高三数学第一轮复习 28 幂函数学案

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高三数学一轮复习2-8 幂函数

2 (2)函数 y＝x7＝7 x2，定义域为 R，值域为[0，＋∞)．因为
2
11
函数的定义域关于原点对称，且 f(－x)＝(－x)7＝[(－x)2]7＝(x2)7
2
2
＝x7＝f(x)，所以函数 y＝x7是偶函数．在(－∞，0)上是减函数，
在(0，＋∞)上是增函数，其图像如图 2.
【答案】 (1)定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域(－∞，0)∪(0，＋∞)，奇函数，减区间(－∞，0)，(0，＋∞)．
即 log219>log79>log89>1. 2
∵y＝12x在 R 上是减函数，
∴1>123>12π>0.又
log13<0， 2
综上：log2129>log79>log89>123>12π>log123.
【答案】 log2129>log79>log89>123>12π>log123
第8课时幂函数及基本初等函数的应用
…2019 考纲下载… 1．了解幂函数的概念．
1 2．结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x2的图像，了解它们的变化情况．请注意从近几年的新课标高考试题来看，幂函数的内容要求较低，只要求掌握简单幂函数的图像与性质．
课前自助餐
1.幂函数 (1)定义：形如 y＝xα (α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)幂函数的图象比较
x∈(0，+∞）时，减 x∈（-∞，0)时，减
(1,1) (0,0)
(1,1) (0,0)
(1,1)
增
(1,1) (0,0)
幂函数的性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上有定义，并且图像都通过点 _(_1_，_1_)_．

高中数学幂函数教案试讲

高中数学幂函数教案试讲
目标：学生能够理解幂函数的概念、性质及应用，并能够解决相关问题。

一、引入
1. 引导学生回顾指数函数的概念和性质。

2. 引出幂函数的定义，并介绍幂函数的概念。

3. 提出问题：幂函数与指数函数的联系是什么？
二、概念解释
1. 讲解幂函数的定义：f(x) = ax^b，其中a和b为常数且a ≠ 0。

2. 讲解幂函数的图像特点：当b为正偶数时，图像开口朝上；当b为正奇数时，图像开口朝上或朝下；当b为负数时，图像在x轴上方或下方。

三、性质探讨
1. 讲解幂函数的增减性与最值：根据b的奇偶性讨论函数的增减性及最大值最小值。

2. 讨论幂函数的奇偶性质。

四、应用拓展
1. 解决一些幂函数相关的实际问题，并让学生进行解答和讨论。

2. 引导学生自行研究其它类型的幂函数，并分享给全班同学。

五、练习与作业
1. 完成相关习题，巩固所学知识。

2. 布置作业：设计一个实际问题，用幂函数来解答并讨论。

六、总结
1. 回顾本节课所学内容，强调幂函数的重要性和应用。

2. 鼓励学生勤奋学习，积极思考。

以上为本节课的教案范本，敬请参考。

高考数学一轮复习教学案二次函数与幂函数(含解析)

第六节二次函数与幂函数[知识能否忆起]一、常用幂函数的图象与性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0} 值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)二、二次函数1．二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函数的图象和性质a>0a<0 图象图象特点①对称轴：x＝－b2a；②顶点：⎝⎛⎭⎫－b2a，4ac－b24a性质定义域 x ∈R值域y ∈⎣⎡4ac －b 24a ，＋∞y ∈⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a 奇偶性b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x ∈－∞，⎦⎤－b 2a 时递减，x ∈－b2a，＋∞时递增x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 时递增，x ∈⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞时递减[小题能否全取]1．若f (x )既是幂函数又是二次函数，则f (x )可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝5x 2 C ．f (x )＝－x 2D ．f (x )＝x 2解析：选D 形如f (x )＝x α的函数是幂函数，其中α是常数．2．(教材习题改编)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析：选A 在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1,3.3．(教材习题改编)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，120B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－120，0 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0得a >120.4．(教材习题改编)已知点M ⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为________．解析：设幂函数的解析式为y ＝x α，则3＝⎝⎛⎭⎫33α，得α＝－2.故y ＝x －2. 答案：y ＝x －25．如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________．解析：由题意知⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6.则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5. 答案：51.幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 2．与二次函数有关的不等式恒成立问题 (1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.[注意] 当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．幂函数的图象与性质典题导入[例1] 已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.[自主解答] ∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x －13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1. [答案] －1由题悟法1．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．以题试法1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：选B 由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R ，当x >0时，图象是向下凸的，结合选项知选B.(2)(·淄博模拟)若a <0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a >⎝⎛⎭⎫12a>(0.2)aB ．(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>2aC.⎝⎛⎭⎫12a>(0.2)a>2aD ．2a >(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a解析：选B 若a <0，则幂函数y ＝x a 在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>0.所以(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>2a .求二次函数的解析式典题导入[例2] 已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1. (1)求f (x )解析式；(2)若g (x )与f (x )图象关于原点对称，求g (x )解析式． [自主解答] (1)由于f (x )有两个零点0和－2，所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a ，由于f (x )有最小值－1，所以必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a ＝－1，解得a ＝1.因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x .(2)设点P (x ，y )是函数g (x )图象上任一点，它关于原点对称的点P ′(－x ，－y )必在f (x )图象上，所以－y ＝(－x )2＋2(－x )，即－y ＝x 2－2x ， y ＝－x 2＋2x ，故g (x )＝－x 2＋2x .由题悟法求二次函数的解析式常用待定系数法．合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法．以题试法2．设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)，且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f (x )的草图； (3)写出函数f (x )的值域．解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，则y＝－2(x－3)2＋4，即x>2时，f(x)＝－2x2＋12x－14.当x<－2时，即－x>2.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，即f(x)＝－2x2－12x－14.所以函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为f(x)＝－2x2－12x－14.(2)函数f(x)的图象如图，(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]．二次函数的图象与性质典题导入[例3]已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．[自主解答](1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]．所以f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，故f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.故a 的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．本例条件不变，求当a ＝1时，f (|x |)的单调区间．解：当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，则f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，故f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．由题悟法解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法．以题试法3．(·泰安调研)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________．解析：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，当a >1时，y max ＝a ；当0≤a ≤1时，y max ＝a 2－a ＋1；当a ＜0时，y max ＝1－a .根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1. 答案：2或－1二次函数的综合问题[例4] (·衡水月考)已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x )0⇒b <0或b >4. 故b 的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)． (2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2， Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4. ①当Δ≤0，即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m2≤0，－255≤m ≤255⇒－255≤m ≤0.②当Δ>0，即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)．若m2≥1，则x 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1，F (0)＝1－m 2≤0⇒m ≥2；若m2≤0，则x 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0，F (0)＝1－m 2≥0⇒－1≤m ≤－255.综上所述，m 的取值范围为[－1,0]∪[2，＋∞)．由题悟法二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关“三个二次”的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．4．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (0)＝1，得c ＝1.即f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，则a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．1．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：x 1 12 f (x )122则不等式f (|x |)≤2的解集是(A ．{x |0<x ≤2} B ．{x |0≤x ≤4} C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |－4≤x ≤4}解析：选D 由f ⎝⎛⎭⎫12＝22⇒α＝12，即f (x )＝x 12，故f (|x |)≤2⇒|x |12≤2⇒|x |≤4，故其解集为{x |－4≤x ≤4}．2．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：选D ∵a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0， ∴a >0，c <0.∴图象开口向上与y 轴交于负半轴．3．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 解析：选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a .4．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (－3)<c <f ⎝⎛⎭⎫52 B ．f ⎝⎛⎭⎫52<c <f (－3) C ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<cD ．c <f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)解析：选D 由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称，则f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)＝f (0)＝c .5．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]解析：选D 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)≤0，x ∈[0,1]，所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.6．若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ 解析：选B 设f (x )＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f (1)<0，即1－2m ＋4<0，解得m >52. 7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增； ③它们的图象关于直线y ＝x 对称； ④两个函数都是偶函数； ⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)； ⑥两个函数的图象都是抛物线型．其中正确的有________．解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较．答案：①②⑤⑥8．(·北京西城二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f (x －1)<x 的解集为________．解析：因为f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，所以b ＝0，则f (x )＝x 2＋1，解不等式(x －1)2＋1<x ，即x 2－3x ＋2<0得1<x <2.答案：0 {x |1<x <2}9．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________．解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12，令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2，则t ＝3⎝⎛⎭⎫y －232＋23. 在⎣⎡⎦⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34.答案：3410．如果幂函数f (x )＝x －12p 2＋p ＋32(p ∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．解：∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴－12p 2＋p ＋32>0，即p 2－2p －3<0.∴－1<p <3.又∵f (x )是偶函数且p ∈Z ， ∴p ＝1，故f (x )＝x 2.11．已知二次函数f (x )的图象过点A (－1,0)、B (3,0)、C (1，－8)． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在x ∈[0,3]上的最值； (3)求不等式f (x )≥0的解集．解：(1)由题意可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)，将C (1，－8)代入得－8＝a (1＋1)(1－3)，得a ＝2. 即f (x )＝2(x ＋1)(x －3)＝2x 2－4x －6. (2)f (x )＝2(x －1)2－8，当x ∈[0,3]时，由二次函数图象知， f (x )min ＝f (1)＝－8，f (x )max ＝f (3)＝0. (3)f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1，或x ≥3}．12．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－m ·x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围．解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. 当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝2，f (2)＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.1．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13 B.12 C.34D ．1解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.2．(·青岛质检)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 3．(·滨州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.则f (x )＝(x ＋1)2.则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，故－2≤b ≤0.1．比较下列各组中数值的大小． (1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)4.125，3.8－25，(－1.4)35；(4)0.20.5,0.40.3.解：(1)函数y ＝3x 是增函数，故30.8>30.7. (2)y ＝x 3是增函数，故0.213<0.233.(3)4.125>1,0<3.8－25<1，而(－1.4)35<0，故4.125>3.8－25>(－1.4)35.(4)先比较0.20.5与0.20.3，再比较0.20.3与0.40.3，y ＝0.2x 是减函数，故0.20.5<0.20.3；y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数，故0.20.3<0.40.3.则0.20.5<0.40.3.2．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 当－b2a <0时，ab >0，从而c >0，可排除A ，C ；当－b2a >0时，ab <0，从而c <0，可排除B ，选D.3．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)试讨论函数f (x )的单调性；(2)若13≤a ≤1，且f (x )在[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )，求g (a )的表达式；(3)在(2)的条件下，求证：g (a )≥12.解：(1)当a ＝0时，函数f (x )＝－2x ＋1在(－∞，＋∞)上为减函数；当a >0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向上，对称轴为x ＝1a ，故函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，1a 上为减函数，在⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞上为增函数；当a <0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向下，对称轴为x ＝1a ，故函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，1a 上为增函数，在⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞上为减函数． (2)∵f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋1－1a，由13≤a ≤1得1≤1a ≤3，∴N (a )＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1－1a . 当1≤1a <2，即12<a ≤1时，M (a )＝f (3)＝9a －5，故g (a )＝9a ＋1a－6；当2≤1a ≤3，即13≤a ≤12时，M (a )＝f (1)＝a －1，故g (a )＝a ＋1a－2.∴g (a )＝⎩⎨⎧a ＋1a－2，a ∈⎣⎡⎦⎤13，12，9a ＋1a －6，a ∈⎝⎛⎦⎤12，1.(3)证明：当a ∈⎣⎡⎦⎤13，12时，g ′(a )＝1－1a 2<0， ∴函数g (a )在⎣⎡⎦⎤13，12上为减函数；当a ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，g ′(a )＝9－1a 2>0， ∴函数g (a )在⎝⎛⎦⎤12，1上为增函数，∴当a ＝12时，g (a )取最小值，g (a )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝12. 故g (a )≥12.。

高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第四节二次函数与幂函数学案理新人教A版

第四节二次函数与幂函数2019考纲考题考情1．幂函数(1)定义：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中底数x 是自变量，α是常数。

(2)幂函数的图象比较：2．二次函数 (1)解析式：一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)。

顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)。

两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)。

(2)图象与性质：与二次函数有关的不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0；(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0；(3)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min 。

一、走进教材1．(必修1P 79习题T 1改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A ．12B ．1C ．32D ．2 解析因为f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1。

又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，所以α＝12，所以k ＋α＝1＋12＝32。

故选C 。

答案 C2．(必修1P 38B 组T 1改编)函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1，1]，则y 的最小值为________。

解析函数y ＝2x 2－6x ＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－32的图象的对称轴为直线x ＝32>1，所以函数y ＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上为单调递减函数，所以y min ＝2－6＋3＝－1。

答案－1 二、走近高考3．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b 。

高三数学一轮复习学案：幂函数

高三数学一轮复习学案：幂函数一、考试要求：理解幂数函数的概念与意义，能画出具体幂数函数,,,32x y x y x y ===21x y =21,--==x y x y 的图像，探索并理解幂数函数单调性与特殊性。

二、知识梳理：1、函数叫做幂函数，幂函数的图像都通过点2、幂数函数,,,32x y x y x y ===21x y =21,--==x y x y 中，为奇函数的是；为偶函数的是定义域为 R 的是；定义域为[)∞+，0的是在第一象限是增函数的是是减函数的是3、幂函数的性质（1）当0>α时，幂函数有下列性质；（1）（2）（3）（4）（2）当0<α时，幂函数有下列性质；（1）（2）（3）（4）三、基础检测：1、已知函数m x m m x f m ,)1()(352----=为何值时，:)(x f（1）是正比例函数（2）是反比例函数（3）是二次函数（4）是幂函数2、当x ()∞+∈，0时，幂函数,)1()(352----=m x m m x f 为减函数时，则实数m 的值为3、点()22，在幂函数)(x f 的图像上，点)41,2(-在幂函数)(x g 的图像上，当x 为何值时，有)()(),()(),()(x g x f x g x f x g x f <=>4、已知幂函数)(322+--∈=N m x y m m的图像关于y 轴对称，且在()∞+，0上是减函数，则满足33)23()1(mma a ---<+的a 的取值范围5、已知Z n x x f n n ∈=++-321)(的图像在[)+∞,0上是单调递增，则不等式)3()(2+>-x f x x f 的解集为6、下列函数中，既是奇函数又是区间()∞+，0上的增函数的是（） A 21x y = B 1-=x y C 3x y = D x y 2=7、已知10,)(21<<<=b a x x f 若，则)1(),1(),(),(bf a f b f a f 的大小关系式 8、已知313432)21(2,)21(===-c b a ，则a,b,c 的大小关系为 9、（2011聊城模拟）已知幂函数)()(12)(++∈=-N m x x f m m（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性（2）若该函数还经过点()2,2，，试确定m 的值，并求满足条件)1()2(->-a f a f 的实数a 的取值范围10、画出函数23x y =和32x y =的草图，并探讨该函数的定义域值域，奇偶性，单调性。

高中数学幂函数的教案

高中数学幂函数的教案
一、教学目标：
1. 理解幂函数的基本概念和特点；
2. 掌握幂函数的图像特征和性质；
3. 能够解决幂函数相关的问题。

二、教学重点：
1. 幂函数的定义和基本特点；
2. 幂函数的图像性质。

三、教学难点：
1. 幂函数的特殊情况的解决方法；
2. 幂函数的应用问题的解决。

四、教学过程：
1. 导入：通过实际生活中的例子引入幂函数的概念，引发学生的兴趣。

2. 概念讲解：介绍幂函数的定义和基本特点，解释幂函数的图像特征和性质。

3. 实例演练：通过案例分析，让学生运用所学知识解决幂函数相关的问题。

4. 拓展应用：引导学生探讨幂函数在实际问题中的应用，开拓思维。

五、课堂讨论：组织学生讨论幂函数的特殊情况和解决方法，促进学生之间的交流和思考。

六、练习测试：布置与幂函数相关的习题，检验学生对知识的掌握程度。

七、总结反思：引导学生总结本节课的重点知识，反思学习过程中的问题和感悟。

八、课后复习：提醒学生及时复习幂函数相关知识，完成作业，并准备下节课内容。

九、教学手段：采用多媒体教学、案例分析、讨论互动等方式，激发学生学习兴趣。

十、教学评估：根据学生的学习情况和表现，及时调整教学策略，确保教学效果。

十一、教学延伸：鼓励学生主动学习，拓展幂函数相关知识，提高数学思维能力。

以上是高中数学幂函数的教案范本，仅供参考。

祝教学顺利！。

高中数学——幂函数和函数的图像(学案)

幂函数和函数的图像【知识导图】知识讲解知识点1 幂函数的定义一般地，形如()y x R αα=∈的函数称为幂函数，其中α是常数．自变量x 是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量x ，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函数，就是幂函数．这些函数虽然定义域不同，但有公共区间()0+∞，．为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把6个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中．虽然这6个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征．这6个幂函数在()0+∞，都有定义，图象都过点(1)1，．讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．知识点3 利用基本函数的图像作图1.平移变换(1)水平平移：)0)((>±=a a x f y 的图象，可由)(x f y =的图象向左()＋或向右()－平移a 个单位而得到．(2)竖直平移：)0()(>±=b b x f y 的图象，可由)(x f y =的图象向上()＋或向下()－平移b 个单位而得到．2.对称变换(1))(x f y -=与)(x f y =的图象关于y 轴对称． (2))(x f y -=与)(x f y =的图象关于x 轴对称． (3))(x f y --=与)(x f y =的图象关于原点对称．(4)要得到|)(|x f y =的图象，可将)(x f y =的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．(5)要得到|)(|x f y =的图象，可将)(x f y =，0≥x 的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴的对称性，作出0<x 时的图象． 3.伸缩变换(1))0)((>=A x Af y 的图象，可将)(x f y =图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变而得到．(2))0)((>=a ax f y 的图象，可将)(x f y =图象上所有点的横坐标变为原来的a1倍，纵坐标不变而得到．例题精解类型1 幂函数的概念【例题1】函数()()2231m m f x m m x+-=--⋅是幂函数，且当()0,x ∈+∞时，()f x 是增函数，求()f x 的解析式．【例题2】已知幂函数()f x x α=的图象经过点()93，，则()100f =________．类型2 幂函数的图象【例题3】如图所示，图中的曲线是幂函数n y x =在第一象限的图象，已知n 取2±，12±四个值，则相应于1234c c c c ，，，的n 依次为( )A ．2-，12-，12，2B ．2，12，12-，2- C ．12-，2-，2，12 D ．2，12，－2，12- 【例题4】如图是幂函数my x =与ny x =在第一象限内的图象，则( )A ．101n m -<<<D ．1n <-，1m >类型3 比较幂的大小【例题5】比较下列各组数中两个数的大小：(1)1213⎛⎫ ⎪⎝⎭与1214⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)123-⎛⎫- ⎪⎝⎭与135-⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)140.25-与146.25；(4)0.20.6与0.30.4．【例题6】比较下列各组数的大小： (1)0.523⎛⎫ ⎪⎝⎭与0.535⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2) 33.14-与3π-；(3)3412⎛⎫ ⎪⎝⎭与1234⎛⎫ ⎪⎝⎭．类型4 含绝对值的函数【例题7】若关于x 的方程x a x -=||只有一个解，则实数a 的取值范围是________．【例题8】分别画出下列函数的图象：（1）|lg |x y =；（2）22+=x y ；（3）1||22--=x x y .类型五判断函数的图象【例题9】已知定义在区间]2,0[上的函数)(x f y =的图象如图所示，则)2(x f y --=的图象为( )【例题10】在下列图象中，二次函数bx ax y +=2与指数函数xaby )(=的图象只可能是（）A. B. C. D.课堂练习【基础】1．下列函数是幂函数的是( )A ．5x y =B ．5y x =C ．5y x =D ．()31y x =+ 2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A ．13y x = B ．12y x-= C ．53y x = D ．23y x =3．设11,1,,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．13，B ．11-，C ．13-，D ．11,3-，4．若3512a ⎛⎫=⎪⎝⎭，3515b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()32c =-，则a b c 、、的大小关系为________． 5．幂函数()()22231m m f x m m x--=--⋅在()0,+∞上是减函数，则实数m =________．6．已知幂函数()f x 的图象经过点22⎛ ⎝⎭，，则()4f 的值为( ) A ．16 B ．116 C ．12D ．2 7．下列命题中正确的是( )A ．当0α=时，函数y x α=的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0)0，、(1)1，两点C ．若幂函数y x α=的图象关于原点对称，则y x α=在定义域上是增函数D ．幂函数的图象不可能在第四象限8．下列幂函数中①1y x -=；②12y x =；③y x =；④2y x =；⑤3y x =，其中在定义域内为增函数的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5⎧211.函数)10(||<<=a x xa y 的图象的大致形状是( )【巩固】1．当01x <<时，()2f x x =，()12g x x =，()2h x x -=的大小关系是( )A ．()()()h x g x f x <<B ．()()()h x f x g x <<C ．()()()g x h x f x <<D ．()()()f x g x h x <<2．下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递减的函数是( ) A ．2y x -= B ．1y x -= C ．2y x = D ．13y x =3．幂函数()y f x =的图象经过点128⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则满足()27f x =-的x 值等于________． 4．比较下列各组中两个值的大小： (1)351.5与351.6；(2) 1.30.6与 1.30.7；(2) 233.5-与235.3-；(4)0.30.18－与0.30.15－．5．设322555223,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c >> B ．c a b >> C ．a b c << D ．b c a >>6．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么函数解析式为()2f x x =，值域为{1}4，的“同族函数”共有( )A ．7个B ．8个C ．9个D ．无数个种情况． x8.设函数⎩⎨⎧>≤++=020)(2x x c bx x x f ，，，若)0()2(f f =-，3)1(-=-f ，则方程x x f =)(的解集为________．9.画出函数1||22++-=x x y 的图象并写出函数的单调区间．【拔高】1．已知幂函数()f x 的图象过点(25)5，． (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()()2g x f lgx =-，求()g x 的定义域、值域．2．已知幂函数()223m m y f x x-+==，其中2{}2|m x x x Z <<-∈∈，，满足：(1)是区间()0,+∞上的增函数；(2)对任意的x R ∈，都有()0()f x f x -+=．求同时满足(1)，(2)的幂函数()f x 的解析式，并求]3[0x ∈，时()f x 的值域．3．已知幂函数()()223m m f x xm N --∈=的图象关于y 轴对称，且在()0,+∞上函数值随着x 的增大而减小，求满足()()33132m m a a --+<-的a 的取值范围．4.求k 为何值时，方程k x =-|13|无解？有一解？有两解？5.已知0>a ，且1≠a ，函数x y a log =，x a y =，a x y +=在同一坐标系中的图象可能是( )6.已知b a <，函数))(()(b x a x x f --=的图象如图所示，则函数)(log )(a x x g b +=的图象可能为( )小结1．幂函数y x α=的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线1x =的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线1x =的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小． 3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在()0,+∞上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即()11f =． (2)如果0α>，幂函数在[0,)+∞上有意义，且是增函数． (3)如果0α<，幂函数在0x =处无意义，在()0,+∞上是减函数．函数的图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点.作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象.运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究.而这个研究要借于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点. （2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面.课后练习【基础】1．设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a b c 、、的大小关系是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a << 2．下列幂函数在(0),-∞上为减函数的是( )A ．13y x = B ．2y x = C ．3y x = D ．12y x =3．设11,13{,,}2α∈-，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为( )A ．13，B ．11-，C ．13-，D ．113-，， 4．函数()()22231mm f x m m x+-=-+⋅是幂函数，且在()0,+∞上是减函数，则实数m =( )A ．0B ．1C ．2D ．0或15．函数y x α=与11,({,)2},23y x αα=-∈的图象只可能是下面中的哪一个( )6.函数xx y ||ln =的图像大致是（）A B. C. D.7.若函数)1,0(1)(≠>-=-a a a x f k x 过定点)0,2(，且)(x f 在定义域R 上是减函数，则)(log )(k x x g a +=的图象是（）A ．B ．C ．D ．8.函数13)(||+-=x x f 的图像大致是（）A. B. C. D.【巩固】1．已知幂函数()21m f x x -=()m Z ∈的图象与x 轴，y 轴都无交点，且关于原点对称，则函数()f x 的解析式是________．2．下列函数中，在(0)1，上单调递减，且为偶函数的是________． ①12y x =；②4y x =；③2y x=－；④13y x =-． 3．已知函数()253()1m f x m m x ---=-，m 为何值时，()f x ： (1)是幂函数；(2)是正比例函数；(3)是反比例函数；(4)是二次函数．4．已知函数()2m f x x x =-且()742f =． (1)求m 的值；(2)判定()f x 的奇偶性；(3)判断()f x 在()0,+∞上的单调性，并给予证明．5．如图所示，曲线1C 与2C 分别是函数m y x =和n y x =在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A ．0n m <>D ．0m n >>6．当1()x ∈+∞，时，幂函数y x α=的图象在直线y x =的下方，则α的取值范围是( )A ．(0)1，B ．()0-∞，C ．0(0)1()-∞⋃，，D ．1(()0)-∞⋃+∞，， 7．函数13y x =的图象是( )8．已知幂函数()y f x =的图象过点(2)2，，则()216f log =( )A ．2B ．22C 2D ．12 9.作出函数⎩⎨⎧>+-≤--=13)2(13)(2x x x x x f ，，的图象，并指出函数的单调区间．10.若1>a ，01<<-b ，则函数b a y x +=的图象一定在( )A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限11.函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=0)91(log 0)(x x x b ax x f c ，，的图象如图所示，则=++c b a ______.【拔高】 1．已知幂函数()14f x x -=，若()()1102f a f a <+-，则a 的取值范围是________．、2．若231()2a =，231()5b =，131()2c =，则a b c 、、的大小关系是________． 3．幂函数()f x的图象经过点)，点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭在幂函数()g x 的图象上． (1)求()f x ，()g x 的解析式；(2)x 为何值时()()f x g x >？x 为何值时()()f x g x <?4．已知幂函数()()223m m f x x m -++=∈Z 为偶函数，且在区间()0,+∞上是单调增函数．(1)求函数()f x 的解析式；(2)设函数()2g x x c =+，若()2g x >对任意的x R ∈恒成立，求实数c 的取值范围．5.直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 ______________．6.若关于x 的方程a x x =-|2|2在]3,1[-上有只有2个解，则a 的取值范围为________.。

2022数学第二章函数2

2。

4幂函数与二次函数必备知识预案自诊知识梳理1。

幂函数（1)幂函数的定义:形如（α∈R）的函数称为幂函数，其中x是,α是。

(2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质2。

二次函数(1)二次函数的三种形式一般式：；顶点式:,其中为顶点坐标;零点式:,其中为二次函数的零点.（2)二次函数的图象和性质1.幂函数y=xα的图象在第一象限的两个重要结论:（1)恒过点（1,1）；（2）当x∈(0,1）时,α越大，函数值越小；当x∈(1,+∞）时,α越大，函数值越大.2.研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）在区间[m,n]（m<n)上的单调性与值域时,分类讨论-b2a与m或n 的大小。

3.设f(x）=ax2+bx+c（a≠0)图象的对称轴为x=m，当a〉0时,若｜x1-m|〉|x2-m|，则f(x1）〉f（x2);当a〈0时，若｜x1-m｜>|x2—m|,则f（x1）<f(x2). 4。

一元二次方程f（x)=x2+px+q=0的实根分布：(1)方程f（x）=0在区间(m，+∞）内有根的充要条件为f(m)<0或{p2-4q≥0,-p2>m;考点自诊1。

判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数y=-x2与y=2x12都是幂函数.（）(2）幂函数的图象经过第四象限,当α〉0时,幂函数y=xα是定义域上的增函数.(）(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x=-b2a 时,y取得最小值4ac-b24a。

（)（4)幂函数的图象不经过第四象限。

(）(5）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值恒为负的充要条件是{a<0,b2-4ac<0.(）2.如图是①y=x a;②y=x b；③y=x c在第一象限的图象,则a,b,c 的大小关系为(）A.a>b〉cB.a<b<cC。

b<c〈aD.a<c〈b3.（2020湖北荆州质检)若对任意x∈[a，a+2］均有(3x+a）3≤8x3,则实数a的取值范围是（)A。

幂函数与指对数运算课件高三数学一轮复习

幂函数及其应用
1. 概念理解：
幂函数及其应用
2. 函数图象：
幂函数及其应用
2. 函数图象：
幂函数及其应用
3. 二次函数相关： ① 函数解析式
题给条件要看清，方程颇有选择性。
点乘双根法二三次方程韦达定理
能判断“图象” 能熟练“配方” 能用好“零点”
幂函数及其应用
3. 二次函数相关： ① 函数解析式
朗博同构 1 一元同构：
朗博同构 1 一元同构：
朗博同构 1 一元同构：
朗博同构 2 二元同构：
朗博同构 2 二元同构：
朗博同构 3 同构与切线不等式：
朗博同构 3 同构与切线不等式：
课后小结
1. 幂函数及其图象. 2. 幂的运算性质. 3. 对数的概念及其运算性质. 4.三个二次之间的关系 5.大小比较 6.同构的应用技巧
题给条件要看清，方程颇有选择性。
幂函数及其应用
3. 二次函数相关： ① 函数解析式
题给条件要看清，方程颇有选择性。
幂函数及其应用
3. 二次函数相关：
② 函数值域
定义端点与中点，关注一线点间穿。
幂函数及其应用
3. 二次函数相关：
② 函数值域
定义端点与中点，关注一线点间穿。
幂函数及其应用
3. 二次函数相关：
③ 二次不等式
能否分解要确定，先看开口后比根。
指数与对数运算
1. 对数运算：
指数与对数运算
2.大小比较：选好中间量，用好单调性
指数与对数运算
2.大小比较：分参构造新函数，然后再手单调性。
朗博同构
指对共存须同构，看清形式再变形。
朗博同构
构造以后用图象，六个图象必记清。

高三学案：二次函数与幂函数

平陆中学高三理科数学学案编写人：孙月明课题：第4讲二次函数与幂函数学习目标：1.通过辨识幂函数的图像和比较幂值的大小，掌握幂函数的图像与性质，体会数形结合的数学思想；2.通过求解二次函数的最值问题和恒成立问题，掌握二次函数的图像与性质，体会数形结合、分类讨论和转化与化归的数学思想。

教学重点：1.幂函数的图像和性质；2.二次函数的单调性、最值、恒成立问题。

教学难点：二次函数的最值和恒成立问题。

一、知识梳理1．幂函数(1)定义：形如的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．②当α>0时，幂函数的图象都过点和，且在(0，＋∞)上单调，并且当α>1时，函数值增长的越来越快；当0<α<1时，函数值增长的越来越慢。

③当α<0时，幂函数的图象都过点，且在(0，＋∞)上单调．2．二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象定义域值域单调性对称性3.若一元二次函数f(x)=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)x x ,则12x x += ；12x x ⋅= 。

二、自我检测1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝2x 13是幂函数．( )(2)当n >0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数．( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )不可能是偶函数．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 24a .( ) 2.已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－120C.⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0 3. 已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为( )A ．[0，1]B ．[1，2]C ．(1，2]D ．(1，2)4.已知幂函数f (x )的图象经过点(9，3)，则f (2)－f (1)＝________.5.(教材习题改编)函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0，3])的值域是________．三、典例分析例1.（幂函数的图象及性质） (1)已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3(2)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知a ＝432，b ＝254，c ＝1325，则( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b 例2.（二次函数的单调性）函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，0)B ．(－∞，－3]C ．[－2，0]D ．[－3，0]例3.（二次函数的最值问题，分类讨论思想）已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a 的值．例4.（一元二次不等式恒成立问题，转化与化归思想)(2018·河北武邑第三次调研)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．(－2，0)C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 四、巩固练习1．(2018·西安模拟)函数y＝3x2的图象大致是( )2．(2017·高考北京卷)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．3．若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为________．4．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．五、课堂小结1.幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α>0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立．2.二次函数求最值的三种常见类型二次函数的最值由所给区间，对称轴及开口方向等因素确定．(1)一般在轴定区间定的条件下有以下三种情况：①若所给区间为R，则在顶点处取最值．②在所给区间[m，n]，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴x＝－b2a∈[m，n]时，其最值为一个是在顶点处取得．另一个则距轴较远的端点处取得．③在所给区间[m，n]，－b2a∉[m，n]时，则利用函数的单调性求得最值(在区间的两个端点处)．(2)若二次函数自变量的区间确定，但对称轴位置是变化的，则需要根据对称轴位置变化情况分对称轴在给定区间内变化与在给定区间外变化两种情况讨论，若对称轴只能在给定区间内变化，则只考虑对称轴与区间端点的距离即可．若对称轴在区间外，应分在区间左侧或右侧内讨论．(3)若所给区间变化，而对称轴位置确定，则对于区间变化时，是否包含对称轴与x轴交点的横坐标必须进行分类讨论，其分类标准为变化区间中包含对称轴与x轴交点的横坐标与变化区间中不包含对称轴与x轴交点的横坐标．具体分类可分四类．①对称轴在区间左侧．②对称轴在区间右侧．③对称轴在闭区间内且在中点的左侧．④对称轴在闭区间内且在中点的右侧(或过中点)．3.会用两种数学思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．4.易错防范(1)对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．六、作业1．如图是①y＝x a；②y＝x b；③y＝x c在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．a<c<b2．已知函数f(x)＝－x2＋4x在区间[－1，n]上的值域是[－5，4]，则n的取值范围是( )A．[2，5] B．[1，5] C．[－1，2] D．[0，5]3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )4．f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则f(－1)，f(－2)，f(3)的大小关系为( )A．f(3)>f(－2)>f(－1) B．f(3)＜f(－2)＜f(－1)C．f(－2)＜f(3)＜f(－1) D．f(－1)＜f(3)＜f(－2)5．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是( )A．[0，1] B．(0，1) C．(－∞，1) D．(－∞，1]6．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，4)，那么函数f(x)的单调递增区间是________．7．已知二次函数为y＝x2＋2kx＋3－2k，则顶点位置最高时抛物线的解析式为________．8．已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________．9．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的图象经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．10．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．。

高三数学一轮复习讲义幂函数与双曲线函数

高三第一轮复习讲义幂函数与双曲线函数一、知识梳理： 1. 幂的有关概念(1) 正整数指数幂: ()n n a a a a n *=⋅⋅⋅∈L ?14243个; (2) 零指数幂: 0a =_____________(其中__________);(3) 负整数指数幂: p a -=_______________(其中0a ≠, p *∈¥);(4) 分数指数幂: nma =______________(其中,m n *∈¥, 且m , n 既约).2. 幂的运算性质(1) m n a a ⋅=_____________(0a >, ,m n ∈¡); (2) ()m n a =_____________(0a >, ,m n ∈¡); (3) ()m ab =_____________(0, 0a b >>, m ∈¡).3. 幂函数的概念、图像与性质幂函数的定义形如k y x =, k 为常数, k 为有理数的函数叫做幂函数.幂函数2y x -= 1y x -=12y x -=13y x =图像幂函数12y x =y x =2y x = 3y x = 图像10a ≠1pa m n a m na +mn a m m a b4. 函数(0)ay x a x=+>的图像与性质函数在区间(0,)+∞部分函数的图像如右图所示, 它是一条双曲线. 主要性质如下:(1) 定义域:________________; (2) 奇偶性: ______________; (3) 单调性: 在(0,)+∞中, 在区间上单调递减, 上单调递增;(4) 值域与最值: 在(0,)+∞上时, 函数值的取值范围是当时, 取到5. 函数(0)ay x a x=+<的图像与性质函数在区间(0,)+∞部分函数的图像如右图所示, 它是一条双曲线. 主要性质如下:(1) 定义域: ________________;(2) 奇偶性: ______________; (3) 单调性: 在_________________________单调递增; (4) 值域与最值: _________________________________; (5) 零点二、基础检测：1. 幂函数()y f x =的图像经过点, 则(8)f =_________.2. 下列函数中, 既是偶函数又是(0,)+∞上的增函数的是答 [ ] A. 43y x =B. 32y x =C. 2y x -= D. 14y x -= 3. 下列命题中, 正确的是答 [ ]A. 当0k =时, 函数k y x =的图像是一条直线奇函数奇函数(,0)-∞与(0,)+∞上分别值域为¡, 无最值 (,0)(0,)-∞⋃+∞(,0)(0,)-∞⋃+∞)+∞)+∞x =x =B. 幂函数的图像都经过点(0,0)和(1,1)C. 当0k <时且k y x =是奇函数时, k y x =是减函数D. 幂函数的图像不可能过第四象限4. 函数2, [1,2]y x x x=+∈的值域是______________.5. 函数21y x x =+-在定义域(1,]a 上的最小值是22+1, 则实数a 的取值范围是_______________.6. 函数(0)cy x c x=+≠在[2,)+∞上单调递增, 则实数c 的取值范围是________________.三、例题精讲：【例1】将下列函数图像的标号, 填入相应函数后面的横线上.(1)32y x =: _________; (2)43y x =: _________; (3)53y x =: _________; (4)23y x -=:_________.【例2】已知函数221()m my m x ---=∈¢在区间(,0)-∞上是减函数, 求m 的最大值.解: 即考虑函数22(0)mm y x x +-=≠,若函数是奇函数, 由函数在(,0)-∞递减, 可知其在(0,)+∞上递减, 则有220(2,1)m m m +-<⇒∈-,当1m =-时, 222m m +-=-, 是偶函数, 不合题意;若函数是偶函数, 由函数在(,0)-∞递减, 可知其在(0,)+∞上递增, 则有220(,2)(1,)m m m +->⇒∈-∞-⋃+∞, 当3m =-时, 224m m +-=, 是偶函数, 符合题意; 综上所述, m 的最大负整数值为3-.A B C D【例3】已知函数23y x -=．（1）画出它的图像；（2）判断它的奇偶性；（3）写出它的单调区间．解：（1）(2) ()f x 是偶函数； (3) 23y x -=在(),0-∞是增函数，()0,+∞是减函数．【例4】已知幂函数()()21322p p Z f x xp -++=∈在()0,+∞上是增函数，且在定义域上是偶函数，求p 的值，并写出相应的函数．解：因为()()21322p p f x xp Z -++=∈在()0,+∞是增函数，所以213022p p -++>，即2230p p --<，解得13p -<<，所以p =0、1、2．当p =0时，32y x =不是偶函数，故p =0舍去；当p =1时，2y x =是偶函数，故p =1符合题意；当p =2时，32y x =不是偶函数，故p =2舍去．综上p =1，()2y f x x ==．【例5】已知()()22k k x k Z f x -++=∈满足()()23f f <．（1）求k 的值；（2）是否存在正数m ，使()()()[]121,1,2g x mf x m x x =-+-∈-的值域为174,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦？若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由．解：（1）由()21924k f x x⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=且()()23ff <，知()f x在()0,+∞上单调递增，故220k k -++>，12k -<<因此1k =或0；（2）()2f x x =，()()[]2222141121,1,224m m g x mx m x m x x m m -+⎛⎫=-+-=--+∈- ⎪⎝⎭，对称轴为112x m =-，则1122m-≥，得12m ≤-，与0m >矛盾，所以m 不存在．【例6】设01a b c d <<<<<，正数,,,m n k r 满足：01a b c dm n k r <===<，则,,,,1m n k r 之间的大小关系为________________。

2019-2020年高三数学总复习幂函数教案理

2019-2020年高三数学总复习幂函数教案理教材分析幂函数是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，全面掌握有理指数幂和根式的基础上来研究的一种特殊函数，是对函数概念及性质的应用．从教材的整体安排看，学习了解幂函数是为了让学生进一步获得比较系统的函数知识和研究函数的方法，为今后学习三角函数等其他函数打下良好的基础．在初中曾经研究过y＝x，y＝x2，y＝x－1三种幂函数，这节内容，是对初中有关内容的进一步的概括、归纳与发展，是与幂有关知识的高度升华．知识的安排环环紧扣，非常紧凑，充分体现了知识的发生、发展过程．对幂函数进行系统的理论研究，在研究过程中得出相应的结论固然重要，但更为重要的是，要让学生了解系统研究一类函数的方法．这节课要特别让学生去体会研究的方法，以便能将该方法迁移到对其他函数的研究．教学目标1. 通过对幂函数概念的学习以及对幂函数图像和性质的归纳与概括，让学生体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力．2. 使学生理解并掌握幂函数的图像与性质，并能初步运用所学知识解决有关问题，培养学生的灵活思维能力．任务分析学生对抽象的幂函数及其图像缺乏感性认识，不能够在理解的基础上来运用幂函数的性质．为此，在教学过程中让学生自己去感受幂函数的图像和性质是这一堂课的突破口．因此，这节课的难点是幂函数图像和性质的发现过程，教学重点是幂函数的性质及运用．首先，从学生已经掌握的最简单的幂函数y＝x，y＝x2和y＝x-1的知识出发，利用实例，由师生共同归纳、总结出幂函数的定义，认清幂函数的特点，深刻理解其定义域．其次，举出几个简单的幂函数引导学生从定义出发研究其定义域、值域、奇偶性、单调性、是否过公共定点这几个性质，让学生自己去探究，把主动权交给学生．然后，再由学生自己结合性质去画幂函数的图像，让学生在获得一定的感性认识的基础上，通过归纳、比较上升为理性认识，从而形成对概念与性质的完整认识．最后通过例题3与练习，让学生利用图像与性质，比较两个数的大小，从而提高学生获取知识的能力．教学设计一、问题情景下列问题中的函数各有什么共同特征？（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她应支付p＝w元．这里p是w的函数．（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积为S＝a2．这里S是a的函数．（3）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积为V＝a3．这里V是a的函数．（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长为a＝．这里a是S的函数．（5）如果某人t（s）内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为v＝t-1（km／s）．这里v是t的函数．由学生讨论，总结，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝，v＝t-1都是自变量的若干次幂的形式．教师指出：我们把这样的都是自变量的若干次幂的形式的函数称为幂函数．二、建立模型定义：一般地，函数y＝x a叫作幂函数，其中x是自变量，a是实常数．教师指出：由于无理指数幂的意义我们还没学到，因此目前只讨论a是有理数的情况．思考讨论：在幂函数y＝x n中，当n＝0时，其表达式怎样？定义域、值域、图像如何？教师指出：此时y＝x0＝1；定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），特别强调，当x为任何非零实数时，函数的值均为1，图像是从点（0，1）出发，平行于x轴的两条射线，但点（0，1）要除外．三、解释应用［例题一］1. 求下列函数的定义域．解：（1）R．（2）R．（3）｛x｜x≥0｝．（4）｛x｜x∈R且x≠0）．（5）｛x｜x ＞0｝．2. 求下列函数的定义域，并判断函数的奇偶性．解：（1）｛x｜x∈R且x≠0）｝，偶函数．（2）R，非奇非偶函数．（3）R，奇函数．（4）｛x｜x＞0｝，非奇非偶函数．［问题探究］1. 对于幂函数y＝x a，讨论当a＝1，2，3，，－1时的函数性质．表13-1以上问题给学生留出充分时间去探究，教师引导学生从函数解析式出发来研究函数性质．2. 在同一坐标系中，画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的图像，并归纳出它们具有的共同性质．教师讲评：幂函数的性质．（1）所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图像都过点（1，1）．（2）如果a＞0，则幂函数的图像通过原点，并在区间［0，＋∞）上是增函数．（3）如果a＜0，则幂函数在（0，＋∞）上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地趋近y轴；当ｘ趋向于＋∞时，图像在x轴上方无限地趋近ｘ轴．思考讨论：（1）在幂函数y＝x a中，当a是正偶数时，这一类函数有哪种重要性质？（2）在幂函数y＝x a中，当a是正奇数时，这一类函数有哪种重要性质？教师讲评：（1）在幂函数y＝x a中，当a是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象限内是增函数．（2）在幂函数y＝x a中，当a是正奇数时，函数是奇函数，在第一象限内是增函数．［例题二］比较下列各题中两个值的大小．解：（1）∵幂函数y＝x1.5是增函数，又0.7＞0.6，∴0.71.5＞0.61.5．（2）∵幂函数y＝是减函数，又2.2＞1.8，∴注意：由于学生对幂函数还不是很熟悉，所以在讲评中要刻意体现出幂函数y＝x1.5与y＝的图像的画法，即再一次让学生体会根据解析式来画图像解题这一基本思路．［练习］比较下列各题中两个值的大小．四、拓展延伸1. 如果把函数图像向上凸的函数称为凸函数，把函数图像向下凸的函数称为凹函数，对于幂函数y＝x a，x∈［0，＋∞），当a＞0且a≠1时，研究其凸凹性．2. 研究幂指数与幂函数奇偶性的关系．3. 研究幂指数与幂函数单调性的关系．（以上问题的探究可以借助计算机来完成）点评这篇案例的突出特点是，紧紧围绕教学目标，遵循直观式、启发式原则而展开．在这节课中，教师放手让学生去探索与研究，并在一旁适时地引导学生根据几个实例函数的公共特点归纳、总结幂函数的定义，对几个特殊幂函数的性质先进行初步探索，再根据研究的结果结合描点作图画出幂函数的图像，让学生观察和分析所作的图像，归纳得出图像特征，并由图像特征得到相应的函数性质，让学生充分体会系统研究函数的方法．整个教学过程的绝大部分时间都给了学生，让学生动脑动手．通过对同类旧知识的回忆，充分引导学生利用数形结合，找出与新知识的连接点，并在对照、类比分析中找出规律．这些均提高了学生学习的积极性和自学能力，培养了他们的科学精神和创新思维习惯．最后“拓展延伸”的设计又把学生的思维推向了更广阔的空间．2019-2020年高三数学总复习平面与平面垂直教案理教材分析两个平面垂直的判定定理及性质定理是平面与平面位置关系的重要内容．通过这节的学习可以发现：直线与直线垂直、直线与平面垂直及平面与平面垂直的判定和性质定理形成了一套完整的证明体系，而且可以实现利用低维位置关系推导高维位置关系，利用高维位置关系也能推导低维位置关系，充分体现了转化思想在立体几何中的重要地位．这节课的重点是判定定理及性质定理，难点是定理的发现及证明．教学目标1. 掌握两平面垂直的有关概念，以及两个平面垂直的判定定理和性质定理，能运用概念和定理进行有关计算与证明．2. 培养学生的空间想象能力，逻辑思维能力，知识迁移能力，运用数学知识和数学方法观察、研究现实现象的能力，整理知识、解决问题的能力．3. 通过对实际问题的分析和探究，激发学生的学习兴趣，培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神．任务分析判定定理证明的难点是画辅助线．为了突破这一难点，可引导学生这样分析：在没有得到判定定理时，只有根据两平面互相垂直的定义来证明，那么，哪个平面与这两个平面都垂直呢？对性质定理的引入，不是采取平铺直叙，而是根据数学定理的教学是由发现与论证这两个过程组成的，所以应把“引出命题”和“猜想”作为本部分的重要活动内容．教学设计一、问题情境1. 建筑工人在砌墙时，常用一根铅垂的线吊在墙角上，这是为什么？（为了使墙面与地面垂直）2. 什么叫两个平面垂直？怎样判定两平面垂直，两平面垂直有哪些性质？二、建立模型如图19-1，两个平面α，β相交，交线为CD，在CD上任取一点B，过点B分别在α，β内作直线BA和BE，使BA⊥CD，BE⊥CD．于是，直线CD⊥平面ABE．容易看到，∠ABE为直角时，给我们两平面垂直的印象，于是有定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，并且这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α，β互相垂直，记作α⊥β．［问题］1. 建筑工人在砌墙时，铅垂线在墙面内，墙面与地面就垂直吗？如图19-1，只要α经过β的垂线BA，则BA⊥β，∴BA⊥BE，∠ABE＝Rt∠．依定义，知α⊥β．于是，有判定定理：定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．2. 如果交换判定定理中的条件“BA⊥β”和结论“α⊥β”．即，也就是从平面与平面垂直出发，能否推出直线与平面垂直？平面α内满足什么条件的直线才能垂直于平面β呢？让学生用教科书、桌面、笔摆模型．通过模型发现：当α⊥β时，只有在一个平面（如α）内，垂直于两平面交线的直线（如BA）才会垂直于另一个平面（如β）．于是，有定理：定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．（先分析命题的条件和结论，然后画出图形，再结合图形，写出已知，求证）已知：如图，α⊥β，α∩β＝CD，ABα，AB⊥CD，求证：AB⊥β．分析：要证AB⊥β，只需在β内再找一条直线与ＡＢ垂直，但β内没有这样的直线，如何作出这条直线呢？因为α⊥β，所以可根据二面角的定义作出这个二面角的平面角．在平面β内过点B作BE⊥CD．因为AB⊥CD，所以∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，并且∠ABE＝90°，即AB⊥BE．又因为CDβ，BEβ，所以AB⊥β．三、解释应用［例题］1. 已知：如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD长．解：连接BC．因为AC⊥AB，所以AC⊥β，AC⊥BD．因为BD⊥AB，所以BD⊥α，BD⊥BC．所以，△CBD是直角三角形．在Rt△BAC中，BC＝＝5（cm），在Rt△CBD中，CD＝＝13（cm）．2. 已知：在Rt△ABC中，AB＝AC＝ａ，AD是斜边BC的高，以AD为折痕使∠BDC折成直角（如图19-4）．求证：（1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．（2）∠BAC＝60°．证明：（1）如图19-4（2），因为AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC．因为平面ABD和平面ACD都过AD，所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．（2）如图19-4（1），在Rt△BAC中，因为AB＝AC＝ａ，所以BC＝ａ，BD＝DC＝．如图19-4（2），△BDC是等腰直角三角形，所以BC＝BD＝2×＝ａ．得AB＝AC＝BC．所以∠BAC＝60°．［练习］1. 如图19-5，有一个正三棱锥体的零件，P是侧面ACD上一点．问：如何在面ACD上过点P画一条与棱AB垂直的线段？试说明理由．2. 已知：如图19-6，在空间四边形ABCD中，AC＝AD，BC＝BD，E是CD 的中点．求证：（1）平面ABE⊥平面BCD．（2）平面ABE⊥平面ACD．四、拓展延伸能否将平面几何中的勾股定理推广到立体几何学中去？试写一篇研究性的小论文．点评这篇案例结构完整，构思新颖．案例开始以一个生活中常见的例子引入问题，得到了两平面垂直的定义．还是这个例子，改变了问法又得到了两平面垂直的判定定理．即把学科理论和学生的生活实际相结合，激起了学生探索问题的热情．对性质定理和判定定理的引入和证明也不是平铺直叙，而是充分展现了定理的发现和形成过程．通过学生的认真参与，师生之间的民主交流，培养了学生的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神．。

高考数学总复习幂函数学案理北师大版

学案9 幂函数导学目标： 1.了解幂函数的概念.2.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y＝1x ，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况．自主梳理1．幂函数的概念形如______的函数叫做幂函数，其中____是自变量，____是常数． 2．幂函数的性质(1)五种常见幂函数的性质，列表如下：定义域值域奇偶性单调性过定点 y ＝x R R 奇 ↗(1,1)y ＝x 2 R [0，＋∞) 偶[0，＋∞)↗(－∞，0]↙y ＝x 3 R R 奇 ↗y ＝21x [0，＋∞) [0，＋∞) 非奇非偶[0，＋∞)↗y ＝x －1 (－∞，0) ∪(0，＋∞) (－∞，0) ∪(0，＋∞) 奇(－∞，0)↙ (0，＋∞)↙(2)所有幂函数在________上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第____象限无图象． (3)α>0时，幂函数的图象通过点________________，并且在区间(0，＋∞)上是________，α<0时，幂函数在(0，＋∞)上是减函数，图象________原点．自我检测1．(2011·石家庄月考)如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为 ( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－122．已知函数：①y ＝2x ；②y ＝log 2x ；③y ＝x －1；④y ＝21x .则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是 ( )A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②3．(2011·沧州模拟)设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 ( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,34．与函数y ＝xx ＋1的图象形状一样的是 ( )A ．y ＝2xB ．y ＝log 2xC ．y ＝1xD ．y ＝x ＋15．已知点(33，33)在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式是 ( )A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝x －3C ．f (x )＝21xD ．f (x )＝21-x探究点一幂函数的定义与图象例1 已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)，幂函数g (x )的图象过点(2，14)．(1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)求当x 为何值时：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．变式迁移1 若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，14)在幂函数g (x )的图象上，定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤g (x )，g (x )，f (x )>g (x )，试求函数h (x )的最大值以及单调区间．探究点二幂函数的单调性例2 比较下列各题中值的大小．(1)8.03，7.03；(2)321.0，323.0；(3)212，318.1；(4)521.4，328.3-和53)9.1(-.变式迁移2 (1)比较下列各组值的大小：①318--________31)91(-；②0.20.5________0.40.3.(2)已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则m 的取值范围是__________________________．探究点三幂函数的综合应用例3 (2011·葫芦岛模拟)已知函数f (x )＝322--m m x (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足3)1(m a -+<3)23(ma --的a 的范围．变式迁移3 已知幂函数f (x )＝12)(-+m m x (m ∈N *)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．1．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．右图是函数y ＝nm x (m ，n ∈N *，m 、n 互质)的图象，则( )A ．m ，n 是奇数，且mn <1B ．m 是偶数，n 是奇数，且mn>1C ．m 是偶数，n 是奇数，且mn <1D ．m 是奇数，n 是偶数，且mn>12．(2010·陕西)下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是 ( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数 3．下列函数图象中，正确的是 ( )4．(2010·安徽)设a ＝52)53(，b ＝53)52(，c ＝52)52(，则a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >b D ．b >c >a 5．下列命题中正确的是 ( )①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)； ②幂函数的图象不可能在第四象限；③当n ＝0时，函数y ＝x n 的图象是一条直线； ④幂函数y ＝x n 当n >0时是增函数；⑤幂函数y ＝x n 当n <0时在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． A ．①和④ B ．④和⑤ C ．②和③ D ．②和⑤ 题号 1 2 3 4 5 答案6．(2011·邯郸模拟)若幂函数y ＝22)332(--+-m m x m m 的图象不经过原点，则实数m 的值为________．7．已知a ＝x α，b ＝2a x ，c ＝ax 1，x ∈(0,1)，α∈(0,1)，则a ，b ，c 的大小顺序是________．8．已知函数f (x )＝x α(0<α<1)，对于下列命题：①若x >1，则f (x )>1；②若0<x <1，则0<f (x )<1；③当x >0时，若f (x 1)>f (x 2)，则x 1>x 2；④若0<x 1<x 2，则f (x 1)x 1<f (x 2)x 2.其中正确的命题序号是________．三、解答题(共38分)9．(12分)设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点(12，18)．求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式．10．(12分)已知f (x )＝3221++-n n x x (n ＝2k ，k ∈Z )的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f (x 2－x )>f (x ＋3)．11．(14分)(2011·荆州模拟)已知函数f (x )＝22++-k k x (k ∈Z )满足f (2)<f (3)． (1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．答案自主梳理1．y ＝x α x α 2.(2)(0，＋∞) 四 (3)(0,0)，(1,1) 增函数不过自我检测1．B [方法一由幂函数的图象与性质，n <0时不过原点，故C 3，C 4对应的n 值均为负，C 1，C 2对应的n 值均为正；由增(减)快慢知n (C 1)>n (C 2)>n (C 3)>n (C 4)．故C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为 2，12，－12，－2. 方法二作直线x ＝2分别交C 1，C 2，C 3，C 4于点A 1，A 2，A 3，A 4，则其对应点的纵坐标显然为22,212，212-，2－2，故n 值分别为2，12，－12，－2.]2．D [第一个图象过点(0,0)，与④对应；第二个图象为反比例函数图象，表达式为y ＝kx，③y ＝x －1恰好符合， ∴第二个图象对应③；第三个图象为指数函数图象，表达式为y ＝a x ，且a >1，①y ＝2x 恰好符合，∴第三个图象对应①；第四个图象为对数函数图象，表达式为y ＝log a x ，且a >1，②y ＝log 2x 恰好符合，∴第四个图象对应②.∴四个函数图象与函数序号的对应顺序为④③①②.] 3．A 4.C 5.B 课堂活动区例1 解 (1)设f (x )＝x α，∵图象过点(2，2)，故2＝(2)α，解得α＝2，∴f (x )＝x 2.设g (x )＝x β，∵图象过点(2，14)，∴14＝2β，解得β＝－2. ∴g (x )＝x －2.(2)在同一坐标系下作出f (x )＝x 2与g (x )＝x －2的图象，如图所示．由图象可知，f (x )，g (x )的图象均过点(－1，1)和(1,1)． ∴①当x >1，或x <－1时，f (x )>g (x )； ②当x ＝1，或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； ③当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．变式迁移1 解求f (x )，g (x )解析式及作出f (x )，g (x )的图象同例1，如例1图所示，则有：h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x <－1或x >1，x 2，－1≤x ≤1.根据图象可知函数h (x )的最大值为1，单调增区间为(－∞，－1)和(0,1)；单调减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．例2 解题导引比较两个幂的大小关键是搞清楚是底数相同，还是指数相同，若底数相同，利用指数函数的性质；若指数相同，利用幂函数的性质；若底数、指数皆不相同，考虑用中间值法，常用0和1“搭桥”进行分组．解 (1)函数y ＝3x 是增函数，∴30.8>30.7. (2)函数y ＝x 3是增函数，∴0.213<0.233. (3)∵3121218.18.12>>， ∴31218.12>.(4)525211.4>＝1；0<323218.3--<＝1；53)9.1(-<0，∴5232531.48.3)9.1(<<--.变式迁移2 (1)①< ②< (2)m >0解析根据幂函数y ＝x 1.3的图象，当0<x <1时，0<y <1，∴0<0.71.3<1. 又根据幂函数y ＝x 0.7的图象，当x >1时，y >1，∴1.30.7>1. 于是有0.71.3<1.30.7.对于幂函数y ＝x m ，由(0.71.3)m <(1.30.7)m 知，当x >0时，随着x 的增大，函数值也增大，∴m >0.例3 解 ∵函数f (x )在(0，＋∞)上递减， ∴m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. ∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数的图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数， 12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m ＝1. 而y ＝31-x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴31)1(-+a <31)23(--a 等价于a ＋1>3－2a >0，或0>a ＋1>3－2a ，或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.故a 的范围为{a |a <－1或23<a <32}．变式迁移3 解 (1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *，而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m (m ＋1)为偶数． ∴函数f (x )＝1)(2-+m mx (m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2)∵函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝12)(2-+m m ，即1)2(2122-+=m m .∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥02－a >a －1.解得1≤a <32.∴a 的取值范围为[1，32)．课后练习区1．C [由图象知，函数为偶函数， ∴m 为偶数，n 为奇数．又函数图象在第一限内上凸，∴mn <1.]2．C [∵(x ＋y )α≠x α·y α， ∴幂函数f (x )＝x α不具有此性质． ∵log a (x ＋y )≠log a x ·log a y ，∴对数函数f (x )＝log a x 不具有此性质．∵a x ＋y ＝a x ·a y ，∴指数函数f (x )＝a x 具有此性质． ∵cos(x ＋y )≠cos x ·cos y ，∴余弦函数y ＝cos x 不具有此性质．]3．C [对A 、B ，由y ＝x ＋a 知a >1，可知A 、B 图象不正确；D 中由y ＝x ＋a 知0<a <1，∴y ＝log a x 应为减函数，D 错．] 4．A [∵y ＝52x 在x ∈(0，＋∞)递增，∴5252)52()53(>，即a >c ， ∵y ＝(25)x 在x ∈(－∞，＋∞)递减，∴5352)52()52(>，即c >b ， ∴a >c >b .] 5．D 6．1或2解析由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0解得m ＝1或2.经检验m ＝1或2都适合． 7．c <a <b解析 ∵α∈(0,1)，∴1α>α>α2.又∵x ∈(0,1)，∴ax 1<x α<2ax ，即c <a f (x 2)x 2，故④错．9．解设在[－1,1)中，f (x )＝x n ，由点(12，18)在函数图象上，求得n ＝3.……………………………………………………(4分)令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)，∴f (x －2k )＝(x －2k )3.……………………………………………………………………(8分) 又f (x )周期为2，∴f (x )＝f (x －2k )＝(x －2k )3.即f (x )＝(x －2k )3(k ∈Z )．………………………………………………………………(12分)10．解由条件知1－n 2＋2n ＋3>0，－n 2＋2n ＋3>0，解得－1<n <3.…………………………………………………………(4分) 又n ＝2k ，k ∈Z ，∴n ＝0,2.当n ＝0,2时，f (x )＝x 13，∴f (x )在R 上单调递增．…………………………………………………………………(8分) ∴f (x 2－x )>f (x ＋3)转化为x 2－x >x ＋3. 解得x <－1或x >3.∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．………………………………………(12分) 11．解 (1)∵f (2)<f (3)， ∴f (x )在第一象限是增函数．故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2. 又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2.…………………………………………………………………………………(6分) (2)假设存在q >0满足题设，由(1)知 g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点(2q －12q ，4q 2＋14q )处取得．……………………………………………………………………………………………(8分) 而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178，…………………………………………………………………(12分)g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2.∴存在q ＝2满足题意．……………………………………………………(14分)。

浙江专用2022高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第4讲二次函数与幂函数学案(含答案)

高考数学一轮复习学案：第4讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递增在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递减奇偶性当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数顶点 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a对称性图象关于直线x ＝－b2a成轴对称图形常用结论1．巧识幂函数的图象和性质2．记牢一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.[思考辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 13是幂函数．( )(2)当n >0时，幂函数y ＝x n在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )不可能是偶函数．( ) (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a.( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× [诊断自测]1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( ) A ．14 B ．4C ．22D ． 2解析：选C ．设f (x )＝x α，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，所以f (4)＝4α＝12，解得α＝－12，所以f (2)＝2－12＝22.2．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]解析：选D ．函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧，所以－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D ．3．函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，3]上的最大值为________．最小值为________．解析：f (x )＝(x －1)2＋2，0≤x ≤3，所以x ＝1时，f (x )min ＝2，x ＝3时，f (x )max ＝6. 答案：6 24．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝12－20a <0，解得a >120. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫120，＋∞幂函数的图象及性质(自主练透)1．已知幂函数f (x )＝mx n的图象过点(2，22)，设a ＝f (m )，b ＝f (n )，c ＝f (ln 2)，则( )A ．c m >ln 2，故c <a <b ，故选B ．2．幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象如图所示，则实数m 的值为( )A ．3B ．0C ．1D ．2解析：选C ．因为函数y 在(0，＋∞)上单调递减，所以m 2－2m －3<0，解得－1<m <3.因为m ∈Z ，所以m ＝0，1，2.而当m ＝0或2时，f (x )＝x －3为奇函数，当m ＝1时，f (x )＝x－4为偶函数，所以m ＝1.3．若幂函数y ＝x －1，y ＝x m与y ＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<mC ．－1<m <0<nD ．－1<n <0<m <1解析：选D ．幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m <1；当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x ＝2，根据图象可得2－1<2n，所以－1<n <0，综上所述，选D ．4．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.二次函数的解析式(师生共研)(一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】方法一(利用一般式)：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.方法二(利用顶点式)：设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．因为f (2)＝f (－1)，f (－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.方法三(利用零点式)：由已知得f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a (－2a －1)－a24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：1．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5的图象过点P (－1，11)，且其对称轴是直线x ＝1，则a ＋b 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：选A ．因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5的图象的对称轴是直线x ＝1，所以－b2a＝1 ①.又f(－1)＝a－b＋5＝11，所以a－b＝6 ②.联立①②，解得a＝2，b＝－4，所以a ＋b＝－2，故选A．2．已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f(x)的解析式为f(x)＝________．解析：由二次函数f(x)有两个零点0和－2，可设f(x)＝a(x＋2)x，则f(x)＝a(x2＋2x)＝a(x＋1)2－a.又f(x)有最小值－1，则a＝1.所以f(x)＝x2＋2x.答案：x2＋2x二次函数的图象与性质(多维探究)角度一二次函数图象的识别问题如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的结论是( )A．②④B．①④C．②③D．①③【解析】因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a －b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．故选B．【答案】 B识别二次函数图象应学会“三看”角度二二次函数的单调性问题(1)函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，0]B ．(－∞，－3]C ．[－2，0]D ．[－3，0](2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的最小值为f (1)，则f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，f (3)的大小关系是( )A ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (3)B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 D ．f (2)<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 【解析】 (1)当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a 2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]．(2)由已知可得二次函数f (x )图象开口向上，对称轴为x ＝1，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－32－1>|3－1|>|2－1|，所以f (2)<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32. 【答案】 (1)D (2)D【迁移探究】 (变条件)若将本例(1)的条件改为函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________．解析：由题意知f (x )必为二次函数且a <0，又3－a2a ＝－1，所以a ＝－3.答案：－3二次函数单调性问题的求解策略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置．若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．角度三二次函数的最值问题若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关【解析】 f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a 24＋b ，①当0≤－a 2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b ，1＋a ＋b }，所以M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0，1]上单调递增，所以M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a有关，与b 无关；③当－a2>1时，f (x )在[0，1]上单调递减，所以M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关，故选B ．【答案】 B二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．角度四一元二次不等式恒成立问题(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为____________．【解析】 (1)作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0.(2)由题意得x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．所以g (x )min ＝g (－1)＝1.所以k <1.故k 的取值范围为(－∞，1)．【答案】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)(－∞，1)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .1．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )有两个零点，则“－2≤a ＋b ≤0”是“函数f (x )至少有一个零点属于区间[0，2]”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．因为函数f (x )至少有一个零点属于区间[0，2]，所以可设f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )有两个零点，分别为x 1，x 2，其中x 1∈[0，2]，x 2∈R ，则f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x －x 1)(x －x 2)，a ＋b ＝f (1)－1＝(1－x 1)(1－x 2)－1.由于x 1∈[0，2]，x 2∈R ，所以1－x 1∈[－1，1]，1－x 2∈R ，所以a ＋b ＝(1－x 1)(1－x 2)－1∈R .所以“－2≤a ＋b ≤0”是“函数f (x )至少有一个零点属于区间[0，2]”的充分不必要条件.2．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (0)<f (2)<f (－2) B ．f (0)<f (－2)<f (2) C ．f (2)<f (0)<f (－2) D ．f (－2)<f (0)<f (2)解析：选A ．由f (1＋x )＝f (－x )知函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝12，而抛物线的开口向上，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－12＝12，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12＝32，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－12＝52，根据到对称轴的距离越远的函数值越大得f (－2)>f (2)>f (0)．故选A ．3．若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则a 的取值集合为________．解析：因为函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，对称轴x＝1，因为f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，所以当1≤a时，f(x)min＝f(a)＝(a－1)2＝4，解得a＝－1(舍去)或a＝3，当a＋2≤1，即a≤－1时，f(x)min＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，解得a＝1(舍去)或a＝－3，当a<1<a＋2，即－1<a<1时，f(x)min＝f(1)＝0≠4，－3，3.故a的取值集合为{}－3，3答案：{}。

数学一轮复习第二章函数导数及其应用第四节二次函数与幂函数学案含解析

第四节二次函数与幂函数最新考纲考情分析1。

了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝的图象，了解它们的变化情况．3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题。

1。

幂函数一般不单独命题，而常与指数函数，对数函数交汇命题，题型一般为选择题、填空题，主要考查幂函数的图象和性质．2．对二次函数相关性质的考查是命题热点，大多以选择题、填空题出现．3．试题难度以中、低档题为主,个别试题难度较大.知识点一二次函数的图象和性质1。

二次函数解析式的三种形式:（1)一般式：f（x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）;（2)顶点式：f(x）＝a(x－m）2＋n(a≠0）；（3)零点式:f(x）＝a（x－x1)(x－x2）(a≠0）．2．一元二次不等式恒成立的条件：（1）ax2＋bx＋c〉0(a≠0)恒成立的充要条件是“a〉0且Δ〈0”;（2）ax2＋bx＋c〈0（a≠0）恒成立的充要条件是“a<0且Δ<0”．知识点二幂函数1．定义:形如y＝xα（α∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量,α是常数．2．常见的五种幂函数的图象和性质比较1．思考辨析判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×"）(1)函数y＝是幂函数．（×)(2）当n>0时，幂函数y＝x n在(0,＋∞）上是增函数．(√）(3）二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R）不可能是偶函数．(×）(4）二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b］)的最值一定是错误!.（×)解析:(1）由于幂函数的解析式为f（x)＝xα，故y＝不是幂函数，(1)错．(3）由于当b＝0时,y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c为偶函数，故（3）错．（4）对称轴x＝－错误!，当－错误!小于a或大于b时，最值不是4ac－b24a,故(4)错．2．小题热身（1)已知幂函数f(x）＝k·xα的图象过点错误!，则k＋α＝(C）A。

数学一轮复习第二章2.4二次函数与幂函数学案理含解析

第四节二次函数与幂函数【知识重温】一、必记2个知识点1．幂函数（1)定义:形如①________________的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x,y＝x2，y＝x3,y ＝12x，y＝x－1.（2）性质(ⅰ）幂函数在（0，＋∞)上都有定义；(ⅱ）当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和（0，0），且在（0,＋∞)上单调递增；(ⅲ)当α<0时，幂函数的图象都过点（1,1），且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数（1)二次函数解析式的三种形式(ⅰ）一般式：f(x）＝②________________________;(ⅱ）顶点式:f(x)＝③________________________；（ⅲ)零点式：f(x）＝④________________________。

(2)二次函数的图象和性质(－∞，＋∞)(－∞，＋∞）二、必明2个易误点1．研究函数f（x)＝ax2＋bx＋c的性质，易忽视a的取值情况的讨论而盲目认为f（x)为二次函数．2．形如y＝xα(α∈R)才是幂函数，如y＝123x不是幂函数．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”）．（1）函数y＝132x是幂函数．（)（2）当n〉0时，幂函数y＝x n在（0,＋∞）上是增函数．(）（3)二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R)不可能是偶函数．（）（4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．（）(5）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈［a,b］的最值一定是错误!。

（)二、教材改编2．已知幂函数y＝f（x）的图象过点(2，错误!），则函数y＝f(x)的解析式为________．3．函数y＝ax2－6x＋7a（a≠0)的值域为［－2，＋∞)，则a 的值为（）A．－1 B．－错误!C．1 D．2三、易错易混4．函数y＝2x2－6x＋3,x∈［－1,1]，则y的最小值是() A．－1 B．－2 C．1 D．25．若四个幂函数y＝x a，y＝x b,y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（)A．d>c〉b>a B．a>b〉c〉dC．d〉c〉a〉b D．a〉b〉d〉c四、走进高考6．[2020·江苏卷]已知y＝f（x)是奇函数,当x≥0时,f(x）＝23x，则f（－8）的值是________．考点一幂函数的图象及性质[自主练透型］1．已知点错误!在幂函数f（x)的图象上,则f(x）是（）A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数2．幂函数y＝xm2－2m－3（m∈Z）的图象如图所示，则m 的值为（)A．－1 B．0C．1 D．23．[2021·江西九江联考］已知a＝0.40.3,b＝0.30。

高中数学幂函数图象与性质讲学案(一)人教版必修一A

A．0个B．1个C．2个D．3个
〖课堂感悟〗：
感悟归纳一：
。
感悟归纳二：
幂函数图象与性质讲学案(一)
〖学习目标及要求〗：
1、学习目标：（1）幂函数的概念，结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质；
（2）会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x 的图象
（3）能利用幂函数性质解决比较大小等类型题目
2、重点难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小
(1) ________ (2) ________
(3) __________ (4) ____________
引申：讨论比较大小
探究二：
求下列幂函数的定义域，并指出其单调性。
（1）有能力做（2）
三、〖备选习题〗：
1、比较下列两个代数值的大小：
.
2、、求下列函数的定义域；
3、在函数y＝ y＝2x3，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数有（）
3、高考要求：常见幂函数的图象和性质以及单调性的运用.
4、体现的思想方法：数形结合的思想.
5、知识体系的建构：函数图像体系的建构
〖讲学过程〗：
一、预习反馈:
二、探究精讲:
1、幂函数定义（注意与数函数的区别）
2、五个幂函数图像及特点
3、题型探究一：
比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上“<”或“>”）

幂函数(课前自主预习学案)

幂函数（课前自主预习学案）
发表时间：2019-08-21T11:53:08.450Z 来源：《现代中小学教育》2019年第7期作者：蒋子鹏
[导读] 通过实例，了解幂函数的概念；结合函数的图象，了解它们的变化情况.
山东省广饶县第一中学蒋子鹏
【学习目标】
【知识与技能】通过实例，了解幂函数的概念；结合函数的图象，了解它们的变化情况.
【过程与方法】使学生体会通过观察、分析函数图象来研究函数性质的方法.
【情感态度价值观】通过引导学生主动参与作图、分析图象的过程，培养学生的探索精神，并在研究函数变化中渗透辩证唯物主义的观点. 【学习重点】幂函数的概念、图象和性质
【学习难点】将函数图象的直观特点上升到理性知识、归纳、概括成函数的性质
【学习过程】…
一、创设情境，导入新课
引例：人生哲理---只要我们认真观察，用心思考，总能实现自己的目标！走出自己的生命曲线。

你学习过哪几个函数？________________
这类函数有什么共同特征？
（1）______是常数 (2)_______是变量（3）都是__________的形式
二、温故知新，概念形成
三、探究性质，学以致用
动手操作，在同一个坐标系中标出下列给定函数图象的解析式
五、总结反思，升华提高
知识方面：
题型方法：
思想方面：
六、布置作业，巩固提高
必做：教材第110页：习题3-3A第1、2题，
习题3-3B1、2题
阅读：教材第110页-111页的“探索与研究”
选做：教材第110页：习题3-3A第4题，
习题3-3B3题。

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学案28：幂函数
【课前预习,听课有针对性】
1. 下列函数是幂函数的是（）
A. x y x =
B. 123y x =
C. 121y x =+
D. y x =
2. 下列命题中正确的是（）
A ．当0α=时，函数y x α=的图象是一条直线
B ．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点
C ．幂函数的y x α= 图象不可能在第四象限内
D ．若幂函数y x α=为奇函数，则在定义域内是增函数
3.与函数1
x y x =+的图像形状一样的是（） A. 2x y = B. 2log y x = C. 1y x
= D. 1y x =+
4. 幂函数的图象过点2,
2⎛ ⎝⎭,则()4f 的值为（） A. 16 B.
116 C. 2 D. 12
5. 函数()1
222y x x -=-的定义域是（）
A ．{x |x ≠0或x ≠2}
B ．（－∞，0）（2，＋∞）
C ．（－∞，0）［2，＋∞ ）
D ．（0，2）
【及时巩固,牢固掌握知识】
A 组夯实基础，运用知识
6. 比较下列各组数的大小：
（1）453.6
-与456.3- （2）0.25.3与0.22.4 （3）1113
22,1.4
7. 如右图，曲线是幂函数n y x =在第一象限内的图象，已知n 分别取1
1,,22
±四个值，相应与曲线1234,,,c c c c 的n 依次为（）Ａ．11,,1,22- Ｂ．12,1,,12- Ｃ．
1,1,2,12- Ｄ．12,,1,12-
8. 函数45y x
-=的定义域是
9.函数21
-=x y 的值域是
B 组提高能力，灵活迁移
10. 函数34
x y =的图象是（）
A ．
B ．
C ．
D ． 11. 幂函数的图象经过点)41,2(，则它的单调增区间是
12. 若22)2()
1(--+>-x x ，则x 的取值范围是
13．设x x x f +=3)(，则对任意实数"0",,≥+b a b a 是"0)()("≥+b f a f 的条件。

【应对高考,寻找网络节点】
14.下列四类函数中，个有性质“对任意的0,0x y >>，函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=
的是（）Ａ．幂函数 B ．对数函数 C ．指数函数
D ．余弦函数
15.设232555322555
a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是（）Ａ．a ＞c ＞b B ．a ＞b ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a
【温故知新，融会而贯通】（10m ）
16. 下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是（）
A ．()f x =
1x B. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D.()ln(1)f x x =+。