第四章 梁的弯曲
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材料力学第04章(弯曲内力)-06讲解
C
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
§4–2 受弯杆件的简化 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化
a
F
A
B
l
a
F
A
B
l
取梁的轴线来代替梁
2. 支座简化 (1)固定铰支座
固定铰
2个约束，1个自由度。
(2)可动铰支座
按照习惯，正值的剪力值绘于x轴上方，正的弯矩值绘于x 轴的下方(即绘于梁弯曲时受拉的一侧)。
(b)
FSx qx 0 x l
M x qx x qx2
22
(c)
0 x l
材料力学Ⅰ电子教案
(a) (b) (c)
第四章 弯曲应力
梁横截面上最大剪力值？ 最大弯矩值？ 位置？
固定铰
1个约束，2个自由度。
(3)固定端
Fx
固定端
3个约束，0个自由度。
M Fy
可动铰 可动铰
3. 梁的三种基本形式 (1)简支梁 A
F
B
F
F
F
(2)外伸梁
B A
q (3)悬臂梁
4. 载荷的简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
q
F
M
B A
集中力、集中力偶和分布载荷。
5. 静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式
向上的外力产生
正弯矩
9kN
M
9kN
向下的外力产生
负弯矩
左:M=9×2-4×1=14kN.m
右:M=9×4-4×3-10×1=14kN.m
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
§4–2 受弯杆件的简化 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化
a
F
A
B
l
a
F
A
B
l
取梁的轴线来代替梁
2. 支座简化 (1)固定铰支座
固定铰
2个约束，1个自由度。
(2)可动铰支座
按照习惯，正值的剪力值绘于x轴上方，正的弯矩值绘于x 轴的下方(即绘于梁弯曲时受拉的一侧)。
(b)
FSx qx 0 x l
M x qx x qx2
22
(c)
0 x l
材料力学Ⅰ电子教案
(a) (b) (c)
第四章 弯曲应力
梁横截面上最大剪力值？ 最大弯矩值？ 位置？
固定铰
1个约束，2个自由度。
(3)固定端
Fx
固定端
3个约束，0个自由度。
M Fy
可动铰 可动铰
3. 梁的三种基本形式 (1)简支梁 A
F
B
F
F
F
(2)外伸梁
B A
q (3)悬臂梁
4. 载荷的简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
q
F
M
B A
集中力、集中力偶和分布载荷。
5. 静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式
向上的外力产生
正弯矩
9kN
M
9kN
向下的外力产生
负弯矩
左:M=9×2-4×1=14kN.m
右:M=9×4-4×3-10×1=14kN.m
直梁的弯曲
MC,MA的坐标相连，画出 抛物线；再以直线MA,MD左 和MD右，MB的坐标，可得 全梁的弯矩图图c所示。 由图可见，在D稍右处横
截面上有绝对值最大的弯 矩，其值为
M 15kN m max
例题分析
例题4-1：管道托架如图所示，如AB长为l，作用在其上的 管道重P1与P2，单位为kN，a、b、l以m计。托架可简化 为悬臂梁，试画出它的弯矩图。
例题分析
例题4-2：卧式容器可以简化为受均布载荷的外伸梁，如图 所示受均布载荷q作用的筒体总长L，试作出其弯矩图，并 讨论支座放在什么位置使设备的受力情况最好。
解：(1)共分三个受力段， 如图建立坐标系yAx．
(2)求支座反力RC、RD RC＝RD ＝0.5qL
例题分析
(3)列弯矩方程，画弯矩图
例题分析
解：共分为三个受力段，取 梁左端A为坐标原点，建立 坐标系，如图：
•分段列弯矩方程，画弯矩图：
M1=0 (0≤x1 ≤ a)
M
M2=－P1 (x2 －a)
(a ≤ x2 ≤ b)
M3=－P1 (x3 －a) －P2 (x3 －b)
(b ≤ x3 ≤ l)
x
x
-
－P1 (b －a) －P1 (l －a) －P2 (l －b)
bh2
IZ 12
WZ 6
IZ
D 4
64
(1
4)
WZ
D3
32
(1
4)
截面几何量Iz 与Wz
其它截面形状的Iz 和Wz（参见表４－２）
对各种型钢，Iz 和Wz值可从有关材料手册中查到
❖结论：１）梁在弯矩相同的截面上， Iz 和Wz值 越大， σmax越小，因此设计梁的截面形状时，要 尽量使Iz 和Wz值大； ２）梁在弯矩相同的截面上， Iz和Iy可能不同，Wz 和Wy可能不同，因此若将梁沿轴向转90º，其承载 能力不同。
截面上有绝对值最大的弯 矩，其值为
M 15kN m max
例题分析
例题4-1：管道托架如图所示，如AB长为l，作用在其上的 管道重P1与P2，单位为kN，a、b、l以m计。托架可简化 为悬臂梁，试画出它的弯矩图。
例题分析
例题4-2：卧式容器可以简化为受均布载荷的外伸梁，如图 所示受均布载荷q作用的筒体总长L，试作出其弯矩图，并 讨论支座放在什么位置使设备的受力情况最好。
解：(1)共分三个受力段， 如图建立坐标系yAx．
(2)求支座反力RC、RD RC＝RD ＝0.5qL
例题分析
(3)列弯矩方程，画弯矩图
例题分析
解：共分为三个受力段，取 梁左端A为坐标原点，建立 坐标系，如图：
•分段列弯矩方程，画弯矩图：
M1=0 (0≤x1 ≤ a)
M
M2=－P1 (x2 －a)
(a ≤ x2 ≤ b)
M3=－P1 (x3 －a) －P2 (x3 －b)
(b ≤ x3 ≤ l)
x
x
-
－P1 (b －a) －P1 (l －a) －P2 (l －b)
bh2
IZ 12
WZ 6
IZ
D 4
64
(1
4)
WZ
D3
32
(1
4)
截面几何量Iz 与Wz
其它截面形状的Iz 和Wz（参见表４－２）
对各种型钢，Iz 和Wz值可从有关材料手册中查到
❖结论：１）梁在弯矩相同的截面上， Iz 和Wz值 越大， σmax越小，因此设计梁的截面形状时，要 尽量使Iz 和Wz值大； ２）梁在弯矩相同的截面上， Iz和Iy可能不同，Wz 和Wy可能不同，因此若将梁沿轴向转90º，其承载 能力不同。
第四章梁的弯曲
第四章梁的弯曲一、判断题1. 作用在刚体上的力偶可以任意平移，而作用在变形固体上的力偶一般不能平移。
（√）2. 在等截面梁中，正应力绝对值的最大值必然出现在弯矩值最大的截面上。
（√）3. 梁的合理截面应该使面积的分布尽可能离中性轴远。
（√）4. 弯曲应力有正应力和剪应力之分。
一般正应力由弯矩引起，剪应力由剪力引起。
（√）5. 弯曲变形的实质是剪切。
（×）6. 梁弯曲时，中性层上的正应力为零。
（√）二、选择题1．梁的合理截面形状依次是（D、A、C、B ）。
A．矩形；B．圆形；C．圆环形；D．工字形。
2. 梁在集中力作用的截面处，其内力图（ B ）A 剪力图有突变，弯矩图光滑连续B 剪力图有突变，弯矩图有转折C 弯矩图有突变，剪力图光滑连续D 弯矩图有突变，剪力图有转折3. 梁在集中力偶作用的截面处，其内力图（ C ）A 剪力图有突变，弯矩图光滑连续B 剪力图有突变，弯矩图有转折C 弯矩图有突变，剪力图光滑连续D 弯矩图有突变，剪力图有转折4．在梁的弯曲过程中，梁的中性层（ B ）A 不变形B 长度不变C 长度伸长D 长度缩短5．当横向外力作用在梁的纵向对称平面时，梁将发生（ C ）A 拉压变形 B.扭转变形 C 平面弯曲 D 剪切变形6. 梁弯曲变形时，横截面上存在（ D ）两种内力。
A. 轴力和扭矩；B. 剪力和扭矩；C. 轴力和弯矩；D. 剪力和弯矩。
7. 一端为固定铰支座，另一端为活动铰支座的梁，称为（ A ）。
A. 双支梁；B.外伸梁；C. 悬臂梁。
8. 一端为固定端，另一端为自由的梁，称为（ C ）。
A. 双支梁；B. 外伸梁；C. 悬臂梁。
三、填空题1. 在没有分布载荷作用（q＝0）的一段梁内，剪力图为水平直线；弯矩图为斜直线。
2．在有均布载荷作用（q＝常数）的一段梁内，剪力图为斜直线；弯矩图为抛物线，在剪力为0处，弯矩取极值。
3．在集中力作用处，剪力图发生突变；弯矩图发生转折。
第四章 梁弯曲变形与内力
18
中性层：梁内纵向长度既没有伸长也没有缩短的纤 维层。 中性轴：中性层与横截面的交线 。
19
中性层将梁分成受压和受拉区，即中性层一侧作 用拉伸应力，另一侧作用压缩应力，中性层上正应 力为零，梁横截面的偏转就是绕其中性轴旋转的。
20
根据弯矩的定义：
M A y dA
σ：横截面上距中性轴为y处的正应力 dA：横截面上距中性轴为y处的一微面积 y：正应力到中心轴的距离
弯矩的符号约定
M M
+
M
-
M
上压下拉为正
上拉下压为负
29
计算弯矩法则：梁在外力作用下，其任意指定截面 上的弯矩等于该截面一侧所有外力对该截面中性轴取 矩的代数和；凡是向上的外力，其矩取正；向下的外 力，其矩取负值。
30
三 剪力图和弯矩图
梁的剪力方程和弯矩方程：
以坐标 x 表示横截面位置，则剪力和弯矩可表 示为x的函数：Q = Q(x)， M = M(x) 剪力图和弯矩图:为了形象地表示梁各个横截面上 弯矩的大小与正负，将剪力方程和弯矩方程用图 表示 。
33
分段列剪力方程：
AC段 CD段 DE段 EB段 0<x≤0.25m， Q=RA=935N=Q1 0.25m≤x≤0.5m, Q=RA － P1=935 －500 = 435N = Q2 0.5m≤x<0.8m, Q=RA－P1－P2 = 935－500－1000 = － 565N=Q3 0.8m≤x<1m, Q = RA －P1 －P2 －P3= 935 － 500 －1000 －300 = －865N=Q4
剪力图和弯矩图的作法：按选定的比例，以横截 面上的剪力或弯矩为纵坐标，以横截面位置为横 坐标，把Q=Q （x）， M=M（x） 的图线表示出来。
材料力学习题册答案-第4章 弯曲内力
第四章 梁的弯曲内力一、 判断题1． 若两梁的跨度、承受载荷及支承相同，但材料和横截面面积不同，则两梁的剪力图和弯矩图不一定相同。
（ × )2． 最大弯矩必然发生在剪力为零的横截面上。
（ × )3． 若在结构对称的梁上作用有反对称载荷，则该梁具有对称的剪力图和反对称的弯矩图。
图 4-1 二、 填空题1．图 4-2 所示为水平梁左段的受力图，则截面 C 上的剪力 SC F =F ，弯矩C M =2Fa 。
2．图 4-3 所示外伸梁 ABC ，承受一可移动载荷 F ，若 F 、l 均为已知，为减小梁的最大弯矩值，则外伸段的合理长度 a= l/3 。
图 4-2 图4-33． 梁段上作用有均布载荷时，剪力图是一条 斜直 线，而弯矩图是一条 抛物 线。
4． 当简支梁只受集中力和集中力偶作用时，则最大剪力必发生在 集中力作用处 。
三、 选择题1． 梁在集中力偶作用的截面处，它的内力图为（ C )。
A Fs 图有突变， M 图无变化 ；B Fs 图有突变，M 图有转折 ；C M 图有突变，Fs 图无变化 ；D M 图有突变， Fs 图有转折 。
2． 梁在集中力作用的截面处，它的内力图为（ B )。
A Fs 有突变， M 图光滑连续 ；B Fs 有突变， M 图有转折 ；C M 图有突变，凡图光滑连续 ；D M 图有突变， Fs 图有转折 。
3． 在图4-4 所示四种情况中，截面上弯矩 M 为正，剪力 Fs 为负的是（ B ）。
图 4-44．梁在某一段内作用有向下的分布力时，则在该段内， M 图是一条（ A ）。
A 上凸曲线； B下凸曲线；C 带有拐点的曲线；D 斜直线。
5．多跨静定梁的两种受载情况分别如图4-5 ( a ）、（ b ）所示，以下结论中（ A ）是正确的。
力F 靠近铰链。
图4-5A 两者的 Fs 图和 M 图完全相同；B 两者的 Fs 相同对图不同；C 两者的 Fs 图不同， M 图相同；D 两者的Fs图和 M 图均不相同。
梁的弯曲
Y 0 :
RA P1 Q 0 Q RA P1
M
RA P1 a M 0 M RA P1 a
0
0:
与前面三种基本变形不同的是，弯曲内力有两类： 剪力和弯矩 y 截取弯曲梁的某个横截面 在截面形心建立直角坐标系
(c)外伸梁
4.作用在梁上的荷载可分为:
F1
M
(a)集中载荷
集中力
q(x)
集中力偶
q
(b)分布载荷
任意分布载荷 均布载荷
13
4、求支座反力的平衡方程
求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系
求支座反力要利用外载荷与支座反力的平衡条件
X 0, Y 0, M 0
举例说明 y A
R Ax
y
x
z
对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。
• 中性轴
中性层与横截面的交线。
梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。
如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部 将缩短
20
弯曲正应力分布规律
• 与中性轴距离相等的点， 正应力相等； • 正应力大小与其到中 性轴距离成正比； • 弯矩为正时，正应力 以中性轴为界下拉上 压； • 弯矩为负时，正应力上拉下压； • 中性轴上，正应力等于零
2
在内部液体和自重的作用下，卧式容 器会发生弯曲变形。
起吊重物时，桥式吊车的吊车梁就会发 生弯曲变形
安装在室外的受到风载的作用的塔设备
受管道重量的作用要发生变形的管道托架
工程实际中的弯曲问题
P P P
P P P
7
梁的概念
在实际工程和生活中，常常会遇到发生弯曲 的杆件。例如，桥式吊车的大梁、受风力载 荷作用的直立塔设备等。这些杆状构件，当 受到垂直于杆轴的外力或在杆轴平面内受到 外力偶的作用时，杆的轴线将由直线变成曲 线，这种变形称为弯曲变形。工程上把以弯 曲变形为主的杆件统称为梁。
材料力学第4章第5章
200
100
q 2 kN m
200
4m
100
qL2 8
竖放
max
M max WZ
M max WZ
qL2 82 bh 6
6MPa
横放
max
qL2 8 2 12MPa hb 6
例5-3：图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝ 32kN，梁的长度L＝2m。T形截面的形心坐标yc＝ 96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。 y 求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
B
F
Fa
纯弯曲：梁受力弯曲 后，如其横截面上只有弯 矩而无剪力，这种弯曲称 为纯弯曲。
F
AC段： 剪力弯曲 CB段： 纯弯曲 pure bending
实验现象：
F F
1、变形前互相平行的纵向
m n
m
n
直线、变形后变成弧线，且 凹边纤维缩短、凸边纤维伸 长。 2、变形前垂直于纵向线的 横向线,变形后仍为直线，且 仍与弯曲了的纵向线正交， 但两条横向线间相对转动了 一个角度。
d
y
M
M
中性轴
m
n o
dA
z
y
d
o
y
dx
m
dx
n
z
y
1）几何方程
2）物理方程
3）静力平衡方程
中性轴 z 是形心轴
纯弯曲梁横截面正应力公式 1）几何方程 2）物理方程 2）静力平衡方程 对应力公式的讨论
抗弯截面系数
M
M
中性轴
MZ:横截面上的弯矩
m
n o
dA
z
100
q 2 kN m
200
4m
100
qL2 8
竖放
max
M max WZ
M max WZ
qL2 82 bh 6
6MPa
横放
max
qL2 8 2 12MPa hb 6
例5-3：图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝ 32kN，梁的长度L＝2m。T形截面的形心坐标yc＝ 96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。 y 求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
B
F
Fa
纯弯曲：梁受力弯曲 后，如其横截面上只有弯 矩而无剪力，这种弯曲称 为纯弯曲。
F
AC段： 剪力弯曲 CB段： 纯弯曲 pure bending
实验现象：
F F
1、变形前互相平行的纵向
m n
m
n
直线、变形后变成弧线，且 凹边纤维缩短、凸边纤维伸 长。 2、变形前垂直于纵向线的 横向线,变形后仍为直线，且 仍与弯曲了的纵向线正交， 但两条横向线间相对转动了 一个角度。
d
y
M
M
中性轴
m
n o
dA
z
y
d
o
y
dx
m
dx
n
z
y
1）几何方程
2）物理方程
3）静力平衡方程
中性轴 z 是形心轴
纯弯曲梁横截面正应力公式 1）几何方程 2）物理方程 2）静力平衡方程 对应力公式的讨论
抗弯截面系数
M
M
中性轴
MZ:横截面上的弯矩
m
n o
dA
z
第四章 弯曲
A By B Ay y
F=3kN C
q=2kN/m
M0 6kN m
A
D
B
1m
FAy
4m
1m
FBy
2、由微分关系判断各段的Q、M形状。
CA AD DB
载荷
q0
qC 0
q0
Q 图
M 图
斜直线
FAy 7.2kN FBy 3.8kN
斜直线
F=3kN
q=2kN/m
M0 6kN m
外伸梁 Beam with an overhang (overhangs)
三、剪力和弯矩
求弯曲内力（剪力和弯矩）的基
本方法——截面法
设有一简支梁AB，受集中力F 作用。现分 析距A端为x 处的横截面m-m上的内力。
解：1、根据平衡条件求支座反力
a m A x
m
F
b B
FAy
Fb Fa , FBy L L
控制截面的概念：外力规律发生变化的截面— 集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终 点处的横截面。
M0 8kN m
P=2kN q=2kN/m
A
F
E
1m 1m 2m
B
D
1m
FBy
1m
FAy
◆因此，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程， 各段的分界点为各段梁的控制截面。
剪力图和弯矩图——用图示方法形象地表示 剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。
F=qa C a
q
A
FAy
3 qa 2
xE
3 a 2
B x
FBy
2a
(+) E
Q 图
1 2 qa 8
F=3kN C
q=2kN/m
M0 6kN m
A
D
B
1m
FAy
4m
1m
FBy
2、由微分关系判断各段的Q、M形状。
CA AD DB
载荷
q0
qC 0
q0
Q 图
M 图
斜直线
FAy 7.2kN FBy 3.8kN
斜直线
F=3kN
q=2kN/m
M0 6kN m
外伸梁 Beam with an overhang (overhangs)
三、剪力和弯矩
求弯曲内力（剪力和弯矩）的基
本方法——截面法
设有一简支梁AB，受集中力F 作用。现分 析距A端为x 处的横截面m-m上的内力。
解：1、根据平衡条件求支座反力
a m A x
m
F
b B
FAy
Fb Fa , FBy L L
控制截面的概念：外力规律发生变化的截面— 集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终 点处的横截面。
M0 8kN m
P=2kN q=2kN/m
A
F
E
1m 1m 2m
B
D
1m
FBy
1m
FAy
◆因此，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程， 各段的分界点为各段梁的控制截面。
剪力图和弯矩图——用图示方法形象地表示 剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。
F=qa C a
q
A
FAy
3 qa 2
xE
3 a 2
B x
FBy
2a
(+) E
Q 图
1 2 qa 8
第四章 弯曲应力(II)-72学时-copy
梁发生平面弯
曲时，具有相
同曲率半径的
纵向纤维构成 一个纤维层。 同一纤维层内 各纤维的变形 性质相同。
中性层： 在平面弯曲变形中，纤维 长度不发生变化的一层纤 维称为中性层。
中性轴： 中性层与横截面的交线， 称为中性轴。
横截面上直角坐标系的建立： 取横截面上与中性轴垂直的轴为y轴，方 向以向下为正,以使伸长纤维处的y坐标为
* FS S Z IZb
•上述假设适用于任何具有对称轴的其它 薄壁截面梁。
y max
FS 2 A
4. 工字形截面梁横截面剪应力的计算 假设： •τ与横截面的侧边平行 •τ沿横截面的宽度均匀分布 腹板处的剪应力 翼缘处的剪应力
讨论：
•τ分布。
•翼缘处两个方向最大剪应力,沿翼缘向远 大于垂直翼缘向，但相对于腹板处的剪 应力属次要地位。
•τ沿梁高是二次分布的，且中性轴处取
得最大值。 y max
3 FS 2 A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
翘曲现象： 变形后，构件的横截面由平面
变为曲面，成为翘曲。
2. 圆形截面梁横截面剪应力的计算
假设： 横截面上任意与中性轴平行的 线上各点τ的方向相交于y轴上 的一点K且各点剪应力沿y方向 的分量相等。
* FS S Z IZb
τ的存在：
使梁的横截面产生翘曲，平面假设不再成立。 使梁的纵向纤维间存在由剪切而引起的相互 作用力。 横向荷载会引起附近纤维间的相互挤压， 单向应力假定不再成立，单向胡克定律 不再适用。
结果：无法在《材料力学》范围内，
得到σ的计算公式。 弹性力学的理论可以证明： 对于浅梁（跨长:梁高≥5），使用纯弯 曲的应力计算公式计算横力弯曲梁横截 面的正应力，结果精度满足工程要求。
材料力学(给排水)第四章-弯曲应力
弯曲应力的计算方法
1 梁弯曲公式
常用于计算直梁受弯时的应力分布和最大应 力值。
2 等强度法
常用于计算不同形状截面的梁受弯时的应力 分布。
弯曲应力的分布特点
1 最大应力出现在最远离中性轴的位置
2 中性轴附近应力应变
2 下表面拉应变
3 中性面应变为0
弯曲应力的应力-应变关系
1 胡克定律
当弯曲应力小于材料的弹性极限时，应力与 应变成正比关系。
2 弹性模量
描述了材料在受力时的变形程度。
材料力学中常见的弯曲应力计算问题
1 悬臂梁的最大弯曲应力计算
2 叠木梁的弯曲应力分布计算
3 榀形梁的弯曲应力计算
弯曲应力的工程应用及实例
1 建筑结构设计
弯曲应力的分析和计算对 于设计坚固和稳定的建筑 结构至关重要。
2 桥梁工程
弯曲应力的研究可以帮助 工程师设计和评估桥梁的 结构和安全性。
3 车辆设计
在汽车和飞机等交通工具 的设计过程中，弯曲应力 是一个重要的考虑因素。
材料力学(给排水)第四章 -弯曲应力
在材料力学中，弯曲应力是一个重要的概念，它涉及到物体在受力时的弯曲 情况。本章将介绍弯曲应力的定义、计算方法、分布特点、应变状态、应力应变关系以及其工程应用及实例。
弯曲应力的定义
1 弯曲应力
当一个物体受到外力作用而发生弯曲时，物体内部会出现垂直于弯曲面的应力，这种应 力即为弯曲应力。
材料力学 第四章弯曲内力
M=±∑M(Fi)左或右 ±
例1: 已知 q=2 kN / m,求 1-1,2-2,3-3 : , , , 截面上的内力. 截面上的内力.
y
1
q
2 2m 2 3 1m 31m
MA FA
1
x
1-1 截面:FS = 2×2 = 4 kN,M = -2 ×2 ×3 = - 12 kN.m 截面: × , 2-2 截面:FS = 2×2 = 4 kN, M = -2 ×2 ×1 = - 4 kN.m 截面: × , 3-3 截面:FS = 2×1 = 2 kN, M = -2 ×1 ×0.5 = - 1 kN.m 截面: × ,
FS
ql / 2
M
ql 2 / 8
q
A FA FS
x l
B FB
ql / 2
ql / 2
M
ql 2 / 8
可见: 发生在梁两端截面上. 可见 剪力图为斜直线 , FS max = q l / 2 , 发生在梁两端截面上. 弯矩图为二次抛物线, 的截面上. 弯矩图为二次抛物线,M max = ql 2 / 8,发生在 S =0的截面上. ,发生在F 的截面上
a A
x
F1
m m
F2
b B
FS = FA- F1
= ∑Fi左 左
FA y A FA
FB F1
m
C
M = FA x - F1 (x-a) )
M
x
m FS x
= ∑M(Fi)左 (
FS=-FB+F2 =∑Fi右 - 右
B
M
m
C
F2 FB
FS m
M=FB(l-x)-F2(l-x-b) - =∑M(Fi)右
第四章弯曲挠度3-Lu
C
q
B
（ d）
C
wc1 (q)
c1 (q)
2 AB变形，BC不变形（刚化）。
ml c 2 (q ) B (q ) 3EI 2 1 3 qa 2 a qa 2 3 EI 3 EI 4 qa wc 2 (q) B (q) a 3 EI
A
qa2/2
B
（e）
AD : Fb( l 2 b 2 ) Fbx2 1 w1 6 EI 2 EIl
Fb( l 2 b 2 ) Fb 3 w1 x x 6 EIl 6 EIl
y
l
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DB :
Fb( l 2 b 2 ) Fb 2 F 2 w x ( x a ) 2 2 6 EIl 2 EIl 2 EI
M x w EI z
—— 挠曲线近似微分方程
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§4-9 用积分法计算梁的挠度与转角
对于等截面梁，EI = 常数。
E I w "= - M (x)
EIw EI M ( x )dx C
EIw [ M ( x)dx ]dx Cx D
θ p
A
y
C w C p θ
B x
1、挠度: 梁的截面形心在垂直于轴线方向的线位 移w。 w= w(x)——挠曲线方程(挠度方程)。向下为正.
2、转角：梁的截面绕中性轴转过的角度θ。
小变形时，θ≈tanθ=dw (x)/dx=w'(x)——转角方
程。顺时针为正。
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§4-8 梁的挠曲线近似微分方程
B
x
材料力学 第四章 弯曲内力
M 2 10kN.m
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
《材料力学》第四章 弯曲内力.ppt
列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。 解：（1）求支反力。
FRA 14.5kN, FRB 3.5kN,
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 分CA，AD，DB三段。
CA段
FS x qx 3x 0 x 2m
M x 1 qx2 3 x2 0 x 2m
§4.1 弯曲的概念和实例
杆的轴线将由原来的直线弯成 曲线，这种变形称为弯曲。受 力后以弯曲变形为主的杆件通 常称为梁。
受力特点：外力作用线垂直于杆 的轴线，或在通过杆轴的平面内 受到外力偶作用。 变形特点：直杆的横截面绕横向 轴转动，轴线将由原来的直线弯 成曲线。
全梁有对称面，并且 所有外力都作用在对称面 内的情形。在这种情形下 梁的轴线弯成位于对称平 面内的一条平面曲线，这 种弯曲属于平面弯曲。
FS
n n1 dx
FS+dFS
上述微分关系在绘制FS、M图中的应用结论。
1.梁上某段无载荷时，则该段FS图为水平线， M图为斜直线。
2.某段为均布载荷时，则FS图为斜直线，M图为抛物线。
dFS
剪力图
dx
d 2M dx2
弯矩图
分布载荷q<0时 0 递减(＼) 0 上凸 (╭╮)
分布载荷q>0时 0 递增(／)
0 下凸 (╰╯)
3.在集中力P作用处，剪力图为突变(突变值等于集中力P)， 弯矩图为折角。
4.在集中力偶m作用处，弯矩图有突变(突变值等于力偶矩m)， 剪力图没影响。
5.某截面FS=0，则在该截面弯矩图取极值。
二、用载荷集度、剪力和弯矩间的关系画剪力图与弯矩图
例4.6 外伸梁及其所受载荷如图a示，作梁的剪力图和弯矩图。
FRA 14.5kN, FRB 3.5kN,
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 分CA，AD，DB三段。
CA段
FS x qx 3x 0 x 2m
M x 1 qx2 3 x2 0 x 2m
§4.1 弯曲的概念和实例
杆的轴线将由原来的直线弯成 曲线，这种变形称为弯曲。受 力后以弯曲变形为主的杆件通 常称为梁。
受力特点：外力作用线垂直于杆 的轴线，或在通过杆轴的平面内 受到外力偶作用。 变形特点：直杆的横截面绕横向 轴转动，轴线将由原来的直线弯 成曲线。
全梁有对称面，并且 所有外力都作用在对称面 内的情形。在这种情形下 梁的轴线弯成位于对称平 面内的一条平面曲线，这 种弯曲属于平面弯曲。
FS
n n1 dx
FS+dFS
上述微分关系在绘制FS、M图中的应用结论。
1.梁上某段无载荷时，则该段FS图为水平线， M图为斜直线。
2.某段为均布载荷时，则FS图为斜直线，M图为抛物线。
dFS
剪力图
dx
d 2M dx2
弯矩图
分布载荷q<0时 0 递减(＼) 0 上凸 (╭╮)
分布载荷q>0时 0 递增(／)
0 下凸 (╰╯)
3.在集中力P作用处，剪力图为突变(突变值等于集中力P)， 弯矩图为折角。
4.在集中力偶m作用处，弯矩图有突变(突变值等于力偶矩m)， 剪力图没影响。
5.某截面FS=0，则在该截面弯矩图取极值。
二、用载荷集度、剪力和弯矩间的关系画剪力图与弯矩图
例4.6 外伸梁及其所受载荷如图a示，作梁的剪力图和弯矩图。
第四章 弯曲应力
③静力学关系 设中性轴为z
FN dA 0
M y z dA 0
A
A
M
y
z
dA
M z y dA M
A
FN dA 0 E dA 0
A
y
E
A
z
ydA 0
A
ydA S
FS ( x ) ql qx 2
(0 x l )
FS ql / 2
ql / 2
M
ql x M ( x) x qx 2 2
q l ql 2 x 2 2 8
2
ql 2 / 8
(0 x l )
3.剪力、弯矩和载荷集度间的关系 ●剪力和弯矩与载荷集度间的微分关系
●剪力和弯矩与载荷集度间的微分关系
FS x q x dx FS x dFS x 0
dFS x q x dx
1 M x dM x qx dx 2 M x FS x dx 0 2
dM x FS x dx
FAy 3kN
2、作内力图 1）轴力图
DC杆 : FN 2 1kN AD杆 : FN 3 3kN
D E 5kN C 1kN
D
8kN 1m 2m C E 3m
4m
BC杆 : FN 1 5kN
q=1kN/m
B
1kN
A
FAx
FB
FAy FAx=-3kN FAy=3kN FB=5kN
弯矩图斜率为常量cont，M （x）为斜直线。
②梁上作用均布荷载：q（x）=cont
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在集中力作用截面处， 应分左、右截面计算剪力； 在集中力偶作用截面处 也应分左、右截面计算弯矩。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算 三、剪力方程和弯矩方程
在一般情况下，则各横截面上的剪力和弯矩都可 以表示为坐标x的函数 梁的剪力方程
FQ=FQ (x) M=M(x)
梁的弯矩方程
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
例题3 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图
解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ ( x) F
(0 ≤ x ≤ l )
M ( x) Fx
(0≤x ≤ l)
2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：
FQ M
max max
F Fl
第4章 梁的弯曲
: M ( x) dM ( x ) M ( x ) dx FQ ( x ) dx q ( x ) dx 0 2
M
O
( Fi ) 0
dM ( x ) FQ ( x ) dx
d M ( x) q( x) 2 dx
剪力图上某点的斜率等于梁上相应位置处的荷载集度；
3 M E 15kN 3m 5kN / m 3m m 2 22.5kN · m
第4章 梁的弯曲
例题8 一外伸梁如图示。试用荷载集度、剪力和弯矩间 的微分关系作此梁的FQ、M图。
解：1.求约束力
FAy 5kN, FBy 13kN
2.画内力图 (1)剪力图。 FQ图为一水平直线 ACB段：
d 2 M ( x) (2)当q(x)朝下时， 2 q( x) 0 M图为上凹下凸。 dx 2 d M ( x) 当q(x)朝上时， dx2 q( x) 0 M图为上凸下凹。
第4章 梁的弯曲
(3) 在集中力作用处，M图发生转折。如果集中力向下， 则M图向下转折；反之，则向上转折。 (4) 在集中力偶作用处，M图产生突变，顺时针方向的集 中力偶使突变方向由上而下；反之，由下向上。突变的数 值等于该集中力偶矩的大小。 3. 弯矩图与剪力图的关系 (1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二次抛物线。
5.求截面4-4的内力
Fy 0 : FQ 4 FBy 0， 得FQ 4 FBy F 4
1 M 4 0 : M 4 FBy 2l 0， 得M 4 2 FByl Fl 2
比较截面1-1和2-2的内力发现说在集中力的两侧 截面剪力发生了突变，突变值等该集中力的值。
FQ
F
yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
（2）横截面上的弯矩M，在数值上等于截面一 侧（左侧或右侧）梁上所有外力对该截面形心 的力矩的代数和。即：
3.求截面2-2的内力
5 1 Fy 0 : FAy F FQ 2 0， 得FQ 2 FAy F F F F 4 4 M 2 0 : 2 Fl M 2 0， 得M 2 2 Fl
第4章 梁的弯曲
4.求截面3-3的内力
F Fy 0 : FQ 3 FBy 0， 得FQ 3 FBy 4 F 3 M 3 0 : M 3 M e 2 FByl 0， 得M 3 Fl 2 l Fl 受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力由对称关系，可得：
1 FAy FBy ql 2
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
2.列剪力方程和弯矩方程
1 FQ ( x) FAy qx ql qx 2
解：1.求约束反力
FAy
Fb Fa , FBy l l
2.列剪力方程和弯矩方程 AC段：
FQ ( x) FAy
Fb M ( x) FAy x x (0≤x≤a) l
Fb l
（0<x<a）
CB段：
FQ ( x) FAy Fb Fa F F l l
(a<x<l) (0≤x≤l)
第4章 梁的弯曲 第三节弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系
一、 分布荷载集度与剪力、弯矩 (q与FQ、M) 之间的微分关系 微段的平衡，得
F
y
0:
FQ ( x) q( x)dx
FQ ( x) dFQ ( x) 0
dFQ ( x) dx q ( x)
第4章 梁的弯曲
弯矩图上某点的斜率等于相应截面上的剪力。 二阶导数的正负可用来判定曲线的凹凸向， 若q(x)<0,弯矩图为下凸曲线， 若q(x)>0,弯矩为上凸曲线， 弯矩图的凹凸方向与q(x)指向一致， 二、常见梁剪力图、弯矩图与荷载三者间关系 1.剪力图与荷载的关系 (1)在均布荷载作用的区段，当x坐标自左向右取时， 若q(x)方向向下，则FQ图为下斜直线； 若q(x)方向向上，FQ图为上斜直线。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
上节课内容回顾
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
比较截面3-3和4-4的内力在集中力偶两侧横截面 上剪力相同，而弯矩突变值就等于集中力偶矩。 梁的内力计算的两个规律： （1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截 面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方 向投影的代数和。即：
例题1 外伸梁受荷载作用，图中截面1-l和2-2都无限接近 于截面A，截面3-3和4-4也都无限接近于截面D。求图示各 截面的剪力和弯矩。
第4章 梁的弯曲
解：1.根据平衡条件求约束反力
5 1 FAy F，FBy F 4 4 2.求截面1-1的内力
Fy 0 : F FQ1 , 得FQ1 F M 1 0 : 2 Fl M 1 0， 得M 1 2 Fl
FAy 15kN, FBy 15kN
2. 画FQ图 各控制点处的FQ值如下：
第4章 梁的弯曲 FQA右=FQC =15kN FQC =FQD=15 kN －10kN=5kN FQD=5kN F QB左=－15kN
左 右
3. 画M图 MA = 0, MC =15kN×2m=30 kN.m MD = 15kN×4m－10kN×2m=40kN.m MD右= 15kN×4m－5kN×4m×2m=20 kN.m MB=0
四、剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位臵为横坐标，以垂直于
梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表
示FQ (x)和M(x)的图线。这种图线分别称为剪力
图和弯矩图，简称FQ图和M图。绘图时一般规定
正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪力画在x轴 的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯矩画在x轴上 侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。
当FQ图为平行于x轴的直线时，M图为斜直线。
第4章 梁的弯曲
(3) 剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩 具有极值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有 不同正、负号的截面，弯矩也具有极值。 例题7 简支梁如图所示， 试用荷载集度、剪力和弯 矩间的微分关系作此梁的 剪力图和弯矩图。
解： 1. 求约束反力
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
解：1.根据平衡条件求出约束力反力
FAy 2kN
FBy 4kN
2.求指定截面上的剪力和弯矩
截面C：根据截面左侧梁上的外力得：
FQC Fy FAy 2kN M c M O FAy 2m M e 2kN 2m 8kN m 4kN m
FQA右=FQC=FQB左=－5kN BD段：FQ图为右下斜直线。
第4章 梁的弯曲
作梁的剪力图 FQB右=4kN/m×2m=8kN，FQD=0 (2) 弯矩图 AC段：FQ<0，故M图为一右上斜直线 MA=0，MC左=－5kN×2m=－10kN.m CB段： FQ<0,故M图为一右上斜直线， 在C处弯矩有突变。
Fa M ( x) FAy x F ( x a) (l x) l
3.作剪力图和弯矩图
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
练习 简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图 和弯矩图。
解：1.求约束反力
FAy
Me Me , FBy l l
2.列剪应力方程和弯矩方程 3.绘出剪力图和弯矩图
截面B左、B右：取右侧梁计算，得：
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
FQB 左 F FBy 2kN 4kN 2kN M B左 F 2m 2kN 2m 4kN m FQB 右 F 2kN M B右 F 2m 2kN 2m 4kN m
MC右=－5kN×2m+12kN.m MB=－4kN/m×2m×1m=－8kN.m BD段：段内有向下均布荷载，M图为下凸 抛物线， MB=－8KN.m，ME=－4×1×0.5=－2KN.m, MD=0
第4章 梁的弯曲
第六节
用叠加法作梁的弯矩图
叠加法是先求出单个荷载作用下的内力（剪力和弯矩）， 然后将对应位臵的内力相加，即得到几个荷载共同作用下 的内力的方法。 例题9 简支梁所受荷载如图，试用叠加法作M图。
两个内力分量：内力FQ与截面相切，
称为剪力，内力偶矩M称为弯矩。
第4章 梁的弯曲 二、剪力和弯矩的正负号规定
即微段有左端向上而右端向下的相对错动时， 横截面上的剪力FQ为正号，反之为负号。 当微段的弯曲为向下凸即该微段的下侧受 拉时，横截面上的弯矩为正号，反之为负号。
第4章 梁的弯曲
三、计算指定截面上的剪力和弯矩
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算 三、剪力方程和弯矩方程
在一般情况下，则各横截面上的剪力和弯矩都可 以表示为坐标x的函数 梁的剪力方程
FQ=FQ (x) M=M(x)
梁的弯矩方程
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
例题3 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图
解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ ( x) F
(0 ≤ x ≤ l )
M ( x) Fx
(0≤x ≤ l)
2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：
FQ M
max max
F Fl
第4章 梁的弯曲
: M ( x) dM ( x ) M ( x ) dx FQ ( x ) dx q ( x ) dx 0 2
M
O
( Fi ) 0
dM ( x ) FQ ( x ) dx
d M ( x) q( x) 2 dx
剪力图上某点的斜率等于梁上相应位置处的荷载集度；
3 M E 15kN 3m 5kN / m 3m m 2 22.5kN · m
第4章 梁的弯曲
例题8 一外伸梁如图示。试用荷载集度、剪力和弯矩间 的微分关系作此梁的FQ、M图。
解：1.求约束力
FAy 5kN, FBy 13kN
2.画内力图 (1)剪力图。 FQ图为一水平直线 ACB段：
d 2 M ( x) (2)当q(x)朝下时， 2 q( x) 0 M图为上凹下凸。 dx 2 d M ( x) 当q(x)朝上时， dx2 q( x) 0 M图为上凸下凹。
第4章 梁的弯曲
(3) 在集中力作用处，M图发生转折。如果集中力向下， 则M图向下转折；反之，则向上转折。 (4) 在集中力偶作用处，M图产生突变，顺时针方向的集 中力偶使突变方向由上而下；反之，由下向上。突变的数 值等于该集中力偶矩的大小。 3. 弯矩图与剪力图的关系 (1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二次抛物线。
5.求截面4-4的内力
Fy 0 : FQ 4 FBy 0， 得FQ 4 FBy F 4
1 M 4 0 : M 4 FBy 2l 0， 得M 4 2 FByl Fl 2
比较截面1-1和2-2的内力发现说在集中力的两侧 截面剪力发生了突变，突变值等该集中力的值。
FQ
F
yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
（2）横截面上的弯矩M，在数值上等于截面一 侧（左侧或右侧）梁上所有外力对该截面形心 的力矩的代数和。即：
3.求截面2-2的内力
5 1 Fy 0 : FAy F FQ 2 0， 得FQ 2 FAy F F F F 4 4 M 2 0 : 2 Fl M 2 0， 得M 2 2 Fl
第4章 梁的弯曲
4.求截面3-3的内力
F Fy 0 : FQ 3 FBy 0， 得FQ 3 FBy 4 F 3 M 3 0 : M 3 M e 2 FByl 0， 得M 3 Fl 2 l Fl 受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力由对称关系，可得：
1 FAy FBy ql 2
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
2.列剪力方程和弯矩方程
1 FQ ( x) FAy qx ql qx 2
解：1.求约束反力
FAy
Fb Fa , FBy l l
2.列剪力方程和弯矩方程 AC段：
FQ ( x) FAy
Fb M ( x) FAy x x (0≤x≤a) l
Fb l
（0<x<a）
CB段：
FQ ( x) FAy Fb Fa F F l l
(a<x<l) (0≤x≤l)
第4章 梁的弯曲 第三节弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系
一、 分布荷载集度与剪力、弯矩 (q与FQ、M) 之间的微分关系 微段的平衡，得
F
y
0:
FQ ( x) q( x)dx
FQ ( x) dFQ ( x) 0
dFQ ( x) dx q ( x)
第4章 梁的弯曲
弯矩图上某点的斜率等于相应截面上的剪力。 二阶导数的正负可用来判定曲线的凹凸向， 若q(x)<0,弯矩图为下凸曲线， 若q(x)>0,弯矩为上凸曲线， 弯矩图的凹凸方向与q(x)指向一致， 二、常见梁剪力图、弯矩图与荷载三者间关系 1.剪力图与荷载的关系 (1)在均布荷载作用的区段，当x坐标自左向右取时， 若q(x)方向向下，则FQ图为下斜直线； 若q(x)方向向上，FQ图为上斜直线。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
上节课内容回顾
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
比较截面3-3和4-4的内力在集中力偶两侧横截面 上剪力相同，而弯矩突变值就等于集中力偶矩。 梁的内力计算的两个规律： （1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截 面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方 向投影的代数和。即：
例题1 外伸梁受荷载作用，图中截面1-l和2-2都无限接近 于截面A，截面3-3和4-4也都无限接近于截面D。求图示各 截面的剪力和弯矩。
第4章 梁的弯曲
解：1.根据平衡条件求约束反力
5 1 FAy F，FBy F 4 4 2.求截面1-1的内力
Fy 0 : F FQ1 , 得FQ1 F M 1 0 : 2 Fl M 1 0， 得M 1 2 Fl
FAy 15kN, FBy 15kN
2. 画FQ图 各控制点处的FQ值如下：
第4章 梁的弯曲 FQA右=FQC =15kN FQC =FQD=15 kN －10kN=5kN FQD=5kN F QB左=－15kN
左 右
3. 画M图 MA = 0, MC =15kN×2m=30 kN.m MD = 15kN×4m－10kN×2m=40kN.m MD右= 15kN×4m－5kN×4m×2m=20 kN.m MB=0
四、剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位臵为横坐标，以垂直于
梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表
示FQ (x)和M(x)的图线。这种图线分别称为剪力
图和弯矩图，简称FQ图和M图。绘图时一般规定
正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪力画在x轴 的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯矩画在x轴上 侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。
当FQ图为平行于x轴的直线时，M图为斜直线。
第4章 梁的弯曲
(3) 剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩 具有极值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有 不同正、负号的截面，弯矩也具有极值。 例题7 简支梁如图所示， 试用荷载集度、剪力和弯 矩间的微分关系作此梁的 剪力图和弯矩图。
解： 1. 求约束反力
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
解：1.根据平衡条件求出约束力反力
FAy 2kN
FBy 4kN
2.求指定截面上的剪力和弯矩
截面C：根据截面左侧梁上的外力得：
FQC Fy FAy 2kN M c M O FAy 2m M e 2kN 2m 8kN m 4kN m
FQA右=FQC=FQB左=－5kN BD段：FQ图为右下斜直线。
第4章 梁的弯曲
作梁的剪力图 FQB右=4kN/m×2m=8kN，FQD=0 (2) 弯矩图 AC段：FQ<0，故M图为一右上斜直线 MA=0，MC左=－5kN×2m=－10kN.m CB段： FQ<0,故M图为一右上斜直线， 在C处弯矩有突变。
Fa M ( x) FAy x F ( x a) (l x) l
3.作剪力图和弯矩图
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
练习 简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图 和弯矩图。
解：1.求约束反力
FAy
Me Me , FBy l l
2.列剪应力方程和弯矩方程 3.绘出剪力图和弯矩图
截面B左、B右：取右侧梁计算，得：
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
FQB 左 F FBy 2kN 4kN 2kN M B左 F 2m 2kN 2m 4kN m FQB 右 F 2kN M B右 F 2m 2kN 2m 4kN m
MC右=－5kN×2m+12kN.m MB=－4kN/m×2m×1m=－8kN.m BD段：段内有向下均布荷载，M图为下凸 抛物线， MB=－8KN.m，ME=－4×1×0.5=－2KN.m, MD=0
第4章 梁的弯曲
第六节
用叠加法作梁的弯矩图
叠加法是先求出单个荷载作用下的内力（剪力和弯矩）， 然后将对应位臵的内力相加，即得到几个荷载共同作用下 的内力的方法。 例题9 简支梁所受荷载如图，试用叠加法作M图。
两个内力分量：内力FQ与截面相切，
称为剪力，内力偶矩M称为弯矩。
第4章 梁的弯曲 二、剪力和弯矩的正负号规定
即微段有左端向上而右端向下的相对错动时， 横截面上的剪力FQ为正号，反之为负号。 当微段的弯曲为向下凸即该微段的下侧受 拉时，横截面上的弯矩为正号，反之为负号。
第4章 梁的弯曲
三、计算指定截面上的剪力和弯矩