2012届高考数学第二轮备考复习：由数列的前n项和与通项的关系求通项
数列的通项与shulie前n项的和的关系
数列的通项与数列前n 项和的关系 ◎ 本溪市机电工程学校 鲁敏 （117000）【内容概要】 数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n s 的关系是n n a a a s +++= 21.本文是研究数列的前n 项和n s 与通项n a 更直接的关系. 【关键词】通项n a 前n 项和n s 关系一. 已知数列{}n a 的前n 项和为n s .则⎩⎨⎧>-==-.1,1,11n s s n s a n n n例1.(浙江2012高考) 已知数列{}n a 的前n 项和为n s ,且n s =n n +22.求n a . 解:1--=n n n s s a =( n n +22)-[)1()1(22-+-n n ]=14-n (*N n ∈) 例2(.全国大纲2012高考) 数列{}n a 中11=a ,前n 项和n s =n a n 32+.求数列{}n a 的通项公式.解：∵1--=n n n s s a =132132-+--+n n a n a n .∴111-+=-n n a a n n .累乘得12)1(1⋅⋅+=n n a a n∴2)1(+=n n a n (*N n ∈).二. 等差数列n 项的和n s 与通项n a 的关系 1. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n s .有2)(1n n a a n s +=2. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,则=-12n s n a n 212-解:n nn n a n a n a a n s 21222)12(2))(12(12112-=⋅-=+-=--.3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,等差数列{}n b 的和n T .若dcn b an T S nn ++=则nn b a =1212--n n T S .解:由2得1212--n n T S =nnb n a n 212212--=nn b a .例3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,等差数列{}n b 的和n T .若2312++=n n T S nn .求55b a解: 55b a =291929319299=+⨯+⨯=T S .4. 设等差数列的项数n 为奇数。
高三数学第二轮复习专题 数列数列通项的求法(教案及测试;含详解答案)
城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法考纲要求：1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式；3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项；4. 掌握n n s a 求的一般方法和步骤.考点回忆：回忆近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考察，往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识，因此，假设这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的. 根底知识过关： 数列的概念1.按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n 项……，数列的一般形式可以写成12,n a a a …………，其中是数列的第n 项，我们把上面数列简记为. 数列的分类：1.根据数列的项数，数列可分为数列、数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为数列、数列、数列、 数列.数列的通项公式：1.假设数列{}n a 的可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数. 递推公式; 1.假设数列{}n a 的首项〔或者者者前几项〕，且任意一项1n n a a -与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 数列与函数的关系：1.从函数的观点看，数列可以看成以为定义域的函数()na f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)…… 答案： 数列的概念 1.顺序项序号首项n a {}n a数列的分类 1.有限无限 2.递增递减常摆动 数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系n a =f(n)解析式 递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*〔或者者它的有限子集{}1,2,3,n ……〕高考题型归纳：题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最根本的方法，其本质就是通过观察数列的特征，找出各项一一共同的构成规律，横向看各项之间的关系构造，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1.数列12，14，58-，1316，2932-，6164，…．写出数列的一个通项公式．分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律．解析：先看符号，第一项有点违犯规律，需改写为12--，由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n-；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是{2}n；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小３，即{23}n -． 所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-． 点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可. 题型2.定义法求通项直接利用等差数列或者者等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于数列类型的题目．例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.分析：对于数列{}n a ，是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可.解析：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d，∴d a =1………………………………①∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式，从而求出na 。
专题四 求数列的通项及前n项和 高考全国通用理科数学二轮复习课件
(5)并项求和法:把数列的两项(或多项)组合在一起,重新构成一个数列再求
和,适用于正负相间排列的数列求和.
(6)常用裂项结论
1
①(+)
=
1
1 1
+
1
②(2-1)(2+1)
1
③(+1)(+2)
④
1
+ +
=
;
=
1
1
1
- 2+1
2 2-1
1 1
= (2 3
1
3
+ −
1
1
+…+
5
2-1
1
(2-1)(2+1)
−
=
1
1
(
2 2-1
−
−
1
)
2+1
1
1
1
)= ()
.
2+1 2 2+1 2+1
1
),
2+1
解题心得1.若条件等式中含有an,Sn的关系式,或已知条件中含有数列通项
的较为复杂的关系式,条件转化的常用方法是由已知关系式再推出一个关
(1)求an;
(2)求
1
+1
的前 n 项和 Tn.
解 (1)令n=1,得a1b1=3+(2-3)×2=1,所以b1=1.
令n=2,得a1b1+a2b2=7,
2
所以a2b2=6.又因为b2=3,所以a2=2.设数列{an}的公比为q,则q=
=2,所以
1
an=2n-1.
2012届高考数学数列求通项公式和及求和
专题补充：数列求通项公式和及求和一、 通项公式二、数列求和补充：222233(1)(21)(1)2,264n n n n n nn++++++=+++=2311典型例题一．通项类型1：等差求通项思想：叠加求通项，用于11()()nn n n a a f n a a f n ---=⇔=+型；例1：（03全国19）已知数列|n a |满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n （I ）求;,32a a （II ）证明：213-=nn a变式1：（08四川）设数列{}a n 中，12a =，11n n a a n +=++，则通项a n = 变式2：(08江西5)在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =（ ）A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++类型2：等比求通项思想：叠乘求通项，用于11()()n n n n a f n a a f n a --=⇔=⋅型；例2：在数列{}n a 中，111,(2),1n n a n a n a n -==≥-则?n a =变式1：设{}n a 是首项为1的正项数列，1221(1)0(1,2)n n n n n a na a a n +++-+== 则它的通项公式是n a =_____变式2：在数列{}n a 中，已知211,,n n a S n a ==求通项n a ；类型3： 已知n S 求通项na ：{112,1n n s s n ns n a --≥==，例3：（07福建21）数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ．变式1：(09全国 19）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，142n n S a +=+．（Ⅰ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；变式2：(07重庆）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足11S >，6(1)(2)n n n S a a =++ n ∈N ．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足(21)1n bn a -=，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求证：231log (3)n n T a n ->+∈N ，． 变式3：若2log (1)n S n +=，则?n a =例4：（06重庆）在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =___变式1：（08四川21）已知数列{}a n 的前n 项和,22nn n S a =- (Ⅰ)求34a a 、；(Ⅱ)证明：数列{}12a a n n +-是一个等比数列. (Ⅲ)求{}a n 的通项公式.变式2：(06福建22）已知数列{}n a 满足12211,3,3n n a a a a ++===2n a -,*()n N ∈, （I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （II ）求数列{}n a 的通项公式；例5： （08全国19）在数列{}n a 中，11a =，122nn n a a +=+．求数列{}n a 的前n 项和n S ．变式1：（08四川21）已知数列{}a n 的前n 项和,22nn n S a =-(Ⅰ)求34a a 、； (2)求{}a n 的通项公式.例6：（08全国19）在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+．（Ⅰ）设12n n n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．变式1：（08天津20）已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-，(20)n q ≠≥，．（Ⅰ）设1()n n n b a a n +=-∈*N ，证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；小结：先证明新数列为等差或等比再求通项问题，先从问题入手按证明等差或等比方法证明问题，再由等差或等比的通项公式间接解决问题。
数列的通项公式与前n项和
数列的通项公式与前n项和数列是数学中常见的概念，它由一系列按照一定规律排列的数字组成。
在数列中，每一个数字称为序列的项，而求解数列特定位置上的数字或数列前n项和的公式被称为数列的通项公式与前n项和。
通过这些公式，我们可以更快地计算出数列中的特定项或前n项的总和。
一、数列的通项公式数列的通项公式是指能够通过数列的位置n来表示数列中特定项的公式。
不同的数列有不同的通项公式，下面我们来讨论几种常见的数列及其通项公式。
1.等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻两项之间差值相等的数列。
假设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式可以表示为：an = a + (n - 1)d这个公式说明了在等差数列中，每一项与首项的差值等于该项的位置与首项之间的差乘以公差。
例如，对于等差数列 3，6，9，12，15...，其中首项a为3，公差d 为3，那么这个等差数列的通项公式可以表示为：an = 3 + (n - 1)3这个公式可以用来求解等差数列中任意位置n上的数字。
2.等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻两项之间比值相等的数列。
假设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式可以表示为：an = a * r^(n - 1)这个公式说明在等比数列中，每一项与首项的比值等于公比的n-1次方。
例如，对于等比数列 2，4，8，16，32...，其中首项a为2，公比r 为2，那么这个等比数列的通项公式可以表示为：an = 2 * 2^(n - 1)这个公式可以用来求解等比数列中任意位置n上的数字。
二、数列的前n项和数列的前n项和是指数列从第一项到第n项的总和。
通过数列的前n项和公式，我们可以快速计算数列的前n项和，无需逐项累加。
1.等差数列的前n项和等差数列的前n项和公式可以通过等差数列通项公式推导而得。
假设等差数列的前n项和为Sn，首项为a，差值为d，则等差数列的前n 项和公式可以表示为：Sn = (n/2) * (2a + (n - 1)d)这个公式说明了等差数列的前n项和等于首项与末项之和乘以项数n再除以2。
【步步高】高考数学二轮复习 解答题题型练习3 由数列的前n项和Sn与通项an的关系求通项
题型三 由数列的前n 项和n S 与通项n a 的关系求通项n a(推荐时间：30分钟)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0 (n ≥2)，a 1＝12. (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为等差数列； (2)求a n 的表达式．2．(2011·江苏)设M 为部分正整数组成的集合，数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n .已知对任意的整数k ∈M ，当整数n >k 时，S n ＋k ＋S n －k ＝2(S n ＋S k )都成立．(1)设M ＝{1}，a 2＝2，求a 5的值；(2)设M ＝{3,4}，求数列{a n }的通项公式．答 案1．(1)证明 ∵a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)，a n ＋2S n ·S n －1＝0 (n ≥2)， ∴S n －S n －1＋2S n ·S n －1＝0.∵S n ≠0，∴1S n －1S n －1＝2 (n ≥2)． 由等差数列的定义，可知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，以2为公差的等差数列． (2)解 方法一 由(1)，知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ， ∴S n ＝12n. 当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n n －1； 当n ＝1，a 1＝12，不满足上式， 故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12n ＝1，－12n n －1 n ≥2. 方法二 由(1)，知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，∴S n ＝12n . 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1 ＝12n －12n －1＝－12n n －1， 当n ＝1时，a 1＝12，不满足上式， 故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12 n ＝1，－12n n －1 n ≥2. 2．解 (1)由题设知，当n ≥2时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)， 即(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1，从而a n ＋1－a n ＝2a 1＝2.又a 2＝2，故当n ≥2时，a n ＝a 2＋2(n －2)＝2n －2.所以a 5的值为8.(2)由题设知，当k ∈M ＝{3,4}且n >k 时，S n ＋k ＋S n －k ＝2S n ＋2S k 且S n ＋1＋k ＋S n ＋1－k ＝2S n ＋1＋2S k ，两式相减得a n ＋1＋k ＋a n ＋1－k ＝2a n ＋1，即a n ＋1＋k －a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋1－k ， 所以当n ≥8时，a n －6，a n －3，a n ，a n ＋3，a n ＋6成等差数列，且a n －6，a n －2，a n ＋2，a n ＋6也成等差数列．从而当n ≥8时，2a n ＝a n ＋3＋a n －3＝a n ＋6＋a n －6，(*) 且a n ＋6＋a n －6＝a n ＋2＋a n －2，所以当n ≥8时，2a n ＝a n ＋2＋a n －2，即a n ＋2－a n ＝a n －a n －2. 于是当n ≥9时，a n －3，a n －1，a n ＋1，a n ＋3成等差数列，从而a n ＋3＋a n －3＝a n ＋1＋a n －1，故由(*)式知2a n ＝a n ＋1＋a n －1，即a n ＋1－a n ＝a n －a n －1.当n ≥9时，设d ＝a n －a n －1.当2≤m ≤8时，m ＋6≥8，从而由(*)式知2a m ＋6＝a m ＋a m ＋12， 故2a m ＋7＝a m ＋1＋a m ＋13.从而2(a m ＋7－a m ＋6)＝a m ＋1－a m ＋(a m ＋13－a m ＋12)，于是a m ＋1－a m ＝2d －d ＝d . 因此，a n ＋1－a n ＝d 对任意n ≥2都成立．又由S n ＋k ＋S n －k －2S n ＝2S k (k ∈{3,4})可知(S n ＋k －S n )－(S n －S n －k )＝2S k ，故9d ＝2S 3且16d ＝2S 4.解得a 4＝72d . 从而a 2＝32d ，a 1＝d 2.因此，数列{a n }为等差数列． 由a 1＝1知d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.。
2012届高考理科数学二轮复习课件： 数列的通项与求和
【典例】 在等比数列{an}中,设前n项和为Sn,x=Sn2+S2n2,
y=Sn(S2n+S3n),试比较x与y的大小. 【解题指导】用首项a1和公比q 表示等比数列的和,并对公比 q 分q=1和q≠1两种情况讨论. 【规范解答】设等比数列的首项为a1,公比为q, 则当q=1时，Sn=na1, ∴x=(na1)2+(2na1)2=5n2a12,y=na1(2na1+3na1)=5n2a12, ∴x=y;
bn
【解题指导】解答本题(1)利用两个已知条件直接求公比及首 项a1,确定通项公式.对于(2)，首先利用对数运算性质求出bn,
进而得 1 ，再利用裂项相消求和法求解.
bn
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【规范解答】(1)设数列｛an｝的公比为q.由a32=9a2a6得 a32=9a42,所以 q 2 . …………………………………………2分 由条件可知q＞0,故 q . ……………………………………3分 由2a1+3a2=1,得2a1+3a1q=1,得 a1 1 . ………………………5分
3 1 3 1 9
故数列｛an｝的通项公式为 a n 1n . ………………………6分
n n 1 (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)= . 2
3
…………………………………………………………………8分 故
1 2 1 1 2( ). ………………………………9分 bn n n 1 n n 1
bn
n 1
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数列求和方法集锦 (1)直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对等比数列 中q≠1的讨论.
数列的通项公式与前n项和公式
数列的通项公式与前n项和公式数列是数学中常见的概念，它是按照一定规律排列的一系列数字的集合。
在数列中，每个数字称为该数列的项。
数列的通项公式是指能够用数列的项的位置n表示数列的每一项的公式。
通常，我们使用字母来表示数列的项，如an。
而数列的前n项和公式，则是指数列前n项的总和的表达式，通常表示为Sn。
本文将详细探讨数列的通项公式与前n项和公式的求解方法及应用。
一、数列的通项公式数列的通项公式可以通过观察数列中的规律，推导出数列项与项位置之间的数学关系。
下面以几种常见的数列为例，介绍求解通项公式的方法。
1.等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻的两项之间的差值固定的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，则等差数列的通项公式为an = a + (n - 1) * d。
2.等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻的两项之间的比值固定的数列。
设等比数列的首项为a，公比为q，则等比数列的通项公式为an = a * q^(n-1)。
3.斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。
设斐波那契数列的首项为a，第二项为b，则斐波那契数列的通项公式为an = a * φ^(n-1) + b * (1- φ^(n-1))，其中φ为黄金分割比（φ≈1.618）。
二、数列的前n项和公式数列的前n项和公式用于求取数列前n项的总和，即前n项和Sn。
下面以等差数列为例，介绍求解前n项和公式的方法。
对于等差数列，其前n项和公式可以通过求解数列项与项数之间的数学关系得到。
设等差数列的首项为a，公差为d，则等差数列的前n项和公式为Sn = (2a + (n - 1)d) * n / 2。
三、数列的应用举例1.等差数列的应用等差数列的应用非常广泛，例如计算机科学中的循环结构、物理学中的等速度直线运动等。
通过等差数列的通项公式和前n项和公式，可以方便地进行数列项的求解和数值计算。
2.等比数列的应用等比数列在金融领域、物理领域等方面有重要应用。
数列的前n项和与通项公式
数列的前n项和与通项公式数列是数学中的重要概念之一，它是由一系列按照某种规律排列的数所组成的序列。
而数列的前n项和以及通项公式则是数列研究中的关键概念，对于数学的发展和应用都具有重要意义。
一、数列的前n项和数列的前n项和是指数列中前n项数的和。
对于某些特定的数列，我们可以通过一定的方法来求解其前n项和。
例如，对于等差数列，其前n项和可以通过求和公式来计算。
假设等差数列的首项为a，公差为d，则前n项和Sn可以表示为Sn= (n/2)(2a + (n-1)d)。
同样地，对于等比数列，其前n项和也可以通过求和公式来计算。
假设等比数列的首项为a，公比为r，则前n项和Sn可以表示为Sn = a(1 - r^n)/(1 - r)。
二、数列的通项公式数列的通项公式是指数列中的每一项的一般表示形式。
通过通项公式，我们可以根据数列的位置来计算其对应的数值。
通项公式的推导需要根据数列本身的特点和规律进行分析和推理。
以等差数列为例，其通项公式可以表示为an = a + (n-1)d，其中a为首项，d为公差，n为项数。
通过这个公式，我们可以根据数列的位置来计算出对应的数值。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，其首项a为1，公差d为2，那么第n项可以表示为an = 1 + (n-1)2。
同样地，对于等比数列，其通项公式可以表示为an = ar^(n-1)，其中a为首项，r为公比，n为项数。
通过这个公式，我们可以根据数列的位置来计算出对应的数值。
例如，对于等比数列2, 4, 8, 16, 32，其首项a为2，公比r为2，那么第n项可以表示为an = 2 * 2^(n-1)。
三、数列的应用数列的前n项和和通项公式在数学的各个领域都有广泛的应用。
在数学分析中，数列的前n项和可以用于求解极限问题。
通过计算数列的前n项和，我们可以逼近数列的极限值，从而求解一些复杂的极限问题。
在数学建模中，数列的前n项和可以用于描述和分析一些实际问题。
数列的通项公式与前n项和的计算
数列的通项公式与前n项和的计算数列是我们在数学中经常遇到的内容之一，它由一系列按特定规律排列的数字组成。
在解决数列相关问题时，通项公式和前n项和的计算是两个基本且重要的概念。
在本文中，我们将详细介绍数列的通项公式和前n项和的计算方法，并通过具体案例来加深理解。
一、数列的通项公式数列的通项公式是表示数列中任意一项与其序号之间的关系的数学公式。
通项公式的存在可以方便我们计算数列中任意一项的值，而无需逐个列举。
常见的数列通项公式包括等差数列和等比数列的通项公式。
对于等差数列来说，其通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1)d其中，an代表第n个数，a1代表数列的首项，d代表公差，n代表数列中的项数。
而对于等比数列来说，其通项公式可以表示为：an = a1 * r^(n-1)其中，an代表第n个数，a1代表数列的首项，r代表公比，n代表数列中的项数。
二、前n项和的计算前n项和是指数列中前n个数的和，也是另一个重要的计算概念。
计算前n项和可以帮助我们更好地理解数列的总体性质和规律。
对于等差数列，前n项和的计算公式为：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)其中，Sn表示前n项和，n表示数列的项数，a1表示首项，d表示公差。
对于等比数列，前n项和的计算公式为：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，r表示公比。
三、实例分析为了更好地理解和应用数列的通项公式和前n项和的计算方法，我们来看一个具体的案例。
案例：求解等差数列1，4，7，10，13...的第20项以及前20项的和。
解析：首先，我们可以确定这是一个等差数列，通过观察相邻两项的差为3，可以得出公差d=3。
根据等差数列通项公式an=a1+(n-1)d，代入已知条件可以计算得出第20项的值：a20 = 1 + (20-1) * 3 = 1 + 19 * 3 = 1 + 57 = 58接下来，我们来计算前20项的和，根据等差数列前n项和的计算公式Sn=(n/2)(2a1 + (n-1)d)，代入已知条件可以计算得出前20项的和：S20 = (20/2)(2*1 + (20-1)*3) = 10(2+57) = 10*59 = 590所以，等差数列1，4，7，10，13...的第20项为58，前20项的和为590。
福建省2012届高考数学文二轮专题总复习 专题2 第2课时 数列通项与求和课件
n
an
1 2
n 2
n为奇数 .
n为偶数
2 因为bn
2n
1g( 1 )n ，所以
2
Sn
1g1 2
3g(1 )2 2
5 (1)3 2
2n 3g(1)n1
2
2n 1g(1)n，①
2
1 2 Sn
1g(1 )2 2
3g(1 )3 2
5g(1 )4 2
2n 3g(1)n
2
2n 1g(1)n1，②
所以Sn
x 1 x
2x2 1 xn1 1 x2
2n 1xn1 ， 1 x
当x 1时，Sn n2；
所以，
n2
Sn
x 1 x
2x2 1 xn1 1 x2
2n 1xn1 1 x
x 1 x 1
【点评】第1小题主要考查裂项相消法，要注意剩 下项具有对称性；笫2小题主要考查错位相减法， 用错位相减法求和，在计算中容易出现错误的地 方较多，要注意避免，本小题还考查了分类讨论 思想．
A. 54
B. 45
C. 36
D. 27
【解析】因为在等差数列an中，S9
9a1 2
a9
9a5，
由2a8 6 a11 2a1 7d 6 a1 10d
a1 4d 6，
所以a5 a1 4d 6，故选A.
5.已知等比数列{an}中前8项的和S8=30，前16 项的和S16=150，则S20=__________.
4 3
2n
n2 4
11 12
n 2k, n N* n 2k 1, n N*
【点评】本题主要考查分组及分类讨论思想．要注
意n为偶数或奇数时，分组后等差数列、等比数列的
高考数学二轮复习微专题46利用数列前n项和与通项探究递推关系
微专题46 利用数列前n 项和与通项探究递推关系在数学模拟考试和高考题中，利用数列{a }的前n 项和为S 与通项a 的关系求解例题：(2018·常州一模改编)已知各项均为正数的无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝a (其中a 为常数)，nS n ＋1＝(n ＋1)S n ＋n (n ＋1)(n ∈N *)．证明：数列{a n }是等差数列，并求出{a n }的通项公式．变式1(2018·苏北四市一模改编)已知数列{a n }，其前n 项和为S n ，满足a 1＝2，S n ＝λna n ＋μa n －1， 其中n ≥2，n ∈N *，λ，μ∈R .(1)若λ＝0，μ＝4，b n ＝a n ＋1－2a n (n ∈N *)，求证：数列{b n }是等比数列； (2)若a 2＝3，且λ＋μ＝32，求证：数列{a n }是等差数列．变式2设数列{a n}的前n项和为S n已知a1＝1，2Snn＝a n＋1－13n2－n－23，n∈N*.求数列{a n}的通项公式．串讲1设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2－a n，n＝1，2，3，….(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b1＝1，且b n＋1＝b n＋a n，求数列{b n}的通项公式．串讲2已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n－2(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足1an＝b12＋1－b222＋1＋b323＋1－…＋(－1)n＋1bn2n＋1，求数列{b n}的通项公式．(2018·苏州1模改编)已知各项是正数的数列{a n }的前n 项和为S n .若S n ＋S n －1＝an2＋23(n ∈N *，n ≥2)，且a 1＝2.求数列{a n }的通项公式；(2018·南通密卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n >0，S n ＝(a n ＋p )2(n ∈N *，p ∈R )．若a 1，a 2，a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式． 答案：a n ＝2n －14.解析：设等差数列a 1，a 2，a 3的公差为d .因为S n ＝(a n ＋p )2(n ∈N *，p ∈R )，所以a 1＝(a 1＋p )2，①a 1＋a 2＝(a 2＋p )2，②；a 1＋a 2＋a 3＝(a 3＋p )2.③2分②－①，得a 2＝(a 2＋p )2－(a 1＋p )2，即a 2＝d (a 1＋a 2＋2p )，④ ③－②，得a 3＝(a 3＋p )2－(a 2＋p )2，即a 3＝d (a 2＋a 3＋2p )，⑤⑤－④，得a 3－a 2＝d [(a 2＋a 3＋2p )－(a 1＋a 2＋2p )]，即d ＝2d 2.5分 若d ＝0，则a 2＝a 3＝0，与a n >0矛盾，故d ＝12.6分代入④得a 1＋12＝12⎝⎛⎭⎫a1＋a1＋12＋2p ，于是p ＝14.因为S n ＝⎝⎛⎭⎫an ＋142(n ∈N *)，所以S n ＋1＝⎝⎛⎭⎫an ＋1＋142，所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝⎝⎛⎭⎫an ＋1＋142－⎝⎛⎭⎫an ＋142， 即⎝⎛⎭⎫an ＋1＋142－a n ＋1－⎝⎛⎭⎫an ＋142＝0，整理得⎝⎛⎭⎫an ＋1－142－⎝⎛⎭⎫an ＋142＝0，9分 于是(a n ＋1＋a n )⎝⎛⎭⎫an ＋1－an －12＝0.10分 因为a n >0，所以a n ＋1－a n －12＝0，即a n ＋1－a n ＝12.因为a 1＝⎝⎛⎭⎫a1＋142，所以a 1＝14.13分所以数列{a n }是首项为14，公差为12的等差数列．因此，a n ＝14＋12(n －1)＝2n －14(n ∈N *).14分。
题型三_由数列的前n项和Sn与通项an的关系求通项an
题型三 由数列的前n 项和n S 与通项n a 的关系求通项n a(推荐时间：30分钟)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0 (n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为等差数列；(2)求a n 的表达式．1．(1)证明 ∵a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)，a n ＋2S n ·S n －1＝0 (n ≥2)，∴S n －S n －1＋2S n ·S n －1＝0.∵S n ≠0，∴1S n －1S n －1＝2 (n ≥2)．由等差数列的定义，可知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，以2为公差的等差数列．(2)解 方法一 由(1)，知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，∴S n ＝12n.当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n (n －1)；当n ＝1，a 1＝12，不满足上式，故a n ＝⎩⎨⎧12(n ＝1)，－12n (n －1)(n ≥2).方法二 由(1)，知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，∴S n ＝12n.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1 ＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)， 当n ＝1时，a 1＝12，不满足上式，故a n＝⎩⎨⎧12 (n ＝1)，－12n (n －1) (n ≥2).例6 （2004年全国I 第15题，原题是填空题）已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。
解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ①所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+②用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥故11(2)n na n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯= ③由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，则21a =，代入③得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=。
高中数学数列的通项与前n项和的关系探究
高中数学数列的通项与前n项和的关系探究数列是高中数学中的重要概念之一，它在数学中有着广泛的应用。
在解决数列问题时，我们常常需要求出数列的通项公式以及前n项和的表达式。
本文将重点探究数列的通项与前n项和的关系，并通过具体题目举例，说明其中的考点和解题技巧。
一、等差数列的通项与前n项和的关系等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。
对于等差数列，我们可以通过观察数列的规律来求出其通项公式和前n项和的表达式。
例如，考虑等差数列1，4，7，10，13，...，其中首项为1，公差为3。
我们可以通过观察得知，每一项都是首项1加上前面的项数乘以公差3得到的。
因此，该等差数列的通项公式为an = 1 + (n-1) * 3。
其中，an表示第n项。
接下来，我们来求该等差数列的前n项和。
首先，我们可以将数列的前n项分别相加，得到前n项和的表达式Sn = 1 + 4 + 7 + ... + (1 + (n-1) * 3)。
观察表达式可以发现，每一项都是由首项1加上相应的公差乘以前面的项数得到的。
因此，我们可以将表达式进行化简，得到Sn = n * (2 + (n-1) * 3) / 2。
其中，Sn表示前n项和。
通过以上的分析，我们可以得出等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1) * d，前n项和的表达式为Sn = n * (2a1 + (n-1) * d) / 2。
其中，a1表示首项，d表示公差。
二、等比数列的通项与前n项和的关系等比数列是指数列中相邻两项之比恒定的数列。
对于等比数列，我们同样可以通过观察数列的规律来求出其通项公式和前n项和的表达式。
例如，考虑等比数列2，6，18，54，162，...，其中首项为2，公比为3。
我们可以通过观察得知，每一项都是前一项乘以公比3得到的。
因此，该等比数列的通项公式为an = 2 * 3^(n-1)。
其中，an表示第n项。
接下来，我们来求该等比数列的前n项和。
首先，我们可以将数列的前n项分别相加，得到前n项和的表达式Sn = 2 + 6 + 18 + ... + (2 * 3^(n-1))。
数列的通项与前n项和的关系
数列的通项与前n项和的关系数列是数学中常见的概念，它是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
在数列中，我们经常需要求解数列的通项和前n项和的关系，这一关系对于理解数列的性质和应用具有重要意义。
在研究数列的通项与前n项和的关系前，我们先来了解一下什么是数列的通项和前n项和。
一、数列的通项数列的通项是数列中任意一项的一般表示式，使用字母来表示数列的项数，方便我们求解数列中任意一项的值。
通项可以是一个具体的公式，也可以是一个递推公式。
例如，对于等差数列，通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
对于等比数列，通项公式为an = a1 × r^(n - 1)，其中a1为首项，r 为公比，n为项数。
二、数列的前n项和数列的前n项和是指数列中前n项的和，用Sn来表示。
它可以帮助我们求解数列的部分和或全部和。
对于等差数列的前n项和，通常用Sn来表示，公式为Sn = (n/2)(a1 + an)，其中a1为首项，an为第n项，n为项数。
对于等比数列的前n项和，通常用Sn来表示，公式为Sn = a1(1 -r^n)/(1 - r)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
在数列的通项与前n项和的关系中，我们可以通过求解通项公式与前n项和公式的关系，进而推导出它们之间的数学表达式。
以等差数列为例，设数列的首项为a1，公差为d，通项公式为an = a1 + (n - 1)d，前n项和为Sn = (n/2)(a1 + an)。
根据前n项和公式，我们将an代入其中，得到Sn = (n/2)[a1 + (a1 + (n - 1)d)]，简化后得到Sn = (n/2)(2a1 + (n - 1)d)。
由此可见，等差数列的前n项和与首项、项数和公差之间存在着一定的关系，通过这个关系，我们可以借助通项公式计算出前n项和的数值。
同样地，对于等比数列，我们可以通过通项公式和前n项和公式推导出它们之间的关系。
数列的通项与前n项和
数列的通项与前n项和数列是数学中经常遇到的一种数值序列，它由一系列的数字按照一定的规律排列而成。
数列的通项与前n项和是数列中常见的两个概念，它们在数学中具有重要的意义。
本文将会详细介绍数列的通项与前n项和的定义、计算方法以及它们的应用。
一、数列的通项数列的通项是指数列中的每一项与项号之间的关系。
通项可以描述数列中每一个项的值，一般用字母表示。
对于等差数列来说，通项可以表示为an = a1 + (n - 1)d ，其中an表示第n项的值，a1表示第一项的值，n表示项号，d表示公差。
对于等比数列来说，通项可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项的值，a1表示第一项的值，n表示项号，r表示公比。
以等差数列为例，假设有一个等差数列的首项a1为3，公差d为2，我们希望求出这个等差数列的第n项值。
根据通项公式，我们可以得出这个等差数列的通项为an = 3 + 2(n - 1)。
如果我们要求第5项的值，只需要将n的值替换为5，即可得到第5项的值：a5 = 3 + 2(5 - 1) = 11。
二、数列的前n项和数列的前n项和是指数列中前n项的和。
对于等差数列而言，前n项和可以表示为Sn = n(a1 + an) / 2，其中Sn表示前n项的和，a1表示首项的值，an表示第n项的值。
对于等比数列而言，前n项和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项的和，a1表示首项的值，r表示公比。
以等比数列为例，假设有一个等比数列的首项a1为2，公比r为3，我们希望求出这个等比数列的前n项和。
根据前n项和的公式，我们可以得出这个等比数列的前n项和为Sn = 2 * (1 - 3^n) / (1 - 3)。
如果我们要求前4项的和，只需要将n的值替换为4，即可得到前4项的和：S4 = 2 * (1 - 3^4) / (1 - 3) = -80。
三、数列的应用数列的通项与前n项和在数学中有着广泛的应用。
等比数列前n项和公式和通项公式的关系
等比数列前n项和公式和通项公式的关系我们先来回顾一下等比数列的概念。
等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值保持不变。
形式化地说，对于一个等比数列{a1, a2, a3, ...}，任意两项之间的比值都相等，即an / an-1 = r，其中r为等比数列的公比。
我们知道，等差数列的前n项和公式是Sn = (a1 + an) * n / 2，其中a1为数列的首项，an为数列的第n项。
那么，等比数列有没有类似的前n项和公式呢？答案是肯定的。
等比数列的前n项和公式可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中a1为数列的首项，r为数列的公比，n为项数。
这个公式可以帮助我们快速计算等比数列的前n项和，而不需要一个一个地将数列中的每一项相加。
那么，前n项和公式和等比数列的通项公式之间有什么关系呢？其实，前n项和公式可以看作是等比数列通项公式的一个推导结果。
要理解这个关系，我们先来看一个具体的例子。
考虑一个等比数列{2, 4, 8, 16, 32, ...}，首项a1为2，公比r为2。
我们想要计算这个数列的前5项和。
根据前n项和公式，我们可以得到：S5 = 2 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 2 * (1 - 32) / (-1) = -2 * (31) = -62现在，我们来看一下这个数列的通项公式是什么。
根据等比数列的定义，我们可以通过将前一项乘以公比得到后一项。
对于这个例子中的数列，通项公式可以表示为an = 2^(n-1)，其中n为项数。
现在，我们来验证一下这个通项公式是否正确。
将n分别取1、2、3、4、5，带入公式中计算得到的数列为{2, 4, 8, 16, 32}，与原数列完全吻合。
通过这个例子，我们可以看到前n项和公式和通项公式之间的关系。
前n项和公式是通过对通项公式进行求和推导出来的，所以它们之间是密切相关的。
总结一下，等比数列的前n项和公式可以通过等比数列的通项公式进行推导得到。
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2012届高考数学第二轮备考复习：由数列的前n项和与通项的关系求
通项
题型三由数列的前n项和与通项的关系求通项
(推荐时间：30分钟)
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn•Sn－1＝0(n≥2)，a1＝12.
(1)求证：1Sn为等差数列；
(2)求an的表达式．
2．(2011•江苏)设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn.已知对任意的整数k∈M，当整数n>k时，Sn＋k＋Sn－k＝2(Sn＋Sk)都成立．
(1)设M＝{1}，a2＝2，求a5的值；
(2)设M＝{3,4}，求数列{an}的通项公式．
答案
1．(1)证明∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2Sn•Sn－1＝0(n≥2)，
∴Sn－Sn－1＋2Sn•Sn－1＝0.
∵Sn≠0，∴1Sn－1Sn－1＝2(n≥2)．
由等差数列的定义，可知1Sn是以1S1＝1a1＝2为首项，以2为公差的等差数列．
(2)解方法一由(1)，知1Sn＝1S1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，
∴Sn＝12n.
当n≥2时，有an＝－2Sn•Sn－1＝－－；
当n＝1，a1＝12，不满足上式，
故an＝＝，－－
方法二由(1)，知1Sn＝1S1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝12n. 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1
＝12n－－＝－－，
当n＝1时，a1＝12，不满足上式，
故an＝＝，－－
2．解(1)由题设知，当n≥2时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)，
即(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝2S1，
从而an＋1－an＝2a1＝2.
又a2＝2，故当n≥2时，an＝a2＋2(n－2)＝2n－2.所以a5的值为8.
(2)由题设知，当k∈M＝{3,4}且n>k时，Sn＋k＋Sn－k＝2Sn＋2Sk且Sn ＋1＋k＋Sn＋1－k＝2Sn＋1＋2Sk，
两式相减得an＋1＋k＋an＋1－k＝2an＋1，即an＋1＋k－an＋1＝an ＋1－an＋1－k，
所以当n≥8时，an－6，an－3，an，an＋3，an＋6成等差数列，且an －6，an－2，an＋2，an＋6也成等差数列．
从而当n≥8时，2an＝an＋3＋an－3＝an＋6＋an－6，(*)
且an＋6＋an－6＝an＋2＋an－2，
所以当n≥8时，2an＝an＋2＋an－2，即an＋2－an＝an－an－2.
于是当n≥9时，an－3，an－1，an＋1，an＋3成等差数列，从而an＋3＋an－3＝an＋1＋an－1，故由(*)式知2an＝an＋1＋an－1，
即an＋1－an＝an－an－1.
当n≥9时，设d＝an－an－1.
当2≤m≤8时，m＋6≥8，从而由(*)式知2am＋6＝am＋am＋12，
故2am＋7＝am＋1＋am＋13.
从而2(am＋7－am＋6)＝am＋1－am＋(am＋13－am＋12)，于是am＋1－am＝2d－d＝d.
因此，an＋1－an＝d对任意n≥2都成立．
又由Sn＋k＋Sn－k－2Sn＝2Sk(k∈{3,4})可知(Sn＋k－Sn)－(Sn－Sn－k)＝2Sk，
故9d＝2S3且16d＝2S4.解得a4＝72d.
从而a2＝32d，a1＝d2.因此，数列{an}为等差数列．
由a1＝1知d＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.。