人教A版高中数学选修4-1-2.1 圆周角定理-学案设计(无答案)
人教版数学高二A版选修4-1目标导引第二讲一圆周角定理
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一 圆周角定理
一览众山小
学习目标
1.理解圆周角的概念，分清圆周角与圆心角的区别与联系;掌握圆周角定理，能运用它解决简单的计算和证明问题.
2.从定理的发现过程中，进一步体验观察、猜想的思维方法;从定理的证明过程中，理解化归和分类讨论的数学思想以及完全归纳的方法.
3.通过圆周角定理的证明，了解几何证明的思想和方法.
学法指导
学习本节要先复习圆心角、圆周角的定义及周角的度数等相关知识；对于圆周角定理的推导，可从特殊情况入手进行理解，再研究一般情况下的结论，这当中着重要理解为什么将圆周角分成三种情况进行说明.
诱学导入
材料：2006年第18届世界杯在德国举行，整个世界为之疯狂.在足球射门游戏中(如图2-1-1),球员射中球门的难易程度与他所处的位置B 对球门AC 的张角(∠ABC)有关.
问题：当球员在B 、D 、E 处射门时,他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC 、∠ADC 、∠AEC.这三个角的大小有什么关系?
导入：三个角∠ABC 、∠ADC 、∠AEC 都对着圆中的同一条弧.
图2-1-1。
人教A版高中数学选修4-1-2.2 圆内接四边形的性质和判定定理-学案(无答案)
圆内接四边形的性质与判定定理【学习目标】1. 经历圆内接四边形性质定理的探究过程；2. 理解圆内接四边形的性质与判定定理；3.能应用内接四边形的性质与判定定理理解解决相关的几何问题.【学习重难点】1.圆内接四边形性质定理；2.圆内接四边形性质定理的应用.【第一课时】【自学导引】1.用30分钟的时间阅读课本P27-P29页的内容，完成课前预习内容。
并将预习过程中的疑惑写在我的疑惑里。
2.小组合作完成探究一至三的任务，准备课堂随机展示，点评。
【课前预习】一、问题导学问题1. 众所周知，任意三角形都有外接圆.正方形有外接圆吗？长方形有外接圆吗？问题2. 对于任意四边形，我们如何研究它是否有外接圆？问题3. 我们要找出什么样的四边形具有外接圆，是否可以从反面入手：如果一个四边形内接于圆，那么这样的四边形有什么特征呢？问题4. 圆内接四边形的对角互补，那么他的逆命题成立吗？如果成立，可以得到四边形存在外接圆的判定定理.二、预习自测1．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1 圆的内接四边形的对角______．定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的______．(2)判定判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点______．推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_____．2.判断下列命题是否成立.（1）任意三角形都有外接圆，但可能不止一个；（）（2）矩形有唯一的外接圆；（）（3）菱形有外接圆；（）（4）正多边形有外接圆. （）【课内探究】合作、交流、展示、点评探究一证明：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.（推理的证明）探究二 5.在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，,,,⊥⊥为垂DE AB DF AC E F足.求证：E、B、C、F四点共圆.C【当堂检测】1. 已知半径为5的⊙O 中，弦52AB =5AC =，则BAC ∠= A.15o B.210o C.10515o o 或 D.2100o o 或32. 如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOD ＝110°， 则∠BCD ＝______度．【第二课时】 【学习重难点】1.理解圆内接四边形的概念；2.掌握圆内接四边形的性质定理、判定定理及其推论，并能解决有关问题.【自主学习】1.圆内接四边形的性质定理：定理1 圆的内接四边形的对角___ ___．定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的__ ____．思考：内接于圆的平行四边形、菱形、梯形分别是矩形、正方形、等腰梯形？2.圆内接四边形的判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么_ _____． 推论 如果四边形的一个外角等于 ，那么这个四边形的四个顶点共圆． 思考：圆内接四边形的性质定理和它的判定定理及推论有何关系？【自主检测】O·· O FED CBA 1.如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，110BOD ∠=o ， 则BCD ∠=______度．2.如图，,AD BE 是ABC ∆的两条高，求证：CED ABC ∠=∠.【典例分析】例1.如图，⊙1O 和⊙2O 都经过A 、B 两点，经过点A 的直线CD 与⊙1O 交于点C ，与⊙2O 交于点D .经过点B 的直线EF 与⊙1O 交于点E ，与⊙2O 交于点F ．求证：//CE DF ．例2.如图，CF 是ABC ∆的AB 边上的高，FP BC ⊥，FQ AC ⊥.求证：A 、B 、P 、Q 四点共圆.【目标检测】1.如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若15PB PD =,则BCAD的值为 .2.如图，D 、E 分别为ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合，已知AE AC AD AB ⋅=⋅.求证：C 、B 、D 、E 四点共圆.3. 如图，已知四边形ABCD 内接于圆，延长AB 和DC 交于E ，EG 平分E ∠，且与BC 、AD 分别交于F 、G .求证：CFG DGF ∠=∠.【总结提升】证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补。
高中数学人教A版选修4-1学案第2讲 1 圆周角定理 Word版含解析
一圆周角定理
．理解圆周角定理及其两个推论，并能解决有关问题．(重点、难点)
．了解圆心角定理．
[基础·初探]
教材整理圆周角定理及其推论
阅读教材～，完成下列问题
．圆周角定理
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
．推论
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
．推论
半圆(或直径)所对的圆周角是直角；°的圆周角所对的弦是直径．
如图--，在⊙中，∠＝°，则∠＝( )
图--
．°．°
．°．°
【解析】在⊙中，∠与∠都是所对的圆周角，故∠＝∠＝°.
【答案】
教材整理圆心角定理
阅读教材～，完成下列问题．
圆心角的度数等于它所对弧的度数．
在半径为的圆中有一条长度为的弦，则该弦所对的圆周角的度数是
( )
【导学号：】．°．°或°
．°．°或°
【解析】弦所对的圆心角为°，又弦所对的圆周角有两个且互补，故选. 【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]。
高二数学人教A版选修4-1课件：2.1 圆周角定理
4.如图,在 Rt△ABC 中,∠BCA=90°,以 BC 为直径的☉O 交 AB 于 E 点,D 为 AC 的中点,BD 交☉O 于 F 点,连接 CF,EF,CE. 求证:BBCE = CEFF.
B.5 D.不确定
解析:∵AB 是☉O 的直径,
∴∠ACB=90°.
∴AB= AC2 + BC2 = 42 + 32=5.
∴2r=AB=5.∴r=52. 答案:A
相等的圆周角所对的弧不一定相等 剖析:“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一 大前提下成立的,如图.
若 AB∥DG,则∠BAC=∠EDF,但BC ≠ EF.
第二讲 直线与圆的位置关系
一 圆周角定理
知识能力 目标引航
1.了解圆心角定理,并能解决问题. 2.理解圆周角定理及其两个推论,并能解决有关问题.
1.圆周角定理
文字 语言
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
图形 语言
符号 语言
作用
在☉O 中,������������所对的圆周角和圆心角分别是 ∠BAC,∠BOC,则有∠BAC=1∠BOC
3.如图,☉O 是等腰三角形 ABC 的外接圆,AB=AC,延长 BC 到点 D, 使得 CD=AC,连接 AD 交☉O 于点 E,连接 BE 与 AC 交于点 F,求证:BE 平分∠ABC.
分析:切入点是由 CD=AC 和 AB=AC,可得角相等,转化为证明 ∠ABC=2∠EBC 即可. 证明:∵CD=AC,∴∠D=∠CAD.
最新人教A版选修4-1高中数学2.1圆周角定理公开课课件
1
2
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【做一做3-1】 如图,在☉O中,∠BAC=60°,则∠BDC等于( A.30° B.45° C.60° D.75° 解析:∠BDC=∠BAC=60°. 答案:C
)
1
2
3
【做一做 3-2】 如图,AB 是☉O 的直径,C是 ������������ 上的一点, 且������������ = 4, ������������ = 3, 则☉O 的半径 r 等于( A.
5 2
)
B. 5 D.不确定
C.10
解析 :∵AB 是☉O 的直径 ,
∴∠ACB=90° . ∴AB= ������������2 + ������������2 = 42 + 32 = 5. ∴2r=AB=5.∴r= 2.
答案:A
5
圆周角定理的理解 剖析:(1)应用圆周角定理时,要注意的问题如下: 圆周角定理推论1中,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 这一定理成立的前提是同圆或等圆,否则不成立. (2)在圆周角定理的证明中,运用了数学中分类讨论和化归的思想 以及归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的,首先研 究当角的一边过圆心时,得到圆周角与同弧所对的圆心角的关系, 然后研究当角的一边不经过圆心时,圆周角与同弧所对的圆心角之 间的关系.当角的一边不经过圆心时,又有两种情况:一是圆心在圆 周角内部;二是圆心在圆周角外部.经过这样不同情况的讨论,最后 得到:不论角的一边是否经过圆心,都有定理中的结论成立.在几何 里,许多定理的证明,都需要像这样分情况进行讨论,后面还会遇到 这种分情况证明的定理.
解 : ∵ ������������ = ������������ ,
∴∠ADB=∠CDE.
数学人教A版选修4-1学案：课前导引第二讲第一节圆周角定理含解析
学必求其心得，业必贵于专精
第一节圆周角定理
课前导引
情景导入
度数,既是角的单位，又是弧的单位，在圆中圆周角、圆心角、弧之间达到了完美的和谐统一。
知识预览
1.圆周角定理：
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
2。
圆心角定理：
圆心角的度数等于它所对弧的度数。
3。
推论1:
同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
4。
推论2：
半圆（或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 5。
分类讨论法是一种常用的数学方法.。
2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第二讲 一 圆周角定理 Word版含答案
一圆周角定理[对应学生用书P18]1．圆周角定理2．圆心角定理3．圆周角定理的推论(1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．[说明](1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的弧”；(2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”．[对应学生用书P18][例1]如图，已知：△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD＝CE，∠1＝∠2，求证：AB＝AC.[思路点拨]证明此题可先添加辅助线构造等弦、等弧的条件，再由圆周角定理及其推论证明．[证明]如图，延长AD、AE分别交⊙O于F、G，连接BF、CG，∵∠1＝∠2，∴BF＝CG，∴BF＝CG，BG＝CF，∴∠FBD＝∠GCE.又∵BD＝CE，∴△BFD≌△CGE，∴∠F＝∠G，∴AB＝AC，∴AB＝AC.(1)有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧经常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等；要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等，这是证明圆中线段相等的常见策略．(2)若已知条件中出现直径，则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题．1.如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D.求证：D是AB的中点．证明：连接OD、BE.因为∠ADO＝∠ABE＝90°，所以OD 和BE 平行． 又因为O 是AE 的中点， 所以D 是AB 的中点．2．已知AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径． 求证：∠BAE ＝∠DAC . 证明：连接BE ，因为AE 为直径， 所以∠ABE ＝90°. 因为AD 是△ABC 的高， 所以∠ADC ＝90°. 所以∠ADC ＝∠ABE . 因为∠E ＝∠C ， 所以∠BAE ＝90°－∠E ， ∠DAC ＝90°－∠C . 所以∠BAE ＝∠DAC .3．已知⊙O 中，AB ＝AC ，D 是BC 延长线上一点，AD 交⊙O 于E . 求证：AB 2＝AD ·AE . 证明：如图，∵AB ＝AC ，∴AB ＝AC .∴∠ABD ＝∠AEB . 在△ABE 与△ADB 中， ∠BAE ＝∠DAB ， ∠AEB ＝∠ABD ， ∴△ABE ∽△ADB .∴AB AD ＝AEAB，即AB 2＝AD ·AE .[例2] 如图，已知BC 为半⊙O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，BF交AD 于E ，且AE ＝BE .(1)求证：AB ＝AF ；(2)如果sin ∠FBC ＝35，AB ＝45，求AD 的长．[思路点拨] BC 为半⊙O 的直径，连接AC ，构造Rt △ABC . [解] (1)证明：如图， 连接AC .∵BC 是半⊙O 的直径， ∴∠BAC ＝90°，又AD ⊥BC ，垂足为D ， ∴∠1＝∠3.在△AEB 中，AE ＝BE ， ∴∠1＝∠2.∴∠2＝∠3，即A B ＝A F . (2)设DE ＝3x ，∵AD ⊥BC ，sin ∠FBC ＝35，∴BE ＝5x ，BD ＝4x . ∵AE ＝BE ， ∴AE ＝5x ，AD ＝8x .在Rt △ADB 中，∠ADB ＝90°，AB ＝45， ∴(8x )2＋(4x )2＝(45)2， 解得x ＝1， ∴AD ＝8.与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算．4．如图，△ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC 于D ，∠A ＝50°，则∠OCD 的度数是( )A ．40°B ．25°C ．50°D ．60°解析：连接OB .因为∠A ＝50°，所以弦BC 所对的圆心角∠BOC ＝100°，∠COD ＝12∠BOC ＝50°，∠OCD ＝90°－∠COD ＝40°.答案：A5.如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE ∽△ADC ； (2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．解：(1)证明：由已知条件可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角， 所以∠AEB ＝∠ACD . 故△ABE ∽△ADC . (2)因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝ADAC，即AB ·AC ＝AD ·AE .又S ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，所以AB ·AC ·sin ∠BAC ＝AD ·AE . 则sin ∠BAC ＝1. 又∠BAC 为三角形内角， 所以∠BAC ＝90°.[对应学生用书P20]一、选择题1．如图，在⊙O 中，∠BOC ＝50°，则∠A 的大小为( ) A ．25° B ．50° C ．75°D ．100°解析：由圆周角定理得∠A ＝12∠BOC ＝25°.答案：A2.如图所示，若圆内接四边形的对角线相交于E ，则图中相似三角形有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对解析：由推论1知：∠ADB ＝∠ACB ，∠ABD ＝∠ACD ， ∠BAC ＝∠BDC ，∠CAD ＝∠CBD ， ∴△AEB ∽△DEC ，△AED ∽△BEC . 答案：B3．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝23，则此三角形外接圆半径为( ) A. 3 B ．2 C ．2 3D ．4 解析：由推论2知AB 为Rt △ABC 的外接圆的直径，又AB ＝23cos 30°＝4，故外接圆半径r ＝12AB ＝2. 答案：B4.如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD ，BC 相交于P ，若CD ＝3，AB ＝4，则tan ∠BPD 等于( )A.34B.43C.53D.73解析：连接BD ，则∠BDP ＝90°. ∵△CPD ∽△APB ，∴CD AB ＝PD PB ＝34.在Rt △BPD 中，cos ∠BPD ＝PD PB ＝34，∴tan ∠BPD＝73.答案：D二、填空题5．在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，则△ABC的周长是________．解析：由圆周角定理，得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°.∴AB＝BC.∴△ABC为等边三角形．∴周长等于9.答案：96．如图，AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD平分∠BOC，交半圆于点D，AD交OC 于点E，则∠AEO的度数是________．解析：因为OD平分∠BOC，且∠BOC＝90°，∠BOC＝45°，所以∠BOD＝12∠BOD＝22.5°.所以∠OAD＝12在Rt△AEO中，∠AOE＝90°，则∠AEO＝90°－∠OAE＝67.5°.答案：67.5°7．如图所示，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC＝6，弦AE交BC于D，若AD＝4，则AE＝________.解析：连接CE，则∠AEC＝∠ABC，又△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠AEC ＝∠ACB ， ∴△ADC ∽△ACE ， ∴AD AC ＝AC AE ， ∴AE ＝AC 2AD ＝9.答案：9 三、解答题8.(2012·江苏高考)如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD ＝DC ，连结AC ，AE ，DE .求证：∠E ＝∠C .解：连结OD ，因为BD ＝DC ，O 为AB 的中点，所以OD ∥AC ，于是∠ODB ＝∠C .因为OB ＝OD ，所以∠ODB ＝∠B .于是∠B ＝∠C .因为点A ，E ，B ，D 都在圆O 上，且D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角，故∠E ＝∠B .所以∠E ＝∠C .9．如图，已知△ABC 内接于圆，D 为BC 中点，连接AD 交BC 于E .求证：(1)AE EC ＝BEED； (2)AB ·AC ＝AE 2＋EB ·EC . 证明：(1)连接CD . ∵∠1＝∠3，∠4＝∠5，∴△ABE ∽△CDE .∴AE EC ＝BE ED .(2)连接BD . ∵AE EC ＝BE DE ， ∴AE ·DE ＝BE ·EC .∴AE 2＋BE ·EC ＝AE 2＋AE ·DE ＝AE (AE ＋DE )＝AE ·AD .①在△ABD 与△AEC 中，∵D 为BC 的中点， ∴∠1＝∠2.又∵∠ACE ＝∠ACB ＝∠ADB ， ∴△ABD ∽△AEC .∴AB AE ＝ADAC ，即AB ·AC ＝AD ·AE ②由①②知：AB ·AC ＝AE 2＋EB ·EC .10．如图，已知A ，B ，C ，D ，E 均在⊙O 上，且AC 为⊙O 的直径．(1)求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的值； (2)若⊙O 的半径为32，AD 与EC 交于点M ，且E ，D 为弧AC 的三等分点，求MD 的长．解：(1)连接OB ，OD ，OE ，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝12(∠COD ＋∠DOE ＋∠EOA ＋∠AOB ＋∠BOC ) ＝12×360°＝180°.(2)连接OM 和CD ，因为AC 为⊙O 的直径， 所以∠ADC ＝90°，又E ，D 为AC 的三等分点， 所以∠A ＝∠ECA ＝12∠EOA ＝12×13×180°＝30°，所以OM ⊥AC .因为⊙O 的半径为32，即OA ＝32， 所以AM ＝OA cos ∠A ＝OAcos 30°＝1.在Rt △ADC 中，AD ＝AC ·cos ∠A ＝2×32×32＝32. 则MD ＝AD －AM ＝12.。
高中数学人教A版选修(4-1)2.1 教学设计 《圆周角定理》(人教)
《圆周角定理》圆周角定理是几何证明的基础，这个定理在圆性质和等量关系的证明具有重要作用，本节课背景是在学生初中已经了解了定理，本节重点在于对定理的推导、证明，并解决等量关系的证明。
【知识与能力目标】1、掌握圆周角和圆心角的定义；掌握圆周角定理及其证明；2、掌握圆心角定理及圆周角定理的两个推论；3、能用定理和推论解决相关的几何问题。
【过程与方法目标】3、培养学生化归的思想、运动联系的观点。
【情感态度价值观目标】4、感受数学与生活的联系，获得积极的情感体验。
【教学重点】掌握圆心角定理及圆周角定理的两个推论【教学难点】掌握圆心角定理及圆周角定理的两个推论多媒体课件一、复习回顾问题：请同学们回忆一下圆心角定理？学生：圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆心角的度数等于它所对弧的度数，它与圆的半径无关，也就是说在大小不等的两个圆中，相同度数的圆心角，它们所对弧的度数相等；二、知识探究(1)圆周角定义:顶点在圆上,并且两边和圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半1.圆心角与圆周角只有对着同一条弧，它们才有定理中的数量关系.2.圆周角定理也可以理解成圆上一条弧所对的圆心角是它所对圆周角的二倍． 圆周角定理的推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”，应用推论时要时刻记住这一点．思考判断(1)顶点在圆周上的角是圆周角．( )(2)圆周角的度数等于圆心角度数的一半．( )(3)90°的圆周角所对的弦是直径．( )(4)圆周角相等，则它们所对的弧也相等．( )三、例题剖析例1，如图,点A,B,P 在圆O 上,若∠APB=65°,则∠AOB= .问题1：由圆周角定理求∠AOB ？学生：根据圆周角定理∠AOB=2∠APB=130°.例2 、如图是两个同心圆,圆心为点O,点C,D 在大圆上,A,B, M 在小圆上.若∠AMB=40°,则劣弧CD 的度数等于( )A.20°B.40°C.80°D.70°问题1:根据圆周角定理，求∠AOB ？学生：因为∠AMB=40°,所以∠AOB=80°问题2：根据圆心角定理能否得出劣弧CD 的度数为80°？四、当堂检测1、如图,若D 是劣弧 的中点,则与∠ABD 相等的角的个数是( )A.7B.3C.2D.1AC2、判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)在同圆或等圆中,圆周角等于圆心角的一半. ( )(2)在同圆或等圆中,圆心角等于它所对的弧. ( )(3)同弦或等弦所对的圆周角相等. ( )(4)在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弦也相等. ( )3、如图,AB是☉O的一条弦,∠ACB的平分线交AB于点E,交☉O于点 D.求证:AC·CB=DC·CE.五、课堂小结请同学们总结本节课我们学习了哪些知识？略。
数学人教A版选修4-1学案课堂探究 第二讲一 圆周角定理 Word版含解析
课堂探究探究一求线段的长求圆中线段长时，常先利用圆周角定理及其推论得到相似三角形，从而得到成比例线段，再列方程求得线段长．【典型例题】如图，△的三个顶点都在⊙上，∠的平分线与边和⊙分别交于点，.()指出图中相似的三角形，并说明理由；()若＝，＝，求的长．解：()∵平分∠，∴∠＝∠.又∵∠＝∠，∴△∽△.∵∠＝∠，∠＝∠，∴△∽△，△∽△.()∵△∽△，∴＝.∴＝·，∴＝，∴＝.∴＝－＝.点评()本题证三角形相似，要用三角形相似的判定定理，而其中角的条件由同弧所对的圆周角相等得出；()要求线段长度，先由三角形相似得线段成比例，然后再求其长度．探究二证明线段相等有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧经常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等，这是证明圆中线段相等的常见策略．【典型例题】如图，为圆的直径，⊥，＝，和相交于，求证：＝.思路分析：要证＝，只需在△中证明∠＝∠，而要证这两个角相等，只需借助∠即可．证明：∵是⊙的直径，∴∠为直角．又⊥，∴△∽△.∴∠＝∠.∵＝，∴∠＝∠.∴∠＝∠.∴△为等腰三角形．∴＝.点评若已知条件中出现直径，则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题．探究三易错辨析易错点：误认为同弦或等弦所对圆周角相等【典型例题】如图所示，∠＝°，则∠＝.错解：∵∠和∠所对的弦都是，∴∠＝∠.∴∠＝°.错因分析：错解中，没有注意到圆周角∠和∠所对的弧不相等，导致得到错误的结论∠＝∠.正解：∠是所对的圆周角，∠是所对的圆周角，则所对的圆心角为×°＝°.又和所对圆心角的和是周角°，∴所对圆心角是°－°＝°，∴所对圆周角∠＝×°＝°.。
高中数学 2.1 圆周角定理学案 新人教A版选修4-1 学案
A河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.1 圆周角定理学案 新人教A 版选修4-1【学习目标】1. 探究圆周角定理，并理解圆周角的证明过程；2. 理解圆心角定理以及圆周角的推论；3.能利用圆周角定理及其推论解决相关的几何问题. 【重点难点】 1.圆周角定理的证明； 2.圆周角定理的推论的应用. 【课前预习】阅读课本P24-P26页的内容，完成课前预习内容。
一、问题导学问题1. 圆周角、圆心角定义？观察课本24页图2-1在⊙O 中，度量BAC ∠和BOC ∠的度数，它们之间有什么关系？自己用尺规作不同的圆，观察圆周角与圆心角的大小之间的关系？问题2. 结合问题1不改变C B ，的位置，让点A 在圆上运动，BAC ∠的大小会发生变化吗？改变C B ，的位置，让点A 在圆上运动，BAC ∠和BOC ∠的这种关系发生变化了吗？ 问题3.1、圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的__ ___．2、圆心角定理 圆心角的度数等于______________．推论1 同弧或等弧所对的圆周角_____；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也______． 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是_____；90°的圆周角所对的弦是______． 【课内探究】例1、 证明：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（圆周角定理证明）例2、如图，OA,OB,OC 都是⊙O 的半径，2AOB BOC ∠=∠，求证：2BAC ACB ∠=∠ 、例3、如图AD 是△ABC 的高，AE是△ABC 的外接圆直径。
求证：AB AC AE AD ⋅=⋅例4、圆O 的两条相交弦,AB CD 相交于园内一点P . 求证： 弧AD 与弧BC 的度数和一半等于APD ∠的度数【当堂检测】1.下列说法中：(1)直径相等的两个圆是等圆；(2)长度相同的两条弧是等弧；(3)圆中最长的弦是通过圆心的弦；(4)一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，正确的个数有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个MB A OCABD COBDAOCDPB2如图，⊙O 中，弦BC 平行于半径OA,AC 交OB 于点M,20C ∠=,则AMB ∠= （ ） A.60 B.50 C.40 D.303、（09·广东)如图所示，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，则圆O 的面积等于________．4、如图OA 是圆O 的半径，以OA 为直径的圆C 与圆O 的弦AB 相交于点D ，求证：D 是AB 的中点。
黑龙江省嫩江县第一中学高中数学2.1圆周角定理导学案(无答案)新人教A版选修41
圆周角定理【学习目标】掌握圆周角和圆心角的定义；掌握圆周角定理及其证明；掌握圆心角定理及圆周角定理的两个推论；能用定理和推论解决有关的几何问题。
A【学习过程】一、知识回想O1、圆周角，圆心角的定义：B C2、圆心角BOC和圆周角BAC之间有什么关系？二、新课导学圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的2.圆心角定理：圆心角的度数它所对弧的度数。
3.圆周角定理的推论推论①：同弧或等弧所对的圆周角；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧。
推论②：半圆〔或直径〕所对的圆周角是；900的圆周角所对的弦是。
三自主研究1.以以下图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的C与⊙O的弦AB订交于D，求证：D 是AB的中点.BDAC O2.如图，BC为⊙O的直径，AD BC,垂足为D，AB=AF,BF和AD订交于E，求证：AE BEAFEB CD OA三、师生互动1.以以下图，AD是A BC的高，AE是ABC的外接圆直径.B D CE求证：〔1〕AB AC AEAD(2) BAE DAC【课时作业】〔大小题均写解题过程〕以下说法中：①直径相等的两个圆是等圆；②长度同样的两条弧是等弧；③圆中最长的弦是过圆心的弦；④一条弦把圆分红两条弧，这两条弧不行能是等弧，正确的序号是.2.以以下图，A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为⊙O的直径，那么AB C=.ACOE D 在半径为7cm的圆内有长为73cm的弦，那么此弦所对圆周角的度数为.4.：如图，AB是弦O的一条弦，ACB的均分线交AB于点E，交⊙O于点D.求证：AC DC.CCE CBA BEOD。
人教版数学高二A版选修4-1学案第二讲第一节圆周角定理
课堂导学三点剖析一、圆周角定理、圆心角定理及其推论【例1】 在⊙O 中,∠A=α,则∠OBC 等于( )图2-1-1A.2αB.90°-αC.180°-2αD.90°+α解法一：连结OC,则∠BOC=2∠A=2α,在△OBC 中,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.∴∠OBC=21 (180°-∠BOC) =21 (180°-2α) =90°-α.解法二:延长BO 交⊙O 于点D,连结CD.∵∠BCD=90°,∠D=∠A=α,在Rt △BCD 中,∠OBC=90°-∠D=90°-α.解法三:延长BO 交⊙O 于点D,∵∠BOC=2∠A=2α,∴∠COD=180°-2α.∴∠OBC=21∠COD=21（180°-2α) =90°-α.解法四:延长BO 到D,连结CD,则的度数为180°. ∵∠A=α,∴的度数为2α. ∴的度数等于减去的度数, 即的度数为180°-2α.又∵∠OBC 的度数等于度数的一半, ∴∠OBC=21 (180°-2α)=90°-α. 答案:B温馨提示圆周角、圆心角、弧之间以统一的单位:度为桥梁,相互转化,融会贯通.二、利用圆周角、圆心角证明和计算【例2】 已知△ABC 中,AB=AC,E 为AB 上一点,且AE=31AB,以AB 为直径作半圆交BC 于D,连结AD 、CE 交于F 点.求证:AF=FD.图2-1-4证明：作DH ∥CE,交AB 于H,∵AB 为直径,∴AD ⊥BC.又∵AB=AC,∴CD=BD.∴BH=EH.又∵AE=31AB,∴AE=EH. 又∵EF ∥DH,∴AF=FD.温馨提示本题在证明中利用了本节推论2,在圆中与直径有关的题目,经常利用该结论,转化为直角三角形或等腰三角形去解决.【例3】 如图2-1-6,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D,DF ⊥AC 于F,DE ⊥AB 于E.求证:(1)AP·DP=EP·FP;(2)△AEF ∽△ACB.图2-1-6思路分析：欲证AP·DP=EP·FP,只需证△APE ∽△FPD,只需证∠1=∠2.证明:(1)∵DE ⊥AB,DF ⊥AC,∴E 、F 在以AD 为直径的圆上.∵=,∴∠1=∠2.∴△APE ∽△FPD.∴DPFP PE AP . ∴AP·DP=EP·FP.(2)∵∠C+∠CAD=90°,∠2+∠CAD=90°,∴∠2=∠C.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠C.∴△AEF ∽△ACB.各个击破类题演练1如图2-1-2,在⊙O 中,∠ABO=55°,则∠ACB 等于( )图2-1-2A.35°B.45°C.50°D.60°解析:连结OA,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∴∠AOB=180°-∠ABO-∠BAO=70°.又∵∠ACB=21＜0, ∴∠ACB=21×70°=35°. 答案:A变式提升1如图2-1-3, =,在上任取一点P,PB 、PC 与AD 的交点分别为E 、F,则图中相似三角形的组数是( )图2-1-3A.2B.3C.4D.6解:∵,∴∠B=∠PDE.又∠AEB=∠PED,∴△ABE ∽△PED.同理,△APF ∽△CDF.∵=,∴∠APB=∠CPD.∵,∴∠PAD=∠PCD.∴△APE ∽△CPD.同理,△ABP ∽△FDP.答案:C类题演练2如图2-1-5,DE 分别为⊙O 中与的中点,连结DE 分别交弦AB 、AC 于M 、N,求证:AM·AN=DM·EN.图2-1-5思路分析:欲证AM·AN=DM·EN,只需证ANEN DM AM =. 证明:连结AD 、AE, ⇒△ADM ∽△EAN⇒ANDM EN AM =⇒AM·AN=DM·EN. 温馨提示本题利用推论1,该结论在圆中经常用来证明角相等.类题演练3如图2-1-7,过A 点的圆截△ABC 的AB 边于E,截AC 边于F,截BC 边于P 、Q,若EF ∥BC,AQ ⊥BC,求证:AP 过△ABC 外接圆的圆心.图2-1-7证明:作△ABC 的外接圆,延长AP 、AQ 交外接圆于M 、N,由EF ∥BC,知⇒MN ⊥AN ⇒AM 为外接圆直径⇒AP 过△ABC外接圆的圆心.。
人教A版数学高二选修4-1学案第二讲一圆周角定理
一圆周角定理[对应学生用书P18]1．圆周角定理文字语言圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半图形语言符号语言在⊙O中，BC所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC，∠BOC，则有∠BAC＝12∠BOC作用确定圆中两个角的大小关系2．圆心角定理文字语言圆心角的度数等于它所对弧的度数图形语言符号语言A，B是⊙O上两点，则弧AB的度数等于∠AOB的度数作用确定圆弧或圆心角的度数3．圆周角定理的推论(1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．[说明](1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的弧”；(2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”．[对应学生用书P18]与圆周角定理相关的证明[例1]如图，已知：△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD＝CE，∠1＝∠2，求证：AB＝AC.[思路点拨]证明此题可先添加辅助线构造等弦、等弧的条件，再由圆周角定理及其推论证明．[证明]如图，延长AD、AE分别交⊙O于F、G，连接BF、CG，∵∠1＝∠2，∴BF＝CG，∴BF＝CG，BG＝CF，∴∠FBD＝∠GCE.又∵BD＝CE，∴△BFD≌△CGE，∴∠F＝∠G，∴AB＝AC，∴AB＝AC.(1)有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧经常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等；要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等，这是证明圆中线段相等的常见策略．(2)若已知条件中出现直径，则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题．1.如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D.求证：D是AB的中点．证明：连接OD、BE.因为∠ADO＝∠ABE＝90°，所以OD和BE平行．又因为O是AE的中点，所以D是AB的中点．2．已知AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径． 求证：∠BAE ＝∠DAC . 证明：连接BE ， 因为AE 为直径， 所以∠ABE ＝90°. 因为AD 是△ABC 的高， 所以∠ADC ＝90°. 所以∠ADC ＝∠ABE . 因为∠E ＝∠C ， 所以∠BAE ＝90°－∠E ， ∠DAC ＝90°－∠C . 所以∠BAE ＝∠DAC .3．已知⊙O 中，AB ＝AC ，D 是BC 延长线上一点，AD 交⊙O 于E . 求证：AB 2＝AD ·AE . 证明：如图，∵AB ＝AC ，∴AB ＝AC . ∴∠ABD ＝∠AEB . 在△ABE 与△ADB 中， ∠BAE ＝∠DAB ， ∠AEB ＝∠ABD ， ∴△ABE ∽△ADB . ∴AB AD ＝AEAB，即AB 2＝AD ·AE .利用圆周角进行计算[例2] 如图，已知BC 为半⊙O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，BF 交AD 于E ，且AE ＝BE .(1)求证：AB ＝AF ；(2)如果sin ∠FBC ＝35，AB ＝45，求AD 的长．[思路点拨] BC 为半⊙O 的直径，连接AC ，构造Rt △ABC . [解] (1)证明：如图， 连接AC .∵BC 是半⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°， 又AD ⊥BC ，垂足为D ， ∴∠1＝∠3.在△AEB 中，AE ＝BE ， ∴∠1＝∠2.∴∠2＝∠3，即A B ＝A F . (2)设DE ＝3x ，∵AD ⊥BC ，sin ∠FBC ＝35，∴BE ＝5x ，BD ＝4x . ∵AE ＝BE ， ∴AE ＝5x ，AD ＝8x .在Rt △ADB 中，∠ADB ＝90°，AB ＝45， ∴(8x )2＋(4x )2＝(45)2， 解得x ＝1， ∴AD ＝8.与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算．4．如图，△ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC 于D ，∠A ＝50°，则∠OCD 的度数是( )A ．40°B ．25°C ．50°D ．60°解析：连接OB .因为∠A ＝50°，所以弦BC 所对的圆心角∠BOC ＝100°，∠COD ＝12∠BOC ＝50°，∠OCD ＝90°－∠COD ＝40°.答案：A5.如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E . (1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．解：(1)证明：由已知条件可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角， 所以∠AEB ＝∠ACD . 故△ABE ∽△ADC . (2)因为△ABE ∽△ADC ， 所以AB AE ＝ADAC，即AB ·AC ＝AD ·AE .又S ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，所以AB ·AC ·sin ∠BAC ＝AD ·AE . 则sin ∠BAC ＝1. 又∠BAC 为三角形内角， 所以∠BAC ＝90°.[对应学生用书P20]一、选择题1．如图，在⊙O 中，∠BOC ＝50°，则∠A 的大小为( ) A ．25° B ．50° C ．75°D ．100°解析：由圆周角定理得∠A ＝12∠BOC ＝25°.答案：A2.如图所示，若圆内接四边形的对角线相交于E ，则图中相似三角形有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对解析：由推论1知：∠ADB ＝∠ACB ，∠ABD ＝∠ACD ， ∠BAC ＝∠BDC ，∠CAD ＝∠CBD ， ∴△AEB ∽△DEC ，△AED ∽△BEC . 答案：B3．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝23，则此三角形外接圆半径为( )A. 3 B ．2 C ．2 3D ．4解析：由推论2知AB 为Rt △ABC 的外接圆的直径，又AB ＝23cos 30°＝4，故外接圆半径r ＝12AB ＝2. 答案：B4.如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD ，BC 相交于P ，若CD ＝3，AB ＝4，则tan ∠BPD 等于( )A.34B.43C.53D.73解析：连接BD ，则∠BDP ＝90°. ∵△CPD ∽△APB ，∴CD AB ＝PD PB ＝34.在Rt △BPD 中，cos ∠BPD ＝PD PB ＝34，∴tan ∠BPD ＝73. 答案：D 二、填空题5．在⊙O 中，已知∠ACB ＝∠CDB ＝60°，AC ＝3，则△ABC 的周长是________．解析：由圆周角定理， 得∠A ＝∠D ＝∠ACB ＝60°. ∴AB ＝BC .∴△ABC 为等边三角形． ∴周长等于9. 答案：96．如图，AB 为半圆O 的直径，OC ⊥AB ，OD 平分∠BOC ，交半圆于点D ，AD 交OC 于点E ，则∠AEO 的度数是________．解析：因为OD 平分∠BOC ， 且∠BOC ＝90°，所以∠BOD ＝12∠BOC ＝45°，所以∠OAD ＝12∠BOD ＝22.5°.在Rt △AEO 中，∠AOE ＝90°， 则∠AEO ＝90°－∠OAE ＝67.5°. 答案：67.5°7．如图所示，已知⊙O 为△ABC 的外接圆，AB ＝AC ＝6，弦AE 交BC 于D ，若AD ＝4，则AE ＝________.解析：连接CE ，则∠AEC ＝∠ABC ， 又△ABC 中，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ， ∴∠AEC ＝∠ACB ， ∴△ADC ∽△ACE ， ∴AD AC ＝ACAE， ∴AE ＝AC 2AD ＝9.答案：9 三、解答题8.(2012·江苏高考)如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD ＝DC ，连结AC ，AE ，DE .求证：∠E ＝∠C .解：连结OD ，因为BD ＝DC ，O 为AB 的中点， 所以OD ∥AC ，于是∠ODB ＝∠C .因为OB ＝OD ，所以∠ODB ＝∠B .于是∠B ＝∠C .因为点A ，E ，B ，D 都在圆O 上，且D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角，故∠E ＝∠B .所以∠E ＝∠C .9．如图，已知△ABC 内接于圆，D 为BC 中点，连接AD 交BC 于E .求证：(1)AE EC ＝BEED； (2)AB ·AC ＝AE 2＋EB ·EC . 证明：(1)连接CD .∵∠1＝∠3，∠4＝∠5， ∴△ABE ∽△CDE .∴AE EC ＝BEED .(2)连接BD . ∵AE EC ＝BE DE， ∴AE ·DE ＝BE ·EC .∴AE 2＋BE ·EC ＝AE 2＋AE ·DE ＝AE (AE ＋DE )＝AE ·AD .①在△ABD 与△AEC 中，∵D 为BC 的中点， ∴∠1＝∠2.又∵∠ACE ＝∠ACB ＝∠ADB ， ∴△ABD ∽△AEC .∴AB AE ＝AD AC ，即AB ·AC ＝AD ·AE ②由①②知：AB ·AC ＝AE 2＋EB ·EC .10．如图，已知A ，B ，C ，D ，E 均在⊙O 上，且AC 为⊙O 的直径．(1)求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的值； (2)若⊙O 的半径为32，AD 与EC 交于点M ，且E ，D 为弧AC 的三等分点，求MD 的长．解：(1)连接OB ，OD ，OE ，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝12(∠COD ＋∠DOE ＋∠EOA ＋∠AOB ＋∠BOC ) ＝12×360°＝180°. (2)连接OM 和CD ，因为AC 为⊙O 的直径， 所以∠ADC ＝90°，又E ，D 为AC 的三等分点， 所以∠A ＝∠ECA ＝12∠EOA ＝12×13×180°＝30°，所以OM ⊥AC .因为⊙O 的半径为32，即OA ＝32， 所以AM ＝OA cos ∠A ＝OAcos 30°＝1.在Rt △ADC 中，AD ＝AC ·cos ∠A ＝2×32×32＝32.1则MD＝AD－AM＝2.。
吉林省吉林市朝鲜族中学高中数学 2.1 圆周角定理学案 新人教A版选修41
A C BOAEB C D 吉林省吉林市朝鲜族中学高中数学 2.1 圆周角定理学案 新人教A版选修4-1吉林朝中 高二年级 数学 学科教学案 第 周 课时 课 题课堂类型新 课上课时间2014年 3 月 日学习目标 1.知道圆周角和圆心角的概念；2.理解圆周角定理和圆心角定理及两个推论的证明；3.能用定理和推论解决相关的几何问题。
学习重点 圆周角和圆心角概念及圆周角和圆心角定理. 学习难点 圆周角定理的证明。
学 习 内 容学法指导一．复习 1.圆心角？圆周角？2. 圆心角BOC ∠和圆周角BAC ∠之间有什么关系？ 二．知识点1.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的2.圆心角定理：圆心角的度数 它所对弧的度数。
3.圆周角定理的推论推论①：同弧或等弧所对的圆周角 ；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 。
推论②：半圆（或直径）所对的圆周角是 ；090的圆周角所对的弦是 。
三．典型例题例1：如图所示，已知AD 是ABC ∆的高，AE 是ABC ∆的外接圆直径. 求证：（1）AD AE AC AB ⋅=⋅ (2) DAC BAE ∠=∠多媒体PD CAB例2：如图所示，AB 与CD 相交于圆内一点P .求证：AD 弧的度数与BC 弧的度数和的一半等于APD 的度数.（你能用两种方法吗？）四．当堂练习1.如图,在⊙O 中,∠BOC=50°,求∠A 的大小。
2.如图，在⊙O 中，AB ＝AC ，∠ＡＢＣ＝70°，求∠ＢＯＣ度数。
3.教26P 2, 3学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差自主练习OBACAO BC .。
【金版学案】高中数学人教版选修4-1练习：2.1圆周角定理(含答案解析)
第二讲直线与圆的地点关系2.1圆周角定理A 级基础稳固一、选择题1．以下命题中是真命题的是()A．极点在圆周上的角叫做圆周角B． 60°的圆周角所对的弧的度数是30°C．一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角D． 120°的弧所对的圆周角是60°答案： D2．如下图，在⊙O 中，∠ BAC ＝ 60°，则∠ BDC ＝()A． 30°B． 45°C． 60° D ．75°︵分析：⊙ O 中，∠ BAC 与∠ BDC 都是 BC所对的圆周角，故∠BDC ＝∠ BAC ＝ 60° .答案： C3.如下图，已知 A ，B，C，D， E 均在⊙ O 上，且 AC 为⊙ O 的直径，则∠ A＋∠ B＋∠C 等于()A． 90° B ． 120°C． 180°D．60°︵︵︵1× 180°＝ 90° .分析：∠ A ＋∠ B＋∠ C＝1(CD 的度数＋ DE 的度数＋ EA 的度数 )＝22答案： A4.如下图，圆中弦AC ，BD 订交于 E，此中相等的角的对数是 ()A．6对B．5 对C．4 对D．3对分析：∠BAC ＝∠ BDC ，∠ CBD ＝∠ CAD ，∠ DBA ＝∠ DCA ，∠ACB ＝∠ ADB ，∠AEB ＝∠ CED ，∠ AED ＝∠ BEC.答案： A5.如下图， AB 是⊙ O 的直径，若∠BAC ＝ 35°，则∠ ADC ＝ ()A． 35°B． 55°C． 70°D． 110°分析：由于AB 为⊙ O 的直径，因此∠ ACB ＝ 90°；因此∠ B ＝90°－∠ BAC ＝ 55°；由圆周角定理知，∠ADC ＝∠ B＝ 55° .答案： B二、填空题6．如下图，点 A ，B ，C 是圆 O 上的点，且 AB ＝ 4，∠ ACB ＝ 30°，则圆 O 的面积等于________．分析：如图，连结AO ，OB.由于∠ ACB ＝ 30°，因此∠ AOB ＝ 60°，△ AOB 为等边三角形，故圆O 的半径 r＝ OA ＝AB ＝ 4，圆 O 的面积 S＝π r2＝ 16π .答案： 16π7．如下图， A，B，C 是⊙ O 的圆周上三点，若∠ BOC＝ 3∠ BOA ，则∠ CAB 是∠ ACB的 ________倍．︵︵分析：由于∠ BOC ＝ 3∠BOA ，因此 BC＝ 3AB .因此∠ CAB ＝ 3∠ACB.答案： 38．如下图， A ，E 是半圆周上的两个三均分点，直径BC ＝ 4， AD ⊥ BC，垂足为 D ，BE 与 AD 订交于点F，则 AF 的长为 ________．分析：连结AE ，OA ， OE，由题意可知π∠AOB＝3，AD ⊥BO ，π因此 OD ＝ 2×cos 3＝1.因此 AD ＝4－ 1＝3，BD＝ 1.又△AOE 为正三角形，因此AE ＝2.又△AFE ∽△ DFB ，因此AFFD＝AEBD＝21，2 23 因此 AF＝3AD ＝3 .答案：233三、解答题9.如下图，已知AB 为⊙ O 的直径， AC 为弦， OD∥ BC，交 AC 于 D ，BC ＝ 4 cm.(1)试判断 OD 与 AC 的关系；(2)求 OD 的长；(3)若 2sin A － 1＝ 0，求⊙ O 的直径．解： (1)OD ⊥AC.原因：由于AB 为⊙ O 的直径，因此∠ ACB ＝ 90° .由于 OD ∥ BC.因此∠ ADO ＝∠ ACB ＝ 90°，因此 OD ⊥ AC.(2)由于△ AOD ∽△ ABC ，因此OD＝AO1.因此 OD1BC AB＝＝ BC ＝ 2 cm.22(3)由于 2sin A －1＝ 0，因此 sin A ＝1 . 2由于 sin A ＝BC，因此 AB ＝ 2BC ＝8 cm. AB10．如下图， AB 是圆 O 的直径， D ， E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点，连结BD 并延伸至点C，使 BD ＝ DC ，连结 AC ， AE ，DE.求证：∠ E＝∠ C.证明：如下图，连结 OD，由于 BD ＝DC，O 为 AB 的中点，因此 OD∥AC ，因此∠ ODB ＝∠ C，由于 OB＝OD，因此∠ ODB ＝∠ B.因此∠ B ＝∠ C.由于点 A ， E， B， D 都在圆 O 上，且 D， E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点．因此∠ E 和∠ B 为同弧所对的圆周角．故∠ E＝∠ B，因此∠ E＝∠ C.B 级能力提高1.如下图，已知在等腰三角形ABC 中，AB ＝ AC. 以腰 AC 为直径作半圆交AB 于点 E，︵交 BC 于点 F，若∠ BAC ＝ 50°，则 EF的度数为 ()A． 25°B． 50°C． 100°D． 120°分析：如下图，连结AF ，由于 AC 为⊙ O 的直径，因此∠ AFC ＝ 90°，即 AF⊥BC.又由于△ ABC 为等腰三角形，1因此∠ BAF ＝∠ CAF ＝∠BAC ＝12× 50°＝ 25°.︵因此 EF的度数为25°× 2＝ 50° .答案： B2．已知△ ABC 内接于⊙ O，∠ BOC＝ 120°，则弦CB 所对圆周角的度数为________．分析：依据题意，分两种状况．︵(1)CB 所对的圆周角，如图①所示，这时∠ A ＝ 60° .︵(2)CB 所对的圆周角，如图②所示，这时∠ A ＝ 120°，因此弦 CB 所对的圆周角的度数为答案： 60°或 120°图①60°或120° .图②3．如下图，已知A，B ，C，D 是⊙ O 上的四个点， AB ＝ BC ，BD 交 AC 于点 E，连接 CD， AD.(1)求证： DB 均分∠ ADC ；(2)若 BE ＝ 3，ED ＝6，求 AB 的长．︵︵(1)证明：由于AB ＝ BC，因此 AB ＝ BC .因此∠ BDC ＝∠ ADB.因此 DB 均分∠ ADC.︵︵(2)解：由 (1) 可知 AB ＝ BC，因此∠ BAC ＝∠ ADB.由于∠ ABE ＝∠ ABD ，因此△ ABE ∽△ DBA.AB BD因此BE＝AB .由于 BE ＝ 3， ED＝ 6，因此 BD ＝ 9.因此 AB 2＝ BE·BD ＝3×9＝ 27.因此 AB ＝3 3.。
2016新课标创新人教A版数学选修4-1 2.1 圆周角定理
[核心必知]1．圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．3．圆周角定理的推论(1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．[问题思考]1．圆心角的大小与圆的半径有关系吗？提示：圆心角的度数等于它所对弧的度数，与圆的半径没有关系．2．相等的圆周角所对的弧也相等吗？提示：不一定．只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等．锐角三角形ABC 内接于⊙O ，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝40°，作OE ⊥AB 交劣弧AB ︵于点E ，连接EC ，求∠OEC .[精讲详析] 本题考查圆周角定理与圆心角定理的应用．解决本题需先根据圆周角及圆心角定理求得∠EOC 的度数，再求得∠OEC 的度数．连接OC .∵∠ABC ＝60°，∠BAC ＝40°，∴BC ︵的度数为80°，∴∠ACB ＝80°.∵OE ⊥AB ，∴E 为AB ︵的中点．∴BE ︵和BC ︵的度数均为80°.∴∠EOC ＝80°＋80°＝160°.∴∠OEC ＝10°.——————————————————圆周角定理可以理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．1．已知AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径，求证：∠BAE ＝∠DAC .证明：连接BE ，因为AE 为直径，所以∠ABE ＝90°.因为AD 是△ABC 的高，所以∠ADC ＝90°.所以∠ADC ＝∠ABE .因为∠E ＝∠C ，所以∠BAE ＝180°－∠ABE －∠E ，∠DAC ＝180°－∠ADC －∠C .所以∠BAE ＝∠DAC .已知三角形ABC 是圆内接正三角形，M 是BC ︵上的一点．求证：MA ＝MB ＋MC .[精讲详析] 本题考查圆周角定理及全等三角形的应用．解答本题可先将MA 分成MD和DA 两段，然后证明MB ＝DA ，MD ＝MC 即可．在MA 上取点D ，使MD ＝MC .∵△ABC 为正三角形，∴∠1＝∠2＝60°.∴△MDC 是等边三角形．∴MD ＝MC .在△ADC 与△BMC 中⎩⎪⎨⎪⎧∠3＝∠4，AC ＝BC ，∠ADC ＝∠BMC ＝120°，∴△ADC ≌△BMC .∴DA ＝MB .∴MA ＝MD ＋DA ＝MC ＋MB .∴MA ＝MB ＋MC .——————————————————(1)在圆中，只要有弧，就存在着所对的圆周角．同弧所对的圆周角相等，而相等的角为几何命题的推理提供了条件，要注意此种意识的应用．(2)证明一条线段等于两条线段之和，可将其分为两段，其中一段等于已知线段，再去证明另一段也等于已知线段．2．如图，G 是以BC 为直径的圆上一点，A 是劣弧BG ︵的中点，AD ⊥BC ，D 为垂足，连接AC 、BG ，其中BG 交AD 、AC 于点E 、F .求证：BE ＝EF .证明：连接AB ，∵BC 为直径，∴∠BAC ＝90°.∴∠2＋∠DAC ＝90°.∵∠C ＋∠DAC ＝90°，∴∠2＝∠C .∵BA ︵＝AG ︵，∴∠1＝∠C .∴∠1＝∠2.∴AE ＝BE .又∵∠1＋∠BF A ＝90°，∠2＋∠DAF ＝90°，∴∠BF A ＝∠DAF ，∴AE ＝EF ，∴BE ＝EF .如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2 cm ，点C 在圆周上，且∠BAC ＝30°，∠ABD ＝120°，CD ⊥BD 于D .求BD 的长．[精讲详析] 本题考查“直径所对的圆周角为直角”的应用．解答本题可连接BC ，然后利用直角三角形的有关知识解决．连接BC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠BAC ＝30°，AB ＝2 cm ，∴BC ＝AB2＝1 (cm)．∵∠ABD ＝120°，∴∠DBC ＝120°－60°＝60°.∵CD ⊥BD ，∴∠BCD ＝90°－60°＝30°.∴BD ＝BC2＝0.5 (cm)．——————————————————在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角、线段，又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等.3．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，以AC 为直径的圆与斜边交于点P ，求BP长．解：连接CP ，∵AC 为圆的直径，∴∠CP A ＝90°，即CP ⊥AB .又∵∠ACB ＝90°，∴由射影定理可知AC 2＝AP ·AB .∴AP ＝AC 2AB ＝3610＝3.6.∴BP ＝AB －AP ＝10－3.6＝6.4.本课时考点常与相似三角形、平行线分线段成比例定理等问题相结合考查，江苏高考以证明题的形式重点考查圆周角定理、相似三角形．[考题印证](江苏高考)如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.求证：△ABD∽△AEB.[命题立意]本题主要考查圆周角定理和相似三角形的判定定理．[证明]∵AB＝AC，所以∠ABD＝∠C.又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E.又∠BAE为公共角，所以△ABD∽△AEB.一、选择题1．在⊙O中，∠AOB＝84°，则弦AB所对的圆周角是()A．42°B．138°C．84°D．42°或138°解析：选D借助圆形和圆周角定理可知，弦AB所对的圆周角有两种情况，即为42°或138°.2．如图，AC是⊙O的直径，AB、CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，如果∠BAC＝32°，那么∠AOD＝()A．16°B．32°C．48°D．64°解析：选D ∵AB ∥CD ，∴AD ︵＝BC ︵.又∵∠BAC ＝32°，∴BC ︵的度数为64°.∴∠AOD ＝64°.3.如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD ＝4，BD ＝8，则圆O 的半径等于( )A ．6B ．8C ．4D ．5解析：选D ∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°.又∵CD ⊥AB ，∴由射影定理可知，CD 2＝AD ·BD .∴42＝8AD ，∴AD ＝2.∴AB ＝BD ＋AD ＝8＋2＝10.∴圆O 的半径为5.4．如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，那么CDAB等于( )A ．sin ∠BPDB ．cos ∠BPDC ．tan ∠BPDD ．以上答案都不对解析：选B连接BD ，由BA 是直径，知△ADB 是直角三角形．由∠DCB ＝∠DAB ，∠CDA ＝∠CBA ，∠CPD ＝∠BP A ，得△CPD ∽△APB .PD PB ＝CDAB＝cos ∠BPD . 二、填空题5．(湖南高考)如图，A ，E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD相交于点F ，则AF 的长为________．解析：如图，连接AB ，AC ，CE ，由A ，E 为半圆周上的三等分点，得∠FBD ＝30°，∠ABD ＝60°，∠ACB ＝30°.又∵BC ＝4，∴AB ＝2，AD ＝3，BD ＝1，则DF ＝33， 故AF ＝233.答案：2336．如图，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，则圆O 的面积等于________．解析：∵∠ACB ＝45°，∴∠AOB ＝90°.又∵AB ＝4，∴OA ＝OB ＝4×sin45°＝2 2.∴圆的面积S ＝πOA 2＝8π.答案：8π7．在⊙O 中，已知∠ACB ＝∠CDB ＝60°，AC ＝3，则△ABC 的周长是________．解析：由圆周角定理，得∠A ＝∠D ＝∠ACB ＝60°.∴AB ＝BC .∴△ABC 为等边三角形．∴周长等于9.答案：98．如图，已知等腰三角形ABC 中，以腰AC 为直径作半圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，若∠BAC ＝50°，则EF ︵的度数为________．解析：连接AF .∵AC 为⊙O 的直径，∴∠AFC ＝90°，∴AF ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴∠BAF ＝12∠BAC ＝25°.∴EF ︵的度数为50°.答案：50°三、解答题9．(江苏高考)如图，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1＞r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．证明：连接AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D .连接BD ，CE .因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上．故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径．从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2.所以BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2.所以AB ∶AC 为定值．10．如图，已知△ABC 内接于圆，D 为BC ︵中点，连接AD 交BC 于E .求证：(1)AEEC＝BEED；(2)AB·AC＝AE2＋EB·EC. 证明：(1)连接CD.∵∠1＝∠3，∠4＝∠5，∴△ABE∽△CDE，∴AEEC＝BEED.(2)连接BD.∵AEEC＝BEDE，∴AE·DE＝BE·EC，∴AE2＋BE·EC＝AE2＋AE·DE ＝AE(AE＋DE)＝AE·AD.①在△ABD 与△AEC 中，∵D 为BC ︵的中点，∴∠1＝∠2.又∵∠ACE ＝∠ACB ＝∠ADB ，∴△ABD ∽△AEC ，∴AB AE ＝AD AC， 即AB ·AC ＝AD ·AE ②由①②知：AB ·AC ＝AE 2＋EB ·EC .11．如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．解：(1)证明：由已知条件可得∠BAE ＝∠CAD .因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC .(2)因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝AD AC，即AB ·AC ＝AD ·AE .又S ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，所以AB ·AC ·sin ∠BAC ＝AD ·AE .则sin ∠BAC ＝1.又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°.。
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圆周角定理
【学习目标】
1. 探究圆周角定理，并理解圆周角的证明过程；
2. 理解圆心角定理以及圆周角的推论；
3.能利用圆周角定理及其推论解决相关的几何问题.
【学习重难点】
1.圆周角定理的证明；
2.圆周角定理的推论的应用.
【自学导引】
1.用30分钟的时间阅读课本P24-P26页的内容，完成课前预习内容。
并将预习过程中的疑惑写在我的疑惑里。
2.小组合作完成探究一至三的任务，准备课堂随机展示，点评。
【课前预习】
一、问题导学
问题1. 圆周角、圆心角定义？观察课本24页图2-1在⊙O中，度量BAC
∠和BOC
∠
的度数，它们之间有什么关系？自己用尺规作不同的圆，观察圆周角与圆心角的大小之间的关系？
问题2. 结合问题1不改变C
∠的大小会发生
B，的位置，让点A在圆上运动，BAC
变化吗？改变C
∠的这种关系发生变化了
∠和BOC
B，的位置，让点A在圆上运动，BAC
吗？
问题3. 作半径不同的圆，度量并比较圆周角BAC
∠的关系？
∠和圆心角BOC
问题4. 通过上面的三个问题的探讨，你发现了什么？
问题5. 相等的弧和相同度数的弧意义是否相同？圆心角的度数个它所对弧的度数有什么样的关系？同弧或等弧的圆周角有什么关系？同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等吗？半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？反之成立吗？
二、预习自测
1.下列说法中：(1)直径相等的两个圆是等圆；(2)长度相同的两条弧是等弧；(3)圆中最长的弦是通过圆心的弦；(4)一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，正确的个数有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.如图，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点P ，30,50B APD ∠=∠=o o ，则A ∠=
A.10o
B.20o
C.40o
D.80o 3. (1)圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______．
(2)圆心角定理 圆心角的度数等于_________________．
推论1 同弧或等弧所对的圆周角_____；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也______．
推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是_____；90°的圆周角所对的弦是______．
A
【课内探究】
合作、交流、展示、点评
探究一证明：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（圆周角定理证明）
探究二如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，2
AOB BOC
∠=∠，求证：2BAC
ACB
∠=∠
M B A O C
探究三 圆O 的两条相交弦CD BA ,的延长线相较于点P .求证： 弧BC 与弧AD 的度数差的一半等于APD ∠的度数？
【当堂检测】
1. 如图五，在⊙O 中，弦BC 平行于半径OA,AC 交OB 于点M,20C ∠=o ,则AMB ∠= （ ）
A.60o
B.50o
C.40o
D.30o
2. (2009·广东卷)如图所示，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，则圆O 的面积等于________．
【学生疑惑】
【总结提升】
【作业布置】
1.同步导学案, 基础巩固，能力测控（A，B，C层必做）
拓展提升（A，B层必做）
【学习反思】。