全国2012年1-4-7月自考线性代数(经管类)试题及答案详解
(完整版)线性代数(经管类)考试试卷及答案(一)
高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类)优化试卷（一）说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式．一、单项选择题(本大题共10小题。
每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分．1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则| 2A-l | ( )A．-4B．-1C．1D．42．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是( ) A．ACBB．ABCC．BACD．CBA3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A．A+A TB．A - A TC．A A TD．A T A4．设2阶矩阵A= ，则A*= ( )5．矩阵的逆矩阵是（）6．设矩阵A=，则A中( )A．所有2阶子式都不为零B．所有2阶子式都为零C．所有3阶子式都不为零D．存在一个3阶子式不为零7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( ) A．A的列向量组线性相关B．A的列向量组线性无关C．A的行向量组线性相关D．A的行向量组线性无关8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为( )9．矩阵的非零特征值为( )A．4B．3C．2D．l10．4元二次型的秩为( )A．4B．3C．2D．l二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分)请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分．11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。
12．设矩阵A= ，则行列式|A T A|=_______________。
13．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为__________________。
14．设矩阵A= ,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。
线性代数(经管类)参考答案
参考答案一.选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）1—5 C A B B D二. 填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）6. ___6_____.7. 2111⎛⎫⎪⎝⎭8. 13 9. ()10,25,16- 10. ()2,1,0T- 11. -2 12. 3 13. 60 14. 43,55⎛⎫⎪⎝⎭15. 2 三.计算题（本大题共 7 小题，每小题 9 分，共 63 分）16 . 解一 100100010010011001001001a a a b a b D c a b c d d ++==-++--100010001000aa ba b c d a b c a b c d+==++++++++解二 ()()111410111111101101001bD c a d++-=-⋅⋅-+-⋅---a b c d =+++ 17.解： 2AB -A =B -E2∴AB -B =A -E ()2A-E B =A -E()()12-∴B =A -E A-E()()()1-=A -E A -E A +E()=A+E315052432⎛⎫ ⎪B =- ⎪⎪-⎝⎭()12412112412118.,123012001113233012015234T T --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪A B =→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭解：12412112032110152340103211001113001113---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→----→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭ 1003211100321101032110103211001113001113--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 3211=3211113T -⎛⎫ ⎪X -- ⎪ ⎪-⎝⎭则，331=22111113-⎛⎫⎪X - ⎪ ⎪--⎝⎭故.19.解：()12345,,,,αααααT T T T TA =1114311143113210113121355000003156700000--⎛⎫⎛⎫⎪⎪----- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪-⎪⎪-⎝⎭⎝⎭∴向量组的秩=2且1α，2α是一个极大无关组(回答1α,3α；1α,4α；1α,5α也可).20.解：对增广矩阵作初等行变换()101211012110121213140113201132=123450226400000112130113200000b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪A A =→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 同解方程组为1342342132x x x x x x =---⎧⎨=-+-⎩，34x x ，是自由未知量，特解()*=1200ηT --，，， 导出组同解方程组为13423423x x x x x x =--⎧⎨=-+⎩，34x x ，是自由未知量，基础解系()1=1110ξT--，，，，()2=2301ξT-，，，，通解为*1122=k k ηηξξ++，12k k R ∈，21.解：特征方程()()2200=0212221001a a aλλλλλλλλ-E -A --=---+-=-- 将特征值=1λ代入特征方程有()()=1212210a a E-A ---+-=，则2a =. 故()()()=213=0λλλλE-A ---，特征值为123=2=1=3λλλ，，.1=2λ对应的齐次线性方程组为123000000100100x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为23=0=0x x ⎧⎨⎩，1x 是自由未知量，特征向量1100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1ξ单位化为1100p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2=1λ对应的齐次线性方程组为123100001100110x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为123=0=x x x ⎧⎨-⎩，3x 是自由未知量，特征向量2011ξ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，2ξ单位化为2011p ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，3=3λ对应的齐次线性方程组为123100001100110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为123=0=x x x ⎧⎨⎩，3x 是自由未知量，特征向量3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3ξ单位化为3011p ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 正交矩阵()123100,,00Q p p p ⎛⎫⎪⎪==⎝，213⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，使得1Q Q -A =Λ.011101110-⎛⎫ ⎪A =- ⎪ ⎪⎝⎭22.解：二次型矩阵()()211=11=21=011λλλλλλ--A -E ---+--令，123=2==1λλλ-得，.1211101=22=121011112000λ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-A +E -→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，132333x x x x x x =-⎧⎪∴=-⎨⎪=⎩ 1111ξ-⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪⎝⎭ 则1111-⎛⎫⎪P =-⎪⎪⎭ 23111111==1=111000111000λλ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪A +E --→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭当时,1232233x x x x x x x =-+⎧⎪∴=⎨⎪=⎩ 2110ξ-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭， 3112ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则2110-⎛⎫⎪P =⎪⎪⎭，3112⎛⎫⎪P =⎪⎪⎭因此=0⎛ ⎪T ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，X=TY . 化二次型为2221232f y y y =-++.四.证明题（本大题7分）23.证明：基础解系中向量个数为3.设()()()1123212331232220k k k ααααααααα++++++++=即()()()1231123212332220k k k k k k k k k ααα++++++++=123,,ααα是基础解系，故线性无关，因此123123123202020k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，系数行列式21112140112A ==≠，则齐次线性方程组只有零解， 故1230k k k ===.因此1232ααα++，1232ααα++，1232ααα++线性无关. 又()()()1231231231231231232=2=02=2=02=2=0ααααααααααααααααααA ++A +A +A A ++A +A +A A ++A +A +A 则1232ααα++，1232ααα++，1232ααα++也是该方程组的基础解系.说明：1.试卷题目均要求为自学考试真题；2.命题参照自学考试试卷的题型、题量；3.根据课程性质不同，可以更换或调整题型；4.试卷格式统一为：宋体 五号 单倍行距；选择题选项尽量排在一行；其他题型留出适当的答题区域。
2012年全国自考线性代数试卷有答案
线性代数（经管类）试题一、单项选择题 1．设行列式1122a b a b =1，1122a c a c --=-1，则行列式111222a b c a b c --= B.02.设A 是n 阶矩阵，O 是n 阶零矩阵，且A 2-E =O ，则必有 C.A =A -13.A =001010a b c⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭为反对称矩阵，则必有 B.a =c =—1,b =04.设向量组1α=（2，0，0）T ，2α=（0，0，—1）T ，则下列向量中可以由1α，2α线性表示的D.（—1，0，—1）T5.已知4×3矩阵A 的列向量组线性无关，则r(A T )= C.36.设1α，2α是非齐次线性方程组Ax =b 的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是 D.121α+122α7.齐次线性方程组134234020x x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩的基础解系所含解向量的个数为 B.28.若矩阵A 与对角矩阵D =111-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则A 2= A.E9.设3阶矩阵A 的一个特征值为-3，则-A 2必有一个特征值为 A.-9 10.二次型f (x 1,x 2,x 3)=222123121323222x x x x x x x x x +++++的规范形为 C.21z二、填空题11.行列式123111321的值为____0_____.12.设矩阵A =4321⎛⎫⎪⎝⎭，P =0110⎛⎫⎪⎝⎭，则PAP 2_________.13.设向量α=（1，2，1）T ，β=（-1，-2，-3）T ，则3α-2β_________.14.若A 为3阶矩阵，且|A |=19，则|（3A ）-1|_________.15.设B 是3阶矩阵，O 是3阶零矩阵， r(B )=1,则分块矩阵EO BB ⎛⎫⎪-⎝⎭的秩为____4_____.16.向量组1α=（k,-2,2）T ,2α=(4,8,-8)T线性相关，则数k =___-1______.17.若线性方程组123233x +2x +3x =1-2x +x =-2(λ+1)x =-λ⎧⎪⎨⎪⎩无解，则数λ=_____-1____.18.已知A 为3阶矩阵，12,ξξ为齐次线性方程组Ax =0的基础解系，则|A |=______0___.19.设A 为3阶实对称矩阵，1α=（0，1，1）T ，2α=（1，2，x ）T 分别为A 的对应于不同特征值的特征向量，则数x =___-2______. 20.已知矩阵A =001011112⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，则对应的f (x 1,x 2,x 3)=_________.三、计算题21.计算行列式D =a ba b a a b b aba b+++的值.22.设矩阵A =100210222⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,B =112022046⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,求满足方程AX =B T 的矩阵X .23.设向量组11234α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,21104α-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,32463α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,41211α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,求该向量组的秩和一个极大线性无关组.24.求解非齐次线性方程组123412341234124436x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪+++=⎨⎪+--=⎩.(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)25.求矩阵A=010001000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的全部特征值和特征向量.26.确定a ,b 的值,使二次型22212312313(,,)222f x x x ax x x bx x =+-+的矩阵A 的特征值之和为1,特征值之积为—12.四、证明题(本题6分)27.设A ,B 均为n 阶(n ≥2)可逆矩阵,证明(AB )*=B *A *.。
2012年10月线性代数(经管类)试题答案
2012年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设行列式12211=b a b a ，12211-=--c a c a ，则行列式=--222111c b a c b a （ B ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．设A 是n 阶矩阵，O 是n 阶零矩阵，且O E A =-，则必有（ C ） A ．E A =B ．E A -=C ．1-=A AD ．1||=A3．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101c b A 为反对称矩阵，则必有（ B ）A ．0,1=-==c b aB ．0,1=-==b c aC ．1,0-===b c aD ．0,1=-==a c b4．设)0,0,2(1=α，)1,0,0(2-=α，则下列向量中可以由21,αα线性表示的是（ D ） A ．T )1,1,1(---B ．T )1,1,0(--C ．T )0,1,1(--D ．T )1,0,1(--5．已知34⨯矩阵A 的列向量组线性无关，则=)(A r （ C ） A ．1B ．2C ．3D ．421A ．21αα-B ．21αα+C ．2121αα+D ．212121αα+7．齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-02432431x x x 的基础解系所含解向量的个数为（B ）A ．1B ．2C ．3D ．48．若矩阵A 与对角矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=11D 相似，则=2A （ A ） A ．EB ．AC ．E -D ．E 29．设3阶矩阵A 的一个特征值为3-，则A -必有一个特征值为（ A ） A ．9-B ．3-C ．3D ．910．二次型323121321321222),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=的规范形为（ C ） A ．2221z z -B ．2221z z +C ．21zD ．232221z z z ++二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．行列式123111321的值为____________．12．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1234A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110P ，则=2PAP ____________．13．设向量)1,2,1(=α，)3,2,1(---=β，则=-βα23____________．14．若A 为3阶矩阵，且9||=A ，则=-|)3(|1A ____________． 15．设B 是3阶矩阵，O 是3阶零矩阵，1)(=B r ，则分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-B BO E的秩为____________．16．向量组k )2,2,(1-=α, )8,8,4(2-=α线性相关，则数=k ____________．17．若线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=++λλ332321)1(2212x x x x x x 无解，则数=λ____________．18．已知A 为3阶矩阵，21,ξξ为齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则=||A __________．19．设A 为3阶实对称矩阵，)1,1,0(1=α，x ),2,1(2=α分别为A 的对应于不同特征值的特征向量，则数=x ____________．20．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=211110A ，则对应的二次型=),,(321x x x f ____________．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式b a bab b a a b a ba D +++=的值．解：ba bb ba b a b a ba b b a b b a b a b a b a ba b ab b a a b a ba D +++=+++++=+++=111)(2)(2)(2)(2)(20)(20001)(2b a ab aa b b b a aa b bba b a +=-+=-+=．22．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222012001A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=640220211B ，求满足方程T B AX =的矩阵X ．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102012001220010001100010001222012001),(E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→126012001200010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→2/113012001100010001，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-126024002212/1130120011A ，==-T B A X 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1134230012268460022162242100112602400221． 23．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1121,3642,4011,43214321αααα，求该向量组的秩和一个极大线性无关组．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35004030403012111344160324121211),,,(4321αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→3500000040301211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→0000350040301211，该向量组的秩为3，321,,ααα是一个极大线性无关组．24．求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+++=--+634421432143214321x x x x x x x x x x x x （要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=233102331011111611344111211111),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→000002331011111 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→000002331011111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000002331032201，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++-=--=4433432431332223x x x x x x x x x x ，方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10320132002321k k ，21,k k 为任意实数．25．求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000100010A 的全部特征值和特征向量．解： =-||A E λ3001001λλλλ=--，A 的全部特征值为0321===λλλ；对于0321===λλλ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000100010000100010，⎪⎩⎪⎨⎧===003211x x x x ，线性无关的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001，全部特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001k ，k 为任意非零实数．26．确定b a ,的值，使二次型31232221321222),,(x bx x x ax x x x f +-+=的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为12-．解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200200b b a A ，由A 的特征值之和为122=-+a ，得1=a ；由A 的特征值之积为1224)2(22122002001||22-=--=--=-=-=b b b bb b A ，得42=b ，2±=b ．四、证明题（本题6分）27．设A ，B 均为n 阶（2≥n ）可逆矩阵，证明***=A B AB )(． 证：由*-=A A A ||11，可得1||-*=A A A ；同理可得1||-*=B B B ．所以 ====-----*)|)(||(|||||)(||)(11111A A B B A B B A AB AB AB **A B ．。
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）A. 可逆B. 不可逆C. 行等价于零矩阵D. 列等价于零矩阵答案：B2. 若矩阵A的秩为r，则矩阵A的齐次线性方程组的解空间的维数为（）A. rB. r-1C. n-rD. n+r答案：C3. 向量组α1，α2，…，αs线性无关，则（）A. 向量组α1+α2，α2+α3，…，αs-1+αs线性无关B. 向量组kα1，kα2，…，kαs线性无关，其中k为非零常数C. 向量组α1+α2，α2+α3，…，αs-1+αs，αs线性无关D. 向量组kα1，kα2，…，kαs线性相关，其中k为非零常数答案：B4. 设A为n阶方阵，且|A|≠0，则下列命题中正确的是（）A. A与A*的秩相等B. A*与A^(-1)的秩相等C. A与A^(-1)的秩相等D. A与A*的秩不相等答案：C5. 矩阵A=（）A. 行最简形矩阵B. 行阶梯形矩阵C. 行等价于单位矩阵的矩阵D. 行等价于零矩阵的矩阵答案：C6. 设A为3×3矩阵，且|A|=2，则|2A|=（）A. 4B. 8C. 16D. 32答案：C7. 设A为n阶方阵，且A^2=0，则（）A. A=0B. |A|=0C. A可逆D. A不可逆答案：D8. 设A为n阶方阵，且A^2=E，则（）A. A=0B. |A|=0C. A可逆D. A不可逆答案：C9. 设A为n阶方阵，且A^T=A，则（）A. A为对称矩阵B. A为反对称矩阵C. A为正交矩阵D. A为斜对称矩阵答案：A10. 设A为n阶方阵，且|A|=1，则|A^(-1)|=（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 若A为n阶方阵，且|A|=-3，则|-2A|=______。
答案：1212. 设A为n阶方阵，且A^2=0，则矩阵A的秩r(A)满足______。
全国2012年4月高等教育自学考试(经管类)线性代数参考答案
全国2012年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题参考答案一、选择题1~5 DABCB 6~10 BABDD 二、填空题11~15 16 2 0000⎛⎫⎪⎝⎭2 3 16~20 2020,2201k k R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6 32 222123f y =++ 三、计算题21 解：351212011201120112014533453301331011101111201351201110133100101220342034043204320016120112010111011111148480016001600101200048-----=-=-=-=-------------===⨯⨯⨯=--22解：()A X XA XA X A X A E A +=⇒-=⇒-=130100030210010200002001001A E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,020()300001T A E ⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭,120310002T A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭()11001030201203003101((),)300310020120010102001002001002001002,T T T A E A E X ⎛⎫-⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪-=--→→ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎝⎭=11031102002T X ⎛⎫-⎪ ⎪⎪⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11021103002X ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⇒=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭23解：()()234234234,,,,,,,2,2,2A B αγγγβγγγαβγγγ+=+=+33234234234234,2,2,2,2,2,22,,,2,,,88A B αγγγβγγγαγγγβγγγ=+=+=+848140=⨯+⨯=24解：()1234120312031203204204480112,,,15402570257102102240000A t t t t tt αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-----⎪ ⎪ ⎪==→→⎪ ⎪ ⎪-+++++ ⎪ ⎪⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭12031021011201120033003300000000t t t t --⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪→→⎪ ⎪-+-+-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当t=3时，矩阵继续化为011200000000 ⎪⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭此时，向量组的秩为2，一个极大线性无关组为12,αα。
2012年7月线性代数(经管类)考前练习题及答案(试卷+答案)
全国2012年7月高等教育自学考试考前练习题线性代数（经管类）试题（课程代码：04184）1. 设A 为3阶方阵，且3131-=A ,则=A（ ） A. -9 B. -3 C. -1D. 92. 设A 是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A 等价的矩阵是（ ） A. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000 B. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0011D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10113. 设A ，B 是同阶正交矩阵，则下列命题错误．．的是（ ） A. 1-A 也是正交矩阵 B. *A 也是正交矩阵 C. AB 也是正交矩阵 D. B A +也是正交矩阵 4. 设n 阶方阵A 满足02=A ，则必有（ ）A. E A +不可逆B. E A -可逆C. A 可逆D. 0=A 5. 设有m 维向量组(I)：n a a a ,,,21 ，则( ) A. 当n m <时，(I)一定线性相关 B. 当n m >时，(I)一定线性相关 C. 当n m <时，(I)一定线性无关 D. 当n m >时，(I)一定线性无关6. 若向量组（Ⅰ）：r ,,,ααα 21可由向量组（Ⅱ）：s ,βββ,, 21线性表示，则必有（ ）A. 秩（Ⅰ）≤秩（Ⅱ）B. 秩（Ⅰ）>秩（Ⅱ）C. r ≤sD. r>s7. 设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B=C T AC. 则（ ） A. A 与B 相似 B. A 与B 不等价 C. A 与B 有相同的特征值 D. A 与B 合同8. 设n 阶可逆矩阵A 有一个特征值为2，对应的特征向量为x ，则下列等式中不正确的是( )A. xAx2= B. xx A==-211C. x x A 21=-D. x x A 42= 9. 设A 是n 阶正定矩阵，则二次型x T (-A)x （ ）A. 是不定的B. 当n 为奇数时是正定的C. 当n 为偶数时是正定的D. 是负定的 10. 下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A. 2334⎛⎝⎫⎭⎪ B. 3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ D.11112012⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
自学考试线性代数2012至2015真题和答案
10．设A= ，b= ，若非齐次线性方程组Ax=b有解，则增广矩阵 的行列式 =__________．
11．齐次线性方程组x1+x2+x3=0的基础解系中所含解向量的个数为__________．
12．设向量 ，则 的长度 =__________．
13．已知-2是矩阵A= 的特征值，则数x=__________．
19．求向量组 的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.
20．已知齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系为 ，求r(A)及该齐次线性方程组.
21．设向量组 .求一个非零向量 ，使得 与 均正交.
22．用配方法化二次型 为标准形，并写出所用的可逆性变换.
A． B．
C． D．
10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（）
A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵B．正定矩阵的行列式一定小于零
C．正定矩阵的行列式一定大于零D．正定矩阵的差一定是正定矩阵
二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
11．设det (A)=-1，det (B)=2，且A，B为同阶方阵，则det ((AB)3)=__________．
16．非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________．
17．设 是齐次线性方程组Ax=0的解，而 是非齐次线性方程组Ax=b的解，则 =__________．
18．设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=__________．
19．设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||Px||=__________．
全国自考历年线性代数试题及答案
浙02198# 线性代数试卷 第1页（共54页）全国2010年1月高等教育自学考试 《线性代数（经管类）》试题及答案课程代码：04184试题部分说明：本卷中，A T 表示矩阵A 的转置，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r （A ）表示矩阵A 的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x则行列式（ ）A.32B.1C.2D.38 2.设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则（ABC ）-1=（ ） A. A -1B -1C -1 B. C -1B -1A -1 C. C -1A -1B -1D. A -1C -1B -13.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=（ ） A.-32 B.-4 C.4D.324.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关D. α1，α2，α3一定线性无关5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ） A.1 B.2 C.3D.46.设A 是4×6矩阵，r （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（ ）A.1B.2C.3D.47.设A 是m ×n 矩阵，已知Ax =0只有零解，则以下结论正确的是（ ） A.m ≥nB.Ax =b （其中b 是m 维实向量）必有唯一解浙02198# 线性代数试卷 第2页（共54页）C.r （A ）=mD.Ax =0存在基础解系8.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是（ ） A.（1，1，1）T B.（1，1，3）T C.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T9.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3 = （ ）A.4B.5C.6D.710.三元二次型f （x 1，x 2，x 3）=233222312121912464x x x x x x x x x +++++的矩阵为（ ）A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963642321 B.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963640341 C.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡960642621 D.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡9123042321二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
全国2012年1,4,7月自考线性代数(经管类)试题及答案详解
全国2012年1月自考《线性代数(经管类)》试题课程代码：04184说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设行列式111213212223313233a a aa a aa a a=2，则111213313233213122322333333a a aa a aa a a a a a------=（）A．-6 B．-3C．3 D．62．设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X-E）=E，则矩阵X=（）A．E+A-1B．E-AC．E+A D．E-A-13．设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）A．⎛⎫⎪⎝⎭AB可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭ABB．⎛⎫⎪⎝⎭AB不可逆C．⎛⎫⎪⎝⎭AB可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭BAD．⎛⎫⎪⎝⎭AB可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭AB4．设α1，α2，…，αk是n维列向量，则α1，α2，…，αk线性无关的充分必要条件是（）A．向量组α1，α2，…，αk中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（ ）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（ ）A ．12,4,3B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零 D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
线性代数(经管类)试题及答案解析(试卷+答案+解析) (1)
全国2011年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题（课程代码：04184）说明：本卷中，A T表示方阵A的转置钜阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1. 设101350041A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则TAA=（）A. -49B. -7C. 7D. 492. 设A为3阶方阵，且4A=，则2A-=（）A. -32B. -8C. 8D. 323. 设A，B为n阶方阵，且A T=-A，B T=B，则下列命题正确的是（）A. （A+B）T=A+BB. （AB）T=-ABC. A2是对称矩阵D. B2+A是对称阵4. 设A，B，X，Y都是n阶方阵，则下面等式正确的是（）A. 若A2=0，则A=0B. （AB）2=A2B2C. 若AX=AY，则X=YD. 若A+X=B，则X=B-A5. 设矩阵A =11310214000500⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则秩（A ）=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46. 若方程组02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则k ≠（ ）A. -2B. -1C. 0D. 27. 实数向量空间V={（x 1，x 2，x 3）|x 1 +x 3=0}的维数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 38. 若方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，则λ=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 设A =100010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则下列矩阵中与A 相似的是（ ）A. 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B. 110010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C. 10001102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D. 10102001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10. 设实二次型2212323(,,)f x xx x x =-，则f （ ）A. 正定B. 不定C. 负定D. 半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
历年全国自考线性代数(经管类)试题2 (1)
全国2011年1月高等教育自学考试说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设行列式333231232221131211a a a a a a a a a =4，则行列式333231232221131211333222a a a a a a a a a =（ ） A.12 B.24 C.36 D.482.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（ ） A.A -1CB -1 B.CA -1B -1 C.B -1A -1C D.CB -1A -13.已知A 2+A -E =0，则矩阵A -1=（ ） A.A -E B.-A -E C.A +E D.-A +E4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（ ） A.54321,,,,ααααα一定线性无关 B.54321,,,,ααααα一定线性相关C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（ ） A.A =0 B.A =E C.r (A )=n D.0<r (A )<(n )6.设A 为n 阶方阵，r (A )<n ，下列关于齐次线性方程组Ax =0的叙述正确的是（ ） A.Ax =0只有零解 B.Ax =0的基础解系含r (A )个解向量 C.Ax =0的基础解系含n -r (A )个解向量 D.Ax =0没有解7.设21,ηη是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，则（ ） A.21ηη+是Ax =b 的解 B.21ηη-是Ax =b 的解 C.2123ηη-是Ax =b 的解 D.2132ηη-是Ax =b 的解8.设1λ，2λ，3λ为矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200540093的三个特征值，则321λλλ=（ ）A.20B.24C.28D.309.设P 为正交矩阵，向量βα,的内积为（βα,）=2，则（βαP P ,）=（ ） A.21 B.1 C.23 D.2 10.二次型f (x 1,x 2,x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11.行列式1221---k k =0，则k =_________________________. 12.设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101，k 为正整数，则A k =_________________________. 13.设2阶可逆矩阵A 的逆矩阵A -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，则矩阵A =_________________________. 14.设向量α=（6，-2，0，4），β=（-3，1，5，7），向量γ满足βγα32=+，则γ=_________________________. 15.设A 是m ×n 矩阵，A x =0,只有零解，则r (A )=_________________________. 16.设21,αα是齐次线性方程组A x =0的两个解，则A （3217αα+）=________. 17.实数向量空间V ={（x 1,x 2,x 3）|x 1-x 2+x 3=0}的维数是______________________. 18.设方阵A 有一个特征值为0，则|A 3|=________________________. 19.设向量=1α（-1，1，-3），=2α（2，-1，λ）正交，则λ=__________________.20.设f (x 1,x 2,x 3)=31212322212224x x x tx x x x ++++是正定二次型，则t 满足_________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式b a c c c b c a b b aa cb a ------222222 22.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---16101512211λλ，对参数λ讨论矩阵A 的秩. 23.求解矩阵方程⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100152131X =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--31524124.求向量组：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=21211α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=56522α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11133α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=37214α的一个极大线性无关组， 并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来.25.求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-++-=++-03204230532432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系及其通解.26.求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3142281232的特征值和特征向量. 四、证明题（本大题共1小题，6分）27.设向量1α，2α，….,k α线性无关，1<j ≤k .证明：1α+j α，2α，…,k α线性无关.全国2011年4月高等教育自学考试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．下列等式中，正确的是（）A．B．3=C．5D．2．下列矩阵中，是初等矩阵的为（）A．B．C．D．3．设A、B均为n阶可逆矩阵，且C=，则C-1是（）A．B．C．D．4．设A为3阶矩阵，A的秩r (A)=3，则矩阵A*的秩r (A*)=（）A．0 B．1C．2 D．35．设向量，若有常数a,b使，则（）A．a=-1, b=-2 B．a=-1, b=2C．a=1, b=-2 D．a=1, b=26．向量组的极大线性无关组为（）A．B．C．D．7．设矩阵A=，那么矩阵A的列向量组的秩为（）A．3 B．2C．1 D．08．设是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（ ）A ．B ．C ．D ．9．设矩阵A =，则A 的对应于特征值的特征向量为（ ）A ．（0，0，0）TB ．（0，2，-1）TC ．（1，0，-1）TD ．（0，1，1）T10．二次型2221213212),,(x x x x x x x f +-=的矩阵为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
自考04184线性代数(经管类)历年真题试题2012年4月-2011年1月
全国2012年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题 课程代码：04184说明：在本卷中,A T表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，r (A)表示矩阵A 的秩. 一、 单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2,则111213212223313233232323a a a a a a a a a ------=( )A.-12B.-6C.6D.122.设矩阵A =120120003⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A *中位于第1行第2列的元素是()A.-6B.-3C.3D.63.设A 为3阶矩阵，且|A |=3，则1()A --=( )A.-3B.13-C.13D.34.已知4⨯3矩阵A 的列向量组线性无关，则A T 的秩等于( ) A.1B.2C.3D.45.设A 为3阶矩阵,P =100210001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则用P 左乘A ，相当于将A ( )A.第1行的2倍加到第2行B.第1列的2倍加到第2列C.第2行的2倍加到第1行D.第2列的2倍加到第1列 6.齐次线性方程组123234230+= 0x x x x x x ++=⎧⎨--⎩的基础解系所含解向量的个数为( )A.1B.2C.3D.47.设4阶矩阵A 的秩为3，12ηη，为非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，c 为任意常数，则该方程组的通解为( ) A.1212cηηη-+ B.1212c ηηη-+ C.1212cηηη++ D.1212c ηηη++8.设A 是n 阶方阵，且|5A +3E |=0，则A 必有一个特征值为( ) A.53-B.35-C.35D.539.若矩阵A 与对角矩阵D =100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则A 3=( )A.EB.DC.AD.-E10.二次型f 123(,,)x x x =22212332x x x +-是( ) A.正定的B.负定的C.半正定的D.不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
2012年7月线性代数(经管类)试题答案
2012年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A 为三阶矩阵，且3||1=-A ，则=-|3|A （ A ） A ．9-B ．1-C ．1D ．9321i 3211（ B ） A ．24-B ．12-C ．12D ．24A ．若0||=AB ，则0=A 或0=B B ．若0||=AB ，则0||=A 或0||=B C ．若0=AB ，则0=A 或0=BD ．若0≠AB ，则0||≠A 或0||≠BA ．111)(---=B A AB B ．111)(---+=+B A B AC ．||1|)(|1AB AB =-D．|||||)(|111---+=+B A B AA ．无解B ．只有唯一解C ．有无穷解D ．不能确定6．设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=300120111A ，则=)(A r （ C ） A ．1B ．2C ．3D ．4．．A ．1-AB ．A 2C ．2AD ．T A321213=-AP P 1（ B ） A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000010002B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100000002C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡400010000D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200000002A ．A 与B 等价B ．A 与B 合同C ．||||B A =D ．A 与B 相似10．实二次型3212132122),,(x x x x x x x x f +-+=，则f 是（ B ）A ．负定B ．正定C ．半正定D ．不定11．设A 、B 均为三阶方阵，4||=A ，5||=B ，则=|2|AB ____________．12．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=013A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101B ，则=B A T ____________．13．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010A ，则=-1A ____________．14．若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t A 41421，且2)(=A r ，则=t ____________．15．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=023α，则由321,,ααα所生成的线性空间),,(321αααL 的维数是____________．16．设A 为三阶方阵，其特征值分别为3,2,1，则=-||E A ____________．17．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t 2β，且α与β正交，则=t ____________．18．方程1321=-+x x x 的通解是_______．19．二次型443322143215),,,(x x x x x x x x x x x f +++=所对应的对称矩阵是____________．20．若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x A 02/10102/102/1是正交矩阵，则=x ____________． 21．计算行列式1112112112112111．解：100010101100211151111112112112111511151125121521151112112112112111---===5011051001011105=-=---=．22．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101111010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=350211B ，且X 满足B AX X +=，求X ．解：由B AX X +=，得B X A E =-)(，-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100010001A E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---101111010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=201101011， =-],[E A E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--101011001210110011100010001201101011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→110011001300110011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→110033003300330033⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→110123003300030033⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→110123120300030003⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→3/13/103/13/213/13/20100010001，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=--11012312031)(1A E ，=-=-B A E X 1)(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11012312031⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--350211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11021333063931． 23．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x 的通解．解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4200092110500112222209211050011322351211250011],[b A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→210009211050011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→2100013011050011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→2100013011080101，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=--=21384333231x x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011120138k ，其中k 为任意常数．24．求向量组)2,4,2(1=α，)0,1,1(2=α，)1,3,2(3=α，)2,5,3(4=α的一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组表示．解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000011103212111011103212210253143212],,,[4321TT T T αααα ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→0000111012/101000011102102，21,αα是一个极大线性无关组，且21321ααα+=，214ααα+=．25．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=t A 3651231121λ，已知2)(=A r ，求t ,λ的值． 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1500434011215840434011213651231121t t t A λλλλ， 因为2)(=A r ，所以05=-λ且01=-t ，即5=λ且1=t ．26．已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=300062023A ，求可逆阵P 使AP P 1-为对角阵． 解：)149)(3(6223)3(362023||2+--=---=---=-λλλλλλλλλλA E)7)(2)(3(---=λλλ，A 的特征值为21=λ，32=λ，73=λ．对于21=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100042021→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000100021 ，⎪⎩⎪⎨⎧===0232221x x x x x ，=1p ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛012； 对于32=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000032020→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001 ，⎪⎩⎪⎨⎧===332100xx x x ，=2p ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100；对于73=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛400012024→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00010002/11 ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=02132221x x x x x ，=3p ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-012/1．令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==0101012/102],,[321p p p P ，则P 可逆，且使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-7000300021AP P ． 四、证明题（本大题共1小题，6分）27．设4321,,,αααα是四维向量，且线性无关，证明211ααβ+=，322ααβ+=，433ααβ+=，144ααβ+=线性相关．证：设044332211=+++ββββk k k k ，则0)()()()(144433322211=+++++++ααααααααk k k k ， 即0)()()()(443332221141=+++++++ααααk k k k k k k k ，由4321,,,αααα线性无关，可得齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141k k k k k k k k ，系数行列式0111111011010111001110111000110101010011100011000111001||==-=-=-==A ，齐次方程组有非零解，4321,,,ββββ线性相关．。
全国年1月自考《线性代数（经管类）》试题及答案l
全国年1月自考《线性代数（经管类）》试题及答案l只供学习与交流全国2010年1月高等教育自学考试《线性代数（经管类）》试题及答案课程代码：04184试题部分说明：本卷中，A T 表示矩阵A 的转置，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r （A ）表示矩阵A 的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设行列式==1111034222,1111304z y x z y x 则行列式（） A.32 B.1C.2D.38 2.设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则（ABC ）-1=（）A. A -1B -1C -1B. C -1B -1A -1C. C -1A -1B -1D. A -1C -1B -13.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=（）A.-32B.-4C.4D.324.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（）A. α1，α2，α3，α4一定线性无关B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出C. α1，α2，α3，α4一定线性相关D. α1，α2，α3一定线性无关5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（）A.1B.2C.3D.46.设A 是4×6矩阵，r （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（）A.1B.2C.3D.47.设A 是m ×n 矩阵，已知Ax =0只有零解，则以下结论正确的是（）A.m ≥nB.Ax =b （其中b 是m 维实向量）必有唯一解C.r （A ）=mD.Ax =0存在基础解系 8.设矩阵A =---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是（）只供学习与交流 A.（1，1，1）TB.（1，1，3）TC.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T9.设矩阵A =--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3 = （）A.4B.5C.6D.710.三元二次型f （x 1，x 2，x 3）=233222312121912464x x x x x x x x x +++++的矩阵为（）A.963642321B.963640341 C.960642621 D.??9123042321二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
2012年10月高等教育自学考试线性代数经管类试题
2012年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184 选择题部分注意事项：1．答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
一、单项选择题（本大题共1 0小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1．设行列式1122a b a b =1，1122a c a c --=-1，则行列式111222a b c a b c --=A.-1B.0C.1D.22.设A 是n 阶矩阵，O 是n 阶零矩阵，且A 2-E =O ，则必有 A.A =E B.A =-E C.A =A -1 D.|A |=13.A =001010a b c⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭为反对称矩阵，则必有 A.a =b =—1,c =0B.a =c =—1,b =0C.a =c =0,b =—1D.b =c =—1,a =04.设向量组1α=（2，0，0）T ，2α=（0，0，—1）T ，则下列向量中可以由1α，2α线性表示的是 A.（—1，—1，—1）T B.（0，—1，—1）T C.（—1，—1，0）TD.（—1，0，—1）T5.已知4×3矩阵A 的列向量组线性无关，则r(A T )= A.1 B.2 C.3D.46.设1α，2α是非齐次线性方程组Ax =b 的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是 A. 1α-2αB. 1α+2αC.121α+2α D.121α+122α7.齐次线性方程组134234020x x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩的基础解系所含解向量的个数为A.1B.2C.3D.48.若矩阵A 与对角矩阵D =111-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则A 2= A.E B.AC.-ED.2E9.设3阶矩阵A 的一个特征值为-3，则-A 2必有一个特征值为 A.-9 B.-3 C.3D.910.二次型f (x 1,x 2,x 3)=222123121323222x x x x x x x x x +++++的规范形为A.2212-z z B. 2212z z +C.21zD. 222123z z z ++非选择题部分注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
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全国2012年1月自考《线性代数(经管类)》试题课程代码：04184说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设行列式111213212223313233a a aa a aa a a=2，则111213313233213122322333333a a aa a aa a a a a a------=（）A．-6 B．-3C．3 D．62．设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X-E）=E，则矩阵X=（）A．E+A-1B．E-AC．E+A D．E-A-13．设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）A．⎛⎫⎪⎝⎭AB可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭ABB．⎛⎫⎪⎝⎭AB不可逆C．⎛⎫⎪⎝⎭AB可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭BAD．⎛⎫⎪⎝⎭AB可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭AB4．设α1，α2，…，αk是n维列向量，则α1，α2，…，αk线性无关的充分必要条件是（）A．向量组α1，α2，…，αk中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（ ）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（ ）A ．12,4,3B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零 D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
11．设det (A )=-1，det (B )=2，且A ，B 为同阶方阵，则det ((AB )3)=__________．12．设3阶矩阵A =12243311t--，B 为3阶非零矩阵，且AB =0，则t =__________． 13．设方阵A 满足A k =E ，这里k 为正整数，则矩阵A 的逆A -1=__________． 14．实向量空间R n 的维数是__________．15．设A 是m ×n 矩阵，r (A )=r ,则Ax =0的基础解系中含解向量的个数为__________． 16．非齐次线性方程组Ax =b 有解的充分必要条件是__________．17．设α是齐次线性方程组Ax =0的解，而β是非齐次线性方程组Ax =b 的解，则(32)+A αβ=__________．18．设方阵A 有一个特征值为8，则det （-8E +A ）=__________．19．设P 为n 阶正交矩阵，x 是n 维单位长的列向量，则||Px ||=__________．20．二次型222123123121323(,,)56422f x x x x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数是__________． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式1112114124611242-----． 22．设矩阵A =235，且矩阵B 满足ABA -1=4A -1+BA -1，求矩阵B ．23．设向量组1234(3,1,2,0),(0,7,1,3),(1,2,0,1),(6,9,4,3),===-=αααα求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来．24．设三阶矩阵A =143253242----，求矩阵A 的特征值和特征向量．25．求下列齐次线性方程组的通解．13412412345023020x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-+=⎩ 26．求矩阵A =22420306110300111210----的秩．四、证明题（本大题共1小题，6分）27．设三阶矩阵A =111213212223313233a a a a a a a a a 的行列式不等于0，证明： 131112121222323313233,,a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα线性无关．全国2012年4月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题1分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设矩阵120120003⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则A *中位于第1行第2列的元素是（ ）A ．-6B ．-3C ．3D ．62．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213212223313233232323a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-12 B ．-6 C ．6D ．123．设A 为3阶矩阵，且|A |=3，则|(-A )-1|=（ ） A ．-3B ．13-C ．13D ．34．设A 为3阶矩阵，P =100210001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则用P 左乘A ，相当于将A （ ）A ．第1行的2倍加到第2行B ．第1列的2倍加到第2列C ．第2行的2倍加到第1行D ．第2列的2倍加到第1列5．已知4×3矩阵A 的列向量组线性无关，则A T 的秩等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．46．齐次线性方程组1232342300x x x x x x ++=⎧⎨-+-=⎩的基础解系所含解向量的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．设4阶矩阵A 的秩为3，12,ηη为非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，c 为任意常数，则该方程组的通解为（ ） A ．1212cηηη-+ B ．1212c ηηη-+C ．1212cηηη++ D ．1212c ηηη++8．若矩阵A 与对角矩阵D =100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则A 3=（ ）A ．EB ．DC ．-ED ．A9．设A 是n 阶方阵，且|5A +3E |=0，则A 必有一个特征值为（ ）A ．53-B ．35-C ．35D ．5310．二次型2221231231223(,,)234610f x x x x x x x x x x =++++的矩阵是（ ） A ．235330504⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ．2600310004⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C ．230335054⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D ．26063100104⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11．行列式11124641636=________.12．设矩阵A =14,14-⎛⎫ ⎪-⎝⎭B =48,12⎛⎫ ⎪⎝⎭则AB =________. 13．设3阶矩阵A 的秩为2，矩阵P =001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，Q =100010101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若矩阵B =QAP ，则r (B )=________.14．已知向量组12(1,,3),(2,4,6)k αα=-=-线性相关，则数k =________.15．向量组123(1,1,1,1),(1,2,3,4),(0,1,2,3)ααα===的秩为________.16．非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为100020100200122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，则方程组的通解是________.17．设12,ηη是5元齐次线性方程组Ax =0的基础解系，则r(A )=________.18．设A 为3阶矩阵，且|A |=6，若A 的一个特征值为2，则A *必有一个特征值为________.19．设A 为3阶矩阵，若A 的三个特征值分别为1，2，3，则|A |=________.20．实二次型222123123(,,)345f x x x x x x =-+的规范形为________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式D =3512453312012034---- 22．设A =220213010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵X 满足关系式AX =A +X ，求X .23．设234,,,,αβγγγ均为4维列向量，234234(,,,)(,,,)αγγγβγγγ==和A B 为4阶方阵.若行列式|A |=4，|B |=1，求行列式|A +B |的值.24．已知向量组T T T T 1234(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2),(3,2,4,1)t t αααα=-==--=-+-（其中t为参数），求向量组的秩和一个极大无关组.25．求线性方程组12341234123423222547x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩的通解.（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）26．设二次型222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++，求正交变换x =Py ，将二次型化为标准形.四、证明题（本大题6分）27．证明与对称矩阵合同的矩阵仍是对称矩阵.全国2012年7月自学考试线性代数(经管类)试题课程代码:04184。