(人教a版)数学必修一课时训练：2.2.1(第2课时)对数的运算(含答案)
2019-2020学年高中数学(人教A版必修一)教师用书：第2章 2.2.1 第2课时 对数的运算 Word版含解析
第2课时对数的运算1．理解对数的运算性质．(重点)2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点) 3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明(易混点)．[基础·初探]教材整理1 对数的运算性质阅读教材P64至P65“例3”以上部分，完成下列问题．对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(M·N)＝log a M＋log a N；(2)log a MN＝log a M－log a N；(3)log a M n＝nlog a M__(n∈R)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )(2)log a xy＝log a x·log a y.( )(3)log a(－2)3＝3log a(－2)．( )【解析】(1)√.根据对数的运算性质可知(1)正确；(2)×.根据对数的运算性质可知log a xy＝log a x＋log a y；(3)×.公式log a M n＝n log a M(n∈R)中的M应为大于0的数．【答案】(1)√(2)×(3)×教材整理2 换底公式阅读教材P 65至P 66“例5”以上部分，完成下列问题． 对数换底公式：log a b ＝logcblogca (a >0，且a ≠1，b >0，c>0，且c ≠1)； 特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．计算：log 29·log 34＝________.【解析】 由换底公式可得log 29·log 34＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4. 【答案】4[小组合作型](1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18; 【导学号：97030098】 (2)2lg 2＋lg 32＋lg 0.36＋2lg 2；(3)log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72； (4)2log 32－log 3329＋log 38－52log 53.【精彩点拨】 当对数的底数相同时，利用对数运算的性质，将式子转化为只含一种或少数几种真数的形式再进行计算．【自主解答】 (1)法一 原式＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二 原式＝lg 14－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝ ⎛⎭⎪⎫732×18＝lg 1＝0.(2)原式＝2lg 2＋lg 32＋lg 36－2＋2lg 2＝错误!＝错误!＝错误!.(3)原式＝log 33343＋lg (25×4)＋2＝log 33－14＋lg 102＋2＝－14＋2＋2＝154. (4)原式＝2log 32－(log 325－log 39)＋3log 32－5log 532 ＝2log 32－5log 32＋2log 33＋3log 32－9＝2－9＝－7.1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系． 2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．[再练一题]1．求下列各式的值： (1)lg 25＋lg 2·lg 50；(2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25.【解】 (1)原式＝lg 25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg 25＋1－lg 25＝1. (2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＋lg 2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1个有效数字)？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)【精彩点拨】 由题目可知经过一年物质剩余的质量约是原来的75%，由此首先找到剩余量与年数的关系，再利用对数计算．【自主解答】 设物质的原有量为a ，经过t 年，该物质的剩余量是原来的13，由题意可得a ·0.75t ＝13a ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫34t ＝13，两边取以10为底的对数得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫34t＝lg 13，∴t(lg 3－2lg 2)＝－lg 3， ∴t ＝－lg 3lg 3－2lg 2≈0.477 12×0.301 0－0.477 1≈4(年)．解对数应用题的步骤[再练一题]2．地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lgE －11.4)．根据英国天空电视台报道，英格兰南部2007年4月28日发生地震，欧洲地震监测站称，地震的震级为5.0级，而2011年3月11日，日本本州岛发生9.0级地震，那么此次地震释放的能量是5.0级地震释放能量的________倍．【解】 设9.0级地震所释放的能量为E 1,5.0级地震所释放的能量为E 2.由9.0＝23(lg E 1－11.4)，得lg E 1＝32×9.0＋11.4＝24.9. 同理可得lg E 2＝32×5.0＋11.4＝18.9， 从而lg E 1－lg E 2＝24.9－18.9＝6.故lg E 1－lg E 2＝lg E1E2＝6，则E1E2＝106＝1 000 000，即9.0级地震释放的能量是5.0级地震释放能量的1 000 000倍．[探究共研型]探究1 假设log25log23＝x ，则log 25＝xlog 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x ＝5，进一步可以得到什么结论？【提示】 进一步可以得到x ＝log 35，即log 35＝log25log23.探究2 由探究1，你能猜测logcblogca 与哪个对数相等吗？如何证明你的结论？【提示】 logcb logca ＝log a b .假设logcblogca ＝x ，则log c b ＝xlog c a ，即log c b ＝log c a x ，所以b ＝a x ，则x ＝log a b ，所以logcblogca ＝log a b.(1)已知log 1227＝a ，求log 616的值；(2)计算(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)的值.【导学号：02962014】【精彩点拨】 各个对数的底数都不相同，需先统一底数再化简求值． 【自主解答】 (1)由log 1227＝a ，得3lg 32lg 2＋lg 3＝a ，∴lg 2＝3－a2a lg 3. ∴log 616＝lg 16lg 6＝4lg 2lg 2＋lg 3＝4×3－a 2a1＋3－a 2a＝错误!. (2)法一 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log253＋log225log24＋log25log28·log 52＋log54log525＋log58log5125＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log25＋2log252log22＋log253log22log 52＋2log522log55＋3log523log55＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log22log25＝13.法二 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 2lg 5＝13. 法三 原式＝(log 2153＋log 2252＋log 2351)·(log 512＋log 5222＋log 5323)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log25＋log25＋13log25(log 52＋log 52＋log 52)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·log 52＝3×133＝13.1．在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底．2．在运用换底公式时，还可结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ·log b a ＝1，log a b ·log b c·log c d ＝log a d ，log a m b n ＝n m log a b ，log a a n ＝n ，等，将会达到事半功倍的效果．[再练一题]3.求值：log 225·log 3116·log 519＝________.【解析】 原式＝log 252·log 32－4·log 53－2＝2lg 5lg 2·－4lg 2lg 3·－2lg 3lg 5＝16. 【答案】 161．若a >0，且a ≠1，x ∈R ，y ∈R ，且xy >0，则下列各式不恒成立的是( ) ①log a x 2＝2log a x ；②log a x 2＝2log a |x |； ③log a (xy )＝log a x ＋log a y ； ④log a (xy )＝log a |x |＋log a |y |. A ．②④ B ．①③ C ．①④D ．②③【解析】 ∵xy >0，∴①中，若x <0，则不成立；③中，若x <0，y <0也不成立，故选B . 【答案】 B2．lg 2516－2lg 59＋lg 3281等于( ) A ．lg 2 B ．lg 3 C ．lg 4D ．lg 5【解析】 lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2516÷2581×3281＝lg 2.故选A .【答案】 A3．(2016·宝鸡高一检测)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则log a 18＝________.(用m ，n 表示) 【解析】 log a 18＝log a (2×32)＝log a 2＋log a 32＝log a 2＋2log a 3＝m ＋2n . 【答案】 m ＋2n4．计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________. 【解析】 原式＝(lg 2)2＋lg 2·(1＋lg 5)＋2lg 5 ＝lg 2(1＋lg 5＋lg 2)＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2. 【答案】 25．已知log 189＝a ,18b ＝5，求log 3645. 【导学号：97030099】 【解】 法一 ∵log 189＝a ,18b ＝5，即log 185＝b ， 于是log 3645＝log1845log1836＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!. 法二 ∵log 189＝a ,18b ＝5， 即log 185＝b .于是log 3645＝错误!＝错误!＝错误!.法三 ∵log 189＝a ,18b ＝5，∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18. ∴log 3645＝lg 45lg 36＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.。
2019-2020学年高一数学人教A版必修1练习：2.2.1 第2课时 对数的运算 Word版含解析
第2课时 对数的运算课后篇巩固提升基础巩固1.已知log x 16=2,则x 等于( )A.±4B.4C.256D.2log x 16=2,∴x 2=16.∵x>0且x ≠1,∴x=4.2.2log 510+log 50.25=( )A.0B.1C.2D.4=log 5102+log 50.25=log 5(100×0.25)=log 525=2.3.若log 23=a ,则log 49=( )A. B.a aC.2aD.a 249==log 23=a ,故选B .log 29log 24=2log 2324.等于( )1log 1419+1log 1513A.lg 3B.-lg 3C.D.-1lg31lg3=lo +lo =log 94+log 35=log 32+log 35=log 310=.g 1914g 13151lg35.若2lg(x-2y )=lg x+lg y (x>2y>0),则的值为( )y x A.4 B.1或 C.1或4 D.14142lg(x-2y )=lg x+lg y (x>2y>0),∴lg(x-2y )2=lg xy ,∴(x-2y )2=xy ,∴x 2-5xy+4y 2=0,∴(x-y )(x-4y )=0,∴x=y 或x=4y.∵x-2y>0,且x>0,y>0,∴x ≠y ,∴.y x =146.计算:2+lg 4+2lg 5-e ln 3= .7132+lg 4+2lg 5-e ln 3=(33+(lg 4+lg 25)-e ln 3=3+2-3=2.713)137.log 35log 46log 57log 68log 79= .35log 46log 57log 68log 79==3.lg5lg3·lg6lg4·lg7lg5·lg8lg6·lg9lg7=lg8lg9lg3lg4=3lg2·2lg3lg3·2lg28.若2x =3,log 4=y ,则x+2y= .832x =3,∴x=log 23.∴x+2y=log 23+2log 4=log 23+2×=log 23+log 2=log 28=3.83log 283log 24839.如果关于lg x 的方程lg 2x+(lg 7+lg 5)lg x+lg 7·lg 5=0的两个根是lg α,lg β(α>0,β>0),那么αβ的值是 .,得lg α+lg β=-(lg 7+lg 5)=lg ,135所以lg(αβ)=lg ,135∴αβ=.13510.计算:(1);lg2+lg5-lg8lg50-lg40(2)lg -lg +lg -log 92·log 43.125854原式==1.lg 2×58lg 5040=lg 54lg 54(2)(方法一)原式=lg +lg 125854‒lg2lg9×lg3lg4=lg (45×54)‒lg22lg3×lg32lg2=lg 1-=-.1414(方法二)原式=(lg 1-lg 2)-(lg 5-lg 8)+(lg 5-lg 4)-=-lg 2+lg 8-lg 4-=-(lg 2+lglg2lg9×lg3lg4lg22lg3×lg32lg24)+lg 8-=-lg(2×4)+lg 8-=-.14141411.已知log 2(log 3(log 4x ))=0,且log 4(log 2y )=1.求的值.x ·y 34log 2(log 3(log 4x ))=0,∴log 3(log 4x )=1.∴log 4x=3.∴x=43=64.由log 4(log 2y )=1,知log 2y=4,∴y=24=16.因此×1=8×8=64.x ·y 34=64634能力提升1.若lg x-lg y=a ,则lg -lg =( )(x 2)3(y 2)3A.3a B.a32C.a D.a 2-lg =3=3(lg x-lg y )=3a.(x 2)3(y 2)3(lg x 2-lg y 2)2.若2log a (P-2Q )=log a P+log a Q (a>0,且a ≠1),则的值为( )P Q A. B.414C.1D.4或12log a (P-2Q )=log a P+log a Q ,得log a (P-2Q )2=log a (PQ ).由对数运算法则得(P-2Q )2=PQ ,即P 2-5PQ+4Q 2=0,所以P=Q (舍去)或P=4Q ,解得=4.P Q3.已知0<a<1,x=log a +log a ,y=log a 5,z=log a -log a ,则( )2312213A.x>y>zB.z>y>xC.z>x>yD.y>x>zx=log a +log a =log a ,y=log a 5=log a ,z=log a -log a =log a ,2361252137因为0<a<1,又,5<6<7所以log a >log a >log a ,567即y>x>z ,故选D .4.某种食品因存放不当受到细菌的侵害.据观察,此食品中细菌的个数y 与经过的时间t (单位:min)满足关系y=2t ,若细菌繁殖到3个,6个,18个所经过的时间分别为t 1,t 2,t 3,则有( )A.t 1·t 2=t 3B.t 1+t 2>t 3C.t 1+t 2=t 3D.t 1+t 2<t 3,得=3,=6,=18,则t 1=log 23,t 2=log 26,t 3=log 218,2t 12t 22t 3所以t 1+t 2=log 23+log 26=log 218=t 3.5.2x =5y =m (m>0),且=2,则m 的值为 .1x +1y2x =5y =m (m>0),得x=log 2m ,y=log 5m ,由=2,得=2,1x +1y 1log 2m +1log 5m 即log m 2+log m 5=2,log m (2×5)=2.故有m=.106.已知a>b>1,若log a b+log b a=,a b =b a ,则a= ,b= .52,再利用指数相等列方程求解.∵log a b+log b a=log a b+,1log ab =52∴log a b=2或log a b=.12∵a>b>1,∴log a b<log a a=1.∴log a b=,∴a=b 2.12∵a b =b a ,∴(b 2)b =,∴b 2b =.b b 2b b 2∴2b=b 2,∴b=2,∴a=4. 27.已知,log 74=b ,用a ,b 表示log 4948为 . (17)a =13可得a=log 73,由log 74=b 可得b=2log 72,所以log 4948=(4log 72+log 73)=.(17)a =13122b +a 28.设x ,y ,z 均为正数,且3x =4y =6z ,试求x ,y ,z 之间的关系.3x =4y =6z =t ,由x>0,知t>1,故取以t 为底的对数,可得x log t 3=y log t 4=z log t 6=1,∴x=,y=,z=.1log t 31log t 41log t 6∵=log t 6-log t 3=log t 2=log t 4=,1z ‒1x 1212y ∴x ,y ,z 之间的关系为.1z ‒1x =12y 9.已知log a (x 2+4)+log a (y 2+1)=log a 5+log a (2xy-1)(a>0,且a ≠1),求log 8的值.y x,可将等式化为log a [(x 2+4)·(y 2+1)]=log a [5(2xy-1)],∴(x 2+4)(y 2+1)=5(2xy-1).整理,得x 2y 2+x 2+4y 2-10xy+9=0,配方,得(xy-3)2+(x-2y )2=0,∴{xy =3,x =2y .∴.y x =12∴log 8=log 8=lo 2-1=-log 22=-.y x 12g 231313。
高一数学人教A版必修一精品教案：2.2.1对数的运算性质 Word版含答案
课题：§2.2.1对数的运算性质教学目的：（1）理解对数的运算性质；（2）知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；（3）通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数 教学难点：对数的运算性质和换底公式的熟练运用．教学过程：一、引入课题1． 对数的定义：b N N a a b =⇔=log ；2． 对数恒等式：b a N a b a N a ==log ,log ；二、新课教学1．对数的运算性质提出问题：根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题：○1 设m a =2log ，n a=3log ，求n m a +； ○2 设m M a =log ，n N a =log ，试利用m 、n 表示M a(log ·)N ． （学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算性质１，并引导学生仿此推导其余运算性质）学生活动：○1 阅读教材Ｐ75例3、4，；设计意图：在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算性质．○2 完成教材Ｐ79练习1~3 设计意图：在练习中反馈学生对对数运算性质掌握的情况，巩固所学知识．2． 利用科学计算器求常用对数和自然对数的值设计意图：学会利用计算器、计算机求常用对数值和自然对数值的方法． 思考：对于本小节开始的问题中，可否利用计算器求解1318log 01.1的值？从而引入换底公式．3． 换底公式ab bc c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 学生活动○1 根据对数的定义推导对数的换底公式． 设计意图：了解换底公式的推导过程与思想方法，深刻理解指数与对数的关系．○2 思考完成教材P 76问题（即本小节开始提出的问题）；○3 利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a n a m log log =； （2）ab b a log 1log =． 设计意图：进一步体会并熟练掌握换底公式的应用．说明：利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定底数．4． 课堂练习○1 教材Ｐ79练习4 ○2 已知的值。
高一(人教A版)第二章数学课件：2.2.1对数与对数运算(第2课时对数及运算)
x loga|x| (3)loga|xy|＝loga|x|· loga|y|；(4)log y＝ . loga|y|
a
A．1 C．3
B．2 D．4
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【错解】 D
【错因】 产生错解的主要原因是没有准确掌握对数的运算性质．
(1)logax2＝2logax，不能保证x>0； (3)(4)虽保证了真数大于零，但是公式应用有误．
在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择． (3)关于换底公式的另外两个结论： ①logac·logca＝1；②logab·logbc·logca＝1.
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设x，y为非零实数，a>0，a≠1，则下列式子中正确的个数为(
)
(1)logax2＝2logax；(2)logax2＝2loga|x|；
(1) (2) (3) loga(MN)＝logaM＋log .aN loga(M/N)＝
logaM－.logaN
logaMn＝ nlogaM (n∈R).
2.对数换底公式 logcb logab＝log a (a>0，a≠1，b>0，c>0，c≠1)； c 特别地：logab· logba＝1(a>0，a≠1，b>0，b≠1)．
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(1)本例的解法均利用了换底公式，关于换底公式： ①换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对 数，然后查表求值，解决一般对数求值的问题． ②换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法． 解题过程中换什么样的底应结合题目条件，并非一定用常用对数、 自然对数． (2)求条件对数式的值，可从条件入手，从条件中分化出要求的 对数式，进行求值；也可从结论入手，转化成能使用条件的形式； 还可同时化简条件和结论，直到找到它们之间的联系．
人教A版高中数学必修一课时基础作业2.2.1.2对数的运算
课时提升作业(十九)对数的运算(15分钟30分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2015·黄山高一检测)log153-log62+log155-log63等于()A.-2B.0C.1D.2【解析】选B.log153-log62+log155-log63=(log153+log155)-(log62+log63)=log15(3×5)-log6(2×3)=log1515-log66=0.【补偿训练】(2015·杭州高一检测)计算lg5×lg20+=.【解析】原式=lg5×(2lg2+lg5)+=+2lg2×lg5+=(lg5+lg2)2==1.答案:12.(2015·郑州高一检测)已知log89=a,log25=b,则lg3等于()A. B. C. D.【解析】选C.因为log89=a,所以=a,=a,所以=a,所以log23=a,lg3===.3.已知2x=72y=A,且+=2,则A的值是()A.7B.7C.±7D.98【解题指南】由2x=72y=A,利用指数式与对数式的互化,将x,y表示出来,代入+=2中求得A 的值.【解析】选B.由2x=72y=A可得,x=log2A,y=log7A,所以+=+=log A2+2log A7=log A(2×72)=log A98=2,所以A2=98,所以A=7,故选B.【补偿训练】已知x,y,z 都是大于1的正数,m>0,且log x m=24,log y m=40,log xyz m=12,则log z m 的值为 ( ) A.B.-C.60D.-60【解析】选 C.由已知得log m (xyz)=log m x+log m y+log m z=,而log m x=,log m y=,所以log m z=--=,故log z m=60.【拓展延伸】换底公式的记忆口诀 换底公式真神奇,换成新底可任意, 原底加底变分母,真数加底变分子. 二、填空题(每小题4分,共8分) 4.(log 32+log 92)·(log 43+log 83)= . 【解析】(log 32+log 92)·(log 43+log 83) =(log 32+lo 2)·(lo3+lo 3)=·=log 32×=×·log 32·log 23=×=. 答案:【一题多解】(log 32+log 92)·(log 43+log 83) =·=·=×=.答案:【拓展延伸】利用换底公式化简与求值的思路5.(2015·泉州高一检测)已知a=log32,则log316+log324=.(用a表示)【解析】log316+log324=log324+log3(23×3)=4log32+(3log32+log33)=5log32+log33=5a+.答案:5a+【补偿训练】已知ln2=m,ln3=n,则log246=.(用m,n表示)【解析】log246===.答案:三、解答题6.(10分)一台机器原价20万元,由于磨损,该机器每年比上一年的价格降低8.75%,问经过多少年这台机器的价值为8万元?(lg2≈0.3010,lg9.125≈0.9602)【解析】设经过x年,这台机器的价值为8万元,则8=20(1-0.0875)x,即0.9125x=0.4,两边取以10为底的对数,得x===≈10(年),所以约经过10年这台机器的价值为8万元.【补偿训练】某化工厂生产化工产品,今年生产成本为50元/桶,现使生产成本平均每年降低28%,那么几年后每桶的生产成本为20元(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,精确到1年)?【解题指南】设x年后每桶的生产成本为20元,由题意列出关于x,50,28%,20之间的关系式,解出x.【解析】设x年后每桶的生产成本为20元.1年后每桶的生产成本为50×(1-28%),2年后每桶的生产成本为50×(1-28%)2,x年后每桶的生产成本为50×(1-28%)x=20.所以,0.72x=0.4,等号两边取常用对数,得xlg0.72=lg0.4.故x====≈=≈3(年).所以,约3年后每桶的生产成本为20元.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·常德高一检测)已知ab=M(a>0,b>0,M≠1),log M b=x,则log M a的值为() A. B.1+xC.1-xD.x-1【解析】选C.log M a=log M=log M M-log M b=1-x,故选C.【补偿训练】(2015·保定高一检测)已知x,y为正实数,则()A.2lgx+lgy=2lgx+2lgyB.2lg(x+y)=2lgx·2lgyC.2lgx·lgy=2lgx+2lgyD.2lg(xy)=2lgx·2lgy【解析】选D.由指数与对数的运算性质可得2lgx+lgy=2lgx·2lgy,故A错.2lgx·2lgy=2(lgx+lgy)=2lgxy,故B错.2lgx·lgy=(2lgx)lgy,故C错.2.(2015·蚌埠高一检测)若lga,lgb是方程2x2-4x+1=0的两个根,则的值等于()A.2B.C.4D.【解析】选A.由根与系数的关系可知lga+lgb=2,lgalgb=,于是=(lga-lgb)2=(lga+lgb)2-4lgalgb=22-4×=2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.若log34·log48·log8m=log416,则m=.【解析】由已知得log34·log48·log8m=··=log3m,而log416=2,所以log3m=2,m=9.答案:9【补偿训练】如果log23·log34·log45·…·log2016M=log525,试求M的值.【解题指南】利用换底公式将底数转化为相同的,然后约分化简,最后将对数式转化为指数式求解.【解析】因为log23·log34·log45·…·log2016M=···…·=,而log525=2,所以=2,即log2M=2,所以M=22=4.【拓展延伸】利用换底公式化简求值时应注意的问题(1)针对具体问题,选择恰当的底数.(2)注意换底公式与对数运算法则结合使用.(3)换底公式的正用与逆用.(4)恰当应用换底公式的两个常用结论.4.已知lgx+lgy=2lg(2x-3y),则lo的值为.【解析】依题意可得:lg(xy)=lg(2x-3y)2,即xy=(2x-3y)2,整理得:4-13+9=0,解得:=1或=,因为x>0,y>0,2x-3y>0,所以=,所以lo=2.答案:2三、解答题5.(10分)( 1)求(log23+log89)(log34+log98+log32)+(lg2)2+lg20×lg5的值. (2)若a,b,c∈N*,且满足a2+b2=c2,求log2+log2的值.【解析】(1)原式=log23+log232log32+log32+log32+(lg2)2+(1+lg2)lg5=log23·log32+(lg2)2+lg2·lg5+lg5=+lg2(lg5+lg2)+lg5=+lg2+lg5=+1=.(2)因为a2+b2=c2,所以log2+log2=log2=log2=log2=log2=1.。
高中数学必修1全册课时训练含答案
人教A版高中数学必修1 全册课时训练目录1.1.1（第1课时）集合的含义1.1.1（第2课时）集合的表示1.1.2集合间的基本关系1.1.3（第1课时）并集、交集1.1.3（第2课时）补集及综合应用1.2.1（第1课时）函数的概念1.2.1（第2课时）函数概念的综合应用1.2.2（第1课时）函数的表示法1.2.2（第2课时）分段函数及映射1.3.1（第1课时）函数的单调性1.3.1（第2课时）函数的最大值、最小值1.3.2（第1课时）函数奇偶性的概念1.3.2（第2课时）函数奇偶性的应用集合与函数的概念-单元评估试题2.1.1（第1课时）根式2.1.1（第2课时）指数幂及运算2.1.2（第1课时）指数函数的图象及性质2.1.2（第2课时）指数函数及其性质的应用2.2.1（第1课时）对数2.2.1（第2课时）对数的运算2.2.2（第1课时）对数函数的图象及性质2.2.2（第2课时）对数函数及其性质的应用2.3幂函数基本初等函数-单元评估试题3.1.1方程的根与函数的零点3.1.2用二分法求方程的近似解3.2.1几类不同增长的函数模型3.2.2（第1课时）一次函数、二次函数应用举例3.2.2（第2课时）指数型、对数型函数的应用举例函数的应用-单元评估试题第1-3章-全册综合质量评估试卷课时提升卷(一)集合的含义（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下列各项中,不能组成集合的是( )A.所有的正整数B.等于2的数C.接近于0的数D.不等于0的偶数2.(2013·冀州高一检测)若集合M中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC一定不是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3.已知集合M具有性质:若a∈M,则2a∈M,现已知-1∈M,则下列元素一定是M中的元素的是( )A.1B.0C.-2D.24.已知2a∈A,a2-a∈A,若A只含这2个元素,则下列说法中正确的是( )A.a可取全体实数B.a可取除去0以外的所有实数C.a可取除去3以外的所有实数D.a可取除去0和3以外的所有实数5.下列四种说法中正确的个数是( )①集合N中的最小数为1;②若a∈N,则-a∉N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④所有小的正数组成一个集合.A.0B.1C.2D.3二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·天津高一检测)设集合A中含有三个元素2x-5,x2-4x,12,若-3∈A,则x的值为.7.(2013·济宁高一检测)若集合P含有两个元素1,2,集合Q含有两个元素1,a2,且P,Q相等,则a= .8.若a,b∈R,且a≠0,b≠0,则+的可能取值所组成的集合中元素的个数为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.集合A的元素由kx2-3x+2=0的解构成,其中k∈R,若A中的元素只有一个,求k的值.10.数集M满足条件,若a∈M,则∈M(a≠±1且a≠0),已知3∈M,试把由此确定的集合M的元素全部求出来.11.(能力挑战题)设P,Q为两个数集, P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,求P+Q中元素的个数.答案解析1.【解析】选C.怎样才是接近于0的数没有统一的标准,即不满足集合元素的确定性,故选C.2.【解析】选D.由集合元素的互异性可知,a,b,c三个数一定全不相等,故△ABC一定不是等腰三角形.3.【解析】选C.∵-1∈M,∴2×(-1)∈M,即-2∈M.4.【解析】选D.由集合元素的互异性可知,2a≠a2-a,解得a≠0且a≠3,故选D.5.【解析】选A.①中最小数应为0;②中a=0时,- a∈N;③中a+b的最小值应为0;④中“小的正数”不确定.因此①②③④均不对.6.【解析】∵-3∈A,∴-3=2x-5或-3=x2-4x.①当-3=2x-5时,解得x=1,此时2x-5=x2-4x=-3,不符合元素的互异性,故x≠1;②当-3=x2-4x时,解得x=1或x=3,由①知x≠1,且x=3时满足元素的互异性.综上可知x=3.答案:37.【解析】由于P,Q相等,故a2=2,从而a=±.答案:±8.【解题指南】对a,b的取值情况分三种情况讨论求值,即同正,一正一负和同负,以确定集合中的元素,同时注意集合元素的互异性.【解析】当a>0,b>0时,+=2;当ab<0时,+=0;当a<0,b<0时,+=-2.所以集合中的元素为2,0,-2.即集合中元素的个数为3.答案:39.【解析】由题知A中元素即方程kx2-3x+2=0(k∈R)的解,若k=0,则x=,知A中有一个元素,符合题意;若k≠0,则方程为一元二次方程.当Δ=9-8k=0即k=时,kx2-3x+2=0有两个相等的实数解,此时A中有一个元素.综上所述,k=0或.10.【解析】∵a=3∈M,∴==-2∈M,∴=-∈M,∴=∈M,∴=3∈M.再把3代入将重复上面的运算过程,由集合中元素的互异性可知M中含有元素3,-2,-,.【拓展提升】集合中元素互异性的应用集合中的元素是互异的,它通常被用作检验所求未知数的值是否符合题意.只要组成两个集合的元素是一样的,这两个集合就是相等的,与两个集合中元素的排列顺序无关.11.【解析】∵当a=0时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为1,2,6;当a=2时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为3,4,8;当a=5时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P+Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个.课时提升卷(二)集合的表示（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·临沂高一检测)设集合M={x∈R|x≤3},a=2,则( )A.a∉MB.a∈MC.{a}∈MD.{a}∉M2.集合{x∈N*|x-3<2}的另一种表示方法是( )A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}3.下列集合中,不同于另外三个集合的是( )A.{0}B.{y|y2=0}C.{x|x=0}D.{x=0}4.下列集合的表示法正确的是( )A.第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}B.不等式x-1<4的解集为{x<5}C.整数集可表示为{全体整数}D.实数集可表示为R5.设x=,y=3+π,集合M={m|m=a+b,a∈Q,b∈Q},那么x,y与集合M的关系是( )A.x∈M,y∈MB.x∈M,y∉MC.x∉M,y∈MD. x∉M,y∉M二、填空题(每小题8分,共24分)6.设A={4,a},B={2,ab},若A=B,则a+b= .7.已知集合A={x|∈N,x∈N},则用列举法表示为.8.已知集合A={(x,y)|y=2x+1},B={(x,y)|y=x+3},a∈A且a∈B,则a 为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.用适当的方法表示下列集合:(1)所有被3整除的整数.(2)满足方程x=|x|的所有x的值构成的集合B.10.下面三个集合:A={x|y=x2+1}; B={y|y=x2+1};C={(x,y)|y=x2+1}.问:(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义是什么?11.(能力挑战题)集合P={x|x=2k,k∈Z},M={x|x=2k+1,k∈Z},a∈P,b ∈M,设c=a+b,则c与集合M有什么关系?答案解析1.【解析】选B.(2)2-(3)2=24-27<0,故2<3.所以a∈M.2.【解析】选B.集合中元素满足x<5且x∈N*,所以集合的元素有1,2,3,4.3.【解析】选D.A是列举法,B,C是描述法,而D表示该集合含有一个元素,即“x=0”.4.【解析】选D.选项A中应是xy<0;选项B的本意是想用描述法表示,但不符合描述法的规范格式,缺少了竖线和竖线前面的代表元素x;选项C的“{ }”与“全体”意思重复.5.【解析】选B.∵x==--.y=3+π中π是无理数,而集合M中,b ∈Q,得x∈M,y M.6.【解析】两个集合相等,则两集合的元素完全相同,则有a=2,ab=4,将a=2代入ab=4,得b=2.∴a+b=4.答案:47.【解题指南】结合条件,可按x的取值分别讨论求解.【解析】根据题意,5-x应该是12的正因数,故其可能的取值为1,2,3,4,6,12,从而可得到对应x的值为4,3,2,1,-1,-7.因为x∈N,所以x 的值为4,3,2,1.答案:{1,2,3,4}8.【解析】∵a∈A且a∈B,∴a是方程组的解,解方程组,得∴a为(2,5).答案:(2,5)9.【解析】(1){x|x=3n,n∈Z}.(2)B={x|x=|x|,x∈R}.【变式备选】集合A={x2,3x+2,5y3-x},B={周长为20cm的三角形},C={x|x-3<2,x∈Q},D={(x,y) |y=x2-x-1}.其中用描述法表示的集合个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.集合A为列举法表示集合,集合B,C,D均为描述法表示集合,其中B选项省略了代表元素和竖线.10.【解析】(1)在A,B,C三个集合中,虽然代表元素满足的表达式一致,但代表元素互不相同,所以它们是互不相同的集合.(2)集合A的代表元素是x,满足y=x2+1,故A={x|y=x2+1}=R.集合B的代表元素是y,满足y=x2+1,所以y≥1,故B={y|y=x2+1}={y|y≥1}.集合C的代表元素是(x,y),满足条件y=x2+1,即表示满足y=x2+1的实数对(x,y);也可认为是满足条件y=x2+1的坐标平面上的点.【拓展提升】三种集合语言的优点及应用集合语言包括符号语言、图形语言和自然语言三种.(1)符号语言比较简洁、严谨且内涵丰富有利于推理计算.(2)图形语言能够引起直观的视觉感受,便于理清关系,有利于直观地表达概念、定理的本质及相互关系,使得抽象的思维关系明朗化. (3)自然语言往往比较生动,能将问题研究对象的含义更加明白地叙述出来.集合的三种语言之间相互转化,在解决集合问题时,一般是将符号语言转化为图形语言、自然语言,这样有助于弄清集合是由哪些元素构成的,有助于提高分析问题和解决问题的能力.11.【解析】∵a∈P,b∈M,c=a+b,设a=2k1,k1∈Z,b=2k2+1,k2∈Z,∴c=2k1+2k2+1=2(k1+k2)+1,又k1+k2∈Z,∴c∈M.课时提升卷(三)集合间的基本关系（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下列四个结论中,正确的是( )A.0={0}B.0∈{0}C.0⊆{0}D.0=∅2.(2013·宝鸡高一检测)如果M={x|x+1>0},则( )A.∅∈MB.0MC.{0}∈MD.{0}⊆M3.(2013·长沙高一检测)已知集合A={x|3≤x2≤5,x∈Z},则集合A的真子集个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.设A={a,b},B={x|x∈A},则( )A.B∈AB.B AC.A∈BD.A=B5.(2013·潍坊高一检测)设A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A⊆B,则a的取值范围是( )A.a≤2B.a≤1C.a≥1D.a≥2二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·汕头高一检测)已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B⊆A,则实数m= .7.已知集合A={x|x<3},集合B={x|x<m},且A B,则实数m满足的条件是.8.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P 的关系为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠ ,B⊆A,求a,b的值.10.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.(1)若A B,求a的取值范围.(2)若B⊆A,求a的取值范围.11.(能力挑战题)已知A={x||x-a|=4},B={1,2,b},是否存在实数a,使得对于任意实数b(b≠1,且b≠2),都有A⊆B?若存在,求出对应的a的值;若不存在,说明理由.答案解析1.【解析】选B.{0}是含有1个元素0的集合,故0∈{0}.2.【解析】选D.M={x|x+1>0}={x|x>-1},∴{0}⊆M.3.【解析】选C.由题意知,x=-2或2,即A={-2,2},故其真子集有3个. 【误区警示】本题易忽视真子集这一条件而误选D.4.【解析】选D.因为集合B中的元素x∈A,所以x=a或x=b,所以B={a,b},因此A=B.5.【解析】选D.∵A⊆B,∴a≥26.【解析】∵B⊆A,∴m2=2m-1,∴m=1.答案:17.【解析】将数集A标在数轴上,如图所示,要满足A B,表示数m的点必须在表示3的点的右边,故m>3.答案: m>38.【解析】∵xy>0,∴x,y同号,又x+y<0,∴x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点,故M=P.答案:M=P9.【解析】由B⊆A知,B中的所有元素都属于集合A,又B≠ ,故集合B有三种情形:B={-1}或B={1}或B={-1,1}.当B={-1}时,B={x|x2+2x+1=0},故a=-1,b=1;当B={1}时,B={x|x2-2x+1=0},故a=b=1;当B={-1,1}时,B={x|x2-1=0},故a=0,b=-1.综上所述,a,b的值为或或10.【解题指南】利用数轴分析法求解.【解析】(1)若A B,由图可知,a>2.(2)若B⊆A,由图可知,1≤a≤2.11.【解析】不存在.要使对任意的实数b都有A⊆B,所以1,2是A中的元素,又∵A={a-4,a+4},∴或这两个方程组均无解,故这样的实数a不存在.课时提升卷(四)并集、交集（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·衡水高一检测)若集合A,B,C满足A∩B=A,B∪C=C,则A与C 之间的关系为( )A.C AB.A CC.C⊆AD.A⊆C2.已知M={0,1,2, 4,5,7},N={1,4,6,8,9},P={4,7,9},则(M∩N)∪(M ∩P)等于( )A.{1,4}B.{1,7}C.{1, 4,7}D.{4,7}3.(2013·本溪高一检测)A={x∈N︱1≤x≤10},B={x∈R︱x2+x-6=0},则图中阴影表示的集合为( )A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}4.(2013·德州高一检测)设集合A={x|x≤1},B={x|x>p},要使A∩B=∅,则p应满足的条件是( )A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤15.(2012·新课标全国卷)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m=( )A.0或B.0或3C.1或D.1或3二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合M∩N= .7.(2013·清远高一检测)已知集合A={x|x≤1},集合B={x|a≤x},且A∪B=R,则实数a的取值范围是.8.(2013·西安高一检测)设集合A={5,a+1},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B= .三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知集合A={1,3,5},B={1,2,x2-1},若A∪B={1,2,3,5},求x及A ∩B.10.已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},若A∩B=∅,求a的取值范围.11.(能力挑战题)已知:A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(1)若A∪B=B,求a的值.(2)若A∩B=B,求a的值.答案解析1.【解析】选D.∵A∩B=A,B∪C=C,∴A⊆B,B⊆C,∴A⊆C.2.【解析】选C.M∩N={1,4},M∩P={4,7},故(M∩N)∪(M∩P)={1,4,7}.3.【解析】选A.A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},由题意可知,阴影部分即为A∩B,故A∩B={2}.4.【解析】选B.∵A∩B= ,∴结合数轴分析可知应满足的条件是p≥1. 【误区警示】本题易漏掉p=1的情况而误选A.5.【解析】选B.由A∪B=A得B⊆A,所以有m=3或m=.由m=得m=0或1,经检验,m=1时B={1,1}不符合集合元素的互异性,m=0或3时符合.6.【解析】由题意联立方程组得x=3,y=-1,故M∩N={(3,-1)}.答案:{(3,-1)}7.【解析】∵A∪B=R,∴a≤1.答案:a≤18.【解析】∵A∩B={2},∴2∈A,故a+1=2,a=1,即A={5,2};又2∈B,∴b=2,即B={1,2},∴A∪B={1,2,5}.答案:{1,2,5}9.【解析】∵B⊆(A∪B),∴x2-1∈A∪B.∴x2-1=3或x2-1=5.解得x=±2或x=±.若x2-1=3,则A∩B={1,3}.若x2-1=5,则A∩B={1,5}.10.【解题指南】通过数轴直观表示,并结合A∩B=∅分析列不等式(组)求解.【解析】A∩B=∅,A={x|2a≤x≤a+3}.(1)若A=∅,有2a>a+3,∴a>3.(2)若A≠∅,如图所示.则有解得-≤a≤2.综上所述,a的取值范围是-≤a≤2或a>3.【拓展提升】数轴在解含参不等式(组)中的作用数轴是解不等式(组)的重要工具,它是实现数形结合解决数学问题的桥梁,在求解不等式(组)待定字母值或范围时,借助数轴的直观性,很轻松地将各变量间的关系表示出来,进而列出不等式(组),更能显示出它的优越性.11.【解析】(1)A={-4,0},若A∪B=B,则B=A={-4,0},解得a=1.(2)若A∩B=B,则①若B为空集,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8<0,则a<-1;②若B为单元素集合,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8=0, 解得a=-1,将a=-1代入方程x2+2(a+1)x+a2-1=0,得x2=0得,x=0,即B={0},符合要求;③若B=A={-4,0},则a=1,综上所述,a≤-1或a=1.课时提升卷(五)补集及综合应用（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设全集U={x∈N*|x<6},集合A={1,3},B={3,5},则ð(A∪B)=( )UA.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}2.已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∩(ðB)=( )RA.{x|x>1}B.{x|x≥1}C.{x|1<x≤2}D.{x|1≤x≤2}3.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={1,3,5,7},B={3,5},则下列式子一定成立的是( )A.ðB⊆UðA B.(UðA)∪(UðB)=UUC.A∩ðB=∅ D.B∩UðA=∅U4.设全集U(U≠∅)和集合M,N,P,且M=UðN,N=UðP,则M与P的关系是( )A.M=ðP B.M=PUC.M PD.M P5.(2013·广州高一检测)如图,I是全集,A,B,C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( )A.(ðA∩B)∩C B.(IðB∪A)∩CIC.(A∩B)∩ðC D.(A∩IðB)∩CI二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9, 12},则A∩(ðB)= .N7.已知全集为R,集合M={x∈R|-2<x<2},P={x|x≥a},并且M⊆ðP,则Ra的取值范围是.8.设集合A,B都是U={1,2,3,4}的子集,已知(ðA)∩(UðB)={2},(UðA)U∩B={1},且A∩B=∅,则A= .三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·济南高一检测)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤2},若B∪ðA=R,RB∩ðA={x|0<x<1或2<x<3},求集合B.R10.已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|1<x<2},且AðB,求a的取值范R围.11.(能力挑战题)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(ðA)∩B=∅,求m的值.U答案解析1.【解析】选C.由题知U={1,2,3,4,5},A∪B={1,3,5},故ð(A∪B)={2,4}.U2.【解析】选D.∵B={x|x<1},∴ðB={x|x≥1},R∴A∩ðB={x|1≤x≤2}.R3.【解析】选D.逐一进行验证.ðB={1,2,4,6,7},UðA={2,4, 6},显然UðAU⊆ðB,显然A,B错误;A∩UðB={1,7},故C错误,所以只有D正确.U4.【解析】选B.利用补集的性质:M=ðN=Uð(UðP)=P,所以M=P.U【拓展提升】一个集合与它的补集的关系集合与它的补集是一组相对的概念,即如果集合A是B相对于全集U 的补集,那么,集合B也是A相对于全集U的补集.同时A与B没有公共元素,且它们的并集正好是全集,即A∪B=U,A∩B= .5.【解析】选D.由图可知阴影部分是A的元素,且是C的元素,但不属于B,故所表示的集合是(A∩ðB)∩C.I6.【解析】∵A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},∴ðB={1,2,4,5,7,8,…}.N∴A∩ðB={1,5,7}.N答案:{1,5,7}7.【解析】M={x|-2<x<2},ðP={x|x<a}.R∵M⊆ðP,∴由数轴知a≥2.R答案:a≥28.【解析】根据题意画出Venn图,得A={3,4}.答案:{3,4}9.【解析】∵A={x|1≤x≤2},∴ðA={x|x<1或x>2}.R又B∪ðA=R,A∪RðA=R,可得A⊆B.R而B∩ðA={x|0<x<1或2<x<3},R∴{x|0<x<1或2<x<3}⊆B.借助于数轴可得B=A∪{x|0<x<1或2<x<3}={x|0<x<3}.10.【解题指南】解答本题的关键是利用AðB,对A=∅与A≠∅进行R分类讨论,转化为等价不等式(组)求解,同时要注意区域端点的问题. 【解析】ðB={x|x≤1或x≥2}≠∅,R∵AðB.R∴分A=∅和A≠∅两种情况讨论.(1)若A=∅,则有2a-2≥a,∴a≥2.(2)若A≠∅,则有或∴a≤1.综上所述,a≤1或a≥2.11.【解题指南】本题中的集合A,B均是一元二次方程的解集,其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m,需要对这个参数进行分类讨论,同时需要根据(ðA)∩B=∅对集合A,B的关系进行转化.U【解析】A={-2,-1},由(ðA)∩B=∅,得B⊆A,U∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅.∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2.经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或m=2.【变式备选】已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|ax-6=0}且ðA⊆RðB,R求实数a的取值集合.【解析】∵A={x|x2-5x+6=0},∴A={2,3}.又ðA⊆RðB,R∴B⊆A,∴有B=∅,B={2},B={3}三种情形.当B={3}时,有3a-6=0,∴a=2;当B={2}时,有2a-6=0,∴a=3; 当B= 时,有a=0,∴实数a的取值集合为{0,2,3}.课时提升卷(六)函数的概念（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设全集U=R,集合A=[3,7),B=(2,10),则ð(A∩B)=( )RA.[3,7)B.(-∞,3)∪[7,+∞)C.(-∞,2)∪[10,+∞)D.2.(2013·西安高一检测)下列式子中不能表示函数y=f(x)的是( )A.x=y2+1B.y=2x2+1C.x-2y=6D.x=3.(2013·红河州高一检测)四个函数:(1)y=x+1.(2)y=x3.(3)y=x2-1.(4)y=.其中定义域相同的函数有( )A.(1),(2)和(3)B.(1)和(2)C.(2)和(3)D.(2),(3)和(4)4.下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )A.A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方C.A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数D.A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值5.(2013·盘锦高一检测)函数f(x)=的定义域为M,g(x)=的定义域为N,则M∩N=( )A.[-2,+∞)B.[-2,2)C.(-2,2)D.(-∞,2)二、填空题(每小题8分,共24分)6.若[a,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围是.7.函数y=f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定义域是;其中只与x的一个值对应的y值的范围是.8.函数f(x)定义在区间[-2,3]上,则y=f(x)的图象与直线x=a的交点个数为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·烟台高一检测)求下列函数的定义域.(1)y=+.(2)y=.10.已知函数f(x)=,(1)求f(x)的定义域.(2)若f(a)=2,求a的值.(3)求证:f()=-f(x).11.(能力挑战题)已知函数y=(a<0且a为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数a的取值范围.答案解析1.【解析】选B.∵A∩B=[3,7),∴ð(A∩B)=(-∞,3)∪[7,+∞).R2.【解析】选A.一个x对应的y值不唯一.3.【解析】选A.(1),(2)和(3)的定义域都是R,(4)的定义域是{x∈R|x≠0}.4.【解析】选A.按照函数定义,选项B中,集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件;选项C中的元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求;选项D中,集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应,也不符合函数定义,只有选项A符合函数定义.5.【解析】选B.由题意得M=(-∞,2),N=[-2,+∞),所以M∩N=(-∞,2)∩[-2,+∞)=[-2,2).6.【解析】由题意3a-1>a,则a>.答案:(,+∞)【误区警示】本题易忽略区间概念而得出3a-1≥a,则a≥的错误.7.【解析】观察函数图象可知f(x)的定义域是[-3,0]∪[2,3];只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5].答案:[-3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5]【举一反三】本题中求与x的两个值对应的y值的范围.【解析】由函数图象可知y值的范围是[2,4].8.【解题指南】根据函数的定义,对应定义域中的任意一个自变量x 都有唯一的函数值与之对应.利用此知识可以结合函数图象分析. 【解析】当a∈[-2,3]时,由函数定义知,y=f(x)的图象与直线x=a只有一个交点;当a [-2,3]时,y=f(x)的图象与直线x=a没有交点.答案:0或19.【解析】(1)由已知得∴函数的定义域为[-,].(2)由已知得:∵|x+2|-1≠0,∴|x+2|≠1,得x≠-3,x≠-1.∴函数的定义域为(-∞,-3)∪(-3,-1)∪(-1,+∞).10.【解析】(1)要使函数f(x)=有意义,只需1-x2≠0,解得x≠±1,所以函数的定义域为{x|x≠±1}.(2)因为f(x)=,且f(a)=2,所以f(a)==2,即a2=,解得a=±.(3)由已知得f()==,-f(x)=-=,∴f()=-f(x).11.【解题指南】由题意得,(-∞,1]是函数y=的定义域的子集. 【解析】函数y=(a<0且a为常数).∵ax+1≥0,a<0,∴x≤-,即函数的定义域为(-∞,-].∵函数在区间(-∞,1]上有意义,∴(-∞,1] (-∞,-],∴-≥1,而a<0,∴-1≤a<0.即a的取值范围是[-1,0).关闭Word文档返回原板块。
高中数学(人教A版)必修一课时作业2.2对数函数.1 第2课时 Word版含解析
第二章第二课时级基础巩固一、选择题．(·西安高一检测)设，，均为不等于的正实数，则下列等式中恒成立的是( )．·＝．·＝．()＝·．(＋)＝＋．如果＝＋－，则等于( )．＋－．＋－．．[解析]＝＋－＝，∴＝，故选．．若·＝，则等于( )．．．．[解析]原式可化为：＝，∴＝，∴＝，＝，故选．．方程(－)＝(＋)的解为( )．＝－．＝－或＝．＝．＝－且＝[解析](\\((－(＝＋－>＋>))，解得＝，故．．已知[()]＝，那么－等于( )．．．．[解析][()]＝，则()＝，＝，＝，因此－＝.故选．．若，是方程－＋＝的两个根，则()的值等于( )．．．．[解析]由根与系数的关系，得＋＝，·＝，∴()＝(－)＝(＋)－·＝－×＝，故选．二、填空题．化简(＋＋)＋(＋－)＝[解析](＋＋)＋(＋－)＝[(＋)－]＝＝＝.．若－＝，则()－()＝[解析]∵－＝，∴()－()＝(－)＝(－)＝.三、解答题．计算：()()＋＋－；()＋＋·＋()；()[解析]()()＋＋－＝()＋＋×－＝＋＋＝.()原式＝＋＋·(×)＋()＝＋＋(－)(＋)＋()＝(×)＋－()＋()＝.()＝ ＝＝＝＝＝＝.．计算：(＋＋＋…＋)×[解析]原式＝(＋＋＋…＋)×＝(＋＋＋…＋)×＝×××＝.级素养提升一、选择题．若＝，则＋－的值为( )．．．．[解析]由＝得＝，所以＋－＝＋＝，故选．．＋的值为( )．－．－． ．[解析]＋＝＋＝(＋)＝＝，故选． ．已知＝，＝，＝，则的值为( )．－．． ． [解析]∵＝－－＝×－－＝－.∴＝－，∴＝.故选．．已知方程＋＋＝的两个实数根为α、β，则()α·()β等于( )．．．－．[解析]由题意知：α＋β＝－，()α·()β＝()α＋β＝()－＝＝＝，故选．二、填空题 －＝－)＋－(．[解析]＋－()－＝＋－＝－. ．若＝，＝，＝，则()＝[解析]∵＝＝，∴＝.同理＝，＝.∴＝＝＝. 三、解答题．(·沈阳高一检测)已知＝＝，且＋＝，求的值[解析]由＝＝得，＝，＝，所以＝，＝，又＋＝，所以＋＝，即＝，＝.。
高中数学 2.2.1第2课时对数的运算课时作业 新人教a版必修1
第2课时 对数的运算课时目标 1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.3.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数．1．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝____________________；(2)log a M N ＝____________________；(3)log a M n＝__________(n ∈R )．2．对数换底公式log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)；特别地：log a b ·log b a ＝____(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．一、选择题1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( ) A ．log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )B ．(log a x )n＝n log a x C.log a x n＝log a nxD.log a xlog a y＝log a x －log a y 2．计算：log 916·log 881的值为( )A ．18 B.118 C.83 D.383．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( )A ．9 B.19 C ．25 D.1254．已知3a ＝5b＝A ，若1a ＋1b＝2，则A 等于( )A ．15 B.15 C ．±15 D ．2255．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3等于( )A.a b －1B.3b －C.3a b ＋D.a －2b6．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg a b)2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.14二、填空题7．2log 510＋log 50.25＋(325－125)÷425＝_____________________________________.8．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23lg E －3.2，其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹． 三、解答题10．(1)计算：lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34；(2)已知3a ＝4b＝36，求2a ＋1b的值．11．若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．能力提升12．下列给出了x 与10x的七组近似对应值：A ．二B ．四C ．五D ．七13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.3010，lg 3≈0.477 1)知识梳理1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N (3)n log a M 2.1 作业设计 1．C2．C [log 916·log 881＝lg 16lg 9·lg 81lg 8＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝83.]3．D [由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg xlg 6＝2，lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125.]4．B [∵3a ＝5b＝A >0， ∴a ＝log 3A ，b ＝log 5A . 由1a ＋1b ＝log A 3＋log A 5＝log A 15＝2，得A 2＝15，A ＝15.]5．C [∵log 89＝a ，∴lg 9lg 8＝a .∴log 23＝32a .lg 3＝log 23log 210＝log 231＋log 25＝3ab ＋.]6．A [由根与系数的关系可知lg a ＋lg b ＝2，lg a lg b ＝12.于是(lg a b)2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a lg b ＝22－4×12＝2.]7.65－3解析 原式＝2(log 510＋log 50.5)＋(325425－125425) ＝2log 5(10×0.5)＋2131322255---＝2＋165－5＝65－3. 8．1解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10)＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1. 9．1 000解析 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2、E 1，则8－6＝23(lg E 2－lg E 1)，即lg E 2E 1＝3.∴E 2E 1＝103＝1 000，即汶川大地震所释放的能量相当于1 000颗广岛原子弹．10．解 (1)方法一 lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34＝lg(12×85×12.5)－2lg 33lg 2·2lg 2lg 3＝1－43＝－13.方法二 lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34＝lg 12－lg 58＋lg 252－lg 9lg 8·lg 4lg 3＝－lg 2－lg 5＋3lg 2＋(2lg 5－lg 2)－2lg 33lg 2·2lg 2lg 3＝(lg 2＋lg 5)－43＝1－43＝－13.(2)方法一 由3a ＝4b＝36得：a ＝log 336，b ＝log 436，所以2a ＋1b＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1.方法二 因为3a ＝4b＝36，所以136a ＝3, 136b＝4， 所以(136a )2·136b＝32×4，即2136a b+＝36，故2a ＋1b＝1.11．解 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0.设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0，∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12.又∵a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根， ∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.∴lg(ab )·(log b ＋log a )＝(lg a ＋lg b )·(lg b lg a ＋lg alg b)＝(lg a ＋lg b )·b 2＋a 2lg a ·lg b＝(lg a ＋lg b )·a ＋lg b 2－2lg a ·lg blg a ·lg b＝2×22－2×1212＝12，即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.12．A [由指数式与对数式的互化可知， 10x＝N ⇔x ＝lg N ，∴第一组、第三组对应值正确． 又显然第六组正确，∵lg 8＝3lg 2＝3×0.301 03＝0.903 09， ∴第五组对应值正确．∵lg 12＝lg 2＋lg 6＝0.301 03＋0.778 15＝1.079 18， ∴第四组、第七组对应值正确． ∴只有第二组错误．]13．解 设这种放射性物质最初的质量是1，经过x 年后，剩余量是y ，则有y ＝0.75x.依题意，得13＝0.75x，即x ＝lg 13lg 0.75＝－lg 3lg 3－lg 4＝lg 32lg 2－lg 3＝0.477 12×0.301 0－0.477 1≈4. ∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的13.。
高中数学 课时作业26 2.2.1.2 对数与对数运算(第2课时)新人教A版必修1
课时作业(二十六) 2.2.1.2 对数与对数运算（第2课时）1.log 35－log 345＝( ) A.1 B.－1 C.2 D.－2答案 D2.若lgx ＝lga ＋2lgb －3lgc ，则x ＝( ) A.a ＋2b －3c B.2ab 3cC.ab 2c 3 D.ab 2－c 3答案 C3.当a>0，a ≠1时，下列说法正确的是( ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A.①与② B.②与④ C.② D.①②③④答案 C4.lg(100x)比lg x100大( )A.200B.104C.4D.1104 答案 C5.已知|lga|＝lgb(a>0，b>0)，那么( ) A.a ＝b B.a ＝b 或ab ＝1 C.a ＝±b D.ab ＝1答案 B6.已知2log 6x ＝1－log 63，则x 的值是( ) A. 3 B. 2 C.2或－ 2 D.3或 2答案 B7.设方程lg 2x ＋(lg2＋lg3)lgx ＋lg2·lg3＝0的两根为x 1，x 2，那么x 1·x 2的值为( ) A.lg2·lg3B.lg2＋lg3C.16D.－6答案 C解析 设lgx ＝t ，则t 2＋(lg2＋lg3)t ＋lg2lg3＝0.据⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝lgx 1，t 2＝lgx 2，又t 1＋t 2＝－lg2－lg3＝lgx 1＋lgx 2，∴x 1x 2＝16.8.已知log 32＝a ，log 35＝b ，则log 310等于( ) A.a ＋b B.a －b C.ab D.a b答案 A解析 log 310＝log 3(2×5)＝log 32＋log 35.9.已知lga ＝2.431 0，lgb ＝1.431 0，则ba 等于( )A.1100B.110C.10D.100答案 B解析 b a ＝101.431102.431＝10－1＝110，故选B.10.已知2x＝3，log 25＝y ，则x ＋y 等于( ) A.log 215 B.log 253C.log 235D.log 310答案 A解析 由已知x ＝log 23，x ＋y ＝log 23＋log 25＝log 215. 11.log 2322－log 22＝________. 答案 5解析 原式＝log 23222＝log 232＝5.12.(1)2log 510＋log 50.25＝________. 答案 2(2)log 2149＋log 213－log 217＝________. 答案 1解析 原式＝log 2149×37＝1.(3)lg75－lg5－lg3＋lg2＝________. 答案 1解析 原式＝lg 75×25×3＝1.13.求值：lg2.5－lg 58＋lg 12＝________.答案 lg214.(1)若lg2＝a ，lg3＝b ，则lg 23＝________.答案 a －b解析 原式＝lg2－lg3＝a －b.(2)(log 3312)2＋log 0.2514＋9log 55－log 31＝______.答案234解析 原式＝(12)2＋log 0.250.25＋9log 5512－0＝14＋1＋92＝234.15.若ln x －ln y ＝a ，则ln(x 2)3－ln(y 2)3等于________.答案 3a 16.计算.(1)lg 37＋lg70－lg3；(2)lg 22＋lg5lg20－1；(3)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.答案 (1)1 (2)0 (3)3解析 (3)原式＝2(lg5＋lg2)＋lg5(lg5＋2lg2)＋(lg2)2＝2＋(lg5＋lg2)2＝2＋1＝3. 17.若lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg a b )2的值等于( )A.2B.12C.4D.14答案 A解析 ∵lga ＋lgb ＝2，lga ·lgb ＝12，∴(lg a b )2＝(lga －lgb)2＝(lga ＋lgb)2－4lga ·lgb ＝2.►重点班·选做题18.已知log a 2＝m ，log a 3＝n. (1)求a2m －n的值； (2)求log a 18.解析 (1)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m＝2，a n＝3. ∴a2m －n＝a 2m ÷a n ＝(a m )2÷a n ＝22÷3＝43.(2)log a 18＝log a (2×32)＝log a 2＋log a 32＝log a 2＋2log a 3＝m ＋2n.log 618＋2log 62的结果是( ) A.－2 B.2 C. 2 D.log 62答案 B解析 原式＝log 618＋log 62＝log 636＝2.。
高中数学 2.2.1第2课时 对数的运算课时作业(含解析)新
课时作业(十六) 对数的运算[学业水平层次]一、选择题1．lg 8＋3lg 5的值为( )A．－3 B．－1 C．1 D．3【解析】lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg53＝lg 1 000＝3.【答案】 D2．(2014·广西桂林中学段考)log35－log315＝( )A．－1 B．1 C．0 D．log3(－10)【解析】log35－log315＝log3515＝log313＝－1.【答案】 A3．如果f(10x)＝x，则f(3)等于( )A．log310 B．lg 3 C．103 D．310【解析】解法一：令10x＝t，则x＝lg t，∴f(t)＝lg t，即f(x)＝lg x，∴f(3)＝lg 3.解法二：令10x＝3，则x＝lg 3，12 ∴f (3)＝lg 3.【答案】 B4．(2014·泰安高一检测)2log 32－log 3329＋log 38的值为( )A.12 B ．2 C ．3 D.13【解析】 原式＝log 34－log 3329＋log 38＝log 34×8329＝log 39＝2.【答案】 B二、填空题5．(2014·安徽高考)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________．【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＋log 354＋log 345＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝278＋0＝278.【答案】 2786．(2014·陕西高考)已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．【解析】 4a ＝2，a ＝12，lg x ＝a ，x ＝10a ＝10.【答案】 1037．若3a ＝2，则2log 36－log 38＝________．【解析】 ∵3a ＝2，∴a ＝log 32，∴2log 36－log 38＝2(log 32＋1)－3log 32＝2－log 32＝2－a .【答案】 2－a三、解答题8．计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1.【解】 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2. (2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋（lg 2－1）2＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.9．设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值． 【解】 由3x ＝4y＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，4 ∴1x ＝1log 336＝log 363，1y ＝1log 436＝log 364.∴2x ＋1y ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.[能力提升层次]1．(2014·河北衡水中学期末)已知a ，b (a ＞b )是方程log 3x 3＋log 27(3x )＝－43的两个根，则a ＋b ＝()A.1027B.481C.1081D.2881【解析】 设log 3x 3＝t ，则t ＋13t ＝－43，∴t 1＝－1，t 2＝－13，∴a ＝19，b ＝181，∴a ＋b ＝1081.故选C.【答案】 C2．(2014·蚌埠高一检测)计算log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72的值为( ) A ．－14 B ．4 C ．－154 D.154【解析】 原式＝log 33343＋lg(25×4)＋25 ＝log 33－14＋lg102＋2＝－14＋2＋2＝154.【答案】 D3．方程lg x ＋lg(x ＋3)＝1的解为________．【解析】 由lg x ＋lg(x ＋3)＝1，得lg []x （x ＋3）＝1.∴x (x ＋3)＝10，即x 2＋3x －10＝0.解得x ＝－5或x ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＋3＞0，得x ＞0.∴原方程的解为x ＝2.【答案】 x ＝24．若a ，b ，c ∈N *，且满足a 2＋b 2＝c 2.(1)求log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b ＋c a ＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a －c b 的值；(2)若log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b ＋c a ＝1，log 8(a ＋b －c )＝23，求a ，b ，c 的值．6 【解】 (1)∵a 2＋b 2＝c 2，∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b ＋c a ＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a －c b＝log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a －c b＝log 2（a ＋b ＋c ）（a ＋b －c ）ab＝log 2a 2＋b 2－c 2＋2ab ab＝log 22ab ab ＝1.(2)∵log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b ＋c a ＝1，∴a ＋b ＋c a ＝4，即3a －b －c ＝0，①∵log 8(a ＋b －c )＝23，∴a ＋b －c ＝4②∵a 2＋b 2＝c 2③且a ，b ，c ∈N *，∴由①②③解得a ＝6，b ＝8，c ＝10.。
【优化课堂】高一数学人教A版必修1 学案：第二章 2.2.1第2课时 对数的运算 Word版含答案[ 高考]
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第2课时 对数的运算[学习目标] 1.理解对数的运算性质．(重点)2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明(易混点)．一、对数的运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0.那么： 1．log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ． 2．log a MN ＝log a M －log a N ． 3．log a M n ＝n log a M (n ∈R)． 二、对数换底公式 log a b ＝log c blog c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1，b ＞0)． 特别地：log a b ·log a b ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)．1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( ) (2)log a (xy )＝log a x ·log a y .( ) (3)log 2(－5)2＝2log 2(－5)．( ) (4)由换底公式可得log a b ＝log （－2）blog （－2）a.( )【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．计算：log 62＋log 63＝( )A ．1B ．0C ．－1D ．2 【解析】 log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝log 66＝1.【答案】 A3．log 29·log 34＝( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 【解析】 log 29·log 34＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4. 【答案】 D 4.log 29log 23＝________． 【解析】log 29log 23＝log 39＝log 332＝2. 【答案】 2预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中(1)lg 2＋lg 5； (2)log 345－log 35； (3)log 2(23×45)； (4)4lg 2＋3lg 5－lg 15；(5)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2；(6)log 2(6＋42－6－42)．【解】 (1)lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝lg 10＝lg 1012＝12.(2)log 345－log 35＝log 3455＝log 39＝log 332＝2.(3)log 2(23×45)＝log 223＋log 245＝3＋5log 24＝3＋5log 222＝3＋5×2＝13. (4)原式＝lg 24×5315＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4.(5)原式＝32lg 3＋3lg 2－32lg 3＋2lg 2－1＝32（lg 3＋2lg 2－1）lg 3＋2lg 2－1＝32. (6)∵6＋42＝（2＋2）2＝2＋2，6－42＝（2－2）2＝2－2，∴原式＝log 2(2＋2－2＋2)＝log 2(2)3＝3.1．解决对数式的化简与计算问题一般有两种思路：一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；二是将式中对数的和、差、积、商逆用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．2．在使用公式的过程中，要注意公式成立的条件，例如，log 2[(－3)×(－5)]不能写成log 2[]（－3）×（－5）＝log 2(－3)＋log 2(－5)，此等式左边有意义，而右边没有意义．1836．(2)(2014·烟台高一检测)已知3a＝5b＝c，且1a＋1b＝2，则c的值为________．【思路探究】(1)方法1：因为18b＝5，log189＝a，18a＝9，所以可以将log3645写成与9，5有关的对数，从而求值．方法2：都变为以10为底的对数，并使真数、底数为互质数，则可求值．(2)由3a＝5b＝c得，a＝log3c，b＝log5c代入已知等式求解．【解析】(1)方法1：因为log189＝a，所以9＝18a，又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818，又因为log2×1818＝1log18（18×2）＝11＋log182＝11＋log18189＝11＋1－log189＝12－a，所以原式＝a＋b2－a.方法2：因为log189＝a，即2lg 3lg 2＋2lg 3＝a，所以lg 2＝2（1－a）lg 3a，又18b＝5，即b＝lg 5lg 2＋2lg 3，所以lg 5＝2ba lg 3，所以log3645＝lg 5＋2lg 32lg 2＋2lg 3＝2ba＋24（1－a）a＋2＝a＋b2－a.(2)由3a ＝5b ＝c 得，a ＝log 3c ，b ＝log 5c ，所以1a ＝log c 3，1b ＝log c 5.又1a ＋1b ＝2，所以logc 3＋log c 5＝2，即log c 15＝2，c ＝15.【答案】 (1)a ＋b2－a (2)15换底公式的本质是化为同底，这是解决对数问题的基本方法．解题过程中需结合题目的条件看应换成什么样的底．一般情况下是换成自然对数或常用对数．在题(2)中，若改为“1a －1b ＝2”，又如何求出c 的值呢？ 【解】 由3a ＝5b ＝c 得，a ＝log 3c ，b ＝log 5c ， 所以1a ＝log c 3，1b ＝logc 5， 又1a －1b＝2， 所以log c 3－log c 5＝2， 即log c 35＝2，所以c ＝155.333(x ＋3)的解为( )A ．x ＝2或x ＝－1B ．x ＝2C ．x ＝－2或x ＝1D ．x ＝－1(2)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1个有效数字)?(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)【思路探究】 (1)将原方程转化为与之等价的混合组(由等式与不等式组成)求解．(2)由题目可知经过一年物质剩余的质量约是原来的75%，由此首先找到剩余量与年数的关系，再利用对数计算．【解析】(1)原方程可化为log 3(3x －1)＝log 3(x －1)(x ＋3)且⎩⎪⎨⎪⎧3x －1＞0，x －1＞0，x ＋3＞0.即等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －1＞0，x －1＞0，x ＋3＞0，3x －1＝（x －1）（x ＋3），解得x ＝2. 【答案】 B(2)设物质的原有量为a ，经过t 年，该物质的剩余量是原来的13，由题意可得a ·0.75t ＝13a ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫34t ＝13，两边取以10为底的对数得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫34t＝lg 13.∴t (lg3－2lg2)＝－lg3， ∴t ＝－lg3lg3－2lg2≈0.47712×0.3010－0.4771≈4(年)．解对数应用题的步骤方程log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)的解是________． 【解析】 由换底公式得log 9(x ＋5)＝12log 3(x ＋5)．∴原方程可化为2log 3(x －1)＝log 3(x ＋5)， 即log 3(x －1)2＝log 3(x ＋5)， ∴(x －1)2＝x ＋5.解得x ＝4或x ＝－1(舍)， ∴原方程的解为x ＝4. 【答案】 x ＝41．在应用对数运算性质解题时，要保证每个对数式都有意义，避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式上的错误．2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法：(1)“合”：将同底的对数的和(差)合为积(商)的对数；(2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底数的对数的和(差)．3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．4．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．对数运算中忽视隐含条件致误已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则xy的值为________．【易错分析】在对数运算中，易忽视隐含条件真数大于0致误．【防范措施】 1.在求解含有对数式的问题时，一定要注意真数的取值范围，保证真数大于零．2．求解过程不等价时，求出答案后需进一步进行检验．【解析】因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，即(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y，所以xy ＝1或xy＝4.由已知等式知，x>0，y>0，x－2y>0，而当xy＝1时，x－2y<0，此时lg(x－2y)无意义，所以xy＝1不符合题意，应舍去；当x y ＝4时，将x ＝4y 代入已知条件，符合题意，所以x y ＝4. 【答案】 4——[类题尝试]————————————————— 若lg(x ＋1)＋lg x ＝lg 6，则x ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．－3或2 D ．3或－2【解析】 由lg(x ＋1)＋lg x ＝lg 6可得： lg(x ＋1)x ＝lg 6且⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x ＞0，（x ＋1）x ＝6， 解得x ＝2. 【答案】 B。
2018-2019学年高中数学人教A版必修一练习：2.2.1 对数与对数运算 第二课时 对数的运算 Word版含解析
第二课时 对数的运算【选题明细表】知识点、方法题号对数的运算性质1,2,6,10,12换底公式3,7附加条件的对数式求值4,5与对数有关的方程问题8,9,11,131.已知log545=a,则log53等于( D )(A)(B)(C)(D)解析:因为log545=log5(5×9)=log55+log59=1+log532=1+2log53=a,所以log53=.故选D.2.化简+log2,得( B )(A)2(B)2-2log23(C)-2(D)2log23-2解析:==2-log23,所以原式=2-log23+log23-1=2-2log23.3.已知lg 2=a,lg 3=b,则log36等于( B )(A)(B)(C)(D)解析:log36===,故选B.4.(2018·曲阜市高一期中)如果lg 2=m,lg 3=n,则等于( C )(A)(B)(C)(D)解析:因为lg 2=m,lg 3=n,所以===.故选C.5.若lg x=m,lg y=n,则lg -lg()2的值为( D )(A)m-2n-2(B)m-2n-1(C)m-2n+1(D)m-2n+2解析:因为lg x=m,lg y=n,所以lg -lg()2=lg x-2lg y+2=m-2n+2.故选D.6.已知3a=5b=A,若+=2,则A= .解析:因为3a=5b=A>0,所以a=log3A,b=log5A.由+=log A3+log A5=log A15=2,得A2=15,A=.答案:7.已知log23=t,则log4854= (用t表示).解析:log23=t,则log4854===.答案:8.解下列关于x的方程:(1)lg=lg(x-1);(2)log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1).解:(1)原方程等价于解之得x=2.经检验x=2是原方程的解,所以原方程的解为x=2.(2)原方程可化为log4(3-x)-log4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1).即log4=log4.整理得=,解之得x=7或x=0.当x=7时,3-x<0,不满足真数大于0的条件,故舍去. x=0满足,所以原方程的解为x=0.9.(2018·金华高一期末)如果lg x=lg a+3lg b-5lg c,那么( C )(A)x=a+3b-c (B)x=(C)x=(D)x=a+b3-c3解析:因为lg x=lg a+3lg b-5lg c=lg a+lg b3-lg c5=lg,所以x=.故选C.10.地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R=(lg E-11.4).A地地震级别为9.0级,B地地震级别为8.0级,那么A地地震的能量是B 地地震能量的 倍.解析:由R=(lg E-11.4),得R+11.4=lg E,故E=1.设A地和B地地震能量分别为E1,E2,则==1=10.即A地地震的能量是B地地震能量的10倍.答案:1011.已知a,b,c是△ABC的三边,并且关于x的二次方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有等根,试判断△ABC的形状.解:由题意知Δ=0,即(-2)2-4[lg(c2-b2)-2lg a+1]=0,2lg a-lg(c2-b2)=0,lg =0,=1,a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.12.求值:(1)2log2-lg 2-lg 5+;(2)lg 14-2lg+lg 7-lg 18;(3)计算:.解:(1)2log2-lg 2-lg 5+=2×-lg 10+()=1-1+=.(2)lg 14-2lg+lg 7-lg 18=lg[14÷()2×7÷18]=lg 1=0.(3)分子=lg 5(3+3lg 2)+3(lg 2)2=3lg 5+3lg 2(lg 5+ lg 2)=3,分母=(lg 6+2)-lg 6+1=3,所以原式=1.13.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2(单位:m/s),其中Q表示燕子的耗氧量.(1)燕子静止时的耗氧量是多少个单位?(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?解:(1)由题意知,当燕子静止时,它的速度v=0,代入题中所给公式可得0=5log2,解得Q=10.故燕子静止时的耗氧量是10个单位.(2)将耗氧量Q=80代入题中所给公式,得v=5log2=5log28=15(m/s).故当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度为15 m/s.。
高中数学 2.2.1第2课时对数的运算课时作业 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题
第2课时 对数的运算课时目标 1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.3.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数．1．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝____________________；(2)log a M N ＝____________________；(3)log a M n＝__________(n ∈R )．2．对数换底公式log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)；特别地：log a b ·log b a ＝____(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．一、选择题1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( ) A ．log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )B ．(log a x )n＝n log a x C.log a x n＝log a nxD.log a xlog a y＝log a x －log a y 2．计算：log 916·log 881的值为( )A ．18 B.118C.83 D.383．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( )A ．9 B.19 C ．25 D.1254．已知3a ＝5b＝A ，若1a ＋1b＝2，则A 等于( )A ．15 B.15 C ．±15D ．2255．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3等于( )A.a b －1B.32b －1C.3a 2b ＋1D.3a －12b6．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg a b)2的值等于( ) A ．2 B.12C ．4 D.14二、填空题7．2log 510＋log 50.25＋(325－125)÷425＝_____________________________________.8．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.9．2008年5月12日，某某汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23lg E －3.2，其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹． 三、解答题10．(1)计算：lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34；(2)已知3a ＝4b＝36，求2a ＋1b的值．11．若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．能力提升12．下列给出了x 与10x的七组近似对应值： 组号 一 二 三 四 五 六 七 x 0.301 03 0.477 11 0.698 97 0.778 15 0.903 09 1.000 00 1.079 18 10x 2 3 5 6 8 10 12 A ．二 B ．四 C ．五 D ．七13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.3010，lg 3≈0.477 1)1．在运算过程中避免出现以下错误： log a (MN )＝log a M ·log a N .log a M N ＝log a M log a N .log a N n ＝(log a N )n.log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．2．根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式：log a b ＝log c blog c a(a >0且a ≠1，c >0且c ≠1，b >0)．由对数换底公式又可得到两个重要结论： (1)log a b ·log b a ＝1； (2)log n ma b ＝m nlog a b .3．对于同底的对数的化简常用方法：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．第2课时 对数的运算知识梳理1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N (3)n log a M 2.1 作业设计 1．C2．C [log 916·log 881＝lg 16lg 9·lg 81lg 8＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝83.]3．D [由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg xlg 6＝2，lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125.]4．B [∵3a ＝5b＝A >0， ∴a ＝log 3A ，b ＝log 5A . 由1a ＋1b ＝log A 3＋log A 5＝log A 15＝2，得A 2＝15，A ＝15.]5．C [∵log 89＝a ，∴lg 9lg 8＝a .∴log 23＝32a .lg 3＝log 23log 210＝log 231＋log 25＝3a2b ＋1.]6．A [由根与系数的关系可知lg a ＋lg b ＝2，lg a lg b ＝12.于是(lg a b)2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a lg b ＝22－4×12＝2.]7.65－3解析 原式＝2(log 510＋log 50.5)＋(325425－125425) ＝2log 5(10×0.5)＋2131322255---＝2＋165－5＝65－3. 8．1解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10)＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1. 9．1 000解析 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2、E 1，则8－6＝23(lg E 2－lg E 1)，即lg E 2E 1＝3.∴E 2E 1＝103＝1 000，即汶川大地震所释放的能量相当于1 000颗广岛原子弹．10．解 (1)方法一 lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34＝lg(12×85×12.5)－2lg 33lg 2·2lg 2lg 3＝1－43＝－13.方法二 lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34＝lg 12－lg 58＋lg 252－lg 9lg 8·lg 4lg 3＝－lg 2－lg 5＋3lg 2＋(2lg 5－lg 2)－2lg 33lg 2·2lg 2lg 3＝(lg 2＋lg 5)－43＝1－43＝－13.(2)方法一 由3a ＝4b＝36得：a ＝log 336，b ＝log 436，所以2a ＋1b＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1.方法二 因为3a ＝4b＝36，所以136a ＝3,136b＝4， 所以(136a )2·136b＝32×4，即2136a b+＝36，故2a ＋1b＝1.11．解 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0.设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0，∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12.又∵a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根， ∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.∴lg(ab )·(log b ＋log a )＝(lg a ＋lg b )·(lg b lg a ＋lg alg b)＝(lg a ＋lg b )·lg b 2＋lg a2lg a ·lg b＝(lg a ＋lg b )·lg a ＋lg b 2－2lg a ·lg blg a ·lg b＝2×22－2×1212＝12，即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.12．A [由指数式与对数式的互化可知， 10x＝N ⇔x ＝lg N ，组号 一 二 三 四 五 六 七 N 2 3 5 6 8 10 12 lg N 0.301 03 0.477 11 0.698 97 0.778 15 0.903 09 1.000 00 1.079 18 ∴第一组、第三组对应值正确． 又显然第六组正确，∵lg 8＝3lg 2＝3×0.301 03＝0.903 09， ∴第五组对应值正确．∵lg 12＝lg 2＋lg 6＝0.301 03＋0.778 15＝1.079 18， ∴第四组、第七组对应值正确． ∴只有第二组错误．]13．解 设这种放射性物质最初的质量是1，经过x 年后，剩余量是y ，则有y ＝0.75x.依题意，得13＝0.75x，即x ＝lg 13lg 0.75＝－lg 3lg 3－lg 4＝lg 32lg 2－lg 3＝0.477 12×0.301 0－0.477 1≈4. ∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的13.。
人教A版高一数学必修一 2.2.1 对数的运算性质 学案(有答案)
对数的运算性质（学案）一、学习目标1．理解对数的运算性质．(重点)2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明(易混点)．二、自主学习教材整理1对数的运算性质阅读教材P 64至P 65“例3”以上部分，完成下列问题．对数的运算性质：如果a >0，且a ≠1，M>0，N >0，那么：(1)log a (M·N )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M N＝log a M －log a N ； (3)log a M n ＝nlog a M__(n ∈R )．教材整理2 换底公式阅读教材P 65至P 66“例5”以上部分，完成下列问题．对数换底公式：log a b ＝log c b log c a(a >0，且a ≠1，b >0，c>0，且c≠1)； 特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．三、合作探究例1.求下列各式的值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18; (2)2lg 2＋lg 32＋lg 0.36＋2lg 2； (3)log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72；(4)2log 32－log 3329＋log 38－52log 53. 【自主解答】(1)法一； 原式＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二； 原式＝lg 14－lg ⎝⎛⎭⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝⎛⎭⎫732×18＝lg 1＝0. (2)原式＝2lg 2＋lg 32＋lg 36－2＋2lg 2＝2lg 2＋lg 32lg 2＋lg 3＋2lg 2＝2lg 2＋lg 34lg 2＋2lg 3＝12. (3)原式＝log 33343＋lg (25×4)＋2＝log 33－14＋lg 102＋2＝－14＋2＋2＝154. (4)原式＝2log 32－(log 325－log 39)＋3log 32－5log 532＝2log 32－5log 32＋2log 33＋3log 32－9＝2－9＝－7.归纳总结：1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．例2.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1个有效数字)？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 【自主解答】 设物质的原有量为a ，经过t 年，该物质的剩余量是原来的13，由题意可得a ·0.75t ＝13a ， ∴⎝⎛⎭⎫34t ＝13，两边取以10为底的对数得lg ⎝⎛⎭⎫34t ＝lg 13，∴t(lg 3－2lg 2)＝－lg 3， ∴t ＝－lg 3lg 3－2lg 2≈0.477 12×0.301 0－0.477 1≈4(年)． 归纳总结：解对数应用题的步骤例3. (1)已知log 1227＝a ，求log 616的值； (2)计算(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)的值.【自主解答】(1)由log 1227＝a ，得3lg 32lg 2＋lg 3＝a ，∴lg 2＝3－a 2a lg 3. ∴log 616＝lg 16lg 6＝4lg 2lg 2＋lg 3＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝43－a 3＋a . (2)法一； 原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28·log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13. 法二； 原式＝⎝⎛⎭⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125 ＝⎝⎛⎭⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝⎛⎭⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5＝⎝⎛⎭⎫13lg 53lg 2⎝⎛⎭⎫3lg 2lg 5＝13.法三 原式＝(log 2153＋log 2252＋log 2351)·(log 512＋log 5222＋log 5323)＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋log 25＋13log 25(log 52＋log 52＋log 52)＝3×⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·log 52＝3×133＝13. 归纳总结：1．在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底．2．在运用换底公式时，还可结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ·log b a ＝1，log a b ·log b c·log c d ＝log a d ，log a m b n ＝n mlog a b ，log a a n ＝n ，等，将会达到事半功倍的效果． 四、学以致用1．求下列各式的值：(1)lg 25＋lg 2·lg 50；(2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25. 【解】(1)原式＝lg 25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg 25＋1－lg 25＝1.(2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＋lg 2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3.2．地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．根据英国天空电视台报道，英格兰南部2007年4月28日发生地震，欧洲地震监测站称，地震的震级为5.0级，而2011年3月11日，日本本州岛发生9.0级地震，那么此次地震释放的能量是5.0级地震释放能量的________倍．【解】 设9.0级地震所释放的能量为E 1,5.0级地震所释放的能量为E 2.由9.0＝23(lg E 1－11.4)， 得lg E 1＝32×9.0＋11.4＝24.9.同理可得lg E 2＝32×5.0＋11.4＝18.9， 从而lg E 1－lg E 2＝24.9－18.9＝6.故lg E 1－lg E 2＝lg E 1E 2＝6，则E 1E 2＝106＝1 000 000， 即9.0级地震释放的能量是5.0级地震释放能量的1 000 000倍．3.求值：log 225·log 3116·log 519＝________. 【解析】 原式＝log 252·log 32－4·log 53－2＝2lg 5lg 2·－4lg 2lg 3·－2lg 3lg 5＝16. 【答案】16五、自主小测1．若a >0，且a ≠1，x ∈R ，y ∈R ，且xy >0，则下列各式不恒成立的是()①log a x 2＝2log a x ；②log a x 2＝2log a |x |；③log a (xy )＝log a x ＋log a y ；④log a (xy )＝log a |x |＋log a |y |.A ．②④B ．①③C ．①④D ．②③ 2．lg 2516－2lg 59＋lg 3281等于() A ．lg 2 B ．lg 3C ．lg 4D ．lg 5 3．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则log a 18＝________.(用m ，n 表示)4．计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________.5．已知log 189＝a ,18b ＝5，求log 3645.参考答案1.【解析】 ∵xy >0，∴①中，若x <0，则不成立；③中，若x <0，y <0也不成立，故选B .【答案】 B2.【解析】 lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝lg ⎝⎛⎭⎫2516÷2581×3281＝lg 2.故选A .【答案】 A3.【解析】 log a 18＝log a (2×32)＝log a 2＋log a 32＝log a 2＋2log a 3＝m ＋2n .【答案】 m ＋2n4.【解析】 原式＝(lg 2)2＋lg 2·(1＋lg 5)＋2lg 5＝lg 2(1＋lg 5＋lg 2)＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2.【答案】 25.【解】 法一 ∵log 189＝a ,18b ＝5，即log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 189×5log 1818×2＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a . 法二 ∵log 189＝a ,18b ＝5，即log 185＝b .于是log 3645＝log 189×5log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a . 法三 ∵log 189＝a ,18b ＝5，∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18.∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg 9×5lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝alg 18＋b lg 182lg 18－alg 18＝a ＋b 2－a .。
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课时提升卷(十九)
对数的运算
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.(2013·晋江高一检测)已知ab=M(a>0,b>0,M≠1), log M b=x,则log M a 的值
为( )
A. B.1+x C.1-x D.x-1
2.已知2x=9,log2=y,则x+2y的值为( )
A.6
B.8
C.4
D.log48
3.(2013·克拉玛依高一检测)若P=log23·log34,Q=lg2+lg5,M=e0,N=ln1,则正确的是( )
A.P=Q
B.Q=M
C.M=N
D.N=P
4.计算log2×log3×log5=( )
A.12
B.-12
C.log23
D.log35
5.(2013·曲靖高一检测)已知2x=72y=A,且+=2,则A的值是( )
A.7
B.7
C.±7
D.98
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.计算:log 43×lo= .
7.(2012·北京高考)已知函数f(x)=lgx,若f(ab)=1,
则f(a2)+f(b2)= .
8.解方程log2(x2-5)+1=log2(4x+6),得x= .
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.(2013·天水高一检测)求值:
(1)(lg32+log416+6lg)+lg.
(2)(lg2)2+lg2·lg50+lg25.
10.(2013·周口高一检测)若a,b,c∈N*,且满足a2+b2=c2,
(1)求log 2(1+)+log2(1+)的值.
(2)若log4(1+)=1,log8(a+b-c)=,求a,b,c的值.
11.(能力挑战题)已知f(x)=x2+(lga+2)x+lgb,f(-1)=-2,方程f(x)=2x 至多有一个实根,求实数a,b的值.
答案解析
1.【解析】选C.∵ab=M,
∴log M(ab)=log M M=1.
又∵log M(ab)=log M a+log M b,
∴log M a=1-log M b=1-x.
【变式备选】若lgm=b-lgn,则m=( )
A. B.10b n C.b-10n D.
【解析】选D.∵lgm=b-lgn,
∴lgm+lgn=b,∴lg(mn)=b,
∴10b=mn,m=.
2.【解析】选A.由2x=9,得log29=x,
∴x+2y=log29+2log2=log29+log2
=log264=6.
3.【解析】选B.因为P=log23·log34=log23·=log24=2, Q=lg2+lg5=lg10=1,
M=e0=1,
N=ln1=0,
所以Q=M.
4.【解析】选B.原式=log25-2×log32-3×log53-2
=(-2log25)×(-3log32)×(-2log53)
=-12log25×log32×log53
=-12×××=-12.
5.【解析】选B.∵2x=72y=A,
∴x=log2A,2y=log7A,
+=+=log A2+2log A7
=log A(2×72)=log A98=2,
∴A2=98,又A>0,∴A=7.
6.【解析】log 43×lo=×
=×=-.
答案:-
7.【解析】∵f(x)=lgx,且f(ab)=1,
∴lg(ab)=1,∴f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=lg(ab)2
=2lg(ab)=2.
答案:2
8.【解析】由题意得①,在此条件下
原方程可化为log2[2(x2-5)]=log2(4x+6),
∴2(x2-5)=4x+6,即x2-2x-8=0,
解得x=-2或x=4,
经检验x=-2不满足条件①,所以x=4.
答案:4
【误区警示】解答本题容易忽视利用真数大于0检验结果,从而导致出现增根的错误.
9. 【解析】(1)原式=[lg32+2+lg()6]+lg
=[2+lg(32··)]=(2+lg)
=[2+(-1)]=.
(2)∵lg2+lg5=lg(2×5)=lg10=1,
∴原式=(lg2)2+lg2·lg(2×52)+lg52
=(lg2)2+lg2·(lg2+2lg5)+2lg5
=(lg2)2+(lg2)2+2lg2·lg5+2lg5
=2(lg2)2+2lg2·lg5+2lg5
=2lg2·(lg2+lg5)+2lg5
=2lg2+2lg5=2(lg2+lg5)=2.
10.【解析】(1)∵a2+b2=c2,∴log2(1+)+log2(1+)=log2[(1+)(1+)]
=log2=log2=log2=1.
(2)∵log4(1+)=1,∴=4.
即3a-b-c=0 ①
∵log8(a+b-c)=,∴a+b-c=4 ②
∵a2+b2=c2③
且a,b,c∈N*,∴由①②③解得a=6,b=8,c=10.
11.【解析】由f(-1)=-2得,
1-(lga+2)+lgb=-2,
∴lg=-1=lg,∴=,即a=10b.
又∵方程f(x)=2x至多有一个实根,
即方程x2+(lga)x+lgb=0至多有一个实根,
∴(lga)2-4lgb≤0,即(lg10b)2-4lgb≤0,
∴(1-lgb)2≤0,
∴lgb=1,b=10,从而a=100,
故实数a,b的值分别为100,10.。