2020届江苏省盐城市高三下学期第三次模拟数学试题(解析版)

2020届江苏省盐城市高三下学期第三次模拟数学试题一、填空题1．已知集合M ＝{}220x x x -<，N ＝{}11x x -<<，则M 与N 的并集M U N ＝_______. 【答案】(﹣1，2)【解析】先化简集合M ，再利用并集运算求解. 【详解】∵集合M ＝{}220x x x -<， ∴M ＝(0，2)，又∵N ＝{}11x x -<<， ∴M U N ＝(﹣1，2). 故答案为：(﹣1，2) 【点睛】本题主要考查集合并集运算，属于基础题.2．设复数z a i =+(a ＞0)，若2zz =，则正实数a 的值为_______. 【答案】1【解析】根据z a i =+，得到z ，再利用2zz =求解. 【详解】 ∵z a i =+，∴2()()12zz a i a i a =-+=+=， 又∵a ＞0，∴a ＝1. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不喜爱的人分别为6000人、5000人、1000人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为_______. 【答案】5【解析】根据不喜爱的人在总体中的比例求解. 【详解】抽取不喜爱的人数为：100060512000⨯=.故答案为：5 【点睛】本题主要考查分层抽样，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则女生入选的概率是_______. 【答案】23【解析】先列出从中任选2人参加活动的种数，再找出女生入选的情况种数，代入公式求解. 【详解】2名男生用a ，b 表示1名女生用A 表示，则从中任选2人参加活动有()()(),,,,,a b a A b A 共3种， 其中女生入选的情况有2种， 故女生入选的概率是23. 故答案为：23【点睛】本题主要考查古典概型的概率，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．【答案】8【解析】分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S =点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.6．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为_______. 【答案】3π 【解析】根据离心率为2，得到ba，从而得到两条渐近线方程即可. 【详解】∵2c a =，∴224c a=， 故2224a b a +=，所以b a=∴两条渐近线方程为：y =， ∴两条渐近线所成的锐角为3π. 故答案为：3π 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 7．设三棱锥P —ABC 的体积为V 1，点M ，N 分别满足2PM MB =u u u u r u u u r ，PN NC =u u u r u u u r，记三棱锥A —BMN 的体积为V 2，则21V V ＝_______. 【答案】16【解析】根据2PM MB =u u u u r u u u r ，PN NC =u u u r u u u r，得到S △BMN 与S △PBC 的关系，再由点A 到平面BMN 与点A 到平面PBC 的距离相等求解. 【详解】 如图所示：因为2PM MB =u u u u r u u u r ，PN NC =u u u r u u u r所以S △BMN ＝16S △PBC ， 又因为点A 到平面BMN 与点A 到平面PBC 的距离相等， 故21V V ＝16. 故答案为：16【点睛】本题主要考查三棱锥的体积，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题. 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ba c=+，2a c =，则cosA ＝_______. 6【解析】根据sin sin A b B a c=+，利用正弦定理转化为a bb ac =+，再由2a c =，然后利用余弦定理求解. 【详解】 ∵sin sin A bB a c=+， ∴a b b a c=+，把2a c =代入得，6b c =， ∴2222226cos 2426b c a A bc cc+-===. 故答案为：64【点睛】本题主要考查正余弦定理，余弦定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 9．已知数列{}n a 、{}n b 满足2log n n b a =，且数列{}n b 是等差数列，若32b =，109b =，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝_______. 【答案】21n -【解析】根据{}n b 是等差数列，且32b =，109b =，利用“1,b d ”法，求得n b ，再由2log n n b a =，求得12n n a -=，利用等比数列前n 项和公式求解.【详解】∵{}n b 是等差数列，且32b =，109b =， ∴1122,99b d b d +=+=， 解得10,1b d ==， ∴1n b n =-，∴12n n a -=，故{}n a 是的前n 项和212121n n n S -==--.故答案为：21n - 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的前n 项和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．若函数()sin(2)f x x θ=+关于直线4x π=对称，则θ的最小正值为_______.【答案】2π 【解析】根据函数()sin(2)f x x θ=+关于直线4x π=对称，得到242k ππθ⨯+=求解. 【详解】因为若函数()sin(2)f x x θ=+关于直线4x π=对称，所以242k ππθ⨯+=，k ∈Z ，则22k ππθ=-+，k ∈Z ， 所以θ的最小正值为2π. 故答案为：2π 【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．若存在实数x ∈(0，4)，使不等式32160x ax -+<成立，则实数a 的取值范围是_______.【答案】(6，+∞)【解析】根据存在x ∈(0，4)，使不等式32160x ax -+<成立，转化为存在x ∈(0，4)，使2162a x x>+成立，令216()f x x x =+，用导数法求其最小值即可.【详解】∵∃x ∈(0，4)，使不等式32160x ax -+<成立， 存在x ∈(0，4)，使2162a x x>+成立 ∴2min 162()a x x>+， 令216()f x x x =+，则322(8)()x f x x-'=， 当x ∈(0，2)，()0f x '<，()f x 单调递减， 当x ∈(2，4)，()0f x '>，()f x 单调递增， 故min ()(2)12f x f ==， 所以212a >，故6a >. 故答案为：(6，+∞) 【点睛】本题主要考查函数与不等式存在性问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．在锐角△ABC 中，已知AH 是BC 边上的高，且满足1233AH AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则ACAB的取值范围是_______.【答案】(22，1) 【解析】根据AH 是BC 边上的高，得到AH ⊥BC ，再根据1233AH AB AC =+u u u r u u u r u u u r，得到CH ＝13BC ，在Rt △ACH 中，由余弦函数定义得到cos C ，在△ABC 中，由余弦定理得到cos C ，两者联立，再根据△ABC 是锐角三角形，有222b c a +>求解.最后取交集. 【详解】 如图所示：已知AH 是BC 边上的高所以AH ⊥BC ，又因为1233AH AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以CH ＝13BC ，在Rt △ACH 中，3cos 3aCH a C AC b b===， 在△ABC 中，222cos 2a b c C ab+-=，所以22223a b c aab b+-=，化简得222330a c b =->，得1b c <， ∵△ABC 是锐角三角形，∴2222233b c a c b +>=-，得2b c >， ∴212bc<<，即AC AB 的取值范围是(22，1). 故答案为：(22，1) 【点睛】本题主要考查平面向量与解三角形，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13．设函数2()22x f x x ax b =-+⋅，若函数()y f x =与函数(())y f f x =都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是_______.【答案】(﹣2，0]【解析】设0x 既是()y f x =的零点，也是(())y f f x =的零点，即0()0f x =，0(())0f f x =，从而(0)0f =，得到b ＝0，得到2()2f x x ax =-，然后根据()y f x =与函数(())y f f x =都有零点，且零点完全相同求解. 【详解】假设0x 既是()y f x =的零点，也是(())y f f x =的零点， 则0()0f x =，0(())0f f x =，即(0)0f =，则b ＝0， ∴2()2f x x ax =-，令()0f x =，解得10x =，22x a =， ∴(())0f f x =，解得()0f x =或()2f x a =， ①当a ＝0时，符合题意；②当a ≠0时，方程()2f x a =无解，即方程2220x ax a --=无解， ∴244(2)0a a --<，解得20a -<<， 综上所述，﹣2＜a ≤0. 故答案为：(2,0]- 【点睛】本题主要考查函数与方程，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 14．若圆C 1：22()16x m y -+=与圆C 2：22()16x n y -+=相交，点P 为其在x 轴下方的交点，且mn ＝﹣8，则点P 到直线x ＋y ﹣1＝0距离的最大值为_______.【答案】2【解析】根据圆C 1：22()16x m y -+=与圆C 2：22()16x n y -+=的特征，点P 为其在x 轴下方的交点，则2p m nx +=，代入圆C 1 根据mn ＝﹣8化简得到p y ，然后利用点P 的轨迹求解. 【详解】 由题意可知2p m nx +=，代入圆C 1得p y ==，∵mn ＝﹣8，∴p y ===，所以点P 在圆228x y +=上，其中0y <，求得圆心O 到直线x ＋y ﹣1＝0的距离是2，故点P 到直线x ＋y ﹣1＝0的距离的最大值是=.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.二、解答题15．若m u r ＝(sin 2x ，cos 2x )，n r ＝(cos 2x 2x )，设()2f x m n =⋅-u r r .（1）求函数()f x 在[0，π]上的单调减区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()()f A f B =，2a b =，求sinB 的值.【答案】（1）单调减区间为[6π，π]（2）sin 14B =【解析】（1）根据()f x m n =⋅u r r()sin()3f x x π=+，再利用正弦函数的性质求解.（2）由（1）知()sin()3f x x π=+，当x ∈[0，π]，对称轴方程为6x π=，由()()f A f B =，得到3A B π+=，再由2a b =，利用正弦定理得到sin 2sin A B =，从而有sin()2sin 3B B π-=求解.【详解】（1）∵m u r＝(sin2x ，cos 2x )，n r ＝(cos 2x2x )，∴2()sin cos 222x x x f x m n =⋅-=+u r r ，1sin 2x =+，1sin 2x x =， sin coscos sin33x x ππ=+，sin()3x π=+.由322232k x k πππππ+≤+≤+，k ∈Z ， 解得72266k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ， 又∵x ∈[0，π]，∴解得6x ππ≤≤，∴函数()f x 在[0，π]的单调减区间为[6π，π]， （2）由（1）知()sin()3f x x π=+，其对称轴为6x k ππ=+，k ∈Z ，当x ∈[0，π]，对称轴方程为6x π=，∵()()f A f B =，2a b =，即A B >， ∴3A B π+=，sin 2sin A B =，∴sin()2sin 3B B π-=，sincos cossin 2sin 33B B B ππ-=，∴1sin 2sin 22B B B -=， 即cosB B =，∵22sin cos 1B B +=，且B 为锐角，sinB ＞0，解得21 sin14B=.【点睛】本题主要考查平面向量与三角恒等变换以及三角函数的性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.16．如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AC，A1B⊥AC1，设O为AC1与A1C的交点，点P为BC的中点.求证：（1）OP∥平面ABB1A1；（2）平面ACC1⊥平面OCP.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）根据平面ACC1A1是平行四边形，则O为A1C的中点，又P为BC的中点，根据三角形中位线得到OP∥A1B，再利用线面平行的判定定理证明.（2）根据AA1＝AC，得到平面ACC1A1是菱形，从而AC1⊥OC，再由A1B⊥AC1，OP∥A1B，得到AC1⊥OP，由线面垂直的判定定理得到AC1⊥平面OCP，然后用面面垂直的判定定理证明.【详解】（1）∵在三棱柱中，平面ACC1A1是平行四边形，∴O为A1C的中点，又∵P为BC的中点，∴OP∥A1B，∵A1B⊂平面ABB1A1，OP⊄平面ABB1A1，∴OP∥平面ABB1A1，（2）∵平面ACC1A1是平行四边形，且AA1＝AC，∴平面ACC1A1是菱形，∴AC1⊥A1C，即AC1⊥OC，∵A1B⊥AC1，且OP∥A1B，∴AC 1⊥OP ，又AC 1⊥OC ，OP I OC ＝O ， ∴AC 1⊥平面OCP ， ∵AC 1⊂平面ACC 1， ∴平面ACC 1⊥平面OCP . 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直，面面垂直的判定定理，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.17．如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个与正方形两邻边相切的圆的14圆弧（如图2）.现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图2中实线部分），圆的半径为r 米.设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小，但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设()Sf r l=，当()f r 的值越大，满意度就越高.试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时π以3代入运算）【答案】当825r =-时，该淋浴房底座的满意度最高【解析】根据底座的面积与周长的定义，分别用r 表示，然后建立()Sf r l=函数，利用导数求其最大值即可. 【详解】44244222rrl r r ππ-=-+=-=-， 222241()11444r r S r r ππ-=--=-=-，所以22144()16242r r f r r r --==--，(0,1]r ∈，22164()2(8)r r f r r -+'=-，令()0f r '=，解得825r =-∈(0,1] r(0，825-)825-(825-，1)()f r '＋ 0 － ()f r递增极大值递减故825r =-时，()f r 取得最大值.答：当825r =-时，该淋浴房底座的满意度最高. 【点睛】本题主要考查函数的实际应用以及导数与函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．如图，A 、B 为椭圆C ：2221x y a+=短轴的上、下顶点，P 为直线l ：y ＝2上一动点，连接PA 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N ，已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为12-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标.【答案】（1）2212x y +=（2）12y =（3）四边形AMBN 6，对应的点P 的坐标为(6，2)【解析】（1）根据题意有A (0，1)，B (0，﹣1)，设M (x ，y )，根据直线MA ，MB 的斜率之积恒为12-，即2(1)(1)12MA MB y y k k x -+⋅==-求解.（2）根据题意设M (m ，n )，则N (﹣m ，n )，(1),(1)11AM BN m ml x y l x y n n -=-=+-+：：，联立求解p y ，令2p y =求解.（3）设P (t ，2)，t ≠0，1:1AP l y x t =+与椭圆联立得221122y x tx y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，求得 M 的坐标，同理求得N 的坐标，然后由S 四边形AMBN 1()2M N AB x x =⋅+求解. 【详解】（1）A (0，1)，B (0，﹣1)，设M (x ，y )，则2221x y a=-2222(1)(1)1112MA MBy y y k k x x a -+-⋅===-=-，22a = 因此，椭圆C 的标准方程为：2212x y +=；（2）设M (m ，n )，则N (﹣m ，n )，(m ∈⋃则(1),(1)11AM BN m m l x y l x y n n -=-=+-+：：， 联立解得12p y n ==，所以12n =，故直线MN 的方程为：12y =；（3）设P (t ，2)，t ≠0，1:1AP l y x t=+与椭圆联立得221122y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩解得01x y =⎧⎨=-⎩或2224222t x t t y t -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，22242(,)22t t M t t -+++， 同理22301122x BP y x t y x y ⎧==-⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪+=⎩：或22222212121818(,)18181818t x t t t N t t t y t ⎧=⎪-+⎪+⇒⎨++-+⎪=⎪+⎩所以S 四边形AMBN 22222261412412()1636221821820t t t t t t AB t t t t t t+-=⋅+=+=++++++令6)t x t +=∈+∞，则S 四边形AMBN 216()8x f x x ==+，)x ∈+∞22216(8)()0(8)x f x x -'=<+，故()f x 在)+∞上递减，故x =6t t=，即t =max ()f x =即S 四边形AMBN因此，四边形AMBN ，对应的点P 的坐标为(，2). 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及面积问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题. 19．已知数列{}n a 满足121n n a a n +-=+.（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中103a <<，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；（2）若n a 是公差为d (d ＞0)的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；（3）若11a =，22a =-，且数列{}21n a -单调递增，数列{}2n a 单调递减，求数列{}n a 的通项公式. 【答案】（1）198a =（2）11a =（3）1(1)n n a n -=-⋅ 【解析】（1）根据121n n a a n +-=+，令1,2n n ==，再根据1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，得到2213a a a =，联立求解.（2）根据n a 是公差为d (d ＞0)的等差数列{}n b 的前n 项和，则由通项与前n 项和的关系，得到11b a =，1(1)n b a n d =+-，再根据11121n n n a a b a dn n ++-==+=+对任意n *∈N 均成立，令1,2,3n n n ===联立求解.（3）根据数列{}21n a -单调递增，数列{}2n a 单调递减，则有135211n a a a a -=<<<<<L L ，24622n a a a a =->>>>>L L ，所以21n k =-时，141n n a a k +-=-，2n k =时，141n n a a k +-=+，两者联立求解. 【详解】（1）由题意知：2132221335a a a a a a a-=-⎧⎪-=⎨⎪=⎩，所以31213132+82a a a a a a -=⎧⎪⎨-⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎩，解得：198a =； （2）由题意知：11b a =，1(1)n b a n d =+-，所以11121n n n a a b a dn n ++-==+=+对任意n *∈N 均成立，其中d ＞0，所以11132537d a d a d a d ⎧+=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪>⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以21n b n =-.此时，11121n n n a a b a dn n ++-==+=+对任意n *∈N 均成立，故11a =；（3）由题意知：135211n a a a a -=<<<<<L L ，24622n a a a a =->>>>>L L ， 故21n k =-时，1121241n n n n k k a a a a a a k ++--=-=-=-，2n k =时，121241n n k k a a a a k ++-=-=+，则：21212k k a a +--=，故21131532123()()()21k k k a a a a a a a a k ---=+-+-++-=-L ， 即n 为奇数时，n a n =，又n 为奇数时，121n n a a n +-=+，所以11n a n +=--， 即n 为偶数时，n a n =-， 综上，1(1)n n a n -=-⋅.【点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的综合应用，还考查了特殊与一般的思想和运算求解的能力，属于难题.20．设函数()()xx f x e ϕ=，ln ()()xg x x ϕ=，其中()x ϕ恒不为0. （1）设2()x x ϕ=，求函数()f x 在x ＝1处的切线方程；（2）若0x 是函数()f x 与()g x 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；（3）设()x ax b ϕ=+，是否存在实数a ，b ，使得()()0f x g x ''⋅<在(0，+∞)上恒成立？若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）0x ey -=（2）证明见解析（3）存在；a ＝0，b ≠0符合题意【解析】（1）根据2()x x ϕ=，得到2()x x f x e =，求导22()xx x f x e-'=，得到(1)f ，(1)f '，写出切线方程.（2）根据0x 是函数()f x 与()g x 的公共极值点，则有00()0()0f xg x ''=⎧⎨=⎩，解得00ln 10x x -=，令()ln 1h x x x =-，用导数法研究只有一个零点即可.（3）根据()x ax b ϕ=+在(0,)+∞上无零点，分当a ＝0，b ≠0， ,0a b >，,0a b <三种情况讨论求解. 【详解】（1）因为2()x x ϕ=，所以2()x x f x e =，1(1)f e =，22()xx x f x e -'=，1(1)f e '=，故在x ＝1处的切线方程为：0x ey -=；（2）()()()xx x f x e ϕϕ'-'=，2()()ln ()()x x xxg x x ϕϕϕ'-'=，由题意知00()0()0f xg x ''=⎧⎨=⎩，解得00ln 10x x -=，令()ln 1h x x x =-，x ＞0，()ln 1h x x =+'，1(0,)x e -∈时，()0h x '<；1(,)x e -∈+∞时，()0h x '>，故()h x 在1(0)e -,递减，1(,)e -+∞递增，又(0,1)x ∈时，()1h x <-，故()h x 在(0，1)上无零点，(1)10h =-<，()10h e e =->，故(1)()0h g e <，又()h x 在[1,)+∞递增，因此，()h x 在(1，e )上存在唯一零点， ∴0x 存在且唯一；（3）由题意知：()x ax b ϕ=+在(0,)+∞上无零点 当a ＝0时，则b ≠0，11()()0x xb f x g x e bx xe -''=⋅=-<，符合题意； 又1(1)(1)0b f g e a b-''=⋅<+，则b (a ＋b )＞0，故b ≠0. 当a ≠0时，要使()x ax b ϕ=+在(0,)+∞上无零点，显然ab ＞02ln ()()0()x ba a xa axb x f x g x e ax b +---''=⋅<+在(0,)+∞上恒成立， 即()(ln )0bax b a a x a x+---<在(0,)+∞上恒成立， 令()F x ax b a =+-，(0,)x ∈+∞，()ln bG x a x a x=--，(0,)x ∈+∞ ,0a b >①时，max{0,1}bx a>-时，()0F x >，11max{,}ax b e+>时，ln 1a x a ->，1bx->-，故()0G x >， 因此，11max{1,,}a bx b e a+>-时，()()0F x G x >，与题意不符，舍去；,0a b <②时，max{0,1}bx a>-时，()0F x <，11max{,}ax b e->-时，ln 1a x a -<-，1bx-<，故()0G x <， 因此，11max{1,,}a bx b e a->--时，()()0F x G x >，与题意不符，舍去；综上，存在a ＝0，b ≠0符合题意. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数与函数的零点以及导数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归，分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.21．直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值. 【答案】2πθ=【解析】在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)，根据矩阵变换运算得到x ′，y ′，代入直线l ′：y ＝2x ，得到直线l 方程，再由两直线垂直求解. 【详解】在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)cos sin cos sin sin cos sin cos x x y x y x y y θθθθθθθθ''-⋅-⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅+⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故cos sin sin cos x x y y x y θθθθ=-'=+'⎧⎨⎩，又P ′在直线l ′：y ＝2x 上，即y ′＝2x ′ 则sin cos 2cos 2sin x y x y θθθθ+=-即直线l ：(sin 2cos )(2sin cos )0x y θθθθ-++=因为l 与l ′垂直，故sin 2cos 1=cos 02sin cos 2θθθθθ-⇒=+又(0,)θπ∈，故2πθ=.【点睛】本题主要考查矩阵变换研究两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．已知在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=求直线l 被曲线C 截得的弦长.【解析】消去参数t 得到直线l 的直角坐标方程，根据 222x y ρ=+得到曲线C 的直角坐标方程，再利用“r ，d ”法求弦长. 【详解】因为直线l的参数方程为112x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去参数t 得：直线l的直角坐标方程为：10x ++=， 因为曲线C的极坐标方程为ρ=由222x y ρ=+得曲线C 的直角坐标方程为：222x y +=，圆心为C (0，0)，半径r， 所以圆心C 到直线l的距离12d ==所以直线l 被曲线C截得的弦长为=【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 23．若正数a ，b ，c 满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值.【答案】1116+ 【解析】根据正数a ，b ，c 满足243a b c ++=，即有2(1)4(2)(3)16a b c +++++=，再利用“1”的代换，转化为1111111[2(1)4(2)(3)]()12316123a b c a b c a b c ++=+++++⋅++++++++，用基本不等式求解. 【详解】因为正数a ，b ，c 满足243a b c ++=， 所以2(1)4(2)(3)16a b c +++++=，所以1111111[2(1)4(2)(3)]()12316123a b c a b c a b c ++=+++++⋅++++++++，211121)1616+≥+=当且仅当a =，b =，c =时，取等号.. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.24．已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学生材料初审合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23. （1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望.【答案】（1）518（2）详见解析 【解析】（1）记“A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格”为事件M ，分别算出A ，B 考生获得录取资格的概率，再分两类求解.（2）随机变量X 可能的取值为：0，1，2，3，分别求出A ，B ，C 考生获得录取资格的概率，再根据A ，B ，C 三位考生获得高校综合评价录取资格的人数服从二项分布，列出分布列再求期望.【详解】（1）记“A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格”为事件MA 考生获得录取资格的概率为111326⨯=；B 考生获得录取资格的概率为111236⨯=； 所以15515()666618P M =⨯+⨯=答：A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率为518； （2）随机变量X 可能的取值为：0，1，2，3C 考生获得录取资格的概率为121436⨯=，由（1）得A ，B 两位考生获得录取资格的概率均为16， 所以A ，B ，C 三位考生获得高校综合评价录取资格的人数X ~B (3，16)， 则0335125(0)()6216P X C ===，1235175(1)()()66216P X C ===， 2235115(2)()()66216P X C ===，33311(3)()6216P X C ===， 随机变量X 的概率分布表如下：数学期望为：125751511()01232162162162162E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（人） 答：X 的数学期望为12人. 【点睛】本题主要考查独立事件的概率以及离散型随机变量的分布列及期望，还考查了运算求解的能力，属于中档题.25．设集合n T ＝{1，2，3，…，n }(其中n ≥3，n N *∈)，将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S .（1）求3S ，4S ，5S 的值；（2）试求n S 的表达式.【答案】（1）31S =；45S =；515S =（2）41n n S C +=【解析】（1）根据n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S ，得到3T ， 4T ，5T ，再求3S ，4S ，5S 的值.（2）根据三元子集的定义，最小元素为1的三元子集个数为21n C -，最小元素为2的三元子集个数为22n C -，最小元素为3的三元子集个数为23n C -，……最小元素为n ﹣2的三元子集个数为22C ，则222222234321(2)(3)(4)32n n n n S n C n C n C C C C ---=-+-+-++++L ，然后利用11n n n n n n C C C -++=性质求解. 【详解】（1）3{1,2,3}T =，其所有三元子集为{1,2,3}，故31S =；4{1,2,3,4}T =，其所有三元子集为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，故45S =； 5{1,2,3,4,5}T =，，其所有三元子集为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，故515S =；（2）{1,2,3,,}n T n =L 的所有三元子集中：最小元素为1的三元子集个数为21n C -最小元素为2的三元子集个数为22n C -最小元素为3的三元子集个数为23n C -……最小元素为n ﹣2的三元子集个数为22C222222234321(2)(3)(4)32n n n n S n C n C n C C C C ---=-+-+-++++L23222222334321(3)()(4)32n n n C n C C n C C C C ---=+-++-++++L232222244321(3)(4)32n n n C n C n C C C C ---=+-+-++++L23322222444321(4)()32n n n C C n C C C C C ---=++-+++++L233222245321(4)32n n n C C n C C C C ---=++-++++L ……4333445n C C C C =++++L43355n C C C =+++L41n C +=.【点睛】本题主要考查集合的新定义，组合的应用及组合数的运算，还考查了特殊与一般的思想和运算求解的能力，属于中档题.。