1.4 全称量词与存在量词
1.4全称量词与存在量词
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立 ”可用符号简记为：
x M，p( x),
读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。
例1 判断下列全称命题的真假：
（1）所有的素数都是奇数； （2） （3）对每一个无理数x，x2也是无理数。
解：（1）假命题； （2）真命题；（3）假命题。
小 结：
判断全称命题"x M,p(x)"是真命题的方法：
.
练习：
1． 已知命题“∀x∈R， 不等式 ax2－ax＋1＞0 恒成立”的否定为 假命题，则实数 a 的取值范围是________．
0a4
(
2．已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，x2＋ 2ax＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为
1.4全称量词与存在量词
• 德国的著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题 “任意取一个奇数，可以把它写成三个质数之和， 比如77，77=53+17+7，同年欧拉首先肯定了哥德 巴赫猜想的正确，并且认为：每一个偶数都是两个 质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的， 但是还需要证明。这就是当今人们称之为哥德巴赫 猜想，并誉为数学皇冠上的明珠。200多年来我国 著名数学家陈景润才证明了“1+2”即：凡是比某一 个正整数大的任何偶数，都能表示成一个质数加上 两个质数相乘，或者表示成一个加上一个质数.从陈 景润的“1+2”到“1+1”似乎仅一步之遥,它是一个 迄今为止仍然是一个没有得到正面证明也没有被推 翻的命题”
表 述 方 法
①所有的x∈A，p(x)成 立 ②对一切x∈A，p(x)成 立 ③对每一个x∈A，p(x) 成立 ④任意一个x∈A，p(x) 成立 ⑤凡x∈A，都有p(x)成 立
1.4 全称量词和存在量词
讲授新课
2 判断下列特称命题的真假.
⑴有一个实数 x0，使 x0 2 x0 3 0 ；
2
⑵存在两个相交平面垂直于同一条直线； ⑶有些整数只有两个正因数； ⑷ x0 R, x0 0 ； ⑸有些数的平方小于 0.
练 习：
（1）下列全称命题中，真 命题是：（ A. 所有的素数是奇数 B. x R, ( x 1) 0
讲授新课 1. 全称量词： 短语“对所有的” “对任意一个”在逻辑 中通常叫做全称量词. 符号： 全称量词相当于日常语言中“凡”“所有” ， ， “一切”“任意一个”等； ，
全称命题： 含有全称量词的命题.
符号：x M , p( x )
讲授新课 1. 全称量词： 短语“对所有的” “对任意一个”在逻辑 中通常叫做全称量词. 符号： 全称量词相当于日常语言中“凡”“所有” ， ， “一切”“任意一个”等； ，
讲授新课
思考： 下列语句是命题吗？⑴与⑶， ⑵与⑷之 间有什么关系？ ⑴2x+1=3； ⑵x 能被 2 和 3 整除； ⑶存在一个 x0∈R，使 2x0+1=3； ⑷至少有一个 x0∈Z，x0 能被 2 和 3 整除.
讲授新课
存在量词： 短语“存在一个” “至少有一个” ，这些词 语都是表示整体的一部分的词在通常叫做存 在量词。
存在量词相当于日常语言中 “存在一个” ， “有 一个”“有些”“至少有一个”“ 至多有一 ， ， ， 个”等. 符号:
含有存在量词的命题叫做特称命题 （或存在命题）
讲授新课
特称命题： “存在 M 中一个 x，使 p(x)成立”可以用 符号简记为： x M , p( x )
专题1.4 全称量词及存在量词(解析版)
1.4 全称量词与存在量词【基础梳理】【典型例题】题型一 全称与存在命题的辨析【例1】指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假． （1）在平面直角坐标系中，任一有序实数对(),x y 都对应一点； （2）存在一个实数，它的绝对值不是正数；（3）对任意实数12x x 、，若12x x <，则12tan tan x x <； （4）存在一个函数，既是偶函数又是奇函数【答案】（1）（3）是全称命题，（2）（4）是特称命题【解析】（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x ，y ）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题（2）存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题 （3）存在1212==0x x x x π<，，，但tan0＝tan π，所以该命题是假命题 （4）存在一个函数()0f x ＝，它既是偶函数又是奇函数，所该命题是真命题【举一反三】1.（2019·全国高一课时练习）写出下列命题的否定，并判断其真假： （1）p ：2,220x x x ∃∈++≤R ；（2）至少有一个实数x ，使得310x +=. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）否定是2,220x x x ∀∈++>R ，因为()22221110x x x ++=++≥>，所以否定后的命题是一个真命题.（2）否定是3,10x x ∀∈+≠R ，是假命题，如：1x =-时，310x +=.2．（2019·全国高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定： （1）p ：对任意的x ∈R ，x 2+x+1=0都成立； （2）p ：∃x ∈R ，x 2+2x+5＞0．【答案】（1）全称量词命题；￢p ：存在一个x ∈R ，使x 2+x+1≠0成立，即“∃x ∈R ，使x 2+x+1≠0成立”； （2）存在量词命题；￢p ：对任意一个x 都有x 2+2x+5≤0，即“∀x ∈R ，x 2+2x+5≤0”． 【解析】（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题； 又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，￢p ：存在一个x ∈R ，使x 2+x+1≠0成立，即“∃x ∈R ，使x 2+x+1≠0成立”； （2）由于“∃x ∈R ”表示存在一个实数x ，即命题中含有存在量词“存在一个”， 因而是存在量词命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，￢p ：对任意一个x 都有x 2+2x+5≤0，即“∀x ∈R ，x 2+2x+5≤0”．题型二 含有一个量词的命题否定【例2】(1)（2019·吉林长春市实验中学高二月考（文））命题“∃x ∈Z ，使x 2+2x+m ≤0”的否定是（ ） A ．∀x ∈Z ，都有x 2+2x+m ≤0 B ．∃x ∈Z ，使x 2+2x+m ＞0 C ．∀x ∈Z ，都有x 2+2x+m ＞0 D ．不存在x ∈Z ，使x 2+2x+m ＞0(2)．（2019·山东济南一中高一月考）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是( ) A ．至少有一个x ∈Z ，使得23x <成立 B ．对任意,a b ∈R ，都有()2221a b a b +≥+-C ．x R x ∃∈=D ．菱形的两条对角线长度相等 【答案】(1)C (2)B【解析】(1)命题“∃x ∈Z ，使x 2+2x+m ≤0”的否定是：∀x ∈Z ，都有x 2+2x+m ＞0，故选：C ．(2)选项A ：因为203<，0Z ∈，所以至少有一个x ∈Z ，使得23x <成立，是真命题，但不是所有的x ∈Z ，都有23x <成立，不是全称量词命题；选项B: ()222221(1)(1)0a b a b a b +-+-=-+-≥∴Q 本命题是真命题，又因为,a b ∈R 都使命题成立，故本命题符合题意；选项C:当0x ≥x =成立，本命题是真命题，但不是对所有的实数都成立，故不是全称量词命题； 选项D:并不是所有的菱形对角线长度都相等，故本命题是假命题，也不是全称量词命题，故本题选B. 【举一反三】1．（2019·湖南高二月考）命题p ：x N ∀∈，32x x >的否定形式p ⌝为（）A ．x N ∀∈，32x x ≤B ．x N ∃∈，32x x ≤C ．x N ∃∈，32x x <D ．x N ∃∈，32x x > 【答案】B【解析】因为命题p ：x N ∀∈，32x x >，所以命题p ：x N ∀∈，32x x >的否定形式p ⌝为x N ∃∈，32x x ≤. 故选：B2．（2019·安徽省太和第一中学高二月考）不等式组133x y x y -≥⎧⎨+≤⎩的解集记为D ,有下面四个命题:()1:,,282p x y D x y ∀∈-≥；()2:,,282p x y D x y ∃∈-< ()3:,,281p x y D x y ∀∈-≥-()4:,,281p x y D x y ∃∈-<-其中的真命题是( ) A ．23,p p B ．24,p pC ．12,p pD ．13,p p【答案】A【解析】令,3x y a x y b -=+=,则34a b x +=,4b ay -= , 3282844a b b a x y +-∴-=⨯-⨯732a b-=,1,3a b ≥≤Q ,737133(,),28122a b x y D x y -⨯-⨯∴∀∈-=≥=- ,当且仅当1,3a b ==,即31,22x y == 时,等号成立.(),,281x y D x y ∴∀∈-≥-,故3p 是真命题,命题4p 是假命题.因为存在31,22x y ==时,2812x y -=-<,说明命题1p 是假命题,命题2p 是真命题; 所以命题23,p p 都是真命题. 故选A .题型三 求参数【例3】(1)（2019·湖南长郡中学高二期末（理））已知命题“x R ∀∈，使得212(1)02x a x +-+>”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(.1)-∞-B ．(3,)-+∞C ．(13)-，D ．()3.1-(2)（2019·吉林长春市实验中学高二月考（文））∃x ≥0 ，使2x +x −a ≤0 ，则实数的取值范围是( ) A.a >1B.a ≥1C.a <1D.a ≤1【答案】(1)C (2)B【解析】(1)由题意知，二次函数的图象恒在x 轴上方，所以21(1)4202a ∆=--⋅⋅<， 解得：13a -<<，故选C.(2)由题意可知：∃x ≥0，使a ≥2x +x ，则a ≥(2x +x )min . 由于函数y =2x +x 是定义域内的单调递增函数，故当x =0时，函数取得最小值20+0=1， 综上可得，实数a 的取值范围是a ≥1. 本题选择B 选项.【举一反三】1（2019·甘肃高考模拟（文））已知命题p ：“,[]1e ∀∈，ln a x >”，命题q ：“x R ∃∈，240x x a -+=”若“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,4] B ．(0,1] C ．[1,1]- D ．(4,)+∞【答案】A【解析】若命题p ：“,[]1e ∀∈，ln a x >，为真命题，则ln 1a e >=，若命题q ：“x R ∃∈，240x x a -+=”为真命题，则1640a ∆=-≥，解得4a ≤， 若命题“p q ∧”为真命题，则p ，q 都是真命题，则14a a >⎧⎨≤⎩，解得：14a <≤．故实数a 的取值范围为(1,4]．故选：A ．2．（2019·北京市十一学校高一单元测试）若命题“:[1,3]p a ∀∈,使2(2)20ax a x +++>”为真命题，实数x 的取值范围为__________ 【答案】223x x <->-或 【解析】令()22()(2)22+2f a ax a x x x a x =+++=++,是关于a 的一次函数,由题意得:()21+2+20xx x +⋅>且()23+2+20x x x +⋅>.即20+3+2x x >且235+20x x +>.解得223x x <->-或 3．（2019·宾县第一中学校高二月考（理））已知命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________. 【答案】1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】因为命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤是假命题，所以21,02x R ax x ∀∈++>为真所以011202a a a >⎧∴>⎨-<⎩ 【强化训练】1．（2019·湖北高二期末（理））已知命题:0p x ∀>，总有(1)1xx e +>，则p ⌝为（ ）A ．0x ∀≤，总有(1)1xx e +≤ B ．0x ∃≤，总有(1)1xx e +≤ C ．0x ∀>，总有(1)1xx e +≤ D ．0x ∃>，总有(1)1xx e +≤【答案】D【解析】由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题:0p x ∀>，总有(1)1xx e +>，则p ⌝为命题“0x ∃>，总有(1)1xx e +≤”，故选D.2．（2019·辽宁高一期中）命题“0x R ∃∈，2000x x ->”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，20x x -> B ．0x R ∃∈，2000x x -≤ C ．x R ∀∈，20x x -≤ D ．0x R ∃∈，2000x x -<【答案】C【解析】由特称命题的否定可知，命题“0x R ∃∈，2000x x ->”的否定是“x R ∀∈，20x x -≤”，故选：C.3．（2019·湖南雅礼中学高三月考（理））若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(-∞ B ．(⎤⎦C ．92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．{}3【答案】A【解析】因为01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200210x x λ-+<成立是假命题，所以1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x x λ-+≥恒成立是真命题，即1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，12x xλ≤+恒成立是真命题，当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，由基本不等式得12x x +≥=1,222x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦时，等号成立，λ∴≤λ的取值范围是(-∞，故选：A.4．（2019·四川高二期末（理））下列说法中正确的个数是（ ）①命题：“x 、y R ∈，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设1x ≠或1y ≠； ②若2a b +>，则a 、b 中至少有一个大于1； ③若1-、x 、y 、z 、4-成等比数列，则2y =±； ④命题：“[]0,1m ∃∈，使得12+<m x x”的否定形式是：“[]0,1m ∀∈，总有12mx x +≥”.A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】对于命题①，由于1x y ==可表示为1x =且1y =，该结论的否定为“1x ≠或1y ≠”，所以，命题①正确；对于命题②，假设1a ≤且1b ≤，由不等式的性质得2a b +≤，这与题设条件矛盾，假设不成立，故命题②正确；对于命题③，设等比数列1-、x 、y 、z 、4-的公比为q ，则201yq =>-，0y ∴<. 由等比中项的性质得()()2144y =-⨯-=，则2y =-，命题③错误；对于命题④，由特称命题的否定可知，命题④为真命题，故选：C.5．（2019·全国高一课时练习）关于命题“当[]1,2m ∈时，方程220x x m -+=没有实数解”，下列说法正确的是 （ ) A.是全称量词命题，假命题 B.是全称量词命题，真命题 C.是存在量词命题，假命题 D.是存在量词命题，真命题【答案】A【解析】原命题的含义是“对于任意[]1,2m ∈，方程2x 2x m 0-+=都没有实数解”，但当1m =时，方程有实数解1x =，故命题是含有全称量词的假命题，所以正确选项为A. 6．（2019·四川高二期末（理））下列叙述正确的是（ ） A.若命题“p ∧q ”为假命题，则命题“p ∨q ”是真命题 B.命题“若x 2=1，则x =1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1” C.命题“∀x ∈R ，2x >0”的否定是“∀x 0∈R ，2x 0≤0” D.“α>45°”是“tanα>1”的充分不必要条件 【答案】B【解析】对于选项A ，“p ∧q ”为假命题，则p ，q 两个命题至少一个为假命题，若p ，q 两个命题都是假命题，则命题“p ∨q ”是假命题，故选项A 错误；对于选项B ，“若x 2=1，则x =1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，符合否命题的定义，为正确选项； 对于选项C ，命题“∀x ∈R ，2x >0”的否定是“∃x 0∈R ，2x 0≤0”，故选项C 错误； 对于选项D ，若α=135°，则tanα<0，故“α>45°”不是“tanα>1”的充分不必要条件.7．（2019·全国高一课时练习）“m A ∃∈，使得方程2210mx x -+=有两个不同的实数解”是真命题，则集合A =_________； 【答案】{|10}m m m <≠且【解析】方程2210mx x -+=有两个不同的实数解，当0m =时，方程只有一个解，不符合条件，所以0m ≠且440m ∆=->，解得10m m <≠且，所以答案为{|10}m m m <≠且.8．（2019·全国高一课时练习）“x R ∀∈，都有21k x ≤+恒成立”是真命题，则实数k 的取值范围是____________； 【答案】1k ≤【解析】因为211x +≥，即21x +的最小值为1，要使“21k x ≤+恒成立”，只需()21mink x ≤+，即1k ≤，所以答案为“1k ≤”. 9．若命题“[0,]3x π∀∈，1tan x m +≤”的否定是假命题，则实数m 的取值范围是__________.【答案】)1⎡+∞⎣【解析】因为命题的否定是假命题，所以原命题为真命题， 即不等式1tan x m +≤对[0,]3x π∀∈恒成立，又1tan y x =+在[0,]3x π∀∈上为增函数， 所以()max 1tan 1tan13x π+=+=，即1m ≥故实数m的取值范围是：)1⎡+∞⎣.10．（2019·安徽高二期末（理））命题“0x R ∃∈，使()200110m x mx m +-+-≤”是假命题，则实数m的取值范围为__________.【答案】m >【解析】0x R ∃∈，使()200110m x mx m +-+-≤是假命题， 则x R ∀∈，使()2110m x mx m +-+->是真命题，当10m +=，即1m =-，()2110m x mx m +-+->转化为20x ->，不是对任意的x ∈R 恒成立；当10m +≠，x R ∀∈，使()2110m x mx m +-+->即恒成立，即()()()2104110m m m m +>⎧⎪⎨--+-<⎪⎩ ，第二个式子化简得234m >，解得3m>3m <-所以m >11．（2019·赤峰二中高二月考）函数()2g x ax =+ （0a > ），()22f x x x =- ，对[]112x ∀∈-， ，[]012x ，∃∈- ，使()()10g x f x = 成立，则a 的取值范围是__________．【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由函数()22f x x x =-的图象是开口向上的抛物线，且关于1x =对称，所以[]01,2x ∈-时，函数()f x 的最小值为()11f =-，最大值为()13f -=， 可得()0f x 的值域为[]1,3-，又因为()[]12(0),1,2g x ax a x =+>∈-，所以()g x 为单调增函数，()1g x 的值域为()()1,2g g ⎡⎤-⎣⎦，即()[]12,22g x a a ∈-+，因为对[]11,2x ∀∈-，[]01,2x ∃∈- ，使()()10g x f x =成立，所以212230a a a -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解得102a <≤，所以实数a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．12．（2019·河北张家口一中高二月考）给出下列命题： ①命题“若x 2=1，则x =1”的否命题为“若x 2=1，则x ≠1”； ②“x =-1”是“x 2-5x -6=0”的必要不充分条件；③命题“∃x ∈R ，使得x 2+x -1＜0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2+x -1＞0”； ④命题“若x =y ，则sin x =sin y ”的逆否命题为真命题． 其中所有正确命题的序号是______ ． 【答案】④【解析】①根据否命题的定义可知命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①错误．②由x 2﹣5x ﹣6＝0得x ＝﹣1或x ＝6，所以“x ＝﹣1”是“x 2﹣5x ﹣6＝0”的充分不必要条件，所以②错误． ③根据特称命题的否定是全称命题得命题“∃x ∈R ，使得x 2+x ﹣1＜0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2+x ﹣1≥0”，所以③错误．④因为原命题正确，根据逆否命题和原命题为等价命题可知命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题，所以④正确． 故答案为：④．13．（2019·全国高一课时练习）已知命题“[1,2]x ∃∈，使220x x a ++≥”为真命题，求a 的取值范围 ． 【答案】[8,)-+∞【解析】因为命题“[1,2]x ∃∈，使220x x a ++≥”为真命题， [1,2]x ∈时，22x x +的最大值为8，所以8a ≥-时，命题“[1,2]x ∃∈，使220x x a ++≥”为真命题． 所以a 的取值范围：[8,)-+∞．14．（2019·全国高一课时练习）已知集合{|0}A x x a =≤≤，集合22{|34}B x m x m =+≤≤+，如果命题“m R ∃∈，使得A B ⋂≠∅”为假命题，求实数a 的取值范围 . 【答案】3a <【解析】命题“m ∃∈R ，使得A B ⋂≠∅”为假命题，则其否定命题“m R ∀∈，A B =∅I ”为真命题 当0a <时，集合{|0}A x x a =≤≤=∅，符合A B =∅I 当0a ≥时，因为230m +>，所以m R ∀∈，A B =∅I 得23a m <+对于m R ∀∈恒成立 所以()233mina m <+=，则03a ≤<综上，实数a 的取值范围为3a <.15．（2019·全国高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出对应的否定命题，并判断真假:(1)不论m 取何实数,关于x 的方程20x x m +-=必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)函数y kx =图象恒过原点. 【答案】见解析【解析】(1)即“所有m R ∈，关于x 的方程20x x m +-=都有实数根”，是全称量词命题，其否定为“存在实数m ，使得方程20x x m +-=没有实数解”，真命题；(2)是全称量词命题，其否定为“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，假命题； (3)是存在量词命题，其否定为“所有梯形的对角线不互相平分”，真命题；(4)即“所有k ∈R ，函数y kx =图象都过原点”，是全称量词命题，其否定为“存在实数k ，使函数y kx =图象不过原点”，是假命题.16．（2019·内蒙古高二期末（理））设命题P ：对任意x ∈[0,1]，不等式2x −2≥m 2−3m 恒成立，命题q:存在x ∈[−1,1]，使得不等式x 2−x +m −1≤0成立. （1）若P 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1≤m ≤2（2）m <1或54<m ≤2【解析】对于p:(2x −2)min ≥m 2−3m 成立，而x ∈[0,1]，有(2x −2)min =−2， ∴−2≥m 2−3m ，∴1≤m ≤2q:存在x ∈[−1,1]，使得不等式x 2−x +m −1≤0成立，只需(x 2−x +m −1)min ≤0 而(x 2−x +m −1)min =−54+m ，∴−54+m ≤0，∴m ≤54； （1）若p 为真，则1≤m ≤2；（2）若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，则p,q 一真一假. 若q 为假命题，p 为真命题，则{1≤m ≤2m >54 ，所以54<m ≤2；若p 为假命题，q 为真命题，则{m⟨1或m⟩2m ≤54，所以m <1. 综上，m <1或54<m ≤2.17．（2019·湖北荆州中学高二期末（文））若命题p ：∀x ∈R ，ax 2+ax +1>0；命题q ：∃x 0∈[−1,1]，2x 0>a ，若(¬q)∧p 为真命题，求实数a 的取值范围. 【答案】2≤a <4【解析】由题意，命题p:∀x ∈R,ax 2+ax +1>0， 当a =0时，不等式成立，当a ≠0时，由题意知{a >0Δ<0⇒0<a <4， 综上可知0≤a <4.由命题q 可知，当x 0∈[−1,1]时，2x 0∈[12,2]，则a <2，∴¬q ：a ≥2， 由题意知：¬q 与p 同时为真，则{0≤a <4a ≥2，∴2≤a <4.18．（2019·湖北沙市中学高二期末（理））已知命题:p 函数2()1f x x mx =++在区间(2,1)--和(1,0)-上各有一个零点；命题:q 5(1,)2x ∃∈，使函数22()log (22)g x mx x =+-有意义．若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围． 【答案】122m -<≤或52m ≥. 【解析】若命题p 为真命题，则()()()20520510220200f m f m m f ⎧->->⎧⎪-<⇒⇒<<⎨⎨-<⎩⎪>⎩； 若命题q 为真，51,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使函数()()22log 22g x mx x =+-有意义， 则不等式2220mx x +->有属于51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的解；即2min22m x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，51,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．Q 512x <<，∴ 2115x <<， ∴ 222211112,0222x x x ⎛⎫⎡⎫-=--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭． ∴ 12m >-． 若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则p q ，中有一个为真命题，一个为假命题，若命题p 为真命题，q 为假命题，则52212m m ⎧<<⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，所以无解；若命题p 为假命题，q 为真命题，则52122122m m m m ⎧≤≥⎪⎪⇒-<≤⎨⎪>-⎪⎩或或52m ≥；综上，122m -<≤或52m ≥.19．（2018·河南高二月考（理））已知m ∈R ，命题p ：对∀x ∈[0,8]，不等式log 13(x +1)≥m 2−3m 恒成立；命题q ：对∀x ∈(−∞,−1)，不等式2x 2+x >2+mx 恒成立． (1)若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； (2)若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）[1,2]（2）(2,+∞)【解析】（1）令f (x )=log 13(x +1)，则f (x )在(−1,+∞)上为减函数，因为x ∈[0,8]，所以当x =8时，f (x )min =f (8)=−2，不等式log 13(x +1)≥m 2−3m 恒成立，等价于−2≥m 2−3m ，解得1≤m ≤2， 故命题p 为真，实数m 的取值范围为[1,2].（2）若命题q 为真，则m >2x −2x +1，对∀x ∈(−∞,−1)上恒成立， 令g (x )=2x −x +1，因为g (x )在x ∈(−∞,−1)上为单调增函数， 则g (x )<g (−1)=1，故m ≥1，即命题q 为真，m ≥1 若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则命题p ，q 中一真一假； ①若p 为真，q 为假，那么{1<m <2m <1，则无解；②若p 为假，q 为真，那么{m <1或m >2m ≥1 ，则m >2.综上m 的取值范围为(2,+∞).20.（2018·湖南高二期中（理））已知命题p ：∀x ∈(0,+∞),(12)x +m −1<0；命题q ：∃x ∈(0,+∞)，mx 2+4x −1=0.若“p 且q ”为真命题，求实数m 的取值范围． 【答案】[−4,0]【解析】若命题p 是真命题，则(12)x +m −1<0对x >0恒成立， 即m −1<−(12)x 对x >0恒成立，当x >0时，0<(12)x <1，则−1<−(12)x <0， ∴m −1≤−1，即m ≤0；若命题q 是真命题，则关于x 的方程mx 2+4x −1=0有正实数根， ∵x >0，由mx 2+4x −1=0，得m =1x 2−4x =(1x −2)2−4∈[−4,+∞)； 因为“p 且q ”为真命题，所以p 和q 都是真命题， 故实数m 的取值范围是[−4,0]．21．已知p ：“对任意的x ∈[2，4]，log 2x －a ≥0”，q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”．若p ，q 均为命题，而且“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】a ≤－2或a ＝1 【解析】∵“p 且q ”是真命题， ∴p 为真命题，q 也为真命题，由p 为真命题得：a ≤log 2x 在x ∈[2，4]时恒成立，∴a ≤1 由q 为真命题得：4a 2－4(2－a)≥0，即a ≤－2或a ≥1. 综上，得 a ≤－2或a ＝1.22．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]， x 2－lnx －a ≥0”与命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax －8－6a ＝0”都是真命题，求实数a 的取值范围．【答案】 (－∞，－4]∪[－2，]【解析】命题p ：a ≤12x 2－lnx 在x ∈[1，2]上恒成立，令f(x)＝12x 2－lnx ，f ′(x)＝x-1x ＝()()11x x x+- ，当1<x<2时，f ′(x)>0，∴f(x)min ＝f(1)＝12.∴a ≤12. 即：当a ≤12时，p 是真命题.， 命题q ：Δ＝4a 2－4(－8－6a)≥0，∴a ≥－2或a ≤－4.即当 a ≥－2或a ≤－4时，q 是真命题， 综上，a 的取值范围为(－∞，－4]∪[－2，12]． 23．（2018·江西省樟树中学高二月考（文））已知a ∈R ，命题p ：∀x ∈[－2，－1]，x 2－a ≥0，命题q ：()2000,220x R x ax a ∃∈+--=．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1a ≤；（2）21a <<－ 【解析】(1)令()[]2,2,1f x x a x =-∈--，根据题意，“命题p 为真命题”等价于“当[]2,1x ∈--时，()0min f x ≥”． ∵()1min f x a =-， ∴10a -≥， 解得1a ≤.∴实数a 的取值范围为(],1∞-．(2)由(1)可知，当命题p 为真命题时，实数a 满足1a ≤．当命题q 为真命题，即方程有实数根时，则有Δ＝4a 2－4(2－a)≥0， 解得2a ≤-或1a ≥．∵命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，∴命题p 与q 一真一假①当命题p 为真，命题q 为假时， 得121a a ≤⎧⎨-<<⎩，解得21a -<<；②当命题p 为假，命题q 为真时， 得121a a a >⎧⎨≤-≥⎩或，解得1a >．综上可得21a -<<或1a >．∴实数a 的取值范围为()()2,11,-⋃+∞．24．（2018·重庆市江津中学校高二月考（文））已知命题:p “1,,420x x x R m R m +∀∈∃∈-+=”，:q “[]1,2x ∃∈，()212log 11x mx -+<-成立”.如果“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数m 的取值范围.【答案】31,2⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】若p 是真命题，则关于x 的方程1420x x m +-+=有实数解， 由于()()24222111x x x m =--⋅=--+≤，∴1m ≤.若q 为真，则[]21,2,12x x mx ∃∈-+>成立，即21x m x-<成立.设()211x g x x x x-==-，则()g x 在[]1,2上是增函数，∴()g x 的最大值为()322g =，∴32m <，∴q 为真时，32m <. ∵“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，∴p 与q —真一假.当p 真q 假时，132m m m ≤⎧⎪⇒∈∅⎨≥⎪⎩；当p 假q 真时，131322m m m >⎧⎪⇒<<⎨<⎪⎩. 综上所述，实数m 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭. 25．（2018·福建省厦门第二中学高二月考（文））已知命题p ：“[]1,2x ∀∈，20x a -≥”，命题q ：“x R ∃∈，2220x ax a ++-=”，若命题“p q ⌝∧”是真命题，求实数a 的取值范围.【答案】1a >.【解析】[]1,2x ∀∈，20x a -≥即[]1,2x ∀∈，2a x ≤2x 在[]1,2上的最小值为1， ∴1a ≤，即命题:1p a ≤；因为命题p 为假命题所以1a >x R ∃∈，2220x ax a ++-=∴方程2220x ax a ++-=有解；∴()24420a a ∆=--≥，解得2a ≤-或1a ≥即命题:2q a ≤-或1a ≥；由“p q ⌝∧”是真命题，所以命题p 为假命题，命题q 为真命题；即121a a a >⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩所以1a >26．（2018·吉安县第三中学高二期中（文））已知a ∈R ，命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2﹣a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2+2ax+2﹣a=0”．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) （﹣∞，1] (2) a ＞1或﹣2＜a ＜1【解析】（1）∵命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2﹣a ≥0”，令f （x ）=x 2﹣a ， 根据题意，只要x ∈[1，2]时，f （x ）min ≥0即可， 也就是1﹣a ≥0，解得a ≤1， ∴实数a 的取值范围是（﹣∞，1]；（2）由（1）可知，当命题p 为真命题时，a ≤1，命题q 为真命题时，△=4a 2﹣4（2﹣a ）≥0，解得a ≤﹣2或a ≥1． ∵命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题， ∴命题p 与命题q 必然一真一假， 当命题p 为真，命题q 为假时，，当命题p 为假，命题q 为真时，，综上：a ＞1或﹣2＜a ＜1．。
1.4 全称量词与存在量词
1.4 全称量词与存在量词
全称量词 存在量词 含有一个量词的 命题的否定
问题引出
思考： 下列语句是命题吗？如果是，判断其真假： （1）2x+1是整数; （2）平行于同一条直线的两条直线互相平行； （3）茅盾中学所有学生数学课本都是采用人民 教育出版社A版的教科书； （4）所有有中国国籍的人都是黄种人； （5）对所有的x∈R，x>3； （6）对任意一个x∈Z，2x+1是整数.
ALL
概念理解
例1 判断下列全称命题的真假： （1）所有的素数是奇数； 假 （2）x∈R，x2+1≥1； 真
1 （3）x R，x ≥2 x
假 真
1 sin x （4）x (0, )， ≥2 2 sin x
要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合 的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一 个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到 一个元素x，使命题p(x)为假.
x0∈M，p(x0)
概念理解
例2 判断下列特称命题的真假： （1）x0∈R，x02+2x0+3=0 （2）至少有一个x∈Z，x能被2和3整除 （3）存在两个相交平面垂直于同一直线 （4）x0∈{x|x是无理数}，x02是有理数．
要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合 中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一 个特称命题为假，必须对在给定集合的每一个 元素x，使命题p(x)为假.
问题探究
判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能 写出下列命题的否定吗？ （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）x∈R，x2-2x+1≥0； （4）有些实数的绝对值是正数； （5）某些平行四边形是菱形； （6） x0∈R，x02＋1＜0.
1.4 全称量词与存在量词
1.4 全称量词与存在量词1. 全称量词、全称命题定义：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示。
（常见的全称量词还有“一切” “每一个” “任给” “所有的”等。
）含有全称量词的命题，叫做全称命题。
如：全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：简记为读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。
2. 存在量词、特称命题定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示。
(常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等。
)含有存在量词的命题，叫做特称命题。
特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。
3. 同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法：4. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
关键词否定词关键词否定词关键词否定词关键词否定词都是不都是至少一个一个都没有至多一个至少两个属于不属于1．全称量词和全称命题(1)短语“______________”“____________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示，常见的全称量词还有“对一切”“对每一个”“任给”“所有的”等．∀(),x M p x∀∈，00(),x M p x∃∈，(2)含有______________的命题，叫做全称命题．(3)全称命题：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为____________．2．存在量词和特称命题(1)短语“______________”“________________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“________”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．(2)含有______________的命题，叫做特称命题．(3)特称命题：“存在M中的一个x0，有p(x0)成立”，可用符号简记为 ____________．3．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：____________；(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：____________.4．命题的否定与否命题命题的否定只否定________，否命题既否定______，又否定________．一、选择题1．下列语句不是全称命题的是( )A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小2．下列命题是特称命题的是( )A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于33．下列是全称命题且是真命题的是( )A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈QC．∃x0∈Z，x20>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>04．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是( )A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x0，使x20>0C．任一无理数的平方必是无理数D．存在一个负数x0，使1x0>25．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则( )A．綈p：∃x0∈R，sin x0≥1B．綈p：∀x∈R，sin x≥1C．綈p：∃x0∈R，sin x0>1D．綈p：∀x∈R，sin x>16．“存在整数m0，n0，使得m20＝n20＋2 011”的否定是( )A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2 011B．存在整数m0，n0，使得m20≠n20＋2 011C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2 011D．以上都不对二、填空题7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为________________．8．写出命题：“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为：________________________________________________________________________.9．下列四个命题：①∀x∈R，x2＋2x＋3>0；②若命题“p∧q”为真命题，则命题p、q都是真命题；③若p是綈q的充分而不必要条件，则綈p是q的必要而不充分条件．其中真命题的序号为________．(将符合条件的命题序号全填上)三、解答题10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，a x>0.(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2.(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.(4)∃x0∈R，使x20＋1<0.11．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)有些质数是奇数；(2)所有二次函数的图象都开口向上；(3)∃x0∈Q，x20＝5；(4)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．能力提升12．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是____________________________．13．给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．同步提升1、下列全称命题中真命题的个数是（）①末位是0的整数，可以被2整除②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等③正四面体中两侧面的夹角相等A 1B 2C 3D 42、 下列特称命题中假命题的个数是（ ）① 有的实数是无限不循环小数②有些三角形不是等腰三角形③有的菱形是正方形 A 0 B 1 C 2 D 33、 下列特称命题中真命题的个数是（ ）①0x R,x ≤∈∃②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数③是无理数是无理数｝，│｛2x x x x ∈∃A 0B 1C 2D 34、 下列全称命题中假命题的个数是（ ）① 2x+1是整数（x ∈R ）②对所有的x ∈R ，x>3③对任意一个x ∈z ，2x 2+1为奇数 A 0 B 1 C 2 D 35、 下列命题为特称命题的是（ ）A 偶函数的图象关于y 轴对称B 正四棱柱都是平行六面体C 不相交的两条直线是平行直线D 存在实数大于等于36、命题“原函数与反函数的图象关于y=x 对称”的否定是（ ） A 原函数与反函数的图象关于y=-x 对称 B 原函数不与反函数的图象关于y=x 对称C 存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x 对称D 存在原函数与反函数的图象关于y=x 对称7、命题“03x -x R,x 2>+∈∀”的否定是______________ 8、命题“01x R,x 2<+∈∃”的否定是______________ 9、命题“23x x N,x >∈∀”的否定是______________10、命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是___________________ 11、把下列命题改成含有量词的命题： （1）余弦定理 （2）正弦定理12、用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题 （1）实数的平方大于等于0（2）存在一对实数，使2x ＋3y ＋3>0成立 （3）勾股定理13、写出下列命题的否定： （1）所有自然数的平方是正数（2）任何实数x 都是方程5x-12＝0的根（3）对于任意实数x ，存在实数y ，使x ＋y>0（4）有些质数是奇数14、写出下列命题的否定 （1）若2x>4，则x>2（2）若m 0,则x 2＋x －m ＝0有实数根（3）可以被5整除的整数，末位是0（4）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等15、已知f(x)=ax 2+bx+c 的图象过原点（－1，0），是否存在常数a 、b 、c ，使不等式x ≤f(x)≤2x 12＋对一切实数x 均成立？16、写出下列命题的否定，并判断其真假 （1）3＝2（2）5>4（3）对任意实数x ，x>0（4）每个正方形是平行四边形1.4 全称量词与存在量词参考答案当堂训练知识梳理1．(1)对所有的 对任意一个 ∀ (2)全称量词 (3)∀x ∈M ，p (x ) 2．(1)存在一个 至少有一个 ∃ (2)存在量词 (3)∃x 0∈M ，p (x 0) 3．(1)∃x 0∈M ，綈p (x 0) (2)∀x ∈M ，綈p (x ) 4．结论 结论 条件 作业设计1．C [“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命题．]2．D [“存在”是存在量词．]3．B [A 、B 、D 中命题均为全称命题，但A 、D 中命题是假命题．] 4．B5．C [全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．] 6．C [特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．] 7．∃x 0<0，使(1＋x 0)(1－9x 0)>08．存在实数m ，关于x 的方程x 2＋x ＋m ＝0没有实根 9．①②③10．解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x>0 (a >0，a ≠1)恒成立， ∴命题(1)是真命题．(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个周期， ∴命题(3)是真命题．(4)对任意x 0∈R ，x 20＋1>0， ∴命题(4)是假命题．11．解 (1)“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命题．(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．(3)“∃x 0∈Q ，x 20＝5”是特称命题，其否定为“∀x ∈Q ，x 2≠5”，真命题．(4)“不论m 取何实数，方程x 2＋2x －m ＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数m ，使得方程x 2＋2x －m ＝0没有实数根”，真命题．12．存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3解析 全称命题的否定是特称命题，全称量词“任何”改为存在量词“存在”，并把结论否定．13．解 甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，即a >13或a <－1.乙命题为真时，2a 2－a >1，即a >1或a <－12.(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，∴a 的取值范围是{a |a <－12或a >13}．(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，13<a ≤1，甲假乙真时，－1≤a <－12，∴甲、乙中有且只有一个真命题时a 的取值范围为{a|13<a≤1或－1≤a<－12}．同步提升答案： C A D C D C 7、03x -x R,x 2≤+∈∃ 8、01x R,x 2≥+∈∀ 9、23x x N,x ≤∈∃10、任意一个三角形都有外接圆11、任意一个三角形的三边和三角，2abc b a cosC 222-+=12、（1）0x R,x 2≥∈∀13、（1）有些自然数的平方不是正数 14、（1）存在实数x 0，虽然满足2 x 0>4，但x 0≤2。
高二数学 1.4 全称量词与存在量词
第22页
返回导航
第一章·1.4
三 全称命题、特称命题的应用 【例 3】 命题 p：∀x∈[－1,2]，4x－2x＋1＋2－a<0，若命
题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围． 【解】 依题意，∀x∈[－1,2]，4x－2x＋1＋2－a<0 恒成立． 令 t＝2x，由 x∈[－1,2]，得 t∈[12，4]， 则 4x－2x＋1＋2－a<0， 可化为 a>t2－2t＋2，即 a>(t－1)2＋1，
第4页
返回导航
第一章·1.4
2．存在量词 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ________，并用符号________表示． (2)________的命题，叫做特称命题． (3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号 简记为________，读作________．
第27页
返回导航
第一章·1.4
解 (1)(4)是特称命题，(2)(3)是全称命题． (1)对于∀α∈R，都有 sin2α＋cos2α＝1，∴(1)是假命题． (2)当直线的倾斜角是 90°时，不存在斜率，∴(2)是假命题． (3)当 a＝0，b＝－1 时，方程无解，∴(3)是假命题． (4)∵对于任意 x∈R，x2－1x＋1≠2，∴(4)是假命题．
第12页
返回导航
第一章·1.4
第13页
返回导航
第一章·1.4
2.要判定全称命题是真命题，需对集合M中每个元素x，证 明p(x)成立；如果在集合M中存在一个x0使p(x0)不成立，那么 这个全称命题就是假命题．
3．要判定一个特称命题是真命题，只要在集合M中，至 少能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假 命题.
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量
方法技巧 (1)含参数的全称命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题来 处理,最终通过构造函数转化为求函数的最值问题. (2)含参数的特称命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,最 终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决.
是错误的,故选C.
方法技巧 (1)全称命题的真假判断
要判定一个全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,必须对限定集合M中的每个
元素x验证p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一
个x=x0,使得p(x0)不成立即可. (2)特称命题的真假判断 要判断特称命题“∃x0∈M,p(x0)”为真命题,只需在限定集合M中找出一个 x=x0,使得p(x0)成立即可;要判断特称命题为假命题,就要验证集合M中的每 个元素x都不能满足p(x),即在集合M中,使p(x0)成立的元素x0不存在.
新知探求 课堂探究
新知探求 素养养成
知识点一 全称量词与全称命题
问题1:结合你学过的知识,谈谈你对全称量词的含义的理解.
答案:短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体,在逻辑中通常叫做全称量
词.
∀
梳理 全称量词有:所有的、任意一个、任给一个,用符号“
”表示,含
有全∀称x∈量M词,p的(x命) 题,叫做全称命题.“对M中的所有x,p(x)”用符号简记为:
解析:(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°,故为全称命题.
(2)含有全称量词“任意”,故是全称命题;
(3)是命题,但既不是全称命题,也不是特称命题;
(4)有一个实数a,a不能取对数. (5)任何数的0次方都等于1吗?
解析:(4)含有存在量词“有一个”,因此是特称命题; (5)不是命题.
全称量词与存在量词附答案
1.4 全称量词与存在量词(1)第1课时：全称量词与存在量词 情景设计: 已知2():20p x x x +-=，():sin cos q x x x >， （1）语句()p x ，()q x 是命题吗？为什么？（2）如果在语句()p x 或()q x 前面加上“对所有x R ∈”或“存在一个x R ∈”，它们是命题吗？为什么？ 点拔提示：（1）在x 未赋值之前，语句()p x ，()q x 不能判断其真假，所以它们不是命题；（2）在语句()p x 或()q x 前面加上“对所有x R ∈”或“存在一个x R ∈”后，()p x ，()q x 的真假就能确定，所以它们是命题.阅读与积累:1．短语“__________”、“____________” 逻辑中称为全称量词，并用符号“_____” 表示。
对所有的 对任意一个 ∀ 2．短语“__________”、“____________” 逻辑中称为存在量词，并用符号“_____” 表示。
存在一个 至少有一个 ∃3．含有全称量词的命题称为____________；含有存在量词的命题称为___________.全称命题 特称命题4．全称命题形式：_____________；特称命题形式：____________ 。
其中M 为给定的集合，p (x )是一个关于x 的命题。
,()x M p x ∀∈ ,()x M p x ∃∈问题与思考:题1：判断下列命题是全称命题还是特称命题.（1）对任意的n ∈Z, 2n +1 是奇数 （2）所有的正方形都是矩形 （3）有的平行四边形是菱形 （4）有一个素数不是奇数答案：（1）（2）都是全称命题 ；（3）（4）都是特称命题题2： 判断下列命题的真假吗？（1）4,1x N x ∀∈≥有 （2）2,10x R x x ∀∈-+>有（3）1,2=+∈∃x x R x 使 （4）5,2=∈∃x Z x 使 答案：(1) 假命题 （2）真命题 (3) 真命题 (4) 假命题[合作学习与问题探究] [难点·疑点·方法]问题1: 你能用符号“∀”与“∃”表达下列命题吗？①自然数的平方大于或等于零_______________________________________②圆221x y +=上存在一个点到直线1y x =+的距离等于圆的半径____________________________________________________________________ ③基本不等式：________________________________________________④对于数列1n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭，总存在正整数n ,使得n a 与1之差的绝对值小于0.01：解： ①2,0x N x ∀∈≥; ②(){}22(,),/11x y x y x y ∃∈+==③,,2a b a b R ++∀∈≥; ④,10.01n n N a +∃∈-<名师讲析: 一般地，全称命题写成“,()x M p x ∀∈”，特称命题写成“,()x M p x ∃∈”， 其中M 为给定的集合，p (x )是一个关于x 的命题。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词(含解析)1数学教案
全称量词与存在量词预习课本P21～25，思考并完成以下问题1．全称量词、全称命题的定义是什么？2．存在量词、特称命题的定义是什么？3．全称命题与特称命题的否定分别是什么命题？[新知初探]1．全称量词与全称命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号__∀__全称命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示__∃__特称命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”知识点原命题命题的否定全称命题p：∀x∈M，p(x)綈p：∃x0∈M，綈p(x0)的否定特称命题p：∃x0∈M，p(x0)綈p：∀x∈M，綈p(x)的否定[(1)全称命题的否定全称命题的否定是一个特称命题，否定全称命题时关键是找出全称量词，明确命题所提供的性质．(2)特称命题的否定特称命题的否定是一个全称命题，否定特称命题时关键是找出存在量词，明确命题所提供的性质．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略( )(2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题( )(3)“三角形内角和是180°”是全称命题( )答案：(1)×(2)√(3)√2．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0答案：C3．下列全称命题为真命题的是( )A．所有的质数是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥1C．对每一个无理数x，x2也是无理数D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5答案：B4．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p：______________.答案：特称命题假∀x∈R，x2＋2x＋5≥0全称命题与特称命题的判断[典例](1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)矩形的对角线不相等；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[解] (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路[注意] 全称命题可能省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略． [活学活用]用全称量词或存在量词表示下列语句： (1)不等式x 2＋x ＋1>0恒成立；(2)当x 为有理数时，13x 2＋12x ＋1也是有理数；(3)等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立； (4)方程3x －2y ＝10有整数解．解：(1)对任意实数x ，不等式x 2＋x ＋1>0成立． (2)对任意有理数x ，13x 2＋12x ＋1是有理数．(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)存在一对整数x ，y ，使3x －2y ＝10成立.全称命题、特称命题的真假判断[典例] A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0D ．∀x ∈R ，e x>0(2)下列命题中的真命题是( )A ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数B ．∃α0，β0∈R ，使cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0C ．向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,0)，则a 在b 方向上的投影为2D ．“|x |≤1”是“x ≤1”的既不充分又不必要条件 [解析] (1)对于A ，x ＝1时，lg x ＝0； 对于B ，x ＝k π＋π4(k ∈Z)时，tan x ＝1；对于C ，当x ＝0时，x 2＝0，所以C 中命题为假命题； 对于D ，e x>0恒成立．(2)对于A ，当φ＝π2时，f (x )＝cos 2x ，为偶函数，故A 为假命题；对于B ，令α0＝π4，β0＝－π2，则cos(α0＋β0)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝22，cos α0＋cos β0＝22＋0＝22，cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0成立，故B 为真命题； 对于C ，向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,0)，则a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－2＋01＝－2，故C 为假命题；对于D ，|x |≤1，即－1≤x ≤1，故充分性成立，若x ≤1，则|x |≤1不一定成立，所以“|x |≤1”为“x ≤1”的充分不必要条件，故D 为假命题．[答案] (1)C (2)B指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断真假． (1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x>0. (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2. (3)存在两个相交平面垂直于同一条直线． (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1<0. 解：(1)是全称命题．∵a x>0(a >0，且a ≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题． (2)是全称命题．存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π， ∴命题(2)是假命题． (3)是特称命题．由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的， ∴命题(3)是假命题． (4)是特称命题．对任意x ∈R ，x 2＋1>0，∴命题(4)是假命题.全称命题与特称命题的否定[典例] p n n2n pA．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n(2)(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2[解析] (1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.(2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x ∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．[答案] (1)C (2)D全称命题与特称命题的否定的思路(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．判断下列命题的真假，并写出它们的否定．(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解：(1)三角形的内角和为180°，是全称命题，是真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，其内角和不等于180°.(2)每个二次函数的图象都开口向下，是全称命题，是假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)存在一个四边形不是平行四边形，是特称命题，是真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形.利用全称命题与特称命题求参数[典例] 若命题“∀x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a ”是真命题，求实数a 的取值范围．[解] 法一：由题意，∀x ∈[－1，＋∞)， 令f (x )＝x 2－2ax ＋2≥a 恒成立，所以f (x )＝(x －a )2＋2－a 2≥a 可转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ≥a 恒成立， 而∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2，a ≥－1，1＋a 2＋2－a 2，a <－1.由f (x )的最小值f (x )min ≥a ，知a ∈[－3,1]． 法二：x 2－2ax ＋2≥a ， 即x 2－2ax ＋2－a ≥0， 令f (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，所以全称命题转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )≥0恒成立，所以Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－42－a >0，a <－1，f －1≥0，即－2≤a ≤1或－3≤a <－2.所以－3≤a ≤1. 综上，所求实数a 的取值范围是[－3,1]．利用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．1．命题p ：∃x 0∈[0，π]，使sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π3<a ，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由0≤x ≤π，得π3≤x ＋π3≤4π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1. 而命题p ：∃x 0∈[0，π]，使sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π3<a ，因为p 为真命题，所以a >－32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 2．已知命题p ：∃x 0∈R ，使x 20－mx 0＋1＝0，命题q ：∀x ∈R ，有x 2－2x ＋m >0.若命题q ∨(p ∧q )为真，綈p 为真，求实数m 的取值范围．解：由于綈p 为真，所以p 为假，则p ∧q 为假． 又q ∨(p ∧q )为真，故q 为真，即p 假、q 真．命题p 为假，即关于x 的方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，则m 2－4<0，解得－2<m <2； 命题q 为真，则4－4m <0，解得m >1. 故实数m 的取值范围是(1,2)．层级一 学业水平达标1．已知命题p ：∀x >0，总有e x>1，则綈p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得e x 0≤1 B ．∃x 0>0，使得e x 0≤1 C ．∀x >0，总有e x≤1D ．∀x ≤0，总有e x<1解析：选B 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p 的否定綈p 为∃x 0>0，使得e x 0≤1.故选B.2．下列四个命题中的真命题为( ) A ．若sin A ＝sin B ，则A ＝B B ．∀x ∈R ，都有x 2＋1>0 C ．若lg x 2＝0，则x ＝1 D ．∃x 0∈Z ，使1<4x 0<3解析：选B A 中，若sin A ＝sin B ，不一定有A ＝B ，故A 为假命题，B 显然是真命题；C 中，若lg x 2＝0，则x 2＝1，解得x ＝±1，故C 为假命题；D 中，解1<4x <3得14<x <34，故不存在这样的x ∈Z ，故D 为假命题．3．命题“∃x 0∈R,2x 0<12或x 20>x 0”的否定是( )A ．∃x 0∈R,2x 0≥12或x 20≤x 0B ．∀x ∈R,2x ≥12或x 2≤xC ．∀x ∈R,2x ≥12且x 2≤xD ．∃x 0∈R,2x 0≥12且x 20≤x 0解析：选C 原命题为特称命题，其否定为全称命题，应选C. 4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>2解析：选B A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x<0，所以D 是假命题．5．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析：选D 当a ＝0时，不等式恒成立； 当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，0≤a ≤4，则命题p ：0≤a ≤4， 所以綈p ：a <0或a >4.6．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号) ①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．答案：①②③ ④7．命题“至少有一个正实数x 满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝0”的否定是________． 解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定． 答案：所有正实数x 都不满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝08．已知命题“∃x 0∈R,2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：原命题等价于“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0”是真命题，即Δ＝(a －1)2－4<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定． (1)∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β； (2)∃x 0，y 0∈Z,3x 0－4y 0＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (4)正数的绝对值是它本身．解：(1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的否定为：∃α0，β0∈R ，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0.(2)真命题．命题的否定为：∀x ，y ∈Z,3x －4y ≠20.(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．(4)省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身．10．已知命题p ：∀a ∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a ＋π3的周期不大于4π.(1)写出綈p ；(2)当綈p 是假命题时，求实数b 的最大值． 解：(1)綈p ：∃a 0∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a 0＋π3的周期大于4π. (2)因为綈p 是假命题，所以p 是真命题， 所以∀a ∈(0，b ]，2π1a≤4π恒成立，解得a ≤2，所以b ≤2，所以实数b 的最大值是2.层级二 应试能力达标1．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0 C ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 D ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0 解析：选D 由正弦函数的图象，知∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x <x ，又3<π，∴当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，3sin x <πx ，即∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0恒成立，∴p 是真命题．又全称命题的否定是特称命题，∴綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0. 2．已知命题p ：∀x ∈R,2x 2＋2x ＋12<0；命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0－cos x 0＝ 2.则下列判断正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．p ，q 都是假命题D ．綈q 是假命题解析：选D p ：2x 2＋2x ＋12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x ＋14＝2x ＋122≥0，∴p 为假命题，綈p 为真命题．q ：sin x 0－cos x 0＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－π4，∴x 0＝34π时成立．故q 为真，而綈q 为假命题． 3．已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋12x ＋34>0.给出下列结论：①命题p 是真命题； ②命题q 是假命题； ③命题(綈p )∧q 是真命题； ④命题p ∨(綈q )是假命题． 其中正确的是( ) A ．②④ B ．②③ C ．③④D ．①②③解析：选C 对于命题p ，因为函数y ＝sin x 的值域为[－1,1]，所以命题p 为假命题； 对于命题q ，因为函数y ＝x 2＋12x ＋34的图象开口向上，最小值在x ＝－14处取得，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝1116>0，所以命题q 为真命题． 由命题p 为假命题和命题q 为真命题可得：命题(綈p )∧q 是真命题，命题p ∨(綈q )是假命题．故③④正确．4．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0解析：选D 写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．5．有下列四个命题：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0； ②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0； ③∃x 0∈N ，x 20≤x 0；④∃x 0∈N *，x 0为29的约数． 其中真命题有________个．解析：易知①③④正确．当x ＝－1时，2x ＋1<0，故②错误． 答案：36．已知命题p ：∃c >0，y ＝(3－c )x在R 上为减函数，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋2c －3>0.若p ∧q 为真命题，则实数c 的取值范围为________．解析：由于p ∧q 为真命题，所以p ，q 都是真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<3－c <1，2c －3>0，解得2<c <3.故实数c 的取值范围为(2,3)．答案：(2,3)7．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1,2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．解：法一：由题意知，x 2＋2ax ＋2－a >0在[1,2]上有解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则只需f (1)>0或f (2)>0，即1＋2a ＋2－a >0，或4＋4a ＋2－a >0.整理得a >－3或a >－2.即a >－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)． 法二：綈p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a >0无解， 令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ， 则⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0.解得a ≤－3.故命题p 中，a >－3. 即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．8．已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，若命题“对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立”为真命题，求实数x 的取值范围．解：易知f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. 由题意，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4＝(x －2)m ＋(x －2)2，则g (m )>0对∀m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，g 3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －2＋x －22>0，3x －2＋x －22>0，解得x >2或x <－1.故实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：选B 根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．2．设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由x >y 推不出x >|y |，由x >|y |能推出x >y ，所以“x >y ”是“x >|y |”的必要不充分条件．3．已知命题①若a >b ，则1a <1b，②若－2≤x ≤0，则(x ＋2)(x －3)≤0，则下列说法正确的是( )A ．①的逆命题为真B ．②的逆命题为真C ．①的逆否命题为真D ．②的逆否命题为真解析：选D ①的逆命题为1a <1b则，a >b ，若a ＝－2，b ＝3，则不成立．故A 错；②的逆命题为若(x ＋2)(x －3)≤0，则－2≤x ≤0是假命题，故B 错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C 错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D 正确．4．已知命题p ：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( ) A ．命题綈p 是真命题B ．命题p 是特称命题C ．命题p 是全称命题D ．命题p 既不是全称命题也不是特称命题解析：选C 命题p ：实数的平方是非负数，是全称命题，且是真命题，故綈p 是假命题．5．下列命题中，真命题是( ) A ．命题“若|a |>b ，则a >b ”B ．命题“若“a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆命题C ．命题“当x ＝2时，x 2－5x ＋6＝0”的否命题 D ．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”解析：选D 原命题可以改写成“若角的终边相同，则它们的同名三角函数值相等”，是真命题，故选D.6．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 3＋y 3＝0，则x ，y 互为相反数；命题q ：若a >b >0，则1a <1b.下列命题p ∧q ，p ∨q ，綈p ，綈q 中，真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 易知命题p ，q 都是真命题，则p ∧q ，p ∨q 都是真命题，綈p ，綈q 是假命题．7．已知f (x )＝e x＋x －1，命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，f (x )>0，则( ) A ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)<0 B ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)≤0 C ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)<0 D ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)≤0解析：选B 由于函数y ＝e x 和y ＝x －1在R 上均是增函数，则f (x )＝e x＋x －1在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，所以p 为真命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)≤0，故选B.8．下列关于函数f (x )＝x 2与函数g (x )＝2x的描述，正确的是( ) A ．∃a 0∈R ，当x >a 0时，总有f (x )<g (x ) B ．∀x ∈R ，f (x )<g (x ) C ．∀x <0，f (x )≠g (x )D．方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)内有且只有一个实数解解析：选A 在同一坐标系内作出两函数的大致图象，两交点为(2,4)，(4,16)．当x>4时，由图象知f(x)<g(x)，其余三命题均错误．9．已知p：x≥k，q：3x＋1<1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．(2，＋∞)C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1)解析：选B3x＋1<1⇔x<－1或x>2.又p是q的充分不必要条件，则k>2，故选B.10．下列判断正确的是( )A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈N*，x3>x2”的否定是“∃x0∈N*，x30<x20”C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的必要不充分条件D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件解析：选D 选项A是全称命题，不正确；选项B应该是∃x0∈N*，x30≤x20，不正确；对于选项C，f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos 2ax，周期T＝2π2a＝πa，当a＝1时，周期是π，当周期是π时，a＝1，所以“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的充要条件；选项D正确，故选D.11．设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要不充分条件是( )A．x<0 B．x<0或x>4C．|x－1|>1 D．|x－2|>3解析：选C 由f(x)＝x2－4x>0，得x<0或x>4.由|x－1|>1，得x<0或x>2.由|x－2|>3，得x<－1或x>5，所以只有C是必要不充分条件．故选C.12．有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①④解析：选C ①的逆命题为“若x >0且y >0，则x ＋y >0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为，若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m ≥1. ∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0， 即m >1.∴③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．命题“若a ∉A ，则b ∈B ”的逆否命题是________． 解析：逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序． 答案：若b ∉B ，则a ∈A14．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的为________．解析：p 为假命题，q 为真命题，故p ∨q 为真命题，綈p 为真命题． 答案：p ∨q ，綈p15．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：p ：a －4<x <a ＋4，q ：2<x <3. 由綈p 是綈q 的充分条件可知，q 是p 的充分条件，即q ⇒p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.答案：[－1,6]16．已知在实数a ，b 满足某一前提条件时，命题“若a >b ，则1a <1b”及其逆命题、否命题和逆否命题都是假命题，则实数a ，b 应满足的前提条件是________．解析：由题意，知ab ≠0，当ab >0时，1a <1b ⇔ab ·1a <1b·ab ⇔b <a ，所以四种命题都是正确的．当ab <0时，若a >b ，则必有a >0>b ，故1a>0>1b ，所以原命题是假命题；若1a <1b，则必有1a<0<1b，故a <0<b ，所以原命题的逆命题也是假命题．由命题的等价性，可知四种命题都是假命题，故填ab <0.答案：ab <0三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x>2；(4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.解：(1)命题中隐含了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，且为真命题． (3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，且为假命题． (4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，且为真命题．18．(本小题满分12分)把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假． (1)能被6整除的数一定是偶数；(2)当a －1＋|b ＋2|＝0时，a ＝1，b ＝－2； (3)已知x ，y 为正整数，当y ＝x 2时，y ＝1，x ＝1.解：(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数，是真命题． (2)若a －1＋|b ＋2|＝0，则a ＝1且b ＝－2，真命题． (3)已知x ，y 为正整数，若y ＝x 2，则y ＝1且x ＝1，假命题．19．(本小题满分12分)已知c >0，设命题p ：y ＝c x为减函数，命题q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求c 的取值范围． 解：由p ∨q 真，p ∧q 假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可．若p 真，由y ＝c x为减函数，得0<c <1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知， f (x )＝x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最小值为2.若q 真，则1c <2，即c >12.若p 真q 假，则0<c <1，c ≤12，所以0<c ≤12；若p 假q 真，则c ≥1，c >12，所以c ≥1.综上可得，c ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)． 20．(本小题满分12分)已知k ∈R 且k ≠1，直线l 1：y ＝k 2x ＋1和l 2：y ＝1k －1x －k .(1)求直线l 1∥l 2的充要条件；(2)当x ∈[－1,2]时，直线l 1恒在x 轴上方，求k 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝1k －1，k －1≠0，－k ≠1，解得k ＝2.当k ＝2时，l 1：y ＝x ＋1，l 2：y ＝x －2，此时l 1∥l 2. ∴直线l 1∥l 2的充要条件为k ＝2.(2)设f (x )＝k2x ＋1.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f－1>0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧k2×－1＋1>0，k 2×2＋1>0，解得－1<k <2.∴k 的取值范围是(－1,2)．21．(本小题满分12分)已知“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意，知m ＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14.由－1<x <1，得m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2，故M ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2. (2)由x ∈N 是x ∈M 的必要条件，知M ⊆N . ①当a >2－a ，即a >1时，N ＝(2－a ，a )，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，a >1，解得a >94.②当a <2－a ，即a <1时，N ＝(a,2－a )，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.③当a ＝2－a ，即a ＝1时，N ＝∅，不满足M ⊆N . 综上可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫94，＋∞. 22．(本小题满分12分)已知命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式(x －3a )(x －a －2)<0的解集为A ，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题，得x 2－x －m <0在－1≤x ≤1时恒成立，∴m >(x 2－x )max ，得m >2， 即B ＝{m |m >2}．(2)不等式(x －3a )(x －a －2)<0，①当3a >2＋a ，即a >1时，解集A ＝{x |2＋a <x <3a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B ，∴2＋a ≥2，此时a ∈(1，＋∞)；②当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，解集A ＝∅，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立；③当3a <2＋a ，即a <1时，解集A ＝{x |3a <x <2＋a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立，∴3a ≥2，此时a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1.综上①②③可得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.。
高二数学1.4全称量词与存在量词ppt课件.ppt
全称命题（真）
指出下述推理过程的逻辑上的错误:
第一步：设a=b，则有a2=ab 第二步：等式两边都减去b2，
得a2-b2=ab-b2 第三步：因式分解得 (a+b)(a-b)=b(a-b) 第四步：等式两边都除以a-b得，a+b=b 第五步：由a=b代人得，2b=b 第六步：两边都除以b得，2=1
探究（一）：全称量词的含义和表示 思考1:下列语句是命题吗？(1)与（3） （2）与（4）之间有什么关系?
（1）x＞3； （2）2x＋1是整数；
（3）对所有的x∈R，x＞3.
（4）对任意一个x∈Z，2x＋1是整数.
1、全称量词与全称命题： 短语“所有的”“任意一个”“任给”
等，在逻辑中通常叫做全称量词，并用
符号“ ”表示，含有全称量词的命题，
叫做全称命题
思考2：你能列举一些常见的全称量词吗？
“一切”，“每一个”，“全体”等
例如“对所有的x∈R，x＞3”， “对任意一个x∈Z，2x＋1是整数”等，
你能列举一个全称命题的实例吗？
通常：将含有变量x的语句用p(x)、q(x)
、r(x)等表示，变量x的取值范围用M表
B组: 1.
思考2：从命题形式看 全称命题的否定都变成了特称命题.
问题：一般地，对于含有一个量词的全
称命题p：x∈M，p(x)，它的否定﹁p是
什么形式的命题 ?
p： x∈M，p(x) （全称命题）
﹁p： x0∈M，﹁p(x0)（特称命题）
理论迁移
例3 写出下列全称命题的否定： （1）p：所有能被3整除的整数都是奇数 （2）p：每一个四边形的四个顶点共圆
（2）﹁p：所有的三角形都不是等边三角形
1.4全称量词以及存在量词全部(共26张PPT)
7.以下(xiàliè)命题中，真命题A是
(A. m ) R ，使函数(hánshfù)(x ) x 2 m x (x R ) 是偶函数(hánshù)； B. mR ，使函数(hánf sh( ù)x ) x 2 m x (x R ) 是奇函数 C(há.n shùm )；R，使函数 f(x ) x 2 m x (x 都R ) 是偶函数； D. mR，使函数 f(x ) x 2 m x (x 都R 是) 奇函数；
1)所有实数(shìshù)的绝对值都不是正数 ; xM,p(x)
2)所有(suǒyǒu)平行四边形都不是菱形; xM,p(x)
3) xR,x210
xM,p(x)
这 些 命 题 和 它 们 的 否 定 在 形 式 上 有 什 么 变 化 ？
1.4全称量词以及存在量词所有 第十四页，共二十六页。
三、新知建构(jiàn ɡòu)，典例分 析
例3 写出以下(xiàliè)全称命题的否定,并判断真 假： （1）pp::存 所有在能一 被3个 整除能 3整 的被 除 整数的都整 是奇数数不 ； 是 . 奇
（2 ）p : p存 :每在 一一 个个 四四 边边 形形 的， 四它 个的 极四 个 点顶 共点 圆不 ；共 圆 .
（3 ）p p:: 对x 0 任 Z 意,x x0 2 ∈的 Z个 ，位 x数 2的字 个等 位于 数3 .字不等于3.
“有些整数只有两个正因1.4数全称量”词以是及存真在(cú命 nzài)量题词所。有 第十页，共二十六页。
全称(quán chēnɡ)命题、特称命题的表述方法：
命题 全称命题 xM,p(x) 特称命题 x0M,p(x)
全称量词与存在量词附答案
1.4 全称量词与存在量词(1)第1课时：全称量词与存在量词 情景设计: 已知2():20p x x x +-=，():sin cos q x x x >， （1）语句()p x ，()q x 是命题吗？为什么？（2）如果在语句()p x 或()q x 前面加上“对所有x R ∈”或“存在一个x R ∈”，它们是命题吗？为什么？ 点拔提示：（1）在x 未赋值之前，语句()p x ，()q x 不能判断其真假，所以它们不是命题；（2）在语句()p x 或()q x 前面加上“对所有x R ∈”或“存在一个x R ∈”后，()p x ，()q x 的真假就能确定，所以它们是命题.阅读与积累:1．短语“__________”、“____________” 逻辑中称为全称量词，并用符号“_____” 表示。
对所有的 对任意一个 ∀ 2．短语“__________”、“____________” 逻辑中称为存在量词，并用符号“_____” 表示。
存在一个 至少有一个 ∃3．含有全称量词的命题称为____________；含有存在量词的命题称为___________.全称命题 特称命题4．全称命题形式：_____________；特称命题形式：____________ 。
其中M 为给定的集合，p (x )是一个关于x 的命题。
,()x M p x ∀∈ ,()x M p x ∃∈问题与思考:题1：判断下列命题是全称命题还是特称命题.（1）对任意的n ∈Z, 2n +1 是奇数 （2）所有的正方形都是矩形 （3）有的平行四边形是菱形 （4）有一个素数不是奇数答案：（1）（2）都是全称命题 ；（3）（4）都是特称命题题2： 判断下列命题的真假吗？（1）4,1x N x ∀∈≥有 （2）2,10x R x x ∀∈-+>有（3）1,2=+∈∃x x R x 使 （4）5,2=∈∃x Z x 使 答案：(1) 假命题 （2）真命题 (3) 真命题 (4) 假命题[合作学习与问题探究] [难点·疑点·方法]问题1: 你能用符号“∀”与“∃”表达下列命题吗？①自然数的平方大于或等于零_______________________________________②圆221x y +=上存在一个点到直线1y x =+的距离等于圆的半径____________________________________________________________________ ③基本不等式：________________________________________________④对于数列1n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭，总存在正整数n ,使得n a 与1之差的绝对值小于0.01：解： ①2,0x N x ∀∈≥; ②(){}22(,),/11x y x y x y ∃∈+==③,,2a b a b R ++∀∈≥; ④,10.01n n N a +∃∈-<名师讲析: 一般地，全称命题写成“,()x M p x ∀∈”，特称命题写成“,()x M p x ∃∈”， 其中M 为给定的集合，p (x )是一个关于x 的命题。
全称量词和存在量词
解：(1)全称命题，因为x＝0时，x2＋x＋1 ＝1≠0，故是假命题．
(2)特称命题，是真命题，比如10既能被2整 除，又能被5整除．
(3)全称命题，是真命题．
(4)全称命题，是假命题，因为只有x＝2或x ＝1时满足．
例题讲解
类型二、全称命题与特称命题的表述 [例2] (1)设集合S＝{四边形}，p(x)：内角 和 为 360°. 试 用 不 同 的 表 述 写 出 全 称 命 题 “∀x∈S，p(x)”． (2)设q(x)：x2＝x，试用不同的表达方法写 出特称命题“∃x∈R，q(x)”．
(2)令y＝0，则f(x＋y)－f(y)＝f(x)－f(0)＝f(x)＋2＝(x ＋2×0＋1)x＝x2＋x，∴f(x)＋6＝x2＋x＋4.
∴要使在(0,4)上存在 )存在 x0 使 a＝x0＋x40＋1.而 x＋4x＋1≥4＋1＝5， 等号当且仅当 x＝2 时成立．
解析：当x＝0时，0∈N，但0<1. 故“∀x∈N，x≥1”是假命题． 答案：B
4．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到 这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等； ④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形； ⑥存在三角形其内角和大于180°.
既是全称命题又是真命题的是________，既是特称 命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序 号)．
解：(1)∵3×1＋1＝4,3×3＋1＝10,5×3＋1＝16 均为偶数，∴是真命题． (2)∵x20－6x0－5＝0 中，Δ＝36＋20＝56>0， ∴方程有两个不相等的实根，∴是真命题． (3)∵x20－x0＋1＝0 中，Δ＝1－4＝－3<0， ∴x02－x0＋1＝0 无解，∴是假命题． (4)∵x＝－1 时，|－1＋1|＝0，∴是假命题．
1.4 全称量词和存在量词
新课讲解
1．全称命题的否定：
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定， 有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否
定非p：∃x0∈M， ¬p(x0)．全称命题的否定是特称
命题．如：“所有的正方形都是矩形”的否定为 “至少存在一个正方形不是矩形”．其中，把全称 量词“所有的”变为存在量词“至少存在一个”．
(2)特称命题：
①定义：含有存在量词的命题，叫做特称命题．
②一般形式：特称命题“存在M中的元素x0，使 p(x0)成立”可用符号简记为 ∃x0∈M，p(x0)，读作 “存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．
如何判断特称命题的真假呢？ 提示：要判定特称命题“∃ x0∈M，p(x0)”是真命题， 只需在集合 M 中找到一个元素 x0，使 p(x0)成立即可；如 果在集合 M 中，使 p(x)成立的元素 x 不存在，那么这个 特称命题是假命题．
跟踪练习
1.已知命题p：“对∀x∈R，∃m∈R，使
4x＋2xm＋1＝0”．若命题¬p是假命题，则
实数m的取值范围是( )
A．－2≤m≤2
B．m≥2
C．m≤－2
D．m≤－2或m≥2
解析：¬p 是假命题，则 p 是真命题， 由 4x＋2xm＋1＝0 得，
m＝－(2x＋21x)≤－2 ∴m≤－2
2x·21x＝－2
答案：C
知
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.
所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
互 动
课
堂
课 时 作 业
第一章 常用逻辑用语
例题讲解
类型四、求参数的取值范围 [例4] 若r(x)：sinx＋cosx>m，s(x)：x2＋mx＋ 1>0，如果∀x∈R，r(x)为假命题且s(x)为真命题， 求实数m的取值范围．
教学设计4：1．4 全称量词与存在量词
1．4 全称量词与存在量词一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)了解全称量词与存在量词的意义；能利用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．(2)了解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．2．典型例题例1 指出下列语句中的全称量词或存在量词：①每个人都喜欢旅游；②有时晴天下雪；③任意三角形中，两边之和大于第三边．例2 判断下列命题是全称命题还是存在性命题：①有的奇数是质数；②与同一直线平行的两条直线平行；③有的三角形三边长成等比数列；④和圆有两个公共点的直线与圆相交．例3 判断下列命题的真假：①∀x∈R，3x2－x+1>0；②∀x∈{0，1，2}，2x－1>0；③∃x∈N，x2+1≤x+1；④∃x∈N*，使x为13的约数．例4 写出下列命题的否定：①所有人都打球；②∀x∈R，x2+x+2>0；③菱形的对角相等；④∃x∈R，x2+x+2=0．三、自我检测1．下列命题不是“∃x0∈R，x20＞3”的表述方法是()A．有一个x∈R，使得x2＞3B．对有些x∈R，使得x2＞3C．任选一个x∈R，使得x2＞3D．至少有一个x∈R，使得x2＞32．命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”用“∃”或“∀”符号表示为____________________．3．下列命题不是特称命题的是________(填序号)．①有的无理数的立方是有理数；②有的无理数的立方不是有理数；③对于任意x∈Z，4x±1是奇数；④存在x0∈R，2x0＋1是奇数．四、课后巩固练习1．下列命题中全称命题的个数为( )①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．下列命题中的假命题是( )A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝1C ．∀x ∈R ，x 3＞0D ．∀x ∈R ，2x ＞0 3．下列命题中特称命题的个数是( )①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x ∈R ，总有|sin x |≤1.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．下列命题，是全称命题的是__________，是特称命题的是________(填序号)． ①正方形的四条边相等②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形 ③正数的平方根不等于0 ④至少有一个正整数是偶数5．下列全称命题中真命题的个数为( ) ①负数没有对数；②对任意的实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ； ③二次函数f (x )＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点； ④∀x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |＞0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是 ( ) A ．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α B ．存在实数x 0，使sin x 0＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β7．对任意x >3，x >a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．8．若∀x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是________________． 9．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假． (1)所有实数x 都能使x 2＋x ＋1>0成立；(2)对所有实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解； (3)一定有整数x 0，y 0，使得3x 0－2y 0＝10成立； (4)所有的有理数x 都能使13x 2＋12x ＋1是有理数．10．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．五、拓展视野逻辑推理问题求解综述：对“逻辑变化”较少的比较简单的逻辑推理题，常用顺推法求解，即从已知条件出发，顺着条件进行推理，或假设其提供的某一个线索条件为真(或为假)，然后导出矛盾，进而得到结论．对于逻辑关系较为复杂的问题，常用表格法求解，即先将容易判断的结论确定下来，填入表内，在此基础上，逐步推理，将表中的空格逐步填满，最后得出结论．用表格法，常使一些令人眼花缭乱的条件及其关系变得有序，有利于确定推理的方向．例旅游车上乘坐着日本、美国、法国三个国家的游客．现知道日本游客有18人，法国游客有9人．成年男游客中，美国5人，法国3人；成年女游客中，法国3人，日本5人；男孩中日本3人，美国2人；女孩中美国2人，法国1人，还知道成年女游客比成年男游客少2人，而男孩和女孩一样多．则美国游客有______人．参考答案例1【答案】解：①全称量词：每个；②存在量词：有时；③全称量词：任意．【点评】我们要理解全称量词与存在量词的含义，有时还要根据语句中所叙述对象的特征，挖掘其隐含的量词．例2【答案】解：①是存在性命题；②是全称命题；③是存在性命题；④是全称命题．【点评】我们要理解全称命题与存在性命题的意义，有时还要根据命题中所叙述对象的特征，挖掘其隐含的量词．例3【答案】解：①因为3x2－x+1的Δ=1－12=－11<0，所以3x2－x+1>0恒成立．故“∀x∈R，3x2－x+1>0”是真命题；②因为当x=0时，2x－1=－1<0，所以“∀x∈{0，1，2}，2x－1>0”是假命题；③因为当x=0时，x2+1≤x+1，所以“∃x∈N，x2+1≤x+1” 是真命题；④因为1与13是13的约数，所以“∃x∈N*，使x为13的约数” 是真命题．【点评】要判定一个存在性命题为真，只要在给定的集合中，找到一个元素x，使命题p(x)为真；否则命题为假．要判定一个全称命题为真，必须对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；但要判定一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个元素x0，使p(x0)为假．例4【答案】解：①“所有人都打球”的否定是“有的人不打球”；②“∀x∈R，x2+x+2>0” 的否定是“∃x∈R，x2+x+2≤0”；③“菱形的对角相等”是指任意一个菱形的对角相等，它的否定是“存在菱形，它的对角不相等”；④“∃x∈R，x2+x+2=0” 的否定是“∀x∈R，x2+x+2≠0”．【点评】本题给出了含有一个量词的命题的否定的范式：“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x∈M，﹁p(x)”；“∃x∈M，p(x)”的否定为“∀x∈M，﹁p(x)”．自我检测 1．【答案】C2．【解析】将文字语言用符号语言可表示为∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1≥0. 【答案】∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1≥0 3．【答案】③课后巩固练习1．【解析】①②是全称命题，③是特称命题．故选C. 【答案】C2．【解析】对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，A 正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，B 正确；对于C ，当x ＜0时，x 3＜0，C 错误；对于D ，∀x ∈R ，2x ＞0，D 正确． 【答案】C3．【解析】命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题．故有一个特称命题． 【答案】B4．【解析】①②③是全称命题，④是特称命题． 【答案】①②③ ④能力提升5．【解析】①②③为真命题． 【答案】C6．【解析】只有A 、B 两个选项中的命题是特称命题，而由于|sin x |≤1，所以sin x 0＝π2不成立，故B 中命题为假命题．又因为当α＝45°时，tan(90°－α)＝tan α，故A 中命题为真命题． 【答案】A7．【解析】对任意x >3，x >a 恒成立，即大于3的数恒大于a ，所以a ≤3. 【答案】(－∞，3]8．【解析】依题意有：0＜a 2－1＜1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，a 2－1<1⇔⎩⎨⎧a <－1或a >1，－2<a <2⇔－2<a <－1或1＜a＜ 2.【答案】(－2，－1)∪(1，2)．9．【解析】(1)∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0；真命题．(2)∀a ，b ∈R ，ax ＋b ＝0恰有一解；假命题． (3)∃x 0、y 0∈Z ，3x 0－2y 0＝10；真命题． (4)∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；真命题．10．【解析】∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2. 当x ∈[1，2]时恒成立，∴a ≤1. ∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0， 即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根， 所以Δ＝4a 2－4(2－a )≥0. ∴a ≤－2或a ≥1.又p ∧q 为真，故p 、q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1， 即a ≤－2或a ＝1.∴实数a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ＝1}． 拓展视野【答案】解：先将已知条件列成表格，见表1： 表1由表1知，应从法国入手，法国男孩有2人，又男孩和女孩一样多，则日本女孩有4人；再看日本总人数是18人，则日本成年男游客有6人；又成年男游客比成年女游客多2人，则美国女游客有4人；最后看美国，其游客总人数为5+4+2+2=13，即美国游客有13人(见表2)．表2。
全称量词与存在量词
题型1 全称命题和特称命题的判断
例 1：判断下列语句是全称命题还是特称命题． (1)有一个实数 a 不能取对数； (2)所有不等式的解集 A，都有 A⊆R； (3)有的向量方向不定； (4)三角函数都是周期函数吗？ (5)对数函数都是单调函数； (6)至少有一个整数，它既能被 2 整除，也能被 5 整除； (7)∀x∈{x|x 是无理数}，x2 是无理数； (8)∃x0∈{x|x∈Z}，log2x0>0.
命题 全称命题 x∈M，p(x) ①所有的 x∈M，使 p(x)成立 特称命题∃x0∈M，p(x0) ①存在x0∈M，使 p(x0)成立 ②至少有一个x0∈M，使p(x0) ②对一切 x∈M，使 p(x)成立 成立 表述 方法 ③对每一个 x∈M，使 p(x)成立③对有些x0∈M，使 p(x0)成立 ④任给一个 x∈M，使 p(x)成立④对某个x0∈M，使 p(x0)成立 ⑤若 x∈M，则 p(x)成立 ⑤有一个x0∈M，使 p(x0)成立
特称命题 即全称命题的否定是____________．
∀x∈M， p(x) (2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定 p ：_____________，
全称命题 即特称命题的否定是____________．
【要点】同一个全称命题和特称命题，可以有不同的表述
方法吗？ 【剖析】同一个全称命题和特称命题，由于自然语言的不 同，可以有不同的表述方法(见下表).
思维突破：首先看给出的语句是不是命题，其次看命题中 是否有全称量词或存在量词．要注意有些命题的量词是隐含在
句子中的，要能够准确补回其量词．
自主解答：(1)命题中含有特称量词“有一个”，因此是特 称命题． (2)命题中含有全称量词“所有”，所以是全称命题． (3)命题中含有特称量词“有的”，因此是特称命题． (4)不是命题． (5)题中隐含了全称量词“任意的”，因此是全称命题． (6)命题中含有特称量词“至少有一个”，因此是特称命题． (7)命题中含有全称量词“ ”，是全称命题． (8)命题中含有特称量词“ ”，是特称命题．
全称量词
全称命题的否定是特称命题.
循序渐进 再探新知
写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是正数；
x M,p(x)
2)某些平行四边形是菱形； 3)x R, x 2 1 0
否定: 1)所有实数的绝对值都不是正数; 2)每一个平行四边形都不是菱形; 3) x R, x 2 1 0
x M,p(x) x M,p(x)
x M,p(x)
x M,p(x) x M,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从命题形式上看,这三个特称命题的否定都变 成了全称命题. 一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定, 有下面的结论:
特称命题 p : x M,p(x)
3)x R, x 2 x 1 0
2
x M,p(x) x M,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从命题形式上看,这三个全称命题的否定都 变成了特称命题.
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否 定,有下面的结论: 全称命题p:
x M , P( x), 它的否定p： x M，p（x）.
高考链接 2、(2010· 安徽文)命题“x R, x 2 2 x 5 0 x R, x 2 2 x 5 0 的否定是____________． 3、(2010· 湖南文，2)下列命题中的假命 题是( C ) • A．∃x∈R，lgx＝0 • B．∃x∈R，tanx＝1 • C．∀x∈R，x2＞0 • D．∀x∈R,2x＞0
5、(2009· 辽宁文，11)下列4个命题 • 其中的真命题是( D )
• • • •
A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4
归纳小结
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2．下列命题是全称命题的有()
①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立
③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立④存在x使得x2＋2x＋1＝0成立
A．1个B．2个C．3个D．0个
3．已知命题p：∃x∈(0， )，sinx＝ ，则¬p为()
小结：全称命题的否定是_____________________
(2)一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：
特称命题 ______________________，它的否定 __________________________
小结：特称命题的否定是_____________________
例3.写出下列命题的否定，并判断其真假
(1) 不论 取何实数，方程 必有实数根;
(2)
随堂练习
1．下列命题中，全称命题的个数为()
①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0B．1C．2D．3
2．下列特称命题中真命题的个数是()
①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x∈{x|x是整数}，x2是整数．
例题探究
题型一：全称命题与特称命题的判定
例1.判断下列命题是全称命题还是特称命题.
(1)负数没有对数； __________________________
(2)至少有一个整数,它既能被2整除，又能被5整除； __________________________
(3) ； __________________________
A．存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根
B．不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根
A．∀x∈(0， )，sinx＝ B．∀x∈(0， )，sinx≠
C．∃x∈(0， )，sinx≠ D．∃x∈(0， )，sinx>
4．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()
A．∀x∈R，|x|>0B．∃x0∈R，|x0|>0
C．∀x∈R，|x|≤0D．∃x0∈R，|x0|≤0
5．下列说法正确的是()
建文外国语学校高二年级数学学科导学案
主备：审核：授课人：授课时间：
学案编号：班级：姓名：小组：
课题：1.4全称量词与存在量词课型：新授课
教师“复备”栏或
学生质疑、总结栏
【学习目标】
1.理解全称量词和存在量词的意义；
2.掌握全称命题和特称命题的定义并能判断它们的真假；
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
(4) __________________________
题型二：全称命题和特称命题的真假判断
例2.试判断以下命题的真假.
(1) ;____________ (2) ； _______________
(3) ; ____________ (4) . _______________
题型三：含有一个量词的命题的否定
7．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是___________________________________.
8．命题“∃x∈R，使x2＋ax＋1<0”为真命题，则实数a的取值范围是___________________.
【课堂小结】
课后练习案
一、选择题
1．以下量词“所有”“任何”“一切”“有的”“有些”“有一个”“至少”中是存在量词的有()
预习自测
1.将下列命题用量词符号“ ” 或“ ”表示.
(1)实数的平方是非负数;
(2)对于某些实数 ，有
2.写出下列命题的否定.
(1)
(2)
合作探究案
探索新知
1. 全称命题与特称命题的定义分别是什么？这两种命题有什么关系？
2. 怎样判定一个语句是全称命题或特称命题？
3.怎么判断全称命题和特称命题的真假?
A．0B．1C．2D．3
3.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()
A．∀x∈R，|x|>0B．∃x0∈R，|x0|>0
C．∀x∈R，|x|≤0D．∃x0∈R，|x0|≤0
4．命题“∀x∈R，ex>x2”的否定是()
A．不存在x∈R，使ex>x2B．∃x∈R，使ex<x2
C．∃x∈R，使ex≤x2D．∀x∈R，使ex≤x2
5．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是()
A．存在一个角α，使得tan(90°－α)＝tanαB．存在实数x0，使得sinx0＝
C．对一切α，sin(180°－α)＝sinαD．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
6.已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“∃x0>0，f(x0)<0”为真，则m的取值范围是__________ ___.
【重难点预测】
1.重点：掌握全称命题和特称命题的定义
2.难点：判断全称命题和特称命题的真假
【学法指导】自主学习,合作探究
【学习过程】Байду номын сангаас
自主学习案
知识梳理
1.全称量词与全称命题
(1)全称量词
短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做____________,并用符号“_____”表示
(2)全称命题
定义：含有________________的命题叫做全称命题
符号表示：“对 中任意一个 ,有 成立”记为“_________________________”.
2.存在量词与特称命题
(1)存在量词
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做____________,并用符号“_____”表示
(2) 定义：含有________________的命题叫做特称命题
符号表示：“存在 中的元素 ,使 成立”记为“_________________________”.
3.含有一个量词的命题的否定
(1)一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题 ______________________，它的否定 __________________________
A．“a>1”是“f(x)＝logax(a>0，a≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件
B．命题“∃x∈R使得x2＋2x＋3<0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋3>0”
C．“x＝－1”是“x2＋2x＋3＝0”的必要不充分条件
D．命题p：“∀x∈R，sinx＋cosx≤ ”，则¬p是真命题
6.命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是()