一元二次方程
一元2次方程实数根的判定
一元2次方程实数根的判定一元二次方程是一种形式为ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c 为常数，x为未知数。
它的一般解可以通过求根公式得到，即x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
在求解一元二次方程时，我们根据方程的根的性质可以进行一系列判定。
一元二次方程的实数根的判定包括以下几个方面：1.判别式一元二次方程的判别式是b^2-4ac。
通过判别式的正负可以判断方程有无实数根，且可以确定方程的根的种类，即：（1）当判别式大于零，即b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当判别式等于零，即b^2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当判别式小于零，即b^2-4ac<0时，方程没有实数根。
此时方程的解为复数。
2.方程的系数与根的关系一元二次方程的系数与根的关系可以通过韦达定理得到。
根据韦达定理可知：一元二次方程的两个根之和等于-b/a，两个根的乘积等于c/a。
通过系数与根的关系可以判断方程的根的情况，包括：（1）当系数b和c的符号相同时，两个根的符号相反，即一正一负；（2）当系数b和c的符号不同时，无法确定根的符号。
3.方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0。
在方程的一般形式中，a、b、c分别代表方程的系数，通过比较方程的系数可以得到一些结论：（1）当a=0时，方程的形式为bx+c=0，此时方程化为一次方程，有一个实数根；（2）当a≠0且b=0时，方程的形式为ax^2+c=0，此时方程可以化简为一元一次方程，有一个实数根；（3）当a≠0且b≠0时，方程为一元二次方程，根据判别式的正负可以得到方程的实数根的情况。
4.解的范围对于有实数根的一元二次方程，解的范围是实数集。
实数集是包括有理数和无理数的集合。
一元二次方程的解既可以是有理数，也可以是无理数。
总结起来，一元二次方程实数根的判定可以通过以下几个方面进行判断：判别式的正负、方程的系数与根的关系、方程的一般形式以及解的范围。
一元二次方程公式
一元二次方程公式
一元二次方程的公式是：x=−b±b2−4ac2a(b2−4ac≥0)。
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax+bx+c=0（a≠0）。
其中ax叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
一元二次方程的求解方法
1、公式法
在一元二次方程y=ax²+bx+c（a、b、c是常数）中，当△＝b²-4ac＞0时，方程有两个解，根据求根公式x=（－b±√（b²-4ac））／2a即刻求出结果；△＝b²-4ac=0时，方程只有一个解x=-b/2a；△＝b²-4ac＜0时，方程无解。
2、配方法
将一元二次方程化成顶点式的表达式y=a（x-h）²+k（a≠0），再移项化简为（x-h）²=-k/a，开方后可得方程的解。
3、因式分解法
通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，即交点式的表达式y=a（x-x1）（x-x2），再分别令这两个因式等于0，它们的解就是原方程的解。
方程计算公式
方程的公式是什么？
1、一元一次方程：ax+b=0(a，b为常数，且a≠0）
2、二元一次方程：x=(-b±√(b²-4ac))/2a。
3、一元二次方程：ax+bx+c=0（a≠0）。
其中ax叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
4、三元一次方程：ax+by+cz=d。
5、直线方程：
(1)一般式：Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0) 适用于所有直线
直线l1：A1x+B1y+C1=0
直线l2：A2x+B2y+C2=0
两直线平行时：A1/A2=B1/B2≠C1/C2
两直线垂直时：A1A2+B1B2=0
两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2
两直线相交时：A1/A2≠B1/B2
(2)点斜式：知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在，则直线可表示为y-y0=k(x-x0)。
当k不存在时，直线可表示为x=x0
(3)截距式：若直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),则直线可表示为：x/a+y/ b=1。
所以不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线。
一元二次方程的delta
一元二次方程的delta
一元二次方程的Δ（delta）代表判别式，用来判断方程的根的性质。
一元二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
判别式Δ的计算公式为Δ = b² - 4ac。
根据Δ的值，可以得出以下结论：
1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
这意味着方程在坐标系中与x轴有两个交点，图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。
这意味着方程在坐标系中与x轴有一个交点，图像是一个与x轴相切的抛物线。
3. 当Δ < 0时，方程没有实根，而是有两个共轭复根。
这意味着方程在坐标系中与x轴没有交点，图像位于x轴上方或下方，不与其相交。
通过计算Δ，我们可以确定方程的根的性质，进而解决相关问题。
初中方程公式大全
初中方程公式大全
初中阶段学习的方程公式包括一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等。
以下是初中阶段常见的方程公式大全：
1. 一元一次方程：ax + b = c
- 解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，化简，求解得到方程的解。
2. 一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0
- 解一元二次方程的步骤：可以通过公式求根法，配方法或者因式分解法来求解一元二次方程。
3. 两角和与差的三角函数关系：sin(A±B) 、cos(A±B)、tan(A ±B)
4. 二元一次方程组：
- ax + by = c
- dx + ey = f
- 解二元一次方程组的步骤：可以通过代入法、消元法、加减法等方法进行解答。
5. 实际问题联立方程：通过实际问题进行建立方程，然后求解方程。
以上是初中阶段常见的方程公式大全。
通过学习这些方程公式，可以帮助学生理解和解决相关的数学问题，为日后的学习和生活打下扎实的数学基础。
1元2次方程求根公式
1元2次方程求根公式1元2次方程求根公式是解决一元二次方程的常用方法之一，它可以帮助我们快速地求出方程的解。
在此，我们将详细介绍1元2次方程求根公式的原理和应用。
一元二次方程是指只有一个未知数，且该未知数的最高次数为2的方程。
一般地，它的表达式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c都是实数且a≠0。
如果我们知道了a、b、c的值，那么如何求方程的解呢？根据1元2次方程求根公式，我们可以得到方程的两个解为x1=(-b+√(b²-4ac))/(2a)和x2=(-b-√(b²-4ac))/(2a)。
其中，±符号表示可以取正号或负号，√符号表示开方。
1元2次方程求根公式的原理是基于配方法和求根公式相结合的。
通过配方法，我们可以将一元二次方程转化为一个完全平方式，然后再通过求根公式来求出方程的解。
具体来说，我们可以按照以下步骤来求解一元二次方程：步骤1：将方程变形为标准形式，即ax²+bx+c=0。
步骤2：根据求根公式，计算出判别式D=b²-4ac的值。
步骤3：根据判别式的值，判断方程的解的情况。
如果D>0，则方程有两个不等实数解；如果D=0，则方程有两个相等实数解；如果D<0，则方程有两个共轭复数解。
步骤4：根据求根公式，计算出方程的解x1和x2。
需要注意的是，1元2次方程求根公式只适用于标准形式的一元二次方程。
如果方程不在标准形式下，我们需要先通过移项、因式分解等方法将其转化为标准形式，然后再使用求根公式来求解。
1元2次方程求根公式在实际应用中非常广泛。
例如，在物理学和工程学中，经常需要求解一些复杂的方程来描述物理现象和工程问题。
通过使用1元2次方程求根公式，我们可以快速地求解这些方程，从而得到准确的结果。
此外，在数学竞赛和考试中，1元2次方程求根公式也是一个非常重要的知识点，掌握它可以帮助我们更好地解决各种数学问题。
1元2次方程求根公式是解决一元二次方程的重要方法之一，它的原理简单易懂，应用广泛。
一元2次方程实数根的判定
一元2次方程实数根的判定
一元2次方程实数根的判定方法是：
当Δ=b^2-4ac≥0时,x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a
当Δ=b^2-4ac＜0时,x={-b±[(4ac-b^2)^(1/2)]i}/2a(i是虚数单位)
即Δ大于零，有两个不相等的实根；Δ等于零，有一个实根；Δ小于零，无实根。
因此一元2次方程有实数根，Δ大于或者等于零。
知识拓展
一元二次方程
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）。
其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
一元二次方程成立必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不
是一元二次方程（是无理方程）。
②只含有一个未知数；③未知数项的最高次数是2 。
、。
一元二次方程式
四、一元二次方程式就一般而言，凡是使得方程式等号成立的数称之为方程式的解；而使得多项式的值为零的数称之为多项式的根。
因此，一元二次方程式的解就是所对应的二次多项式的根。
所以，我们也称此类方程式的解为根。
我们将首先介绍常见的一元二次方程式的三种解法：因式分解法、配方法和公式解。
然后，利用判别式来探讨两根的特性，最后再讨论根与系数之间的关系。
4-1 一元二次方程式的解法【因式分解法】因为一元二次方程式20ax bx c ++=（a 、b 和c 为实数且a ≠0）的左式为二次多项式，如果我们能将这个多项式因式分解成两个一次多项式的乘积，就很容易求得方程式的解。
我们以下面的例子来说明这种解法。
【范例1】求22151x x +=-的解。
【解】 利用移项可把原方程式改写为 2252x x -+= 0。
由因式分解，可得2252x x -+= (21)(2)x x -- 因此，原方程式改写为(21)(2)x x --= 0 所以，可得210x -=或20x -= 即12x =或2x =。
【类题练习1】求231030x x ++=的解。
【配方法】我们也可以利用平方根的概念来解方程式，例如将2420x x -+=改写为2(2)2x -=的形式，进而解得2x =2420x x -+=⇒242x x -=-两边同加22 ⇒22222222x x -⋅⋅+=-+左式可写成完全平方式 ⇒ 2(2)2x -=∵右式为正，两边开平方 ⇒ 2x -=⇒ 2x =上面的例子是利用配成完全平方式的方法，先将方程式改写成 (x －h )2＝k 的形式。
当0≥k 时，我们就可以利用平方根的概念来解题： 即 2()0x h k -=≥两边同时开方 ⇒ x -h =移项 ⇒ x = h注：x = h ±表示x = h x = h我们将这个方法称为配方法，也就是配成完全平方的意思。
以下的例题继续来说明这种解法。
【范例2】求下列各方程式的解：(1) 2680x x -+= (2) 22460x x +-=【解】 (1) 2680x x -+=⇒2238x x -⋅⋅=-⇒22223383x x -⋅⋅+=-+⇒ 2(3)1x -=⇒31x -=±⇒ x -3 = 1或x -3 =-1⇒ x = 2或x = 4(2) 22460x x +-=⇒2230x x +-=⇒223x x +=⇒22221131x x +⋅⋅+=+⇒2(1)4x +=⇒12x +=±⇒12x +=或12x +=-⇒1x =或3x =-在上例中，我们当然也可用十字交乘法来做因式分解。
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正安县庙咀学校教师教案
第周第节九年级数学教师：郑传海 2016年9月日
课题21．1 一元二次方程
第2课时
课型新授总第 2 课时
教学
目标
了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．
提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．
重点判定一个数是否是方程的根难点
由实际问题列出的
一元二次方程解出根后还
要考虑这些根是否确定是
实际问题的根
教法
教具学具
教学过程
教师活动学生活动
一、复习引入
学生活动：请同学独立完成下列问题．
问题1．
列表：
老师点评（略）
二、探索新知
提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2•中一元二次方
程的解是多少？
（2）如果抛开实际问题，问题2中还有其它解吗？
老师点评：（1）问题1中的解，
问题2中，的解.（2）如果抛开实际问题，问题2中还有的解．
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
回过头来看：有两个根，一个是，另一个是，都满
足题意；但是，问题2中的x= 的根不满足题意．因此，由实际问题列
出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实
是实际问题的解．
例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两
边相等即可．
解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2
或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．
思考并
回答
思考
：
例2.若x=1是关于x的一元二次方程 a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式
2007(a+b+c)的值
练习:关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值
点拨:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种
解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解.
例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0
分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意
义．
三、巩固练习
教材思考题练习1、2．
议一议
做一做
课堂小结本节课应掌握：
（1）一元二次方程根的概念；
（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；
（3）要会用一些方法求一元二次方程的根．(“夹逼”方法; 平方根的意义)
作业
布置
同步训练课
后
反
思。