成才之路·人教B版数学·必修5 1-1-4
高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列2.3习题课——等比数列习题课
D典例透析 S随堂演练
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题型一
题型二
题型三
题型四
1
1
2
1
(2)解:由(1)知 -1= · -1 =
1
即
1
=
2
1
+1,则
设 Tn= +
2
3
=
1
22
2
2
2
2
1
+
2
2
+…+
3
=
2
1
1-
2
1
12
1
=1-
2
−
−
2
1
2
1
2
22
,
+n.
2
+
2 +1
1
,②
−
+…+
2
2 +1
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,
所以-8q=-24,q=3.
1 (1- )
所以数列{bn}的前 n 项和公式 Sn=
1-
=4(1-3n).
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IANLITOUXI
1
2
3
UITANGLIANXI
4
1等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1的值为
题型四
等比数列的基本运算
【例1】 (1)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,Sn=93,an=48,公比
《成才之路》2015版高中数学(人教版B版·必修5)配套课件1.2应用举例第1课时
• A．α，a，b • C．a，b，γ • [答案] C
B．α，β，a D．α，β，b
• [解析] 根据实际情况，α、β都是不易测量 的数据，而a、b可以测得，角γ也可以测得， 根据余弦定理AB2＝a2＋b2－2abcosγ能直接求 出AB的长，故选C．
• 3.如图所示，客轮以速率2v由A至B再到C匀速 航行，货轮从AC的中点D出发，以速率v沿直 线匀速航行，将货物送达客轮，已知AB⊥BC， 且AB＝BC＝50n mile，若两船同时出发，则 两船相遇之处M距C点________n mile.
• 如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两 点A、B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝ 45°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，求河的宽 度．
• [解析] 如图，
在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°， ∴∠ACB＝60°. 由正弦定理，得AC＝ABsi·nsi∠n∠ACCBBA＝12s0insi6n07°5° ＝20(3 2＋ 6)． 设C到AB的距离为CD， 则CD＝ACsin∠CAB＝ 22AC＝20(3＋ 3)． 答：河的宽度为20( 3＋3)m.
∴(vt)2＝(25 2)2＋x2－2×25 2×x×cos45°， 即34x2＝1250，∴3x2＝4×1250，
∴x＝503
6 n
mile.
• 4．在相距2km的A、B两点处测量目标点C， 若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点 之[答间案的] 距6离为________km.
• [解析] 如图所示，由题意知∠C＝45°，
• (2)如图，作PD⊥a，垂足为D．在Rt△PDA
中，
PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB ＝x·3x＋5x32＝3×13752＋32≈17.71(km)． 答：静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71 km.
高中数学新人教B版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例
面内),求两目标A,B之间的距离.
分析:要求出A,B之间的距离,可在△ABC(或△ADB)中去找关系,
但不管在哪个三角形中,AC,BC这些量都是未知的,需要在三角形中
找出合适的关系式,求出它们的值,然后解斜三角形即可.
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HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
,
,
∴a=CD=BC-BD=tan ∠ − tan ∠ .
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HISHISHULI
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HONGNANJUJIAO
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
∴a=CD=BC-BD=tan ∠ − tan ∠ .
∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC=
180°-80°
2
=50°.
∴∠ABG=180°-∠CBH-∠CBA=180°-120°-50°=10°.故选B.
答案:B
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HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
2.三角形中的有关公式和结论
(1)直角三角形中各元素间的关系.
在△ABC中,若∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,则有:
HISHISHULI
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HONGNANJUJIAO
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(2)斜三角形中各元素间的关系.
在△ABC中,若∠A,∠B,∠C为其内角,a,b,c分别表示∠A, ∠B,
高中数学新人教B版必修5课件：第三章不等式3.5.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域
反思感悟 在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等 式表示的区域，再取它们的公共部分即可.其步骤：①画线；②定侧；③求 “交”；④表示.但要注意是否包含边界.
跟踪训练3 画出|x|＋|y|≤1表示的平面区域.
解 当x≥0且y≥0时，|x|＋|y|≤1，即x＋y≤1.
x≥0， 由y≥0，
3 达标检测
PART THREE
1.不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是
A.(0，0) C.(0，2)
B.(1，1)
√D.(2，0)
解析 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2，0)代入后不等式不成立， 故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内，故选D.
1234
2.已知点(－1，2)和点(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是
解析 在平面直角坐标系中画出直线x－2y＋6＝0， 视察图象(图略)知原点在直线的右下方， 将原点(0,0)代入x－2y＋6，得0－0＋6＝6>0， 所以原点(0,0)在不等式x－2y＋6>0表示的平面区域内，故选B.
命题角度2 给不等式组画平面区域
例3 画出下列不等式组所表示的平面区域.
x－2y≤3，
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
数形结合的魅力
典例 我们可以验证点(1,2)是不等式x－y＜6的一个解.怎么证明直线
x－y＝6左上方半平面(不包括边界)上所有点均是x－y＜6的解？
证明 设点A(x0，y0)位于直线x－y＝6左上方区域，
则过点A作直线AB∥y轴，交直线x－y＝6于点 B. 设B(x0，y1)，则有y0＞y1. ∵B在直线x－y＝6上，
【成才之路】高中数学(人教版B版_必修5)配套练习：第1章基本知能检测
C． tanA>tanB
D ． sinA<sin B
[答案 ] B
[解析 ] ∵ A>B，∴ a>b， 由正弦定理，得 sinA>sinB，故选 B ．
2
b
3．△ ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，asinAsinB＋ bcos A＝ 2a，则 a
＝( )
A．2 3
B．2 2
α＋
B
＝
52，求
tan α的值．
[解析 ] (1) 因为 a2＋ b2＋ 2ab＝ c2，
由余弦定理有
cosC
＝
a2＋
b2－
c2 ＝
－
2ab ＝－
2，
2ab
2ab
2
故
C
＝
3π 4.
(2)由题意得
sinαsinA－ cosαcosA sinαsinB－cosαcosB cos2α
＝
52，
因此 (tanαsinA－ cosA)(tanαsinB－ cosB)＝ 52，
A．2 6
B．3 6
C． 2 2
D．3 2
[答案 ] C
[解析 ] 设所求边长为 x，由正弦定理得，
x sin30
＝°sin445
，°∴ x＝ 2
2，故选
C．
2．在△ ABC 中，角 A、 B、C 所对的边分别为 a、 b、c，且 A>B，则一定有 ( )
A ． cosA>cosB
B ． sinA>sinB
A ．无解
B ．有一解
C．有两解
D ．不能确定
[答案 ] A
[解析 ] 4× sin60 ＝°2 3＝ 12，
人教课标版(B版)高中数学必修5《数列求和》复习课件
∴bn＝－34·23n－1。 ∴an2－1＝－34·23n－1。 ∴an2＝1－43·32n－1。 又 a1＝12>0，an·an＋1<0，
∴an＝(－1)n－1
1－34·23n－1。
对应训练 3 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝52－a1n，bn＝an－1 2(n∈ N*)，则数列{bn}的通项公式 bn＝____－__13_×__4_n－_1_－__32___。
【规律·方法】 利用恒等式 an＝a1·aa21·aa32…aan－n1(an≠0)求通项公式的方 法称为累乘法。累乘法是求型如 an＋1＝g(n)an 的递推数列通项公式的基 本方法，其中 g(n)可求前 n 项积。
对应训练 2 设{an}是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)an2＋1－nan2＋ 1
考点二 累乘法求通项公式
【例 2】
若
a1＝1，Sn＝n＋3 2an(n∈N*)，则通项
nn＋1 an＝____2____。
【解析】 由题设知，a1＝1。 当 n>1 时，an＝Sn－Sn－1＝n＋3 2an－n＋3 1an－1，∴aan－n 1＝nn＋－11。 ∴aan－n 1＝nn＋－11，…，aa34＝35，aa23＝24，aa12＝3。 以上 n－1 个式子的等号两端分别相乘， 得到aan1＝nn＋2 1，又∵a1＝1，∴an＝nn＋2 1。
数列 求和
学习目标
• 1．掌握等差数列、等比数列的前n项和公式． • 2．掌握一般数列求和的几种常见的方法．
知识梳理
• 一、公式法 • 1．直接利用等差数列、等比数列的前n项公式求和
• (1)等差数列的前n项和公式Sn＝__n_（__a_12＋__a_n_）__ • ＝__n_a_1＋__n_（__n_－2__1）d． (其中a1为首项，d为公差) • (2)等比数列的前n项和公式
「精品」高中数学 第2章 数列 2.3 等比数列 第2课时 等比数列的性质同步课件 新人教B版必修5-精品资料
方程时，可以据后三个成等比用a、q表示四个数，也可以据前
三个成等差，用a、d表示四个数，由于中间两数之积为16，将
中间两个数设为
a q
，aq这样既可使未知量减少，同时解方程也
较为方便．
(2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为x，则第
二个数为
16 x
，则第一个数为
32 x
－x，最后一个数为
x3 16
[解析] ∵a7＝a3q4，∴q4＝aa73＝2， ∴a11＝a7·q4＝6×2＝12.
6．(2015·北京文，16)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10， a4－a3＝2.
(1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7.问：b6与数列{an}的 第几项相等？
[解析] 由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d ＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，
这三个数可表示为2－d,2,2＋d， ①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝ 6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8. ②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝ －6，或d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4. ③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)， ∴d＝0(舍去)． 综上可知此三数为－4,2,8.
易错疑难辨析
三个正数能构成等比数列，它们的积是27，平 方和为91，则这三个数为________．
[错解] 1,3,9或－1,3，－9 设三数为aq，a，aq，则
aq·a·aq＝27
①
aq2＋a2＋a2q2＝91
②
由①得a＝3代入②中得q＝±3或q＝±13. ∴当q＝3时，三数为1,3,9；当q＝－3时，三数为－1，3， －9；当q＝13时三数为9,3,1；当q＝－13时，三数为－9,3，－1. 综上可知此三数为1,3,9或－1,3，－9.
【成才之路】高中数学(人教版B版_必修5)配套练习：第1章综合素质检测
D．△ A1B1C1 是锐角三角形，△ A2B2C2 是钝角三角形
[答案 ] D
[解析 ] 由条件知，△ A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 假设△ A2B2C2 是锐角三角形，由
0，则△ A1B1C1 是锐角三角形，
π sin A2＝ cosA1＝ sin 2－A1
π
sin B2 ＝cosB1＝ sin
A ． 一定是锐角三角形
B．一定是钝角三角形
)在△ ABC 中， a、 b、 c 分别为角 A、 B、
C．一定是斜三角形 D ．一定是直角三角形
[答案 ] D
[解析 ] 解法一：∵ ccosA＝ b， ∴sin CcosA＝ sinB＝ sin(A＋C)
＝sin AcosC＋ cosAsinC，
∴sin AcosC＝ 0，
A．2 3
B．2 2
C． 3
D． 2
[答案 ] D [解析 ] ∵ asinAsinB＋ bcos2A＝ 2a， ∴由正弦定理，得 sin2AsinB＋ sinBcos2A＝ 2sinA， ∴sin B(sin2A＋ cos2A)＝ 2sinA， ∴sin B＝ 2sinA，
∴sin B＝ 2. sinA
∵sin A≠0，∴ cosC＝ 0，又 0<c<π，
∴C＝ π，故选 D． 2
解法二：由余弦定理，得
b2＋ c2－ c· 2bc
a
2
＝
b
，
∴ b 2＋ c2－ a 2＝ 2 b 2，
即 a2＋ b2＝ c2，故△ ABC 是直角三角形．
5．从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，则 α、 β的关系为 ( )
第一章综合素质检测
【成才之路】2015版高中数学 3.2 均值不等式(第2课时)练习 新人教B版必修5
第三章 3.2 第2课时一、选择题1．a 、b 、c 是互不相等的正数，且a2＋c2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是( )A ．a>b>cB ．c>a>bC ．b>a>cD ．a>c>b[答案] C[解析] ∵a 、c 均为正数，且a≠c ，∴a2＋c2>2ac ，又∵a2＋c2＝2bc ，∴2bc>2ac ，∵c>0，∴b>a ，排除A 、B 、D ，故选C ．2．设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，且a1＝b1，a21＝b21，则( )A ．a11＝b11B ．a11>b11C ．a11<b11D ．a11≥b11[答案] D[解析] ∵an>0，bn>0，a1＝b1，a21＝b21，∴a11＝a1＋a212＝b1＋b212≥b1b21＝b11，等号成立时，b1＝b21，即此时{an}、{bn}均为常数列，故选D ．3．若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．245B ．285C ．5D ．6[答案] C[解析] 本题考查了均值不等式的应用．由x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y)·(15y ＋35x )＝3x 5y ＋12y 5x ＋95＋45≥23x 5y ·12y 5x ＋135＝125＋135＝5， 当且仅当3x 5y ＝12y 5x 时，得到最小值5.4．已知R1、R2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①、②连接，设相应的总阻值分别为RA 、RB ，则RA 与RB 的大小关系是( )A ．RA>RB B ．RA ＝RBC ．RA<RBD ．不确定[答案] A[解析] RA ＝R1＋R22，RB ＝2R1R2R1＋R2， RA －RB ＝R1＋R22－2R1R2R1＋R2＝＋－4R1R2＋＝－＋>0，所以RA>RB ．5．已知a>1，b>1，且lga ＋lgb ＝6，则lga·lgb 的最大值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18[答案] B[解析] ∵a>1，b>1，∴lga>0，lgb>0，又lga ＋lgb ＝6，∴lga·lgb≤(lga ＋lgb 2)2＝(62)2＝9，故选B ．6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件[答案] B[解析] 由题意知仓储x 件需要的仓储费为x28元，所以平均费用为y ＝x 8＋800x ≥2x 8×800x ＝20，当且仅当x ＝80等号成立．二、填空题7．已知2x ＋3y ＝2(x>0，y>0)，则xy 的最小值是________．[答案] 6[解析] 2x ＋3y ≥26xy ，∴26xy ≤2，∴xy≥6. 8．若实数x 、y 满足x2＋y2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． [答案]233 [解析] ∵x2＋y2＋xy ＝1，∴(x ＋y)2＝xy ＋1.又∵xy≤(x ＋y 2)2，∴(x ＋y)2≤(x ＋y 2)2＋1，即34(x ＋y)2≤1.∴(x ＋y)2≤43.∴－233≤x ＋y≤233.∴x ＋y 的最大值为233.三、解答题9．已知a 、b 、c ∈R ，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a ＋b ＋c)．[解析] ∵a ＋b 2≤a2＋b22，∴a2＋b2≥a ＋b 2＝22(a ＋b)(a ，b ∈R 等号在a ＝b 时成立)．同理b2＋c2≥22(b ＋c)(等号在b ＝c 时成立)．a2＋c2≥22(a ＋c)(等号在a ＝c 时成立)． 三式相加得a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥22(a ＋b)＋22(b ＋c)＋22(a ＋c)＝2(a ＋b ＋c)(等号在a ＝b ＝c 时成立).一、选择题1．若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy·b x ＋dy ，则有() A ．P ＝Q B ．P≥QC ．P≤QD ．P>Q[答案] C [解析] Q ＝ax ＋cy·b x ＋dy ＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcy x ≥ab ＋cd ＋2abcd＝ab ＋cd ＝P .2．已知x≥52，则f(x)＝x2－4x ＋52x －4有( ) A ．最大值54 B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1[答案] D[解析] ∵x≥52，∴x －2＞0， 则f(x)＝x2－4x ＋52x －4＝12⎣⎡⎦⎤－＋1－≥1，等号在x －2＝1x －2即x ＝3时成立．3．已知y>x>0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x<x ＋y 2<y<2xyB ．2xy<x<x ＋y 2<yC ．x<x ＋y 2<2xy<yD ．x<2xy<x ＋y 2<y[答案] D[解析] ∵y>x>0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38.∴x<2xy<x ＋y 2<y.故选D ．4．设a 、b 是正实数，给出以下不等式： ①ab>2ab a ＋b；②a>|a －b|－b ；③a2＋b2>4ab －3b2；④ab ＋2ab >2，其中恒成立的序号为( ) A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④[答案] D[解析] ∵a 、b ∈R ＋时，a ＋b≥2ab ，∴2ab a ＋b ≤1， ∴2ab a ＋b≤ab ，∴①不恒成立，排除A 、B ； ∵ab ＋2ab ≥22>2恒成立，故选D ．二、填空题5．建造一个容积为8 m3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．[答案] 1 760[解析] 设水池池底的一边长为 x m ，则另一边长为4x m ，则总造价为：y ＝480＋80×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x ×2＝480＋320⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥480＋320×2x×4x ＝1 760.当且仅当x ＝4x 即x ＝2时，y 取最小值1 760.所以水池的最低总造价为1 760元．6．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是________．[答案] 3[解析] 以C 为原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，设P(x ，y)，则AB 方程为x 3＋y 4＝1，∵x ，y ∈R ＋，∴1＝x 3＋y 4≥2xy12，∴xy≤3.三、解答题7．若x>0，y>0，x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )·(1＋1y )≥9.[解析] 证法一：左边＝(1＋1x )(1＋1y )＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy＝1＋2xy ≥1＋2x ＋y 2＝9＝右边．当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．证法二：∵x ＋y ＝1，∴左边＝(1＋1x )(1＋1y )＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋xy )＝5＋2(y x ＋xy )≥5＋4＝9＝右边．当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．8．已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a2b ＋b2c ＋c2a ≥a ＋b ＋C ．[解析] ∵a 、b 、c ∈R ＋，a2b ，b2c ，c2a 均大于0， 又a2b ＋b≥2a2b ·b ＝2a ，b2c ＋c≥2b2c ·c ＝2b ，c2a ＋a≥2c2a ·a ＝2c ， 三式相加得a2b ＋b ＋b2c ＋c ＋c2a ＋a≥2a ＋2b ＋2c ， ∴a2b ＋b2c ＋c2a ≥a ＋b ＋C ．。
成才之路人教B数学必修5课后强化作业：2-3-2《等比数列的性质》.DOC
基 础 巩 固一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 4＋a 5＝10，a 6＋a 7＝20，则a 8＋a 9等于( )A ．90B ．30C ．70D ．40[答案] D[解析] ∵q 2＝a 6＋a 7a 4＋a 5＝2，∴a 8＋a 9＝(a 6＋a 7)q 2＝20q 2＝40.2．在等比数列{a n }中，a 2 010＝8a 2 007，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8[答案] A[解析] ∵a 2 010＝8a 2 007，∴q 3＝a 2 010a 2 007＝8，∴q ＝2.3．等比数列{a n }各项为正数，且3是a 5和a 6的等比中项，则a 1·a 2·…·a 10＝( )A ．39B ．310C ．311D ．312[答案] B[解析] 由已知，得a 5a 6＝9，∴a 1·a 10＝a 2·a 9＝a 3·a 8＝a 4·a 7＝a 5·a 6＝9， ∴a 1·a 2·…·a 10＝95＝310.4．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] a 3a 5a 7a 9a 11＝a 51q 30＝243，∴a 29a 11＝(a 1q 8)2a 1q 10＝a 1q 6＝5243＝3. 5．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16[答案] C[解析] ∵a 3a 11＝a 27＝4a 7，∵a 7≠0， ∴a 7＝4，∴b 7＝4，∵{b n }为等差数列， ∴b 5＋b 9＝2b 7＝8.6．在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6a 16等于( )A.32B.23C.16D ．6[答案] A [解析]∵⎩⎨⎧a 7·a 11＝a 4·a 14＝6a 4＋a 14＝5，解得⎩⎨⎧a 4＝3a 14＝2或⎩⎨⎧a 4＝2a 14＝3.又∵a n >a n ＋1，∴a 4＝3，a 14＝2.∴a 6a 16＝a 4a 14＝32.二、填空题7．等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5等于________．[答案] 27[解析] 由题意，得a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝(a 1＋a 2)q 2＝9， ∴q 2＝9，又a n >0，∴q ＝3. 故a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝9×3＝27.8．已知等比数列{a n }的公比q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8等于________．[答案] －3[解析] a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＋a 7q＝1q ＝－3. 三、解答题9．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q . [解析] (1)∵a 1a 2a 3＝216，∴a 2＝6， ∴a 1a 3＝36.又∵a 1＋a 3＝21－a 2＝15，∴a 1，a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·(12)n －1. (2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72， ∴q 4＝4，∴q ＝±2.能 力 提 升一、选择题1．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．215[答案] B[解析] 设A ＝a 1a 4a 7…a 28，B ＝a 2a 5a 8…a 29， C ＝a 3a 6a 9…a 30，则A 、B 、C 成等比数列， 公比为q 10＝210，由条件得A ·B ·C ＝230，∴B ＝210， ∴C ＝B ·210＝220.2．如果数列{a n }是等比数列，那么( ) A ．数列{a 2n }是等比数列 B ．数列{2a n }是等比数列 C ．数列{lg a n }是等比数列 D ．数列{na n }是等比数列 [答案] A[解析] 设b n ＝a 2n ，则b n ＋1b n ＝a 2n ＋1a 2n ＝(a n ＋1a n)2＝q 2，∴{b n }成等比数列；2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ≠常数；当a n <0时lg a n 无意义；设c n ＝na n ， 则c n ＋1c n＝(n ＋1)a n ＋1na n ＝(n ＋1)q n ≠常数． 3．在等比数列{a n }中，a 5a 7＝6，a 2＋a 10＝5，则a 18a 10等于( )A ．－23或－32 B.23 C.32 D.23或32[答案] D[解析] a 2a 10＝a 5a 7＝6.由⎩⎨⎧a 2a 10＝6a 2＋a 10＝5，得⎩⎨⎧a 2＝2a 10＝3或⎩⎨⎧a 2＝3a 10＝2.∴a 18a 10＝a 10a 2＝32或23.故选D. 4．已知2a ＝3,2b ＝6,2c ＝12，则a ，b ，c ( )A ．成等差数列不成等比数列B ．成等比数列不成等差数列C ．成等差数列又成等比数列D ．既不成等差数列又不成等比数列 [答案] A[解析] 解法一：a ＝log 23，b ＝log 26＝log 2 3＋1， c ＝log 2 12＝log 2 3＋2. ∴b －a ＝c －b .解法二：∵2a ·2c ＝36＝(2b )2，∴a ＋c ＝2b ，∴选A. 二、填空题5．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.[答案] 16[解析] ∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27 ＝4a 7－a 27＝0，∵b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4.∴b 6b 8＝b 27＝16.6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是__________．[答案] 3或27 [解析]设此三数为3、a 、b ，则⎩⎨⎧2a ＝3＋b(a －6)2＝3b，解得⎩⎨⎧a ＝3b ＝3或⎩⎨⎧a ＝15b ＝27.∴这个未知数为3或27. 三、解答题7．{a n }为等比数列，且a 1a 9＝64，a 3＋a 7＝20，求a 11. [解析] ∵{a n }为等比数列， ∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64，又a 3＋a 7＝20， ∴a 3，a 7是方程t 2－20t ＋64＝0的两个根． ∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4， 当a 3＝4时，a 3＋a 7＝a 3＋a 3q 4＝20， ∴1＋q 4＝5，∴q 4＝4.当a 3＝16时，a 3＋a 7＝a 3(1＋q 4)＝20， ∴1＋q 4＝54，∴q 4＝14.∴a 11＝a 1q 10＝a 3q 8＝64或1.8．设{a n }是各项均为正数的等比数列，b n ＝log 2a n ，若b 1＋b 2＋b 3＝3，b 1·b 2·b 3＝－3，求此等比数列的通项公式a n .[解析] 由b 1＋b 2＋b 3＝3， 得log 2(a 1· a 2·a 3)＝3， ∴a 1·a 2·a 3＝23＝8，∵a 22＝a 1·a 3，∴a 2＝2，又b 1·b 2·b 3＝－3，设等比数列{a n }的公比为q ，得log 2(2q )·log 2(2q )＝－3. 解得q ＝4或14，∴所求等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝a 2·q n －2＝22n －3或a n ＝25－2n .9．(2013·全国大纲理，17)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．[解析] 设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得S 22＝S 1S 4.又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意； 若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.。
2020最新人教版高三数学必修5(B版)电子课本课件【全册】
0002页 0018页 0060页 0102页 0178页 0209页 0254页 0317页 0319页 0389页 0405页 0441页 0521页 0.2 余弦定理
本章小结
第二章 数列
2.1.2 数列的递推公式（选学）
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2.2.2 等差数列的前n项和
2.3.2 等比数列的前n项和
阅读与欣赏
级数趣题
第三章 不等式
3.1.2 不等式的性质
3.3 一元二次不等式及其解法
3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
本章小结
后记
第一章 解三角形
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1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理
高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列2.2习题课——等差数列习题课
得 Sn-Sn-1+2SnSn-1=0.即
1
1
1
-1
−
1
+2=0,
∴ − =2.
∴数列
-1
1
是公差为 2 的等差数列.
1
1
2
1
又 S1=a1= ,∴ =2.
1
1
∴ =2+(n-1)×2=2n,Sn=2 ,
1
1
-1
∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2 − 2(-1) = 2(-1).
+
当 p+q 为偶数时,n=
,Sn 最大;
2
+-1
++1
2
2
当 p+q 为奇数时,n=
或 n=
,Sn 最大.
②若a1<0,且Sp=Sq(p≠q),则
+
当 p+q 为偶数时,n=
,Sn 最小;
当 p+q 为奇数时,n=
或 n=
2
+-1
++1
2
2
,Sn 最小.
目标导航
题型一
4
(+2)
1
2
1
d=3n+
2
1
(-1)
1
1 1
2
1 1
-
2 4
1
1
-
4(+1)(+2)
.
+2
2
,
+…+
2 +1 +2
2+3
2(+1)(+2)
等比函数数列求和
[解析]
2
2 2 (1)设数列{an}的公比为 q， 由 a3 ＝9a2a6 得 a2 3＝9a4，
1 1 所以 q ＝ .由条件可知 q>0，故 q＝ . 9 3 1 由 2a1＋3a2＝1 得 2a1＋3a1q＝1，所以 a1＝3. 1 故数列{an}的通项公式为 an＝3n.
第二章
2.5 第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋„＋log3an＝－(1＋2＋„＋n)＝－ nn＋1 1 2 1 1 .故 ＝－ ＝－2( － )， 2 bn n n＋ 1 nn＋1 1 1 1 b1＋b2＋„＋bn 1 1 1 1 1 2n ＝－2[(1－2)＋(2－3)＋„＋(n－ )]＝－ . n＋1 n＋1 1 2n 所以数列{ }的前 n 项和为－ . bn n＋1
第二章
2.5 第2课时
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建模应用引路
错位相减求和
(2012· 浙江)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn， 且 Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足 an＝4log2bn＋3，n∈N*. (1)求 an，bn； (2)求数列{an· bn}的前 n 项和 Tn.
第二章
2.5 第2课时
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自 主 预 习
1.分组转化求和法 如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各 独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前 n 项和可考虑拆 项后利用公式求解．
第二章
2.5 第2课时
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成才之路人教B版数学必修5同步课件：章末归纳总结3
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(5)方程f(x)＝0在区间(k1，k2)内有两个不等的实根，则有
Δ>0
k1<－2ba<k2
.
fk1>0，且fk2>0
(6)方程f(x)＝0在区间(k1，k2)外有两个不等的实根，则有
Δ>0 fk1<0 . fk2<0
不妨设a>1，则f(
x1＋x2 2
)是曲线上横坐标为
x1＋x2 2
的点C的
纵坐标，
fx1＋fx2 2
是线段AB的中点D的纵坐标．显然
f(
x1＋x2 2
)<
fx1＋fx2 2
.同理，当0<a<1时，结果相同．故
f(x1＋2 x2)<fx1＋2 fx2.
第三章 章末归纳总结
第三章 章末归纳总结
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专题四 数形结合的思想 数形结合的思想在本章中的应用非常广泛，如理解一元 二次不等式的解集，感悟“三个二次”的关系，解决线性规 划问题，几何法证明均值不等式等．
第三章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修5
第三章 章末归纳总结
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[点评] 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)对应的二次 函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)．结合图象可得：
(1)方程f(x)＝0在区间(－∞，k)内有两个不等的实根，则
Δ>0 有－2ba<k
【成才之路】高中数学(人教版B版_必修5)配套练习：本册基本知能检测
15．不等式 (k＋ 1)x2－ (3k＋ 1)x＋ 2>0 对于任意的 x∈R 都成立，则 k 的取值范围是 ________．
7 [答案 ] － 9<k<1
[解析 ] 当 k＋ 1＝0 即 k＝－ 1 时，不等式为 x＋ 1>0，不符合题意； k＋ 1>0，
当 k＋ 1≠ 0 时，由题意得 Δ<0，
)
A ． { x|x<－ 2}
B ． { x|x>3}
C． { x|－1< x<2}
D ． { x|2<x<3}
[答案 ] C
[解析 ] M ＝{ x|－ 2<x<2} ，N＝ { x|－ 1<x<3} ，借助数轴进行运算， 得 M ∩ N＝ { x|－ 1<x<2} ．
4．已知
p
＝
a
＋
1 a－
(a 2
13．在 R 上定义运算⊙； a⊙ b＝ ab＋2a＋ b，则满足 x⊙ (x－ 2)<0 的实数 x 的取值范围为
________．
[答案 ] (－2,1)
[解析 ] 由定义得 x(x－ 2)＋ 2x＋ x－ 2<0， 即 x2＋ x－ 2<0 ，∴－ 2< x<1. 即 x∈ (－ 2,1)．
14．已知在各项均为正数的数列 { an} 中， a1＝ 1， a2＝ 2， log 2an＋1＋ log 2an＝ n(n∈ N ＋) ，则 a1＋ a2＋…＋ a2 013－ 21 008＝ ________.
B ． 100× 2100 D ．200
[答案 ] A
[解析 ] 由已知，得 log 2xn＋1－ log 2xn ＝ 1，
成才之路人教B版数学必修5同步课件：3-3-1《一元二次不等式及解法》
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汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一 段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距 离是分析事故的一个重要因素，在一个限速40km/h以内的弯 道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但 还是相碰了．事后现场测得甲车的刹车略超过12m，乙车的刹 车略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速 x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋ 0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？
第三章 3.3 第1课时
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(5)∵Δ＝(－4)2－4×2×7＝－40<0， ∴不等式2x2－4x＋7<0的解集为∅.
第三章 3.3 第1课时
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(1)不等式9x2－6x＋1＞0的解集为________； (2)不等式x2－4x＋5＜0的解集为________． [答案] (1){x∈R|x≠13} (2)∅
第三章 3.3 第1课时
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[解析] 要分清谁是应付主要责任者，就需分析行车速 度，要弄清速度问题，就要利用刹车距离函数与实测数据，构 建数学模型，由题意列出不等式
甲：0.1x＋0.01x2＞12， 乙：0.05x＋0.005x2＞10， ∵x＞0，∴解得x甲＞30 km/h，x乙＞40 km/h，经比较知乙 车超过限速，应付主要责任.
第三章 3.3 第1课时
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成才之路·人教B版数学·必修5 1-2-1
必修⑤
第1章
1.2
第1课时
第1章
解三角形
由正弦定理，得 BC· sin∠ ABC 20× sin30° AC＝ ＝ ＝ 10 2(km)． sinA sin45° 答：货轮到达 C 点时与灯塔 A 的距离是 10 2km.
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第1章
1.2
第1课时
第1章
解三角形
[点评]
(1)求解三角形中的基本元素，应由确定三
角形的条件个数，选择合适的三角形求解，如本题选择 的是△ BCD 和△ABC. (2)本题是测量都不能到达的两点间的距离，它是测 量学中应用非常广泛的三角网测量方法的原理， 其中 AB 可视为基线．
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解三角形
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应用举例
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解三角形
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距离问题
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1 ．测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之 间的距离问题
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1.2
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解三角形
1．解三角形应用题的基本思路 (1)建模思想 解三角形应用问题时，通常都要根据题意，从实际问 题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形， 得出三角形边角的大小，从而得出实际问题的解．这种数 学建模思想，从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化 为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学 模型的解，再还原成实际问题的解，用流程图可表示为：
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第1章 1.1 第4课时基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°[答案] C[解析] 在△ABC 中，由余弦定理，得0<B <π，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9＋4－712＝12∴B ＝60°.2．△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为( )A ．150°B ．135°C ．120°D ．60° [答案] A[解析] ∵a 2＋b 2＝c 2－3ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，∴C ＝150°.3．在△ABC 中，a ＝7，b ＝10，c ＝6，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上答案都不对 [答案] B[解析] ∵a ＝7，b ＝10，c ＝6，∴b >a >c ，∴∠B 为最大角． 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝72＋62－1022×7×6<0，∴∠B 为钝角，故选B.4．若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] 解法一：由正弦定理，得 sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C 即tan A ＝tan B ＝tan C ，∵A 、B 、C ∈(0，π)，∴A ＝B ＝C ， ∴△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，又∵a cos A ＝b cos B ＝ccos C，∴a b 2＋c 2－a 22bc ＝b a 2＋c 2－b 22ac ＝c a 2＋b 2－c 22ab ， ∴2abc b 2＋c 2－a 2＝2abc a 2＋c 2－b 2＝2abca 2＋b 2－c 2，∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2＝a 2＋b 2－c 2， ∴a ＝b ＝c ，故选B.5．在△ABC 中，若△ABC 的面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则∠C 为( )A.π4B.π6C.π3D.π2[答案] A[解析] 由S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，得12ab sin C ＝14×2ab cos C ，∴tan C＝1，∴C ＝π4.6．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )A.518B.34C.32D.78 [答案] D[解析] 设三角形的底边长为a ，则周长为5a ，∴等腰三角形腰的长为2a .设顶角为α，由余弦定理，得cos α＝(2a )2＋(2a )2－a 22×2a ×2a＝78.二、填空题7．在△ABC 中，a ＝23，b ＝6，A ＝45°，则边c ＝________. [答案] 3＋ 3[解析] 由余弦定理，得a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， ∴12＝c 2＋6－26c ×22，∴c 2－23c －6＝0，解得c ＝3＋ 3.8．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为________．[答案] π6[解析] ∵a ＝7，b ＝43，c ＝13， ∴c <b <a ，∴角C 最小．cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝49＋48－132×7×43＝32，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π6.三、解答题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3. (1)求△ABC 的面积； (2)若c ＝1，求a 的值． [解析] (1)∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A2－1＝35，∴sin A ＝45.又由AB →·AC →＝3，得bc cos A ＝3，∴bc ＝5. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝2.(2)由(1)知，bc ＝5，又c ＝1，∴b ＝5， 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋1－2×5×1×35＝20，∴a＝2 5.10．(2011·山东文)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知cos A－2cos Ccos B＝2c－ab.(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B＝14，△ABC的周长为5，求b的长．[解析](1)由正弦定理，得asin A＝bsin B＝csin C＝2R∴cos A－2cos Ccos B＝2·2R sin C－2R sin A2R sin B，即cos A sin B－2cos C sin B＝2cos B sin C－cos B sin A，即sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，又由A＋B＋C＝π知，sin C＝2sin A，所以sin Csin A＝2.(2)由(1)知sin Csin A＝2，∴c＝2a，则由余弦定理，得b2＝a2＋(2a)2－2·a·2a cos B＝4a2∴b＝2a，∴a＋2a＋2a＝5，∴a＝1，∴b＝2.能力提升一、选择题1．在△ABC中，lg a－lg b＝lgsin B＝－lg2，∠B为锐角，则∠A的值是()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] A[解析]由题意得ab＝sin B＝22，又∵∠B为锐角，∴B＝45°，又ab＝sin Asin B＝22，sin A＝sin B×22＝12，∴∠A＝30°.2．(2011·四川理)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin B sin C，则A的取值范围是()A．(0，π6] B．[π6，π)C．(0，π3] D．[π3，π)[答案] C[解析]在△ABC中，由正弦定理，得sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R(其中R为△ABC外接圆的半径)，由sin2A≤sin2B＋sin2C－sin B sin C可得a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，∴cos A＝b2＋c2－a22bc≥12，∴0<A≤π3.二、填空题3．(2010·新课标全国卷文)在△ABC中，D为BC边上一点，BC ＝3BD，AD＝2，∠ADB＝135°.若AC＝2AB，则BD＝________.[答案]2＋ 5[解析]如图，设AB＝k，则AC＝2k.再设BD ＝x ，则DC ＝2x . 在△ABD 中，由余弦定理得k 2＝x 2＋2－2·x ·2·⎝⎛⎭⎪⎫－22＝x 2＋2＋2x .①在△ADC 中，由余弦定理得2k 2＝4x 2＋2－2·2x ·2·22＝4x 2＋2－4x ，∴k 2＝2x 2＋1－2x .②由①②得x 2－4x －1＝0，解得x ＝2＋5(负值舍去)． 4．在△ABC 中，若∠C ＝60°，则a b ＋c ＋ba ＋c ＝________.[答案] 1[解析] a b ＋c ＋ba ＋c ＝a 2＋ac ＋b 2＋bc (b ＋c )(a ＋c )＝a 2＋b 2＋ac ＋bcab ＋ac ＋bc ＋c 2 (1) ∵∠C ＝60°∴a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝ab .∴a 2＋b 2＝ab ＋c 2 (2) (2)代入(1)得ab ＋c 2＋ac ＋bc ab ＋ac ＋bc ＋c 2＝1.三、解答题5．(2011·安徽文)△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值． [解析] 由cos A ＝1213，得sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513.又12bc sin A ＝30，∴bc ＝156. (1)AB →·AC →＝bc cos A ＝156×1213＝144.(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A )＝1＋2×156×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1213＝25.又a >0，∴a ＝5. 6．在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积． [解析] (1)由C －A ＝π2和A ＋B ＋C ＝π，得2A ＝π2－B,0<A <π4.∴cos2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，∴sin A ＝33.(2)由(1)得cos A ＝63.又由正弦定理，得BC sin A ＝ACsin B， ∴BC ＝AC sin Asin B ＝6×3313＝3 2.∵C －A ＝π2，∴C ＝π2＋A ，∴sin C ＝sin(π2＋A )＝cos A ＝63，∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12×6×32×63＝3 2.7．在△ABC 中，sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C ，试判断△ABC 的形状．[解析] 解法一：∵sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C ，∴sin A cos B ＋sin A cos C ＝sin B ＋sin C . 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， ∴sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B . ∴sin A cos B ＋sin A cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，∴cos A (sin C ＋sin B )＝0， ∵sin C ＋sin B ≠0， ∴cos A ＝0，∴A 为直角． 即△ABC 为直角三角形． 解法二：∵sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C ，∴sin A cos B ＋sin A cos C ＝sin B ＋sin C . 由正、余弦定理，得a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝b ＋c ，∴(a 2＋c 2－b 2)b ＋c (a 2＋b 2－c 2)＝2bc (b ＋c )， ∴a 2b ＋c 2b －b 3＋a 2c ＋b 2c －c 3＝2b 2c ＋2bc 2， ∴a 2b ＋a 2c －b 3－c 3＝b 2c ＋bc 2.∴a 2(b ＋c )－(b ＋c )(b 2－bc ＋c 2)＝bc (b ＋c )，∴(b＋c)(a2－b2＋bc－c2)＝bc(b＋c)，∵b＋c≠0，∴a2－b2＋bc－c2＝bc，即a2＝b2＋c2.故△ABC为直角三角形．。