一类泛函微分方程解的有界性与最终有界性
非线性积分-微分方程解的有界性质
ｆ＋ 一 二ｓ］ ‘ ［ （ ｒ， ） ， １ １） ｄ ｔ ｓ ，
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中 图分类 号 ： １５ １ ０ ７．
文 献标 识码 ： 文章 编号 ： ０— ３ （０００４ ４－ Ａ １ １ ３７ ２１）４ ） ８ ５ ０ ５ ０ ０
１ 引 言
积分 一 微分方程是近代数学的一个重要分支 ， 随着科学技术 的飞速发展 ， 其理论也 日趋完善． 当积分微
分 方程 解 的存 在 和唯 一性 解 决 以后 ， 析解 的性 质便 成 为 摆 在 各 学 者 前 的一 个 重 要 课 题 ． 文 献 ［ ］ ， 分 在 １中 Ｙ ｎ ａｇＥＨ利 用推 广 的 Ｂｈｒ不 等式研 究 了一类 二 阶常微 分方 程 ｉａ ｉ
不减；
（ ）如 果 ３
｝收稿 日期 ：０ ００ －０ ２ １－６３ 作者简介 ： 刘建康 ， ，９ ０ ， 男 １８ ．硕士 ， 助教 ； 究方 向： 研 微分方程及其应用． 孟凡伟 ， ，９ ３ ， 男 １６ 一博士 ， 授， 士生导 师； 教 博 研究方 向： 微分方程及其应用
第 ４期
（ ￡ ＝ ｔ （ ， ￡ ，ｇ￡ ， ｓ）ｓ ｒ） （ ） 一 、 ｔ （ ）ｆ （ｓ （ ｄ ． ）（ ）Ｊ ， ） ） ，
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刘建康 ： 非线性 积分 一微 分 方程解 的有 界性 质
４ ９
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泛函分析知识点总结
泛函分析知识点总结本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March泛函分析一，距离空间定义设X是任一非空集合，对于X中的任意两点x,y，均有一个实数d(x,y)与它对应，且满足：1）d(x,y)≥0（非负性）2）d(x,y)=0当且仅当x=y(严格正)3）d(x,y)=d(y,x)4）d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）则称d(x,y)为X中的一个距离，定义了距离d的集合称为一个距离空间，记为（X,d），有时简记为X。
设（X,d）是一个距离空间，X中的一个数列，存在X中的任意点，如果当n趋于无穷时，这个数列按照距离收敛到这个点，则称这个数列以这点收敛。
(x,y)是x,y的二元函数，若当存在一个x的数列收敛到x,存在一个y 的数列收敛到y，则这个距离关于x,y的二元函数也收敛。
(利用三角不等式证明)开球的定义（X,d）是一个距离空间，r>0，集合B(x0,r)={x∈X|d(x,x0)<r}则称以x0为中心，r为半径的开球。
有界集：称A为有界集，若存在一个开球，使得A属于这个开球。
内点：称x0为集合G的内点，若存在一个开球B(x0,r)属于G。
开集：称G为开集，若G中的每一个点都是它的内点。
闭集：开集的补集就是闭集。
（若用接触点定义闭集就是，A的接触点的全体称为A的闭包，也就是闭集。
）闭集的等价条件是这个集合中的收敛点列收敛到这个集合中的元素。
全空间和空集即使开集也是闭集。
任意个开集的并是开集，有限个开集的交是开集。
任意个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集。
等价距离：两个距离空间称为等价距离，如果它们之间可以互相表示。
连续映射：在两个距离空间之间存在一个映射：T，称T为连续映射。
若在定义域的距离空间中存在一个开集，经过映射T，在另一个距离空间定义的距离下是任意小的。
映射T是连续的等价于值域里的开集的原像仍然是开集。
一类中立型随机泛函微分方程解的最终有界性
对 Ｖｅ ｏ ｒ ＞ ０，０ ０， ｒ ｒ ，ｏ ｅ ＞ ＞ ，０ ｔ≥ ｊｒ— （ｏ ｔ， ）
ｌ （）Ｉ ｂ－（ｔ Ｉ （。 １ ｌ ￡ ｌ≤ ｅａ－’ｌ ｔ）ｌ＋ ｔ０ ｙ
ｌ ｌ ｂ－（ｔ ｌ Ｉ Ｉ Ｉ≤ ｅａ－ ｌ 五 ｔｏ ＋ ９『
１Ｌ ｔｚ ） Ｖ（，）≤一 （ｆ ） Ｖ（，）∈ Ｒ × １ ， ｚ ｚ
Ｓ（ ） １ ∈ Ｎ ，． １
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Ｉ （， ＋Ｄ岛 Ｉ Ｄ ） （，
本文利用李雅普诺夫函数方法研究了时滞型随机泛函微分方程的自然推广中立型随机泛函微分方程解的随机有界性和随机最终有界性
第２ ８卷 第 ６ 期
２０ ０ ８年 ｌ １月
孝 感 学 院学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＸＩ Ａ０ＧＡＮ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ Ｉ
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ｆ≤ “ ０ ≤
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则 称 Ｄ 算子是 一致 稳定 的 。
为 了叙 述 的方 便 ， 引进如下 记号 ：
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一
３ — ０
一
类 中立 型 随机 泛 函微 分 方 程 解 的 最 终 有 界 性
泛函微分方程-泛函微分方程
泛函微分方程是指除了理想的情形以外，任何具有反馈的动力系统总是存在滞后现象；用传统的常微分方程去描述物理系统只是一种近似，而且是有条件的，这就需要考虑带有各种滞后量的微分方程，诸如微分差分方程，各种具有复杂偏差变元的微分方程，有滞后量的积分微分方程，等等。
泛函微分方程是这一类方程的概括和抽象。
最早的泛函微分方程来自1750年L.欧拉提出的几何问题：求一曲线使之与其渐缩线相似。
这种曲线便满足一个特殊的泛函微分方程，此后不断从各个学科中提出这类问题。
到20世纪40年代为止，主要是研究微分差分方程的解析解。
50年代开始探讨稳定性理论，1959年H.H.克拉索夫斯基在函数空间之间建立解映射，从而确立了滞后型泛函微分方程。
70年代初，J.黑尔与A.克鲁兹分离出一类广泛的中立型方程。
1978年赫尔与加藤敏夫共同奠立了具有无穷滞后的泛函微分方程。
以后又有对其他类型的中立型泛函微分方程的研究。
给定实数r≥0,区间【-r,0】到n维实（或复）线性空间R n的连续映射全体记为C(【-r,0】,R n),简记为C，C中元素φ的范数取为则C 为巴拿赫空间且具有一致收敛拓扑。
若t0∈R,A≥0,且x∈C(【t0-r,t0+A】，R n),则对任何t∈【t0，t0+A】，记x t(θ)=x(t+θ)(-r ≤θ≤0)，显然x t∈C。
若D吇R×C,给定映射ƒ:D→R n，则(1)叫做D上的滞后型泛函微分方程，记为RFDE(ƒ)。
(1)中为右导数。
若存在t0∈R,A >0 使得,(t,x t)∈D,且当)时x(t)满足(1)，则称x(t)为(1)之解。
若t0∈R ,φ∈C 给定,且x(t；t0,φ)为(1)之解。
则当时称x为过 (t0,φ)的解。
由此可以建立两种解映射：及。
而且一般地说解空间是无穷维的。
当r=0时(1)退化为常微分方程，解映射为,解空间是有限维的。
二者截然不同,通常解的存在惟一性,稳定性，周期解的存在性都不等价。
数学中的泛函分析原理
数学中的泛函分析原理泛函分析是数学中一个重要的分支，它研究的是函数空间中的向量和算子，并研究它们之间的关系和性质。
在应用数学和理论数学中都有广泛的应用。
本文将介绍泛函分析的基本原理和一些常见的应用。
一、泛函分析概述泛函分析是在无穷维向量空间中研究函数和算子的一门数学学科。
它主要关注函数的空间与函数之间的线性关系和连续性。
泛函分析广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域，并为这些领域提供了强大的工具和理论支持。
二、函数空间的定义和性质函数空间是泛函分析中非常重要的概念。
它可以用来描述函数的性质和空间结构。
在泛函分析中，常见的函数空间包括连续函数空间、可积函数空间和L^p空间等。
1. 连续函数空间连续函数空间是指定义在某个区间上的连续函数的集合。
常见的连续函数空间有C[0,1]和C^k[0,1]等。
在连续函数空间中，可以定义范数和内积等结构，从而形成一个向量空间。
2. 可积函数空间可积函数空间是指具有有限或无限积分性质的函数集合。
常见的可积函数空间有L^1[0,1]和L^2[0,1]等。
可积函数空间是泛函分析中非常重要的对象，它与概率论、信号处理和图像处理等领域密切相关。
3. L^p空间L^p空间是泛函分析中非常重要的一类函数空间。
它包括了所有p 次幂可积的函数的集合。
L^p空间具有范数结构，可以用来描述函数的大小和趋势，并且在测度论、偏微分方程和调和分析等领域有重要应用。
三、泛函的定义和性质泛函是定义在函数空间上的映射，它将函数映射到实数或复数。
泛函可以看作是函数的函数，它对函数进行操作并输出一个数值。
泛函的定义和性质在泛函分析中起着关键作用。
1. 线性泛函和非线性泛函线性泛函是指满足线性性质的泛函，即对于任意的函数f和g，以及任意的实数a和b，有F(af+bg) = aF(f) + bF(g)。
非线性泛函是不满足线性性质的泛函。
2. 连续性和有界性在泛函分析中，连续性和有界性是泛函的重要性质。
一类二阶积分-微分方程解的有界性
中＇ 用推 广的 Ｂｈ ｒ不等式研 究 了一类 二阶 利 ｉａｉ
常 微 分 方程 常 微
：
Ｇ（） 一 ｔ
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… … 。 。
（ （） ）＋ ｆ ｔ 一 Ｏ ｒ￡ （， ）
对 方 程 ① ， 设 ｒ ＞ Ｏ ，ＥＲ 且 总 （） ｔ ＋，
的有界性 与渐进 性 ， 孟凡伟 教授 利用文献 ［ ］ ２ 的不等式 ， 文 在
献ＥＪ ３ 中又将结果推 广到方程 ：
｛ （， ， ｚ ｆ （）ｘｌ＋ｂ （） ｚｆ ｆ ｌ ３ ｆ ｆ ｆ ｆ ｔｚ Ｙ，）≤ ￡ Ｉ ｌｆ＋６（） ｙ ＋６（） ｚ
，
数 理 医药 学 杂 志
２１年第 ２ 第 １ ０１ ４卷 期
ｆＰ） （）ｄ ｒ ＋ ｍｄｒ Ｒ） ｒ（ ） ｄ（ （ （ｒ ≤
由条 件 ② 知 ， ｔ 当 充分 大 时 ，
ｚ（ ）ｆ Ｃ （ ） Ｒ （ ） ｔ ≤ Ｒ ｔ＋ ｔ
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ｔ — （ ）｝＋ ｌ ０ ０ ｊ （ ）＋ ｌ （ ）Ｉ ｌ２ ０ ３ ｒ（ ）ｚ （ ）Ｊ ｔ Ｒ
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』， ｔ 。 ｝ 』 ，ｃ ｌ ≤ 于 二） ｎ） （ｘ ｒ（ （。）ｚｄ ｉ Ｒ 是 ｌ￡ （ （ ￡ｐ Ｅ）￡（ （） ， ｚ （ （ｌ ） ） （ ） ，５ ≤ ＥＦ ｅ Ｆ ６ 尺 ５ Ｉ）｛）。 （ 』ｓｆＪＪ＋ ｚｌｒｚ） ｔ ｔ），（ （＋ （ Ｊ ） Ｒ ｓ 。 。 （ ＋ 户 （ ｚ Ｒ （ ）） 从 ｔ ｔ （ ￡ ｄ Ｆ ｂ ） ｓ 』ｃｃｄ 。 ，ｃ一 Ｆ（）在 Ｒ＋上有界 ， 而 ＩＥ（） （）２ｓＲ（，）ｓ在Ｒ＋上 ： ， ＋』ｃｃ ｚ ｄ ６ Ｒ ｔ Ｒｓ 。 ｓ ｓ ６ ， ＋』ｃ ｓ
泛函分析知识总结汇总
泛函分析知识总结汇总泛函分析知识总结与举例、应⽤学习泛函分析主要学习了五⼤主要内容：⼀、度量空间和赋范线性空间；⼆、有界线性算⼦和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算⼦的谱。
本⽂主要对前⾯两⼤内容进⾏总结、举例、应⽤。
⼀、度量空间和赋范线性空间（⼀）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧⽒空间nR （有限维空间）的推⼴，所以学好它有助于后⾯知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是⼀个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯⼀确定的实数d(x,y)与之对应，⽽且这⼀对应关系满⾜下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ? x=y （⾮负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对?z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常⽤的⽅法）注意:⑴定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满⾜1°、2°、3°都称为度量。
这⾥“度量”这个名称已由现实⽣活中的意义引申到⼀般情况，它⽤来描述X 中两个事物接近的程度，⽽条件1°、2°、3°被认为是作为⼀个度量所必须满⾜的最本质的性质。
⑵度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同⼀个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶集合X 不⼀定是数集，也不⼀定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，⽽称“度量空间X ” 。
大学泛函分析的基本概念与性质
大学泛函分析的基本概念与性质泛函分析是数学中的一个重要分支，它的主要研究对象是函数空间及其上的泛函。
本文将介绍大学泛函分析的基本概念和性质，为读者对该领域有一个初步了解和认识。
一、函数空间的定义和性质函数空间是泛函分析中的重要研究对象，它由一组满足一定条件的函数构成。
常见的函数空间包括赋范空间、巴拿赫空间和希尔伯特空间等。
在定义函数空间时，需要给出其元素的性质，比如连续性、可微性等。
函数空间一般具有完备性和线性空间的性质，能够构成一个向量空间。
二、泛函的定义和性质泛函是将函数映射到实数或复数的一种特殊函数。
泛函可以看作是函数空间的“函数”，它对函数进行了某种程度上的“评价”。
泛函可以是线性的、有界的、连续的等。
泛函分析中研究了泛函的一些基本性质，比如泛函的线性性、有界性和连续性等。
三、双共轭空间的定义和性质双共轭空间是泛函分析中一个重要的概念，它描述了函数空间中的函数在泛函作用下所得到的结果。
双共轭空间是原函数空间的“对偶空间”，描述了两个空间之间的关系。
它的定义和性质对于泛函分析的研究具有重要的意义，常常用于描述函数空间中的函数与泛函之间的联系。
四、Hilbert空间的定义和性质Hilbert空间是泛函分析中的一个重要概念，它是一个完备的内积空间。
在Hilbert空间中，我们可以定义范数和内积的概念，并研究它们的性质。
Hilbert空间是泛函分析中一个非常重要的函数空间，常常用于描述物理学中的量子力学问题。
五、紧算子的定义和性质在泛函分析中，紧算子是一类具有特殊性质的线性算子。
紧算子在函数空间中起到了重要的作用，它们具有一些特殊的性质，比如有界性、紧性和可逆性等。
研究和应用紧算子的性质对于泛函分析研究的深入和应用有很大的帮助。
六、弱收敛和弱*收敛的定义和性质弱收敛和弱*收敛是泛函分析中另一个重要概念。
弱收敛是指函数序列在弱拓扑下的收敛性，而弱*收敛是指泛函序列在弱*拓扑下的收敛性。
弱收敛和弱*收敛相对于一般的收敛概念，在泛函分析中具有重要的应用价值，广泛应用于函数空间的理论研究和实际问题的分析。
一类泛函方程解的存在唯一性及其性质
３ 泛 函方 程 解 的存 在 性 及 其 性 质
定 理 ３ １ 设 ｑ ， Ｓ×Ｄ—Ｒ，Ｔ， ， Ｓ ． ， ： ｊＬ： ×Ｄ— ｓ， ｊ（ ） 。 ａ ｂ满足 下列 条件 ： 若 ， ∈ 和 ，
（１ ｍ ｘ Ｉ （ ，） ， （ ） ，ｑ ｓ ） ） （ｌ Ｉ ， Ｖ（ ） ×Ｄ； ６） ａ ｛ “ ｚ Ｉ １ ， ｆ ｌ （ ， Ｊ≤ 『 １ ｃ ） ， ∈Ｓ
设 （ ｆ ．ｆ ） （ ｆ ） 实值 Ｂ ｎ ｃ Ｘ， 『 和 ｙ， 『．ｆ 是 ｆ Ｉ ａ ａｈ空间 ， Ｘ 是状 态 空间 ， ｙ是 决 策空 间． Ｂ（ Ｓ Ｄ Ｂ Ｓ） 表示 将 Ｓ上 的有 界子 集 映为 有界 集 的全体 实值 映射 ． 然 Ｂ Ｓ 在 Ｒ 上 对 于通 常 的加 法 与数 乘构 成 显 Ｂ（ ）
第 ３ ５卷 第 ２期
２ １ ０ ２年 ６ 月
辽 宁 师 范 大 学 学报 （ 自然 科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＬｉｏ ｉｇ Ｎｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ （ ｔ ｒｌ ｃｅ ｃ ｉｉｎ ｏ ｒ ａ ｏ ａ ｎ ｎ ｒ ｌＵｎｖ ｒ ｉ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅＥｄｔｏ ） ｙ Ｓ
Ｖｏ ． ５ Ｎｏ ２ １３ ．
Ｊ ｎ ２ １ ｕ． ０２
文 章 编 号 ：０ ０ １ ３ （ ０ ２ ０ — １ ０ ０ １ ０ —７ ５ ２ １ ） ２ ０ ５ —４
一
类泛函 方程解的存在唯一性及其性质
沈 洁 ， 陶雁 敏 ， 曹 天 水 ， 李 丹
（ 宁师范大学 数学学院 ， 宁 大连 辽 辽 １６２） １０ ９
ｄ （ ） Ｏ 一∞． ． ｝∈ 是 Ｃ ｕ ｈ ＾ｚ ， 一 ， ｛２ Ⅳ ２ ａ ｃｙ列 当且 仅 当 Ｖｋ ∈Ｎ ， ， 一 ∞时 ， ＾ ｚ ， ） ． 当 ｍ ｄ （ 一０ 下面 给 出 两 个 引理 ， 明极 其简单 ，因而 省 略． 证 弓理 １ １ 设 口ｂＣｄ Ｉ ． ， ， ， ∈Ｒ， ０ ｏ ｔ口， ｝ ｏ ｔ Ｃｄ） ≤ ｍａ ｛ ｎ Ｉ ｌ一 Ｉ ． 贝 ｐ ｛ ｂ － ｐ ｛ ， Ｉ ｘ Ｉ —ｃ ，６ ｆ ）
常微分方程解的有界性渐近性及单调方法
一阶线性常微分方程解的有界性、渐近性、比较定理、单调方法东北师范大学微分方程教研室,常微分方程(第二版)[M],北京:高等教育出版社,2005.Bellman 不等式 设)(x y 为区间[]b a ,上非负的连续函数, b x a ≤≤0.若存在常数0,0,B A ≥>使得)(x y 满足不等式[],,,)()(0b a x dt t y A B x y xx ∈+≤⎰.则有0)(x x A Bex y -≤，[]b a x ,∈.证明 当0x x ≥时，有[]00()(),,,xx y x B Ay s ds x x b ≤+∈⎰由Gronwall 不等式，即得0()()A x x y x Be -≤，0x x b ≤≤；当0x x <时，有[]00()(),,,x xy x B Ay s ds x a x ≤+∈⎰令[]00()(),,,x xF x y s ds x a x =∈⎰则有()()()F x y x B AF x '=-≥--，0a x x ≤<；()(),AxAx d e F x Be dx ≥- ()(),AxAx d e F x Be dx≥- ()1()()x Ax AxAs Ax xe F x Be ds Be e A-≥-=--⎰， 0()1()(1)A x x F x Be A-≤-， 0()()()(1)A x x By x B AF x B A e A-≤+≤+-0()A x x Be -=，0a x x ≤<；故有 0)(x x A Bex y -≤，[]b a x ,∈.一阶线性常微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==+00)(),()(y x y x f y x p dxdy方程两边同乘以⎰xx d p e0)(ττ,得),()(00)()(x f e x y e dx d xx xx d p d p ⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ττττ对此式两边从0x 到x 积分,得,)()(000)(0)(⎰⎰=-⎰x x d p d p ds es f y x y esx xx ττττ于是,得,)()(000)()()(0⎰⎰⎰+⎰=--x x d p d p d p ds es f eey x y sx xx xx ττττττ或,)()(00)()(0⎰⎰+⎰=-xx d p d p ds e s f ey x y sxxx ττττ 例3 设函数)(x f 在[)+∞,0上连续且有界,试证明:方程)(x f y dxdy=+ 的所有解均在[)+∞,0上有界.证 设)(x y y =为方程的任一解,它满足初值条件00)(y x y =,[)+∞∈,00x 于是,由求解公式,它可以表示为,)()(00)()(0⎰+=---xx x s x x ds e s f e y x y我们只要证)(x y 在[)+∞,0x 上有界即可, 设 [)+∞∈≤,0,)(x M x f 于是对,0+∞<≤x x 有⎰+≤---xx x s x x ds e s f e y x y 00)()(0)()(⎰+≤-xx s x ds e Me y 00()00x x x e e Me y -+=- ())(001x x e M y ---+= M y +≤0，原题得证,进而)()()(x y x f x y -='在[)+∞,0上有界.习题 4 设函数)(),(x f x p 在[)+∞,0上连续,且,)(,)(lim b x f a x p x ≤=+∞→(常数0,0≥>b a ).求证:方程)()(x f y x p dxdy=+的一切解在[)+∞,0上有界.证明 设)(x y y =为方程的任一解,它满足初值条件00)(y x y =,[)+∞∈,00x ,于是,由求解公式,它可以表示为,)()(0000)()()(0⎰⎰⎰+⎰=--x x d p d p d p ds es f eey x y sx xx xx ττττττ由0,)(lim >=+∞→a a x p x 知,存在00x X >，当0X x ≥时,成立,23)(21a x p a <<, 设00)(Y X y =,由求解公式,,)()(00)()(0⎰⎰+⎰=-xX d p d p ds e s f eY x y sxxX ττττ对0X x ≥,有[],,,,0)(21)()(21)(00x X s ee eex s a d p X x a d p sxxX ∈≤⎰≤⎰----ττττ于是⎰+≤---x X x s a X x a ds beeY x y 00)(21)(210)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅+≤-)(210012x X a e a b Y)(,200X x abY >+≤, ,即)(x y 在[)+∞,0X 上是有界，显然)(x y 在[]0,0X 上是有界的,故)(x y 在[)+∞,0上有界.进而)(x y '在[)+∞,0上也有界. 习题5 设)(x f 在[)+∞,0上连续,且,)(lim b x f x =+∞→ 又0>a .求证:方程)(x f ay dx dy=+的一切解均有,)(lim a b x y x =+∞→0)(lim ='+∞→x y x .证明 设)(x y y =为方程的任一解,它满足初值条件00)(y x y =,[)+∞∈,00x ,于是,由求解公式,它可以表示为,)()(00)()(0⎰+=---xx x s a x x a ds e s f e y x y ,)(0)(000⎰++=---x x ay x x a dy e y x f e y令)(,00,)(),(000x x x x y y x x e y x f y x F ay >⎩⎨⎧-<<<-+=则有,),(,),(lim ayayx Me y x F be y x F ≤=+∞→,),()(000⎰∞--=⎰+dy y x F dy e y x f xx ay利用积分控制收敛定理,于是,),(lim ),(lim )(lim 00abdy be dy y x F dy y x F dy e y x f ayx x x x ay x ====⎰+⎰⎰⎰∞-∞-+∞→∞-+∞→-+∞→,从而有,)(lim a bx y x =+∞→0)(lim ='+∞→x y x . 习题6 设函数)(x y 在[)+∞,0上连续可微,且有[]0)()(lim =+'+∞→x y x y x . 求证: 0)(lim =+∞→x y x证明 设)()()(x f x y x y =+'，则有)(x f 在[)+∞,0上连续,且有,0)(lim =+∞→x f x ,利用习题5的结果,得0)(lim =+∞→x y x ,0)(lim ='+∞→x y x .例7 设f在),[+∞a 上连续可微，)(lim x f x +∞→收敛，且f '在),[+∞a 上一致连续，则必有0)(lim ='+∞→x f x .证明 由f '在),[+∞=a I 上一致连续，得，对0>∀ε，0>∃δ，当Ix x ∈21,，且δ<-||21x x 时，便有12|()()|f x f x ε''-<；由)(lim x f x +∞→收敛，l i m [((1))()]n f n f n δδ→∞+-=，由微分中值定理，存在])1(,[δδξ+∈n n n ，使得1()[((1))()]n f f n f n ξδδδ'=+-，于是有lim ()0n n f ξ→∞'=.对上述0>ε，存在*N N ∈，当N n ≥时，便有|()|n f ξε'<；取δN M=，对任意M x >，必存在正整数N m ≥，使得])1(,[δδ+∈m m x ，|()||()()||()|2m m f x f x f f ξξε''''≤-+<，故得lim ()0x f x →+∞'= .例8 设2[,),f C a ∈+∞且lim()x f x →+∞存在，()f x ''在[),a +∞上有界，则有lim ()0x f x →+∞'=例9 设f在),[+∞a 上连续，且dx x f a⎰+∞)(收敛，若f 在),[+∞a 上一致连续，则必有0)(lim =+∞→x f x .证明 由f 在),[+∞=a I上一致连续，得，对0>∀ε，0>∃δ，当Ix x ∈21,，且δ<-||21x x 时，便有ε<-|)()(|21x f x f ；由于dx x f a⎰+∞)(收敛，则有0)(lim)1(=⎰+∞→dx x f n n n δδ，由积分平均值定理，存在])1(,[δδξ+∈n n n ，使得dx x f f n nn ⎰+=δδδξ)1()(1)(，于是有0)(lim =∞→n n f ξ.对上述0>ε，存在*N N ∈，当N n ≥时，便有εξ<|)(|n f ；取δN M=，对任意M x >，必存在正整数N m ≥，使得])1(,[δδ+∈m m x ，εξξ2|)(||)()(||)(|<+-≤m m f f x f x f ，故得0)(lim =+∞→x f x .例10 设f在),[+∞a 上连续可微，且dx x f a⎰+∞)(收敛，且f '在),[+∞a 上有界，则必有0)(lim =+∞→x f x 。
一类非线性微分方程系统解的有界性
Ｕｓｎ ｎ ｔ ｎ ｒ ｊｃ ｏ ｙ ｍｅ ｈ ｄ，ｉ ｅ ｔ ｂ ｉｈ ｄ ｔ ｅ ｓ ｆｉｉ ｎ ｏ ｄ ｔｏ ｓ ａ ｄ ｔ ｅｎ ｃ ｓ ａ ｙ ａ ｄ ｓ ｆｉｉｎ ｉ ｇ ｍｏ ｏ ｏ ｅ ｔａｅ ｔ ｒ ｔ ｏ ｔ ｓ ａ ｌ ｅ ｈ ｕ ｆｃｅ ｔｃ ｎ ｉｉ ｎ ｎ ｈ ｅ ｅ ｓ ｒ ｎ ｕ ｆ ｅ ｔ ｓ ｃ
ｘＦ（ ）≥ ０或 ｇ（ ） ）≥ ０ 【 Ｉ＞ ｋ （ Ｆ（ ４）
式 ｅ Ｆ（ ＝ （ ）ｘ 户 ）ｇ ）ｑ ）等都 是 Ｆ， ） ＝ ｆ ｘ ｄ ， （ ， （ ， （ ＝Ｉ
连 续 函数 ， 设 它 们 具 有 使 系 统 （ ） 初 值 解 存 在 且 并 １的
究．
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一
个充要条件 ．
一一 ｇ（ Ｊ ）
它 的 等 价 形 式 是
量 ＋ ＿（ ） 厂 圣＋ ｇ（ ）一 ０
１ 主 要 结 果
（ ３）
这 就 是 通 常 的 Ｌｉｎ ｒ ｅ ａ ｄ方 程 ． 许 多 应 用 学 科 ， 如 在 例
记 Ｇ（ ）一 Ｉ ）ｘ以及 ２一 户 ）的 反 函数 ｇ（ ｄ （
定 理 １ 设 以下 假 设 均 成 立 ： （ ）户（ 是 严 格 单 调 递 增 的 ， １ ） 且
户（ Ｃ ）一 ± 一 ± ａ
（ ）ｑ ） 恒 正 且 有 界 函 数 ， ２ （ 是 且
ｄ 一 ± 一
授 ， 士 ， 事 有 关 微 分 方 程 与 动 力 系 统 方 面 的 研 硕 从
Ｘ ＩＡ Ｎ Ｇ Ｇｕａ ｎｇ— ｈｕｉ
（ ｐ ．ｏ ｐ ｉｄ Ｍ ａ ｈ ｍ ａ ｉｓ Ｄｅ １ ｆＡｐ ｌ ｅ ｔ ｅ ｔｃ ，Ｓ ａ ｇ ａ ｉｏ ｏ ｇ Ｕ ｎ ｖ ｈ ｎ ｈ ｉＪａ ｔ ｎ ｉ ．，Ｓｈ ｎ ｈ ｉ２ ０ ４ ａ ｇ ａ ０ ２ ０，Ｃｈ ｎ ｉ ａ）
矩阵测度及泛函微分方程关于部分变元的一致最终有界性
值得 指出的是 ，尽管在 一致最终有界性方 面 已有大量 的工作 ，关 于部分 变元的一致最终有界性 研究工作并
不 多 。 事 实 上 ，在 许 多 实 际 问 题 中 ，人 们 往 往 只 对 某 些 变元 感 兴 趣 ，或 者 由 于 系 统 的 复 杂 性 ，人 们 对 某 些 变 元 无 法进 行 足 够 的 了解 ，在 这 些 情 况 下 ，研 究 部 分 变 元 的有 界 性 显 得 不 仅 实 用 而且 必 需 。另 一 方 面 ，由 于 对 全 变 元 的有 界 性 可 以 通 过 结 合 对 部 分 变 元 的 有 界 性 得 到 ，本 文 的结 果 也 蕴 涵 对 全 变 元 的 一 致 最 终 有 界 性 。有 关 部 分 变 元 性 质对 动 力 系 统 研 究 的 重 要 性 及 其 在 实 际 问题 中 的 应 用 ，可 见 文 及 专 著 。有 关 泛 函 微 分 方 程 关 于 部 分 变
分条 件 。
关键 词 ：矩 阵测 度 ；部 分变 元 一致 最终 有界 性 ；泛 函微 分方 程
中图 分 类号 ：０１ ５ ７ 文献 标 识 码 ：Ａ 文 章编 号 ： １ ０ —５ ６ （０ ８ － ０ ０ ５ ０ ０ ９ １０２ ０ ） ０ １ － ５
在文 【Ｊ ，作 者利用 Ｈａａ ａ ２中 ｌｎ ｙ型不等式及矩 阵测度对 拟线 性泛 函微分方程 的解给 ｆ 了一个新估计 ，并 以此 ｆ Ｊ
Ｖｌ１２１ （ ． ＮＯ． 】 ４
Ａｐ ． ０ ８ ｒ２ ０
矩 阵测度及 泛 函微分 方程关 于部分 变元 的一 致最 终有界 性
郭韵 霞
（ 海 城市 职业 技 术学 院 ，广 东 珠 海 ５ ９ ９ ） 珠 １ ０ ０
摘 要 ：本 文利 用 矩 阵测度 研 究 了拟 线性 泛 函微 分 方程 关 于部分 变 元 的一致 最终 有界 性 。通 过借 助 一 个 推广 的拟 线 性 泛 函微 分 方程 解 的 估 计， 得 到 了一 类较 广 泛 的 关于 部 分 变元 为 一 致最 终 有界 的充 我们
两类泛函微分方程的有界解
两类泛函微分方程的有界解两类泛函微分方程的有界解引言：泛函微分方程是描述函数与其变分之间关系的方程。
在实际问题中，由于变分的波动性质，泛函微分方程的解往往具有无界特性，即在某些条件下函数会呈现出不受限制的增长或衰减。
然而，在某些情况下，我们可以找到一些特殊的泛函微分方程，它们的解具有有界性质。
本文将重点讨论这两类泛函微分方程的有界解。
一、线性泛函微分方程的有界解线性泛函微分方程的形式为：$$\mathcal{F}[x(t),x'(t),x''(t),\ldots]=0$$其中，$x(t)$是未知函数，$x'(t)$是其一阶导数，$x''(t)$是其二阶导数等。
常见的线性泛函微分方程包括常微分方程和偏微分方程。
在一些特殊情况下，线性泛函微分方程的解具有有界性质。
例如，在一些约束条件下，函数的增长受限制，解的取值范围被限定在一个有限区间内。
另外，在一些无穷远点上，解可收敛于某个有限值，表现出趋于平稳的特性。
二、非线性泛函微分方程的有界解非线性泛函微分方程的形式为：$$\mathcal{F}[x(t),x'(t),x''(t),\ldots]=0$$非线性泛函微分方程的解空间更加广阔，往往存在多种解，其中一些解具有无界性质，即在某些条件下函数的增长或衰减无限制。
然而，也存在一些非线性泛函微分方程的解具有有界性质。
例如，当非线性泛函微分方程满足一些特定条件时，其解在某个区间内有界。
这些条件可以是方程中的系数约束，也可以是初值条件的限制等。
除此之外，非线性泛函微分方程的解也可能在某些无穷远点上具有有界特性。
结论：通过以上分析，我们可以看出，在某些特殊的线性和非线性泛函微分方程中，存在一些有界解。
这些有界解在一定条件下呈现出在某个区间内有限范围的性质，或者在某些无穷远点上收敛于有限值的特性。
这种有界解的存在对于实际问题的研究具有重要意义，可以帮助我们理解和分析物理、生物等领域中复杂的现象和机制。
泛函微分方程解的指数渐近稳定性与有界性
泛 函微 分 方程 解 的指 数 渐 近 稳 定性 与有 界 性
迪 申加
（ 警 学 院 基 础部 数 学 教研 室 ， 坊 ０ ｆ ０ 武 廊 ６００ ｉ
： 摘
要 ： 本 文 研 究 了具 有 有 限 时 滞 中立 型 泛 雨 微 分 方 程 解 的 有 界 性 问题 ． 到 了 方 程 解 的指 数 渐 近 稳 得
映 人 的 连 续 函 数 所 组 成 的 空 间 ， 且 对 于 ∈ｃ， 范 数 为 ｌ ｌ ｓ ｍ ０ ， 中 １ 是 醍 并 其 — Ｉ （） 其 ｕ ｐ ．【 中 的
．
范数． 没对 每一 ＞０ 都存 在 （ ） ， 假 ， ＞０ 使得 当 ∈（ 时 ．
）≤ １ （， ｉ （） ∈ （ ∞ ， 。 ） ｎ． ＋ 。 ． 这里 ｃ 一｛ ∈Ｃ：ｌ 。 ｎ 又 Ｄ ＝ ０ －ｇ ￣ ， ≤ ｌ Ｉ ｅ ） （ ） ｇ盘 ×（ ｌ 为 连 续 的 ， 于 为 线 性 的 ， ｃ 一 关 即
１ 准 备 工 作
考虑 具有 有限 时浠 中立 型泛 函微 分 方程
ｄＤｘ ，
… （） １
其 中 ， ） （ 一 （一 ．∈（ 。 ．ｊ 这里 ｆ： ×ｃ ｆ ） 。 ０ ． — 为连 续 的 ， Ｃ一（ ｒ Ｏ ． ） 示 将 区间 ［ ｒ ０ ［ ．］ Ｊ 表 ，］
（ ） Ｖ（， ） ｂ 竹， 一Ｖ（． ）≤６・｛Ｉ 一 Ｉ Ｉ 一 ｝ 伫． ＋ ２Ｉ ，
这 里 Ｅ蠢， 。 １ ２ ＥＣ， 定 义 ｌ中 的 常 数 ． 张， （ 一 ，） ６是
证 对 任何 Ｅ ．
∈Ｃ． 我们 定 义 Ｌａ ｕ ｏ ｉ ｎ ｖ泛 函 ｐ
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第 １ 第 ３期 ８卷
２０ ０ ２年 ６月
一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性
第42卷第2期东北师大学报(自然科学版)Vol.42No.22010年6月Journal of Northeast Normal University (Natural Science Edition )J une 2010[收稿日期] 2009208226[基金项目] 国家自然科学基金资助项目(60775047);湖南省教育科学基金资助项目(060D74).[作者简介] 陈志彬(1965—),男,硕士,副教授,主要从事泛函微分方程研究.[文章编号]100021832(2010)022*******一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性陈志彬1,2,黄立宏2(1.湖南工业大学理学院,湖南株洲412000;2.湖南大学数学与计量经济学院,湖南长沙410082)[摘 要] 运用分析方法,利用Krasnoselskii 不动点理论,对一类中立型泛函微分方程存在周期解进行了定性与定量的研究,获得了这一类泛函微分方程周期解存在性与唯一性的充分条件,推广了相关研究的主要结论.[关键词] 中立型;微分方程;周期解;存在性;唯一性;不动点理论[中图分类号] O 19 [学科代码] 110・51 [文献标志码] A0 引言中立型泛函微分方程在信号传输网络中具有广泛的应用背景,近年来,其周期解的存在性受到数学工作者的高度重视,取得了一系列的成果[128].文献[2]用锥不动点理论,研究了泛函微分方程x ′(t )=-a (t ,x (t ))x (t )+f (t ,x t )(1)周期解的存在性;文献[3]用重合度理论研究了泛函微分方程x ′(t )+ax ′(t -τ)=f (t ,x (t )),(2)在|a |≤1的条件下,存在周期解的问题.研究中立型泛函微分方程周期解的存在性方法,概括起来有:不动点理论、重合度理论和L yap unov 泛函的方法.然而,研究周期解唯一性的工作却较少.本文利用Krasnoselskii 不动点理论及分析的方法,讨论更一般形式的中立型泛函微分方程ddtx (t )+∑n i =1c ix (t -τi)=-a (t )g (x (t ))x (t )+f (t ,x (t -σ(t )))(3)周期解的存在性与唯一性.其中:σ∈C (R ,R );f ∈C ′(R ×R ,R );a ,g ∈C (R ,R +);a ,f ,σ关于t 是T 周期函数,τi >0(i =1,2,…,n )为常量.设函数g ,f 总满足下列条件:(A 1)存在正常数l 1,l 2和L ,使得l 1≤g (x )≤l 2及|f (t ,x 1)-f (t ,x 2)|≤L |x 1-x 2|成立.(A 2)存在非负有界函数ρ(x )∈C (R ,R +)及常数b ∈(0,1),对于任给u i ,v i ∈R (i =1,2),有不等式|u 1g (v 1)-u 2g (v 2)|≤|u 1-u 2|ρ(‖v 1-v 2‖)成立,其中a =1T∫Ta (t )d t ,ω=e Ta,b =∑ni =1|c i |<1.东北师大学报(自然科学版)第42卷(A 3)任意x 1,x 2∈C (R ,R ),有9f (t ,x )9x<0,且a (t )(x 1-x 2)(x 1g (x 1)-x 2g (x 2))>0;或者是9f (t ,x )9x>0,且a (t )(x 1-x 2)(x 1g (x 1)-x 2g (x 2))<0.1 预备知识为了方便,引入如下记号:‖x ‖2=∫T0|x (t )|2d t12,‖x ‖∞=max t ∈[0,T]|x (t )|,‖x ‖0=sup t ∈R|x (t )|,x =x (t )∈C ′(R ,R )|x (t +T )=x (t ),X T (M )=x (t )∈C ′(R ,R )|x (t )∈X ,‖x ‖0≤M .于是,集合X 是以‖x ‖0为范数的Bananch 空间.在函数集X T (M )上,显然有‖x ‖∞=‖x ‖0.引理1[9] 设x (t )∈C (R ,R ),且满足x (0)=x (T ),∫T0x (t )d t =0,则如下不等式成立:(1)∫T0|x (t )|2d t12≤T2π∫T|x ′(t )|2d t 12;(2)max t ∈[0,T]|x (t )|≤T 12∫T|x ′(t )|2d t 12.引理2 设x (t )∈C (R ,R ),且满足x (0)=x (T ),如果存在正常数d ,对于任意t ∈[0,T ]使得|x (t )|≤d ,则不等式∫T0|x (t )|2d t12≤T2π∫T|x ′(t )|2d t12+T d成立.证明 令X (t )=x (t )-1T∫T0x (t )d t ,由引理1得∫T0|X (t )|2d t12≤T2π∫T|X ′(t )|2d t12,(4)不等式(4)化为∫T0|x (t )|2d t12≤T24π2∫T0|x ′(t )|2d t +1T ∫T 0x (t )d t212≤T 2π∫T0|x ′(t )|2d t 12+1T∫T|x (t )|d t ≤T2π∫T|x ′d t |212+T d.引理3(Krasno selskii 不动点定理) 设K 是Banach 空间X 的有界凸闭集,映射F :K →K 和U :K→K 满足条件:(ⅰ)任意的u ,v ∈K ,有Fu +Uv ∈K;(ⅱ)F 在K 上是全连续的,U 在K 上是压缩的,则F +U 在K 上至少有一个不动点.引理4 设a (t ),p (t )为T 周期函数,对于微分方程x ′(t )=-a (t )x (t )+p (t ),如果∫T0a (τ)d τ>0,则有唯一的T 周期解x (t )=∫t+T texp∫s ta (τ)d τexp ∫Ta (τ)d τ-1p (s )d s.22第2期陈志彬,等:一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性结论是显然的,略去证明.2 主要结论及证明设u (t )∈X T (M ),对于微分方程dd tx (t )+∑n i =1c iu (t -τi)=-a (t )g (u (t ))x (t )+f (t ,u (t -σ(t ))),(5)如果令y (t )=x (t )+∑ni =1c iu (t -τ1),则方程(5)化为d y (t )d t=-a (t )g (u (t ))y (t )+a (t )g (u (t ))∑ni =1c iu (t -τi)+f (t ,u (t -σ(t ))),(6)由引理4知exp∫Ta (τ)g (u (t ))d τ≠1时,方程(6)有唯一的T 周期解y u (t )=∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s.其中W u (s ,t )=exp∫s ta (τ)g (u (τ))d τexp ∫Ta (τ)g (u (τ))d τ-1, 1ωl2-1≤W u (s ,t )≤ωl 2ωl 1-1.于是,方程(5)有唯一的T 周期解x (t )=y u (t )-∑ni =1c iu (t -τi).在X T (M )上定义两个映射U u (t )=-∑ni =1c iu (t -τi),F u (t )=∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s.(7)如果映射U +F 在X T (M )上有不动点x (t ),则x (t )为系统(3)的T 周期解.定理1 对于微分方程(3),在条件(A 2)被满足时,如果条件(A 4)1M‖f ‖0≤1-∑ni =1|c i |ωl 1-1Tωl2-l 2a∑ni =1|c i |成立,则微分方程存在T 周期解.证明 (ⅰ)X T (M )为有界凸闭集.任给x (t ),y (t )∈X T (M )及λ∈(0,1),我们得λx (t +T )+(1-λ)y (t +T )=λx (t )+(1-λ)y (t ),(8)‖λx (t +T )+(1+λ)y (t +T )‖0=‖λx (t )+(1+λ)y (t )‖0≤M ,(9)即X T (M )是凸的.如果函数列{x n (t )}ΑX T (M ),且lim n →0‖x n -x 0‖0=0,根据下列不等式‖x 0‖0≤‖x 0-x n ‖0+‖x n ‖0≤‖x 0-x n ‖0+M ,(10)|x 0(t +T )-x 0(t )|≤|x 0(t +T )-x n (t +T )|+|x n (t )-x 0(t )|+|x n (t +T )-x n (t )|≤2‖x n -x 0‖0,(11)我们可以得到‖x 0‖0≤M ,x 0(t +T )=x 0(t ),即x 0(t )∈X T (M ),于是X T (M )为闭集.其有界性是显然的.所以,综合以上的证明,X T (M )为有界凸闭集.(ⅱ)任意u ,v ∈X T (M ),我们可以证明32东北师大学报(自然科学版)第42卷F u +U v ∈X T (M ).(F u +U v )(t +T )=∫t+T+Tt+TW u (s ,t +T )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s -∑ni =1c iv (t +T -τi )=∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s -∑ni =1c iv (t -τi)=(F u +U v )(t ),(12)对于任意t ∈R ,存在整数n ,使得t =nT +t 1,且t 1∈[0,T ],由于a ,σ和f 都为T 周期函数,结合条件(A 4)可以得到不等式‖F u +U v ‖0M=1Msupt ∈R∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s -∑ni =1c iv (t -τi)≤ωl 2M (ωl2-1)sup t ∈[0,T]∫t+T t(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s+1Msupt ∈[0,T]∑ni =1c iv (t -τi)≤Tωl2M (ωl1-1)‖f ‖0+l 2Ma∑n i =1|c i |+∑ni =1|c i |≤1,(13)于是,由(12),(13)两式得F u +U v ∈X T (M ).(ⅲ)U u 是压缩的.因为对于任给u 1,u 2∈X T (M ),有下式成立:|U u 2-U u 1|=∑ni =1c iu 2(t -τi )-∑ni =1c iu 1(t -τ1)≤∑ni =1|c i |‖u 1-u 2‖=b ‖u 1-u 2‖.(14)(ⅳ)映射F u 是全连续的.下面分三步来证明,这里对于任意u ∈X T (M ).首先,F u 是连续的,令m =‖f ‖0+‖a ‖0M ‖ρ‖0∑ni =1|c i |,对于任给的u 1,u 2∈X T (M ),根据条件(A 2)可以得到|F u 1(t )-F u 2(t )|=∫t+T tWu 1(s ,t )(f (s ,u 1(s -σ(s )))-f (s ,u 2(s -σ(s )))+a (s )∑ni =1c i(g (u 1(s ))u 1(s -τi )-g (u 2(s ))u 2(s -τi ))d s+∫t+Tt(Wu 1(s ,t )-W u 2(s ,t ))(f (s ,u 2(s -σ(s )))+a (s )∑ni =1c 1g (u 2(s ))u 2(s -τi ))d s≤ωl 2ωl 1-1∫T|f (s ,u 1(s -σ(s )))-f (s ,u 2(s -σ(s )))|d s +T aρ(‖u 1-u 2‖∑n i =1|c i |‖u 1-u 2‖+m ∫t+Tt|Wu 1(s ,t )-W u 2(s ,t )|d s.(15)由于函数W u 和f 连续,于是当‖u 1-u 2‖→0时,一致的有|f (s ,u 1(s -σ(s )))-f (s ,u 2(s -σ(s )))|→0,|W u 1(s ,t )-W u 2(s ,t )|→0.所以,当‖u 1-u 2‖0→0时,有‖F u 1(t )-F u 2(t )‖0→0,即F u 是连续的.其次,易证F X T (M )是一致有界的.最后,我们只要证明F u 是等度连续的即可.对于任意u ∈X T (M ),t ∈[0,T ],得到d F u (t )d t=-a (t )g (u (t ))F u (t )+a (t )g (u (t ))∑ni =1c iu (t -τi)+f (t ,u (t -δ(t )))≤‖a ‖0l 2‖F u (t )‖0+M∑ni =1|c i |i+‖f ‖0(16)42第2期陈志彬,等:一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性一致有界,于是,当|t 1-t 2|→0时,‖F u (t 1)-F u (t 2)‖0→0,即F u (t )是等度连续的.因此,F X T (M )在X 中是列紧集且F 为紧算子,结合F X T (M )在X 中是列紧集且F 为连续紧算子的结论,推得映射F 是全连续的.综合(ⅰ)—(ⅳ),并由引理3知:F +U 在X T (M )上存在不动点,即方程存在T 周期解.定理2 对于微分方程(3),在条件(A 1),(A 3)被满足时,如果条件(A 5)1T1-∑ni =1|c i |>L +1+12π‖ρ‖0‖a ‖0成立,则微分方程至多存在一个T 周期解.证明 设x 1(t ),x 2(t )是微分系统(3)的两个T 周期解,于是有d d t(x i (t )+∑n i =1c ix i(t -τi ))=-a (t )(g (x 1(t ))x i (t )+f (t ,x i (t -σ(t ))),i =1,2.(17)令y (t )=x 1(t )-x 2(t ),由(17)式得d d t(y (t )+∑n i =1c iy (t -τi))=-a (t )(g (x 1(t ))x 1(t )-g (x 2(t ))x 2(t ))+f (t ,x 1(t -σ(t )))-f (t ,x 2(t -σ(t ))).(18)对(18)式两边在[0,T ]上积分,可得∫T[a (t )(g (x 1(t ))x 1(t )-g (x 2(t ))x 2(t ))-f (t ,x 1(t -σ(t )))+f (t ,x 2(t -σ(t )))]d t =0.(19)根据(19)式可知,至少存在一点ξ∈[0,T ],使得a (ξ)(g (x 1(ξ))x 1(ξ)-g (x 2(ξ))x 2(ξ))-f (ξ,x 1(ξ-σ(ξ)))+f (ξ,x 2(ξ-σ(ξ)))=0(20)成立.下面分两种情形讨论:(1)当y (ξ)y (ξ-σ(ξ))≠0时,将(18)式乘以y 2(ξ)y (ξ-σ(ξ))得[a (ξ)(g (x 1(ξ))x 1(ξ)-g (x 2(ξ))x 2(ξ))-f (ξ,x 1(ξ-σ(ξ)))+f (ξ,x 2(ξ-σ(ξ)))]y 2(ξ)y (ξ-σ(ξ))=0.(21)由(21)式并结合条件(A 3)有y (ξ)y (ξ-σ(ξ))<0;又因为y (t )在R 上连续,则由介值定理可知,必存在一点η0∈[0,T ]且y (η0)=0.于是,对于任意t ∈[0,T ],则有下式成立:|y (t )|=|∫tη0y ′(s )d s |≤∫T|y ′(s )|d s ≤T ∫T|y ′(s )|2d s12=T ‖y ′‖2,(22)于是有‖y ‖∞=max t ∈[0,T]|y (t )|≤T ‖y ′‖2.根据引理2,并结合(22)式有‖y ‖2≤T2π∫T|y ′(t )|2d t 12+T ‖y ′‖2=1+12πT ‖y ′‖2.(23)由(18)式,并结合(22),(23)式得到‖y ′‖22=∫T|y ′(t )|2d t =-∫Ta (t )(g (x 1(t ))x 1(t )-g (x 2(t ))x 2(t ))y ′(t )d t +∫Ty ′(t )(f (t ,x 1(t -σ(t )))-f (t ,x 2(t -σ(t ))))d t -∑ni =1c i∫Ty ′(t )y ′(t -τi)d t ≤‖ρ‖0‖a ‖0∫T0|y (t )|2d t12∫T0|y ′(t )|2d t 12+L ∫T|y ′(t )y (t -σ(t ))|d t +∑ni =1|c i|∫T|y ′(t )y ′(t -τi)|d t ≤‖ρ‖0‖a ‖0‖y ‖2‖y ′‖2+LT ‖y ′‖2‖y ‖∞+∑ni =1|c i |‖y ′‖22≤1+12π‖ρ‖0‖a ‖0T +L T +∑ni =1|c i |‖y ′‖22.在满足条件(A 5)时,由上不等式可以推得5262东北师大学报(自然科学版)第42卷‖y′‖2=‖y‖2=0.(2)当y(ξ)y(ξ-σ(ξ))=0时,可类似情形(1)的证明,故略去.综合以上的证明,得到x1(t)=x2(t),即方程至多存在一个T周期解.定理证毕.结合定理1和定理2,我们可以得到关于方程(3)存在唯一周期解的结论.推论1 对于微分方程(3),如果条件(A1)—(A5)被满足,则微分方程(3)在X T(M)上存在唯一的T周期解.[参 考 文 献][1] L U S,GE W.On t he existence of periodic solution of neutral functional differential equation[J].Nonlinear Anal,TMA,2003,54:128521360.[2] 彭世国,朱思铭.无穷时滞泛函微分方程的正周期解.[J].数学年刊,2004,25(A):2852292.[3] SELLA E.Periodic solution for some nonlinear differential equations of neutral type[J].Nonlinear Anal,1991,17(2):1392151.[4] CH EN F.Positive periodic solution of neutral Lot ke2Volterra system wit h feedback control[J].Appl Mat h Comput,2005,162:127921302.[5] 宋来敏,周宗福.一类中立型泛函微分方程周期解的存在性[J].大学数学,2006,22(2):16221.[6] 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conclusions.K eyw ords:neut ral;differential equations;periodic solutions;existence;uniqueness;fixed point t heory(责任编辑:陶 理)。
试析泛函分析的基本概念
试析泛函分析的基本概念1 空间与算子在空间y中，以距离的定义为起始。
假定输入值x∈X，就能够按照既定的模型（算子T）来计算出输出y=Tx，进一步的通过实际的测量就能够得到真实的输出通过实测得到的真实输出y*，这个过程中就涉及到一个关键点，即怎样明确的得到预测的偏差以及对模型结论的好坏的评价。
当距离设定好后，就要面对其所在的空间是否满足所需的要求。
在实空间中对一个笔的尺寸进行测量，其测量结果可以精确至无穷数。
而在数学的理念中，测试的精度是程“无限”的概念。
这就意味着在实际的过程中需要采用无理数进行表示该空间中的极限状况。
所以我们对笔尺寸的测量既有测量结果无限符合其实际尺寸，又有无法测量其真实尺寸。
从认知论出发，这是一个错误的结果，但在空间中，从元素的立场看其是非常科学的。
在实际的应用中还需要对算子的有界和连续进行掌握。
算子的有界性是指其所在的空间模型对初始的偏差和错误数据做无限处理；算子的连续性是指测量数据近似于实际值时，模型的输出数据也与实际值想接近。
在算子中，需要对于泛函分析中的“逆算子定理”需要进行了解和掌握。
“逆算子定理”时指在Banach空间X、Y上的有界的线性算子T∈L，而其逆算子T-1∈L 同样属于有界的线性算子。
在“逆算子定理”中，Banach空间中有界线性算子T 若为双射，就一定会有相应的逆算子T-1，而且算子的连续性具有一致性。
逆算子T-1的连续性在实际的应用中非常的关键，当T-1不是连续的算子时，依据设定的y值没有办法找出这种错误的因素x。
甚至可以将其视为连个不一样的输入值x1以及x2都会产生基本上一致的输出值y1和y2，这就会对最终的判断造成误导或影响。
2 算子的收敛性在算子收敛性的探析中，把分析的目标置于准确模型T*以及经验模型T中。
那在这个过程中，对于经验模型与准确模型间的差距具体的差异性，通常是以算子的收敛性进行分析和理解的。
在准确模型T*不确定的情况下，利用经验模型T 把输入值x计算Tx，通过对比就可以得出那个更接近与真实T*x，也就可以达到评价那个模型好坏的目的。
泛函分析知识点范文
泛函分析知识点范文泛函分析是数学中的一门学科，研究向量空间上的函数和函数空间的性质，涉及到实数或复数域上的向量空间。
泛函分析包括线性代数、实变函数分析和拓扑学等多个学科的内容，因此具有广泛的应用领域，如物理、工程、经济等。
泛函分析的核心内容包括线性空间、拓扑空间和连续映射等概念、线性算子和泛函的基本性质以及泛函分析中的基本定理等。
1.线性空间：泛函分析的基础是线性空间，也就是向量空间。
线性空间满足线性组合和分配律等性质，例如实数域或复数域上的向量空间。
线性空间中的向量可以是函数、矩阵等不同的对象。
2.拓扑空间：泛函分析中的向量空间往往是赋予了拓扑结构的空间，即拓扑向量空间。
拓扑空间是一种具有连续性质的空间，它引入了开集、闭集和收敛性等概念。
拓扑空间的拓扑结构可以通过开集、闭集、邻域、基等方式来定义。
3.连续映射：泛函分析中的重要概念是映射的连续性。
连续映射是保持拓扑结构的映射，即对于拓扑空间中的开集，其原像仍然是开集。
连续映射可以用来描述泛函和线性算子的性质。
4.线性算子和泛函：线性算子是线性空间之间的映射，它可以是有界算子或无界算子。
线性算子的基本性质包括线性性、有界性、闭图像性等。
泛函是线性空间到数域的映射，它可以看作是线性算子的特殊情况。
泛函的基本性质包括线性性、有界性、连续性等。
5. Hahn-Banach定理：Hahn-Banach定理是泛函分析中的基本定理，它是关于泛函延拓的定理。
该定理说明了任意线性子空间上的有界泛函可以延拓到整个空间上，并且保持原有泛函的范数不变。
6.可分性：可分性是拓扑空间的一个重要性质，它指的是拓扑空间中存在可数稠密子集。
可分性保证了拓扑空间中存在足够多的元素，使得在拓扑空间上可以进行良定义的运算。
7.反射空间：反射空间是泛函分析中的一类特殊线性空间，它是线性空间和拓扑空间的交叉概念。
反射空间具有良好的性质，例如有界闭集外包性、扩张定理等。
8.紧算子和迹类算子：紧算子是对有界算子的一种推广，它在泛函分析中具有重要的地位。
数学中的泛函微分方程
数学中的泛函微分方程泛函微分方程是数学中一类重要的方程，其研究对象是泛函，也就是函数的函数。
这种方程具有广泛的应用背景，涉及到诸多领域，如力学、物理学、经济学等。
泛函微分方程是数学中的一门深奥而精妙的学科，其解析研究和数值计算都具有一定的难度和挑战性。
一、泛函微分方程的基本概念泛函微分方程是在泛函空间中定义的微分方程。
泛函是一个将函数映射到实数的算子，而泛函微分方程则是对泛函进行微分运算后得到的方程。
它涉及到未知函数及其导数，通过求解这些方程可以得到未知函数的解析表达式或数值近似解。
泛函微分方程可以分为两类：凸问题和非凸问题。
凸问题是指泛函的二次导数大于等于零，求解相对简单；非凸问题是指泛函的二次导数小于零或者存在驻点，求解相对困难。
凸问题常见的形式包括最优控制问题和变分问题，非凸问题则涉及到众多的变分不等式和变分方程。
二、泛函微分方程的应用泛函微分方程在科学研究和工程技术中有着广泛的应用。
在力学领域，泛函微分方程可以用来描述材料的变形和运动规律，如连续介质力学中的弹性力学、流体力学等。
在物理学中，泛函微分方程可以用来推导和解析描述物理系统的方程，如量子力学、电磁学等。
在经济学领域，泛函微分方程可以用来分析经济系统中的最优决策和均衡状态。
此外，泛函微分方程还在图像处理、机器学习和优化等领域有着广泛的应用。
在图像处理中，泛函微分方程可以用来实现图像去噪、图像增强等功能。
在机器学习中，泛函微分方程可以应用于模式识别、数据挖掘等问题。
在优化领域，泛函微分方程可以用来解决最优化问题，如最小二乘拟合、非线性规划等。
三、泛函微分方程的解法对于泛函微分方程的解法，常见的方法有变分法、正则化方法和数值计算等。
变分法是一种将泛函微分方程转化为极值问题求解的方法，通过求解泛函的变分问题可以得到原方程的解析解。
正则化方法则是通过引入正则项来改进原方程，从而得到更好的数值解。
数值计算方法包括有限差分法、有限元法等，通过离散化方程求解，得到数值近似解。
泛函方程及其解法
泛函方程及其解法泛函方程是数学中的一个重要概念，它描述了函数与函数之间的关系。
泛函方程的解法是研究泛函方程的一个关键问题，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将介绍泛函方程的基本概念和解法，并以几个具体的例子来说明。
一、泛函方程的基本概念泛函方程是指未知函数是函数的方程。
一般形式的泛函方程可以写成如下形式：F[y(x)] = 0其中，y(x)是未知函数，F是一个泛函，它是一个函数对函数的映射。
泛函方程的解是使得方程成立的函数。
二、泛函方程的解法泛函方程的解法有多种方法，下面介绍几种常用的解法。
1. 变分法变分法是一种常用的解泛函方程的方法。
它通过对泛函进行变分，得到泛函方程的欧拉-拉格朗日方程，然后求解该方程得到泛函方程的解。
2. 特解法特解法是一种通过猜测特定形式的解来求解泛函方程的方法。
通过猜测合适的特解形式，将其代入泛函方程，然后确定特解的参数，最终得到泛函方程的解。
3. 近似解法近似解法是一种通过构造逼近序列来求解泛函方程的方法。
通过构造逼近序列，逐步逼近泛函方程的解，最终得到泛函方程的近似解。
三、泛函方程的应用举例1. 最小作用量原理最小作用量原理是变分法的一个重要应用。
它是说在自然界中，物体在运动过程中所经历的路径是使作用量取极小值的路径。
作用量是一个泛函，它描述了物体在运动过程中所受到的作用力与路径的关系。
通过最小作用量原理，可以求解物体在运动过程中的轨迹。
2. 热传导方程热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。
它是一个泛函方程，通过求解热传导方程，可以得到物体内部温度分布随时间的解。
3. 波动方程波动方程是描述波动现象的方程。
它是一个泛函方程，通过求解波动方程，可以得到波动现象的解。
四、总结泛函方程是数学中的一个重要概念，它描述了函数与函数之间的关系。
泛函方程的解法有多种方法，包括变分法、特解法和近似解法等。
泛函方程在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，如最小作用量原理、热传导方程和波动方程等。
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方程过（ ， ）（ ） 解 ｚ ｔ １，（；， 满足 ｌ （；， ） Ｙ ｔ ， ）＜Ｍ ， — ． １， ２的 ， （； ） ｔ ） ｔ １一 （； ２ｌ ， Ｙ ｚ ￡ ≥ ｒ
定义 ２ 称 （） １ 的解 是 相 对一 致 有界 的 ， 若对 任 意 的 Ｈ Ｅ（ ，Ｏ ， ０ （ ） ∈Ｒ， 在常 数 Ｍ Ｅ（ ，Ｏ ， ９ 存 ０ （） 当 ９
． １． ４
∞）当ｌ ｌ Ｉ 时， Ｊ （ ；， ） （； ） ＜Ｍ， ＋丁成立， ， ～ ＜Ｈ 有 ｔ １一 ￡ ｘ ，２ Ｊ ≥ 并且 丁与 无关
．
２ 主要 结 果
定理 １ 假设存 在 Ｌ ａｕ ｏ 泛 （ 一 ≤ （， ， ）（ Ｒ ； ） Ｊ ｚ） １ ￡ ， ＥＫ ） ｎ
基金项 目： 重庆 师范大学科研项 目（６ Ｌ ０ ５ ０Ｘ Ｂ ２ ） 作者简介 ： 吴泽 Ｎ（９ ６ ， ， １７ 一）男 重庆江津人 ， 士研究 生 ， 硕 主要从事微分方程稳定性方面的研究
维普资讯
第２ 期
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维普资讯
２０ ０８年 ６月 第 ２ 卷 第 ２期 ５
广西师范学院学报 （ 自然 科 学版 ） Ｊｕｎ ｏ ｕｎ ｘ ｅｃｅｓ ｄ ｃｔ ｎＵ ｉ ｒｉ ａｕ￣ Ｓｉ ｃ ｄｔ ｎ ｏｒ ￣ ｆ ａｇ ｉ ａｈｒ Ｅ ｕａｉ ｎｖｓ ｔ（ ｔ Ｇ Ｔ ｏ ｅ ｙＮ ｒ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｅ ｉ
１ 引 言
本 文利用 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙｐ ｎ ｖ泛 函的方 法 ， 究 了泛 函微 分方 程组 研
ｆ ｔ ＝ｆ ｔｚ） （） （ ， ｚ
， 、
ｌ ） （， ）’ ＝ｇ￡ ｔ Ｙ
的解 的相对 有界 性 、 对 一致有 界性 、 相 相对 最终 有界 性 以及 相 对一致 最终 有界 性 ． 里 ｆ， Ｒ ×ｃ— Ｒ 这 ｇ：
＝
一
。
ｌ（ ｌ ） ・
若 ∈Ｒ， Ａ∈（ ，Ｏ ， ０ （ ）则对 任 何 ｚ（ ） ｃ（ —ｒ ＋Ａ ］Ｒ ）以及 任 意 ｔ ［ ＋Ａ） ｚ ∈ Ｃ ９ ｔ∈ ［ ， ， ， ∈ ， ，
定义 为 ｚ 三 ｚ （ ）： ｚ ｔ ０ ， ｒ≤ ≤ ０ ０ （＋ ）一 ． 本 文所用 的“ ｙ ｐ ｎ ｖ泛 函” 指连续 且满 足局 部 Ｌｐ ｈｔ 条件 的泛 函． Ｌ ａｕｏ 是 ｉ ｉ ｃ ｚ
２ Ｖ １ ｔ ， ） ｇ（ ） （ ， ， ） ， ≥ ， ） （ （ ， ２ ≤ ） ｌ ｔ ｈ（ ｔ ｌ ２ ） Ｖ￡
（） ２ （） ３
其 中 ｈ（） 非 负连续 函数 且 Ｓ是
Ｊ ＝。。 ） ｊｈ） ｏｊ ㈩ａ （ 一ｕ０ ０ 。 Ｓ ｕＪ ｔ ’ ，ｇ
摘
要： 利用 Ｌ ａｕｏ 泛 函的方法研究 了下列时滞泛 函微分方程组 ｙｐ ｎ ｖ
Ｉ （）＝ｆ ｔ≈ ） ｔ （，
ｆ （） （， ）’ ｆ ＝ｇｔ ｔ Ｙ
给 出了方程组解的相对有界性和相对最终有界性 的充分条件 ． 关键词 ： 函微分方程 ； 泛 有界性 ； 最终有界性
中 图分 类 号 ： ７ ．４ Ｏ１５ １ 文 献标 识码 ： Ａ
连续 ， 且把 Ｒ Ｘ（ ｃ中有界集 ） 映入 Ｒ 中的有界集 ． Ｃ＝Ｃ（ 一ｒ ０ ， 表示把 ［ ， ］ ［ ， ］Ｒ ） 一ｒ ０ 映入 Ｒ 的具 有一 致 收敛 拓 扑 的连 续 函数 的 Ｂ ｎｃ 间 （ 里 ｒ ０ （ ） ， 于任 何 ∈Ｃ， ａａｈ空 这 ∈（ ，Ｏ ）对 ９ 其范 数定 义为
ｌｌ 一 ２ ＜Ｈ时， ｌ （； １一 （；， ）＜Ｍ，≥ ， Ｍ 与 Ｉ 有 ｔ ｚ ， ） Ｙ ｔ ２ｌ ￡ 并且 无关．
定义 ３ 称 （ ） １ 的解 相对 最终有 界 的 ， 若存 在 Ｍ Ｅ （ ，Ｏ ， 任意 的 （ ） ０ （ ）对 ９ ， ∈Ｒ ×Ｃ， 在 ＴＥ （ ， 存 ０
∞ ）当 ｆ ， ≥ ＋Ｔ 时 ， 有
ｔ ｌ （； ） （； ，２ ｌ ｚ ，１ 一Ｙ ｔｄ ） ＜Ｍ．
定义 ４ 称（ ） １的解相对一致最终有界， 若存在 Ｍ Ｅ（ ， ， ０ ∞）对于 ＨＥ（ ，９ ， ０Ｏ） ＜ ∈Ｒ， 存在 ＴＥ（ ， ０
收 稿 日期 ：０７—１ ２０ ２—０ ８
Ｊ ｎ ２ ０ ｕ ．０ ８ Ｖ １ ５ Ｎ ． ｏ． ｏ２ ２
文章 编号 ：０ ２ ７ ３ ２ ０ ）２—０ ４ —０ １０ —８ ４ （０ ８ ０ ００ ５
一
类泛 函微分 方 程解 的有界 性 与 最终 有界 性
吴 泽 刚
（ 重庆 师 范大 学 数 学与计 算机 科 学 学院 ， 重庆 ４０ ４ ） ０ ０７
对 于连续 泛 函 ： — Ｒ， ＲＸｃ 我们 定 义
（ ｆ Ｉ ２：ｌ 音［ ￡ ｈｚ ＾￡ １，＋ ￡ ２ 一 （，１ ２］ １ ， ， ） ｉ （＋ ，＋（， ） （， ） ￡ ， ） ） （ ｎ Ｙ＾ ） ．
定义 １ 称（） １ 的解 是 相对有 界 的 ， 若对 于任 何 （ ） （ ） ， ， ， ∈Ｒ ×Ｃ， 都存 在 着 Ｍ Ｅ（ ，Ｏ ， ０ （ ）使 ９
吴 泽刚 ： 一类 泛函微分方程解的有界性与最终有界性
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