量子相空间理论研究

其中
，
（15）
J（q, ）
i z z z· dz[V (q ) V (q )]e 2 2 2 2 ， w j 0 t ，
i
（16）
相空间密度函数满足连续性方程
（17）
2.1.1 Wigner 分布函数的性质 2.1.1.1 用坐标和动量波函数表示的 Wigner 分布函数的关系 因为坐标空间中的波函数（q） 和动量空间中的波函数 ( p ) 之间存在着 Fourier 变换
2
2
，
（4）
由 c ( p, t ) 可知，粒子动量在 p 到 p dp 之间的概率
w( p, t )dp c( p, t ) dp
'
，
（5）
如果（x ,t） 所描写的状态是具有动量 p 的自由粒子的状态，即（x, t） p ' ( x, t ) 则
iEp 't / c( p, t ) p ' ( x, t ) dx p ( x) dx p ' ( x) p ( x )e
是同一态在动量表象中的波函数。 设 ( x, t ) 是归一化得波函数，则由归一化条件，很容易证明
2
f ( x, t ) dt f c( p, t ) dp 1 ，
由（x ,t） 可知，粒子坐标在 x 到 x dx 之间的概率
2
（3）
w( x, t )dx ( x, t ) dx
A C dq dpAC (q, p) f C (q, p)



，
（13）
然而,在量子力学中微观粒子的运动状态是用波函数或密度算符来刻画的。 2.1 Wigner 分布函数 Wigner 分布函数是著名物理学家 Wigner 在研究对热统计力学体系进行量子修正是提出的，现 在是最常用的量子相空间分布函数之一 在量子力学中, 用波函数 （q, t） 描述体系的性质，在相空间理论中，用 Winger 分布函数 (q, p; t ) 等描述体系的性质.。Winger 分布函数可由波函数的傅里叶变换得到，即
[1]
[关键词]：量子相空间 Winger 分布函数 1.引言 相空间是一个经典的数学和物理概念，系统每个可能的状态都有一相对应的相空间点。相空间 是一个六维假想空间，其中动量和空间各占三维。它允许同时使用坐标和动量来描述经典体系的运 动状态，以及计算经典力学量。但是在量子力学中，由于测不准关系，描述微观体系运动状态的波 函数及其所满足的基本方程（Schrodinger 方程），或者只有动量变量，或者只有坐标变量，而形 成的量子力学表述中的两种主要数学表象（坐标表象和动量表象）。然而就在量子力学建立不久， 著名物理学家 Winger 为了研究修正统计热力学体系的量子效应， 引入了量子力学相空间分布函数这 [1] 一概念 。 1.1 量子力学的基本表象 量子力学的“表象”最早由狄拉克引入有，用来研究不同体系状态下子体系状态和力学量的表 [1] 示形式 。微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象。常用的表象有坐标 [3] 表象、动量表象和能量表象 。 1.1.1 动量表象 体系的态既可用以 x （坐标变量）为变量的波函数（x ,t） 来描写，也可用以 p （动量变量） 为变量的波函数 c ( p, t ) 来描写。（x ,t） 和 c ( p, t ) 之间的变换关系是
【5】
根据 Weyl 算符对应规则及 Winger 分布函数的定义,任一力学量算符 函数可表示为
ˆ (q ˆ, p ˆ) A Q
所对应的相空间
A （ Q q , p）
2.1.1.4 正则变换
W


dq'
q
q' ˆ q' ipq ' ˆ, p ˆ) q AQ (q exp( ) 2 2
F w ( q, p )
(q q0 ) 2 ( p p0 ) 2 1 exp( ) exp( )， 2(q) 2 2(p) 2
（24）
这里 p 2 ，可以认为，高斯波包的 Winger 分布函数就是他本身，是在 p 和 q 二者的空 间中，并且 pq 2 的一个高斯波包，它是最小不确定的高斯波包[11]。 由于自由粒子势能函数 V 0 ，所以有
( p ' p )e iEp 't / ，
在动量表象中，粒子具有确定动量的波函数是以动量为变量的δ函数。 1.1.2 坐标表象 坐标表象的波函数 （x, t） 2 （x, t） dx 给出 t 时刻到粒子处于 x ~ x dx 之间的几率 满足 Schrodinger 方程 （x, t）

，
（21）
上式中和分别对应状态 1 和状态 2 的 Winger 分布函数，如果两个态 1 和 2 正交，就有
W W dq dp f 2 (q, p) f 1 (q, p) 0

，
（22）
这说明 Winger 分布函数在相空间并不是处处为正。 2.1.1.3 力学量算符
设上述定态方程解 （ ， ...) n x）， n , (n 1,2,3 并设 n ( x) 的，即是正交归一
（8）
dx
* n
( x) m ( x) mn
n
，
（9）
则含时 Schrodinger 方程的一般解为
（ x , t） Cn e iE t ( x )
率。其中
2 2 F (q ' , p ' ) 的定义给出的一类相空间正定概率分 由于任一参数 的存在，所以上述 Husimi 分布函数 h
q , p
布函数，如果让参数等于体系的谐振子频率，则 Husimi 分布函数可以化为量子光学中常用的 Q 函数
3.量子相空间分布函数的应用
(q q0 ) 2 ip0q h 1 ， (q) exp( )e [2 (q) 2 ]1 4 4(q) 2
（23）
其中, q 表示波包的宽度， q0 表示中心点，平均动量为 p0 的波包系统，将（23）代入 1932 年 Winger 提出的 Winger 分布函数中，可以得到高斯波包的 Winger 分布函数，即
（x , t） c ( p, t ) p ( x)dp
c ( p, t ) ( x, t ) * p ( x ) dx
，
（1） （2）
，
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式中 p ( x )
1 是在坐标表象中的波函数， 而 c ( p, t ) e ipx 是动量的本征函数，称（x ,t） 12 (2)
， （20）

1 p' p' ip ' q dp '[ p p ] exp( ) 2 2 2
2.1.1.2 态间跃迁概率 用 Winger 分布函数表示体系中的两个态
2
1 和 2 之间的跃迁概率

| 1 2 | 2 dq dp fW (q, p ) fW ( q, p ) 2 1
3.1 Winger 分布函数的应用 Winger 分布函数具有非正定性，它可以取负值，因此它不是一般意义的概率分布函数，是一 种准概率分布函数。造成这种准概率的原因是某些物理量算符的非对异性，即量子力学的测不准关 系。 Winger 分布函数的求解一般有两种方式，一种是根据定义式直接积分求解，第二种是解能量本 征函数。 3.1.1 自由粒子 高斯波包的 Winger 分布函数[9】 自由粒子运动用波包来表示，我们设自由粒子的初始波包为
（ q）
1 2


dp exp(
ipq ) ( p ) ，
（18）
所以，对于纯体态易用动量波函数表示的 Wigner 分布函数
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1 q' ipq ' f ( q, p ) dq . (q ) exp( ) 2 2
Fh (q, p ) dq ' dp ' FW (q ' , p ' ) exp[ (q ' q ) 2 ( p ' p ) 2 ] 的取决定了相空间中 q 值与 p 值的相对分辨 其中 称为高斯展宽参数，它可以取任意正定参数，
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指导老师：徐峰
[摘要]量子力学是反映微观粒子运动规律的理论，除了有薛定愕的波动力学（正则形式），海森堡的矩阵力
学（路径积分）两种表述外，还有一种表述--相空间，即把量子力学算符以一定的规则对应到一相空间的经典的坐 标和动量函数，导出量子态的 winger 函数，建立相似于薛定愕波动方程的 winger 函数的时间演化方程。量子相空 间分布函数广泛应用于量子力学问题中，允许人们用经典视角去研究和描述量子力学。量子相空间分布函数是量子 相空间理论中的重要部分，它既是量子相空间理论的基础，也是实际应用的最主要工具之一 。
W Q


1 p' p' ip ' q dp ' . ( p ) ( p ) exp( ) 2 2 2

，
（19）
对于一般密度算符 ，有
W fQ ( q, p )
1 q' q' ipq ' dq '[q q ] exp( ) 2 2 2
n
，
(10）
若
（x, t 0） ( x) ,
则
* Cn dx n ( x ) ( x )
（11）
，
（12）
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