【名师点睛】2016-2017年九年级数学上册同步提高讲义+练习第16课圆-切线的性质与判定

合集下载

中考数学一轮复习第十六讲直角三角形专题训练-人教版初中九年级全册数学试题

第16讲直角三角形考纲要求命题趋势1．了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定．2．掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题.直角三角形是中考考查的热点之一，题型多样，多以简单题和中档难度题出现，主要考查直角三角形的判定和性质的应用，以及运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力.知识梳理一、直角三角形的性质1．直角三角形的两锐角________．2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的________． 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．二、直角三角形的判定1．有一个角等于________的三角形是直角三角形． 2．有两角________的三角形是直角三角形．3．如果三角形一边上的中线等于这边的________，则该三角形是直角三角形．4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的________，那么这个三角形是直角三角形．自主测试1．在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足BC :CA :AB ＝5:12:13，则cos B ＝( ) A ．512 B ．125 C ．513D ．12132．如图，在△ABC 中，DE 是中位线，∠ABC 的平分线交DE 于F ，则△ABF 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形3．下列各组数据分别为三角形的三边长：①2,3,4；②5,12,13；③2，3，4；④m 2－n 2，m 2＋n 2，2mn .其中是直角三角形的有( ) A ．①②B ．③④ C ．①③ D ．②④考点一、直角三角形的判定【例1】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 为边BC 上的任一点，DF ⊥AB 于F ，DE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点，试判断△MEF 的形状，并证明你的结论．分析：连接AM ，可得AM ＝BM ，然后证明△BFM ≌△AEM ，得到FM ＝ME ，∠EMF ＝90°.解：△MEF 是等腰直角三角形．连接AM ，∵∠BAC ＝90°，AM 是斜边BC 的中线， ∴MA ＝MB ＝MC ，MA ⊥BC . ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠BAM ＝∠MAE ＝45°. ∵DF ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴∠AFD ＝∠AED ＝∠FAE ＝90°， ∴四边形DFAE 是矩形，∴FD ＝EA . 又∵FB ＝FD ，∴FB ＝EA ， ∴△BFM ≌△AEM (SAS)， ∴FM ＝EM ，∠BMF ＝∠AME . ∵∠AMF ＋∠BMF ＝90°，∴∠EMF ＝∠AMF ＋∠AME ＝90°， ∴△MEF 是等腰直角三角形．方法总结证明一个三角形是直角三角形的方法比较多，最简捷的方法就是求出一个角等于90°，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证得．触类旁通1 具备下列条件的△ABC 中，不能成为直角三角形的是( ) A ．∠A ＝∠B ＝12∠C B ．∠A ＝90°－∠CC ．∠A ＋∠B ＝∠CD ．∠A －∠C ＝90° 考点二、直角三角形的性质【例2】两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B ，C ，E 在同一条直线上，连接DC .(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；(2)证明：DC⊥BE.(1)解：图2中△ABE≌△ACD.证明如下：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°.∴∠BAC＋∠CAE＝∠E AD＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.又∵AB＝AC，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD.(2)证明：由(1)△ABE≌△ACD知∠ACD＝∠ABE＝45°.又∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°，∴DC⊥BE.方法总结直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质外，还具有外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半，它的外心是斜边的中点，垂心是直角顶点等性质．考点三、勾股定理及其逆定理【例3】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．解：设CD长为x cm，由折叠得△ACD≌△AED.∴AE＝AC＝6 cm，∠AED＝∠C＝90°，DE＝CD＝x cm.在Rt△ABC中，AC＝6 cm，BC＝8 cm，∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10(cm)．∴EB＝AB－AE＝10－6＝4(cm)，BD＝BC－CD＝(8－x) cm，在Rt△DEB中，由勾股定理得DE2＋BE2＝DB2.∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3.∴CD的长为3 cm.方法总结 1．勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边．2．勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形．触类旁通2 如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AD ＝4，CD ＝13，CB ＝12，求四边形ABCD 的面积．考点四、勾股定理及其逆定理的实际应用【例4】如图所示，铁路上A ，B 两站(视为直线上两点)相距14 km ，C ，D 为两村庄(可视为两个点)，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA ＝8 km ，CB ＝6 km ，现要在铁路上建一个土特产品收购站E ，使C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少千米处？分析：因为DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，在AB 上找一点可构成两个直角三角形，我们可想到通过勾股定理列方程进行求解．解：设E 站应建在距A 站x km 处，根据勾股定理有82＋x 2＝62＋(14－x )2，解得x ＝6. 所以E 站应建在距A 站6 km 处．方法总结勾股定理及其逆定理的实际应用，是把实际问题转化为数学问题，建立勾股定理或逆定理的数学模型．通过解决数学问题，使实际问题得以解决．触类旁通3 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边的长分别为6 m ，8 m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．1．(2012某某某某)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离是( ) A ．365B ．1225C ．94D ．3342．(2012某某某某)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，CD 是AB 边上的中线，则CD 的长是( )A ．20B ．10C ．5D ．523．(2012某某某某)勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( )A ．90B ．100C ．110D ．1214．(2012某某某某)一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M .如果∠ADF ＝100°，那么∠BMD 为________°.5．(2012某某某某)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足关系式c 2－a 2－b 2＋|a －b |＝0，则△ABC 的形状为__________．6．(2012某某)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB ＝2，求△ABC 的周长．(结果保留根号)1．如图所示，将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一X 宽为3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，则三角板的最大边的长为( )A ．3 cmB ．6 cmC ．32cmD ．62cm2．在△ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝2b ，c －a ＝12b ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形3．一个直角三角形两边的长分别为15,20，则第三边的长是( )A ．57B ．25C ．57或25D ．无法确定4．如图，在Rt △ABC 中，以三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆，设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则( )A ．S 1＝S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＞S 2D ．无法确定 5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则CEBC的值是( )A ．247B ．73C ．724D ．136．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是斜边AB 的中点，DE ⊥AC ，垂足为E ，若DE ＝2，CD ＝25，则BE 的长为__________．7．如图，已知等腰Rt △ABC 的直角边长为1，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推直到第五个等腰Rt △AFG ，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为__________．8．如图，已知点D 为等腰Rt △ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA .(1)求证：DE 平分∠BDC ；(2)若点M 在DE 上，且DC ＝DM ，求证：ME ＝BD . 参考答案导学必备知识自主测试1．C ∵BC 2＋CA 2＝AB 2，∴∠C ＝90°，∴cos B ＝BC AB ＝513. 2．B3．D 探究考点方法触类旁通1．D触类旁通2．解：在Rt △ABD 中，BD ＝AD 2＋AB 2＝42＋32＝5，在△BCD 中，CD ＝13，CB ＝12，BD ＝5，∴CB 2＋BD 2＝CD 2.∴∠DBC ＝90°.∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △DBC ＝12AB ·AD ＋12BC ·BD ＝12×3×4＋12×12×5＝6＋30＝36.触类旁通3．解：在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，由勾股定理得，AB ＝AC 2＋BC 2＝10，扩充部分为Rt △ACD ，扩成等腰三角形ABD ，应分以下三种情况：(1)如图1，当AB ＝AD ＝10时，可求得CD ＝CB ＝6，故△ABD 的周长为32 m.(2)如图2，当AB ＝BD ＝10时，可求得CD ＝4，由勾股定理得AD ＝AC 2＋CD 2＝45，故△ABD 的周长为(20＋45) m.(3)如图3，当AB 为底时，设AD ＝BD ＝x ，则CD ＝x －6，由勾股定理得(x －6)2＋82＝x 2，则x ＝253，故△ABD 的周长为803m.品鉴经典考题1．A 根据题意画出相应的图形，如图所示：在Rt △ABC 中，AC ＝9，BC ＝12，根据勾股定理得：AB ＝AC 2＋BC 2＝15. 过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，又S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴CD ＝AC ·BC AB ＝9×1215＝365，则点C 到AB 的距离是365.2．C 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，CD 是AB 边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，则CD 的长是5.3．C 如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，所以，四边形AOLP 是正方形，边长AO ＝AB ＋AC ＝3＋4＝7，所以，KL ＝3＋7＝10，LM ＝4＋7＝11，因此，矩形KLMJ 的面积为10×11＝110. 故选C. 4．85∵∠ADF ＝100°，∠EDF ＝30°，∴∠MDB ＝180°－∠ADF －∠EDF ＝180°－100°－30°＝50°，∴∠BMD ＝180°－∠B －∠MDB ＝180°－45°－50°＝85°.5．等腰直角三角形由题意得：c 2－a 2－b 2＝0，a －b ＝0，∴c 2＝a 2＋b 2，a ＝b ，则△ABC 的形状为等腰直角三角形．6．解：∵△ABD 是等边三角形， ∴∠B ＝60°.∵∠BAC ＝90°，∴∠C ＝180°－90°－60°＝30°， ∴BC ＝2AB ＝4.在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC ＝BC 2－AB 2＝42－22＝23，∴△ABC 的周长为AC ＋BC＋AB ＝23＋4＋2＝6＋2 3. 研习预测试题 1．D2．A 由a ＋c ＝2b ，c －a ＝12b ，可得c ＝54b ，a ＝34b ，于是得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形．3．C4．A5．C 由折叠性质可知，AE ＝BE ，设CE 为x ，则BE ＝8－x .在Rt △BCE 中，62＋x 2＝(8－x )2，所以x ＝74.故CE BC ＝746＝724.6．42∵点D 是AB 的中点，∠ACB ＝90°，DE ⊥AC ， ∴CD ＝12AB ，DE ＝12BC ，∴AB ＝45，BC ＝4.在Rt △ACB 中，AC ＝AB 2－BC 2＝8，∴CE ＝12AC ＝4.∵CE ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，∴BE ＝4 2. 7．312 根据题意易知CD ＝AC ＝2，AD ＝DE ＝(2)2＝2，EF ＝AE ＝22，AF ＝FG ＝22×2＝4，AG ＝42，所以所求图形的面积S ＝S △ABC＋S 梯形ACDE ＋S 梯形AEFG ＝12×1×1＋12×(2＋22)×2＋12×(22＋42)×22＝12＋3＋12＝312.8．证明：(1)在等腰Rt △ABC 中，∵∠CAD ＝∠CBD ＝15°，∴∠BAD ＝∠ABD ＝45°－15°＝30°. ∴BD ＝AD .∴△BDC ≌△ADC . ∴∠DCA ＝∠DCB ＝45°.由∠BDM ＝∠ABD ＋∠BAD ＝30°＋30°＝60°， ∠EDC ＝∠DAC ＋∠DCA ＝15°＋45°＝60°， ∴∠BDM ＝∠EDC .∴DE 平分∠BDC . (2)如图，连接MC .∵DC ＝DM ，且∠MDC ＝60°，∴△MDC 是等边三角形，即CM ＝CD .又∵∠EMC ＝180°－∠DMC ＝180°－60°＝120°，∠ADC ＝180°－∠MDC ＝180°－60°＝120°，∴∠EMC＝∠ADC.又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°.∴△ADC≌△EMC.∴ME＝AD＝DB.。

2016-2017学年人教版九年级数学上册全册课时精讲(含答案)

解： (1) 证∠ABE ＝∠AEB ＝∠EAD (2)∵AD∥BC ， ∴∠ ADB ＝∠DBE ， ∵∠ ABE ＝ ∠AEB，∠AEB＝2∠ADB，∴∠ABE＝2∠ADB，∴∠ABD＝∠ABE－∠DBE＝2∠ADB－∠ ADB＝∠ADB，∴AB＝AD，又∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴四边形 ABCD 是菱形
第二十一章
(这是单页眉，请据需要手工删加) 第二十一章一元二次方程 21．1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一元二次方程
1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为__2___的整式方程叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式为__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)___． 3．使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的__解___，也叫做一元二次方程的__根___．
解：6x2＝54，一般形式为 6x2－54＝0
(2)x 个球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了 30 场比赛，求参赛的篮球队数 x. 1 1 1 解： x(x－1)＝30，一般形式为 x2－ x－30＝0 2 2 2
10．下列是方程 3x2＋5x－2＝0 的解的是( C ) A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝－2 D．x＝2 11．已知实数 a，b 满足 a2－3a＋1＝0，b2－3b＋1＝0，则关于一元二次方程 x2－3x＋1 ＝0 的根的说法中正确的是( D ) A．x＝a，x＝b 都不是该方程的解 B．x＝a 是该方程的解，x＝b 不是该方程的解 C．x＝b 是该方程的解，x＝a 不是该方程的解 D．x＝a，x＝b 都是该方程的解 12．若关于 x 的一元二次方程为 ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的一个解是 x＝1，则 2015－a－b 的值是( A ) A．2020 B．2010 C．2016 D．2014 13．若方程(m－2)x2＋ mx＝1 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是__m≥0 且 m≠2___． 14．小明用 30 厘米的铁丝围成一斜边长等于 13 厘米的直角三角形，设该直角三角形的一边长 x 厘米，则另一边长__(17－x)___厘米，列方程得__x2＋(17－x)2＝132___．

九年级数学上册第17课圆正多边形与圆同步提高讲义练习(pdf,无答案)(新版)新人教版

第17课正多边形与圆1.多边形内角和公式：2.边心距：3.把一个圆分成n(n≥3)等份，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的．4.一个正多边形的______________叫做这个正多边形的中心；______________叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．5.正n 边形的每一个内角等于________，它的中心角等于________，它的每一个外角等于_________几种特殊的正多边形：正三角形正方形正六边形a 34r 2==R a 21r 2==R ar 32==R【例1】如图,在圆内接正五边形ABCDE 中,对角线AC，BD 相交于点P,求∠APB 的度数．【例2】如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x 2+17)cm，正六边形的边长为(x 2+2x)cm(其中x>0).求这两段铁丝的长.【例3】已知：如图，正八边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8内接于半径为R 的⊙O．(1)求A 1A 3的长；(2)求四边形A 1A 2A 3O 的面积；(3)求此正八边形的面积S．【例4】如图,△ABC 的顶点坐标分别为A(4,6)，B(2,3)，C(5,2).如果将△ABC 绕C 点顺时针旋转900,得到△A 1B 1C．（1）请在图中画出△A 1B 1C；（2）请作出△A 1B 1C 的外接圆(尺规作图,要求保留作图痕迹,不必写出作法)；（3）在图中已画好的格点上,是否存在点D,使得C B A D B A S S 1111∆∆=,请写出符合条件的所有D 点的坐标（C 点除外）．1.以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（）A.不能构成三角形B.这个三角形是等腰三角形C.这个三角形是直角三角形D.这个三角形是等腰直角三角形2.平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形3.已知△ABC 在正方形网格中的位置如图所示，点A、B、C、P 均在格点上，则点P 叫做△ABC 的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.无法确定第3题图第4题图第5题图4.如图,已知四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形,点P 是劣弧上不同于点C 的任意一点,则∠BPC 度数是()A.45° B.60° C.75° D.90°5.如图，圆内接四边形ABCD 是由四个全等的等腰梯形组成,AD 是⊙O 的直径,则∠BEC 的度数为（）A.15°B.30°C.45°D.60°6.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，则∠ADB 的度数是（）A.60°B.45°C.30°D.22.5°第6题图第7题图7.如图，等边三角形ABC 内接于⊙O，若边长为34cm，则⊙O 的半径为()A.6cmB.4cmC.2cmD.32cm8.已知正三角形的内切圆半径为3cm，则它的边长是（）A.2cmB.34cm C.32cm D.3cm9.正十二边形的中心角等于度.10.已知正方形的外接圆半径为2，则这个正方形的边长为11.已知等边三角形的边长是4，则它的一边上的高是，外接圆半径是．12.如图，在△ABC 中，点P 是△ABC 的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=_________度.13.正六边形ABCDEF 的边长为2cm，点P 为这个正六边形内部的一个动点，则点P 到这个正六边形各边的距离之和为__________cm．第13题图第14题图14.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，从正面看如图所示，⊙O 与矩形ABCD 的边BD,AC 分别相切和相交(E,F 是交点)，已知EF=CD=8,则⊙O 的半径为___________。

【名师点睛】2016-2017年九年级数学上册同步提高讲义+练习第15课圆-与圆有关的位置关系

第15课与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系：、、。

2.三点定圆：3.三角形外接圆画法：4.直线与圆的位置关系：、、。

(1)(2)(3)5.切线的定义：6.切线的性质：7.切线的判定：【例1】在下图中,作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆,从中发现什么规律？【例2】如图，已知Rt△ABC中,∠C=900,AB=8，BC=4,圆O开始与C点重合.(1)若圆O与边AB始终有交点，求圆O的半径r取值范围;(2)若圆O的半径为2，沿CB方向运动，当圆O与AB相切时，求OC的长度.【例3】已知AB是⊙O的直径,点P在线段AB的延长线上,BP=OB=2,点Q在⊙O上,连接PQ．(1)如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切,求线段PQ的长；(2)如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C,且PC=CQ，求线段PQ的长．【例4】如图,⊙O的半径为4,B是⊙O外一点,连接OB,且OB=6,过点B作⊙O的切线BD,切点为D,延长BO交⊙O 于点A,过点A作切线BD的垂线,垂足为C．（1）求证:AD平分∠BAC；（2）求CD的长．【例5】如图,在以O为圆心的两个同心圆中,AB经过圆心O,且与小圆相交于点A,与大圆相交于点B.小圆的切线AC与大圆相交于点D,且CO平分∠ACB.（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系,并说明理由；（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系,并说明理由；（3）若AB=8㎝，BC=10㎝，求大圆与小圆围成的圆环的面积.1.在数轴上,点A表示的实数为3,点B表示的实数为a,⊙A半径为2,下列说法中不正确的是（）A.当a＜5时，点B在⊙A内B.当1＜a＜5时，点B在⊙A内C.当a＜1时，点B在⊙A外D.当a＞5时，点B在⊙A外2.列说法正确的是( )A.三点确定一个圆B.三角形的外心是三角形的中心C.三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点D.等腰三角形的外心在顶角的角平分线上3.下列说法不正确的是( )A.任何一个三角形都有外接圆B.等边三角形的外心是这个三角形的中心C.直角三角形的外心是其斜边的中点D.一个三角形的外心不可能在三角形的外部4.下列命题中的假命题是（）A.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B.三角形的外心到三角形三边的距离相等C.三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D.三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心5.下列图形一定有外接圆的是（）A．三角形B．平行四边形C．梯形D．菱形6.已知⊙O的半径为1,点P到圆心O的距离为d,若关于x的方程x2-2x＋d=0有实根，则点P( )A.在⊙O的内部B.在⊙O的外部C.在⊙O上D.在⊙O上或⊙O的内部7.Rt△ABC中,∠C=900,AC=2，BC=4，如果以点A为圆心,AC为半径作⊙A,那么斜边中点D与⊙O的位置关系是（）A.点D在⊙A外B.点D在⊙A上C.点D在⊙A内D.无法确定8.在△ABC中,∠C=900,AC=BC=4cm，D是AB边的中点,以C为圆心,4cm长为半径作圆,则A、B、C、D四点中在圆内的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个9.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,现以A为圆心,使B、C、D三点至少有一个在圆内,至少有一个在圆外,则⊙A的半径r的取值范围是第9题图第10题图10.如图,在△ABC中,BC=3cm,∠BAC=600,那么△ABC能被半径至少为 cm的圆形纸片所覆盖．11.如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD垂直于经过点C的直线DE，垂足为点D，AC平分∠DAB．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）连接BC，猜想∠ECB与∠CAB的数量关系，并证明你的猜想．1.已知⊙O的半径为4cm，A为线段OP的中点，当OP=7cm时，点A与⊙O的位置关系是（）A.点A在⊙O内B.点A在⊙O上C.点A在⊙O外D.不能确定2.如图,直线l与半径为5cm的⊙O相交于A、B两点,且与半径OC垂直,垂足为H.若AB=8cm,l要与⊙O相切，则l应沿OC所在直线向下平移（）A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm第2题图第3题图第4题图3.如图,PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点,若∠C=650,则∠P的度数为（）A.65°B.130°C.50°D.100°4.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=1200，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP 的度数为( )A.40°B.35°C.30°D.45°5.如图,已知点A,B在半径为1的⊙O上,∠AOB=60°，延长OB至C,过点C作直线OA的垂线记为l,则下列说法正确的是（）A.当BC等于0.5时,l与⊙O相离B.当BC等于2时,l与⊙O相切C.当BC等于1时,l与⊙O相交D.当BC不为1时,l与⊙O不相切第5题图第6题图6.如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、M两点，若点M的坐标是（-4,-2），则点N的坐标为（）A.（-1,-2）B.（1,2）C.（-1.5,-2）D.（1.5,-2）7.如图,△ABC中,∠ACB=900,D是边AB上的一点,E是BC上的一点,以EC为直径的⊙O经过点D,OA⊥CD于点F.（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若OF=1,BE=EO，求BD的长.8.如图，已知⊙O 的直径为AB ，AC ⊥AB 于点A ，BC 与⊙O 相交于点D ，在AC 上取一点E ，使得ED=EA ．（1）求证：ED 是⊙O 的切线．（2）当OA=3，AE=4时，求BC 的长度．9.如图，AB 、CD 为⊙O 的直径，弦AE ∥CD ，连接BE 交CD 于点F ，过点E 作直线EP 与CD 的延长线交于点P ，使∠PED=∠C ．（1）求证：PE 是⊙O 的切线；（2）求证：ED 平分∠BEP ；（3）若⊙O 的半径为5，CF=2EF ，求PD 的长．1.下图OA=OB=OC 且∠ACB=30°，则∠AOB 的大小是( )A.40°B.50°C.60°D.70°第1题图第2题图第3题图2.如图,点A 、B 分别在x 轴、y 轴上（OA>OB),以AB 为直径的圆经过原点O ，C 是弧AOB 的中点,连结AC ，BC. 下列结论:①AC=BC;②若OA=4,OB =2,则△ABC 的面积等于5;③若OA-OB=4,则点C 的坐标是（2,-2).其中正确的结论有（）A.3个B.2个C.1个D.0个3.如图,已知A 、B 两点的坐标分别为(﹣2，0)、(0，1)，⊙C 的圆心坐标为(0,﹣1),半径为1.若D 是⊙C 上的一个动点,射线AD 与y 轴交于点E,则△ABE 面积的最大值是（）A.3B.311C.310 D.44.如图,∠PAC=300,在射线AC 上顺次截取AD=3cm,DB=10cm,以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是 cm.5.已知Rt △ABC 的两直角边为a 和b ，且a ，b 是方程x 2－3x ＋1=0的两根，求Rt △ABC 外接圆面积．6.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交BC 于点E ．（1）求证：EB=EC ；（2）若以点O 、D 、E 、C 为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC 的形状，并说明理由．7.如图，已知P （0,1），⊙P 与x 轴交于A 、B 两点，AC 是⊙P 的直径，OA 、OD 的长是关于x 的方程02322=+-k kx x 的两根，且OA 2+OD 2=20.（1）求BC 的长；（2）求证：AD 是⊙P 的切线；（3）连结CD 交⊙P 于点E ，过点E 作⊙P 的切线交轴于点F ，求直线EF 的解析式.时间:20分钟满分:100分姓名: 得分:1.⊙O的半径为5，O点到P点的距离为6,则点P（）A.在⊙O内B.在⊙O外C.在⊙O上D.不能确定2.若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定3.直角三角形的两条直角边分别是12cm、5cm,这个三角形的外接圆的半径是（）A.5cmB.12cmC.13cmD.6.5cm4.若⊙A的半径为5,圆心A的坐标是(3,4),点P的坐标是(5,8),你认为点P的位置为（）A.在⊙A内B.在⊙A上C.在⊙A外D.不能确定5.如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D=40°，则∠A的度数为（）A.20°B.25°C.30°D.40°第5题图第6题图第7题图6.如图,AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C,若∠A=250,则∠D=（）．A．40° B．50° C．55°D．60°7.如图是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道,则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中心O为点)是（）A.2mB.3mC.6mD.9m8.判断题:⑴任意一个三角形一定有一个外接圆。

第16课正多边形(学生版)九年级数学上册《考点题型技巧》精讲与精练高分突破(浙教版)

第16课正多边形目标导航学习目标1.了解正多边形的概念.2.了解正多边形与圆的关系:任何一个正多边形都有一个外接圆.3.了解正多边形的般画法.4.会用尺规作正六边形.知识精讲知识点01 正多边形的相关概念1.正多边形：各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形；2.正多边形的对称性：任何正n边形都是轴对称图形，且对称轴有nn为偶数时，正n边形是中心对称图形.知识点01 正多边形与圆正多边形的外接圆，这个正多边形叫做圆的内接正多边形；3.任何正多边形都有一个外接圆；能力拓展考点01 正多边形的计算【典例1】在正五边形ABCD中，∠EAB＝∠B＝108°，EA＝AB＝BC，M、N分别是AB和BC的中点，连接AN、EM，相交于点O．（1）求证：AN＝EM；（2）求∠EON．【即学即练1】如图，正五边形ABCDE，连接对角线AC，BD，设AC与BD相交于O．（1）求证：AO＝CD；（2）判断四边形AODE的形状，并说明理由．分层提分题组A 基础过关练1．已知正多边形的一个外角为72°，则该正多边形的边数是（）A．5 B．6 C．8 D．102．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（）A．36°B．45°C．60°D．75°3．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为（）A．7 B．8 C．9 D．104．正八边形的中心角的度数为（）A．36°B．45°C．60°D．72°5．边长为4的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是（）A．B．2 C．2D．46．若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（）A．4 B．5 C．6 D．77．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（）A．7个B．8个C．9个D．10个8．一个正多边形的边长为6，它的内角和是外角和的2倍，则它的边心距是．9.如图，在正五边形ABCDE中，DF⊥AB．（1）求∠CDF的度数；（2）求证：AF＝BF．题组B 能力提升练10．如图，要拧开一个边长为a＝8mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）A．8mm B．16mm C．8mm D．4mm11．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H，若该圆的半径为12，则线段GH的长为（）A．6 B．C．D．812．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则＝．13．如图所示，已知正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AC，相交于点P．若⊙O的半径为1，则AC＝，∠APD＝度，△ABC的面积为．14．如图，已知正六边形ABCDEF中，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP+BP的值最小时，BP与HG的夹角（锐角）度数为．15．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．题组C 培优拔尖练16．如图所示，已知正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AC、BD，相交于点P．若⊙O的半径为1，以下结论错误的是．（填序号）①；②∠APD＝135°；③△ABC的面积为；④AB＝1．17．如图，边长为6的正方形ABCD内接于⊙O，点E是上的一动点（不与A，B重合，点F是上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，有以下结论：①OG＝OH；②△GBH周长的最小值为；③随着点E位置的变化，四边形OGBH的面积始终为9．其中正确的是．（填序号）18．已知，正方形ABCD内接于⊙O，点P是弧AD上一点，连接BP交AC于点E．（1）如图1，若点P是弧AD的中点，求证：CE＝CD；（2）如图2，若图中PE＝OE，求的值．19．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：P A＝PB+PC；（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究P A、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．。

北师版九年级上册数学同步精品讲义(最新版;可直接打印)

使四边形 AEDF 称为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是
．
3、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D，交 AB 于 E，F 在 DE 上，并且 AF=CE．（1）求证：四边形 ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时，四边形 ACEF 是菱形？请回答并证明你的结论．
①菱形的面积等于底乘高； ②菱形的面积等于对角线乘积的一半，对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来进行计算。
典例分析
例 1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）
A．对边相等
B．对角相等
C．对角线互相平分
D．对角线互相垂直
例 2、如图，四边形 ABCD 是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB 于 H，则 DH 等于（）
则线段 OE 的长等于（）
A．3cm
B．4cm
C．2.5cm
D．2cm
2、如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD=120°，点 E、F 分别在边 AB、BC 上，△BEF 与△GEF 关于直线 EF 对称，点 B 的对称点是点 G，且点 G 在边 AD 上．若 EG⊥AC，AB=6 ，则 FG 的长为．
E，连接 DF，则∠CDF 等于（）
A．75°
B．70°
C．60°
D．55°
3、如图，菱形 ABCD 中，∠A=60°，周长是 16，则菱形的面积是（）
A．16
B．16
C．16
D．8
4、如图，等边△ABC 沿射线 BC 向右平移到△DCE 的位置，连接 AD，BD，则下列结论： ①AD=BC=CE； ②BD，AC 互相平分； ③四边形 ACED 是菱形； ④四边形 ABED 的面积为 AB2．

北师版九年级数学上册同步培优讲义

第一节——全等三角形【知识要点】1．你能用数学符号叙述三角形全等的证明方法吗? 2．通过叙述你能总结出一些证明三角形全等的思路吗?3．通过证明三角形全等我们可以得到些什么?4．在遇到角平分线,高线,中线等时,你是如何构造辅助线得到三角形全等?【典型例题】# 例1 如图，已知正方形ABCD 中，E 为CD 上一点， F 为BC 延长线上一点，且CF CE =．（1）求证：BCE ∆≌DCF ∆（2）若 30=∠FDC ，求BEF ∠的度数．# 例2 如图，已知：BD ，CE 分别是ABC ∆的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 延长线上，BP=AC ，点Q 在CE 上，CQ=AB ．求证：（1）AP=AQ ；（2）AQ AP ⊥例3．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB=AC ， D 是斜边BC 的中点，E ，F 分别是AB ，AC 边上的点，且DF ED ⊥．若BE=12，CF=5，求DEF ∆的面积．ADFE CB例4 如图，在ABC ∆中，AC AB =，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 上的点，且,CE BD =B DEF ∠=∠．求证：DEF ∆是等腰三角形例5 如图，M 为BC 中点，BE ，CD 相交于点A ，43,21∠=∠∠=∠．求证：BMD ∆≌CME ∆例6 如图，已知：正ABC ∆ 的边长为a ，D 为 AC 边上的一个动点，延长AB 至E ，使BE=CD ，连接DE ，交BC 于点P （1）求证：DP=EP ．（2）若D 为AC 的中点，求BP 的长．例7 如图，在等腰直角ABC ∆中， 90=∠ACB ， D 是斜边AB 上任一点，CD AE ⊥于E ，CD BF ⊥，交CD 的延长线于F ，AB CH ⊥于H ，交AE 于G ，求证：BD=CG ．ABEP F DC AEC DB3M 1 2 4ADEBF* 例8 A ，B ，C 三个村庄在一条东西走向的公路沿线（如图），AB=2千米，BC=3千米，在B 村的正北方有一个D 村，测得 45=∠ADC ，今将ACD ∆区域规划为开发区，除其中4平方千米的水塘外，均作为建筑或绿化用地，试求：这个开发区的建筑及绿化用地的面积是多少平方千米？* 例9 如图，在等腰三角形ABC 中，延长边AB 到点D ，延长边CA 到点E ，连接DE ，恰有AD=BC=CE=DE ．求证： 100=∠BAC* 例10 如图，在ABC ∆中， 100=∠BAC ， AD=DC ， 1021=∠=∠，AD EN ⊥于点N ．求4∠的度数．大展身手一、选择题：# 1．如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且C B ∠=∠，那么补充下列一个条件后，仍无法判定ABE ∆≌ACD ∆的是（） A ．AE AD = B ．ADC AEB ∠=∠ C ．CD BE =D ．AC AB =# 2．如图，ABC ∆≌AEF ∆，AE AB =，E B ∠=∠，则对于结论：①AF AC =；②EAB FAB ∠=∠；③BC EF =；④FAC EAB ∠=∠，其中正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4# 3．如图所示，BDC ∆是将矩形纸片ABCD 的沿对角线 BD 折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形（） A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对# 4.如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，CD 与BE 相交于点O ，且AD=AE ，AB=AC ．若B ∠= 20，则C ∠=5．如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时梯子的倾斜角MCA ∠为75.如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为 b 米，梯子的倾斜角NCB ∠为45.则这间房子的宽 AB 是米．6．如图，以等腰ABC Rt ∆的斜边AB 为边向内作等边ABD ∆，连接DC ，以DC 为边作等边DCE ∆， B 、E 在CD 的同侧，若2=AB ，则BE= ．# 7.已知：ABC ∆（AC AB ≠）中，DE 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF//AB 交AE 于点F ，DF=AC ．求证：AE 平分BAC ∠# 8.如图，在ABC ∆中，AB=AC ，AD 是中线，BE=CF ．（1）求证：BDE ∆≌CDF ∆（2）当 60=∠B 时，过AB 中点G ，作AD GH ⊥，求证：AB GH 41=# 9.将一个长方形纸片ABCD 如图所示沿对角线AC 折叠，点B 落在E 点，AE 交DC 于F 点．已知AB=8cm, BC=4cm ，求：折叠后重合部分的面积．G E BDF H A BDFG CE10．如图，ABC ∆中，AB=AD ，AD 平分BAC ∠，CM 垂直AD 交AD 延长线于M ．求证：)(21AC AB AM +=11.如图，已知ABC ∆为等边三角形，AE=CD ，AD ，BE 相交于点P ，AD BQ ⊥于Q ，求证：BP=2PQ12．如图，在四边形ABCD 中，AB=2AD ，AC 平分.,BC AC BAD =∠ 求证：AD CD ⊥* 13．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，,60=∠BAD120=∠BCD ，求证：BC+CD=AC* 14．如图，在等边ABC ∆中，D ，E 分别在BC ，AC 边上，且AE=DC ，AD 与BE 相交于F ，.BE CF ⊥ 求AF ：BF 的值．小试锋芒姓名：成绩：# 1．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，AB DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别是E ，F ，且BE=CF ．求证：AB=AC# 2．如图，AD 为ABC ∆的角平分线，M 为BC 中点， ME//DA ，交BA 的延长线于E ．求证：)(21AC AB CF BE +==3．如图，已知：ABC ∆中，90,=∠=ACB BC AC ， D 是AC 上一点，BD AE ⊥，交BD 的延长线于E ，且BD AE 21=，求证：BD 是ABC ∠的角平分线．4．如图，在ABC ∆中，AD 为BAC ∠的平分线，AD BP ⊥，垂足为P ，已知AB=5，BP=2，AC=9，试证明C ABC ∠=∠3EADCBAE BDCF* 5.如图，在ABC ∆中，60=∠C ，AC ＞BC ，ABC ∆′, BCA ∆′, CAB ∆′都是ABC ∆形外的等边三角形，点D 在AC 上，且BC=DC ．（1）证明∆C ′BD ≌∆B ′DC ；（2）证明∆AC ′D ≌∆DB ′A ；（3）对ABC ∆，ABC ∆′，BCA ∆′，CAB ∆′，从面积大小关系上，你能得出什么结论？* 6.如图，在凸四边形ABCD 中， 30=∠ABC ，60=∠ADC ，AD=DC ，证明：222BC AB BD +=第二节——垂直平分线与角平分线【知识要点】1．你知道线段的垂直平分线如何运用尺规作图吗?从做法上你得到什么启示? 2．你知道如何运用尺规作图做已知角的平分线吗?从做法上你得到什么启示? 3．你能说明为什么三角形的外心和内心相交于一点吗?4．你能举出一些运用三角形外心和内心来解决实际生活问题的例子吗?【典型例题】# 例1 如图，AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC 于E ．若 ABC ∆的周长为28，BC=8，求BCE ∆的周长．ADEB# 例2 如图，AB ＞AC ，A ∠的平分线与BC 的垂直平分线DM 相交于D ，自D 作AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ．求证：BE=CF# 例3 如图，在ABC ∆中， 108=∠A ， AB=AC ，21∠=∠．求证：BC=AC+CD# 例4 如图，AB=AC ，C B ∠=∠，BAC ∠的平分线AF 交DE 于F ．求证：AF 为DE 的垂直平分线．例5 如图，P 为ABC ∆的BC 边的垂直平分线PG 上一点，且A PBC ∠=∠21．BP ，CP 的延长线分别交AC ，AB 于点D ，E ．求证：BE=CD例6 如图，在ABC ∆中，C ABC ∠=∠3，21∠=∠，BD AD ⊥．求证：AC=AB+2BDCGAEBDP AE FBDC例7 如图，已知AD 是ABC ∆中A ∠的平分线，DE//AC 交AB 于E ，DF//AB 交AC 于F ．求证：点E ，F 关于直线AD 对称* 例8 如图，在ABC ∆中，AB ＞BC ，60=∠B ，BAC ∠，ACB ∠的平分线交于点G ．（1）图中是否有相等的线段？若有，请写出相等的线段，并证明．（2）图中线段AC 是否等于其他两条线段的和？若有，请写出等式，并证明；若无，请说明理由．* 例9 如图，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆ 是顶角 120=∠BDC 的等腰三角形，以D 为顶点作一个 60角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连接 MN ，形成AMN ∆．求证：AMN ∆的周长等于2* 例10 设ABC ∆的外心为O ，在其边AB 和BC 上分别取点M 和点N ，使得AOC MON ∠=∠2．求证：MBN ∆的周长不小于边AC 的长．AEBDCF大展身手姓名：成绩：# 1．如图，已知AC 平分PAQ ∠，点B ，B ′分别在边 AP ，AQ 上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB ′，那么该条件可以是（） A ．B B ′⊥ACB ．BC= B ′CC ．ACB ∠=AC ∠ B ′D ．ABC ∠=∠A B ′C# 2．M ，N ，A ，B 是同一平面上的四个点，如果MA=MB ，NA=NB ，则点、在线段的垂直平分线上．# 3．设线段AB 的垂直平分线MN 交AB 于点C ，P 是MN 上不同于点C 的一点，那么PAB ∆是三角形，PC 是PAB ∆的线、线和．．# 4．在ABC ∆中，E 为BC 中点，BC DE ⊥交AB 于点D ，若 25=∠B ，AD=CD ，则 25=∠B ，AD=CD ，则ADC ∠ ，ACB ∠= ．# 5．在ABC ∆中，AB=AC ，DE 是AB 边的中垂线，垂足为E ，交AC 于D ．若BDC ∆的周长为24，AB=14，则BC= ；若 40=∠A ，则DBC ∠= ．# 6．在ABC ∆中，120=∠BAC ．PM 为AB 边的中垂线，垂足为M ，交BC 于P ；QN 为AC 边的中垂线，垂足为N ，交BC 于Q ，则PAQ ∠= ，或BC=9cm ，则APQ ∆的周长为 cm.# 7．在ABC ∆中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，已知100=∠BDC ．则A ∠的度数为．# 8．在ABC ∆中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，过D 作 EF ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，若AB=6，AC=5，则AEF ∆ 的周长为．# 9．如图，在ABC Rt ∆中， 90=∠C ，BE 平分ABC ∠，交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，且DE=1cm ，则AC= cm.10．如图，P 为正方形外一点， 15=∠=∠PBC PAD ，求证：PDC ∆为等边三角形．11．在ABC ∆中，AC BC B C 2,2=∠=∠．求A ∠的度数．12．如图，在ABC ∆中，ABC ∠的平分线与ACB ∠ 的外角平分线相交于点D ，过D 作DE ∥BC ，分别交 AB ，AC 于E ，F ．求证：EF=BE-CF13．如图，在ABC ∆中，AB=AC ， 36=∠A ，21∠=∠，E 为AB 中点，ED 、BC 延长线交于点F ．求证：AB=CF* 14．如图，ABC ∆中，21∠=∠，AB=2AC ，DA=DB ．求证：AC ⊥CD* 15．如图，在ABC ∆中，90=∠ABC ，60=∠ACB ，BAC ∠和ABC ∠的平分线AD ，BE 相交于点F ．求证：EF=DF* 16．A ，B 两港在大湖南岸，C 港在大湖北岸．A ，B ，C 三港恰为一等边三角形的三个顶点．A 港的甲船与B 港的乙船同时出发都沿直线向C 港匀速行驶，当乙船行驶出40千米时，甲、乙两船与C 港位置恰是一个直角三角形的三个顶点；而当甲船行驶达C 港时，乙船尚距C 港20千米．问：A ，B 两港之间的距离是多少千米？ABFE GCDH第二节——平行四边形和梯形【知识要点】1．你所了解的平行四边形的边线角具有怎样的性质吗？2．我们是否可以根据平行四边形的性质来判定四边形为□？你总结了一定的规律没有？ 3．回想一下常见梯形的辅助线做法，你能说明每种辅助线的用处吗？ 4．三角形，梯形的中位线告诉我们怎样的数量或位置关系？ 5．与梯形有关的动点问题如何解决？【典型例题】# 例1 如图，已知：梯形ABCD 中，AB ∥DC ， E 是BC 中点，AE ，DC 的延长线相交于点F 。

人教版九年级数学上培优讲义精编

⼈教版九年级数学上培优讲义精编⼀元⼆次⽅程概念、解法、根的判别式（讲义）⼀、知识点睛1. 只含有___________________的整式⽅程，并且都可以化成_______________（____________________）的形式，这样的⽅程叫做⼀元⼆次⽅程．思考次序：______________、__________、_______________．2. 我们把____________________（____________________）称为⼀元⼆次⽅程的_______形式，其中____，____，____分别称为⼆次项、⼀次项和常数项，_____，_____分别称为⼆次项系数和⼀次项系数．3. 解⼀元⼆次⽅程的思路是设法将其转化成________________来处理．主要解法有：________________，________________，_____________，_____________等．4. 配⽅法是配成_______公式；公式法的公式是_____________；分解因式法是先把⽅程化为___________________________的形式，然后把⽅程左边进⾏____________________，根据_________________________，解出⽅程的根．5. 通过分析求根公式，我们发现___________决定了根的个数，因此_________被称作根的判别式，⽤符号记作_________；当__________时，⽅程有两个不相等的实数根（有两个解）；当__________时，⽅程有两个相等的实数根（有⼀个解）；当__________时，⽅程没有实数根（⽆根或⽆解）．⼆、精讲精练1. 下列⽅程：①3157x x +=+；②2110x x+-=；③25ax bx -=（a ，b 为常数）；④322=-m m ；⑤202y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为⼀元⼆次⽅程的是____________．2. ⽅程221x =-的⼆次项是________，⼀次项系数是____，常数项是______．3. 若关于x 的⽅程21(1)230m m x x +-+-=是⼀元⼆次⽅程，则m 的值为___________．4. 若⽅程01)1(2=-+-x m x m 是关于x 的⼀元⼆次⽅程，则m 的取值范围是（） A ．m =0B ．m ≠1C ．m ≥0且m ≠1D ．m 为任意实数 5. 若x =2是关于x 的⽅程230x x a -+=的⼀个根，则2a -1的值是（）A ．2B ．-2C ．3D ．-36. ⼀元⼆次⽅程2(4)25x +=的根为（）A ．x =1B ．x =21C ．x 1=1，x 2=-9D ．x 1=-1，x 2=97. 关于x 的⽅程210x kx --=的根的情况是（）A ．⽅程有两个不相等的实数根B ．⽅程有两个相等的实数根C ．⽅程没有实数根D ．根的情况与k 的取值有关8. 如果关于x 的⽅程220x x m -+=（m 为常数）有两个相等的实数根，那么m =_________．9. 若⼀元⼆次⽅程22(4)60x x kx -+-+=⽆实数根，则k 的最⼩整数值是________． 10. ⽤配⽅法解⽅程：（1）2210x x --=；（2）210x x +-=；解：22____x x -=，22___1___x x -+=+，()2___________=，_______=_____， x =∴1x = ，2x =（3）23920x x -+=；（4）24810x x --=；（5）20ax bx c ++=（a ≠0）．11. ⽤公式法解⽅程：（1）23100x x +-=；（2）22790x x --=；解：a =___，b =___，c =___，∵24b ac -=________=________>0∴ x ==∴1x = ，2x =（3）21683x x +=；（4）2352x x -+=-．12. ⽤分解因式法解⽅程：（1）(54)54x x x +=+；（2）(1)(8)12x x ++=-；解：( _____ )(54)0x +=， _______=0或_______=0，∴1x = ，2x =（3）22(2)(23)x x -=+；（4）29x -=；（5）2(21)10kx k x k -+++=（k ≠0）．13. 阅读题：解⽅程的关键是设法将其转化为⼀元⼀次⽅程，转化的思路是“多元消元、⾼次降次”，换元法是降次的常⽤⼯具．例解⽅程：42320x x -+=．解：设2y x =，则2320y y -+=，解得，11y =，22y =．当21x =时，11x =，21x =-；当22x =时，3x =，4x =故原⽅程的解为11x =，21x =-，3x =4x = 仿照以上作法求解⽅程：222(5)2(5)240x x x x +-+-=．三、回顾与思考_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】⼀、知识点睛1. ⼀个未知数x ；20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）；整式⽅程、化简整理、⼀元⼆次．2. 20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）；⼀般；2ax ，bx ，c ；a ，b ．3. ⼀元⼀次⽅程；直接开平⽅法，配⽅法，公式法，分解因式法．4. 完全平⽅；2402b x b ac a（）-=-≥；20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）；分解因式；若ab =0，则a =0或b =0．5. 24b ac -；24b ac -；Δ；Δ>0；Δ=0；Δ<0．⼆、精讲精练1．④⑤； 2．22x ，1-； 3．1-； 4．C ； 5．C ；6．C ；7．A8．1；9．210．（1）2210x x --= 解：221x x -=，22111x x -+=+，()212x -=，1x -=，1x =±∴1x =121x =．（2）1x =，2x =．（3）196x =，2x =．（4）122x =，222x =．（5）12b x a -=，22b x a--=（24b ac -≥0）．11．（1）23100x x +-= 解：a =1，b =3，c =-10，∵24b ac -=()23410-?-=49>0∴ 3 2x -==3 72-± ∴1x =2，2x =-5．（2）11x =-，292x =．（3）114x =，234x =-．（4）113x =-，22x =．12．（1）(54)54x x x +=+ 解：( 1 )(54)0x x -+=，1x -=0或54x +=0，∴1x =1，2x =45-．（2）14x =-，25x =-．（3）113x =-，25x =-．（4）1x =2x =．（5）11k x k+=，21x =． 13．222(5)2(5)240x x x x +-+-= 解：设25y x x =+，则22240y y --= 解得：1264y y ==-，当256x x +=时，1261;x x ，=-= 当254x x +=-时，3414;x x ，=-=-故原⽅程的解为12346114x x x x =-==-=-，，，概念、解法、根的判别式（随堂测试）1. 已知关于x 的⽅程22(1)40m m mx m x -+---=是⼀元⼆次⽅程，则m 的值为__________．2. 已知x =a 是⼀元⼆次⽅程2350x x --=的⼀个根，则代数式23a a -=————．3. ⽤你认为合适的⽅法解⽅程：（1）2410x x --=；（2）2(32)(1)(32)x x x x -=--；（3）2280x x --=；（4）23440x x --=．【参考答案】1．12．53．（1）12x =22x =（2）11x =-，223x =；（3）12x =-，24x =；（4）12x =，223x =-．概念、解法、根的判别式（作业）1. 已知x =1是关于x 的⼀元⼆次⽅程2(1)10m x x -++=的⼀个根，则m 的值是（） A ．-3B ．-1C ．1D ．32. ⽤配⽅法解⼀元⼆次⽅程2890x x -+=，配⽅得2()x m n +=，则m ，n 的值分别为（） A ．4，7B ．4，-7C ．-4，7D ．-4，-73. 关于x 的⽅程22210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是（）A ．k 为任何实数，⽅程都没有实数根B ．k 为任何实数，⽅程都有两个不相等的实数根C ．k 为任何实数，⽅程都有两个相等的实数根D ．根据k 的不同取值，⽅程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种4. 下列⽅程：①21213x x -=；②230y xy y -+=；③2710y +=；④213x =；⑤22(1)23x x x -=-；⑥20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，且a ≠0）．其中是⼀元⼆次⽅程的是____________．5. ⽅程(1)(21)2x x-+=化成⼀般形式是______________，它的⼆次项是________，⼀次项系数是______，常数项是______．6. 已知关于x 的⽅程22(1)(1)20m x m x -+--=，当m _____时，⽅程为⼀元⼆次⽅程；当m ______时，⽅程为⼀元⼀次⽅程．7. 若m 是⽅程220x x --=的⼀个根，则代数式2m m -=_____． 8. ⽅程3(1)22x x x -=-的解为____________．9. 若关于x 的⼀元⼆次⽅程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______． 10. ⽤配⽅法解⽅程：（1）2440x x --=；（2）2214x x -=．11. ⽤公式法解⽅程：（1）230x x --=；（2）22750x x --=．12. ⽤分解因式法解⽅程：（1）(1)(2)24x x x ++=+；（2）(2)(3)12x x --=．13. ⽤你认为合适的⽅法解⽅程：（1）2240x x --=；（2）2310x x --=；（3）2+3280x x -=；（4）2(21)10mx m x m ---+=（m ≠0）．14. 阅读题：解⽅程的关键是设法将其转化为⼀元⼀次⽅程，转化的思路是“多元消元、⾼次降次”，分解因式是降次的⼀种⼯具．例解⽅程：3234120x x x --+=．解：原⽅程可化为：2(3)4(3)0x x x ---= 2(3)(4)0x x --=(3)(2)(2)0x x x -+-=∴x 1=3，x 2=-2，x 3=2．仿照以上作法求解⽅程：3244160x x x +--=．【参考答案】1．B2．C3．B4．③④⑥5．2230x x --=，22x ，1-，3-6．1m ≠±，=1m -7．28．12213x x ==-，9．k >-1且0k ≠10．（1）1222x x =+=-（2）12x x ==．11．（1）121122x x ==；（2）12x x == 12．（1）1221x x =-=，；（2）1216x x =-=，；13．（1）1211x x ==（2）12x x ==；（3）1247x x ==-，；（4）1211m x x m-==，； 14．123224x x x ==-=-，，．⼀元⼆次⽅程根与系数关系及应⽤题（讲义）⼀、知识点睛1．从求根公式中我们发现12x x +=_______，12x x ?=_________，这两个式⼦称为_____________，数学史上称为___________．注：使⽤___________________的前提是_________________．2．⼀元⼆次⽅程应⽤题的常见类型有：①______________；②______________；③______________．增长率型例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）；1⼈患了流感，经过两轮传染．经济型例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3．应⽤题的处理流程：①理解题意，辨析类型；②梳理信息，建⽴数学模型；③求解，结果验证．⼆、精讲精练1. 若x 1，x 2是⼀元⼆次⽅程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ?的值分别是（） A ．7，4B ．72-，2C ．72，2D ．72，-22. 若x1=2是⼀元⼆次⽅程210x ax ++=的⼀个根，则该⽅程的另⼀个根x 2=_________，a =________．3. 若关于x 的⽅程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范围是____________________．4. 若关于x 的⽅程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是m =________．5. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价256元．设平均每次降价的百分率为x ，则下⾯所列⽅程正确的是（）A ．2289(1)256x -=B ．2256(1)289x -=C ．289(12)256x -=D ．256(12)289x -= 6. 据调查，某市2013年的房价为6 000元/⽶2，预计2015年将达到8 840元/⽶2，求该市这两年房价的年平均增长率．设年平均增长率为x ，根据题意，所列⽅程为_______________．7. 有⼀⼈患了流感，经过两轮传染后共有121⼈患了流感，则每轮传染中平均⼀个⼈传染了________________个⼈．8. 若x 1，x 2是⽅程22430x x +-=的两个根，不解⽅程，求下列各式的值．（1）1211x x +；（2）2212x x +．解：由原⽅程知a =_____，b =_____，c =_____，2Δ4 0b ac _____=-==∵∴12x x += ，12x x ?= ．（1）原式== =9. 已知关于x 的⽅程2(1)20m x x ---=．若x 1，x 2是该⽅程的两个根，且22121218x x x x +=-，求实数m 的值．10. 如图，在⼀块长92 m ，宽60 m 的矩形耕地上挖三条⽔渠（⽔渠的宽都相等），若⽔渠把耕地分成⾯积均为885 m 2的6个矩形⼩块，则⽔渠应挖多宽？11.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元，据此规律，请回答：（1）商场⽇销售量增加______件，每件商品盈利_____元（⽤含x的代数式表⽰）；（2）在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场⽇盈利可达到2 100元？【分析】12.某商店将进价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可销售200件．现在采⽤提⾼商品售价减少销售量的办法增加利润，并尽量使顾客得到实惠，如果这种商品的售价每提⾼0.5元其销售量就减少10件，则将每件售价定为多少元时，才能使每天的利润达到640元？【分析】13.我市⾼新技术开发区的某公司，⽤320万元购得某种产品的⽣产技术后，进⼀步投⼊资⾦880万元购买⽣产设备，进⾏该产品的⽣产加⼯，已知⽣产这种产品每件还需成本费40元．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件，调查表明：在100~200元范围内，新产品的销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．为了实现年获利240万元，产品的销售单价应定为多少元？（年获利=年销售额-⽣产成本-投资成本）【分析】解：Array三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________⼀、知识点睛1. b ca a，-；根与系数的关系；韦达定理；韦达定理，Δ0≥．2. ①增长率型；②⾯积型；③经济型．⼆、精讲精练 1．D 2．2，-43．12a <≤4．2±5．A6．6000(1+x )2=88407．108．解：由原⽅程知： a =2，b =4，c =-3，()22Δ4446400b ac =-=-?-=＞∵∴122x x +=-，1232x x ?=-．（1）原式121224332x x x x +-===-；（2）7 9．5m = 10．⽔渠应挖1m 宽．11．50x -（2）每件商品降价20元时，商场⽇盈利可达到2 100元． 12．13．产品的销售单价应定为120元．⼀元⼆次⽅程根与系数关系及应⽤题（随堂测试）1. 先验证⽅程22410x x --=有两个实数根1x ，2x ，然后不解⽅程，求下列各式的值．（1）12(1)(1)x x ++；（2）2212x x +．2. 某商场将进货单价为30元的台灯以40元售出，平均每⽉能售出600个．调查表明：在40~60元范围内，这种台灯的销售单价每上涨1元，其销售量将减少10个，为实现平均每⽉10 000元的销售利润，这种台灯的销售单价应定为多少元？【分析】解：【参考答案】1．∵2Δ(4)42(1)240=--??-=>，∴⽅程22410x x --=有两个实数根1x ，2x ．（1）52；（2）5；2．这种台灯的销售单价应定为50元．⼀元⼆次⽅程根与系数关系及应⽤题（作业）1. 某品牌服装原售价为173元，经过连续两次降价后售价为127元，设平均每次降价x %，则所列⽅程为_______________．2. ⼩丽要在⼀幅长为80 cm ，宽为50 cm 的矩形风景画的四周外围镶上⼀条宽度相同的⾦⾊纸边，制成⼀幅矩形挂图，使整幅挂图的⾯积是5 400 cm 2，设⾦⾊纸边的宽度为x cm ，则x 满⾜的⽅程是_______________．3. ⼀种商品经连续两次降价后，价格是原来的14，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为_______________． 4. 若1x ，2x 是⼀元⼆次⽅程23540x x --=的两个根，则12x x +与12x x ?的值分别是_____________．5. 若关于x 的⽅程2250x x a -+-=有两个正根，则a 的取值范围是_______________．6. 设1x ，2x 是⽅程23620x x +-=的两个根，利⽤根与系数的关系，求下列各式的值．（1）12(1)(1)x x ++；（2）221212x x x x +；（3）1211x x +；（4）212()x x -．7. 某市为争创全国⽂明卫⽣城市，2012年市政府对市区绿化⼯程投⼊的资⾦是2000万元，2014年投⼊的资⾦是2 420万元，且从2012年到2014年，每年投⼊资⾦的年平均增长率相同．（1）求该市政府对市区绿化⼯程投⼊资⾦的年平均增长率；（2）若投⼊资⾦的年平均增长率不变，那么该市政府在2016年需投⼊多少万元？8. ⼩明家有⼀块长为8 m ，宽为6 m 的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造⼀个花园，并使花园⾯积为空地⾯积的⼀半．⼩明设计了如下的两种⽅案供妈妈挑选，请你选择其中的⼀种⽅案帮⼩明求出图中的x 值．⽅案⼀9. 某商店进购某种商品出售，若按每件盈利2元售出，每天可售出200件．现在采取提⾼商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的售价每提⾼0.5元，其销售量就减少5件，则将每件商品提⾼多少元出售时，才能使每天的利润为1 210元？10. 汽车站⽔果批发市场经销⼀种⽔果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克这种⽔果在原售价的基础上每涨价1元，⽇销售量将减少20千克．如果市场每天销售这种⽔果盈利了6 000元，同时顾客⼜得到了实惠，那么每千克这种⽔果盈利了多少元？【参考答案】1．2173(1%)127x -=2．()()5028025400x x ++=3．50%4．5433-，5．4158a <≤． 6．（1）53-；（2）43；（3）3；（4）203．7．（1）10%；（2）2 928.2万元．8．⽅案⼀中2x =，⽅案⼆中2x =．9．将每件商品提⾼9元出售时，才能使每天的利润为1 210元． 10．每千克这种⽔果盈利了15元．⼆次函数表达式、图象、性质及计算（讲义）⼀、知识点睛1．⼀般地，形如__________________（_______________）的函数叫做x 的⼆次函数． 2．表达式、图象及性质：①⼀般式___________________通过_____________可推导出顶点式_____________．②⼆次函数的图象是_________，是________图形，对称轴是__________，顶点坐标是_____________．③当a_________时，函数有最_____值，是____________；当a_________时，函数有最_____值，是____________．④当a _____时，图象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增⼤⽽_______，当x______时，y 随x 的增⼤⽽_______；当a_____时，图象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增⼤⽽_______，当x______时，y 随x 的增⼤⽽__________．⑤a ，b ，c 符号与图象的关系a 的符号决定了抛物线的开⼝⽅向，当_____时，开⼝向____；当_____时，开⼝向____． c 是抛物线与_______交点的______．b 的符号：与a_____________，根据_____________可推导． 3．⼆次函数图象平移①⼆次函数图象平移的本质是__________，关键在______．②图象平移⼝诀：________________、________________．平移⼝诀主要针对⼆次函数_________________．⼆、精讲精练1. 下列函数（x ，t 是⾃变量）是⼆次函数的有________．（填写序号）①2132y x x =--；②2123y x x =-+；③2132y x =-+；④222y x =+；⑤2y x =-；⑥231252y x x =-+；⑦215s t t =++；⑧220x y -+=．2. 若函数72)3(--ax a y =为⼆次函数，则a =（） A ．-3B ．3C ．±3D ．5。

人教版数学九年级上册第一单元培优讲义(附答案)

九年级上册数学培优讲义专题01 配方法的综合应用——完全平方式的非负性【专题解读】配方法的实质是利用完全平方公式a 2+2ab +b 2=(a +b)2或a 2−2ab +b 2=(a −b)2进行运算，主要考察如何把一个代数式转化为完全平方式，包括各项系数之间的关系。

同时，由于完全平方数的非负性，可以延展出求代数式最值或证明代数式的正负性等问题，甚至可以结合比较两个代数式的大小等知识点进行考察。

【例题讲解】例1. 求代数式5822+-x x 的最小值是__________.解：先把代数式进行变形，得 3)2(258222--=+-x x x当2=x 时，此代数式取得最小值3-.例2. 求证：无论a 取何值，代数式622---a a 的值恒为负数．证明：先把代数式进行变形，得 5)1(6)112(62222-+-=--++-=---a a a a a因为0)1(2≥+a ，所以0)1(2≤+-a ，则05)1(2<-+-a ，命题得证。

例3. 若962++=a a A ，642-+-=b b B ；求证：无论a ，b 为何值，总有A ＞B . 证明： 2)2()3(244)3()64(96222222+-++=++-++=-+--++=-b a b b a b b a a B A因为0)3(2≥+a ,0)2(2≥-b ,所以2)2()3(22+-++=-b a B A ，即B A >，命题得证。

例4. 若已知0102622=+-++b b a a ，则a 的值为________，b 的值为_________. 解：0)1()3(12961026222222=-++=+-+++=+-++b a b b a a b b a a因为0)3(2≥+a ，0)1(2≥-b ，所以0)3(2=+a ，0)1(2=-b ，解得3-=a ，1=b .【同步练习】1. 求代数式1062+-x x 的最小值是__________.2. 求代数式1422+--x x 的最大值是__________.3. 如果多项式122+-mx x 是完全平方式，则m 的值为_________.4. 若方程01)1(252=+--x k x 的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为_________.5. 已知0)1(222=+-++b a b a ，则b a +的值为_________.6. 已知054222=++-+y x y x ，则2021)(y x +的值为_________.7. 利用配方法解方程： 0342=-+x x01422=--x x01432=-+x x1)2)(1(=++x x8. 求证：无论x 取何值，代数式30102+-x x 的值恒为正数．9. 若22332b ab a M -+=，2422--+=b ab a N ；求证：无论a ，b 为何值，总有M ＞N .专题02 一元二次方程的解法——选择最优的解法【专题解读】解一元二次方程的方法主要包括：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。

专题24.1.2 圆(二)(讲)-2016-2017学年九年级数学同步精品课堂(提升版)(解析版)

【教学目标】1.探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．3.在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程．4.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神．5.使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．【教法指导】本节重点是垂直于弦的直径所具有的性质以及证明；难点是利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题.本节知识的主要学习方法是：动手与观察，思考与交流，归纳与总结。

加强新旧知识之间的联系，培养自己分析问题、解决问题的能力，从而获得学习数学的方法。

【教学过程】☆情境引入☆1.(思考)如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（精确到 0.1 m）．☆探索新知☆〖探究活动〗请拿出准备好的圆形纸片，沿着它的直径翻折，重复做几次，你发现了什么？由此你能猜想哪些线段相等？哪些弧相等？【教师释疑】1. 圆的对称性①圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。

圆有无数条对称轴。

②圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

③圆还有旋转不变性。

利用圆的对称性，必然会得出以下结论：AP=PB，；．•这就是垂径定理．它用文字语言可表述为：垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧．其实以下内容也是成立的：（1）平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的两条弧的直径，垂直平分弦；（3）弦的垂直平分线，必过圆心且平分弦所对的两条弧．【例题讲解】题型一:定理的辨析例1．看下列图形，是否能使用垂径定理？【分析】本题主要是要看所给的图形能否应用垂径定理.【点评】本题考查了对垂径定理适用图形的认识，要掌握垂径定理的相关内容.【总结】要掌握垂径定理的相关内容，能从不同的图形中辨析出能否应用垂径定理及其相关的内容来解答.变式训练：1.看下列图形，是否能使用垂径定理？题型二：定理的应用例2.已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE 即可得出结论．【解析】（1）如答图，过点O作OE⊥AB于点E，∵AE=BE，CE=DE，∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD.【点评】过圆心向弦做垂线，利用垂径定理：垂直于弦的直径平分弦这一性质来解决一系列类似问题。

~$《课堂点睛》2016年秋九年级数学上册(北师大版)教师用书：导学案(PDF版) (1)

则菱形 A ３ �� 菱形 A B C D 的边长为３ B C D 的周长为㊀ c m,
( ) ; 对称轴是㊀菱形有㊀㊀条对称轴 , １ ( ) 菱形的四条边都㊀２㊀; ( ) ; 菱形的两条对角线㊀并且每一条对角线平分㊀３
．
．
( ) 菱形的周长 ; １ ( ) ２ O E 的长．
)
��