虚位移原理及应用

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12.1 约束·自由度与广义坐标
一、约束及其分类
限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。
表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。
x O
l
y
约束方程：
M (x,y)
x2 y2 l2
y
A(xA, yA)
r
l
O
约束方程:
B(xB, yB) x
xA2 yA2 r2
(x x )2 (y y )2 l2
如果质点系受有s个完整约束，则质点系的3n个坐标并不是完全独立的，只有r= 3n – s 个坐标是独立的，即需要有3n – s个独立参变量才能确定质点系在空间的位置， 即质点系具有r= 3n – s 个自由度。
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12.1 约束·自由度与广义坐标
在完整约束的条件下，用来确定质点系在空间的位置所需独立参变量的个数称为质 点系的自由度。
这种确定质点系位置的独立参变量称为广义坐标。
x O
l
y
A(xA, yA)
r
l
B(xB, yB)
y
M (x,y)
x2 y2 l2
O x
xA2 yA2 r2
(x x )2 (y y )2 l2
B
A
B
A
y 0
11
B
12.2 虚位移·虚功和理想约束
一、虚位移 在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移，称为虚位移。
xA r 0
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12.1 约束·自由度与广义坐标
(2)定常约束和非定常约束 约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。 约束条件是随时间变化的，这类约束称为非定常约束。
x O
l
O
x
l
v
y M (x,y)
x2 y2 l2
M (x,y) y
设开始时摆长：l0
x2 y2 (l0 vt)2
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12.1 约束·自由度与广义坐标
概述
虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡 问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。
虚位移原理与达朗贝尔原理结合起来组成 动力学普遍方程，为求解复杂系统的动力学问 题提供了另一种普遍的方法，构成了分析力学 的基础。
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第12章 虚位移定理
12.1 约束、自由度与广义坐标 12.2 虚位移、虚功和理想约束 12.3 虚位移原理
3、连接两个质点的无重刚杆
2
F2 B
F1
1
A来自百度文库
4、连接两个质点的不可伸长的柔索
δr1 cos1 δr2 cos2
δWN F1 δr1 F2 δr2
F1δr1 cos1 F2δr2 cos2
0
F1
Ｏ
1
F2
A
B 16
2
12.2 虚位移·虚功和理想约束
5、刚体在粗糙面上的纯滚动
C F
FN
δWN (FN F)δrC 0
dr, dx, d
…等。
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12.2 虚位移·虚功和理想约束
二 、虚功 力在虚位移中作的功称为虚功。
设某质点受力F作用。设想给质点一虚位移 ，则力
m
F在虚位移 上作的功称为虚功，即
δr
δr
F
δ
上式也可写成
δW F δr
δW F cos δr
因为虚位移是假想的，因此虚功也是假想的，是虚的。
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12.2 虚位移·虚功和理想约束
该约束仍为完整约束。
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12.1 约束·自由度与广义坐标
(4)单面约束和双面约束
限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单面约束。 在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动限制的约束称为双面约束。
x O
l
杆 y
约束方程：
M (x,y)
x2 y2 l2
x O
l
绳
y
约束方程：
M (x,y)
x2 y2 l2
完整约束方程的一般形式为
f j (x1, y1, z1, , xn , yn , zn ;t) 0 ( j 1,2, , s)
式中n为质点系的质点数，s为完整约束的方程数。
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12.1 约束·自由度与广义坐标
例如：车轮沿直线轨道作纯滚动。
y
A vA
ω
r
C
x
约束方程
xA r 0
积分，得
x r c A
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12.1 约束·自由度与广义坐标
本章只讨论定常的双面的几何约束，其约束方程的一般形式为
f j (x1, y1, z1, , xn , yn , zn ) 0 ( j 1,2, , s)
式中n为质点系的质点数，s为约束方程数。
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12.1 约束·自由度与广义坐标
二、质点系的自由度与广义坐标 确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立的坐标，因此，一个自由质点在空间 有三个自由度。一个由n个质点组成的质点系在空间的位置，在直角坐标系中需用 3n个坐标来描述。
(3)完整约束和非完整约束 如果约束方程中含有坐标对时间的导数(如运动约束)而且方程不可能积分为有限形
式，这类约束称为非完整约束。非完整约束方程总是微分方程的形式。
如果约束方程中不含坐标对时间的导数，或者约束方程中虽有坐标对时间的导数， 但这些导数可以经过积分运算化为有限形式，则这类约束称为完整约束。
三、理想约束 如果在质点系的任何虚位移上，所有约束力所作虚功的和等于零，则称这种约束为
理想约束。即
δWN δWNi FNi δri 0
理想约束的例子：
1、光滑固定面
2、光滑铰链
FN
δWN FN δr 0
δWN FN δr FN' δr 015
12.2 虚位移·虚功和理想约束
B
A
B
A
y 0
3
B
12.1 约束·自由度与广义坐标
(1)几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。 限制质点或质点系运动情况的运动学条件,称为运动约束。
x O
l
y
几何约束
M (x,y)
x2 y2 l2
y
运动约束
A vA
ω
r
C
x
几何约束
y r A
v r 0 A 或
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号表示虚位移。
F1 O
A
F2 B
F1 O
A
F2 B
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12.2 虚位移·虚功和理想约束
必须注意：虚位移与实际位移(简称实位移)是不同的。
实位移是质点系在一定时间内真正实现的位移，它除 了与约束条件有关外，还与时间、主动力以及运动的初始 条件有关。而虚位移仅与约束条件有关。
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12.3 虚位移原理及应用
设有一质点系处于静止平衡状态, 取其中任一质点mi 作用在该质点上的主动力的合力Fi、约束力的合力FNi 。 因为质点系处于平衡状态，则这个质点也处于平衡状态，
因为虚位移是任意的无限小的位移，所以在定常约束 的条件下，实位移只是所有虚位移中的一个，而虚位移视 约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。
对于非定常约束,某个瞬时的虚位移是将时间固定后， 约束所允许的虚位移，而实位移是不能固定时间的，所以 这时实位移不一定是虚位移中的一个。
对于无限小的实位移，我们一般用微分符号表示，例如