新北师大版数学七年级下整式的乘除
北师大版数学七年级下册：第一章整式的乘除回顾与思考(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式的乘除的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对整式乘除的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-难点四：整式的除法法则。在整式除法中，确定商的每一项系数是学生遇到的困难之一。教师应通过具体例题，指导学生如何确定商的每一项系数，并强调余数概念。
-难点五：实际应用题的解决。将整式的乘除应用于解决实际问题时，学生可能会感到难以理解问题的实质，不知如何建模。教师应提供丰富的实际情境题，引导学生学会提取信息，建立数学模型。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“整式的乘除在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解整式乘除的基本概念。整式的乘除是指如何将单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘或相除。它在数学运算中占有重要地位，帮助我们简化表达式，解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何将整式的乘除应用于实际中，比如计算矩形的面积和体积。
3.多项式乘多项式：运用分配律，将一个多项式的每一项分别与另一个多项式的每一项相乘，再将结果相加。
北师大版数学七下第一章整式的乘除回顾与思考课件
整式的乘法
单项式乘单项式：(1)(5x) 2x2 y 单项式乘多项式：(3)(x2 y y) 2x2 y
(5) 2x2 y 1 y
3
(4) (5x) (x y2 )
多项式乘多项式：(2)(x2 y y) (x y) (6) (x y2 ) (x2 y y)
整式的乘法
单项式乘单项式： (5x) 2x2 y = (5) x 2 x2 y = (5) 2 x x2 y
要点梳理
整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的__系__数____, _相__同__字__母__的__幂__分别相乘，对于只在一个单 项式中出现的字母，则连同它的指数一起作 为积的一个 因式 . 单项式与多项式相乘，用单项式 和_多__项__式__ 的每一项分别相乘，再把所得的积 相加 . 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 _每__一__项__与另一个多项式的 每一项 相乘， 再把所得的积 相加 .
A. a2 + a2 =a4
B. a3 ·a4 =a12
C. (a3) 4=a12
D. (ab) 2=ab2
2. 比较大小：420与1510. 解:∵420=(42)10=1610， ∴1610>1510, ∴420>1510.
转化思想
考点讲练
考点一 幂的乘法运算
针对训练
3. 若2a+5b－3=0，则4a·32b=
3
(6) (x y2 ) (x2 y y)
(8) (x2 y y) 1 y
3
整式的除法
整式的乘法
(1) (5x) 2x2 y
(2) (x2 y y) (x y) (3) (x2 y y) 2x2 y
(4) (5x) (x y2 )
北师大版七下数学知识点总结
北师大版七下数学知识点总结北师大版七年级下册数学知识点总结。
一、整式的乘除。
1. 同底数幂的乘法。
- 法则：a^m· a^n=a^m + n（m、n为正整数）。
例如2^3×2^4=2^3 + 4=2^7。
- 推广：a^m· a^n· a^p=a^m + n+p（m、n、p为正整数）。
2. 幂的乘方。
- 法则：(a^m)^n=a^mn（m、n为正整数）。
例如(3^2)^3=3^2×3=3^6。
3. 积的乘方。
- 法则：(ab)^n=a^nb^n（n为正整数）。
例如(2×3)^2=2^2×3^2=4×9 = 36。
4. 同底数幂的除法。
- 法则：a^m÷ a^n=a^m - n（a≠0，m、n为正整数且m>n）。
例如5^6÷5^3=5^6 - 3=5^3。
- 零指数幂：a^0=1(a≠0)。
- 负整数指数幂：a^-p=(1)/(a^p)(a≠0,p为正整数)。
5. 整式的乘法。
- 单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂相乘。
例如3x^2·2x^3=(3×2)x^2 + 3=6x^5。
- 单项式乘多项式：m(a + b)=ma+mb。
例如2x(x + 3)=2x^2+6x。
- 多项式乘多项式：(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd。
例如(x + 2)(x+3)=x^2+3x+2x + 6=x^2+5x + 6。
6. 整式的除法。
- 单项式除以单项式：系数相除，同底数幂相除。
例如6x^5÷2x^3=(6÷2)x^5 - 3=3x^2。
- 多项式除以单项式：(a + b)÷ m=(a)/(m)+(b)/(m)。
例如(4x^2+2x)÷2x =4x^2÷2x+2x÷2x = 2x + 1。
二、相交线与平行线。
1. 相交线。
(完整版)最新北师大版数学七年级下册第一章_整式的乘除知识点总结及练习题
☆☆☆ 北师大版数学七年级【下册】第一章 整式的乘除一、 同底数幂的乘法同底数幂的乘法法则: n m n ma a a +=⋅（m,n 都是正数）是幂的运算中最基本的法则，在应用法则运算时，要注意以下几点：①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a 可以是一个具体的数字式字母，也可以是 一个单项或多项式;②指数是1时，不要误以为没有指数;③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆,对乘法,只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为p n m p n ma a a a ++=⋅⋅(其中m 、n 、p 均为正数）；⑤公式还可以逆用：n m nm a a a⋅=+（m 、n 均为正整数）二．幂的乘方与积的乘方1。
幂的乘方法则：mnnm a a =)((m ，n 都是正数）是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆.2. ),()()(都为正数n m a a a mn mn nm ==.3。
底数有负号时，运算时要注意，底数是a 与(-a ）时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将(-a ）3化成—a 3⎩⎨⎧-=-).(),()(,为奇数时当为偶数时当一般地n a n a a n n n4．底数有时形式不同,但可以化成相同。
5．要注意区别（ab ）n与（a+b)n意义是不同的,不要误以为（a+b ）n=a n+b n（a 、b 均不为零）.6．积的乘方法则:积的乘方,等于把积每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘，即nnnb a ab =)(（n 为正整数）。
7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
三. 同底数幂的除法1。
同底数幂的除法法则:同底数幂相除，底数不变,指数相减,即n m n ma a a -=÷ (a ≠0,m 、n 都是正数,且m 〉n ）.2。
在应用时需要注意以下几点：①法则使用的前提条件是“同底数幂相除"而且0不能做除数，所以法则中a ≠0。
北师版初一下第一章整式的乘除复习课件
(x)3 (x)2 (x) (x)6 x6
2、幂的乘方
法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
数学符号表示： (a m ) n a mn
（其中m、n为正整数）
[(a m )n ] p amnp （其中m、n、P为正整数）
练习：判断下列各式是否正确。
(a4)4 a44 a8,[(b2)3]4 b234 b24
A 1，2； B 2，1 C 1，1， D 1，3
2、下列运算正确的是：（ C ）
A x3·x2=x6
B x3-x2=x
C（-x）2·（-x）=-x3 D x6÷x2=x3
3、已知代数式3y2-2y+6的值为8，则代数式 1.5y2-y+1的值为（B ）
A1 B2
C 3 D4
4请你观察图形，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便 可得到两个你非常熟悉的公式，这两个公式分别是
1 c= 20 x+21
，则代
数式 a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值是（ B ）
A. 4
B.3
C.2
D.1
12、若a，b都是有理数且满足 2a2 -2ab+b 2 +4a+4=0 ，
则2ab的值等于（ B ）
A. -8
B. 8
C.32
D.2004
13、下列算式正确的是（ D ）
A、—30=1
9、完全平方公式 法则：两数和（或差）的平方，等于这两数 的平方和再加上（或减去）这两数积的2倍。
数学符号表示：
(a b)2 a2 2ab b2; (a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
2023年北师大版七年级下册数学第一章整式的乘除第10课时平方差公式(2)
第10课时 平方差公式(2)
C NTENTS
01 学习目标 02 知识要点 03 对点训练 04 精典范例 05 变式练习
·数学
1.(2022新课标)理解乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，了解公 式的几何背景. 2.(2022新课标)能利用平方差公式进行简单的计算和推理.
抽象能力 运算能力 几何直观
知识点一：利用图形验证平方差公式
(北师7下P21、人教8上P107)如图1，边长为a 的大正方形中有一个边长为b的小正方形. (1)图1中的阴影部分面积为 a2－b2 ；
·数学
图1
·数学 (2)小颖将阴影部分拼成一个长方形(如图2)，这个长方形的 长为 a＋b ，宽为 a－b ，它的面积为 (a＋b)(a－b)； (3)通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等 式是 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 .
6.【例3】计算：(a＋1)(a－1)－a(a＋3). 解：原式＝a2－1－(a2＋3a) ＝a2－1－a2－3a＝－1－3a.
·数学
10.化简：(a＋b)(a－b)＋2b2. 解：原式＝a2【例4】先化简，再求值：(1＋a)(1－a)－a(2－a)，其中 a＝12. 解：原式＝1－a2－2a＋a2＝1－2a. 当a＝12时，原式＝1－2×12＝1－1＝0.
·数学
·数学
4.【例1】如图，利用图1和图2的阴影面积相等，写出一个 正确的等式： (a＋2)(a－2)＝a2－4 .
·数学
8.(创新题)在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方 形(a＞b).把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等 腰梯形(如图)，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式， 这个等式是( A ) A.a2－b2＝(a＋b)(a－b) B.(a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2 C.(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D.a2－ab＝a(a－b)
北师大新版七年级下册《第1章 整式的乘除》2含解析版答案
北师大新版七年级下册《第1章整式的乘除》一、选择题1．（3分）下列等式不成立的是（）A．（ab）2＝a2b2B．a5÷a2＝a3C．（a﹣b）2＝（b﹣a）2D．（a+b）2＝（﹣a+b）22．（3分）如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（）A．30 B．±30 C．15 D．±153．（3分）若多项式x2+mx+36因式分解的结果是（x﹣2）（x﹣18），则m的值是（）A．﹣20 B．﹣16 C．16 D．204．（3分）如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（）A．a2+2ab+b2＝（a+b）2B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b25．（3分）若（x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为（）A．8 B．﹣8 C．0 D．8或﹣86．（3分）若x2﹣x﹣m＝（x﹣m）（x+1）且x≠0，则m等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．27．（3分）若3x＝18，3y＝6，则3x﹣y＝（）A．6 B．3 C．9 D．128．（3分）下列各式中为完全平方式的是（）A．x2+2xy+4y2B．x2﹣2xy﹣y2C．﹣9x2+6xy﹣y2D．x2+4x+169．（3分）已知（m﹣n）2＝32，（m+n）2＝4000，则m2+n2的值为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．403210．（3分）利用平方差公式计算（2x﹣5）（﹣2x﹣5）的结果是（）A．4x2﹣5 B．4x2﹣25 C．25﹣4x2D．4x2+2511．（3分）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a、b的值分别为（）A．a＝5，b＝6 B．a＝1，b＝﹣6 C．a＝1，b＝6 D．a＝5，b＝﹣6 12．（3分）已知a+b＝3，ab＝2，则a2+b2的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（题型注释）13．（3分）已知x m＝3，y n＝2，求（x2m y n）﹣1的值．14．（3分）若a2﹣4a+b2﹣10b+29＝0，则a＝，b＝．15．（3分）（﹣5a2+4b2）（）＝25a4﹣16b4，括号内应填（）A．5a2+4b2B．5a2﹣4b2C．﹣5a2﹣4b2D．﹣5a2+4b216．（3分）99×101＝（）×（）＝．17．（3分）若a﹣b＝1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为．18．（3分）若a+b＝6，ab＝4，则（a﹣b）2＝．19．（3分）若a2+b2＝5，ab＝2，则（a+b）2＝．20．（3分）将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad﹣bc，若＝6，则x＝．三、计算题21．化简求值．（a+b）（a﹣b）+（a+b）2，其中a＝3，b＝﹣．22．（16分）计算（1）a3b2c÷a2b（2）（﹣x3）2•（﹣x2）3（3）（﹣4x﹣3y）2（4）（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）四、解答题23．若a2b+ab2＝30，ab＝6，求下列代数式的值：（1）a2+b2；（2）a﹣b．24．先化简，再求值：[b（a﹣3b）﹣a（3a+2b）+（3a﹣b）（2a﹣3b）]÷（﹣3a），其中a、b满足2a﹣8b﹣5＝0．25．若x+y＝3，且（x+2）（y+2）＝12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．北师大新版七年级下册《第1章整式的乘除》参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）下列等式不成立的是（）A．（ab）2＝a2b2B．a5÷a2＝a3C．（a﹣b）2＝（b﹣a）2D．（a+b）2＝（﹣a+b）2【分析】分别根据幂的乘方及积的乘方法则、同底数幂的除法法则及完全平方公式对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、（ab）2＝a2b2，故本选项错误；B、a5÷a2＝a3，故本选项错误；C、（a﹣b）2＝（b﹣a）2，故本选项错误；D、（a+b）2＝a2+b2+2ab≠（﹣a+b）2＝a2+b2﹣2ab故本选项正确．故选：D．2．（3分）如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（）A．30 B．±30 C．15 D．±15【分析】本题考查的是完全平方公式的理解应用，式中首尾两项分别是3x和5的平方，所以中间项应为加上或减去3x和5的乘积的2倍，所以kx＝±2×3x×5＝±30x，故k ＝±30．【解答】解：∵（3x±5）2＝9x2±30x+25，∴在9x2+kx+25中，k＝±30．故选：B．3．（3分）若多项式x2+mx+36因式分解的结果是（x﹣2）（x﹣18），则m的值是（）A．﹣20 B．﹣16 C．16 D．20【分析】把分解因式的结果利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m的值即可．【解答】解：x2+mx+36＝（x﹣2）（x﹣18）＝x2﹣20x+36，可得m＝﹣20，故选：A．4．（3分）如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（）A．a2+2ab+b2＝（a+b）2B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【分析】根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个矩形的面积．【解答】解：∵大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个矩形的面积，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，即4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．故选：C．5．（3分）若（x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为（）A．8 B．﹣8 C．0 D．8或﹣8【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开式子，并合并，不含x的一次项就是含x项的系数等于0，求解即可．【解答】解：∵（x+m）（x﹣8）＝x2﹣8x+mx﹣8m＝x2+（m﹣8）x﹣8m，又结果中不含x的一次项，∴m﹣8＝0，∴m＝8．故选：A．6．（3分）若x2﹣x﹣m＝（x﹣m）（x+1）且x≠0，则m等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则化简，再利用多项式相等的条件求出m 的值即可．【解答】解：x2﹣x﹣m＝（x﹣m）（x+1）＝x2+（1﹣m）x﹣m，可得1﹣m＝﹣1，解得：m＝2．故选：D．7．（3分）若3x＝18，3y＝6，则3x﹣y＝（）A．6 B．3 C．9 D．12【分析】根据同底数幂除法法则进行计算即可．【解答】解：∵3x＝18，3y＝6，∴3x﹣y＝＝3．故选：B．8．（3分）下列各式中为完全平方式的是（）A．x2+2xy+4y2B．x2﹣2xy﹣y2C．﹣9x2+6xy﹣y2D．x2+4x+16【分析】完全平方式有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两个，根据以上内容逐个判断即可．【解答】解：A、x2+2xy+y2才是完全平方式，而x2+2xy+4y2不是完全平方式，故本选项错误；B、x2﹣2xy+y2才是完全平方式，而x2﹣2xy﹣y2不是完全平方式，故本选项错误；C、﹣9x2+6xy﹣y2＝﹣（3x﹣y）2，是完全平方式，故本选项正确；D、x2+4x+4才是完全平方式，而x2+4x+16不是完全平方式，故本选项错误；故选：C．9．（3分）已知（m﹣n）2＝32，（m+n）2＝4000，则m2+n2的值为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．4032【分析】根据完全平方公式，即可解答．【解答】解：（m﹣n）2＝32，m2﹣2mn+n2＝32 ①，（m+n）2＝4000，m2+2mn+n2＝4000 ②，①+②得：2m2+2n2＝4032m2+n2＝2016．故选：C．10．（3分）利用平方差公式计算（2x﹣5）（﹣2x﹣5）的结果是（）A．4x2﹣5 B．4x2﹣25 C．25﹣4x2D．4x2+25【分析】利用平方差公式进行计算即可得解．【解答】解：（2x﹣5）（﹣2x﹣5），＝（﹣5）2﹣（2x）2，＝25﹣4x2．故选：C．11．（3分）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a、b的值分别为（）A．a＝5，b＝6 B．a＝1，b＝﹣6 C．a＝1，b＝6 D．a＝5，b＝﹣6 【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出a与b 的值即可．【解答】解：∵（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6＝x2+ax+b，∴a＝1，b＝﹣6．故选：B．12．（3分）已知a+b＝3，ab＝2，则a2+b2的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据完全平方公式得出a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入求出即可．【解答】解：∵a+b＝3，ab＝2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5，故选：C．二、填空题（题型注释）13．（3分）已知x m＝3，y n＝2，求（x2m y n）﹣1的值．【分析】根据幂的乘方，可得负整数指数幂，再根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．【解答】解：x﹣2m＝（x m）﹣2＝3﹣2＝，y﹣n＝（y n）﹣1＝．（x2m y n）﹣1＝x﹣2m y﹣n＝×＝，故答案为：．14．（3分）若a2﹣4a+b2﹣10b+29＝0，则a＝ 2 ，b＝ 5 ．【分析】运用配方法把原式化为（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0，根据非负数的性质列出算式，求出a、b的值．【解答】解：∵a2﹣4a+b2﹣10b+29＝0，∴（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣5＝0，解得a＝2，b＝5．15．（3分）（﹣5a2+4b2）（）＝25a4﹣16b4，括号内应填（）A．5a2+4b2B．5a2﹣4b2C．﹣5a2﹣4b2D．﹣5a2+4b2【分析】根据平方差公式的逆用找出这两个数写出即可．【解答】解：∵（﹣5a2+4b2）（﹣5a2﹣4b2）＝25a4﹣16b4，∴应填：﹣5a2﹣4b2．故选：C．16．（3分）99×101＝（100﹣1 ）×（100+1 ）＝9999 ．【分析】直接利用平方差公式进行计算得出答案．【解答】解：99×101＝（100﹣1）×（100+1）＝9999．故答案为：9999．17．（3分）若a﹣b＝1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为 1 ．【分析】运用平方差公式，化简代入求值，【解答】解：因为a﹣b＝1，a2﹣b2﹣2b＝（a+b）（a﹣b）﹣2b＝a+b﹣2b＝a﹣b＝1，故答案为：1．18．（3分）若a+b＝6，ab＝4，则（a﹣b）2＝20 ．【分析】根据完全平方公式，对已知的算式和各选项分别整理，得出a2+b2＝28，然后再去括号即可得出答案．【解答】解：∵a+b＝6，ab＝4，∴（a+b）2＝36，a2+b2+2ab＝36，∴a2+b2＝28，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝28﹣8＝20，故答案为：20．19．（3分）若a2+b2＝5，ab＝2，则（a+b）2＝9 ．【分析】根据完全平方公式直接代入解答即可．【解答】解：∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴把a2+b2与ab代入，得（a+b）2＝5+2×2＝9．20．（3分）将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad﹣bc，若＝6，则x＝±．【分析】根据新定义得到（x+1）2﹣（1﹣x）（x﹣1）＝6，然后整理得到x2＝2，再利用直接开平方法解方程即可．【解答】解：根据题意得（x+1）2﹣（1﹣x）（x﹣1）＝6，整理得x2＝2，x＝±，所以x1＝，x2＝﹣．故答案为±．三、计算题21．化简求值．（a+b）（a﹣b）+（a+b）2，其中a＝3，b＝﹣．【分析】原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝a2﹣b2+a2+2ab+b2＝2a2+2ab，当a＝3，b＝﹣时，原式＝18﹣2＝16．22．（16分）计算（1）a3b2c÷a2b（2）（﹣x3）2•（﹣x2）3（3）（﹣4x﹣3y）2（4）（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）【分析】（1）根据单项式除以单项式法则进行计算即可；（2）先算乘方，再算乘法即可；（3）根据完全平方公式进行计算即可；（4）先变形，再根据平方差公式进行计算，最后根据完全平方公式进行计算即可．【解答】解：（1）a3b2c÷a2b＝abc；（2）（﹣x3）2•（﹣x2）3＝x6•（﹣x6）＝﹣x12；（3）（﹣4x﹣3y）2＝16x2+24xy+9y2；（4）（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）＝[x+（2y﹣3）][x﹣（2y﹣3）]＝x2﹣（2y﹣3）2＝x2﹣4y2+12y﹣9．四、解答题23．若a2b+ab2＝30，ab＝6，求下列代数式的值：（1）a2+b2；（2）a﹣b．【分析】（1）已知等式左右两边相除，利用多项式除以单项式法则计算求出a+b的值，两边平方后利用完全平方公式化简，将ab的值代入计算即可求出所求式子的值；（2）将原式平方，利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算，开方即可求出值．【解答】解：（1）由a2b+ab2＝30，ab＝6，得（a2b+ab2）÷ab＝ab（a+b）÷ab＝30÷6＝5，即a+b＝5，∴（a+b）2＝25，即a2+2ab+b2＝25，∴a2+b2＝25﹣2ab＝25﹣2×6＝13；（2）（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13﹣2×6＝1，∴a﹣b＝±1．24．先化简，再求值：[b（a﹣3b）﹣a（3a+2b）+（3a﹣b）（2a﹣3b）]÷（﹣3a），其中a、b满足2a﹣8b﹣5＝0．【分析】先算乘法，再合并同类项，最后算除法，代入求出即可．【解答】解：[b（a﹣3b）﹣a（3a+2b）+（3a﹣b）（2a﹣3b）]÷（﹣3a）＝[ab﹣3b2﹣3a2﹣2ab+6a2﹣9ab﹣2ab+3b2]÷（﹣3a）＝（3a2﹣12ab）÷（﹣3a）＝﹣a+4b，∵2a﹣8b﹣5＝0，∴2a﹣8b＝5，∴﹣a+4b ＝﹣，∴原式＝﹣．25．若x+y＝3，且（x+2）（y+2）＝12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．【分析】（1）先去括号，再整体代入即可求出答案；（2）先变形，再整体代入，即可求出答案．【解答】解：（1）∵x+y＝3，（x+2）（y+2）＝12，∴xy+2x+2y+4＝12，∴xy+2（x+y）＝8，∴xy+2×3＝8，∴xy＝2；（2）∵x+y＝3，xy＝2，∴x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy＝32+2＝11．11/ 11。
北师大版七年级数学下册课件第一章第四节整式的乘法
对点训练
1.(1)计算a·3a的结果是( B )
A.a2
B.3a2
C.ห้องสมุดไป่ตู้a D.4a
(2)化简(－3x2)·2x3的结果是( C ) A.－3x5 B.18x5 C.－6x5 D.－18x5
知识点二:单项式与单项式相乘的一般步骤
(2)4y·(－2xy2);
解:(1)原式＝(3×5)(x2·x3)＝15x5.
(2)原式＝[4×(－2)]x(y·y2)＝－8xy3.
(3)(3x2y)3·(－4x);
(4)(－2a)3·(－3a)2.
解:(3)原式＝27x6y3·(－4x)＝[27×(－4)](x6·x)y3＝－108x7y3.
第一章 整式的乘除
整式的乘法(1)
学习目标
1.经历探索整式乘法运算法则的过程,进一步体会类比方法的 作用,以及乘法分配律在整式乘法运算中的作用. 2.(课标)能进行简单的整式乘法运算(单项式乘单项式).
知识要点 知识点一:单项式乘单项式法则 单项式与单项式相乘的运算法则: 单项式与单项式相乘,把它们的 系数 、相同字母的幂分 别 相乘 ,其余字母连同它的 指数不变 ,作为积的因式.
3
27
＝－2x5y5－ 1x7y5.
3
7.【例4】(北师7下P15)一家住房的结构如图所示,这家房子 的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖,至少需要多少平 方米的地砖?如果某种地砖的价格是a元/m2,那么购买所需地 砖至少需要多少元?
解:根据题意,得xy+2xy+8xy＝11xy(m2), 则把卧室以外的部分都铺上地砖,至少需要11xy m2的地砖,购 买所需地砖至少需要11axy元.
北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!
北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。
为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
北师大版七年级数学下册《整式的乘除》知识点汇总
北师大版七年级数学下册《整式的乘除》知识点汇总北师大版七年级数学下册《整式的乘除》知识点汇总一、整式的乘法（一）单项式与单项式相乘1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、系数相乘时，注意符号。
相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。
3、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积的因式。
4、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
（二）单项式与多项式相乘1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。
即：(a+b+)=a+b+。
2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
要合并同类项，从而得到最简结果。
（三）多项式与多项式相乘1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：(+n)(a+b)=a+b+na+nb。
2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。
相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。
3、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时“同号得正，异号得负”。
4、运算结果中有同类项的要合并同类项。
二、平方差公式1、（a+b）(a-b)=a2-b2，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。
2平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。
3、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成（a+b）•(a-b)的形式，然后看a2与b2是否容易计算。
三、完全平方公式1、(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
2、掌握理解完全平方公式的变形公式：（1）a2+b2 =(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab=0.5【(a+b)2 +(a-b)2】（2）(a-b)2=(a+b)2-4ab2、4ab =(a+b)2 -(a-b)23、完全平方式：我们把形如: a2+2ab+b2 、a2-2ab+b2的二次三项式称作完全平方式。
北师大版本七年级下册第一单元《整式的乘除》全章知识讲解+经典练习
《整式的乘除》全章复习与巩固【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：1n na a -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；需灵活地双向应用运算性质.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项包含前面的“＋”“－”号．根据多项式的乘法，能得出一个应用广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除单项式相除、把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：1.在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.2.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是三项，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知：2m +3n ＝5，则4m •8n ＝（ ）A ．16B ．25C ．32D ．64 【解答】解：4m •8n ＝22m •23n ＝22m +3n ＝25＝32，故选：C ．2．下列各式正确的有（ ）①x 4+x 4＝x 8；②﹣x 2•（﹣x ）2＝x 4；③（x 2）3＝x 5；④（x 2y ）3＝x 3y 6；⑤（﹣3x 3）3＝﹣9x 9；⑥2100×（﹣0.5）99＝﹣2；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①x 4+x 4＝2x 4，此计算错误；②﹣x 2•（﹣x ）2＝﹣x 4，此计算错误；③（x 2）3＝x 6，此计算错误；④（x 2y ）3＝x 6y 3，此计算错误；⑤（﹣3x 3）3＝﹣27x 9，此计算错误；⑥2100×（﹣0.5）99＝2×299×（﹣0.5）99＝2×（﹣0.5×2）99＝2×（﹣1） ＝﹣2，此计算正确；故选：A ．3、阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a 2＝2，b 3＝3，比较a 、b 的大小（4）比较312×510与310×512的大小【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511， ∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a 2＝2，b 3＝3，∴a 6＝8，b 6＝9，∵8＜9，∴a 6＜b 6，∴a ＜b ；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．类型二、整式的乘除法运算1、要使()()621x a x -+的结果中不含x 的一次项，则a 等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】D ；【解析】先进行化简，得：，要使结果不含x 的一次项，则x 的一次项系数为0，即：62a -＝0.所以3a =.【总结升华】代数式中不含某项，就是指这一项的系数为0.2．如图，一个边长为（m +2）的正方形纸片剪去一个边长为m 的正方形，剩余的部分可以拼成一个长方形，若拼成的长方形的一边长为2，则另一边长为 2m +2 ．【解答】解：设另一边长为x ，根据题意得，2x ＝（m +2）2﹣m 2，解得x ＝2m +2．故答案为：2m +2．3．如图，现有A ，C 两类正方形卡片和B 类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形，那么需要B类长方形卡片5张．【解答】解：长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2，∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，∴需要A类卡片3张，B类卡片5张，C类卡片2张，故答案为：5．类型三、乘法公式1．如果x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，则m＝．【解答】解：∵x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，∴﹣2（m+1）＝±4，则m＝﹣3或1．故答案为：﹣3或1．2、用简便方法计算：（1）1002﹣200×99+992（2）2018×2020﹣20192 （3）计算：（x﹣2y+4）（x+2y﹣4）【解答】解：（1）1002﹣200×99+992＝1002﹣2×100×（100﹣1）+（100﹣1）2＝[100﹣（100﹣1）]2＝12＝1；（2）2018×2020﹣20192＝（2019﹣1）（2019+1）﹣20192＝20192﹣1﹣20192＝﹣1．（3）原式＝x2﹣（2y﹣4）2＝x2﹣4y2+16y﹣16；3．图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称抽）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．a2+2ab+b2C．a2﹣b2D．a2﹣2ab+b2【解答】解：图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a +b ，∴正方形的面积为（a +b ）2，∵原矩形的面积为4ab ，∴中间空的部分的面积＝（a +b ）2﹣4ab ＝a 2﹣2ab +b 2．故选：D ．4、已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求代数式2012()x y z --的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出,,x y z .【答案与解析】解：222246140x y z x y z ++-+-+= ()()()2221230x y z -+++-= 所以1,2,3x y z ==-=所以20122012()00x y z --==.【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.类型四、综合类大题1．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．请你利用上述方法解决下列问题：（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：证明上述速算方法的正确性．【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．（2）几何图形如图所示：拓展应用：（1）①几何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；2．阅读下列材料并解决后面的问题材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣﹣1783）才发现指数与对数之间的联系，我们知道，n个相同的因数a相乘a•a…，a记为a n，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28，即log28＝3一般地若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b，即log a b＝n．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，即log381＝4．（1）计算下列各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是；（3）拓展延伸：下面这个一股性的结论成立吗？我们来证明log a M+log a N＝log，a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m•a n＝a m+n＝M•N，∴log a MN＝m+n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M+log a N＝log a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）仿照（3）的证明，你能证明下面的一般性结论吗？log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）计算：log34+log39﹣log312的值为．【解答】解：（1）log24＝log222＝2，log216＝log224＝4，log264＝log226＝6；故答案为：2，4，6；（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是：log24+log216＝log264；（4）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m÷a n＝a m﹣n＝，∴log a＝m﹣n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）log34+log39﹣log312，＝log3，＝log33，＝1，故答案为：1．。
北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除1.1同底数幂的乘法(教案)
一、教学内容
本节内容选自北师大版七年级数学下册第一章“整式的乘除”中的1.1节“同底数幂的乘法”。主要内容包括：
1.同底数幂乘法法则：am•an=am+n（m、n是正整数）；
2.同底数幂乘法的性质：当底数相同时，指数相加；
3.举例说明同底数幂乘法在生活中的应用；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调同底数幂乘法法则和指数相加的概念这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与同底数幂乘法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用模型或卡片展示同底数幂乘法的计算过程。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了同底数幂乘法的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对同底数幂乘法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例：在讲解指数相加的概念时，可使用数学教具或幻灯片展示，如2^3表示3个2相乘，2^2表示2个2相乘，那么2^3•2^2就是5个2相乘，即2^5，从而引导学生理解指数相加的含义。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《同底数幂的乘法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过相同底数的幂相乘的情况？”（如：计算2的3次方和2的2次方的乘积）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索同底数幂乘法的奥秘。
(新北师大七下)第一单元整式的乘除基础知识+练习
（新北师大七下）第一单元整式的乘除基础知识+练习 姓名 一.〈知识点〉回顾1、幂的运算法则：（1）同底数幂相乘：n m a a ∙= （m 、n 为正整数）=⋅⋅32a a a __ ； 108a a ∙= ；421010⋅=____ ；25()()()x x x ---= （2）幂的乘方：()nm a = （m 、n 为正整数） 22(10)= 22()a = ___)(32=a 25()x ⎡⎤-⎣⎦= 52()x ⎡⎤-⎣⎦=（3）积的乘方：()nab = （n 为正整数）_____)(3=xy ； 32)2(mn -=________ ； 23)102(⨯=_________（4）同底数幂相除：mn aa ÷= （m 、n 为正整数，a ≠0）87a a ÷= ； 22b b ÷= ； 73a b a b ÷（－）（－）＝ （5）零指数0a = （a ≠ ） 负指数=-pa（a ≠ ）（-2）0= （-1）-2= 2)21(-= 5-2=科学记数法：0.00000058= 2．整式的乘除① 单项式×单项式：_____5=⋅x x ； 2a ·2a= ； ______=⋅ab ab ； －4xy • 3x 2y= _______5343=⋅x x ； _______)2)((=--x x ；_________)2(32=-∙a b a ② 单项式×多项式： ()m a b c ++=a （2a 2－4a ＋3）= ； －2a 2（3a 2＋4a －2）= 。
③多项式×多项式相乘：=++))((b a n m __________________ （x －2）（x －6）= = （2x －1）（3x ＋2）= = ________________)75)(4(=-+y x y x = ④单项式÷单项式27x 3x ÷= 12mn 4mn ÷=－ ⑤多项式÷单项式（4x 3y ＋6x 2y 2－xy 3）÷２xy= （6a 4－4a 3－2a 2）÷（－2a 2）= 3.乘法公式平方差公式：___________________))((=-+b a b a 完全平方和公式:______________________)(2=+b a完全平方差公式:______________________)(2=-b a (1)（x ＋2）（x －2） （2）（x －8y ）（x ＋8y ） (3)(2x －3)(－2x －3) 解：原式= 解：原式= 解：原式=（4）2(3)a b -= （5）21(4)2x + (6)2(2)a b -+=解：原式= 解：原式= 解：原式=综合练习：1．x m =3，x n =5，则x m+n = ，x 3m+2n = ， x m-n = ， x 3m-2n= 。
新北师大版七年级数学下册整式的乘除知识点梳理
新北师大版七年级数学下册整式的乘除知识点梳理一、概述新北师大版七年级数学下册整式的乘除知识点是整个数学体系中的重要组成部分，为学生后续学习代数表达式、方程、函数等奠定基础。
本章节主要围绕整式的概念、性质以及乘除法的运算规则进行展开，帮助学生理解和掌握整式的基本运算技巧。
通过本章的学习，学生可以更好地理解数学中的代数结构，为后续学习复杂的数学问题做好准备。
在学习过程中，学生需要掌握整式的定义、性质以及乘法公式和法则，并理解整式除法的基本原理和方法。
通过大量的练习和实践，学生能够熟练掌握整式的乘除运算技巧，并能够独立解决相关数学问题。
在学习过程中，教师的作用也不可忽视，需要通过恰当的教学方法和手段，帮助学生理解和掌握这些知识点，激发学生的学习兴趣和动力。
整式的乘除知识点不仅是数学学习的基础，也是日常生活中的应用工具，学生需要认真对待并熟练掌握。
1. 介绍新北师大版七年级数学下册整式的乘除知识点的重要性和应用场景。
《新北师大版七年级数学下册整式的乘除知识点梳理》之开篇概述：整式的乘除的重要性与应用场景在代数世界中，整式的乘除是学生初步接触代数运算的关键一步。
它是多项式运算的基础，为学生后续的复杂数学问题求解提供工具和基础方法。
通过整式的乘除学习，学生不仅能够掌握基本的代数运算技巧，还能够理解代数表达式和方程在实际问题中的应用方式。
整式乘除的学习有助于培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，为未来的数学学习和生活做好准备。
整式的乘除在现实生活中有着广泛的应用场景。
在物理学的力学、几何学等领域中，很多问题都可以转化为整式方程来求解。
在经济学的统计、数据分析等方面，整式的乘除也是进行数据建模和问题解决的重要工具。
在学习自然科学、社会科学甚至日常生活方面，我们遇到的问题经常需要运用整式乘法来解决，比如求解几何图形的面积、解决物体运动的位移问题等。
通过对整式的学习和应用，学生不仅能在学校中获得丰富的知识，更能在日后的生活中运用所学的数学知识解决实际问题。
北师大版七年级下册数学总复习一整式的乘除
知识要点一、概念 1、代数式：2、单项式:由数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
单项式不含加减运算，分母中不含字母。
3、多项式:几个单项式的和叫做多项式。
多项式含加减运算。
4、整式:单项式和多项式统称为整式。
二、公式、法则：（1）同底数幂的乘法：a m﹒a n=a m+n（同底，幂乘，指加）逆用： a m+n=a m﹒a n（指加，幂乘，同底）（2）同底数幂的除法：a m÷a n=a m-n（a ≠0）。
（同底，幂除，指减）逆用：a m-n= a m÷a n（a ≠0）（指减，幂除，同底）（3）幂的乘方：（a m）n=a mn（底数不变，指数相乘）逆用：a mn=（a m）n（4）积的乘方：（ab ）n=a n b n推广：逆用， a n b n=（ab ）n（当ab=1或-1时常逆用）（5）零指数幂：a 0=1（注意考底数范围a ≠0）。
（6）负指数幂：11()(0)ppp a a a a-==≠(底倒，指反)（7）单项式与多项式相乘：m(a+b+c)=ma+mb+mc 。
（8）多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 。
（9）平方差公式：（a+b ）(a-b)=a 2-b2公式特点：（有一项完全相同，另一项只有符号不同，结果=22()-相同）（不同 推广（项数变化）：连用变化：（10）完全平方公式： 222222()2,()2,a b a ab b a b a ab b +=++-=-+逆用：2222222(),2().a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-完全平方公式变形（知二求一）：222()2a b a b ab+=-+222()2a b a b ab+=+-222212[()()]a b a b a b +=++-22222212()2()2[()()]a b a b ab a b ab a b a b +=+-=-+=++-22()()4a b a b ab +=-+ 2214[()()]ab a b a b =+-- 完全平方和公式中间项= 完全平方差公式中间项= 完全平方公式中间项= 例如：229x+mxy+4y 是一个完全平方和公式，则m = ；是一个完全平方差公式，则m = ；是一个完全平方公式，则m = ；（11）多项式除以单项式的法则:().a b c m a m b m c m ++÷=÷+÷+÷ （12）常用变形：221((n n x y x y +--2n 2n+1）=(y-x), ）=-(y-x)练习。
新北师大版数学七年级下整式的乘除
知识面归纳之阳早格格创做1、共底数幂的乘法规则：共底数幂相乘,底数没有变,指数相加. n m n m a a a +=⋅(m,n 皆是正数)n m n m a a a ⋅=+（m 、n 均为正整数）2、幂的乘圆规则：mn n m a a =)((m,n 皆是正数)3、积的乘圆规则：积的乘圆，等于把积每一个果式分别乘圆，再把所得的幂相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）.4、共底数幂的除法规则:共底数幂相除,底数没有变,指数相减,即n m n m a a a -=÷(a ≠0,m 、n 皆是正数,).（2）所有没有等于0的数的0次幂等于1,即)0(10≠=a a（3）p p a a 1=-( a ≠0,p 是正整数)5、单项式乘法规则单项式相乘,把它们的系数、相共字母分别相乘，对付于只正在一个单项式里含有的字母，连共它的指数动做积的一个果式.6、单项式乘以多项式，是通过乘法对付加法的调配律，把它转移为单项式乘以单项式，即单项式取多项式相乘，便是用单项式来乘多项式的每一项，再把所得的积相加.7、多项式取多项式相乘多项式取多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.9、仄圆好公式仄圆好公式：二数战取那二数好的积，等于它们的仄圆好，即22))((b a b a b a -=-+.a ，b 是代数，不妨为数，也不妨为字母，也不妨为代数式.其结构特性是：①公式左边是二个二项式相乘，二个二项式中第一项相共，第二项互为好异数；②公式左边是二项的仄圆好，即相共项的仄圆取好异项的仄圆之好.10、实足仄圆公式实足仄圆公式：二数战（或者好）的仄圆，等于它们的仄圆战，加上（或者减来）它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=±；心决：尾仄圆，尾仄圆，2倍乘积正在中央；结构特性：①公式左边是二项式的实足仄圆；②公式左边公有三项，是二项式中二项的仄圆战，再加上或者减来那二项乘积的2倍.11、整式的除法单项式除以单项式单项式相除，把系数（相除）、共底数幂（相减）分别相除，动做商的果式，对付于只正在被除式里含有的字母（照写），则连共它的指数动做商的一个果式；多项式除以单项式多项式除以单项式，先把那个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特性是把多项式除以单项式转移成单项式除以单项式，所得商的项数取本多项式的项数相共，其余还要特天注意标记.知识应用一、 采用题1. 下列运算精确的（ ）A 、954a a a =+B 、33333a a a a =⋅⋅C 、954632a a a =⨯D 、()743a a =- =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-20122012532135.2（ ）A. 1-B. 1C. 0D. 19973.设()()A b a b a +-=+223535，则A=（ ）A. 30abB. 60abC. 15abD. 12ab,3,5=-=+xy y x 则=+22y x （ ）A. 25. B 25- C 19 D 、19-,5,3==b a x x 则=-b a x 23（ ）A 、2527B 、109C 、53D 、526. .如图，甲、乙、丙、丁四位共教给出了四 种表示该少圆形里积的多项式： ①(2a+b)(m+n);②2a(m+n)+b(m+n);③m(2a+b)+n(2a+b);④2am+2an+bm+bn ，您认为其中精确的有A 、①②B 、③④C 、①②③D 、①②③④（）7．如(x+m)取(x+3)的乘积中没有含x 的一次项，则m 的值为（）A 、 –3B 、3C 、0D 、18．已知.(a+b)2=9，ab= －112 ，则a²+b 2的值等于（ ）A 、84B 、78C 、12D 、6nm9．估计（a －b ）（a+b ）（a 2+b 2）（a 4－b 4）的截止是（ ）A ．a 8+2a 4b 4+b 8B ．a 8－2a 4b 4+b 8C ．a 8+b 8D ．a 8－b 810.下列各式中，能用仄圆好公式估计的是 （ ）A 、))((b a b a +--B 、))((b a b a ---C 、))((c b a c b a +---+D 、))((b a b a -+-11．对付于任性正整数n ，依照“→n 仄圆→-→÷→+→n n n 问案”的步调估计，应输出的问案是（ ）A ．12+-n n B ．n n -2 C ．n -3 D ．1552=a ，443=b ，334=c ， 则a 、b 、c 的大小闭系为： （ ）A 、c b a >>B 、b c a >>C 、c a b >>D 、a c b >>13.用科教记数法表示的各数精确的是（ ）××105××105二、挖空题14.设12142++mx x 是一个实足仄办法，则m =_______.15.圆程()()()()41812523=-+--+x x x x 的解是_______.16.已知2=+n m ，2-=mn ，则=--)1)(1(n m _______.17.若622=-n m ，且3=-n m ，则=+n m _______．18.已知51=+x x ，那么221x x +=_______. 19．()()=-⋅-3245a a _______；（7x 2y 3z ＋8x 3y 2)÷4x 2y 2＝_____________. ()=⨯-20082007425.0_______.21.已知(3x-2)0蓄意思,则x 应谦脚的条件是_____________；若121x (--偶尔思，则1x -=____22.已知,109,53==b a 则=+b a 23___________ 5b a 2=，则=--)a 2b a (ab 3__________24.若没有管x 为何值，4x )2x )(b ax (2-=++，则b a =____ 24．若22=n x ，则()232n x ＝__________；若n 286432=⨯，则n ＝___________.5x 3x 2++的值为3，则代数式1x 9x 32-+的值为___________三、解问题26.估计：（1）()()02201214.3211π--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--（2）()()()()233232222x y x xy y x ÷-+-⋅ （3）()()222223366m m n m n m -÷--（4）⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2242332432433121x a x a x a x a 27.0414y x 4y x 22=++-+，供xy 3y x +-的值； 28.如图，某市有一齐少为（3a+b ）米，宽为（2a+b ）米的少圆形天块，•筹备部分计划将阳影部分举止绿化，中间将建建一座雕像，则绿化的里积是几仄圆米？•并供出当a=3，b=2时的绿化里积．29. 使用乘法公式烦琐估计（1）1241221232⨯- （2）20011999⨯ （3）1992-30.若(x+2)2+│3-y │=0，供：3(x-7)-4(x+y)的值．31.估计图中阳影部分的里积.。
北师大版七年级数学下册说课稿(含解析)：第一章整式的乘除4整式的乘法
北师大版七年级数学下册说课稿（含解析）：第一章整式的乘除4整式的乘法一. 教材分析北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除4整式的乘法，这部分内容是学生在学习了整式的加减法之后，进一步深化对整式的运算法则的理解。
本节内容主要包括整式乘法的基本概念、运算法则以及具体的运算方法。
通过这部分的学习，使学生能够熟练掌握整式的乘法运算，为后续学习分式的乘除法和函数的初步概念打下基础。
二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经有了一定的数学基础，例如整式的加减法、有理数的乘除法等。
但是，对于整式的乘法，学生可能还存在着一定的困惑，例如整式乘法的运算法则、如何快速准确地进行计算等。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，用学生熟悉的生活实例引入整式的乘法，让学生在理解的基础上掌握整式的乘法运算。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解整式乘法的概念，掌握整式乘法的运算法则，能够熟练地进行整式的乘法运算。
2.过程与方法目标：通过合作交流、自主探究的学习过程，培养学生解决问题的能力，提高学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和细心，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：整式乘法的概念、运算法则以及运算方法。
2.教学难点：整式乘法的运算方法，尤其是如何正确地合并同类项。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作交流法、自主探究法等，引导学生主动参与学习，提高学生的学习兴趣和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片等辅助教学，使学生更直观地理解整式的乘法运算。
六. 说教学过程1.引入新课：通过生活实例，引导学生思考如何计算两个多项式的乘积，激发学生的学习兴趣。
2.讲解整式乘法的概念和运算法则：引导学生通过合作交流、自主探究的方式，总结整式乘法的运算法则。
3.演示整式乘法的运算方法：通过多媒体课件或教学卡片，展示整式乘法的具体运算过程，让学生更直观地理解。
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知识点总结
1、同底数幕的乘法法则：同底数幕相乘，底数不变,指数相加。
a m a n "m n（m,n都是正数）
a" —a" a"（m n均为正整数）
2、幕的乘方法则：（a m）^a mn（m,n都是正数）
3、积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘，即（ab）n=a n b n（n为正整数）。
4、同底数幕的除法法则：同底数幕相除，底数不变，指数相减，即a m“ a n = a m』（a 工0,m、n都是正数,）.
（2）任何不等于0的数的0次幕等于1,即a0=1（a = O）
（3）a* =2（ a工0,P是正整数）
a
5、单项式乘法法则
单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
6、单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
7、多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一
项，再把所得的积相加。
9、平方差公式
2 2 平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即（a b）（a_b）=a—b。
a, b是代数，可以为数，也可以为字母，也可以为代数式。
其结构特征是：
①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；
②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。
10、完全平方公式
完全平方公式：
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍,
2 2 2
即（a _b） =a -2ab b .
口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；
结构特征：
①公式左边是二项式的完全平方；②公式右边共有三项，是二项式中二项的平
方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。
11、整式的除法
单项式除以单项式
单项式相除，把系数（相除）、同底数幕（相减）分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母（照写），则连同它的指数作为商的一个因式；多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多
项式的项数相同，另外还要特别注意符号。
7.如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为(
)
知识应用
选择题
1.下列运算正确的( )
A a 4
a 5
= a 9
B
a 3
=3a 3
C 、
2a 4
3a 5
二 6a 9 D 、
一 a 3 4 二 a 7
A. -1
B. 1
C. 0
3 .设
5a
3b 2
2
=5a -3b
A ，贝
y A=( )
A. 30 ab
B. 60ab
C. 15ab
4.已知 x y 二 2
-5,xy =3,贝y x
2
y =(
)
A. 25.
B -25
C 1
9
5.已知 x a =3,: b
u )_t r 3a __2 b
x 5,贝 y x
()
27
9
3
A
、
25
B 、
10 c 、 5
D. 1997
D. 12ab
D 、-19
D 、52
6..如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四 种
表示该长方形面积的多项式： ①(2a+b)(m+n);
②
③ m (2a+b)+n( 2a+b);④ 2am+2a n+bm+bn, 你认为其中正确的有 A 、①②
B 、③④
C 、①②③
D 、①②③④
2012
5 ) I 13
2.
A、43
B、3
C、0
D、1
8.已知.(a+b)2=9, ab=-
的值等于( )
-1*，贝S a2^b2
A、84
B、78
C、12
D、6
9.
计算(a — b )( a+b )( a 2+b 2)( a 4— b 4)的结果是(
) A. a 8+2a 4b 4+b 8 B . a 8 — 2a 4b 4+b 8
C . a 8+b 8
D . a 8— b 8
10. 下列各式中，能用平方差公式计算的是
（ ）
A 、（£—b ）（a b ）
B 、（-a -b ）（a -b ）
C （a+b _c ）（—a —b+c ）
D 、（_a+b ）（a_b ）
11. 对于任意正整数n ,按照“ n ，平方 一n —n \ -n ＞答案”的程序计算， 应输出的答案是（
）A .『-n 1 B .『-n C . 3—n D . 1
12. 已知 a = 255 , b= 344 , c= 433 ,则 a 、b 、c 的大小关系为：（
） A 、a b c
B 、a c b
c 、b a c
D 、b c a
13•用科学记数法表示的各数正确的是（ ）
C 、一 0.00048= — 4.8X 10 — 4 二、填空题
14. 设4x 2+mx+121是一个完全平方式，则m = ________ 。
15. 方程（X+3I2X -5）-（2X *1 jfx-8）=41 的解是 ________ 。
16. 已知 m+n=2 , mn = —2,贝廿（1_
m ）（1
—n ） = ________ 。
2 2
17. ___________________________________ 若 m _n =6，且 m_n=3,贝^m + n= .
x 』=5
x 2+$
18. 已知 x ，那么 x = ______________ 。
19. ___________________ （_＜）（—4 = ______________________ ；（ 7x 2
y 3
z + 8x 3
y 2
）宁4x 2
y 2
= ___ 。
A 、34500= 3.45X 102
B 、0.000043= 4.3 X 105 D 、— 340000= 3.4X 105
20. 计算（-0.25『" x4“g =_________ 。
（X-」）T 21. 已知（3x-2）0有意义，则x应满足的条件是_________ ;若2无意义,
22.已知3^=5少=10,则3“b =
23. 已知a2b =5，则-ab(a3b —2a) = ____________
24. 若不论x 为何值，(a x+b)(x+2)=x2—4，则a b= _______
2
24. 若x2n=2，则C x3n)= _______________ ；若64.83=2n，则n =________________ 。
25. 已知X2+3X+5的值为3,则代数式3x2+9x—1的值为 _________________
三、解答题
26.计算：
-（3.1^n f
（1）I 2丿
1
27.x2 y2-4x y 4 0，求y 3xy 的值;
4
3 2 . 3^，2 （2）2x y -2xy訓:i-2xy - 2x
（3）6m2n-6m2n2-3m2广 i 3m2（4）丄 a4x2
2 」a3x
3 3 2
4 a
x
4
28•如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形
地块，？规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？？并求出当a=3, b=2时的绿化面积.
29. 运用乘法公式简便计算
（1）1232-122 124
(3) 992-1
30. 若(X+2)2+ | 3-y | =0，求:3(x-7)-4(x+y)的值.
31. 计算图中阴影部分的面积
(2) 1999 2001。