高考数学第一轮总复习知识点课件 第三节 数学归纳法

之间3的k 关4系 7，k以1 便1 利用归纳假设
能被9整除来推3k证1 7k 1
也能被9整除. 3k 4 7k1 1
证明 设 f n 3n 1 7n 1
（1）f(1)=(3×1+1)×7-1=27能被9整除，因此当n=1时命题成立. (2)假设n=k(k∈N*)时命题成立，
即 f k 3k (1k∈7kN*1)能被9整除. 则 f k 1 f k 3k 4 7k1 1 3k 1 7k 1 92k 3 7k
2
1
4
4
1
6
6
1
8
...
2k
成21k立 ;2
4
k
k 1
当n=k+1时，1
2
4
4
1
6
6
1 8
...
2k
1
2k
2
2k
1
2
2k
4
k
4k 1
4k
1
1 k
2
k k 21 4k 1k 2
4k
k 1 1k
2
k 1
4k 2
4
k 1
k 1
1
所以当n=k+1时，等式也成立. 综上可得，等式对于任意n∈N*都成立.
成3的倍数.
举一反三
4.an是等比数列,公比为q.
求证：an
a1
q
n1
对于一切n∈N*都成立.
证明： （1）当n=1时，a1 a1 q11 a1,等q0式成a1立.
（2）假设当n=k（k∈N*）时，等式成立，即ak a1 q.k1
则当n=k+1时，ak1 ak q a1 qk1q a1 qk a1 qk11
1 1
4
,
4
1 7Βιβλιοθήκη ,71 10
,...,
3n
1
2 3n
1
计算数列和 S、1 S、2 、S3 ,根S据4 计算结果，猜想Sn的表达式，
并用数学归纳法进行证明.
解析：
S1
1 1 4
1 4
S2
1 4
1 47
2 7
S3
2 7
1 7 10
3 10
31 4 S4 10 1013 13
上面四个结果中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为
典例分析
题型一 与自然数n有关的等式的证明
【例1】用数学归纳法证明：
2
1
4
4
1
6
6
1 8
...
2n
1
2n
2
4
n
n 1
分析 用数学归纳法证明问题，应严格按步骤进行，并注意过程 的完整性和规范性.
证明 （1）当n=1时，左边=12×4=18,右边=18,等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时,
k
1
2
k
1
3
...
1 2k
1 2k 1
k
1
1
1 2k
2
k
1
2
k
1
3
...
1 2k
1 2k 1
2
1 k
1
∴n=k+1时，等式成立.
综上可得，对于任意n∈N*等式都成立.
题型二 用数学归纳法证明整除问题
【例2】求证：3n 1 7（n n1∈N*）能被9整除.
分析 当n=1时，原式=27能被9整除.因此要研究3k 1 7与k 1
解析: 首先必须应用归纳假设，然后采用配凑法.
答案: k3 5k 3k k 1 6
11. 用数学归纳法证明：1+4+7+…+(3n-2)=1 n(3n-1). 解析： （1）当n=1时，左边=1，右边=1,等式2 成立.
（2）假设当n=k（k∈N*）时等式成立, 即1+4+7+…+(3k-2)=1 k(3k-1)成立；
学后反思 在用数学归纳法证明不等式时，往往需综合运用不等 式证明的其他方法，如比较法、放缩法、配方法、分析法、基 本不等式等.
举一反三
3.
1
求证：n 1
n
1
2
...
3n1(1n∈1N*).
证明： （1）当n=1时，
左边= 1 1 1 1 ,∴1 n=1 1时13 不 1等式成立.
11 1 2 1 3 2 3 4 12
3n+1,于是可以猜想Sn
n 3n 1
证明：（1）当n=1时，左边=S1
1 4
,右边=
1 ,猜想1成立. 311 4
（2）假设当n=k(k∈N*)时猜想成立，即
1 1 4
4
1
7
7
1 10
...
3k
成1立, 23k
1
k 3k
1
则当n=k+1时,
1 1 4
4
1
7
7
1 10
...
3k
2
1
3k
由归纳假设，a4是k 3的倍数，故可知 b是k13的倍数.
∴当n=k+1时命题成立………………………………………….12′
综合（1）（2）知，对任意n∈N*，数列bn各项都是3的倍
数. ……………………………………………………………14′
学后反思 在证n=k+1时，对a4k1应 用递推关系式裂项，裂 项后需产生 a4k项，这样便于应用归纳假设；除此之外就是凑
1 3 xk 1 3 x3 xk 1 3 x 1 x 2 f x 13 x x 23 x f x x 2 x 23 x f x x 2 1 3 x f x
能被x+2整除.
综上可知，对任意n∈N*,1-(3+x)n能被x+2整除.
题型三 用数学归纳法证明不等式
【例3】求证： 1 1 ...(n≥1 2,n5∈N*).
4
k
1 1
1 1 1 1 1 3k 2 3k 3 3k 4 k 1
∵
1 3k
2
1 3k
3
1 3k
4
k
1
1
33k
2
2
3k
4
k
1
0
∴左边≥1,∴n=k+1时原不等式成立.
综上可得,原不等式对于一切n∈N*都成立.
题型四 用数学归纳法证明有关数列问题
【例4】(14分)在数列{an}中，a1 a2 ,当1 n∈N*时满
足 an2 an,1且设an
. bn a4n
求证：bn各项均为3的倍数.
分析 由于要证的是与正整数n有关的命题，可用数学归纳法证
明.这里要注意 a是n由递推关系给出的.
证明 （1）∵ a1 a,2∴ 1
a,3 a1 a2 , 2 a4 a3 a2 3
∴ b1 a4……3……………………………………………..2′
n 1 n 2 3n 6
分析 和正整数有关，因此可用数学归纳法证明.
证明 （1）当n=2时，左边= 1 1 1 1 ,不5等7 式5成立. 3 4 5 6 60 6
（2）假设当n=k(k≥2,k∈N*)时不等式成立，即
1 1 ..成. 立1,则当5 n=k+1时, k 1 k 2 3k 6
学后反思 用数学归纳法证题时两个步骤缺一不可，证当 n=k+1时命题成立，必须要用当n=k时成立的结论，否则， 就不是数学归纳法证明.
举一反三
1. 用数学归纳法证明：1 1 1 1 ... 1 1 1 1 ... 1
2 3 4 2n 1 2n n 1 n 2 2n
解析： （1）当n=1时，左边= 1 1 ,1右边=
∴当n=1时，b1能被3整除………………………………………6′
（2）假设n=k(k∈N*)时命题成立，即bk=a4k是3的倍数.
则当n=k+1时,
bk1 a4k1 a4k4 a4k3 a4k2 a4k2 a4k1 a4k1 a4k a4k1 a4k 2a4k1 a4,…k ……3a…4k…1….120a′4k
即当n=k+1时等式也成立.
由(1)(2)可得，等式对一切n∈N*都成立.
易错警示
【例】已知
f
n
1
1 2
(13n∈ ..N. *)1n.用数学归纳法证明
时，f 2n n = f 2k1 . f 2k 2
错解
f
2k 1
f
2k
1 2k 1
错解分析 ∵ f n 1 1 中1共 .有..n1项相加,
2
则当n=k+1时,
1+4+7+…+(3k-2)+[3(k+1)-2] = 1 k(3k-1)+(3k+1) = 21(3k2+5k+2)=12(k+1)(3k+2) = 122(k+1)[3(k+1)-1],
即当n=k+1时等式成立.
由(1)(2)可知，原等式对任意n∈N*都成立.
12. 已知数列
k
1
1
1
k
1
1
2
...
1 3k
1 3k 1
1 3k
2
1 3k
3
k
1 1
k
1
2
...
1 3k
1 3k 1
1 3k
2
1 3k 3
k
1 1
5 6
1 3k 1
1 3k
2
1 3k
3