B⇒cos C=-,所以S=absin C=ab=c⇒c=3ab.因为cos C=,所以-=≥,解得ab≥,当且仅当a=b=时,等号成立,即ab的最小值为.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知tan α=4,则=____________.【解析】===.答案:7.若tan α,tan β是方程x2+5x+6=0的两个根,且α,β∈,则α+β=____________.【解析】因为tan α,tan β是方程x2+5x+6=0的两个根,所以tan α+tan β=-5,tan α·tan β=6,所以tan α<0,tan β<0,所以tan(α+β)===1,又因为α,β∈,所以α+β=-π.答案:-π8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,若c=2acos B, S=a2-c2,则C的大小为____________.【解析】因为c=2acos B,所以sin C=2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,所以tan A=tan B,所以A=B,又因为S=a2-c2,所以sin C=-,由正弦定理得sin C=1-,因为A=B,所以sin A=cos,所以sin C=cos C,所以C=.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,已知a=2,b2+c2-4=4S,B>A,2sin Bsin C=cos A.(1)求A的值.(2)判断△ABC的形状并求△ABC的面积.【解析】(1)因为b2+c2-4=4S,所以b2+c2-a2=4·bcsi n A,由余弦定理得,cos A=sin A,所以tan A=,因为A∈(0,π),所以A=.(2)因为2sin Bsin C=cos A,A+B+C=π,所以2sin Bsin C=-cos(B+C)=sin Bsin C-cos Bcos C,即sin Bsin C+cos Bcos C=0,cos(B-C)=0,所以B-C=或C-B=.(ⅰ)当B-C=时,由第(1)问知A=,所以B=,C=,所以△ABC是等腰三角形, S=acsin B=;(ⅱ)当C-B=时,由第(1)问知A=,所以C=,B=,又因为B>A,矛盾,舍去.综上,△ABC 是等腰三角形,其面积为.10.已知在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求.(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.【解析】(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,S△ADC=AC·ADsin∠CAD,因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC,在△ABC中,由正弦定理得:=,所以==.(2)设∠ADB=θ,则∠ADC=π-θ.由(1)知==,所以c=2b①,因为CD=,所以BD=,在△ACD中,由余弦定理得,b2=1+-2×1×cos(π-θ),即b2=+cos θ②,在△ABD中,由余弦定理,c2=1+2-2×1×cos θ,即c2=3-2×cos θ③,由①②③得b=1,故AC=1.11.在锐角△ABC中,2sin cos+2cos Bsin C=.(1)求角A.(2)若BC=,AC=2,求△ABC的面积.【解析】(1)因为2sin cos+2cos Bsin C=,所以sin(B-C)+2cos Bsin C=,则sinB cos C-cos Bsin C+2cos Bsin C=sin(B+C)=,即sin A=,由△ABC为锐角三角形得A=.(2)在△ABC中,a=BC,b=AC,a2=b2+c2-2bccos A,即7=4+c2-2×2c×,化简得c2-2c-3=0,解得c=3(负根舍去),所以S△ABC=bcsin A=.【提分备选】1.如图所示,某镇有一块空地△OAB,其中OA=3 km,OB=3 km,∠AOB=90°.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖△OMN,其中M,N都在边AB上,且∠MON=30°,挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山,剩下的△OBN地带开设儿童游乐场. 为安全起见,需在△OAN的周围安装防护网.(1)当AM=km时,求防护网的总长度.(2)若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的倍,试确定∠AOM的大小.(3)为节省投入资金,人工湖△OMN的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使△OMN的面积最小?最小面积是多少?【解析】(1)因为在△OAB中,OA=3,OB=3,∠AOB=90°,所以∠OAB=60°,在△AOM中,OA=3,AM=,∠OAM=60°,由余弦定理,得OM=,所以O M2+AM2=OA2,即OM⊥AN,所以∠AOM=30°,所以△OAN为正三角形,所以△OAN的周长为9,即防护网的总长度为9 km.(2)设∠AOM=θ(0°<θ<60°),因为S△OMN=S△OAM,所以ON·OMsin 30°=×OA·OMsin θ,即ON=6sin θ,在△OAN中,由==,得ON=,从而6sin θ=,所以sin 2θ=,所以θ=15°,即∠AOM=15°.(3)设∠AOM=α(0°<α<60°),由(2)知ON=,又在△AOM中,由=,得OM=,所以S△OMN=OM·ON·sin 30°===,所以当且仅当2α+60°=90°,即α=15°时,△OMN的面积取最小值为 km2.2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足(2a-c)cos B=bcos C.(1)求B的大小.(2)如图,AB=AC,在直线AC的右侧取点D,使得AD=2CD=4.当角D为何值时,四边形ABCD的面积最大?【解析】(1)因为(2a-c)cos B=bcos C,所以(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,所以2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C,所以2sin Acos B=sin(B+C)=sin A,因为sin A≠0,所以cos B=,所以B=.(2)因为AB=AC,B=,所以△AB C为等边三角形,若四边形ABC D面积最大,则△ADC的面积最大,设AC=x,在△ADC中,由余弦定理可得x2=AC2=CD2+AD2-2CD·AD·cos D=4+16-2×2×4cos D,所以cos D=,所以sin D=,当x2=20,即x=2时,-(20-x2)2+162最大,即sin D最大,最大为1,因为S△ADC=CD·AD·sin D=4sin D,所以当D=时,S△ADC最大,所以当D=时,四边形ABCD的面积最大.3.已知△ABC为锐角三角形,若向量p=(2-2sin A,cos A+sin A)与向量q=(sin A-cos A,1+sin A)是共线向量.(1)求角A.(2)求函数y=2sin2B+cos的最大值.【解析】(1)因为p,q共线,所以(2-2sin A)(1+sin A)=(cos A+sin A)(sin A-cos A),则sin2A=.又A为锐角,所以sin A=,则A=.(2)y=2sin2B+cos=2sin2B+cos=2sin2B+cos=1-cos 2B +cos 2B+sin 2B=sin 2B-cos 2B+1=sin+1.因为B∈,所以2B-∈,所以当2B-=即B=时,函数y取得最大值,y max=2.(20分钟20分)1.(10分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan=2.(1)求的值.(2)若B=,a=3,求△ABC的面积.【解析】(1)由tan=2,得tan A=.所以==.(2)由tan A=,A∈(0,π),得sin A=,cos A=.又由a=3,B=及正弦定理=,得b=3.由sin C=sin(A+B)=sin,得sin C=,设△ABC的面积为S,则S=absin C=9.2.(10分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.(1)证明:sin AsinB=sin C.(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.【解析】(1)由正弦定理==,可知原式可以化解为+==1,因为A和B为三角形内角,所以sin Asin B≠0,则两边同时乘以sin Asin B,可得sin Bcos A+sin Acos B=sin Asin B,由和角公式可知,sin Bcos A+sin Acos B=sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,原式得证.(2)由题b2+c2-a2=bc,根据余弦定理可知,cos A==.因为A为三角形内角,A∈(0,π),sin A>0,则sin A==,即=,由(1)可知+==1,所以==,所以tan B=4.。
2019年上海高中数学 强化训练 立体几何3
2019年上海高中数学 冲刺强化3(立体几何-角的问题)1、如图所示，111A B C A B C -是直三棱柱，090B C A ∠=，点11D F 、分别是11A B 和11A C 的中点，若1B C C A C C ==，求1B D 与1A F 所成角的余弦值。
2、三棱柱111B A O OAB -，平面11O OBB ⊥平面OAB ，90,601=∠=∠AOB OB O ，且12,O B O O ==O A =B A 1与1AO 所成角的余弦。
3、如图，在三棱柱A B C A B C '''-中，四边形A A B B ''是菱形，四边形B C C B ''是矩形，C B A B ''⊥,2,4,60C B A B A B B '''==∠=，求A C '与平面B C C B ''所成角的正切。
AB 1FC1A1B 1C1D A B O1A 1B 1OA B C A ' B ' C '4、（1）在0120的二面角P a Q --的两个面P 与Q 内分别有两点A B 、，已知点A 和点B 到棱的距离分别为2,4cm cm ，且线段10A B cm =。
求：①直线A B 和棱a 所成角的正弦值；②直线A B 和平面Q 所成角的正弦值。
（2）已知三棱柱111A B C A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面A B C 内的射影为A B C △的中心，则1A B 与底面A B C 所成角的正弦值等于（ ） A ．13B．3C．3D ．23（3）如图，在矩形A B C D中，3A B B C ==，沿对角线B D 将B C D ∆折起，使点C 移到C '点，且C '点在平面A B D 上的射影O 恰在A B 上。
求直线A B 与平面B C D '所成角的大小。
高中数学三角函数与解三角形解答题专项训练(附详解)
三角函数与解三角形解答题专项训练1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosC=csinA．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a=3，△ABC的面积为，求的值．2．已知函数f（x）=msinxcosx+mcos2x+n（m，n∈R）在区间[0，]上的值域为[1，2]．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，当m＞0时，若f（A）=1，sinB=4sin（π﹣C），△ABC的面积为，求边长a的值．3．已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若f（x）＜m在上恒成立，求实数m的取值范围．4．函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．5．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．6．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．7．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．8．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B= sinAcosA﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．10．设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A+）的值．11．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．12．如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．4．（2015•泸州模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosC=csinA．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a=3，△ABC的面积为，求的值．考点：正弦定理；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，由sinA不为0求出tanC的值，即可确定出角C 的大小；（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，把a，sinC，以及已知面积代入求出b的值，再利用余弦定理求出c的值，求出cosA的值，利用平面向量的数量积运算法则即可确定出原式的值．解答：解：（Ⅰ）∵acosC=csinA，由正弦定理得：sinAcosC=sinCsinA，∵0＜A＜π，∴sinA＞0，∴cosC=sinC，即tanC=，又0＜C＜π，∴C=；（Ⅱ）∵a=3，△ABC的面积为，∴S=absinC=×3bsin=，∴b=2，由余弦定理得：c2=4+9﹣6=7，即c=，cosA==，则•=bccos（π﹣A）=2×（﹣）=﹣1．点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．6．（2015•资阳模拟）已知函数f（x）=msinxcosx+mcos2x+n（m，n∈R）在区间[0，]上的值域为[1，2]．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，当m＞0时，若f（A）=1，sinB=4sin（π﹣C），△ABC的面积为，求边长a的值．考点：余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），对m讨论，m＞0，m＜0，根据值域求得m，n，再求单调增区间；（Ⅱ）当m＞0时，求得A，再由正弦定理得到b=4c，由面筋公式，即可得到b，c 再由余弦定理求得a．解答：解：（Ⅰ）===，当时，，则．由题意知m≠0，①若m＞0，则，解得m=2，n=﹣1，则，由（k∈Z），得函数f（x）的单调递增区间是，k∈Z．②若m＜0，则，解得m=﹣2，n=4．则，由（k∈Z），故函数f（x）的单调递增区间是，k∈Z；（Ⅱ）当m＞0时，由，所以．因为sinB=4sin（π﹣C），所以sinB=4sinC，则b=4c，又△ABC面积为，所以，即bc=4，所以b=4，c=1，则，所以．点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查三角函数的图象和性质，求单调区间和求值域，考查正弦、余弦定理和面积公式及运用，考查运算能力，属于中档题．7．（2015•重庆一模）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若f（x）＜m在上恒成立，求实数m的取值范围．考点：三角函数的最值；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）的解析式，再根据正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值，可得实数m的取值范围．解答：解：（1）∵函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+=cosx（sinx+cosx ）﹣•+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∴函数的最小正周期为．（2）∵，∴，∴．∵f（x）＜m在上恒成立，∴．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于基础题．8．（2014•北京）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈[﹣，﹣]可得2x+∈[﹣，0]，由三角函数的性质可得最值．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π，可知y0为函数的最大值3，x0=；（Ⅱ）∵x∈[﹣，﹣]，∴2x+∈[﹣，0]，∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0，当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣3点评：本题考查三角函数的图象和性质，属基础题．9．（2014•重庆）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π求得ω=2．再根据图象关于直线x=对称，结合﹣≤φ＜可得φ的值．（Ⅱ）由条件求得sin（α﹣）=．再根据α﹣的范围求得cos（α﹣）的值，再根据cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]，利用两角和的正弦公式计算求得结果．解答：解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．再根据图象关于直线x=对称，可得2×+φ=kπ+，k∈z．结合﹣≤φ＜可得φ=﹣．（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），∴sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．再根据0＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==，∴cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=+=．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题．12．（2014•广东）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值．（2）由（1）可得f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ的值，再由θ∈（0，），求得sinθ的值，从而求得f（﹣θ）的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．∴Asin（+）=Asin=A•=，∴A=．（2）由（1）可得f（x）=sin（x+），∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sin cosθ=cosθ=，∴cosθ=，再由θ∈（0，），可得sinθ=．∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题．13．（2014•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．14．（2014•东城区一模）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．考点：正弦定理；两角和与差的正切函数．分析：本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，（Ⅰ）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中，进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，结合角A，B，C为△ABC的内角，我们易得tanA=4tanB＞0，则tan（A﹣B）可化为，再结合基本不等式即可得到tan（A﹣B）的最大值．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，，由正弦定理得即sinAcosB=4cosAsinB，则；（Ⅱ）由得tanA=4tanB＞0当且仅当时，等号成立，故当时，tan（A﹣B）的最大值为．点评：在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式．15．（2014•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）△ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2•cos（A+B）sin（A﹣B）．求得tan（A+B）的值，可得A+B的值，从而求得C的值．（Ⅱ）由sinA=求得cosA的值．再由正弦定理求得a，再求得sinB=sin[（A+B）﹣A]的值，从而求得△ABC的面积为的值．解答：解：（Ⅰ）∵△ABC中，a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB，∴﹣=sin2A﹣sin2B，即cos2A﹣cos2B=sin2A﹣sin2B，即﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2•cos（A+B）sin（A﹣B）．∵a≠b，∴A≠B，sin（A﹣B）≠0，∴tan（A+B）=﹣，∴A+B=，∴C=．（Ⅱ）∵sinA=＜，C=，∴A＜，或A＞（舍去），∴cosA==．由正弦定理可得，=，即=，∴a=．∴sinB=sin[（A+B）﹣A]=sin（A+B）cosA﹣cos（A+B）sinA=﹣（﹣）×=，∴△ABC的面积为=×=．点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．16．（2014•安徽）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A+）的值．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：综合题；三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用正弦定理，可得a=6cosB，再利用余弦定理，即可求a的值；（Ⅱ）求出sinA，cosA，即可求sin（A+）的值．解答：解：（Ⅰ）∵A=2B，，b=3，∴a=6cosB，∴a=6，∴a=2；（Ⅱ）∵a=6cosB，∴cosB=，∴sinB=，∴sinA=sin2B=，cosA=cos2B=2cos2B﹣1=﹣，∴sin（A+）=（sinA+cosA）=．点评：本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（2014•北京）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．解答：解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC===，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7．点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．。
2019年上海高中数学 冲刺强化 立体几何
（第10题图）2019年上海高中数学 冲刺强化：立体几何一、填空题：1、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．2、若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.3、已知球的表面积为64π2cm ，用一个平面截球，使截面圆的半径为2cm ，则截面与球心的距离是 cm . 4、一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为 5、已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是6、若一个球的半径与它的内接圆锥的底面半径之比为5,3且内接圆锥的轴截面为锐角三角形，则该球的体积与它的内接圆锥的体积之比等于7、如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B 作截面111A BC D 后形成的。
已知1AB =，11112A A C C D D ==，1DB 与底面ABCD 所成的角为3π，则这个多面体的体积为8、已知A 地位于东经30︒、北纬45︒，B 地位于西经60︒、北纬45︒，则A 、B 两地的球面距离与地球半径的比值为9、若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍。
10、等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为 11、已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为15πcm 2，则此圆锥的体积是____________ cm 3 .12、如图所示，半径2R =的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差 等于13、若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为53π的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值 为14、若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍15、已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB ==、BC =O 的表面积等于二、解答题：16、如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，AB=AD=2，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，证明A 1、C 1、F 、E 四点共面，并求直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角的大小．17、底面边长为2的正三棱锥-P ABC ，其表面展开图是三角形123PP P ，如图. 求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V .P 1218、如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.C 11A19、如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知21===AB BC AA ，AB ⊥BC ． （1）求四棱锥111A BCC B -错误！未指定书签。
2019年上海高中数学 专项训练 解析几何
2019年上海高中数学 专项训练[解析几何综合]1、焦点三角形的周长例题1 如图所示 21,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于A,B 两点，且|||,||,|22BF AB AF 成等差数列，则=ac 例题2 12||||,19252122=+=+B F A F y x ,则=||AB例题3 13422=-y x 则=-+||||||22MN NF MF焦点三角形的面积例题4 191622=+y x ，若21,,F F P 是一个直角三角形的三个顶点，则P 到x 轴的距离是例题5 0,122122=⋅=-MF MF y x ，则M 到x 轴的距离为焦点三角形的角平分线例题6 曲线C ：)3,2(,1121622A y x =+，求21AF F ∠的角平分线的方程。
例题7 2122,134F PF y x ∆=+的内切圆的半径为21，则=⋅21PF焦点三角形的中位线例题8 如图，已知椭圆的左焦点为1F ，若椭圆上存在一点P 满足以椭圆短轴为直径的圆与线段1PF 相切线段1PF 的中点E ，则=ac焦点间的转换例题9 )1,2(,1162522A y x =+，则||||1MA MF +的最大值为 例题10 1162522=+y x 。
将AB 分成8等份，并作垂线相较于椭圆于721,,P P P ,则=++||||171F P PF 例题11 N M y x ,,116922=-分别是圆4)5(22=++y x 和1)5(22=+-y x 上的点，则||||PN PM -的最大值。
焦点与相应准线的转换例题12 1:,0634:21-==+-x l y x l ，抛物线x y C 4:2=，动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值 是点线距离与线线距离的转换 例题13 04054:,192522=+-=+y x l y x ，椭圆上是否存在一点，使得它到直线l 的距离最小？最小值。
2019届高三数学(沪教版·必修5)配套练习：2.3解三角形的实际应用举例 第1课时
第二章 §3 第1课时一、选择题1．从塔顶处望地面A 处的俯角为30°，则从A 处望塔顶的仰角是( )A ．－60° B ．30°C ．60° D ．150°[答案] B2．某人向正东方向走x km 后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好 km ，那么x 的值为( )3A ． B ．233C ．2或 D ．333[答案] C[解析] 由题意画出三角形如下图．则∠ABC ＝30°，由余弦定理得，cos30°＝，∴x ＝2或.x 2＋9－36x333．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3km ，甲船以8km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是( )A ．kmB ．km 713C ．kmD ．km1910－33[答案] B[解析] 由题意知AM ＝8×＝2，BN ＝12×＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由15601560余弦定理得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos120°＝1＋9－2×1×3×(－)＝13，所以12MN ＝km.134．一艘船以4km/h 的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h ，则经过h ，该船实际航程为( )3A ．2km B ．6km15C ．2kmD ．8km21[答案] B [解析] 如图，∵||＝2，||＝4，∠AOB ＝120°，OA → OB→ ∴∠A ＝60°，||＝＝2.OC→ 22＋42－2×2×4cos60°3经过h ，该船的航程为2×＝6(km)．3335．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km)，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a (km)B ．a (km)3C ．a (km)D ．2a (km)2[答案] B[解析] 在△ABC 中，∠ACB ＝180°－(20°＋40°)＝120°.∵AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝a 2＋a 2－2a 2×(－)＝3a 2，12∴AB ＝a (km)．36．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )A ．米B ．米400340033C ．200米D ．200米3[答案] A[解析] 如图，设AB 为山高，CD 为塔高，则AB ＝200，∠ADM ＝30°，∠ACB ＝60°，∴BC ＝200cot60°＝，AM ＝DM tan30°＝BC tan30°＝.200332003∴CD ＝AB －AM ＝.4003二、填空题7．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A 、B 两点处测量与地面垂直的塔CD 的高，由A 、B 两地测得塔顶C 的仰角分别为60°和45°，又知AB 的长为40米，斜坡与水平面成30°角，则该转播塔的高度是________米．[答案] 4033[解析] 如图所示，由题意，得∠ABC ＝45°－30°＝15°，∠DAC ＝60°－30°＝30°.∴∠BAC ＝150°，∠ACB ＝15°，∴AC ＝AB ＝40米，∠ADC ＝120°，∠ACD ＝30°，在△ACD 中，由正弦定理，得CD ＝·AC ＝·40＝.sin ∠ACDsin ∠ADC sin30°sin120°40338．一船以24 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 处望见灯塔S 在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东75°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是______ km.(精确到0.1 km)[答案] 4.2[解析] 作出示意图如图．由题意知，AB ＝24×＝6，1560∠ASB ＝45°，由正弦定理得，＝，6sin45°BSsin30°可得BS ＝＝3≈4.2(km)．6×12222三、解答题9．海面上相距10海里的A 、B 两船，B 船在A 船的北偏东45°方向上，两船同时接到指令同时驶向C 岛，C 岛在B 船的南偏东75°方向上，行驶了80分钟后两船同时到达C 岛，经测算，A 船行驶了10海里，求B 船的速度．7[解析] 如图所示，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝10，∠ABC ＝120°由余弦定理，得7AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC ·cos120°即700＝100＋BC 2＋10BC ，∴BC ＝20，设B 船速度为v ，则有v ＝＝15(海里/小时)．2043即B 船的速度为15海里/小时．10．在上海世博会期间，小明在中国馆门口A 处看到正前方上空一红灯笼，测得此时的仰角为45°，前进200米到达B 处，测得此时的仰角为60°，小明身高1.8米，试计算红灯笼的高度(精确到1m)．[解析] 由题意画出示意图(AA ′表示小明的身高)．∵AB ＝200，∠CA ′B ′＝45°，∠CB ′D ′＝60°，∴在△A ′B ′C 中，＝A ′B ′sin ∠A ′CB ′B ′Csin45°∴B ′C ＝＝＝200(＋1)．A ′B ′sin45°sin15°200×226－243在Rt △CD ′B ′中，CD ′＝B ′C ·sin60°＝100(3＋)，3∴CD ＝1.8＋100(3＋)≈475(米)．3答：红灯笼高约475米.一、选择题1．一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(＋)海里/时B ．20(－)海里/时2662C ．20(＋)海里/时D ．20(－)海里/时6363[答案] B[解析] 设货轮航行30分钟后到达N 处，由题意可知∠NMS ＝45°，∠MNS ＝105°，则∠MSN ＝180°－105°－45°＝30°.而MS ＝20，在△MNS 中，由正弦定理得＝，MNsin30°MSsin105°∴MN ＝＝20sin30°sin105°10sin (60°＋45°)＝10sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝＝10(－)．106＋2462∴货轮的速度为10(－)÷＝20(－)(海里/时)．6212622．如图所示，在山底A 处测得山顶B的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000米到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为( )A ．500mB ．200m 2C ．1000mD ．1000m2[答案] D[解析] ∵∠SAB ＝45°－30°＝15°，∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS 中，AB ＝＝＝1 000，AS ·sin135°sin30° 1 000×22122∴BC ＝AB ·sin45°＝1 000×＝1 000(m)．2223．一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( )A ．5n mlieB ．5n mlie 3C ．10n mlieD ．10n mlie 3[答案] C[解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt △ABC 中，求得AB ＝5，∴这艘船的速度是＝10(n mlie/h)．50.54．已知船A 在灯塔C 北偏东85°且到C 的距离为2km ，船B 在灯塔C 西偏北25°且到C 的距离为km ，则A 、B 两船的距离为( )3A ．2km B ．3km 32C ．km D ．km1513[答案] D[解析] 如图可知∠ACB ＝85°＋(90°－25°)＝150°，AC ＝2，BC ＝，3∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos150°＝13，∴AB ＝.13二、填空题5．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．[答案] 20米，米34033[解析] 如图，依题意有甲楼的高度AB ＝20·tan60°＝20(米)，又CM ＝DB ＝20米，3∠CAM ＝60°，所以AM ＝CM ·cot60°＝米，2033故乙楼的高度为CD ＝20－＝(米)．3203340336．如图，一辆汽车在一条水平的公路上从C 处向正东行驶，到A 处时，测量公路南侧远处一山顶D 在东南15°的方向上，行驶15km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南30°的方向上，仰角为15°，则此山的高度CD 等于________km.[答案] 5(2－)3[解析] 在△ABC 中，∠A ＝15°，∠C ＝30°－15°＝15°，由正弦定理，得BC ＝＝＝5.AB sin Asin C 5×sin15°sin15°又CD ＝BC ·tan ∠DBC ＝5×tan15°＝5×tan(45°－30°)＝5(2－)．3三、解答题7．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，AB ＝120米，求河的宽度．[解析] 如图，在△ABC 中，∵∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，∴∠ACB ＝60°.由正弦定理，得AC ＝＝AB ·sin ∠CBAsin ∠ACB 120sin75°sin60°＝20(3＋)．26设C 到AB 的距离为CD ，则CD ＝AC sin ∠CAB ＝AC ＝20(3＋)．223答：河的宽度为20(＋3)米．38．在大海上，“蓝天号”渔轮在A 处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20海里的B 处．现在“白云号”以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8海里的速度由A 处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．[解析] 如下图，设经过t 小时，“蓝天号”渔轮行驶到C 处，“白云号”货轮行驶到D 处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD ．则根据题意，知在△ABC 中，AC ＝8t ，AD ＝20－10t ，∠CAD ＝60°.由余弦定理，知CD 2＝AC 2＋AD 2－2×AC ×AD cos60°＝(8t )2＋(20－10t )2－2×8t ×(20－10t )×cos60°＝244t 2－560t ＋400＝244(t －)2＋400－244×()2，70617061∴当t ＝时，CD 2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．7061。
2019届高三数学(沪教版·必修5)配套练习：2.3解三角形的实际应用举例 第2课时
第二章 §3 第2课时一、选择题1．甲船在B 岛的正南A 处，AB ＝10km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时，乙船自B 岛出发以6km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是( )A ．1507minB ．157hC ．21.5minD ．2.15h[答案] A[解析] 如图，设经过x 小时时距离为s ，则在△BPQ 中，由余弦定理知：PQ 2＝BP 2＋BQ 2－2BP ·BQ ·cos120°，即s 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )×6x ×(－12)＝28x 2－20x ＋100.当x ＝－b 2a ＝514时，s 2最小，此时x ＝514h ＝1507min.2．如图所示，B 、C 、D 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别为β、α(α＜β)，则A 点离地面的高AB 等于( )A ．a sin αsin βsin (β－α)B ．a sin αsin βcos (β－α)C ．a sin αcos βsin (β－α)D ．a cos αcos βcos (β－α)[答案] A[解析] 由tan α＝AB a ＋CB ，tan β＝AB CB ，联立解得AB ＝a sin αsin βsin (β－α).3．一质点受到平面上的三个力F 1→、F 2→、F 3→(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1→、F 2→成60°角，且F 1→、F 2→的大小分别为2和4，则F 3→的大小为( )A ．6B ．2C ．25D ．27[答案] D[解析] 由题意，得F 1→＋F 2→＋F 3→＝0， ∴F 1→＋F 2→＝－F 3→， ∴(F 1→＋F 2→)2＝F 3→2， ∴F 1→2＋F 2→2＋2F 1→·F 2→＝F 3→2， ∴4＋16＋2×2×4×cos60°＝F 3→2， ∴F 3→2＝28，∴|F 3→|＝27.故选D ．4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( )A ．5海里B ．53海里C ．10海里D ．103海里[答案] C[解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10， 在Rt △ABC 中，求得AB ＝5， ∴这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．5．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A ．103米B ．1003米C ．203米D ．30米[答案] D[解析] 设炮台顶部为A ，两条船分别为B ，C ，炮台底部为D ，可知∠BAD ＝45°，∠CAD ＝60°，∠BDC ＝30°，AD ＝30.分别在Rt △ADB ，Rt △ADC 中，求得BD ＝30，DC ＝30 3.在△DBC 中，由余弦定理得BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ·DC cos30°，解得BC ＝30.6.如图，在一幢20m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，底部的俯角为45°，那么这座塔吊的高是( )A ．20(1＋33)m B ．20(1＋3)m C ．10(6＋2)m D ．20(6＋2)m[答案] B[解析] 由仰角与俯角的意义可知，∠DAE ＝60°，∠EAC ＝45°，又EC ＝20m ， ∴BC ＝AE ＝20m ，在△AED 中，DE ＝AE tan60°＝203m. ∴塔吊的高度是20(1＋3)m. 二、填空题7．一角槽的横断面如图所示，四边形ABED 是矩形，已知∠DAC ＝50°，∠CBE ＝70°，AC ＝90，BC ＝150，则DE ＝________.[答案] 210[解析] 由题意知∠ACB ＝120°， 在△ACB 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝902＋1502－2×90×150×(－12)＝44100.∴AB ＝210，DE ＝210.8．在静水中划船的速度是每分钟40m ，水流的速度是每分钟20m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为________．[答案] 30°[解析] 水流速度与船速的合速度为v ，方向指向河岸，如图由题意可知sin α＝v 水v 船＝2040＝12∴α＝30°. 三、解答题9．如图所示，海中一小岛周围3.8 n mile 内有暗礁，一船从A 由西向东航行望见此岛在北75°东．船行8 n mile 后，望见此岛在北60°东，如果该船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险．[解析] 在△ABC 中，AC ＝8，∠ACB ＝90°＋60°＝150°，∠CAB ＝90°－75°＝15°，∴∠ABC ＝15°.∴△ABC 为等腰三角形，BC ＝AC ＝8，在△BCD 中，∠BCD ＝30°，BC ＝8，∴BD ＝BC ·sin30°＝4>3.8.故该船没有触礁危险．10．海岛O 上有一座海拔1km 的山，山顶设有一观察站A ，上午11时测得一轮船在岛的北偏东60°的C 处，俯角为30°，11时10分，又测得该船在岛的北偏西60°的B 处，俯角为60°.(1)求该船的速度；(2)若此船以不变的船速继续前进，则它何时到达岛的正西方向？此时轮船所在点E 离海岛O 的距离是多少千米？[解析] (1)如图，在Rt △AOB 和Rt △AOC 中，OB ＝OA cot60°＝33，OC ＝OA cot30°＝3，在△BOC 中，由余弦定理得 BC ＝OB 2＋OC 2－2OB ·OC cos ∠BOC ＝393.∵由C 到B 用的时间为1060＝16(小时)，∴该船的速度为39316＝239(千米/小时)．(2)在△OBC 中，由余弦定理，得 cos ∠OBC ＝BC 2＋OB 2－OC 22BC ·OB ＝51326，∴sin ∠OBC ＝1－cos 2∠OBC ＝33926.∴sin ∠OEB ＝sin(∠OBE ＋∠EOB )＝sin ∠OBE ·cos ∠EOB ＋cos ∠OBE ·sin ∠EOB ＝1313. 在△BEO 中，由正弦定理得 OE ＝OB sin ∠OBE sin ∠OEB ＝32，BE ＝OB sin ∠BOE sin ∠OEB ＝396.∴从B 到E 所需时间为： 396÷239＝112(小时)＝5(分钟)． 故船速为229千米/小时，该船于11时15分到达岛的正西方向，此时E 离海岛O 的距离是1.5千米.一、选择题1．如下图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为( )A ．1762海里/小时B ．346海里/小时C ．1722海里/小时D ．342海里/小时[答案] A[解析] 由题意知PM ＝68，∠MPN ＝120°，∠N ＝45°， 由正弦定理知PM sin45°＝MN sin120°⇒MN ＝68×32×2＝346，∴速度为3464＝1762(海里/小时)．2．如图所示，有一广告气球，直径为6m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心时，测得仰角∠BAC ＝30°时，气球的视角β＝1°，若θ很小时可取sin θ≈θ，试估算该气球的高BC 的值约为( )A ．72mB ．86mC ．102mD ．118m[答案] B[解析] 过C 作CD ⊥AD 于D ，在Rt△ADC 中，先求AC 的长，∵sin β＝CDAC ，∴AC ＝CD sin β＝3sinπ180≈3π180＝180×3π， 再在Rt △ABC 中求BC ， BC ＝AC sin30°＝90×3π≈86(m)．3．飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10 000m 到达B 处，此时测得正前下方目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为( )A ．2 500(3－1)mB ．5 0002mC ．4 000mD ．4 0002m[答案] A[解析] 示意图如图，∠BAC ＝30°，∠DBC ＝75°，∴∠ACB ＝45°，AB ＝10 000.由正弦定理，得10 000sin45°＝BC sin30°，又cos75°＝BD BC ，∴BD ＝10 000·sin30°sin45°·cos75°＝2 500(3－1)(m)．4．渡轮以15km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4km/h ，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1km/h)( )A ．14.5km/hB ．15.6km/hC ．13.5km/hD ．11.3km/h[答案] C[解析] 由物理学知识，画出示意图，如图．AB ＝15，AD ＝4，∠BAD ＝120°.在▱ABCD 中，D ＝60°， 在△ADC 中，由余弦定理，得 AC ＝AD 2＋CD 2－2AD ×CD ×cos D＝16＋225－4×15＝181≈13.5(km/h)．故选C ． 二、填空题5．有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现在要把倾斜角改成30°，则坡底要伸长________米．[答案] 50(6－2)[解析] 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°， AB ＝100，∴AC ＝50 2. 又在△ACD 中，∠ADC ＝30°， ∴∠DAB ＝45°－30°＝15°. sin15°＝sin(45°－30°)＝6－24. 在△ABD 中，由正弦定理，得BD sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB ，∴BD ＝100×sin15°sin30°＝100×6－2412＝50(6－2)(米)．6．在灯塔上面相距50米的两点A 、B ，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离________．[答案] 25(3＋1)(米)[解析] 由题意，作出图形如图所示，设出事渔船在C 处，根据在A 处和B 处测得的俯角分别为45°和60°， 可知∠CBD ＝30°，∠BAC ＝45°＋90°＝135°， ∴∠ACB ＝180°－135°－30°＝15°，又AB ＝50，在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin15°＝AC sin30°，∴AC ＝AB ×sin30°sin15°＝50×126－24＝25(6＋2)(米)．∴出事渔船离灯塔的距离CD ＝22AC ＝25(6＋2)·22＝25(3＋1)(米)．三、解答题7．A 、B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD ．[解析] 如图，由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD ．因此，只需在△ABD 中求出AD 即可．在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°， 由AB sin15°＝AD sin45°， 得AD ＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°， ∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 186(m)． 答：山高CD 为2 186 m.8．如图所示，A 、B 两个小岛相距21n mile ，B 岛在A岛的正南方，现在甲船从A 岛出发，以9n mile/h 的速度向B 岛行驶，而乙船同时以6n mile/h 的速度离开B 岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离．[解析] 行驶t 小时后，甲船行驶了9t n mile 到达C 处，乙船行驶了6t n mile 到达D 处．当9t <21，即t <73时，C 在线段AB 上，此时BC ＝21－9t ，在△BCD 中，BC ＝21－9t ，BD ＝6t ，∠CBD＝180°－60°＝120°，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos120°＝(21－9t)2＋(6t)2－2×(21－9t)·6t·(－12)＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189.∴当t＝2时，CD取得最小值189＝321.当t＝73时，C与B重合，此时CD＝6×73＝14>321.当t>73时，BC＝9t－21，则CD2＝(9t－21)2＋(6t)2－2×(9t－21)×6t×cos60°＝63t2－252t ＋441＝63(t－2)2＋189>189.综上可知，t＝2时，CD取最小值321，故行驶2h后，甲、乙两船相距最近为321n mile.。
最新精编2019年高中数学单元测试试题-解三角形专题考核题库完整版(含参考答案)
2019年高中数学单元测试试题 解三角形专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += ( )A.3 B ．．53 D ．53-(2006湖北理)2．在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形 D ．等边三角形（2002上海春14）3．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 由增加的长度决定4．在ABC中，c o sc o s c o s a bcA B C ==，则ABC 一定是（ D ）A 、直角三角形B 、钝角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形5．若△ABC 的内角满足sin A ＋cos A ＞0，tan A -sin A ＜0，则角A 的取值范围是------------------（ ） A ．（0，4π） B ．（4π，2π） C ．（2π，43π） D ．（43π，π） 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题6．在ABC ∆中，如果4:3:2::=c b a ，那么C cos = ．7．若ABC ∆的三个内角,,A B C 满足222s i n s i n s i n s i ns i n A B B C C =++，则A ∠= ；8．在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则ABC ∆的形状是 ▲ 三角形(填锐角、直角、钝角)．9．在ABC ∆中，12||4,||2,33AB AC AD AB AC ===+，若||6AD =,求||BC 的值为________．10．在ABC ∆中，a 比c 长4，b 比c 长2，且最大角的余弦值是21-，则ABC ∆的面积等于______________．11．设ABC ∆内角,,A B C 的各边分别为,,a b c ，则60,23A a b ==，则cb的值为 ．12．在ABC ∆中，,2,45a x b B ===︒，若这个三角形有两解，则x 的取值范围是13．若△ABC 的三边长分别是3，7，9，则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积之比是1：14．在ABC 中，若222sin sin sin A B C =+，则ABC 的形状是__________15．如图，在四边形钢板A B中，,,75,120AB BC AD DC DAB ABC ==∠=∠=，若30AB =cm ，用该钢板能割出最大的圆形钢板的半径是多少？（结果保留根号）16．在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a ::17．在△ABC中，已知b =，1c =，45B =，则边长a = 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019年上海高中数学 强化训练（解三角形）类型一：解三角形1、在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知bac B C A -=-2cos cos 2cos .（1）求ACsin sin 的值； （2）若2,41cos ==b B ，求ABC ∆的面积S .2、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2sin 1cos sin C C C -=+. （1）求C sin 的值；（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值.3、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+，且241b ac =. （1）当1,45==b p 时，求c a ,的值； （2）若角B 为锐角，求p 的取值范围.ABC ∆b c C a =+21cos 4、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=. （1）求A 的值；（2）求C B sin sin +的最大值.且. 5、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，（1）求角A 的大小；（2）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围.6、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足0cos cos )2(=--C a A c b . （1）求角A 的大小；（2）若3=a ，433=∆ABC S ，试判断的形状，并说明理由.7、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且.3)(2222ab c b a =-+（1）求2sin2BA +； （2）若2=c ，求ABC ∆面积的最大值.8、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足2222cos 2cos 4c b a B ac B a -+=-. （1）求角B 的大小；9、如图，ABC ∆中，2,332sin ==∠AB ABC ，点D 在线段AC 上，且334,2==BD DC AD . (1)求BC 的长； (2)求DBC ∆的面积.10、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知12cos sin 2sin 2sin 2=+⋅+C C C C ，且5=+b a ，7=c .（1）求角C 的大小；（2）求ABC ∆的面积.11、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足21)cos sin 3(cos =-⋅A A A . （1）求角A 的大小；（2）若32,22==∆ABC S a ，求c b ,的长.ABDC12、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且bc a c b =-+222. （1）求角A 的大小；（2）若函数2cos 2cos 2sin )(2x x x x f +=，当212)(+=B f 时，若3=a ，求b 的值.13、、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且B c a C b cos )3(cos -=. （1）求B sin 的值；（2）若2=b ，且c a =，求ABC ∆的面积.14、、已知函数212cos 2cos 2sin3)(2++=x x x x f .(1)求)(x f 的单调区间；（2）在锐角三角形ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足A c C a b cos cos )2(⋅=-，求)(A f 的取值范围.15、、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，a A b B A a 2cos sin sin 2=+. （1）求ab； （2）若2223a b c +=，求角B .16、已知ABC ∆中，22sin )()sin ,A C a b B ABC -=-∆（1）求C ∠；（2）求ABC ∆面积的最大值.17、在ABC ∆中，若2222()sin()()sin a b A B a b C +-=-，则ABC ∆是（ ）A ．等腰三角形；B .直角三角形；C ．等腰直角三角形；D ．等腰三角形或直角三角形．18、在ABC ∆中,已知sin :sin :sin 2:3:4A B C =,则cos C = ．19、设ABC ∆的三个内角C B A 、、所对的边长依次为c b a 、、，若ABC ∆的面积为S ，且()22c b a S --=，则=-AAcos 1sin ．20、已知ABC ∆的外接圆半径为5，=6,=8,a b 则此三角形 （ ）A ．有一解B .有两解C ．无解D ．不能确定类型二：文字题： 1、追及问题：例1-1 在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A()n 13- mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2n mile 的C 处的缉私船奉命以310n mile/h 的速度追截走私船。
此时，走私船正以10n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？例1-2 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向 （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？2、航海问题：例2-1 21、港口A 北偏东︒30方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B 处沿正西方向航行20海里后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离为21海里，问此时轮船离港口A 还有多远？例2-2 某巡逻艇在A 处发现在北偏东︒45距A 处8海里的B 处有一走私船，正沿东偏南︒15的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以312海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇航行方向.例2-3 如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东︒45的方向做匀速直线航行，速度为215海里/小时，在甲船从A 到出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东θ（21tan =θ）的方向做匀速直线航行，速度为m 海里/小时.（1）求4小时后甲船到B 岛的距离为多少海里；（2）若两船能相遇，求m.例2-4 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时.轮船位于港口O北偏西30︒且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明．．理由.例2-5 在某海滨城市有一台风，举监测，当前台风中心位于城市O(如图)东偏南θ（θ=向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北450方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当且半径为60km,并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市受到台风的侵袭？例3-1隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距千米的C，D两点，测得0∠，0ADB=45∠(A、B、C、D在同一平面内)求两目标A、B之间ADC=45ACB=75∠,0BCD=45∠,0的距离。
例3-2 如图1-27所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′。
已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD(精确到1m)AβCBαD例4-1 如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角︒=∠45CAD .（3）求BC 的长度；（4）在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在何处时，βα+最小？例4-2 如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米. 设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β. (1) 设计中CD 是铅垂方向. 若要求2αβ≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？(2) 施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12α=︒，18.45β=︒，求CD 的长（结果精确到0.01米）.ABDCPβα第17题图11 θ A B C5、工程问题：例5-1 某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB =2米， BC =1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．（1）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方）表示成关于x 的函数；（2）求△EMN 的面积S （平方米）的最大值．例5-2 某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为π3（即π3ACB ∠=），墙AB 的长度为6米（已有两面墙的可利用长度足够大），记θ=∠ABC ．（1）若π4θ=，求ΔABC 的周长（结果精确到0.01米）； （2）为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积即ABC ∆的面积尽可能大．问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．C （第3题）。