广州市113中学05-06学年上学期高二数学期中考试题
广州市113中学05-06学年下学期高二数学3月考试题
广州市113中学05-06学年下学期高二数学3月考试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(1－i)2·i ＝（ ） A ．2－2i B ．2+2i C ． 2 D ．－22.f (x )=ax 3+3x 2+2,若f ′(－1)=4,则a 的值等于（ ）A.319 B.316 C.313 D.3103.不等式x 2－4x －5＜0的解集是( )A.｛x ｜－1＜x ＜5}B.｛x ｜x ＞5或x ＜－1}C.｛x ｜0＜x ＜5}D.以上均不对4．平面内两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么（ ） A ．甲是乙成立的充分不必要条件 B ．甲是乙成立的必要不充分条件 C ．甲是乙成立的充要条件 D ．甲是乙成立的非充分非必要条件 5．复数534+i的共轭复数是（ ）A ．34-iB ．3545+iC ．34+iD ．3545-i 6.在下列函数中，最小值是2的是( )A.y ＝xx 55+(x ∈R ，x ≠0) B.y ＝lg x ＋x lg 1 (1＜x ＜10) C.y ＝3x＋3－x(x ∈R ) D.y ＝sin x ＋x sin 1 (0＜x ＜2π) 7．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 满足（ ）（A ）m ≠－1 （B ）m ≠6(C) m ≠－1或m ≠6 (D) m ≠－1且m ≠6 8.函数y =xxsin 的导数为（ ） A.y ′=2sin cos x x x x + B.y ′=2sin cos x x x x - C.y ′=2cos sin x x x x - D.y ′=2cos sin xx x x + 9.双曲线22a x -22b y =1两渐近线互相垂直，则它离心率为( )A.2 B.3 C.2 D. 2310．过抛物线y x 42=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点，若621=+y y ，则21P P 的值为 （ ）A ．5B ．6C ．8D ．10 一，选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 题 目 1 2 3 4 5 6 7 8 910 答 案二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 11.实数x 、y 满足（1–i ）x+(1+i)y=2,则xy 的值是 .12.已知函数f (x )=2x 2＋382+x ，则函数f (x )的最小值是 .13.曲线y =x 3在点P （2，8）处的切线方程是___________.14.已知椭圆m x 2＋n y 2=1与双曲线p x 2－qy 2=1（m ，n ，p ，q ∈R ＋）有共同的焦点F 1、F 2，P是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|= ．三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、(本小题13分)实数m 取什么数值时，复数z =m +1+(m －1)i 分别是：(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？16. (本小题13分)解不等式322322--+-x x x x ＜0.17. (本小题13分)物体作直线运动的方程s ＝t ２+２t-３，求物体在t ＝２秒时的速度和加速度。
2023-2024学年广东省广州113中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州113中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知向量a →=（﹣2，﹣3，1），b →=（2，0，4），c →=（﹣4，﹣6，2），则下列结论正确的是（ ） A ．a →⊥c →，b →⊥c →B ．a →∥b →，a →⊥c →C ．a →∥c →，a →⊥b →D ．以上都不对2．已知倾斜角为θ的直线l 与直线x +2y ﹣3＝0垂直，则sin θ＝（ ） A ．−√55B ．√55C ．−2√55D ．2√553．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1＝2且∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，则AC 1＝（ ）A ．2√2B ．√10C ．2√3D ．√144．已知F 1（﹣8，3），F 2（2，3），动点P 满足|PF 1|﹣|PF 2|＝10，则P 点轨迹是（ ） A ．双曲线 B ．双曲线一支 C ．直线D ．一条射线5．焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（ ） A ．x 24+y 23=1 B ．x 24+y 2=1C ．x 22+y 2=1D ．x 2+y 24=1 6．已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点F 1，F 2在x 轴上，中心在原点，点A 的坐标为(2，2√3)，P 为双曲线右支上一动点，则|PF 1|+|P A |的最小值为（ ） A ．2√2+2B ．2√2+4C ．4√2+2D ．4√2+47．点P 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧面DCC 1D 1内的一个动点，若△APD 与△BCP 的面积之比等于2，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分8．如图，F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．√3B ．2C ．2√3−1D ．√3+1二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线√3x +y +1=0的倾斜角为120°B ．经过点P （2，1），且在x ，y 轴上截距互为相反数的直线方程为x ﹣y ﹣1＝0C ．直线l ：mx +y +2﹣m ＝0恒过定点（1，﹣2）D ．直线l 1：ax +2ay +1＝0，l 2：（a ﹣1）x ﹣（a +1）y ﹣4＝0，l 1⊥l 2，则a ＝﹣3或0 10．已知曲线C ：mx 2﹣ny 2＝1，下列说法正确的是（ ） A ．若mn ＞0，则C 为双曲线B ．若m ＞0且m +n ＜0，则C 为焦点在x 轴的椭圆 C ．若m ＞0，n ＜0，则C 不可能表示圆D ．若m ＞0，n ＝0，则C 为两条直线 11．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，点M （2，1）在椭圆C 上，直线l 平行于OM 且在y 轴上的截距为m ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点．下列结论正确的是（ ） A ．椭圆C 的方程为x 28+y 22=1 B ．k OM =12C ．﹣2＜m ＜2D ．m ≤﹣2或m ≥212．如图，棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．直线D 1P 与AC 所成的角可能是π6B ．平面D 1A 1P ⊥平面A 1APC ．三棱锥D 1﹣CDP 的体积为定值D ．平面APD 1截正方体所得的截面可能是直角三角形 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知直线l 1：ax +2y +3a ﹣2＝0与l 2：x +（a +1）y +4＝0平行，则实数a 的值为 ．14．已知圆（x ﹣4）2+（y ﹣5）2＝169，过点（1，1）的直线交圆于A ，B 两点，则|AB |的取值范围为 ．15．如图，所示的几何体是由正四棱锥P ﹣ABCD 和正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1组成的，其中AB ＝2，P A =√6，则B 1到平面P AD 的距离为 ．16．双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为√3，当a ＝1时，直线x ﹣y +m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2+y 2＝5上，则m 的值 ．四、解答题（本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知△ABC 的顶点A （﹣2，4），B （4，﹣6），C （5，1）． （1）求AB 边上的中线所在直线的方程；（2）求经过点A ，且在x 轴上的截距和y 轴上的截距相等的直线的方程． 18．（12分）已知圆C 1：x 2+y 2﹣2x ﹣6y ﹣1＝0和C 2：x 2+y 2﹣10x ﹣12y +45＝0． （1）求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长；（2）求过点P （9，1）且与圆C 2相切的直线方程． 19．（12分）已知双曲线C ：y 2a 2−x 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，一个焦点到该渐近线的距离为1． （1）求C 的方程；（2）经过点M （1，4）的直线l 交C 于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，求l 的方程．20．（12分）如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝4．点A 2，B 2，C 2，D 2分别在棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1上，AA 2＝1，BB 2＝DD 2＝2，CC 2＝3． （1）证明：B 2C 2∥A 2D 2；（2）点P 在棱BB 1上，当二面角P ﹣A 2C 2﹣D 2为150°时，求B 2P ．21．（12分）已知圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线3x +4y ﹣8＝0相切． （1）求圆C 的标准方程；（2）直线l ：y ＝kx +2与圆C 交于A ，B 两点． ①求k 的取值范围；②证明：直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值． 22．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F （﹣1，0），左、右顶点及上顶点分别记为A 、B 、C ，且CF →⋅CB →=1． （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l ：y ＝kx ﹣2与椭圆E 交于M 、N 两点，求△OMN 面积的最大值，以及取得最大值时直线l 的方程．2023-2024学年广东省广州113中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知向量a →=（﹣2，﹣3，1），b →=（2，0，4），c →=（﹣4，﹣6，2），则下列结论正确的是（ ） A ．a →⊥c →，b →⊥c →B ．a →∥b →，a →⊥c →C ．a →∥c →，a →⊥b →D ．以上都不对解：∵a →=（﹣2，﹣3，1），b →=（2，0，4），c →=（﹣4，﹣6，2）， ∴a →⋅b →=−4+4=0，c →=2a →， ∴a →∥c →，a →⊥b →． 故选：C ．2．已知倾斜角为θ的直线l 与直线x +2y ﹣3＝0垂直，则sin θ＝（ ） A ．−√55B ．√55C ．−2√55D ．2√55解：倾斜角为θ的直线l 与直线x +2y ﹣3＝0垂直， ∴tan θ=−1−12=2． 则sin θ=2√2+1=2√55．故选：D ．3．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1＝2且∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，则AC 1＝（ ）A ．2√2B ．√10C ．2√3D ．√14解：因为在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1＝2且∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，所以AB →2=AD →2=1，AA 1→2=4，所以AB →⋅AD →=0，AB →⋅AA →1=1，AD →⋅AA 1→=1 又因为AC 1→=AB →+AD →+AA 1→， 所以AC 1→2=(AB →+AD →+AA 1→)2=AB →2+AD →2+AA 1→2+2AB →⋅AD →+2AB →⋅AA →1+2AD →⋅AA 1→=1+1+4+0+2×1+2×1＝10， 因此|AC 1→|=√10，即AC 1=√10． 故选：B ．4．已知F 1（﹣8，3），F 2（2，3），动点P 满足|PF 1|﹣|PF 2|＝10，则P 点轨迹是（ ） A ．双曲线 B ．双曲线一支 C ．直线D ．一条射线解：由于|F 1F 2|＝2+8＝10，即|PF 1|﹣|PF 2|＝|F 1F 2|， 所以P 点轨迹是一条射线， 故选：D ．5．焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（ ） A ．x 24+y 23=1 B ．x 24+y 2=1C ．x 22+y 2=1D ．x 2+y 24=1 解：根据题意，要求椭圆的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2+y 2b 2=1，（a ＞b ＞0）若右焦点到短轴端点的距离为2，则c 2+b 2＝4，即a 2＝4，则a ＝2， 又右焦点到左顶点的距离为3，则a +c ＝3，即c ＝1， 则b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣1＝3； 故椭圆的方程为：x 24+y 23=1；故选：A ．6．已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点F 1，F 2在x 轴上，中心在原点，点A 的坐标为(2，2√3)，P 为双曲线右支上一动点，则|PF 1|+|P A |的最小值为（ ） A ．2√2+2B ．2√2+4C ．4√2+2D ．4√2+4解：由题意知，a ＝b ，2c ＝8，∵a2+b2＝c2，∴a＝b=2√2，c＝4，∴点F1（﹣4，0），F2（4，0），∵点A的坐标为(2，2√3)，∴点A在双曲线外，如图所示，由双曲线的定义知，|PF1|﹣|PF2|＝2a=4√2，∴|PF1|+|P A|＝|PF2|+4√2+|P A|≥|AF2|+4√2=√(2−4)2+(2√3)2+4√2=4+4√2，当A、P、F2三点共线时，取等号，∴|PF1|+|P A|的最小值为4+4√2．故选：D．7．点P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面DCC1D1内的一个动点，若△APD与△BCP的面积之比等于2，则点P的轨迹是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分解：由题意得，若△APD与△BCP的面积之比等于2，因为两个三角形的底相等；故对应的高之比为2：1；动点P到侧棱BC的距离实际上是P点到点C的距离，点P到侧棱AD的距离就是P到点D的距离．即PD＝2PC；建立如图所示的坐标系；则C（0，0），D（a，0），设P（x，y）故有：PD2＝（2PC）2；∴（x﹣a）2+y2＝4（x2+y2）；∴3x2+2ax+3y2﹣a2＝0；故点P的轨迹是圆的一部分．故选：A．8．如图，F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A，B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．√3B．2C．2√3−1D．√3+1解：连结AF1，则根据题意可得：AF1⊥AF2，且∠AF2F1＝30°，∴|AF1|＝c，|AF2|=√3c，∵|AF2|﹣|AF1|＝2a，即(√3−1)c=2a，∴c a=√3−1=√3+1．故选：D ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线√3x +y +1=0的倾斜角为120°B ．经过点P （2，1），且在x ，y 轴上截距互为相反数的直线方程为x ﹣y ﹣1＝0C ．直线l ：mx +y +2﹣m ＝0恒过定点（1，﹣2）D ．直线l 1：ax +2ay +1＝0，l 2：（a ﹣1）x ﹣（a +1）y ﹣4＝0，l 1⊥l 2，则a ＝﹣3或0解：对于A ，直线√3x +y +1=0的斜率k =−√3，∴该直线的倾斜角为120°，故A 正确； 对于B ，当直线的横截距a ＝0时，该直线过点（2，1）和（0，0）， 直线方程为yx=12，即x ﹣2y ＝0；当a ≠0时，纵截距为﹣a ，直线方程为x a−y a=1，把P （2，1）代入得：2a−1a=1，解得a ＝1，∴直线方程为x ﹣y ﹣1＝0，综上，经过点P （2，1），且在x ，y 轴上截距互为相反数的直线方程为x ﹣2y ＝0或x ﹣y ﹣1＝0，故B 错误；对于C ，直线l ：mx +y +2﹣m ＝0转化为（x ﹣1）m +（y +2）＝0， 由{x −1=0y +2=0，解得x ＝1，y ＝﹣2， ∴直线l 恒过定点（1，﹣2），故C 正确；对于D ，直线l 1：ax +2ay +1＝0，l 2：（a ﹣1）x ﹣（a +1）y ﹣4＝0，l 1⊥l 2， ∴a （a ﹣1）+2a （﹣a ﹣1）＝0，解得a ＝﹣3或0，当a ＝0时，直线l 1：ax +2ay +1＝0没有意义，故a ＝﹣3，故D 错误． 故选：AC ．10．已知曲线C ：mx 2﹣ny 2＝1，下列说法正确的是（ ） A ．若mn ＞0，则C 为双曲线B ．若m ＞0且m +n ＜0，则C 为焦点在x 轴的椭圆 C ．若m ＞0，n ＜0，则C 不可能表示圆D ．若m ＞0，n ＝0，则C 为两条直线 解：若mn ＞0，则C 为双曲线，所以A 正确；若m ＞0且m +n ＜0，可得n ＜0，|n |＞m ＞0，所以则C 为焦点在x 轴的椭圆，所以B 正确；若m ＞0，n ＜0，则C 不可能表示圆，显然不正确，反例m ＝1，n ＝﹣1，是单位圆，所以C 不正确； 若m ＞0，n ＝0，则C 为两条直线，所以D 正确； 故选：ABD ． 11．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，点M （2，1）在椭圆C 上，直线l 平行于OM 且在y 轴上的截距为m ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点．下列结论正确的是（ ） A ．椭圆C 的方程为x 28+y 22=1 B ．k OM =12C ．﹣2＜m ＜2D ．m ≤﹣2或m ≥2解：（1）C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，点M （2，1）在椭圆C 上． 可得：{ c a=√324a 2+1b 2=1a 2−b 2=c 2，解得a 2＝8，b 2＝2，所求的椭圆方程为：x 28+y 22=1．故A 正确；直线OM 斜率k OM =1−02−0=12，故B 正确； 由直线l 平行于OM ，得l 的斜率k =12．l 在y 轴上的截距为m ，l 的方程为y =12x +m ， 联立{y =12x +m x 28+y22=1，得x 2+2mx +2m 2﹣4＝0， l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，Δ＝4m 2﹣4（2m 2﹣4）＞0，得﹣2＜m ＜2．故C 正确；D 错误． 故选：ABC ．12．如图，棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．直线D 1P 与AC 所成的角可能是π6B ．平面D 1A 1P ⊥平面A 1APC ．三棱锥D 1﹣CDP 的体积为定值D ．平面APD 1截正方体所得的截面可能是直角三角形解：对于A ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，D 1（0，0，1），A （1，0，0），C （0，1，0），设P （1，a ，b ），（0＜a ＜1，0＜b ＜1）， D 1P →=（1，a ，b ﹣1），AC →=（﹣1，1，0）， cos ＜D 1P →，AC →＞=D 1P →⋅AC→|D 1P →|⋅|AC →|=a−1√1+a 2+(b−1)⋅√20，∵0＜a ＜1，0＜b ＜1，又当a ＝1时，＜D 1P →，AC →＞=π2， 当a ＝0，b ＝1时，＜D 1P →，AC →＞=3π4， ∴π2＜＜D 1P →，AC →＞＜3π4，∴直线D 1P 与AC 所成的角为（π4，π2），故A 错误；对于B ，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1⊥AA 1，A 1D 1⊥AB ， ∵AA 1∩AB ＝A ，∴A 1D 1⊥平面A 1AP ，∵A 1D 1⊂平面D 1A 1P ，∴平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，故B 正确； 对于C ，∵S △CDD 1=12×1×1=12，P 到平面CDD 1的距离BC ＝1， ∴三棱锥D 1﹣CDP 的体积：V D1−CDP =V P−CDD1=13×12×1=16，为定值，故C正确；对于D，平面APD1截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故D错误．故选：BC．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知直线l1：ax+2y+3a﹣2＝0与l2：x+（a+1）y+4＝0平行，则实数a的值为1．解：因为直线l1：ax+2y+3a﹣2＝0与l2：x+（a+1）y+4＝0平行，所以a（a+1）﹣2＝0，解得a＝1或a＝﹣2，当a＝﹣2时，直线l1：﹣2x+2y﹣8＝0与l2：x﹣y+4＝0重合，不符合题意．故答案为：1．14．已知圆（x﹣4）2+（y﹣5）2＝169，过点（1，1）的直线交圆于A，B两点，则|AB|的取值范围为[24，26]．解：圆（x﹣4）2+（y﹣5）2＝169的圆心（4，5）与半径为13，过点（1，1）的直线交圆于A，B两点，可得弦心距为：√(4−1)2+(5−1)2=5，则|AB|的最小值为：2√132−52=24，|AB|的最大值为26，∴|AB|的取值范围：[24，26]．15．如图，所示的几何体是由正四棱锥P﹣ABCD和正方体ABCD﹣A1B1C1D1组成的，其中AB＝2，P A=√6，则B1到平面P AD的距离为6√55．解：以A1为坐标原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易知点P 到平面ABCD 的距离为√6−2=2，则A （0，0，2），D （0，2，2），P （1，1，4），B 1（2，0，0）， 所以AD →=(0，2，0)，AP →=(1，1，2)， 设平面P AD 的法向量是m →=(x ，y ，z)， 则{m →⋅AD →=2y =0m →⋅AP →=x +y +2z =0， 取z ＝1，得m →=(−2，0，1)， 连接B 1A ，则B 1A →=(−2，0，2)， ∴B 1到平面P AD 的距离d =|B 1A →⋅m →m→|=6√55．16．双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为√3，当a ＝1时，直线x ﹣y +m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2+y 2＝5上，则m 的值 ±1 ． 解：当a ＝1时，e =ca =√3，所以c =√3，又c 2＝a 2+b 2，得b 2＝2；所以双曲线C 的方程为x 2−y 22=1．设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段AB 的中点为M （x 0，y 0），由{x 2−y 22=1x +y +m =0，得x 2﹣2mx ﹣m 2﹣2＝0（判别式Δ＞0），∴x 0=x 1+x 22=m ，y 0=x 0+m =2m ； ∵点M （x 0，y 0），在圆x 2+y 2＝5上，∴m 2+4m 2＝5， ∴m ＝±1． 故答案为：±1．四、解答题（本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知△ABC的顶点A（﹣2，4），B（4，﹣6），C（5，1）．（1）求AB边上的中线所在直线的方程；（2）求经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程．解：（1）由题意得，AB中点坐标为（1，﹣1），则AB边上的中线过点（1，﹣1），斜率k=1+15−1=12，∴AB边上的中线所在直线的方程为y+1=12（x﹣1），即x﹣2y﹣3＝0．（2）当截距为0时，直线过原点，设直线方程为y＝kx，则k=4−2=−2，∴直线方程为y＝﹣2x；当截距不为0时，直线方程为xa +ya=1，∵直线过点A（﹣2，4），则−2a+4a=1，解得，a＝2，∴直线方程为x+y﹣2＝0．综上，经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程为y＝﹣2x或x+y﹣2＝0．18．（12分）已知圆C1：x2+y2﹣2x﹣6y﹣1＝0和C2：x2+y2﹣10x﹣12y+45＝0．（1）求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长；（2）求过点P（9，1）且与圆C2相切的直线方程．解：（1）由题意可知：将两圆方程相减可得：8x+6y﹣46＝0，也即4x+3y﹣23＝0，故圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程为4x+3y﹣23＝0，圆C2：x2+y2﹣10x﹣12y+45＝0可化为（x﹣5）2+（y﹣6）2＝16，圆心坐标C2（5，6），半径r2＝4，由点到直线的距离公式可得：C2（5，6）到公共弦的距离d=√4+3=155=3，由垂径定理可知：公共弦长l=2√r22−d2=2×√42−32=2√7，（2）由（1）知：圆C2：（x﹣5）2+（y﹣6）2＝16，圆心坐标C2（5，6），半径r2＝4，过点P（9，1）作圆C2的切线方程，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝9；当切线斜率存在时，设切线方程为y＝k（x﹣9）+1，也即kx﹣y+1﹣9k＝0，由点到直线的距离公式可得：d′=|5k−6+1−9k|√k+1=r2=4，解得：k =−940，所以此时切线方程为：9x +40y ﹣121＝0， 综上：过点P （9，1）且与圆C 2相切的直线方程为x ＝9或9x +40y ﹣121＝0．19．（12分）已知双曲线C ：y 2a 2−x 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，一个焦点到该渐近线的距离为1． （1）求C 的方程；（2）经过点M （1，4）的直线l 交C 于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，求l 的方程． 解：（1）由点到直线的距离公式易得：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ＝1， 又双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，∴ab =2，∴a ＝2b ＝2，∴双曲线C 的方程为y 24−x 2=1；（2）设两交点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则A ，B 两点都满足方程y 24−x 2=1，∴{y 12−4x 12=4y 22−4x 22=4， 两式相减可得(y 12−y 22)−4(x 12−x 22)=0，两边同时除以x 12−x 22展开可得：(y 1−y 2)(y 1+y 2)(x 1−x 2)(x 1+x 2)−4=0，又k AB=y 1−y 2x 1−x 2，且y 1+y 2x 1+x 2=y 1+y 22x 1+x 22=y M x M =41=4， ∴k AB •4﹣4＝0，∴k AB ＝1，又M （1，4）在AB 直线上， ∴AB 直线方程为y ﹣4＝x ﹣1，即x ﹣y +3＝0， 又点M （1，4）在双曲线开口内，且斜率为1≠2， ∴直线AB 与双曲线有两个交点， 故AB 直线方程为x ﹣y +3＝0， 即直线l 的方程为x ﹣y +3＝0．20．（12分）如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝4．点A 2，B 2，C 2，D 2分别在棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1上，AA 2＝1，BB 2＝DD 2＝2，CC 2＝3． （1）证明：B 2C 2∥A 2D 2；（2）点P 在棱BB 1上，当二面角P ﹣A 2C 2﹣D 2为150°时，求B 2P ．解：（1）证明：以C 为坐标原点，CD ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则C （0，0，0），C 2（0，0，3），B 2（0，2，2），D 2（2，0，2），A 2（2，2，1）， 所以B 2C 2→=(0，−2，1)，A 2D 2→=(0，−2，1)， 所以B 2C 2→=A 2D 2→， 所以B 2C 2→∥A 2D 2→，又B 2C 2，A 2D 2不在同一条直线上， 所以B 2C 2∥A 2D 2．（2）设平面A 2C 2D 2的法向量m →=(a ，b ，c)，则m →=(1，1，2)， 设P （0，2，λ）（0≤λ≤4），又A 2C 2→=(−2，−2，2)，PC 2→=(0，−2，3−λ)，D 2C 2→=(−2，0，1)，设平面P A 2C 2的法向量n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅A 2C 2→=−2x −2y +2z =0n →⋅PC 2→=−2y +(3−λ)z =0，令z ＝2，得y ＝3﹣λ，x ＝λ﹣1，所以n →=(λ−1，3−λ，2)，所以|cos〈n →，m →〉|=|n →⋅m →||n →||m →|=6√6√4+(λ−1)+(3−λ)=|cos150°|=√32，化简可得，λ2﹣4λ+3＝0，解得λ＝1或λ＝3， 所以P （0，2，1）或P （0，2，3）， 所以B 2P ＝1．21．（12分）已知圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线3x +4y ﹣8＝0相切． （1）求圆C 的标准方程；（2）直线l ：y ＝kx +2与圆C 交于A ，B 两点． ①求k 的取值范围；②证明：直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值．解：（1）设圆C 的圆心坐标为C （a ，0），其中a ＞0，半径为r ， ∵圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上， ∴r ＝a ，又∵圆C 与直线3x +4y ﹣8＝0相切， ∴√32+42=r =a ，解得a ＝1或a ＝﹣4（舍去），∴圆心C （1，0），r ＝1，故圆C 的标准方程为（x ﹣1）2+y 2＝1．（2）①联立直线与圆的方程{y =kx +2(x −1)2+y 2=1，可得（k 2+1）x 2+（4k ﹣2）x +4＝0， ∵直线l 交圆C 与A ，B 两点，∴Δ＝b 2﹣4ac ＝（4k ﹣2）2﹣16（k 2+1）＞0，解得k ＜−34， 故k 的取值范围为(−∞，−34)． ②证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由韦达定理，可得x 1+x 2=−4k−2k 2+1，x 1x 2=4k 2+1，又∵k OA +k OB =y1x 1+y2x 2=kx 1+2x 1+kx 2+2x 2=2(x 1+x 2)x 1x 2+2k =−8k−4k 2+14k 2+1+2k =2k ﹣2k +1＝1，∴直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值，即得证．22．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F （﹣1，0），左、右顶点及上顶点分别记为A 、B 、C ，且CF →⋅CB →=1． （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l ：y ＝kx ﹣2与椭圆E 交于M 、N 两点，求△OMN 面积的最大值，以及取得最大值时直线l 的方程．解：（1）易知C （0，b ），B （a ，0），F （﹣1，0）， 所以CF →=(−1，−b)，CB →=(a ，−b)， 因为CF →⋅CB →=1， 所以b 2﹣a ＝1，① 又b 2＝a 2﹣c 2，c ＝1②联立①②，解得a ＝2或a ＝﹣1（舍去）， 所以a 2＝4，b 2＝3， 则椭圆E 的方程为x 24+y 23=1；（2）不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =kx −2x 24+y 23=1，消去y 并整理得（3+4k 2）x 2﹣16kx +4＝0，所以x 1+x 2=16k 3+4k2，x 1x 2=43+4k2，此时Δ＝16（12k 2﹣3）＞0， 解得k 2＞14， 所以|AB |=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2•4√3⋅√4k 2−13+4k 2，而原点O 到直线AB 的距离d =2√1+k ，所以S △AOB=12|AB|⋅d =4√3√4k 2−13+4k2，令√4k 2−1=t ，(t ＞0)， 可得4k 2＝1+t 2， 所以S △AOB =4√3t t 2+4=4√3t+4t≤4√3√t⋅√4t=√3，当且仅当t＝2，即k=±√52时，等号成立，此时△OAB面积取得最大值√3，直线方程为y=±√52x−2．。
广州市执信中学2005-2006高一第二学期数学期中测试卷AqHAPq
广州市执信中学2005-2006高一第二学期数学期中测试卷高一数学（三角函数、数列、不等式）本试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分．考试用时120分钟．第一部分选择题(共50分)一．选择题（本大题共10小题. 每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. sin(300)-o的值是（* ）A ．;21 B ．;21- C ．;23- D ． ;23 2．已知数列{12-5n}, 那么S n 的最大值是（* ） A ．1S B ．2S C ．3S D ．4S3．在直角坐标系中，若α与β的终边关于y 轴对称，则下列各式成立的是 A ．sin sin αβ= B ．cos cos αβ= C ．tan α= tan β D ．以上都不对4．在等差数列}{n a 中,1280a a +=,3460a a +=,那么=+65a a A.30 B.40 C.50 D.605．若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是（* ）A.若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B.若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2C.若a ＜b ＜0，则a 1＜b 1 D.若a ＜b ＜0，则a b ＞ba 6．函数5cos(2)6y x π=+图象的一条对称轴方程是（* ）A ．;12x π=B ．;6x π=C ． 5;12x π=D ．;3π=x 7．函数sin(2)3y x π=-的单调递减区间是（* ）A ．2,;63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．5112,2;1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C ．22,2;63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．511,;1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 8．若a 、b 、c 成等比数列，则函数f (x )＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点个数是（* ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．不确定 9．不等式0)44)(32(22<+---x x x x 的解集是 A ．}31|{>-<x x x 或 B ．}31|{<<-x xC ．}13|{>-<x x x 或D ．}3221|{<<<<-x x x 或10．设集合y x y x y x A --=1,,|),{(是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（* ）第二部分非选择题(共100分)二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 11．半径为a （0>a ）的圆中，6π弧度圆心角所对的弧长是_____* ______，长为a 2的弧所对的圆周角为______* ______弧度． 12． 若tan 2α=, 则5sin cos 2cos 3sin αααα-++= * ．13． b 克糖水中 有a 克糖(b >a >0),若再添上m 克糖(m >0),则糖水就变甜了.试根据这个事实,提炼一个不等式:_____*_____ ．14．已知偶函数)(x f y =定义域为R ，且恒满足)2()2(x f x f -=+，若方程0)(=x f 在[]4,0上只有三个实根，且一个根是4，方程在区间(]10,8-中的根有 * 个．三．解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．化简或求值（本小题满分18分，每小题6分）（1）化简：sin()cos()sin()cos()222cos()sin()πππααπααπαπα+⋅--⋅++++； （2）已知51cos sin ,02=+<<-x x x π，求sin cos x x -的值．16．解不等式（本小题满分8分）(ax 1)(x-1)>0-17．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++．求：⑴求数列{}n a 的通项公式． ⑵求数列11{}n n a a +的前n 项和．A B C D18．（本小题满分15分）已知函数)2||,0,0A )(x sin(A )x (f π<φ>ω>φ+ω=的图象在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(,2)π和(4,2)π-. (1)试求)x (f 的解析式；(2)将)x (f y =图象上所有点的横坐标缩短到原来的31（纵坐标不变），然后再将新的图象向x 轴正方向平移3π个单位，得到函数)x (g y =的图象.写出函数)x (g y =的解析式，并用列表作图的方法画出)x (g y =在长度为一个周期的闭区间上的图象.19．（本小题满分13分）已知函数f(x)=－sin 2x+sinx+a ，（1）当f(x)=0有实数解时，求a 的取值范围； （2）若2x [,]63ππ∈，有1≤f(x)≤417，求a 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 、{}n b ，数列{}n a 的前n 项和为S n ，且对任意自然数n ，总有n n S p(a 1)=-,（p 是常数且p ≠0，p ≠1）．数列{}n b 中，q n b n +=2（q 是常数），且,,2211b a b a <=求p 的取值范围.参考答案一．选择题DBABB CDCDA 二．填空题11．a 6π,2 ; 12．98- 13．a m ab m b +>+ 11．9 三．解答题15．（1）解：原式=cos sin sin (sin )-cos sin αααααα⋅⋅-+- ……………3分 =sin sin αα-+ ……………4分= 0 ……………5分（2） 解：∵1sin x cos x 5+=∴ 222(sin x+cosx)sin x 2sin xcosx+cos x =+……………1分 =1+2sinxcosx =125……………2分 ∴2sinxcosx =12412525-=-……………3分 ∴222(sin x-cosx)sin x-2sin xcosx+cos x = ……………4分=1-2sinxcosx =4925……………5分 ∵0,2x π-<<∴sin x<0,cosx>0 ……………6分∴sin x cos x 0-> ……………7分∴7sin x cos x=5- ……………8分16．解：由ax-1x 10（）(-)< 1．a 0=时，原不等式可化为x -1>0 , 则不等式的解集是{}x x>1………3分 2．a=1时，1a=1,不等式的解集是Ф．……………6分 3．a 0<时，1a <1, 不等式的解集是1x x x 1a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或……………9分4．0<a<1时，1a >1,不等式的解集是1x 1x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；5．a>1时，1a <1,不等式的解集是1x x 1a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；……………12分 17．解：⑴∵21n S n n =++，∴n ≥2时n n n 122a S S =n n 1(n 1)(n 1)-1=2n-=-++---- ……………2分n=1时，11a S 1113==++= ……………4分 当n=1时，n a =21a ≠ ……………5分∴3(1)2(2)n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩ ……………6分⑵2n ≥时，111111()4(1)41n n a a n n n n +==-++ ……………8分 ∴122334111n T a a a a a a =+++ (1)1n n a a ++ ……………9分 111111(1242334=+-+-+…11)1n n +-+……………10分 11151(2)128124(1)n n n n n --=+⋅=≥++，……………11分 又1112T =，……………12分 满足此式，∴51()24(1)n n T n N n *-=∈+．………13分18．解：（1）由题意可得：∵ π6=T ， 2=A ，∴1()2sin()3f x x ϕ=+，……………3分Θ函数图像过（π，2），sin()13πϕ∴+=，……………4分2πϕ<Θ，6πϕ=∴ ，……………5分)63sin(2)(π+=∴x x f ；……………6分（2）依题意得)sin(2)(π-=x x g ； ……………10分………13分…………16分19．解：（1）f(x)=0，即a=sin 2x －sinx ……………1分=(sinx －21)2－41……………3分 ∴当sinx=21时，a min =41……………4分当sinx=－1时，a max =2， ……………5分 ∴[41-，2]为所求法2：∵-sin 2x+sinx+a=0 设t= sinx ，则t ∈[-1,1]那么依题意有方程2t t a 0-++=有两个根12x ,x ，且121x ,x 1-≤≤∴f (1)0f (1)00-≤⎧⎪≤⎨⎪∆≥⎩ ……………3分 解得：11a 011a 01+4a 0--+≤⎧⎪-++≤⎨⎪≥⎩……………4分∴1a 24-≤≤……………5分 （2）由1≤f(x)≤47得⎪⎩⎪⎨⎧+-≥+-≤1sin sin 417sin sin 22x x a x x a ……7分 ∵2x [,]63ππ∈ ∴12≤sinx ≤1 ……8分 ∴u 1=sin 2x －sinx+2)21(sin 417-=x +4≥4 …10分 u 2=sin 2x －sinx+1=43)21(sin 2+-x ≤1 …12分∴ 1≤a ≤4 ……………13分20．解：∵.1),1(1111-=∴-==p pa a p S a ………2分.)1().(,2111---=--=-=≥n n n n n n n pa a p a a p S S a n 即时}{n a ∴成等比数列，且公比为,1-p p………4分 .)1()1(11n n n p p p p p p a -=-⋅-=∴-………6分 （2）由已知，得：22,()4.11p p p q p p =+<+--…8分 消去q 并整理得：.021)1(2<----p p p p …9分 解得：.221,211><∴<-<-p p p p 或…11分 p 的取值范围是：),2()21,0()0,(+∞⋃⋃-∞…12分。
广东省广州市第六中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题(无答案)
2021级高二上学期数学期中考试命题人：张萍 审题人：刘旭升本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合{}3,2,1,0,1,2,3,{13}A B xx =---=-<<∣，则A B ⋂的真子集的个数为（ ）A.7B.8C.15D.162.若复数z 满足()2i i z ⋅-=，其中i 为虚数单位，则其共轭复数z =（ ） A.12i 55-+ B.12i 55-- C.12i 55+ D.12i 55- 3.“1m =-”是“直线1:210l mx y ++=与直线211:022l x my ++=平行”的（ ） A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要4.ABC 中，90,2,C AC P ∠==为线段BC 上任一点，则AP AC ⋅=（ ）A.8B.4C.2D.65.若将函数()y f x =的图象1C 向左平移2π个单位后得到函数()y g x =的图象2C ，再将2C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数sin y x =的图象3C ，则()f x =（ ）A.cos2x -B.sin2x -C.cos2xD.sin2x6.已知()()3,1,5,2A B --，点P 在直线0x y +=上，则PA PB +的最小值是（ ）A.1 217153+ 17 D.2 7.过点()2,1P 作圆22:(1)4M x y -+=的最短弦，延长该弦与x 轴､y 轴分别交于,A B 两点，则ABM 的面积为（ ）A.3B.4C.92D.5 8.设直线系:cos sin 1,02M x y θθθπ+=≤<，对于下列四个命题： （1）M 中所有直线均经过某定点；（2）存在定点P 不在M 中的任意一条直线上；（3）对于任意整数,3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上；（4）M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（ ）A.（2）（3）B.（1）（4）C.（2）（3）（4）D.（1）（2）二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.如图是某市5月1日至10日 2.5PM 的日均值（单位：3μg/m ）变化的折线图，关于2.5PM 日均值说法错误的是（ ）A.这10天日均值的83%分位数为78B.这10天的日均值的中位数为41C.前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差D.前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差10.已知圆22:4O x y +=和圆22:2440M x y x y +-++=相交于A B ､两点，下列说法正确的是（ ）A.圆M 的圆心为()1,2-，半径为1B.直线AB 的方程为240x y --=C.线段AB 25D.圆M 上点C 到直线AB 55+11.设定义在R 上的连续函数()g x 满足()()()()()4,113,10g x g x g x g x g =-+=-=，下列命题正确的有（ ）（注：函数()f x 在区间D 上连续指的是在区间D 上函数()f x 的图象连续不断.）A.10为()y g x =的一个周期B.12x =是()y g x =的一条对称轴C.函数()y g x =有无数个对称中心D.方程()0g x =在区间[]0,2022上至少有405个解12.如下图，正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 上的动点，AM ⊥平面α，则下面说法正确的是（ ）A.直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为322⎣⎦B.点M 与点1C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C.点M 为1CC 的中点时，平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D.已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的三等分点三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.设,x y ∈R ，向量()()(),1,1,1,,1,2,4,2a x b y c ===-，且,a c c ⊥∥，则x y +的值为__________.14.已知圆22(1)(3)9x y ++-=上存在两点关于直线10(0,0)ax by a b -+=>>对称，则13a b+的最小值是__________. 15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，AC BD O ⋂=，若23,3PD PAD BAD π∠∠===，则三棱锥P COD -的外接球表面积为__________.16.已知函数()322xf x =⋅+，对于任意的[]20,1x ∈，都存在[]10,1x ∈，使得()()12213f x f x m ++=成立，则实数m 的取值范围为__________.四､解答题（本题共6小题，共70分）17.（本小题满分10分）已知()223cos sin 2cos 1(0)f x x x x ωωωω=-+>，且()f x 的最小正周期为π.（1）化简函数()y f x =并求ω的值；（2）求函数()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间. 18.（本小题满分12分）甲､乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲贏的概率为34，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为34，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为12.已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢.（1）求第四盘棋甲赢的概率；（2）求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率.19.（本小题满分12分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3cos sin 3a C a C b -=.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求BC 边上的中线AD 长度的最小值.20.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点E 为AB 的中点，点F 在BC 上，且3AC BC BF ==.（1）证明：平面11A B F ⊥平面1CC E ；（2）若160,2ABC AA AB ∠==，且三棱锥11E A B F -的体积为439，求CE 与平面11A B F 所成角的正弦值.21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点()4,0A ，直线:24l y x =-，圆C ：2264120x y x y +--+=（1）过点A 作圆C 的切线m ，求m 的方程；（2）有一动圆M 5l 上，若动圆M 上存在点N ，使NA NQ =，其中，点Q 为过点N 作圆C 的切线所得的切点.求圆心M 的横坐标0x 的取值范围. 22.（本小题满分12分）已知函数()()21,ln 4f x x axg x x =++=-. （1）若函数()f x 在()0,1上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围；（2）用{}min ,m n 表示,m n 中的最小值，设函数()()(){}min ,(0)h x f x g x x =>，讨论()h x零点的个数.。
广州市113中学05-06学年上学期高二数学期中考试题
天河区05-06学年下学期高一数学竞赛考试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量)67cos ,23(cos ︒︒=，)37cos ,53(cos ︒︒=，=⋅ （ ）(A)23 (B)21(C)－23 (D)－212．若1||||==b a ，⊥且32+与k 4-也互相垂直，则实数k 的值为（ ） (A)6- (B)6 (C)3- (D)33. 方程lg 3x x +=根的情况是 ( ) A. 有两个正根 B. 有一正根一负根 C. 仅有一正根 D. 没有实根4.圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A.x+y+3=0 B 、2x-y-5=0 C 、 3x-y-9=0 D 、4x-3y+7=0不正确的．．．．是（ ） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B ．同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.6、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6(π平移后，它的一条对称轴是4π=x ，则θ的一个可能的值是（ ） (A)125π (B)3π (C)6π (D)12π7、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个点，一动点P 满足：()OP OA AB AC λ=++，λ∈（0，∞），则直线AP 一定通过△ABC 的A 、外心B 、内心C 、重心D 、垂心8．若奇函数f （x ）在区间[3，7]上递增且最小值为5，则f （x ）在[－7，－3]上为（ ） A ．增函数且最小值－5 B ．增函数且最大值－5 C ．减函数且最小值－5 D ．减函数且最大值－5P （x ,y ）为圆x 2+（y -1）2=1上的任一点，欲使不等式x +y +c ≥0恒成立，则c 的取值范围是（ ）.A ．[12,21---] B.[+∞-,12] C.(12,12---) D.(12,--∞-)10．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数()d f l =的图像大致是（ ）.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知不等式03)1(4)54(22>+---+x m x m m 时一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围 。
广州天河区一一三中2025届数学高二上期末学业质量监测试题含解析
所以“ a 1”是“直线 l1 : ax 3y 4 0 与 l2 : a 2 x y 1 0 互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
9、8
【解析】由已知条件中的偶函数即可计算出结果，
2
【详解】 f (x) 为偶函数，且 f (x)dx 4 ， 0
2
2
f (x)dx 2 f (x)dx 2 4 8 .
离心率为 c 1 ，D 选项正确. a2
故选：D
4、D
【解析】利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式直接求解.
【详解】解：将一枚均匀的筛子先后抛掷 3 次，每次出现点数为 3 的概率都是 1 6
至少出现两次点数为
3
的概率为：
P=C32
1 6
2
5 6
+
1 6
3
（2）设过点 M 0,3 的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A 、 B ，以 OA 、 OB 为邻边作平行四边形 OADB ．是否存在
这样的直线 l ，使得直线 OD 与 MC 恰好平行？如果存在，求出 l 的方程，如果不存在，请说明理由
参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C
A. 3, 2 5
C. 4, 6
B. 4, 2 5
D. 2 5,6
7．用 2, 3, 4 这 3 个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”与事件“这个三位数大于 342” （）
A.是互斥但不对立事件 C.是对立事件
B.不是互斥事件 D.是不可能事件
8． “ a 1”是“直线 l1 : ax 3y 4 0 与 l2 : a 2 x y 1 0 互相垂直”的（）
2021-2022学年广东省广州市三中、四中、南武、培正中学高二上学期期中数学+答案解析(附后)
2021-2022学年广东省广州市三中、四中、南武、培正中学高二上学期期中数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则选项中与向量相等的是( )A. B. C. D.2.已知三角形的三个顶点，，，则BC边上的中线所在直线的方程为( )A. B.C. D.3.已知空间向量，空间向量满足且，则( )A. B. C. D.4.已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程是( )A. B. C. D.5.若方程表示的曲线是圆，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.6.已知平面过点，它的一个法向量为，则下列哪个点不在平面内( )A. B. C. D.7.一条光线从点射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为 ( )A. 或B. 或C. 或D. 或8.已知空间三点：，，，设，，，则下列命题错误的是( )A.B. 在方向上的投影向量等于C. 是等边三角形D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.给出下列命题，其中是真命题的是( )A. 若可以构成空间的一组基底，向量与共线，，则也可以构成空间的一组基底B. 已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一组基底C. 已知A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间的一组基底，则A，B，M，N 四点共面D. 已知是空间的一组基底，若，则不是空间的一组基底10.下列命题正确的有( )A.两平行线、间的距离为2B. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线有两条C. 直线的方向向量可以是D. 直线与直线平行，则或211.已知直线，，，以下结论正确的是( )A. 不论a为何值时，与都互相垂直B. 当a变化时，与分别经过定点和C. 不论a为何值时，与都关于直线对称D. 如果与交于点M，则的最大值是12.在正三棱柱中，，，与交于点F，点E是线段上的动点，则下列结论正确的是( )A.B. 存在点E，使得C. 三棱锥的体积为D. 直线AF与平面所成角的余弦值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省广州市高二数学上学期期中试题新人教A版
MN2012-2013学年度第一学期 高二级数学科期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}Z k k x x N x x M ∈+==≤<=,12,30， 则图中阴影部分表示的集合是A ． φB ．{}1C ． {}3,1 D ．{}3,1,02. “0=x ”是“0=xy ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ． 既不充分也不必要条件3. 下列对一组数据的分析，不正确的说法是 A 数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定. B.数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C. 数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 D.数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定4. 已知向量),,2(t a =ρ满足5=a ρ，则实数t 值是 A ．1-或1 B. 1- C. 33或- D. 21-或215.命题:p x y =在R 上是增函数;命题:q 若x x f 2log )(=,则有: )()()(y f x f y x f +=⋅ A.真q p ∧ B. 假p ⌝ C. 真q ⌝ D. 真q p ∨ 6.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图 (或称主视图)是一个底边长为8、高为3的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为4、高为3的等腰 三角形．则该儿何体的侧面积为A. 13820+B.13410+C. 36D. 60 7. 执行右边的程序框图，若4p =，则输出的S = A. 1631 B. 87 C. 3231 D. 16158. 当42<<x ，则 22,log ,2x x x的大小关系是 A ．xx x 2log 22>> B ． 22log 2x x x>> C. x x x22log 2>> D ． x x x22log 2>>9. 已知点()1,0A ，直线l ：24y x =-，点R 是直线l 上的一点，若RA AP =u u u r u u u r，则 点P 的轨迹方程为A ．2y x =-B ．2y x =C ．28y x =-D ．24y x =+10.若对任意实数x ,022sin 2cos 2<--+k x k x 恒成立,则实数k 的取值范围是 A. 2121+<<-k B. 21->k C. 121≤<-k D.1->k第二部分非选择题 (共 100 分)二．填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 把答案填在答卷的相应位置．11．已知椭圆1162522=+y x ，则椭圆的焦点坐标是 ＊ 12.数列{}n a 是等差数列，27=a ，则前13项和=13S _*____13.设y x , 满足约束条件,0,00132013⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-y x y x y x 若目标函数()0,0>>+=b a by ax z的最大值为1,则正数b a ,满足的关系是___*_____,ba 21+的最小值是__*___14.定义在),(+∞-∞上的偶函数)(x f 满足：)()2(x f x f -=+，且在[]0,2-上 是增函数，下面是关于)(x f 的判断：（1）)(x f 是周期函数； （2）)(x f 在[]2,0上是增函数； （3）)(x f 在[]4,2上是减函数； （4）)(x f 的图象关于直线2=x 对称. 则正确的命题序号是三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）ABC ∆的面积是,4角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,53cos ,2==A b (1) 求212cos 2cos2++A A 的值； (2) 分别求a c ,的值.16．（本题满分12分）甲、乙、丙、丁四名广交会志愿者分在同一组.广交会期间，该组每天提供上午或下午共两个时间段的服务，每个时间段需且仅需一名志愿者.（1）如果每位志愿者每天仅提供一个时间段的服务，求甲、乙两人在同一天服务的概率； （2）如果每位志愿者每天可以提供上午或下午的服务，求甲、乙两人在同一天服务的概率.17.（本题满分14分）如图所示,四棱锥ABCD P -中，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是菱形，ο60B =∠AD ，E 为PC 的中点， （1）求证：PA ∥平面BDE ；（2）求证：AD PB ⊥； （3）(文科)求三棱锥PDB C -的体积. (3)(理科) 求直线PC 与平面ABCD 所成角的正切值.18. （本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足()*2121N n a S n n ∈-=. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n a n c ⋅=,求数列{}n c 的前n 项和n T ,并证明43<n T .PABCD E19． （本题满分14分）已知圆:C ()()42122=-++y x（1）若直线l :)2(-=x k y 与圆C 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围； （2）（文科）若过)0,2(的直线m 被圆C 截得的弦长为14，求直线m 的方程； （2）（理科）若斜率为1的直线m 被圆C 截得的弦AB 满足OB OA ⊥（O 是坐标 原点），求直线m 的方程.20．（本题满分14分）已知函数12)(2-+-=a x ax x f ，R a ∈（1）若函数)(x f 满足)1()1(x f x f +=-，求实数a 的值；（2）若函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上总是单调函数，求实数a 的取值范围；（3）若函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有零点，求实数a 的取值范围.2012-2013学年度第一学期 高二级数学科期中试题答案一、选择题：CABA D AD C BB二、填空题：11. )0,3(),0,3(-; 12. 26 13. 12=+b a ；8 14.（1），（4） 三、解答题 15．（本题满分12分） 15.解：（1）211cos 22cos 1212cos 2cos 22+-++=++A A A A 2cos cos 22A A += ……3分505153212592=⋅+⋅= ……………… 6分 （2）,2,4sin 21===b A bc S ABC ∆中，54cos 1sin 2=-=A A ……… 8分代入解得5=c …… 9分由余弦定理得： 1753522254cos 222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ………11分 17=∴a ………12分16．（本题满分12分） 16.解（Ⅰ）从四个人中选出2个人去上午或下午服务（仅一段）是一个基本事件，……………1分，基本事件总数有：（画树状图（或列举法））（甲、乙），（甲、丙），（甲，丁），（乙、甲），（乙、丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙）共12种情况，每种情况的发生都是等可能的，符合古典概型的条件……………………3分， 其中甲乙在同一天服务有2种情况（乙、甲），（甲、乙），……………………4分， 所以甲.乙两人在同一天服务的概率611221==P ……………………6分. （未画树状图或列举的酌情扣1~2分，没有任何过程仅有答案者只记2分）（Ⅱ）从四个人中选出2个人(可以重复选同一个人)去上午或下午服务（一段或两段）是一个基本事件,…………1分，画树状图（或列举法）（甲、甲），（甲、乙），（甲、丙），（甲，丁），（乙、甲），（乙，乙），（乙、丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），（丁，丁）共16种情况每种情况的发生都是等可能的，符合古典概型的条件……………………9分.“其中甲乙在同一天服务”有2种情况（甲、乙），（乙、甲），……………………10分. 所以甲.乙两人在同一天服务的概率811622==P ……………………12分. （未画树状图或列举的酌情扣1~2分，没有任何过程仅有答案者只记2分） 17(本题满分14分)证明（1）连接AC 交BD 于为O ，连接EO ，∵ E 为PC 的中点，O 为AC 的中点，在△PAC 中，PA ∥EO BDE EO 平面⊂Θ，BDE PA 平面⊄，PA ∥平面BDE, ……………5分 （2）则F 为AD 的中点, 连接,PF BF . PD PA =Θ,AD PF ⊥∴. ……………6分ABCD Θ是菱形，︒=∠60BAD ,ABD ∆是等边三角形..AD BF ⊥∴ ………7分 ,F BF PF =I Θ………8分⊥∴AD 平面PBF ………9分.⊂PB Θ平面PBF ,A D ⊥∴PB .……………10分 （3）(文科） ABD ∆Q 为正三角形,PF 是三棱锥BDC P -的体高, PF S V V V BDC PDB C BDC P PDB C ⋅=∴=∆---31,Θ∴=⨯⨯⨯=∆,360sin 2221οBDC S 13331=⋅⋅=-PDB C V ……………14分（3）（理科）ABD ∆Q 为正三角形,.ABCD PC PCF CF,所成的角与平面是直线则连接∠ 7cos120212-41CF .120CDF 1CF 2CD CDF =⋅⋅⋅+==∠==∆οο由余弦定理，，中，在72173tan .3PF PFC Rt ===∠=∆CF PF PCF 中，在……………………………14分18．（本题满分14分）,,.PAD ABCD PAD ABCD AD PF AD PF ABCD ⊥⋂=⊥∴⊥Q 面面面面面,,.PAD ABCD PAD ABCD AD PF AD PF ABCD ⊥⋂=⊥∴⊥Q 面面面面面（1）当1=n 时，31,21211111=-==a a S a ．…………3分 当2≥n 时，n n n n n n n a a a a S S a 2121)2121()2121(111-=---=-=---，………5分即131-=n n a a ,…………6分 又,0311≠=a 所以数列{}n a 是首项为,31公比为31的等比数列, …………8分n n n a 3131311=⋅=∴-)(*N n ∈．…………9分（2）由（1）可知n n n c 31⋅=， 所以n n n n n T 3131)1(313312311132⋅+⋅-++⨯+⨯+⨯=-Λ． ① ①⨯3得122103131)1(3133123113--⋅+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T Λ． ②………11分 ②-①得：122103131311311313112--+⋅++⨯+⨯+⋅-⨯=n n n n n T Λ…………12分3113113131121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-=-n n n n T 13212131-⋅-+-=n n n …………13分 ．43343243<⋅+-=n n n T …………14分 19.（本题满分14分）（1）直线l 与圆C 有公共点，所以圆心)2,1(-到直线l 的距离r d ≤（r=2），……2分1223212222+≤+⇔≤+---=∴k k k k k d ………………5分两边平方，整理得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∴≤+0,512.01252k k k ………………7分（2）（文科）设直线l 的斜率为k ，则直线l 方程为y=k(x-2),即kx-y-2=0，………………8分由222d r l -=，221234214⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=k k ………………9分两边平方，整理得：0724172=++k k ………………10分解得,1-=k 或,177-=k 均在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,512上，………………12分 直线方程为：)2(1-⋅-=x y 或),2(177-⋅-=x y 即：,02=-+y x 或014177=-+y x …………14分(2)（理科）存在，253±+=x y 解法1：设直线l 的方程：m x y +=，设(),,11y x A ()22,y x B ………………8分则02121=+⇔⊥⇔⊥y y x x OB OA ，因为()2212121m x x m x x y y +++= ⇔=+∴02121y y x x ()221212m x x m x x +++①………………10分把m x y +=代入()()42122=-++y x 整理得()01422222=+-+--m m x m x()()016,014822222<+->+---=∆m m m m m 即223223+<<-⇔m （*）,121m x x -=+,214221+-=m m x x ………………12分将上式代入①得,0)1(1422=+-++-m m m m m 即,0132=+-m m 得253±=m 满足（*）………………13分所以存在直线，方程是，253±+=x y ………………14分 解法2：设直线l 的方程：m x y +=，………………8分设AB 的中点为D ，则,AB CD ⊥又DA AB OD OB OA ==∴⊥21,，………………9分则CD 的方程是()112+-=-x y ，即1+-=x y ，………………10分联立m x y +=与1+-=x y 得)21,21(mm D +-………………11分圆心)2,1(-到直线m x y +=的距离223223223+<<-⇔<+-=m m d2222342121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴m m m ………………12分 整理得,0132=+-m m 得253±=m ，满足2=≤r d ………………13分 所以存在直线，方程是，253±+=x y ………………14分 20. （本题满分14分）(1) )1()1(x f x f +=-知函数12)(2-+-=a x ax x f 关于直线1=x 对称……………1分.1,11,0==≠∴a aa ……………………2分 （2）①,0=a 12)(--=x x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减……………………3分②⎪⎩⎪⎨⎧≤>2110a a 即2≥a 时，)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递增……………………4分 ③⎪⎩⎪⎨⎧≥>210aa 即210≤<a 时，)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减……………………5分 ④,0<a )(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减……………………6分综上所述，21≤a 或2≥a ，)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上是单调函数…………………7分 （3）解法1：当0a =时，函数12)(--=x x f 的零点是∉-21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上没有零点 当0≠a 时，…………………8分①若)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有两个相等的实根，则,0)1(44=--=∆a a 且2121≤≤a 即221≤≤a 当,0)1(44=--=∆a a 则∈+=251a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，∉-=251a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，251+=∴a ………9分 ②若)(x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,21上有一个实根，则0)2()21(<f f ，即()()045585<--a a 得581<<a …………………10分③若)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有两个的不同实根，则有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥-=≥-=≤≤>++-=∆>055)2(0485)21(21210)1(402a f a f a a a a 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤-=≤-=≤≤>++-=∆<055)2(0485)21(21210)1(402a f a f aa a a 解得21558+≤≤a 或空集…………12分 综上2151+≤<a ，检验,1,0)2(==a f x x x f 2)(2-=的零点是0，2，其中2⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21，符合；综上所述2151+≤≤a …………………14分 解法2当0a ≠时，函数12)(2-+-=a x ax x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有零点⇔()x x a 2112+=+在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有解⇔2121x x a ++=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有解，问题转化为求函数2121x xy ++=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的值域……8分设[]5,221∈+=x t ，21-=t x ，则 25425421122-+=+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+=t tt t t t ty ……9分 设tt t g 5)(+=，可以证明当())(,5,2t g t ∈递减，())(,5,5t g t ∈递增 事实上，设,5021<<<t t 则()()()212121*********)(t t t t t t t t t t t g t g --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-， 由,5021<<<t t ，得120t t -<，5021<<t t ，即()()120g t g t ->． ……10分所以()g t 在()5,2上单调递减．同理得 ()g t 在()5,5上单调递增，……11分又5.4)2(6)5(=>=g g 故∴≤≤),5()()5(g t g g ∴≤≤,6)(52t g ,42)(2520≤-≤-<t g ……12分,25242)(41-≤-≤∴t g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈∴+≤-≤∴215,1,2152)(41y t g ． 13分 故实数a 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+215,1．……14分。
广东省广州市高二上学期数学期中考试试卷
广东省广州市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·荔湾期末) 某学校共有教师120人，老教师、中年教师、青年教师的比例为，其中青年男教师24人. 现用分层抽样的方式从该校教师中选出一个30人的样本，则被选出的青年女教师的人数为（）A . 12B . 6C . 4D . 32. （2分）(2017·武汉模拟) 下列函数既是奇函数，又在[﹣1，1]上单调递增是（）A . f（x）=|sinx|B . f（x）=lnC . f（x）= （ex﹣e﹣x）D . f（x）=ln（﹣x）3. （2分）(2018·河北模拟) 已知等差数列的前项和为，且，则（）A . 31B . 12C . 13D . 524. （2分）(2017·日照模拟) 已知点P（﹣3，5），Q（2，1），向量 =（2λ﹣1，λ+1），若∥ ，则实数λ等于（）B .C .D .5. （2分）(2017·渝中模拟) 若a∈[1，6]，则函数在区间[2，+∞）内单调递增的概率是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一下·滕州期末) 某运动员进行射击训练，若该运动员进行了5次射击，则互斥而不对立的两个事件是（）A . 恰好击中3次，击中奇数次B . 击中不少于3次，击中不多于4次C . 恰好击中3次，恰好击中4次D . 击中不多于3次，击中不少于4次7. （2分） (2019高一下·武宁期末) 已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数和方差分别为（）A .B .C .8. （2分）下图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）A . 68B . 70C . 69D . 719. （2分） (2017高三下·重庆模拟) 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的值是（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分）(2020·晋城模拟) 甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则（）A . 甲得分的平均数比乙的大B . 乙的成绩更稳定C . 甲得分的中位数比乙的大D . 甲的成绩更稳定11. （2分）如果函数的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）(2020·漳州模拟) 如图，已知的三个顶点均在抛物线上，AB经过抛物线的焦点F ，点D为AC中点.若点D的纵坐标等于线段AC的长度减去1，则当最大时，线段AB的长度为（）A . 12B . 14C . 10D . 16二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·山西月考) 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为________．14. （1分） (2016高一下·韶关期末) 若一三角形三边所在的直线方程分别为x+2y﹣5=0，y﹣2=0，x+y﹣4=0，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为________．15. （1分）(2019·丽水月考) 直线，的斜率，是关于的方程的两根，若，则 ________；若，则 ________.16. （1分）已知函数f（x）=log3 的值域为[0，1]，则b与c的和为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高一下·漳州期末) 设平面直角坐标系xOy中，曲线G：y= + x﹣a2（x∈R），a 为常数．（1）若a≠0，曲线G的图象与两坐标轴有三个交点，求经过这三个交点的圆C的一般方程；（2）在（1）的条件下，求圆心C所在曲线的轨迹方程；（3）若a=0，已知点M（0，3），在y轴上存在定点N（异于点M）满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．18. （10分） (2016高一下·信阳期末) 某市政府为了实施政府绩效管理、创新政府公共服务模式、提高公共服务效率．实施了“政府承诺，等你打分”民意调查活动，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人，统计结果表不幸被污损，如表：学生在职人员退休人员满意78不满意512若在所调查人员中随机抽取1人，恰好抽到学生的概率为0.32．（1）求满意学生的人数；（2）现用分层抽样的方法在所调查的人员中抽取25人，则在职人员应抽取多少人？（3）若满意的在职人员为77，则从问卷调查中填写不满意的“学生和在职人员”中选出2人进行访谈，求这2人中包含了两类人员的概率．19. （10分） (2018高二上·台州期末) 已知直线过点，且在轴上的截距为．（I）求直线的方程；（II）求直线被圆所截得的弦长．20. （10分） (2019高一下·南宁期末) 下表是某地一家超市在2018年一月份某一周内周2到周6的时间与每天获得的利润（单位：万元）的有关数据．星期星期2星期3星期4星期5星期6利润23569参考公式：（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程；（2）估计星期日获得的利润为多少万元．21. （10分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=CD=1，AC=， AD=DE=2．（Ⅰ）在线段CE上取一点F，作BF∥平面ACD（只需指出F的位置，不需证明）；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的点F，求直线BF与平面ADEB所成角的正弦值．22. （10分） (2018高三上·酉阳期末) 已知，，动点P满足，其中分别表示直线的斜率，t为常数，当t=-1时，点P的轨迹为；当时，点P的轨迹为．（1）求的方程；（2）过点的直线与曲线顺次交于四点，且，，是否存在这样的直线l，使得成等差数列？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
广州市天河区05--06学年下学期高二数学期中考试试卷(文科)AqqPHP
广州市天河区05--06学年下学期高二数学期中考试试卷（文科）考试范围：数学1（解析几何初步）、数学1—1（圆锥曲线）、数学1—2（全部）时间：120分钟 满分：150分一．选择题（共10题，每小题5分，满分50分） 1．y -+5=0的倾斜角为（ ）A ．0150 B ． 0120 C ． 060 D ．0302．如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 垂直，那么a 等于（ ）A ．3-B ．6-C ．23-D ．323．在研究两个分类变量x 、y 的关系时进行独立性检验常常使用统计变量2χ，如果我们有99.9%的把握认为x 、y 有关系，那么2χ值应在的临界值为（ ） A ．2.706 B ．3.841 C ．6.635 D ．10.8284．已知圆的方程为222610x y ax ay +-+-=，则圆心的轨迹方程为（ ） A ．3y x =- B ．3y x = C ．3x y =- D ．3x y =5．复数13z i =+，21z i =-，则复数12z z z =在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．把1，3，6，10，15，21，…这些数称为三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如下图）：则第10个三角形数为（ ） A ．45 B ．55 C ．50 D ．56 7．以下是计算201614121++++Λ的值的一个 程序框图，其中判断框内填入的条件是（ ）A ．10>iB ．10<iC ．20>iD ．20<i1 3 6 158．若过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （ ）A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= 9．椭圆192522=+y x 上一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 为坐标原点，则ON =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．2310．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线2470x y -+=上，则抛物线的方程为（ ）A ．214y x =- B ．22147y x x y =-=或C ．27x y =D ．22147y x x y ==-或 二．填空题（共4题，每小题5分，满分20分）11.在一组随机变量x 、y 的两个回归摸型中，残差的平方和越 大的模型拟合的效果越 （填好或差）.12．阅读所给的算法流程图，则输出的结果是S= ； 13．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23，则双曲线12222=-by a x 的离心率为 .14. 设P 为抛物线x y 42=上的点，则P 到直线3+=x y 的最短距离为 .三.解答题（共6题，满分80分） 15．（满分12分）直线l 过点A （-2，3）且与两坐标轴截得的线段恰好被点A 平分，求直线l 的方程。
广东省广州市第113中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题
广东省广州市第113中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题一、单选题1．下列生活现象中，属于平移的是（ ）A ．足球在草地上滚动B ．拉开抽屉C ．把打开的课本合上D ．钟摆的摆动2．下面四个图形中，1∠与2∠互为对顶角的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．在平面直角坐标系中，点()9,5-所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．64的立方根是（ ）A ．4B ．±4C ．8D ．±85．下列命题中是假命题的是（ ）．A ．等角的补角相等B ．平行于同一条直线的两条直线平行C ．对顶角相等D ．同位角相等 6．下列实数中，属于无理数的是（ ）A B ．14- C ．227 D 7．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图．小华对小刚说：“如果我的位置用(0,0)表示，小军的位置用(2,1)表示，那么你的位置可以表示成（ ）A ．(5,4)B ．(4,5)C ．(3,4)D ．(4,3)8．如图，已知AB ∥DE ∥CF ，若∠ABC =70°，∠CDE =130°，则∠BCD 的度数为( )A ．10°B ．15°C ．20°D ．35°9．下列各式中正确的是（ ）A 3=±B 3-C ．4=D 2=- 10．如图，下列不能判定AB CD P 的条件是（ ）A ．180B BCD ∠+∠=︒B ．12∠=∠C ．3=4∠∠D ．5B ∠=∠二、填空题11．9的平方根是．12．计算：．13．若点()4,2M m m --在y 轴上，则m =．14．直线AB CD 、交于点O ，若AOC ∠为40︒，则BOD ∠的度数为 ．15．如图，工程队铺设一公路，他们从点A 处铺设到点B 处时，他们决定改变方向经过点C ，再拐到点D ，如果120ABC ∠=︒，140CDE ∠=︒，则BCD ∠的度数．16．点()2,21P a a --到x 轴距离为3，则a 的值为．三、解答题17．计算：(2)2318．求下列各式中x 的值：(1)2410x -=；(2)3(21)64x -=-19．已知一个正数的两个平方根分别是23a -与6a -，b 的立方根为1．求a b +的平方根． 20．如图，DE 平分BEF ∠，35DEF ∠=︒，110DFE ∠=︒．求证：AB CD ∥．21．如图，已知AC AB ⊥，ED AB ⊥，80CAF ∠=︒．求DGF ∠的度数．22．如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的顶点C 的坐标为()1,3(1)把ABC V 向上平移3个单位，再向右平移2个单位得A B C '''V ，画出A B C '''V ．(2)写出点A '、点B '、点C '的坐标．(3)若ABC V 内有一点(),M m n ，按照（2）的平移规律直接写出平移后点M 的对应点M '的坐标．23．如图，点O 在直线AB 上，BOD ∠与COD ∠互补，BOC n EOC ∠=∠(1)若24AOD ∠=︒，3n =，求DOE ∠的度数；(2)若DO OE ⊥，求n 的值；(3)若4n =，设AOD α∠=，求DOE ∠的度数（用含α的代数式表示）．24．如图，在平面直角坐标系中，已知()(),0,,0A a B b ，a ，b 满足()2240a b ++-=．(1)求a 、b 的值．(2)如果在第三象限内有一点()3,M m -，请用含m 的式子表示ABM V 的面积．(3)在（2）条件下，在y 轴上有一点P ，当4m =-时，使得ABP V 的面积与ABM V 的面积相等，请求出点P 的坐标．。
2022-2023学年广东省广州市第一一三中学高二年级上册学期阶段二数学试题【含答案】
2022-2023学年广东省广州市第一一三中学高二上学期阶段二数学试题一、单选题1．已知，直线，则直线l 的斜率k 等于（ ）(2,0),(3,3)A B l AB ∥A ．B ．3C ．D ．3-13-13【答案】B【分析】根据，由求解.l AB ∥=l AB k k 【详解】解：因为，(2,0),(3,3)A B 所以，30332AB k -==-因为直线，l AB ∥所以，3l AB k k ==故选：B2．已知直线的倾斜角为，在x 轴上的截距为2，则此直线方程为（ ）45︒A ．B ．C ．D ．2y x =--2y x =-2y x =+2y x =-+【答案】B【解析】根据题中条件，先得出直线过点，由倾斜角得出斜率，进而可得出结果.()2,0【详解】因为直线的倾斜角为，在x 轴上的截距为2，45︒所以该直线的斜率为，且该直线过点，tan 451k =︒=()2,0所以该直线的方程为.2y x =-故选：B.【点睛】本题主要考查求直线的方程，属于基础题型.3．已知抛物线的焦点在轴负半轴，若，则其标准方程为x 2p =A ．B ．C ．D ．22y x=-22x y =-24y x =-24x y=-【答案】C【分析】首先根据题中所给的条件，确定出抛物线的焦点所在轴以及开口方向，从而根据p 的大小求得其标准方程.【详解】因为抛物线的焦点在轴负半轴，所以抛物线开口向左，x 所以抛物线的标准方程是，22y px =-又，所以抛物线方程为，故选C.2p =24y x =-【点睛】该题考查的是有关抛物线的标准方程的问题，注意根据题中的条件，首先确定出抛物线的焦点所在轴和开口方向，结合p 的值求得抛物线的标准方程.4．点关于直线的对称点的坐标为（ ）()2,0P :10l x y ++=Q A ．B ．C ．D ．()1,3--()1,4--()4,1()2,3【答案】A【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，()2,0P 10x y ++=(),a b 则，解得.()011221022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨+⎪++=⎪⎩13a b =-⎧⎨=-⎩所以点的坐标为Q ()1,3--故选：A.5．已知向量为平面的法向量，点在内，点在外，则点P 到平()2,0,1n =α()1,2,1A -α()1,2,2P -α面的距离为（ ）αABC ．D【答案】A【分析】利用点到平面距离公式的向量求法即可求解.【详解】因为，，()1,2,1A -()1,2,2P -所以，()2,0,3PA =-因为平面的法向量为，α()2,0,1n =所以点P 到平面的距离为，αd 故选：A.6．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a 的取值范围是（ ）221x y +=(,1)aA ．B ．(-⋃(-C ．D ．(1,0)(0,1)- (1,1)-【答案】A【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，22()(1)4x a y -+-=221x y +=2121-<<+进而可求出实数a 的取值范围.【详解】到点的距离为2的点在圆上，(,1)a 22()(1)4x a y -+-=所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，22()(1)4x a y -+-=221x y +=即两圆相交，故，2121-<<+解得或，0a -<<0a <<所以实数a 的取值范围为，(-⋃故选：A ．7．下列条件中，一定使空间四点P ､A ､B ､C 共面的是（ ）A ．B ．OA OB OC OP ++=- OA OB OC OP++= C ．D ．2OA OB OC OP ++= 3OA OB OC OP++= 【答案】D【分析】要使空间中的、、、四点共面，只需满足，且P A B C OP xOA yOB zOC =++即可.1x y z ++=【详解】对于A 选项，，，所以点与、、三点OP OA OB OC =---()()(1)1131-+-+-=-≠P A B C 不共面；对于B 选项，，，所以点与、、三点不共面；OP OA OB OC =++11131++=≠P A B C 对于C 选项，，，所以点与、、三点不共面；111222OP OA OB OC =++ 111312222++=≠P A B C 对于D 选项，，,所以点与、、三点共面.111333OP OA OB OC =++ 1111333++=P A B C 故选：D.8．已知F 是椭圆的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点Q 坐标为，则22:143x y C +=(1,1)的最大值为（ ）||||PQ PF +A ．3B ．5C D ．13【答案】B 【分析】由，结合图形即得.22PQ PF PQ a PF QF a''+=+-≤+【详解】因为椭圆，22:143x y C +=所以，，2,1a b c ===()1,0F -则椭圆的右焦点为，()1,0F '由椭圆的定义得：，225PQ PF PQ a PF QF a ''+=+-≤+=当点P 在点处，取等号，P '所以的最大值为5，PQ PF+故选：B.二、多选题9．[多选]向量，则下列说法正确的是（ ）2,6a e b e ==-A ．B ．向量方向相反//a b,a b C ．D ．||3||a b =3ab =- 【答案】ABD【分析】根据向量的数乘运算，即可得到答案；【详解】因为 ，2,6a e b e ==-所以，故D 正确；3a b =-由向量共线定理知，A 正确；－3<0，与方向相反，故B 正确；a b 由上可知，故C 错误．||3||b a = 故选：ABD10．已知直线和圆，则（ ）:20l kx y k -+=22:16O x y +=A ．直线l 恒过定点()2,0B ．存在k 使得直线l 与直线垂直0:220l x y -+=C ．直线l 与圆O 相交D ．若，直线l 被圆O 截得的弦长为41k =-【答案】BC【分析】利用直线系方程求出直线所过定点坐标判断A 、C ；求出使得直线与直线l l 垂直的值判断B ；根据弦长公式求出弦长可判断D .0:220l x y -+=k 【详解】解：对于A 、C ，由，得，令，解得，:20l kx y k -+=(2)0k x y +-=200x y +=⎧⎨-=⎩20x y =-⎧⎨=⎩所以直线恒过定点，故A 错误；l (2,0)-因为直线恒过定点，而，即在圆内，l (2,0)-()2220416-+=<(2,0)-22:16O x y +=所以直线l 与圆O 相交，故C 正确；对于B ，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，0:220l x y -+=122k =-l 0:220l x y -+=故B 正确；对于D ，时，直线，圆心到直线的距离为，1k =-:20l x y ++=d所以直线l 被圆O 截得的弦长为，故D 错误.==故选：BC.11．（多选）已知方程表示曲线，则（ ）22141x y t t +=--C A ．当时，曲线一定是椭圆14t <<CB ．当或时，曲线一定是双曲线4t >1t <C C ．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则C x 312t <<D ．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则C y 4t >【答案】BD【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的标准方程，一一判断即可.【详解】对于A ，当时，曲线是圆，故A 错误；52t =C 对于B ，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，4t >C y 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，故B 正确；1t <C x 对于C ，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C 错误；C x 401041t t t t ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩512t <<对于D ，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D 正确．C y 4010t t -<⎧⎨->⎩4t >故选BD ．12．设椭圆：的左右焦点分别为，，点为椭圆上一动点，过点的直线与椭C 22143x y +=1F 2F P C 1F 圆交于A 、B 两点，则下列说法中正确的是（ ）A ．的范围是B ．存在点，使1PF[]1,3P 12PF PF ⊥C ．弦长的最小值为3D ．面积的最大值为AB12PF F △【答案】AC【分析】对于选项A ，利用两点间距离公式表示出后可得答案.1PF 对于选项B ，问题等价于以为直径的圆与椭圆C 是否有交点.12F F 对于选项C ，将直线AB 方程与椭圆C 方程联立，通过弦长公式得答案.对于选项D ，分析面积表达式可得答案.【详解】由题，设椭圆半焦距为c ，则.21a b c ===，，则，.()11,0F -()21,0F 对于选项A ，设为椭圆上任意一点.注意到，(),P x y 22143x y +=则.，22334y x=-142x ==+又注意到，则.[]2,2x ∈-1122PF x =+当P 为椭圆左顶点，即时，最小为2x =-1PF 1当P 为椭圆右顶点，即时，最大为，故A 正确.2x =1PF 3对于选项B ，若存在点，使，则P 在以为直径的圆上.P 12PF PF ⊥12F F 则点P 存在等价于上述圆与椭圆有交点，又圆的方程为.221x y +=则点P 存在等价于有解，消去得.22221143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩y 212123x -=则方程组无解，故相应的P 不存在，B 错误.对于选项C ，设直线AB 方程为，将其与椭圆方程联立得，消去x1x my =-221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩有，设，又()2234690my my +--=()()1122,,A x y B x y ，()214410m ∆=+>则.121222693434m y y y y m m +==-++==.()222224344121244343434m m m m m +-+====-+++当时，即AB 垂直于x 时，最小为3，故C 正确.0m =AB对于选项D ，设点.则，(),P xy 121212S PF F F F y y =⋅⋅= 故当P 故D 错误.故选：AC【点睛】结论点睛，本题考查椭圆中的常见结论，本题涉及的相关结论有（只考虑焦点在x 轴上的情况.）:（1）椭圆上的点到焦点的距离最短为（点为离焦点较近的左右顶点），最长为（点为离a c -a c +焦点较远的左右顶点）.（2）若，椭圆上不存在点P ，使;，这样的点P 有两个;,这样的点有四个.b c >12PF PF ⊥b c =b c <（3）过椭圆焦点的弦中，垂直于x 轴的最短.三、填空题13．等差数列，，，的第四项等于_____x 33x +66x +⋅⋅⋅【答案】9【解析】利用等差中项求出，从求出数列的公差即可求解.0x =【详解】由题得.2(33)+(66),0x x x x +=+∴=所以等差数列的前三项为0，3，6，公差为3，所以等差数列的第四项为9.故答案为：9【点睛】本题主要考查了等差中项，等差数列的基本量计算，属于基础题.14．直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等220x y +-=22221(0)x y a b a b +=>>于_________．【分析】求得直线在轴上的截距，则可得，再求得，则离心率得解.,x y ,b c a 【详解】对直线，220x y +-=令，解得；令，解得，0x =1y =0y =2x =故椭圆的右焦点坐标为，上顶点坐标为，()2,0()0,1则，则，2,1c b ==a ==故椭圆离心率.c e a ===.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，涉及直线方程截距的求解，属综合基础题.15．与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的221916x y -=(3,A -距离为___________.【答案】2【分析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.【详解】解：根据题意，设双曲线方程为，22916x y λ-=将点代入双曲线方程，解得.(3,-14λ=所以，经过点的双曲线方程为：，(3,A -224194x y -=故的一个焦点坐标为,一条渐近线方程为，即，224194x y -=5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭43y x =430x y -=，2=故答案为：216．函数满足，当时，，则关于x()f x ()()2,(1)(1)0f x f x f x f x +-=+--=[0,1]x ∈()1f x x =+的方程在上的解的个数是___________．1()2022x f x =[0,2022]x ∈【答案】1011【分析】根据函数的对称性和周期性，作图，利用方程与函数的关系，可得答案.【详解】由，整理可得，则函数关于成中心对称；()()2f x f x +-=()()2f x f x =--()f x ()0,1由，整理可得，则函数关于直线成轴对称；()()110f x f x +--=()()11f x f x +=-()f x 1x =故函数的周期，由题意作在与函数的图象，如下图：()f x ()4104T =⨯-=()f x []0,812022x y =由，当时，，102022x >0x =0112022=在上，函数与函数的图象有三个交点；[]0,4()f x 12022x y =在上，函数与函数的图象有两个交点；[]4,8()f x 12022x y =在上，除了第一个周期上有三个交点，其他周期内有两个交点，[]0,2022，则在上，共有505个周期和半个周期，202245052÷= []0,2022则，即在上，函数与函数的图象有1011个交点，故()3250511011+⨯-=[]0,2022()f x 12022x y =方程在上的解的个数是.1()2022x f x =[0,2022]x ∈1011故答案为：.1011四、解答题17．直线l 经过两点(2,1)、(6,3).(1)求直线l 的方程；(2)圆C 的圆心在直线l 上，并且与x 轴相切于(2,0)点，求圆C 的方程．【答案】（1）x －2y ＝0；（2）(x －2)2＋(y －1)2＝1【详解】试题分析：（1）由直线过的两点坐标求得直线斜率，在借助于点斜式方程可得到直线方l 程；（2）借助于圆的几何性质可知圆心在直线上，又圆心在直线上，从而可得到圆心坐标，2x =l 圆心与的距离为半径，进而可得到圆的方程(2,0)试题解析：（1）由已知，直线的斜率，所以，直线的方程为．l 311622k -==-l 20x y -=（2）因为圆的圆心在直线上，可设圆心坐标为，C l (2,)a a 因为圆与轴相切于点，所以圆心在直线上，所以，C x (2,0)2x =1a =所以圆心坐标为，半径为1，所以，圆的方程为(2,1)C 22(2)(1)1x y -+-=【解析】1．直线方程；2．圆的方程18．记为等差数列的前n 项和，已知，.n S {}n a 120a =-348S =-（1）求的通项公式；{}n a （2）求，并指出当的取得最小值时对应的n 的值.n S n S 【答案】（1）；424n a n =-（2）；取最小值-60时，n 等于5或6.2111212(22n S n =--n S 【分析】（1）由等差数列通项公式的求法可得；424n a n =-（2）由等差数列前n 项和公式可得，再结合二次函数的最值的求法即可得解.2111212()22n S n =--【详解】解：（1）设数列的公差为d,则{}n a ，，1(1)2n n n S na d -=+120a =-，33(31)3(20)482S d -∴=⋅-+=-解得：，4d =；1(1)20(1)4424n a a n d n n ∴=+-=-+-⨯=-（2）由（1）得，，221()111212222(222n n n a a S n n n +==-=--由于，于是，当n 取值或时，取最小值，n N *∈56n S 5660S S ==-故当n 取值或时，取最小值，56n S 60-【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法及等差数列前n 项和及最值，属基础题.19．在中，内角所对的边分别为a,b,c ，已知.ABC sin 2sin a B A =（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若，求sinC 的值.1cos 3A =【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ6B π=【详解】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：,再根据三2sin sin cos sin A B B B A =角形内角范围化简得，；（Ⅱ）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，6B π=π将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解.试题解析：（Ⅰ）解：在中，由，可得，又由ABC ，得，所以，得；6B π=（Ⅱ）解：由，可得，则sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin()6A π=+.【解析】同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.20．如图，在长方体中，，，，点是棱BC 的中点，点1111ABCD A B C D -4AB =2AD =12A A =F在棱上，且（为实数）．E 11C D 11D E EC λ=λ(1)求二面角的余弦值；1D AC D --(2)当时，求直线EF 与平面所成角的正弦值的大小．13λ=1D AC 【答案】(1)；23【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量及其夹角，即可求得结果；（2）根据（1）中所求平面的法向量以及的坐标，再用向量法求解即可.EF【详解】（1）如图所示，建立空间直角坐标系．D xyz -则，，，，(2,0,0)A (0,4,0)C 1(0,0,2)D 1(2,0,2)D A =- 1(0,4,2)D C =-设平面的法向量为，1D AC (,,)n x y z =则，．即，．令，则．10n D A ⋅= 10n D C ⋅= x z =2z y =1y =2x z ==∴平面的一个法向量．1D AC (2,1,2)n =又平面DAC 的一个法向量为，(0,0,1)m =故，22cos ,133||||m n m n m n ⋅〈〉===⨯⋅即二面角的余弦值为．1D AC D --23（2）当时，，，，13λ=(0,1,2)E (1,4,0)F ()1,3,2EF =-cos ,||||EF n EF n EF n ⋅〈〉===⋅设直线EF 与平面所成角为，则1D ACθsin θ=即直线EF 与平面1D AC21．已知函数的部分图像如图所示.()()(sin 0,0,)f xA x A ωϕωϕπ=+>><(1)求的解析式及对称中心；()f x (2)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数()f x 12π12()g x 在上的单调减区间和最值.()y g x =π3π,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】(1)，对称中心为，．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,023k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭Z k ∈(2)单调递减区间为；，423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦max ()1g x =min ()g x =【分析】（1）由函数的图像的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得A ωϕ的解析式，再利用三角函数的图像的对称性，得出结论．()f x （2）由题意利用函数的图像变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的单调sin()y A x ωϕ=+()g x 性、余弦函数的定义域和值域，得出结论．【详解】（1）解：根据函数，，的部分图像，()sin()(0f x A x A ωϕ=+>0ω>||)ϕπ<可得，，．2A =3254123πππω⋅=+2ω∴=再根据五点法作图，，，故有．52122ππϕ⨯+=3ϕπ∴=-()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭根据图像可得，是的图像的一个对称中心，,03π⎛-⎫⎪⎝⎭()f x 故函数的对称中心为，．,023k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭Z k ∈（2）解：先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，()f x 12sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭再向右平移个单位，得到的图像，12πsin 2sin(2)cos 21232y x x xπππ⎡⎤⎛⎫=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即，()cos 2g x x =-令，，解得，，222k x k πππ-≤≤Z k ∈2k x k πππ-≤≤Z k ∈可得的减区间为，，()g x ,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦Z k ∈结合，可得在上的单调递减区间为．3,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()g x 3,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦又，故当，时，取得最大值，即；32,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2x π=2x π=()g x max ()1g x =当，时，取得最小值，即26x π=12x π=()g x min ()g x =22．已知抛物线T ：（）和椭圆C ：，过抛物线T 的焦点F 的直线l 交22y px =p +∈N 2215x y +=抛物线于A ，B 两点，线段的中垂线交椭圆C 于M ，N 两点.AB(1)若F 恰是椭圆C 的焦点，求p 的值；(2)若恰好被平分，求面积的最大值MN AB OAB 【答案】(1)4【分析】（1）求出椭圆焦点，得抛物线焦点，从而得的值；p （2）设直线方程为，代入抛物线方程，结合韦达定理得中点坐标，根据椭圆的弦中点l 2px my =+性质得出一个参数值，由中点在椭圆内部得出另一个参数的范围，然后求出三角形面积，得出最大值．【详解】（1）在椭圆中，，所以，；2c =22p =4p =（2）设直线方程为，代入抛物线方程得，l 2px my =+2220y mpy p --=设，中点为，则，，1122(,),(,)A x y B x y AB 00(,)G x y 122y y mp +=212y y p =-，， 1202y y y mp +==202px m p =+设，则，两式相减得，3344(,),(,)M x y N x y 223322441515x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩34343434()()()()05x x x x y y y y +-++-=所以，，，0340342()2()05x x x y y y -+-=3403405MNy y x k x x y -==--1MN k m =-所以，解得，21125pm p mp m +-⨯=-218m =点在椭圆内部，所以，得，G 222()2()15pm p mp ++<26413p <因为，所以或，p +∈N 1p =2p =，21122OAB p Sy p=⨯-==时，时，1p =OAB S = 2p =OAB S =所以OAB 【点睛】本题考查求抛物线的方程，考查直线民椭圆、抛物线相交问题，考查圆锥曲线中的面积问题．解题方法采用设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，代入曲线方程后应用韦达定理，求得弦中点坐标，弦长等，把这个结论代入其他条件可求得参数关系，参数值，参数范围等．即设参数，利用韦达定理把目标用参数表示，进而求最值，证明一些结论．本题考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，对学生的要求较高，属于难题．。
广东省广州市第113中学2007-2008学年度九年级数学上学期期中测试题
测试题请大家注意:1. 本卷分试题卷和答题卷两部分.分120分,考试时间150分钟.2. 答题时, 先在答题卷上写明校名,班级，某某和自己的学号.3. 所有答案都做在答题卷标定的位置上, 务必注意试题序号和答题序号相对应.试题卷一：细心选一选 (本题有10个小题, 每小题2分, 满分20分) 下面每小题给出的四个选项中, 只有一个是正确的, 请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内. 1、下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A ）212=+xx B ）0402023=-x x .. C ）12122=+x x D ）81=x 2、方程4902.=x 的解为（ ）A ）=x 0.7B ）=x －0.7C ）=x ±7D ）=x ± 3、一元二次方程()()065=+-x x 的根是 （ ）A ）=x －5B ）=x －6C ）=1x 5，=2x －6D ）=1x －5，=2x 6 4、（2007某某眉山）一元二次方程x 2＋x ＋2＝0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正根B ．有两个不相等的负根C ．没实数根D ．有两个相等的实数根 ５、若x x -+-22有意义，则x 的取值X 围为（ ）A ．x ≥2B ．x ≤2C ．x ≠2D ．x ＝2６、某超市一月份的营业额为200万元，一月份、二月份、三月份的营业额共1000万元，如果平均每月的增长率为x ，则由题意列方程为 （ ） Ａ）()100012002=+x Ｂ）10002200200=••+xＣ)10003200200=••+x Ｄ)()()[]10001112002=++++x x7、使11-x 有意义的x 的取值X 围是（ ） A ．x ＞1 B ．x ≥1 C ．x ≠1 D ．x ≥0且x ≠18、已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ）A ．3B ．–3C ．1D ．– 19、（某某省2004）在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是【 】A ．x 2+130x -1400=0B ．x 2+65x -350=0C ．x 2-130x -1400=0D ．x 2-65x -350=010:某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ） A ：200(1+a%)2=148 B ：200(1－a%)2=148 C ：200(1－2a%)=148 D ：200(1－a 2%)=148二：耐心填一填 (本题有8个小题, 每小题3分, 共30分) 开动你的脑筋, 将与题目条件有关的内容尽可能全面完整地填在答题卷相应的位置上. 大家都在为你加油啊11、把方程82213++=-)()(x x x 化成一般形式为，它的一次项系数为，常数项为； 12、223)(+=++x x x ； 2234)(-=+-x x x13、 当________时，二次根式2+x 有意义 14、计算：()23-＝_______。
2021-2022学年广东省广州市第一一三中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2021-2022学年广东省广州市第一一三中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知向量()()11,0,1,0,2a b ==-，，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（ ） A ．1 B ．15C ．35D ．75【答案】D【分析】向量的垂直用坐标表示为1212120x x y y z z ++=，代入即可求出答案.【详解】()()()=1,1,01,0,21,,2++-=-ka b k k k ，2=a b -()21,1,0()1,0,2--()=3,2,2-， 因为ka b +与2a b -互相垂直， 所以()1,,2-⋅k k ()3,2,2=0-， 所以57=0k -， 所以7=5k .故选：D.2．已知空间上点(0,0,1)A 和(3,4,1)B ，则AB 为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．1【答案】C【分析】有空间向量的坐标，向量模的计算，或者空间两点间距离公式直接求得即可. 【详解】由空间两点间距离公式(=3-0AB .故选：C .【点睛】本题考查空间向量的模的计算,难度容易.3．直线l 310y -+=的倾斜角为（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒【答案】A【解析】根据直线方程，得出斜率，进而可得倾斜角.【详解】因为直线l 310y -+=的斜率为k = 则倾斜角为30︒.故选：A.【点睛】本题主要考查求直线的倾斜角，属于基础题.4．已知两条直线()()1212:3453:258,l t x y t l x t y l l ++=-++=，∥，则t =（ ） A ．1-或7- B ．1-C ．7-D ．133-【答案】C【分析】根据题意列方程组3453258t tt +-=≠+求解即可. 【详解】由题意可知50t +≠，因为两条直线()()1212:3453:258,l t x y t l x t y l l ++=-++=，∥， 所以3453258t tt +-=≠+， 由3425t t+=+，得(3)(5)8t t ++=， 2870t t ++=，解得1t =-或7t =-，当1t =-时，453(1)15(1)8-⨯-==+-，两直线重合，不合题意，舍去，当7t =-时，453(7)5(7)8-⨯-≠+-，符合题意，综上，7t =-， 故选：C.5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点，若O 为底面1111D C B A 的中心，则异面直线1C E 与AO 所成角的余弦值为（ ）A 30B 30C ．815D 230【答案】D【解析】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出1C E ，AO ，利用向量关系即可求出.【详解】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，设2AB =，则()2,0,0A ，()1,1,2O ，()10,2,2C ，()2,2,1E . 因为()12,0,1C E =-，()1,1,2AO =-， 所以1114230cos ,1556C E AO C E AO C E AO⋅<>==-=-⨯⋅，所以异面直线1C E 与AO 所成角的余弦值为23015. 故选：D.6．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是A 1B 1的中点，则点A 到直线BE 的距离是( ) A ．655B ．455C ．255D ．55【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，先求,BA BE 夹角的余弦，再求点A 到直线BE 的距离. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则BA ＝(0,2,0)，BE ＝(0,1,2)．∴cos θ＝BA BE BA BE⋅⋅＝525=.∴sin θ221cos 55θ-=故点A 到直线BE 的距离d ＝|AB |sin θ＝2×245555故答案为B【点睛】本题主要考查点到线距离的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.7．在空间四边形ABCD 中，AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅＝（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．不确定【答案】B【解析】令,,AB a AC b AD c ===，利用空间向量的数量积运算律求解. 【详解】如图，令,,AB a AC b AD c ===， 则AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅，()()()a cb b ac c b a =⋅-+⋅-+⋅-， 0a c a b b a b c c b c a =⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=.故选：B8．已知定点()2,0P -和直线()()():131225l x y R λλλλ+++=+∈，则点P 到直线l 的距离的最大值为（ ） A ．3B 10 C 14D ．15【答案】B【分析】根据直线l 的方程先确定出直线所过的定点Q ，然后判断出点P 到直线l 的距离的最大值为PQ ，结合点的坐标求解出结果.【详解】将()()131225x y λλλ+++=+变形得()()23250x y x y λ+-++-=， 所以l 是经过两直线50x y +-=和3250x y +-=的交点的直线系.设两直线的交点为Q ，由20,3250,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得交点()1,1Q ，所以直线l 恒过定点()1,1Q ，于是点P 到直线l 的距离d PQ ≤==即点P 到直线l 故选：B.二、多选题9．已知向量()110a =，，，则与a 共线的单位向量e =（ ）A ．22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．()0,1,0C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎝⎭【答案】AC【分析】直接利用向量求出向量的模，进一步求出单位向量． 【详解】解：由于向量(1,1,0)a =，所以22||11a =+根据单位向量的关系式||ae a =±，可得2(,2e =-或2(,22e =． 故选：AC ．10．设直线l 经过点()2,1A ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为（ ） A ．20x y -= B ．30x y +-= C ．10x y --= D ．x +2y =0【答案】AB【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得； 【详解】解：设直线l 经过点()2,1A ，且在两坐标轴上的截距相等， 当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为y kx =，则21k =，12k =，所以直线方程为12y x =，即20x y -=；当截距都不为零，则设直线方程为()0x y a a +=≠，则()210a a +=≠，所以直线方程为3x y +=，即30x y +-=综上直线方程为：20x y -=或30x y +-= 故选：AB【点睛】本题主要考查用待定系数法求直线的方程，属于基础题． 11．对于任意非零向量()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，以下说法错误的有 A ．若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++=B ．若//a b ，则111222x y z x y z == C．cos ,a b =><D ．若1111===x y z ，则a 为单位向量 【答案】BD【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A 选项的正误；取20x =，20y ≠且20z ≠可判断B 选项的正误；利用空间向量夹角余弦的坐标表示可判断C 选项的正误；求得a ，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，因为a b ⊥，则1212120a b x x y y z z ⋅=++=，A 选项正确； 对于B 选项，若20x =，且20y ≠，20z ≠，若//a b ，但分式12x x 无意义，B 选项错误； 对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos ,a b =><，C 选项正确；对于D 选项，若1111===x y z，则211a =+a 不是单位向量，D 选项错误.故选：BD.【点睛】本题考查与空间向量相关的命题真假的判断，考查了空间向量数量积的坐标运算以及空间共线向量的坐标表示，属于基础题.12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，13AA =，点M ，N 分别在棱AB 和1BB 上运动（不含端点），若1D M MN ⊥，下列命题正确的是（ ）A ．1MN A M ⊥B ．MN ⊥平面1D MCC ．线段BN 长度的最大值为34D ．三棱锥111C A D M -体积不变【答案】ACD【分析】以点D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立坐标系，设出动点M ，N 的坐标，利用空间向量运算判断选项A ，B ，C ，利用等体积法的思想判断选项D 即可得解.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：A 1(3,0,3)，D 1(0,0,3)，C (0,3,0)，B (3,3,0)，设M (3,y ,0)，N (3,3,z )，,(0,3)y z ∈，1(3,,3),(0,3,)D M y MN y z =-=-，而1D M MN ⊥则11(3)30(3)3D M MN y y z z y y ⋅=--=⇒=-， 对于A 选项：1(0,,3)AM y =-，则11(3)30AM MN y y z AM MN ⋅=--=⇒⊥，1MN A M ⊥，A 正确； 对于B 选项：(3,3,0)CM y =-，2(3)(3)(3)0CM MN y y y ⋅=--=--<，即CM 与MN 不垂直，从而MN 与平面D 1MC 不垂直，B 不正确；对于C 选项：(0,0,)BN z =，则线段BN 长度21393||[()]3244BN z y ==--+≤，当且仅当32y =时取“=”，C 正确；对于D 选项：不论点M 如何移动，点M 到平面A 1D 1C 1的距离均为3，而111111C A D M M A D C V V --=11119332A D C S=⋅⋅=， 三棱锥111C A D M -体积为定值，即D 正确. 故选：ACD三、填空题13．已知△ABC 的三个顶点是()1,4A -，()2,1B --，()2,3C ，则BC 边的中线AD 所在的直线的方程是___________ . 【答案】310x y +-=【分析】由中点坐标公式求得BC 中点坐标，再由两点式求得BC 边的中线AD 所在的直线方程. 【详解】∵()2,1B --，()2,3C ，∴BC 中点()0,1D ，又()1,4A -， ∴AD 直线方程为1411y x-=--，整理，得：310x y +-=. 故答案为：310x y +-=.14．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，分别在棱B 1B 和D 1D 上，且BE 113BB =，DF 123DD =．若1EF xAB yAD zAA =++，则x +y +z ＝__．【答案】13【分析】根据空间向量的加法、减法和数乘运算法则，以1,,AB AD AA 为基底表示出EF ，由此求得,,x y z ，进而求得x y z ++.【详解】平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BE 113BB =，DF 123DD =，所以EF EB BA AD DF =+++ 111233BB AB AD DD =--++111233AA AB AD AA =--++113AB AD AA =-++．由1EF xAB yAD zAA =++，所以x ＝﹣1，y ＝1，z 13=， x +y +z ＝﹣1+11133+=．故答案为：13．15．如图，甲站在水库底面上的点D 处，乙站在水坝斜面上的点C 处，已知库底与水坝所成的二面角为120︒，测得从C D 、到库底与水坝的交线的距离分别为30DA =米、40CB =米，203AB =米，则甲乙两人相距_______米.【答案】70【分析】由DC DA AB BC =++平方即可求解. 【详解】由题意，,DA AB CB AB ⊥⊥， DC DA AB BC =++，2222222DC DA AB BC DA AB DA BC BC AB ∴=+++⋅+⋅+⋅，30DA =米，40CB =米，203AB =120︒，290012001600023040cos 6049000DC ∴=++++⨯⨯=+⨯， ||70DC ∴=米.故答案为：70.16．长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与1B C 所成角的正切值为2，则该长方体的体积为________． 【答案】4或83【分析】建立空间直角坐标系，然后根据题意计算高度，最后根据长方体的体积公式计算即可. 【详解】如图：设()10AA a a =>，则()()()()110,0,0,2,2,,2,0,,2,2,0A C a B a C 所以()()112,2,,0,2,AC a B C a ==-，由1AC 与1B C 所成角的正切值为2 所以可知1AC 与1B C 所成角的余弦值为211512=+ 则211221114584AC B C a AC B Ca a⋅-==+⋅+，所以21a =或212a =，即1a =或23所以长方体的体积为224a ⨯⨯=或83 故答案为：4或83四、解答题17．在空间四边形OABC 中，E F 、分别是OA BC 、的中点，P 为线段EF 上一点，且2PF EP =，设基向量,,OA a OB b OC c ===，用这个基向量表示以下向量：EF 、OP ．【答案】111222EF b c a =+-，111366OP a b c =++．【分析】利用空间向量基本定理，结合向量运算求解即可.【详解】解：∵E F 、分别是OA BC 、的中点， ∴11111()22222OF OB OC OB OC b c =+=+=+， ∴111222EF OF OE b c a =-=+-， 122,,33PF EP EP EF FP EF =∴==， 11111111()33222666EP EF b c a a b c ∴==+-=-++， ∴11111112666366OP OE EP a a b c a b c =+=-++=++．18．已知直线1:l 23x y -=与直线2:l 4350x y --=(1)求经过直线1l 与2l 的交点，且与直线320x y -+=垂直的直线l 的方程．(2)求()1,4A -分别到直线1l 与2l 的距离．【答案】(1)370x y +-=；215；【分析】（1）联立直线1l 与2l 的方程，可解出交点坐标为()2,1，代入方程30x y m ++=，即可得到；（2）根据点到直线的距离即可求出. 【详解】（1）联立直线1l 与2l 的方程234350x y x y -=⎧⎨--=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，交点为()2,1. 因为直线l 与直线320x y -+=垂直，则可设直线l 的方程为30x y m ++=，代入点()2,1，可得610m ++=，7m =-，所以，直线l 的方程为370x y +-=.（2）由已知可得，点()1,4A -到直线1:l 23x y -=，即直线230x y --=的距离为1d ==，点()1,4A -到直线2:l 4350x y --=的距离为2215d ==.19．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD DC ==，点E ，F 分别为AD ，PC 的中点．(1)证明：//DF 平面PBE ；(2)求点F 到平面PBE 的距离．【答案】(1)见解析 (2)63【分析】(1) 取PB 的中点G ，连接EG ， FG ，则可证//DF EG ，进而由线面平行的判定定理即可得证；（2）//DF 平面PBE ，转化为点D 到平面PBE 的距离，再由等体积法求解.【详解】（1）取PB 的中点G ，连接EG ， FG ，如图，则//FG BC ，且12FG BC =， ∵//DE BC 且1=2DE BC ， ∴//DE FG 且DE FG =，∴四边形DEGF 为平行四边形，∴//DF EG ，EG ⊂平面PBE ，DF ⊄平面PBE ，//DF ∴平面PBE ；（2）因为//DF 平面PBE ，所以点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d ．利用等体积法： D PBE P BDE V V --=， 即1133PBE BDE S d S PD ⋅=⋅△△， 而112BDE S DE AB =⨯⨯=△， ∵在Rt ,Rt PDE BEA 中，5PE BE ==，在Rt PDB 中，23PB =∴()()221532362PBE S =-⨯=，∴12636d ⨯==． 即点F 到平面PBE 的距离为63. 20．如图，在三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，90ACB ︒∠=，2PA AC BC ==.（1）若PA PB ⊥，求证：平面PAB ⊥平面PBC ；（2）若P A 与平面ABC 所成的角为60︒，求二面角C-PB-A 的余弦值.【答案】（1）见解析 （2）14【分析】(1)利用面面垂直的性质定理证明PA ⊥平面PBC ，由此即可证明平面PAB ⊥平面PBC ；(2)根据条件建立空间直角坐标系，求解出平面PBC 、平面PBA 的法向量，利用法向量夹角的余弦值求解出二面角C PB A --的余弦值.【详解】解：（1）证明：因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，BC AC ⊥，所以BC ⊥平面P AC ，由PA ⊂平面P AC ，所以PA BC ⊥，又因为,PA PB ⊥PB BC B ⋂=，所以PA ⊥平面PBC ，因为PA ⊂平面P AB ，所以平面PAB ⊥平面PBC ；（2）过P 作PH AC ⊥，因为平面PAC ⊥平面ABC ，所以PH ⊥平面ABC ，所以60PAH ∠=，不妨设2PA =，所以3PH =以C 为原点，分别以CA ，CB 所在的直线为x ，y 轴，以过C 点且平行于PH 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则(0,0,0),C (2,0,0),A (0,1,0),B (1,03)P ， (2,1,0),AB =-(2,1,0),(1,0,3)AB AP =-=-，(0,1,0),CB =(1,03)CP =，设()111,,n x y z =为面P AB 的一个法向量，则有0,n AB ⋅=0AP ⋅=n ，即11112030x y x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令13z =，可得(3,6,3)n =， 设()222,,m x y z =为面PBC 的一个法向量，则有0,m CB ⋅=0m CP ⋅=，即222030y x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令23z =，可得(3,0,3)m =-， 所以93cos ,4323m n -+<>=⨯14=-， 所以二面角C-PB-A 的余弦值为14. 【点睛】本题考查线面垂直的证明以及利用空间向量求解二面角的余弦值，难度一般.(1)证明线面垂直可通过判定定理也可以通过面面垂直的性质定理证明；(2)求解二面角的余弦值时，可通过平面法向量夹角的余弦值结合实际图形完成求解.21．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11C D 的中点．（1）求二面角D AC M --的余弦值；（2）在棱1CC （包含端点）上是否存在点E ，使//BE 平面ACM ，给出你的结论，并证明．【答案】（1）13；（2）不存在，证明见解析. 【分析】(1)以{}1,,DA DC DD 为正交基底建立直角坐标系，求出相应点的坐标，再求平面AMC 的一个法向量为n 和面ACD 的一个法向量为m ，然后计算法向量夹角的余弦值，即可得二面角D AC M --的余弦值；(2) 设E 的坐标为()()0,1,01t t ≤≤，若在棱1CC （包含端点）上存在点E ，使//BE 平面ACM ，根据0BE n ⋅=求出t ，再判断即可. 【详解】（1）解：设正方体的边长为单位长度，建立如图直角坐标系， 则10,,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,0A ，()0,1,0C ， 所以()1,1,0AC =-，11,,12AM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 设平面AMC 的一个法向量为(),,n x y z =，则00AC n AM n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即002x y y x z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 可得平面AMC 的一个法向量为()2,2,1n =．又因为平面ACD 的一个法向量为()0,0,1m =， 所以221cos ,32211n m ==++⋅． 所以二面角D AC M --的余弦值为13． （2）不存在.证明：设E 的坐标为()()0,1,01t t ≤≤，因为B 的坐标为()1,1,0，所以()1,0,BE t =-，若在棱1CC （包含端点）上存在点E ，使//BE 平面ACM ，则0BE n ⋅=，所以20t -+=，即2t =，与01t ≤≤矛盾，所以棱1CC （包含端点）上不存在点E ，使//BE 平面ACM ．22．已知正方形的边长为4，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如图所示的60°的二面角，点M 在线段AB 上．(1)若M 为AB 的中点，且直线MF 与由A ，D ，E 三点所确定平面的交点为O ，试确定点O 的位置，并证明直线//OD 平面EMC ；(2)是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】(1)点O 在EA 的延长线上，且2AO =，证明见解析；(2)存在，14.【分析】（1）延长FM 与EA 的延长线交于点O ，判断点O 在平面ADE 内，连接DF 交CE 于N ，结合线面平行的判定推理作答；（2）以AE 的中点H 为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量确定点M 的位置，再计算两个平面夹角余弦作答.【详解】（1）依题意，四边形ABFE 是矩形，点M 为AB 的中点，如图1，延长FM 与EA 的延长线交于点O ，又EA ⊂平面ADE ，即有O ∈平面ADE ，因//AM EF ，且1122AM AB EF ==， 因此点A 为线段EO 中点，即AO =2，M 为线段FO 的中点，连接DF 交CE 于N ，连接MN ，矩形CDEF 中，N 是线段DF 中点，于是得//MN OD ，而MN ⊂平面EMC ，OD ⊄平面EMC ，所以//OD 平面EMC .（2）依题意，EF AE ⊥，EF DE ⊥，AE DE E =，AE ⊂平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，则EF ⊥平面ADE ，且AED ∠为二面角A EF D --的平面角，即60AED ∠=.连接AD ，而2AE DE ==，即有ADE 为正三角形，取AE 的中点H ，连接DH ，则DH AE ⊥，由EF ⊥平面ADE ，EF ⊂平面ABFE ，得平面ADE ⊥平面ABFE ，又DH ⊂平面ADE ，平面ADE 平面ABFE AE =，于是得DH ⊥平面ABFE ，取BF 中点G ，连接HG ，由矩形ABFE 得HG AE ⊥，即有,,HA HG HD 两两垂直，以点H 为原点，射线,,HA HG HD 分别为,,x y z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图2，则点()1,0,0E -，(3D ，(3C .假设存在点M 满足条件，因点M 在线段AB 上，设()1,,0M t ，()04t ≤≤，(3ED =，(3EC =，()2,,0EM t =.设平面EMC 的一个法向量()111,,x n y z =，则1111143020n EC x y z n EM x ty ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令123y =()3,23,8n t t =--，因直线DE 与平面EMC 所成的角为60°，则||sin 60|cos ,|||||n DE n DE n DE ⋅=〈〉=22833312(8)2t t ==++-⨯，解得1t =或3t =， 即存在点M 满足直线DE 与平面EMC 所成的角为60°，点M 为线段AB 的靠近点A 或B 的四等分点.设平面ECF 的一个法向量()222,,m x y z =，则2222230430m ED x z m EC x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩， 令21z =-，得()3,0,1m =-， 则()()3,0,13,23,8m n t t -⋅=⋅--3848t t t =--+=-+. 令平面MEC 与平面ECF 的夹角为θ，则||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=〈〉==， 显然1t =或3t =时，1cos 4θ=. 由图可知，二面角M EC F --为锐角，所以二面角M EC F --的余弦值为14.。
2023—2024学年广东省广州市六十五中高二上学期期中数学试卷
2023—2024学年广东省广州市六十五中高二上学期期中数学试卷一、单选题1. 直线的一个方向向量是（）A．B．C．D．2. 已知向量，则（）A．B．C．D．3. 直线，，若，则的值为（）A．B．C．D．或4. 平行六面体中，化简（）A．B．C．D．5. 已知点在圆的外部，则的取值范围是（）A．B．C．D．6. 已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（）A．B．C．D．7. 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，若直线与的欧拉线垂直，则直线与的欧拉线的交点坐标为（）A．B．C．D．8. 如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（）A．B．C．D．二、多选题9. 已知，，则（）A．B．C．D．∥10. 已知圆，圆，则（）A．两圆可能外离B．两圆可能相交C．两圆可能内切D．两圆可能内含11. 棱长为1的正四面体内有一点，满足，则（）A．B．C．D．12. 过直线l：上的动点P分别作圆C1：与圆C2：的切线，切点分别为A，B，则（）A．圆C1上恰好有两个点到直线l的距离为B．|P A|的最小值为C．的最小值为D．直线l上存在两个点P，使得三、填空题13. 点到直线的距离为 _________ ．14. 已知，，若，则 ________ .15. 已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 _________ ．16. 如图：已知二面角的大小为120°，点，，于点C，于D，且，则直线AB与CD所成角的正弦值为________ .四、解答题17. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为A（2，1），B（-2，3），C（-3，0）．(1)求BC边所在直线的方程；(2)求BC边上的高AD所在直线的方程．18. 已知，，为平面内的一个动点，且满足.(1)求点的轨迹方程；(2)若直线为，求直线被曲线截得的弦的长度.19. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点．若．(1)求；(2)求证：直线平面．20. 已知圆C经过两点，且与y轴的正半轴相切．(1)求圆C的标准方程；(2)在圆C上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．21. 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=2，AA1=AB=4，E为棱AA1的中点．(1)证明：BC⊥C1E．(2)设=λ（0 <λ<1），若C1到平面BB1M的距离为，求λ．22. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记（）．(1)求MN的长；(2) a为何值时，MN的长最小？(3)当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．。
2020-2021学年广东省广州市第一一三中学九年级第一学期 数学 期中测试卷
广州市113中学校2020学年第一学期期中考试姓名：班级：学号：一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列是一元二次方程的是( )3A. 4x+3=0B.x2-x=6C. 2x-3y=0D.y=x2. 方程2x2-3x+2=0的根的情况是( )A. 方程有两个不相等的实数根B. 方程有两个相等的实数根C. 方程只有一个实数根D. 没有实数根3. 方程x2+4x-3=0的两个根是x1和x2 , 则x1+x2的值等于( )A. 4B.-4C.-3D.34. 某商场一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为40万元，设每月的平均增长率为x, 则可列方程为( )A. 30(1-x)2=40B. 40(1+x)2=30C. 40(1-x)2=30D. 30(1+x)2=405.抛物线y= (x-3)2+2的顶点坐标是( )A. (3,2)B. (3,-2)C.(-3,2)D.(-3,-2)6. 抛物线y=3(x-2)2-1, 可以由抛物线y=3x2( )A. 向左移2个单位，再向上移1个B. 向左移2个单位，再向下移1个C.向右移2个单位，再向上移1个D. 向右移2个单位，再向下移1个7二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，若点A (1,y1) B (3, y2) 是图像上的两点，则y1、y2的大小关系是( )A. y 1 <y 2B. y 1=y 2C.y 1 >y 2D. 不确定8下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )9. 二次函数y=x 2-2x+1的图象与坐标轴的交点个数是( )A.0B. 1C. 2D. 310. 抛物线经过（－6, 0) 和（0, 0) , 则抛物线的对称轴是直线( ) A.x=-3B.x=3 C.x=31D.x=-31 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）11分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示。
将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是12. 若点（a,-7) 与（3,b) 关于原点对称，则a+b=13. 抛物线y=-x 2+10x 的顶点坐标是14. 方程x 2-3x=0的解15. 把二次函数y=x 2-6x+8通过配方法化为顶点式是16. 抛物线y=x 2+x-2与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为三、解答题： (共72分）17. 解下列方程： (3X2=6分）（1) x2-5x+6=0（2) x2-4x-1=018.(6分）关于x的一元二次方程x2-3x+k-3=0的一个实数根为1,求k的值及另一根19. (8分）已知直角三角形的两条直角边的和等于6,两条直角边各为多少，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少。
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天河区05-06学年下学期高一数学竞赛考试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量)67cos ,23(cos ︒︒=a ，)37cos ,53(cos ︒︒=b ，=⋅b a （ ）(A)23 (B)21 (C)－23(D)－212．若1||||==b a ，b a ⊥且b a 32+与b a k 4-也互相垂直，则实数k 的值为（ ） (A)6- (B)6 (C)3- (D)33. 方程lg 3x x +=根的情况是 ( ) A. 有两个正根 B. 有一正根一负根 C. 仅有一正根 D. 没有实根4.圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A.x+y+3=0 B 、2x-y-5=0 C 、 3x-y-9=0 D 、4x-3y+7=05.下列说法不正确的．．．．是（ ） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B ．同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.6、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6(π平移后，它的一条对称轴是4π=x ，则θ的一个可能的值是（ ） (A)125π (B)3π (C)6π (D)12π7、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个点，一动点P 满足：()OP OA AB AC λ=++，λ∈（0，∞），则直线AP 一定通过△ABC 的 A 、外心 B 、内心 C 、重心 D 、垂心8．若奇函数f （x ）在区间[3，7]上递增且最小值为5，则f （x ）在[－7，－3]上为（ ） A ．增函数且最小值－5 B ．增函数且最大值－5 C ．减函数且最小值－5 D ．减函数且最大值－59.设P （x ,y ）为圆x 2+（y -1）2=1上的任一点，欲使不等式x +y +c ≥0恒成立，则c 的取值范围是（ ）.A ．[12,21---] B.[+∞-,12] C.(12,12---) D.(12,--∞-)10．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数()d f l =的图像大致是（ ）.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知不等式03)1(4)54(22>+---+x m x m m 时一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围 。
12．若对n 个向量1a ，2a ，……，n a 存在n 个不全为零的实数1k ，2k ，……，n k ，使得02211=+++n n a k a k a k 成立，则称向量1a ，2a ，……，n a 为“线性相关”，依此规定，能说明)0,1(1=a ，)1,1(2-=a ，)2,2(3=a “线性相关”的实数1k ，2k ，3k 依次可以取___________________________（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）13、过圆：x 2+y 2=r 2外一点P （x 0,y 0）引此圆的两条切线，切点为A 、B ，则直线AB 的方程为__________________________.14、对于函数x x x f sin cos )(+=，给出下列四个命题：①存在∈α（0，2π），使34)(=αf ；②存在∈α（0，2π），使)3()(αα+=+x f x f 恒成立；③存在∈ϕR ，使函数)(ϕ+x f 的图象关于y 轴对称；④函数)(x f 的图象关于（43π，0）对称．其中正确命题的序号是三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. (本小题13分)设)sin ,cos 1(αα+=a )s i n ,c o s 1(ββ-=b )0,1(=c)2,(),,0(ππβπα∈∈，a 与c 的夹角为b ,1θ与c 的夹角为2θ，且621πθθ=-,求4sinβα-的值．16. (本小题13分) 已知P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过A 点作AE ⊥PC 于点E ，求证：AE ⊥平面PBC .CABP.OE17. (本小题13分) 已知实数x,y 满足x 2+y 2=3(y ≥0)，试求m =31++x y 及b =2x +y 的取值范围.18. (本小题13分) 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。
一军舰从A 地出发由西向东航行，望见小岛B 在北偏东75°，航行8海里到达C 处，望见小岛B 在北端东60°。
若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有角礁的危险？19. (本小题14分)设a 、b 是两个不共线的非零向量（t ∈R ） ①若a 与b起点相同，t为何值时，a ，t b ，31（a +b ）三向量的终点在一直线上？②若|a |=|b |且a 与b夹角为60°，那末t 为何值时|a－t b |的值最小？20. (本小题14分) 已知二次函数f （x ）＝ax 2＋bx （a 、b 是常数且a ≠0）满足条件：f （2）＝0且方程f （x ）＝x 有等根． （1）求f （x ）的解析式；（2）问是否存在实数m 、n （m ＜n ）使f （x ）的定义域和值域分别为［m ，n ］和［2m ，2n ］，如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．天河区05-06学年下学期高一数学竞赛考试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量)67cos ,23(cos ︒︒=a ，)37cos ,53(cos ︒︒=b ，=⋅b a （ ）(A)23 (B)21 (C)－23(D)－211．A2．若1||||==b a ，b a ⊥且b a 32+与b a k 4-也互相垂直，则实数k 的值为（ ） (A)6- (B)6 (C)3- (D)3 2．B3. 方程lg 3x x +=根的情况是 ( ) A. 有两个正根 B. 有一正根一负根 C. 仅有一正根 D. 没有实根 3.C4.圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A.x+y+3=0 B 、2x-y-5=0 C 、 3x-y-9=0 D 、4x-3y+7=0 4.Ｃ5.下列说法不正确的．．．．是（ ） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B ．同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 5.D6、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6(π平移后，它的一条对称轴是4π=x ，则θ的一个可能的值是（ ） (A)125π (B)3π (C)6π (D)12π 6．A7、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个点，一动点P 满足：()OP OA AB AC λ=++，λ∈（0，∞），则直线AP 一定通过△ABC 的 A 、外心 B 、内心 C 、重心 D 、垂心 7、C8．若奇函数f （x ）在区间[3，7]上递增且最小值为5，则f （x ）在[－7，－3]上为（ ） A ．增函数且最小值－5 B ．增函数且最大值－5 C ．减函数且最小值－5 D ．减函数且最大值－5 8：根据奇函数的图象关于原点对称． 答案：B9.设P （x ,y ）为圆x 2+（y -1）2=1上的任一点，欲使不等式x +y +c ≥0恒成立，则c 的取值范围是（ ）.A ．[12,21---] B.[+∞-,12] C.(12,12---) D.(12,--∞-) 9、解：根据直线对于平面区域划分的定理，要使x +y +c ≥0 恒成立，圆x 2+(y -1)2=1必须在直线x +y +c =0的上方，即c >0,且圆心（0，1）到直线x +y +c =0的距离大于或等于1，于是.12c .0,12|10|-≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥++解得c c ∴应选B 10．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数()d f l =的图像大致是（ ）.10． 2sin,2ld r r=故选C 。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知不等式03)1(4)54(22>+---+x m x m m 时一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围 。
11．191<≤m12．若对n 个向量1a ，2a ，……，n a 存在n 个不全为零的实数1k ，2k ，……，n k ，使得02211=+++n n a k a k a k 成立，则称向量1a ，2a ，……，n a 为“线性相关”，依此规定，能说明)0,1(1=a ，)1,1(2-=a ，)2,2(3=a “线性相关”的实数1k ，2k ，3k 依次可以取___________________________（写出一组数值即可，不必考虑所有情况） 12．1:2:4::321-=k k k13、过圆：x 2+y 2=r 2外一点P （x 0,y 0）引此圆的两条切线，切点为A 、B ，则直线AB 的方程为__________________________.13、分析：此题注意与所学过圆上一点的切线的联系，体现由不熟悉向熟悉的转化，并注意直线方程形的特点.解：设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）则过点A 的圆的切线为x 1x +y 1y =r 2过点B 的圆的切线为x 2x +y 2y =r 2又点P （x 0,y 0）是两切线的交点，所以：x 0x 1+y 0y 1=r 2，说明点A （x 1,y 1）在直线x 0x +y 0y =r 2上x 0x 2+y 0y 2=r 2，说明点B （x 2,y 2）在直线x 0x +y 0y =r 2上所以直线AB 方程为：x 0x +y 0y =r 2 14、对于函数x x x f sin cos )(+=，给出下列四个命题：①存在∈α（0，2π），使34)(=αf ；②存在∈α（0，2π），使)3()(αα+=+x f x f 恒成立；③存在∈ϕR ，使函数)(ϕ+x f 的图象关于y 轴对称；④函数)(x f 的图象关于（43π，0）对称．其中正确命题的序号是14．①，③，④ 三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. (本小题13分)设)sin ,cos 1(αα+=a )s i n ,c o s 1(ββ-=b )0,1(=c)2,(),,0(ππβπα∈∈，a 与c 的夹角为b ,1θ与c 的夹角为2θ，且621πθθ=-,求4sinβα-的值．15、解：)2sin ,2(cos 2cos 2)2cos 2sin 2,2cos 2(2αααααα==a ∴21αθ=)2c o s ,2(s i n 2s i n 2)2c o s 2s i n 2,2s i n 2(2ββββββ==b ∴222πβθ-=326222621πβαππβαπθθ-=-⇒=+-⇒=-∴21)6sin(4sin-=-=-πβα 16. (本小题13分) 已知P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过A 点作AE ⊥PC 于点E ，求证：AE ⊥平面PBC .CABP.OE16.证明：∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC .又∵AB 是⊙O 的直径，∴BC ⊥AC .而PC ∩AC =C ，∴BC ⊥平面PAC . 又∵AE 在平面P AC 内，∴BC ⊥AE . ∵PC ⊥AE ，且PC ∩BC =C ， ∴AE ⊥平面PBC .17. (本小题13分) 已知实数x,y 满足x 2+y 2=3(y ≥0)，试求m =31++x y 及b =2x +y 的取值范围.17、解 m 可看作半圆x 2+y 2=3(y ≥0)上的点与定点A （－3，－1）连线的斜率，b 可以看作过半圆x 2+y 2=3(y ≥0)上的点P 且斜率为－2的直线在y 轴上的截距.由图得633-≤m ≤6213+,32-≤b ≤1518. (本小题13分) 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。