第8章空间解析几何小结
空间解析几何知识点
空间解析几何知识点在数学中，解析几何是研究几何图形与代数表达式之间关系的分支学科。
解析几何广泛应用于物理、工程学和计算机图形学等领域。
而在解析几何中，空间解析几何是其中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何形状和位置关系。
本文将就空间解析几何的一些重要知识点进行探讨。
一、平面与直线的表示在空间解析几何中，平面和直线是两个基本的几何概念。
我们可以通过向量和点坐标来表示平面和直线。
对于平面来说，如果已知平面上的一个点A和两个不共线的向量AB和AC，那么平面上的任意一点P都可以表示成向量AP的线性组合，即P=A+x(AB)+y(AC)，其中x、y为实数。
而对于直线来说，如果已知直线上的一个点A和一个不为零的向量u，那么直线上的任意一点P都可以表示成P=A+tu，其中t 为实数。
二、平面与平面的位置关系在空间解析几何中，平面与平面的位置关系有三种情况：相交、平行和重合。
我们可以通过向量来判断平面与平面的位置关系。
如果两个平面的法向量不平行，那么它们一定相交于一条直线；如果两个平面的法向量平行但不重合，那么它们一定平行；如果两个平面的法向量相等，那么它们重合。
三、直线与直线的位置关系在空间解析几何中，直线与直线的位置关系也有三种情况：相交、平行和重合。
我们同样可以通过向量来判断直线与直线的位置关系。
如果两条直线的方向向量不平行，那么它们一定相交于一个点；如果两条直线的方向向量平行但不重合，那么它们一定平行；如果两条直线的方向向量相等，并且经过它们的一点也相等，那么它们重合。
四、平面与直线的位置关系在空间解析几何中，平面与直线的位置关系也有三种情况：相交、平行和包含。
对于平面与直线的相交关系，我们可以通过求解平面与直线的交点来判断。
如果平面与直线有且只有一个交点，那么它们相交；如果平面与直线没有交点，那么它们平行；如果平面包含直线，那么它们重合。
五、球面与直线的位置关系在空间解析几何中，球面与直线的位置关系也有三种情况：相交、不相交和切线。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是解析几何的一个重要分支，它通过坐标系和向量的概念来研究空间中的几何关系和性质。
本文将会介绍空间解析几何的基本概念、特点以及应用，以便读者对此有更深入的了解。
一、坐标系的建立在研究空间解析几何之前，我们首先需要建立合适的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。
直角坐标系是最常见的坐标系，可以通过三个相互垂直的坐标轴来描述空间中的点。
柱坐标系和球坐标系较为常用于对称性较强的问题。
通过建立坐标系，我们可以将空间中的点与数值进行对应，进而进行进一步的分析与计算。
二、向量的表示和运算向量是空间解析几何中非常重要的一个概念，它可以表示空间中的位移、速度、加速度等物理量。
向量具有长度和方向两个特点，可以用有向线段或坐标表示。
在解析几何中，我们常常使用坐标表示向量。
例如，在直角坐标系中，向量a可以表示为(a₁, a₂, a₃)，其中a₁、a₂、a₃分别表示在x、y、z轴上的分量。
在解析几何中，向量的运算有加法、减法、数量乘法和点乘法等。
向量的加法与减法可以通过对应分量相加或相减来进行，数量乘法可以将向量的每个分量与一个实数相乘，而点乘法可以通过两个向量的对应分量相乘再相加得到。
三、直线和平面的方程在空间解析几何中，直线和平面是重要的几何基本要素。
直线可以通过一点和一个方向向量来表示，方程通常为(x, y, z) = (x₁, y₁, z₁) +t(a, b, c)，其中(x₁, y₁, z₁)为直线上的一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。
平面可以通过一个点和两个不共线的向量来表示，方程通常为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面法向量的分量，D为常数项。
四、空间曲线和曲面除了直线和平面，空间解析几何还研究了各种曲线和曲面的性质。
空间曲线可以通过参数方程、一般方程或者向量函数来表示，例如，圆柱面的参数方程可以表示为x = a cosθ，y = a sinθ，z = hθ，其中a为圆柱的半径，h为圆柱的高度，θ为参数。
8第八章空间解析几何答案
8第八章空间解析几何答案第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算1.填空题（1）点关于面对称的点为（），关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.（2）点关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为（）.2. 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：因为，故，方向余弦为，，，方向角为，， .3. 在平面上，求与、、等距离的点.解：设该点为，则，即，解得，则该点为.4. 求平行于向量的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与同向，一个与反向. 因为，所以.5. 已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标.解：设点的坐标为，由题意可知，则，即点的坐标为.§8.2 数量积向量积1.若，求的模.解：所以.2.已知，证明：.证明：由，可得，可知，展开可得，即，故.3. 。
4.已知，，求与的夹角及在上的投影.解：，，. 因为，所以.5..§8.3 曲面及其方程1.填空题（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（），绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.（2）以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为（）.（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）. 2.求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面.3§8.4 空间曲线及其方程1. 填空题（1）二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于轴且过点）.（2）旋转抛物面在面上的投影为（），在面上的投影为（），在面上的投影为（）.2.求球面与平面的交线在面上的投影方程.解：将代入，得，因此投影方程为.4.分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程.解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）.解：将代入得，即. 令，，所求的参数方程为..§8.5 平面及其方程1. 填空题（1）一平面过点且平行于向量和，平面的点法式方程为（）,平面的一般方程为（）,平面的截距式方程（）,平面的一个单位法向量为（）.（2）设直线的方程为，当（）时，直线过原点；当（）且（或有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交；当（）时，直线与轴相交；当（）时，直线与轴重合.2.求过三点，和的平面方程.解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为=0，即.3.求过点且垂直于两平面和的平面方程.解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于平面且经过点；（2）通过轴和点；（3）求平行于轴，且经过两点和的平面方程.解：（1）平面的法向量是，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为，即.（2）所求平面的法向量即垂直于轴又垂直于向量，所以所求平面的法向量为，因此所求平面的方程为，即.（3）由于所求平面平行于轴，故设所求平面方程为. 将点和分别代入得及，解得及. 因此所得方程为，即.§8.6 空间直线及其方程1. 填空题（1）直线和平面的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点且与直线平行的直线的方程是（）.（3）直线与直线的夹角为（）.2.化直线为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为. 取，代入直线方程可得，. 所以直线的对称式方程为.令，所给直线的参数方程为.3.求过点且与直线垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即.所求平面的方程为，即.4. 确定的值，使直线与平面平行，并求直线与平面之间的距离.解：直线的方向向量，要使直线与平面平行，只要（其中为平面的法向量），即，解得. 令，代入直线的方程可得，，直线与平面之间的距离.第八章空间解析几何与向量代数综合练习1.填空题：（1）已知，，且与夹角为，则（）.（2）若向量，平行，则（）.（3）已知向量的模为，且与轴的夹角为，与y轴的夹角为，与z 轴的夹角为锐角，则=（）.（4）曲线 (a、b为常数)在xOy平面上投影曲线是（）.（5）xOy平面上曲线绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是（）.（6）直线与平面的夹角的正弦（）.（7）方程所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线及都平行，且过原点的平面方程是（）.（9）已知动点到平面的距离与点到点的距离相等，则点的轨迹方程为（）.（10）与两平面和等距离的平面方程为（）.2. 设，，求向量，使得成立，这样的有多少个，求其中长度最短的.解：设，则，则，因此这样的，有无穷个.由于，因此，当时，即长度最短.3.已知点和点，试在轴上求一点，使得的面积最小.解：设，则，，，故的面积为，显然，当时，的面积最小，为，所求点为.4. 求曲线在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在平面投影为；在平面投影为；在zOx平面投影为.5.求原点关于平面的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面的直线，该直线的方向向量等于平面的法向量，所求直线的对称式方程为，即为其参数方程. 将此参数方程代入平面，有，解得，即直线与平面的交点为. 设所求的对称点为，则，，，即所求的对称点为.6.求直线在平面上的投影直线绕轴线转一周所成曲面的方程.解：过作垂直于平面的平面，所求的直线在平面上的投影就是平面和的交线. 平面的法向量为：，则过点的平面的方程为：，即. 所以投影线为. 将投影线表示为以为参数的形式：，则绕轴的旋转面的方程为，即.7.求球心在直线上，且过点和点的球面方程.解：设球心为，则，即.又因为球心在直线上，直线的参数方程为，将直线的参数方程代入，可得，球心坐标为，所求球面方程为.8.已知两条直线的方程是，，求过且平行于的平面方程.解：因为所求平面过，所以点在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为. 因此所求平面的方程为，即.9. 在过直线的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为，即，平面与原点的距离为要使平面与原点的距离最大，只要，即该平面方程为.10. 设两个平面的方程为和（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程.（3）求通过两个平面的交线，且和坐标面垂直的平面方程.解：（1）两个平面的法向量为和，设两个平面的夹角为，则，所以.（2）因为角平分面上任意一点到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得，即，所求的角平分面方程为或.（3）设通过两个平面的交线的平面方程为，即，由于该平面垂直于坐标面，所以，可得，因此所求的平面方程为.。
高等数学空间解析几何知识点总结
高等数学空间解析几何知识点总结向量:既有大小又有方向的量，以有向线段表示，线段长度表示大小，线段方向表示方向。
向量相等:大小相等方向相间.也即经平移后能完全重合的向量是相等的。
的向量。
自由向量:即可以自由地平行移动。
且平移前后部代表相等何向量平行。
零向量:长度为零的向量，记作B, 方向可看作任意，s与任单位向量:长度为一个单任长度的向量叫做单位向量。
对于非零向量。
.与它同方向的单位向量叫做向量。
的单位向量，常记为。
或。
.这里有问4k1-1公式。
=间。
即向量。
等于它的模与它的单位向量的乘积。
、平行向量(也叫共线向量) :方向相同或相反的非军向量ab叫做平行向量，记作: a//b.向量的线性运算:加减法符合三角形法则(平行四边形法则)，交换律，结合律。
n个向量相加法则:使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作向量a，a, ...，.. 在以第一向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，此向量即为所求的和提升业绩99%的企业/个体户/服务供应商共同选择数乘向量法:规定实数1乘向量a是一个向量，记为ha。
它的模是|2a|=|l|a|。
它的方向当2>0时与a相同，当a<0时与a相反。
满足:结合律2(ua)=u(a)=(2r)a分配律(2+μ)a=Aa+μa ; 2(a+b)= a+2b向量共线定理:设向量a≠0则向量b与a共线的充要条件是:存在唯一的实数2使b=ha,依此定理得出数轴上的点与向量一一对应，进而与实数-- -对应。
推论1: b// a<存在数z使b=hayAF推论2:两个向量a与b共线的充要条件是存在不全为0的数k,1使得ka+ Ib=δ空间直角坐标系:右手规则-- -以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以90°角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是三维空间中研究点、线、面等几何对象的数学分支。
通过坐标系和向量等数学工具，可以描述和分析三维空间中的几何形状、位置关系和运动方式。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、坐标系、向量运算和几何性质，并应用于实际问题。
一、空间解析几何的基本概念在空间解析几何中，我们首先需要了解点、直线、平面和空间的基本概念。
1. 点：点是空间中最基本的几何对象，用坐标表示。
在三维空间中，一个点可以由三个坐标确定，分别表示其在x轴、y轴和z轴上的位置。
2. 直线：直线是由无数个点组成的，在空间中没有宽度和厚度。
直线可以由一个点和一个方向向量确定，或者由两个不重合的点确定。
3. 平面：平面是由无数个点组成的，在空间中有宽度但没有厚度。
平面可以由一个点和两个不共线的方向向量确定，或者由三个不共线的点确定。
4. 空间：空间是由所有的点组成的，是点的集合。
在空间中，我们可以研究点、直线、平面和它们之间的相互关系。
二、空间解析几何的坐标系为了方便描述和计算，在空间解析几何中常常使用坐标系来表示点、向量和几何对象。
常用的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
1. 直角坐标系：直角坐标系由三个相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴、y轴和z轴。
在直角坐标系中，点的坐标表示为(x, y, z)，它们分别表示点在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
2. 柱面坐标系：柱面坐标系由极径、极角和高度构成。
极径表示点到z轴的距离，极角表示点在xy平面上的投影与x轴正半轴之间的夹角，高度表示点在z轴上的投影长度。
三、空间解析几何的向量运算在空间解析几何中，向量是一个有大小和方向的量。
向量可以表示位移、速度、力等物理量，也可以用来表示线段、直线、平面等几何对象。
1. 向量的表示：在空间解析几何中，向量通常用有序数组表示，如a = (a₁, a₂, a₃)。
其中，a₁、a₂和a₃分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
2. 向量的运算：空间解析几何中的向量运算包括加法、减法、数乘和点乘等。
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平行向量对应坐标成比例
当 a 0 时,
bx = by = bz ax ay az
bx = ax by = ay bz = az
例1 已知两点 在AB直线上求一点M ，使
及实数 −1，
A
解 设 M 的坐标为
如图所示
M
B
AM = MB OM − OA = ( OB − OM )
第八章 空间解析几何与向量代数
第一讲 向量及其线性运算
回顾
基本概念 向量的定义、向量的模、单位向量、零向量、负向量、 向量之间的关系：向量平行、 向量相等、 向量共面、 向量的线性运算与坐标表示：平面向量的线性运算、 平面向量的坐标表示、 平面向量平行的坐标表示等
一 、空间直角坐标系
过空间一个定点 O，作三条互相垂直的数轴， 这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系.
C(x, Байду номын сангаас, z)
oo
x P(x, 0, 0)
M y
Q(0, y, 0) A(x, y, 0)
z
o
x
坐标面
坐标轴
y
视频2
二、向量的坐标表示
在空间直角坐标系下，任意向量 r 可用向径 OM 表示.
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量，设点 M 的坐标为
M (x , y , z) , 则 OM = ON + NM = OA + OB + OC
及
解 设该点为 M (0, 0, z),
因为 M A = M B ,
(−4)2 +12 +(7 − z)2 = 32 +52 +(−2 − z)2 解得 故所求点为 M (0, 0,14 ) . 9
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是解析几何的一个重要分支，它是研究空间内点、直线、平面等几何元素的相互关系和性质的数学分支。
在空间解析几何中，我们通过向量和坐标等工具来描述和分析空间内的几何问题。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、常用方法和一些实际应用。
基本概念在空间解析几何中，我们通常使用三维笛卡尔坐标系来描述空间内的几何元素。
点在空间中用其三维坐标(x,y,z)来表示，直线可用参数方程、点向式方程或标准式方程等来表示，平面则通常用点法式方程表示。
在空间解析几何中，向量是一个非常重要的概念，它能够很好地描述空间内的方向和长度。
方法和技巧解析几何中有很多方法和技巧可以应用到空间解析几何中。
例如，我们可以通过向量的线性运算来求解点到直线的距离，通过向量的数量积和向量积来判断点和直线、平面的位置关系，通过方向比值来判断两直线的平行性或垂直性等。
此外，我们还可以利用三角函数和投影的概念来解决一些空间几何中的问题。
实际应用空间解析几何不仅仅是一种理论工具，它在实际应用中也具有广泛的意义。
在工程建筑中，空间解析几何可以帮助工程师设计和规划建筑物的结构和布局；在航天航空领域，空间解析几何可以帮助科学家研究轨道、飞行路径等问题；在计算机图形学中，空间解析几何是实现三维模型和动画的重要基础。
总的来说，空间解析几何是一门极具实用性的数学分支，它在各个领域都有着广泛的应用。
通过掌握空间解析几何的基本概念和方法，我们可以更好地理解和解决空间内的几何问题，为我们的工程设计和科学研究提供有力的支持。
以上是关于空间解析几何的简要介绍，希望对读者理解和学习空间解析几何有所帮助。
愿大家在空间解析几何的世界中能够不断探索、学习和创新，为数学事业的发展贡献自己的力量。
大一上空间解析几何知识点
大一上空间解析几何知识点空间解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间中的点、直线、平面和空间图形之间的位置关系、性质和运动规律等。
在大一上学期，我们学习了许多关于空间解析几何的基本知识点，下面将对这些知识点进行总结和梳理。
1. 空间直角坐标系空间直角坐标系由三个坐标轴组成，分别记作x轴、y轴和z 轴。
在空间直角坐标系中，点的坐标表示为(x,y,z)，其中x、y和z 分别表示点在x轴、y轴和z轴上的投影距离。
2. 点的坐标表示对于空间直角坐标系中的一个点P，我们可以用其坐标(x,y,z)来表示。
这三个坐标分别表示点P在x轴、y轴和z轴上的投影距离。
3. 点的距离公式设空间直角坐标系中有两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则点A和点B之间的距离公式为：d = √((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)4. 平面的方程平面通过3个点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)和C(x3,y3,z3)可以确定。
平面的方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C和D分别表示平面的系数。
5. 平面与平面的位置关系两个平面可以有以下几种位置关系：- 平行：两个平面的法向量平行，但不重合。
- 相交：两个平面有一个公共直线。
- 垂直：两个平面的法向量互相垂直。
6. 直线的方程在空间解析几何中，直线可以通过点和方向向量进行表示。
一个位于直线上的点A(x0,y0,z0)以及方向向量u(a,b,c)可以确定一条直线的方程：(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c7. 直线与直线的位置关系两条直线可以有以下几种位置关系：- 平行：两条直线的方向向量平行，但不重合。
- 相交：两条直线有一个公共点。
- 共面：两条直线位于同一个平面上。
8. 空间向量及其运算空间向量有长度和方向，并且可以进行加法和数乘运算。
空间向量的加法运算满足交换律和结合律。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何图形和其性质。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、常见图形以及解析方法，帮助读者更好地理解和应用空间解析几何。
一、基本概念在空间解析几何中，我们使用坐标系来描述点、直线、平面等几何对象。
一般常用的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
直角坐标系中，我们使用三个坐标轴x、y、z来确定一个点的位置。
柱面坐标系中，我们使用极坐标和一个垂直轴来确定一个点的位置。
通过坐标系，我们可以得到点的坐标、距离和角度等信息。
二、常见图形1. 点：空间中的一个点可以通过其坐标表示。
例如，点A(2,3,4)表示空间中的一个点，它的x坐标为2，y坐标为3，z坐标为4。
2. 直线：空间中两个不重合的点可以确定一条直线。
直线可以用参数方程、对称式、一般式等形式表示。
3. 平面：平面是由三个不共线的点所确定的。
平面可以用一般式、点法式等形式表示。
4. 球：由空间中的一个固定点和到该点距离等于定值的所有点构成的集合称为球。
5. 圆柱体：由一个闭合的曲线和平行于该曲线的直线段所围成的曲面称为圆柱体。
圆柱体可以通过其底面半径、高和母线方程等参数表示。
三、解析方法在空间解析几何中，我们可以使用向量、点法式、平面截距式等方法来求解各种几何问题。
1. 向量：向量是空间解析几何中一个重要的工具。
它可以用来表示线段、直线的方向和长度等信息。
通过向量，我们可以进行向量加法、减法、内积、外积等运算，用来求解直线的夹角、垂直平分线等问题。
2. 点法式：点法式是求解平面方程的一种方法。
它通过平面上的一点和法向量来表示平面的方程。
利用点法式，我们可以求解平面的交点、两平面的夹角等问题。
3. 平面截距式：平面截距式可以用来表示平面上与坐标轴相交的三个截距，通过截距可以确定平面的位置和方程。
我们可以利用平面截距式来求解平面的方程、直线与平面的交点等问题。
通过以上的解析方法，我们可以将空间解析几何中的各种问题转化为代数方程或方程组求解，从而得到几何图形的性质和关系。
空间解析几何
空间解析几何1. 引言空间解析几何是解析几何学中的一个分支，主要研究空间中的点、直线、平面之间的关系和性质。
它通过使用代数方法来解决几何问题，是几何和代数相结合的重要工具。
本文将介绍空间解析几何的相关概念和基本原理，并提供一些例题来帮助读者更好地理解和应用这些知识。
2. 空间直角坐标系空间解析几何的基础是空间直角坐标系。
一个空间直角坐标系可以由三条两两相交且相互垂直的坐标轴来确定，通常分别称为x轴、y轴和z轴。
在这个坐标系中，空间中的任意一点P可以通过三个有序实数(x, y, z)来表示，其中x、y和z分别表示P在x轴、y轴和z轴上的坐标。
3. 点、直线和平面在空间解析几何中，点、直线和平面是最基本的几何元素。
3.1 点点是空间中的一个位置，用有序实数(x, y, z)表示。
例如，点P(1, 2, 3)表示坐标为(1, 2, 3)的点P。
3.2 直线直线是由无数个点组成的，其中任意两点可以确定一条直线。
在空间解析几何中，一条直线可以用参数方程或者一般方程来表示。
例如，参数方程为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中(a, b, c)是一条方向向量，表示直线的方向，(x0, y0, z0)是直线上的一个点，t为参数。
3.3 平面平面是由无限多个点组成的一个二维空间，其中任意三点不共线可以确定一个平面。
在空间解析几何中，一个平面可以用一般方程来表示。
例如，一般方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C和D是实数且不同时为零，(x, y, z)是平面上的一个点。
4. 空间解析几何的基本原理在空间解析几何中，有一些基本原理可以帮助我们求解空间几何问题。
4.1 距离公式空间中两点之间的距离可以通过距离公式来计算。
设A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)是空间中两点，其距离为：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)4.2 点到直线的距离设点P(x0, y0, z0)和直线L的参数方程为：x = x1 + aty = y1 + btz = z1 + ct点P到直线L的距离为：d = |(x0-x1)a + (y0-y1)b + (z0-z1)c| / √(a² + b² + c²)其中(a, b, c)是直线L的方向向量。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个分支，主要研究点、线、面在三维空间中的位置关系和运动规律。
通过坐标系和向量的表示方法，可以对三维空间中的几何问题进行分析和解决。
本文将从坐标系的建立、向量和点的运算以及空间图形的性质等几个方面介绍空间解析几何的基本概念和方法。
一、坐标系的建立在空间解析几何中，我们常常使用三维直角坐标系来描述点的位置。
三维直角坐标系由三个互相垂直的坐标轴x、y和z组成，它们的交点O称为坐标原点。
我们可以通过确定原点O和三个坐标轴的方向来确定一个三维坐标系。
在三维直角坐标系中，每个点的位置都可以通过它到三个坐标轴的垂直距离来表示。
二、向量的表示与运算向量是空间解析几何中的重要概念，它不仅可以表示空间中的位移和运动方向，还可以表示线段和有向线段。
在三维空间中，向量可以用一组有序的实数表示。
常用的向量表示方法有点表示法、坐标表示法和分量表示法。
1. 点表示法：在空间中，一个点可以用大写字母表示，如A、B、C 等。
2. 坐标表示法：对于给定的三维直角坐标系，我们可以通过一个有序的三元组(x, y, z)来表示一个点P的坐标。
3. 分量表示法：给定一组基向量i、j和k。
对于向量a，我们可以将其表示为各个分量与基向量之积的和，即a = xi + yj + zk，其中x、y和z分别为向量a在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
在空间解析几何中，向量之间可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
这些运算遵循一定的规律，使得向量能够描述和计算空间中的相对位置和方向。
三、点和直线的运算在空间解析几何中，点和直线是两个基本的几何要素。
点是空间中的一个位置，用坐标表示；直线是由无数个点连成的轨迹，可以用不同的参数方程、对称方程或一般方程来表示。
1. 点的运算：两个点之间可以计算距离和中点。
- 距离公式：设点A(x₁, y₁, z₁)和点B(x₂, y₂, z₂)，则AB的距离为√((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²)。
空间解析几何知识点总结
空间解析几何知识点总结
空间解析几何是解析几何的一个重要分支，它研究的是三维空间中点、直线、平面等几何对象的性质和相互关系。
以下是空间解析几何的一些重要知识点总结：
1. 空间直角坐标系，空间解析几何的基础是空间直角坐标系，通常用三个相互垂直的坐标轴来表示三维空间中的点的位置。
2. 点的坐标，在空间直角坐标系中，点的位置可以用三个坐标（x, y, z）来表示，其中x、y、z分别代表点在x轴、y轴、z轴上的投影长度。
3. 点的距离公式，两点在空间中的距离可以通过三维空间中的距离公式来计算，即d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-
z1)²)。
4. 向量的运算，空间解析几何中，向量是一个重要的概念，它可以表示空间中的位移和方向。
向量的加法、减法、数量积和向量积是空间解析几何中常见的运算。
5. 空间直线的方程，空间直线可以用参数方程、对称方程和一般方程来表示，这些方程形式各有特点，可以根据具体问题的需要选择合适的表示形式。
6. 空间平面的方程，空间平面可以用点法式方程、一般方程等形式来表示，点法式方程可以直观地表示平面的法向量和过某一点的特点。
7. 空间几何体的性质，空间解析几何还涉及到一些空间几何体的性质，如球、圆柱、圆锥等的方程和性质。
8. 空间解析几何与其它学科的应用，空间解析几何在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用，例如在三维建模、空间定位、运动轨迹分析等方面发挥着重要作用。
以上是空间解析几何的一些重要知识点总结，希望对你有所帮助。
如果你还有其他问题，可以继续问我。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的点、直线和平面，以及它们之间的关系和性质。
通过解析几何，我们可以更好地理解和描述三维空间中的几何图形，从而解决与空间相关的问题。
一、平面方程在空间解析几何中，平面是一个基本概念。
为了方便研究和描述平面，我们需要找到一种方式来表示平面。
平面方程就是用来表示平面的一种方式。
一个平面可以由一个点和一个法向量确定。
假设平面上的一点为P，法向量为n，那么平面的方程可以表示为Ax + By + Cz +D = 0，其中A、B、C和D是常数。
这就是平面的一般方程。
二、直线方程与平面类似，直线也是空间解析几何中的一个重要概念。
为了描述直线，我们同样需要找到一种方式来表示它。
直线方程可以通过点和向量来确定。
设直线上的一点为P，方向向量为v，那么直线的方程可以表示为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中x0、y0、z0是直线上的一点的坐标，a、b、c是方向向量v的分量，t是参数。
三、直线与平面的位置关系在解析几何中，直线与平面的位置关系也是一个重要的问题。
直线可以与平面相交、平行或重合。
为了判断直线和平面的位置关系，我们可以通过求解方程组来解决。
假设直线的方程为L：x = x0 + at，y =y0 + bt，z = z0 + ct，平面的方程为P：Ax + By + Cz + D = 0。
将直线方程代入平面方程，将得到一个关于参数t的一元方程。
如果这个方程有解，那么直线与平面相交；如果方程无解，那么直线与平面平行；如果方程有无穷多解，那么直线与平面重合。
四、空间曲线除了点、直线和平面，空间解析几何还涉及到更为复杂的空间曲线。
空间曲线可以由参数方程、一般方程或者向量方程来表示。
不同的曲线有着不同的性质和特点，如曲率、切线等。
通过研究空间曲线，我们可以理解曲线在空间中的运动和变化规律。
总结：空间解析几何是数学中的一个重要分支，通过解析几何的方法，我们可以更好地研究和描述空间中的几何图形。
高等数学第八章空间解析几何与向量代数
|
c
|
102 52 5 5,
c0
|
c c
|
2
j
5
1 5
k
.
k
4 10 j 5k, 2
作业 P23习题8-2
1(1)、(3)，3，4，9
第三节 平面及其方程
一、平面的点法式方程
z
如果一非零向量垂直于一
平面，这向量就叫做该平
面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
定的平面, 指向符合右手系。
定义
向量
a
与
b
的向量积为
c
a
b
(其中
为a
与b
的夹角)
c 的方向既垂直于a，又垂直于b ，
指向符合右手系。
向量积也称为“叉积”、“外积”。
1、关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
( 0 sin 0)
(2) a//b
a b 0.
(a
0,
b
,
ab .
()
ab,
,
2
cos 0,
ab
|
a
|| b
2
| cos
0.
2、数量积符合下列运算规律：
(1) 交换律：
a
b
b
a
(2) 分配律：
(a b) c a c b c
(3) 若 为常数：
若 、 为常数：
(a)
b
a
(b)
(a
(a)
( b )
(a
b ).
3、向量积的坐标表达式
设
a
axi
同济高等数学第八章学习指导及习题详解
462第八章 向量代数与空间解析几何一、预习导引第一节 向量及其线性运算1. 中学阶段已经学习了向量的概念、线性运算及运算规律.阅读本节前两部分的内容，从中找出与你以前学过的向量有关内容不同之处.2. 尝试自己画出空间直角坐标系的图形，确认每一个卦限的方位.你能找出坐标轴上的点、坐标面上的点及各卦限内的点的坐标的特点吗？空间任意一个向量你能用坐标表示吗？阅读本节第三部分内容，从中找出答案.3. 在空间直角坐标系中，向量可以用坐标来表示，那么向量的线性运算是否也可以利用坐标作运算？点的坐标表示与向量的坐标表示有区别吗？利用坐标进行向量运算要注意什么问题？仔细阅读本节第四部分内容，你将会正确解答这些问题.4. 在空间直角坐标系中画出向量()1,2,2OM =，利用本节第三部分知识，求向量OM 的模及它与,,x y z 三个坐标轴的夹角（分别设为,,αβγ，称为向量的方向角）的余弦cos ,cos ,cos αβγ，并考察向量的模、方向余弦与其坐标的关系.这种关系式可以推广到空间任意向量吗？阅读本节第五部分的1、2，验证你的结论是否正确.在书上画出来空间任意两点间的距离公式.5 .阅读本节第五部分的3，细心体会向量在轴上的投影概念.向量(),,OM x y z =在三个坐标轴上的投影分别是什么？与向量OM 在三个坐标轴上的分向量有什么区别？注意向量投影的性质.第二节 数量积 向量积 *混合积1. 中学阶段我们已经学习了平面上两向量的数量积的定义、坐标表示及运算规律，请你尝试把数量积的定义、坐标表示及运算规463 律推广到空间向量.阅读本节第一部分内容，验证你的推论.2. 两向量的向量积是一个向量，怎样确定这个向量的模、方向及向量积如何用坐标表示、有什么运算规律？带着这些问题阅读本节第二部分，从中找出答案.3. 向量的混合积顾名思义，是指既含有向量积又含有数量积的向量运算，即()a b c ⨯⋅.根据本节前两部分所学知识，用坐标表示向量的混合积()a b c ⨯⋅；混合积()a b c ⨯⋅的几何意义是什么？阅读本节第三部分内容，检验你的结论.第三节 平面及其方程1. 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，建立了曲线和二元方程之间的关系，那么空间曲面或曲线是否也可以看作动点的几何轨迹，建立三元方程或方程组之间的关系？阅读曲面方程与空间曲线方程的概念，从你熟悉的学习和生活实践中举例说明这些概念.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---垂直于向量(),,n A B C =.把(),,M x y z 看作动点，满足0M M n ⊥的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把n 换为2n ，0M M n ⊥的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以n 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，揣摩用平面的点法式方程求解的问题类型.3. 平面方程0Ax By Cz D +++=中，,,,A B C D 中任意一个为零、任意两个为零及,,A B C 中任意两个为零且0D =时，它们对应的几何图形分别有什么特点？阅读本节第三部分，总结特殊的三元一次方程所表示的平面的特点．4. 阅读本节第四部分，弄清楚两平面的夹角的概念，夹角取值的范围，并用向量的坐标表示两平面的夹角.思考如何判断两平面的位置关系.推导空间中的点到平面的距离公式.第四节 空间直线及其方程4641. 从几何的角度看，两张相交平面确定一条直线L ，直线L 用动点的坐标表示，即由两个三元一次方程构成的方程组.通过空间一条直线L 的平面有多少？L 的方程唯一吗？阅读本节第一部分，从中找出答案.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---平行于向量(),,s m n p =.把(),,M x y z 看作动点，满足0//M M s 的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把s 换为2s ，0//M M s 的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以s 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，在书上画出直线的对称式方程和参数式方程.3. 阅读本节第三部分，弄清楚两直线夹角的取值范围.如何计算两直线的夹角？如何判断两直线的位置关系？4. 阅读本节第四部分，弄清楚直线与平面的夹角的取值范围.如何计算直线与平面的夹角？如何判断直线与平面的位置关系？分析平面束方程与三元一次方程的关系.第五节 曲面及其方程1. 阅读本节第一部分内容，通过例1与例2仔细揣摩：已知空间曲面如何建立其方程；已知坐标,,x y z 间的一个方程怎样研究它所表示的曲面的形状.2. 阅读本节第二部分内容，找出在进行旋转曲面方程的推导过程中，变化的量和不变的量，总结旋转曲面的方程的特点.思考给定一个三元二次方程，你能判断出它是否是旋转曲面？如果是，你能给出它的母线的方程和轴吗？它的母线唯一吗？3. 柱面方程的特点是什么？它的图形有什么特点？柱面方程与平面曲线方程有什么区别与联系？带着这些问题，阅读本节第三部分内容，从中找出答案.4. 阅读本节第四部分内容，从中找出下列问题的答案，怎样方程表示的曲面是二次曲面？常见的二次曲面有哪些？它们的图形是怎样的？。
空间解析几何总结
空间解析几何总结引言空间解析几何是高中数学中的一个重要内容，主要研究平面和直线在空间中的位置关系和相互作用。
通过学习空间解析几何，我们可以对几何问题进行更深入的分析和解决。
本文将对空间解析几何的基本概念、常用方法和应用进行总结，以帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
一、空间直角坐标系空间直角坐标系是空间解析几何的基础，它通过在空间中引入三个互相垂直的坐标轴来描述点的位置。
我们通常将这三个坐标轴分别用x、y和z表示，并将它们的交点作为原点O。
利用空间直角坐标系，我们可以用三个实数（x，y，z）表示空间中的点P。
其中，x称为点P在x轴上的坐标，y称为点P在y轴上的坐标，z称为点P在z轴上的坐标。
二、空间点的坐标表示在空间直角坐标系中，点P的坐标可以用三个实数（x，y，z）表示。
这个表示方法称为点P的坐标表示。
对于给定的坐标系，它是唯一确定的。
空间点的坐标表示具有以下性质：1.两个点相等的充分必要条件是它们的坐标相等。
2.对于空间中的任意点P，它与原点O之间的距离可以用下式表示：d= √(x² + y² + z²)。
三、空间点的向量表示在空间解析几何中，我们常常使用向量表示空间中的点和线段。
对于空间中的任意两个点A和B，我们可以定义一个有方向的线段AB，并用向量→AB表示。
空间点的向量表示具有以下性质：1.两个点相等的充分必要条件是它们的向量表示相等。
2.空间中任意两点A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)之间的向量→AB可以表示为→AB = (x₂ - x₁)i + (y₂ - y₁)j + (z₂ - z₁)k。
其中i、j、k分别是x、y、z轴的单位向量。
四、空间直线的方向向量和参数方程空间直线是空间解析几何中的一个重要概念，它是满足一定条件的空间中的点的集合。
在理解空间直线之前，我们需要先了解空间直线的方向向量。
对于空间直线l，设A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)是l上的两个不同点，则向量→AB称为直线l的方向向量。
高中数学解析几何总结非常全
高中数学解析几何总结非常全解析几何是数学中一个非常重要的分支，它凭借着坐标系的引入和解析法的运用，把几何图形的特征用精确的数学语言描述。
本篇文章主要围绕高中数学解析几何的知识点进行总结，旨在帮助读者更好的掌握该学科。
一、平面直角坐标系平面直角坐标系指由二维直角坐标系(x,y) 和坐标平面上给定的一个原点(O) 共同构成的平面。
坐标系的基础知识对解析几何的学习至关重要，因此我们需要掌握如下概念：1. 笛卡尔坐标系平面直角坐标系又称为笛卡尔坐标系，是二维空间中的一种坐标系。
该坐标系中，平面上的任意一点P的坐标(x,y) 是由P点在x轴、y轴上的投影所确定的。
2. 坐标轴平面直角坐标系中的两条坐标轴分别是x轴和y轴，它们相交于坐标系的原点O。
3. 坐标变化在平面直角坐标系中，任意一点P(x,y) 关于x轴、y轴、原点O的对称点分别是P'(x,-y)、P'(-x,y) 和P'(-x,-y)。
二、直线及其方程解析几何中的直线是平面上的一种基本几何元素，由于它们的性质非常重要，因此直线及其方程的知识点也是解析几何中的核心内容。
我们需要掌握以下知识点：1. 直线的方程直线的一般式和斜截式是解析几何中最为常用的两种方程。
（1）直线的一般式：Ax+By+C=0在直线的一般式中，A、B、C 均为实数，其中 A 和 B 不同时为零。
（2）直线的斜截式：y=kx+b在直线的斜截式中，k 为直线的斜率，即斜线的倾斜程度。
斜率为0的直线是水平线，斜率为正数的直线是上升的，斜率为负数的直线是下降的。
2. 直线的截距式直线的截距式比较简单，它是指直线在x、y轴上截距所组成的一种方程形式，可以用来求解直线的截距。
3. 直线之间的关系直线之间的关系有平行、垂直等多种情况，我们需要掌握这些关系的性质和求解方法。
三、圆与圆的方程圆是解析几何中的另一个重要几何元素，它可以用一个点和一个距离来描述。
在本篇文章中，我们需要掌握以下知识点：1. 圆的一般式圆的一般式为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为圆的半径。
同济高等数学下册第八章知识点精讲
总之:
运算律 : 结合律 分配律
可见
因此
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设 a 为非零向量 , 则
a∥b
( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝±
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则
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求三
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导出刚体上
一点 M 的线速度 的表示式 .
解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 使
其
方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作
向径
它与 的夹角为 , 则
点 M离开转轴的距离
且
符合右手法则
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1. 定义 已知三向量
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两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为
平面∏2的法向量为
则两平面夹角 的余弦为
即
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和 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .
解: 设所求平面的法向量为 方程为
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
Ⅰ
• 卦限(八个) Ⅶ
y轴(纵轴)
x轴(横轴) Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
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点M
有序数组
向径
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个重要分支，它研究了三维空间中的点、直线、平面以及它们之间的位置关系和运动规律。
它与平面解析几何相似，但在处理问题时需要考虑三维空间的特殊性和复杂性。
本文将介绍空间解析几何的基本概念和定理，并探讨其应用于实际问题的方法。
第一节：点、直线和平面的表示在空间解析几何中，点、直线和平面都可以通过数学方法进行表示。
点可用它在空间中的坐标表示，通常用三个实数表示它在x、y、z轴上的位置。
直线可用参数方程表示，例如：$$\begin{cases}x = x_0 + at \\y = y_0 + bt \\z = z_0 + ct \\\end{cases}$$其中，$(x_0, y_0, z_0)$是直线上一点的坐标，$a, b, c$是方向向量的分量，$t$为参数。
平面可用一般方程表示，例如：$$Ax + By + Cz + D = 0$$其中，$A, B, C, D$为常数，$(x, y, z)$为平面上任意一点的坐标。
第二节：点与直线的关系点与直线的关系在空间解析几何中是一个重要的研究内容。
给定一直线和一个点，在确定这个点在直线上的位置时，可通过求解参数方程所表示的直线和点坐标的方程组得到。
如果方程组有解，则表示该点在直线上；如果方程组无解，则表示该点不在直线上。
第三节：点与平面的关系点与平面的关系也是空间解析几何中的一个重要问题。
给定一个平面和一个点，在确定这个点在平面上的位置时，可通过将该点的坐标带入一般方程所表示的平面方程中，若等式成立则表示该点在平面上；若等式不成立则表示该点不在平面上。
第四节：直线与直线的关系直线与直线的关系是空间解析几何中的一个研究热点。
两个直线之间可能存在相交、平行或异面的关系，通过求解直线的参数方程，可得到它们的交点或判断它们的平行性。
若两直线的方向向量的夹角为零或$\pi$，则表示它们平行；若两直线参数方程的方程组有解，则表示它们相交。
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KKK
KK K
K KKK
G
例 4 已知 a,b, c 两两垂直，且 a = 1, b = 2, c = 3 ，求 s = a + b + c 的模和它与向量 b 的夹角.
高等数学（赵）
-6-
高等数学阶段小结
截距式： x + y + z = 1 ，（ a, b, c 依次叫平面在 x, y, z 轴上的截距）。 abc
其中：
（1）平面 Ax + By + Cz = 0 过原点, （2）平面 By + Cz = 0 过 x 轴, （3）平面 Cz + D = 0 平行于 xOy 坐标面, （4）平面 z = 0 即为 xOy 坐标面.
K a = ax2 + ay2 + az2
高等数学（赵）
-1-
高等数学阶段小结
第八章空间解析几何
{ } K
4．非零向量 a = ax , ay , az 的方向余弦
cosα =
ax
;cos β =
ay
;cosγ =
az
ax2 + ay2 + az2
ax2 + ay2 + az2
ax2 + ay2 + az2
p1 p2
.
高等数学（赵）
-4-
高等数学阶段小结
第八章空间解析几何
8．点 M 0 到直线 L 的距离公式
JJJJJJK K
K
设 s = {m, n, p} 是直线的方向向量， M1 是直线 L 上任一点，则 d
=
M 0MK 1 × s s
。
9．直线与平面的夹角
K
G
设直线的方向向量是 s = {m, n, p} ，平面的法向量是 n = {A, B, C} ，则直线和平面的夹角ϕ 由下
学习重点
1．向量的线性运算、数量积、向量积的概念； 2．两个向量垂直和平行的条件； 3．平面方程和直线方程； 4．平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件； 5．点到直线以及点到平面的距离； 6．常用二次曲面的方程及其图形； 7．以坐标轴为旋转轴旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程； 8．空间曲线的参数方程和一般方程。
⎧⎪F ⎨⎪⎩G
( (
x, x,
y, y,
z z
) )
= =
0 0
中消去
z
后得
到的方程
H
(
x,
y
)
=
0
，C
在
x
O
y
坐标面上的投影曲线方程为
⎧ ⎨ ⎩
H
(
x, y)
z=0
=
0
。
典型例题
JJJJG
JJJJG
例 1 向量 OM 与 x 轴成 45o 角，与 y 轴成 60o 角，它的模为 6 ，它在 z 轴上的坐标是负的，求向量 OM
bx
j ay by
k
az bz
=
ay by
az
G i−
ax
bz bx
az
G j+
ax
bz
bx
ay
G k
。
by
K K KK
KK
KK
KK
又 a × b = a b sinθ （θ 为 a,b 间的夹角）。 a × b 的方向垂直于 a 与 b 所确定的平面，其指向按右
KK 手法则从 a 转向 b 来确定。
5．向量的运算
{ } { } { } K
K
K
设 a = ax , ay , az ， b = bx , by , bz ， c = cx , cy , cz ， λ 是常数，则
( ) ( ) K K
G
G
G KK
（1） a ± b = (ax ± bx ) i + ay ± by j + (az ± bz ) k ，即 a ± b = ax ± bx , ay ± by , az ± bz ；
=
λ
(
K a
⋅
K b
)
；
( ) K K K K
（9） a × b = − b × a ；
( ) K K K K K K K
（10） a + b × c = a × c + b × c ；
( ) K K K K K K K
（11） c × a + b = c × a + c × b ；
（12）
(
λ
aK )
+ +
B1 B2
y y
+ +
C1z C2 z
+ +
D1 D2
=0 =0
的平面束方程为
λ ( A1x + B1 y + C1z + D1 ) + μ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 .
三、曲面与空间曲线
1．曲面及其方程
如果曲面 S 与三元方程 F ( x, y, z ) = 0 有下述关系： 1）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程 F ( x, y, z ) = 0 ， 2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程 F ( x, y, z ) = 0 ，
面的式子确定：
sinϕ =
Am + Bn + Cp
。
A2 + B2 + C2 m2 + n2 + p2
10．直线与平面垂直和平行的充要条件
直线和平面垂直 ⇔ A = B = C ； mn p
直线与平面平行或直线在平面上 ⇔ Am + Bn + Cp = 0 .
11．平面束方程
过直线
⎧ ⎨ ⎩
A1x A2 x
称方程 F ( x, y, z ) = 0 为曲面 S 的方程，而曲面 S 叫方程 F ( x, y, z ) = 0 的图形。
特别地
以一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所成的曲面，叫做旋转曲面。旋转曲线和定直线依次
高等数学（赵）
-5-
高等数学阶段小结
第八章空间解析几何
叫旋转曲面的母线和轴。
2．两平面的夹角
JK
JJK
设平面 π1 和 π 2 的法向量为 n1 = {A1, B1, C1} ， n2 = {A2 , B2 , C2} ，则夹角θ 可由下面的式子确定：
cosθ =
A1 A2 + B1B2 + C1C2
。
A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22
高等数学（赵）
高等数学（赵）
-2-
高等数学阶段小结
第八章空间解析几何
KKK
（5） (λ + μ ) a = λa + μa ；
KK KK （6） a ⋅b = b ⋅ a ；
( ) K K K K K K K
（7） a + b ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c ；
（8）
(λ
K a
)
⋅
K b
=
K a
⋅
( λ bK )
2．空间曲线及其方程
一般式方程：
⎧⎪F ⎨⎪⎩G
( (
x, x,
y, y,
z z
) )
= =
0 0
；
⎧x = x(t)
参数式：
⎪ ⎨
y
=
y
(t
)
⎪ ⎩
z
=
z
(t
)
（α ≤ t ≤ β）。
3．投影柱面与投影曲线
空间曲线
C
:
⎧⎪F ⎨⎪⎩ G
( (
x, x,
y, y,
z z
) )
= =
0 0
关于
x
O
y
坐标面的投影柱面方程为由
( ) ( ) K
G
G
G
K
（2） λa = (λax ) i + λay j + (λaz ) k （ λ 为常数）， λa = λax , λay , λaz ；
KK KK
（3） a ⋅ b = a b cos (a, b) = axbx + ayby + azbz ；
GGG
KK i （4） a × b = ax
高等数学阶段小结
第八章空间解析几何
本资料对本章的基本概念和基本方法作出归纳和总结，并通过典型习题对其中的重要部分予以突出和强 化。资料仅做课外自习参考之用，勿与其它院系、其它专业传阅交流。
第八章 向量代数与空间解析几何
学习内容和要求
1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2．掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），掌握两个向量垂直和平行的条件。 3．理解单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。 4．掌握平面方程和直线方程及其求法。 5．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、 垂直、相交等）解决有关问题。 6．会求点到直线以及点到平面的距离。 7．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及 母线平行于坐标轴的柱面方程。 7．了解空间曲线的参数方程和一般方程。 8．了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
JJJJG
G
的各个坐标，沿 OM 方向的单位向量 a 。
( ) 例 2
G
G
已知 a = 2 ， b = 5 ，