圆的弧长公式及试题
圆弧长对应弦长计算公式
圆弧长对应弦长计算公式
圆弧长和对应弦长之间的计算公式可以通过弧度来表示。
假设圆的半径为r，圆心角对应的弧长为s，弦长为l，圆心角为θ（弧度制），那么圆弧长和对应弦长的计算公式可以表示为，s = rθ 和l = 2rsin(θ/2)。
首先，圆弧长s与圆心角θ之间的关系可以用弧度制的定义来表示，即s = rθ，其中r是圆的半径，θ是圆心角的弧度数。
这个公式说明了圆弧长与圆心角的关系，可以通过圆心角的弧度数来计算圆弧长。
其次，对应弦长l与圆心角θ之间的关系可以用正弦函数来表示，即l = 2rsin(θ/2)，其中r是圆的半径，θ是圆心角的弧度数。
这个公式说明了对应弦长与圆心角的关系，可以通过圆心角的弧度数来计算对应弦长。
综上所述，圆弧长和对应弦长之间的计算公式可以通过弧度制来表示，分别为s = rθ 和l = 2rsin(θ/2)。
这些公式可以帮助我们在已知圆的半径和圆心角的情况下计算圆弧长和对应弦长，或
者在已知圆弧长和对应弦长的情况下计算圆的半径和圆心角。
希望这样的回答能够满足你的需求。
弧长公式、扇形面积公式
弧长与扇形面积、圆锥侧面积【知识详解】知识点1、弧长公式因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。
（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。
知识点2、扇形的面积如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。
又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。
知识点3、圆锥的侧面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全面积说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。
知识点4、圆柱的侧面积圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r，高为h ，则圆柱的侧面积，圆柱的全面积名称圆锥圆柱图形图形的形成过程由一个直角三角形旋转得到的，如Rt△SOA绕直线SO旋转一周。
由一个矩形旋转得到的，如矩形ABCD绕直线AB旋转一周。
图形的组成一个底面和一个侧面两个底面和一个侧面侧面展开图的特征扇形矩形面积计算方法补充：知识点5、弓形的面积（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。
圆弧长和面积公式
圆弧长和面积公式
圆弧长和面积公式是计算圆弧长度和面积的数学公式。
一个圆弧是一个圆的一部分，而圆是一个圆心到半径的距离相等的平面图形。
圆弧的长度是圆周的一部分，而面积则是圆周和弦之间的区域。
下面是圆弧长和面积公式：
圆弧长公式：L = rθ
其中，L是圆弧的长度，r是圆的半径，θ是圆心角的度数。
圆弧面积公式：A = (1/2)r(θ - sinθ)
其中，A是圆弧和圆心之间的面积，r是圆的半径，θ是圆心角的度数，sinθ是角度的正弦值。
这些公式可以帮助我们计算圆弧的长度和面积，以便在各种数学和工程应用中使用。
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弧长与周长的关系知识点
弧长与周长的关系知识点弧长和周长是几何学中常用的概念，它们在圆形和其他曲线图形的计算和测量中起着重要的作用。
本文将详细介绍弧长和周长的定义、计算公式以及它们之间的关系。
1. 弧长的定义和计算公式弧长是指圆上两个点之间的弧所对应的弧线段的长度。
弧长用S表示，计量单位通常是长度单位，如厘米、米等。
对于圆形，弧长的计算公式如下：S = rθ式中，S表示弧长，r表示圆的半径，θ表示弧所对应的圆心角的度数。
如果θ的单位是弧度，则公式为：S = rθ2. 周长的定义和计算公式周长是指图形的边界上的所有点连接起来所形成的线段的长度。
周长用C表示，计量单位通常是长度单位，如厘米、米等。
对于圆形，周长也被称为圆的周长或者圆周长，其计算公式如下：C = 2πr式中，C表示周长，r表示圆的半径，π是一个常数，约等于3.14159。
3. 弧长和周长的关系弧长和周长之间存在以下关系：弧长是圆上弧线段的长度，而周长是圆的边界上所有点连接起来形成的线段的长度。
当弧线段的长度等于圆的周长时，该弧线段称为圆周。
圆周对应的圆心角的度数是360度（或2π弧度），因此圆周的弧长计算公式为：S = rθ = r(360°) = 2πr4. 实例分析为了更好地理解弧长和周长的概念以及它们之间的关系，我们来看一个实例分析。
设一个圆的半径为5cm，计算其对应的弧长和周长。
弧长计算公式为：S = rθ弧对应的圆心角度数为360度，因此我们可以将其代入公式： S = 5(360°) = 1800°周长计算公式为：C = 2πr将半径代入公式，计算得：C = 2π(5) = 10π ≈ 31.42cm因此，该圆的弧长为1800°，周长约为31.42cm。
5. 总结弧长和周长在几何学中具有重要意义，它们可以帮助我们计算和测量曲线图形的长度。
弧长是圆上两点间弧线段的长度，可以用半径和弧所对应的圆心角来计算。
周长是图形边界上所有点连接起来形成的线段的长度，对于圆形而言，周长也被称为圆的周长或者圆周长，可以用半径和常数π来计算。
沪教版六年级数学上册 第4章 圆的周长和弧长(带答案)
1、复习圆的周长、及圆的弧长公式。
2、在基础训练部分，着重复习公式及计算的方法技巧；在巩固训练部分，加强对图形的分析，由易到难，解决平时学生易犯错误的题目，加深理解。
3、在教学中让学生感受到几何图形的美。
圆的周长与弧长一、上节回顾（课前回顾）圆的认识：O.r圆心：我们把圆中心的这一点叫做圆心.圆心一般用字母O表示.半径：我们把连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径,半径一般用字母r 表示.（在同一个圆里有无数条半径,所有半径的长度都相等.）直径：我们把通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径.直径一般用字母d来表示。
结论：在同一圆内（或等圆）有无数条半径,无数条直径,所有的直径都相等,所有的半径都相等,直径是半径2倍,也就是“d = 2r”。
二、本节内容知识点一：圆的周长用字母C表示圆的周长，d表示直径，那么C= πd 或C= 2πr .（直径大小一般用字母∅表示）。
基础练习：（1）圆的周长总是它的直径的倍多一些。
这个倍数是个固定的数，把它叫做，用字母表示。
（2）一个圆的半径是2.5厘米，它的直径是厘米，圆的周长是厘米。
（3）一个圆的周长是50.24分米，它的直径是分米，半径是分米。
（4）一个圆的半径是2厘米，半径扩大3倍，直径扩大倍，圆的周长就扩大倍。
（5）两圆的半径之比为3∶2，则它们的周长之比为；（6）周长为6π的圆的半径为。
经典例题：例1、（1）一个时钟的时针长10cm，时针尖12小时走了cm。
62.8（2）一个半圆形的窗户，它的直径是1米，这个半圆形的一周用米材料。
2.57（3）如果圆的直径扩大原来的5倍，那么圆的周长扩大为原来的倍；5如果圆的半径增加3cm，那么圆的周长增加cm。
18.84一个直径为2cm的圆的周长，正好等于另一个圆周长的1，则另一个圆的半径是cm。
44例2、如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明、小红走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系式是（）AA．a=b B．a<b C．a>b D．不能确定例3、一辆自行车车轮的外直径是75cm，如果车轮以每分钟100圈的速度行驶，那么通过1413m的公路需要多少分钟？6分钟例4、两个皮带轮用皮带相连，大轮的直径是1.5m，小轮的直径是0.5m，大轮转一圈，小轮转几圈？3例5、在一个边长为4厘米的正方形内画一个最大的圆，并在其余部分涂上阴影，求阴影部分的周长。
弧长 计算公式
弧长计算公式在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。
有优弧劣弧之分。
弧长公式:n是圆心角度数，r是半径，a是圆心角弧度。
公式l = n（圆心角）x π（圆周率）x r（半径）/180在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πR÷180°。
例：半径为1cm，45°的圆心角所对的弧长为l=nπR/180=45×π×1/180=45×3.14×1/180约等于0.785(cm)拓展扇形面积公式：S（扇形面积）=n（圆心角度数）x π（圆周率）x r²【半径的平方（2次方）】/360如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。
它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。
补充公式S扇=nπr*2/360=πrnr/360=2πrn/360×1/2r=πrn/180×1/2r所以：S扇=rL/2还可以是S扇=n/360πr²(n为圆心角的度数，L为该扇形对应的弧长。
)圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积其中：圆锥体的侧面积=πRL圆锥体的全面积=πRl+πR2π为圆周率≈3.14R为圆锥体底面圆的半径L为圆锥的母线长我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线（注意：不是圆锥的高）是展开扇形的边长n圆锥圆心角=r/l*360 360r/l弧长=圆周长侧面展开图的圆心角求法：n=360r/R=πRr或2πr=nπr/180n=360r/R 。
如果题目中有切线，经常用的辅助线是链接圆心和切点的半径，得到直角，再用相关知识解题。
扇形的面积扇形是与圆形有关的一种重要图形，其面积与圆心角（顶角）、圆半径相关，圆心角为n°，半径为r的扇形面积为n/360*πr^2。
初中数学 圆的弧长及扇形面积公式 (含答案)
弧长及扇形面积第一部分 知识梳理（一）、圆的弧长及扇形面积公式在半径为R 的圆中,n °的圆心角所对的弧长为C 1,以n °为圆心角的扇形面积为S 1弧长公式 ： 弧长C 1＝180n R π 扇形面积公式： S 1＝2360n R π＝12C 1R注意：计算不规则图形的面积时，要转化成规则图形的面积进行计算。
（二）、圆锥的侧面积：注意：圆锥的侧面展开图是一个扇形 其中：（1）h 是圆锥的高,r 是底面半径；（2）l 是圆锥的母线,其长为侧面展开后所得扇形的半径R ；（3）圆锥的侧面展开图是半径等于 l ,弧长等于圆锥底面 周长C 的扇形.即： ①l =R ②180n Rπ=2πr ③h 2+r 2=l 2圆锥的侧面积 S 侧面积＝ πrl圆锥的全面积 S 全面积＝ πrl ＋πr 2第二部分 中考链接一、有关弧长计算 （一）、选择题1、（2018•淄博）如图，⊙O 的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC 的长为（ ）A 、2π B. 83π C 34π D. 43π1题图2题图 3题图 4题图 5题图2、（2018•黄石）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（ ）A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π3、（2018•沈阳）如图，正方形ABCD 内接于O ，AB=2，则的长是（ ）A ．πB ．πC ．2πD ．π4、（2018•陵城区二模）一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B 点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）A ．B ．C ．4D ．2+5、（2018•明光市二模）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，OA=2，∠OAB=30°，弦BC ∥OA ，则劣弧的长是（ ）A ．B ．C ．D ．6、（2019青岛）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（）A．π B．2π C．2π D．4π6题图 7题图 8题图7、（2019烟台）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（）A．B．πC．πD．π8、（2019泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π（二）、填空题1、（2018•潍坊）如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y=x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则的长是．．1题图 3题图 4题图5题图8题图2、（2018•连云港）一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为cm．3、（2018•永州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则的长为．4、（2018•盐城）如图，图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径OA=2cm，∠AOB=120°．则图2的周长为cm（结果保留π）．5、（2018常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是．6、（2018•温州）已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为．．7、（2018•白银）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为．8．（2019泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为cm．（三）、解答题1．（2018•湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．二、、有关扇形面积计算（一）、选择题1、（2018•德州）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）A．2B．C．πm2 D．2πm21题图2题图 3题图4题图2、（2018•广安）如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2B．π﹣C．π﹣2D．π﹣3、（2018•成都）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．6π4、（2018•绵阳）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A．（30+5）πm2B．40πm2C．（30+5）πm2D．55πm25．（2018•十堰）如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（）A．12π+18B．12π+36C．6D．66、（2018•山西）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣85题图6题图7题图8题图7、（2018•广西）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．2 D．28、（2018•威海）如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（）A．18+36πB．24+18πC．18+18πD．12+18π9题图10题图11题图12题图13题图9、（2019枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣12π10、（2019临沂）如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（）A．2+πB．2++πC．4+πD．2+π11、（2019宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）A．63﹣πB．63﹣2πC．63+πD．63+2π12. （2019四川南充）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A. 6π B. 33π C. 23π D. 2π13.（2019四川资阳）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A. 5πB. 6πC. 20πD. 24π（二）、填空题1、（2018青岛）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是．1题图2题图3题图4题图2、（2018•安顺）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为cm2．3、（2018•荆门）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB为直径的⊙O 交BC于点E，则阴影部分的面积为．4、（2018•重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）5、（2018•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．5题图6题图8题图9题图10题图6．（2018•香坊区）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为．7、（2018•哈尔滨）一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是cm2．8、(2019日照)如图，已知动点A 在函数4(0y x x=＞）的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，延长CA 交以A 为圆心AB 长为半径的圆弧于点E ，延长BA 交以A 为圆心AC 长为半径的圆弧于点F ，直线EF 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，当NF ＝4EM 时，图中阴影部分的面积等于 ．9、（2019泰安）如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A 、点C ，交OB于点D ，若OA ＝3，则阴影都分的面积为 ．10、（2019德州）如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BC ＝，AC ＝3．则图中阴影部分的面积是 ．11、(2019无锡市)如图，在△ABC 中，AC ：BC ：AB ＝5：12：13，⊙O 在△ABC 内自由移动，若⊙O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为103，则△ABC 的周长为 ． A BABCOOCOOI HF GED11题图 12题图 12、（2019四川内江）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＜AD ，∠A ＝150°，CD ＝4，以CD 为直径的⊙O 交AD 于点E ，则图中阴影部分的面积为 ． （三）、解答题1、（2019东营）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AB 延长线上的一点，点C 在⊙O 上，且AC ＝CD ，∠ACD ＝120°．（1）求证：CD 是⊙O 的切线，（2）若⊙O 的半径为3，求图中阴影部分的面积．2、（2019无锡市）一次函数b kx y +=的图像与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴的正半轴相交于点B ，且sin ∠ABO 3OAB 的外接圆的圆心M 的横坐标为﹣3． （1）求一次函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积．xy M BAO3．（2019·武汉）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN于D 、C 两点（1） 如图1，求证：AB 2＝4AD ·BC（2） 如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积ODEMF EMO图1 图2 4．（2019·衡阳）如图，点A 、B 、C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ，连接BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）求图中阴影部分的面积．DAOCB三、圆锥（一）、选择题2、（2018•自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm 2，若圆锥底面半径为R （cm ），母线长为l （cm ），则R 关于l 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3、（2018•遵义）若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）A．60πB．65πC．78πD．120π4、（2018•遂宁）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是（）A．4πB．8πC．12πD．16π5、（2018•东阳市模拟）已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．50πcm2C．60πcm2D．3πcm26、（2019东营）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）A．3B．C．3 D．3（二）、填空题1、（2018烟台）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON 的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=．1题图2题图3题图7题图8题图2、（2018徐州）如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为．3、（2018•郴州）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）4、（2018•聊城）用一块圆心角为216°的扇形铁皮，做一个高为40cm的圆锥形工件（接缝忽略不计），那么这个扇形铁皮的半径是cm．5、（2018•黑龙江）用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为．6、（2018•扬州）用半径为10cm ，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为cm．7、（2018•苏州）如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D 均在格点上．若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形OCD围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2，则12rr的值为8、（2019聊城）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为．9．（2019无锡市）已知圆锥的母线成为5cm，侧面积为15πcm 2，则这个圆锥的底面圆半径为cm ．答案与提示：一、弧长计算（一）、选择题1、D2、D3、A4、B5、B6、B7、D8、C1、解：如图，连接CO，∵∠BAC=50°，AO=CO=3，∴∠ACO=50°，∴∠AOC=80°，∴劣弧AC的长为=，故选：D．1题图2题图3题图6题图8题图2、解：连接OD，∵∠ABD=30°，∴∠AOD=2∠ABD=60°，∴∠BOD=120°，∴的长==，故选：D．3、解：连接OA、OB，∵正方形ABCD内接于O，∴AB=BC=DC=AD，∴===，∴∠AOB=×360°=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，解得：AO=2，∴的长为=π，故选：A．4、BC=AB=AC=1，∠BCB′=120°，∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′=2×12014=1803ππ⨯故选B．5、连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧长为6011= 1803ππ⨯．6、解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝4，∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝2π，故选：B．7、解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，∴△ADC∽△CEB，∴＝，即＝，∵tan∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∵直线DE与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠ABC＝30°∴AC＝2AD＝2，∴AB＝4，∴⊙O的半径为2，∴的长为：＝π，故选：D．8、解：连接OA．OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．（二）、填空题1、201923π2、2π3、24π4、83π5、26、67、πa8、6π1、解：直线y=x，点A1坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1可知B1点的坐标为（2，2），以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，OA2==4，点A2的坐标为（4，0），这种方法可求得B2的坐标为（4，4），故点A3的坐标为（8，0），B3（8，8）以此类推便可求出点A2019的坐标为（22019，0），则的长是=．故答案为：．2、1203=2 180ππ⨯3、解：∵点A（1，1），∴OA==，点A在第一象限的角平分线上，∵以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，∴∠AOB=45°，∴的长为=．故答案为．4、解：由图1得：的长+的长=的长 ∵半径OA=2cm ，∠AOB=120°则图2的周长为：=故答案为：．5、连接OB.OC ，由∠BAC=60°得∠BOC=120°，1204=1803r ππ⨯ 得：r=26、解：设半径为r ，60=2180rππ⨯，解得：r=6，故答案为：6 7、解：如图．∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a ， ∴的长=的长=的长==，∴勒洛三角形的周长为×3=πa ．故答案为πa ．(三)、解答题1、证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°， ∵OC ∥BD ，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC ⊥AD ，∴AE=ED ； （2）∵OC ⊥AD ，∴，∴∠ABC=∠CBD=36°，∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，∴．二、有关扇形面积计算1、A2、C3、C4、A5、C6、A7、D8、C9、C 10、A 11、A 12、A 13、A 1、解：连接AC ，∵从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°， ∴AC 为直径，即AC=2m ，AB=BC ，∵AB 2+BC 2=22，∴AB=BC=m ，∴阴影部分的面积是=（m 2），故选：A ．2、解：连接OB 和AC 交于点D ，如图所示：∵圆的半径为2，∴OB=OA=OC=2，又四边形OABC 是菱形，∴OB ⊥AC ，OD=OB=1， 在Rt △COD 中利用勾股定理可知：CD==，AC=2CD=2，∵sin ∠COD==，∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，∴S 菱形ABCO =OB ×AC=×2×2=2，S 扇形AOC ==，则图中阴影部分面积为S 菱形ABCO ﹣S 扇形AOC =π﹣2，故选：C ．1题图 2题图 5题图 7题图 8题图3、解：∵在□ABCD 中，∠B=60°，⊙C 的半径为3，∴∠C=120°， ∴图中阴影部分的面积是：=3π，故选：C ．4、解：设底面圆的半径为R ，则πR 2=25π，解得R=5， 圆锥的母线长==，所以圆锥的侧面积=•2π•5•=5π；圆柱的侧面积=2π•5•3=30π，所以需要毛毡的面积=（30π+5π）m 2．故选：A ．5、解：如图，连接OD ，AD ，∵点C 为OA 的中点，∴OC=OA=OD ， ∵CD ⊥OA ，∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，∴△ADO 为等边三角形，OD=OA=12，OC=CA=6，∴CD=，6，∴S 扇形AOD ==24π，∴S 阴影=S 扇形AOB ﹣S 扇形COE ﹣（S 扇形AOD ﹣S △COD ）=﹣﹣（24π﹣×6×6）=18+6π．故选：C ．6、解：利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF 的面积﹣△ABD 的面积=﹣×4×2=4π﹣4，故选：A ． 7、解：过A 作AD ⊥BC 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵AD ⊥BC ，∴BD=CD=1，AD=BD=， ∴△ABC 的面积为=，S 扇形BAC ==π，∴莱洛三角形的面积S=3×π﹣2×=2π﹣2，故选：D ．8、解：作FH ⊥BC 于H ，连接FH ，如图，∵点E 为BC 的中点，点F 为半圆的中点，∴BE=CE=CH=FH=6， 226+125Rt △ABE ≌△EHF ，∴∠AEB=∠EFH ， 而∠EFH+∠FEH=90°，∴∠AEB+∠FEH=90°，∴∠AEF=90°，∴图中阴影部分的面积=S正方形ABCD +S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF=12×12+12•π•62﹣12×12×6﹣12•65×65 =18+18π．故选：C．9、解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，故选：C．10、解：∵＝，∴AB＝AC，∵∠ACB＝75°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝BC＝2，作AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴AD经过圆心O，∴OD＝OB＝，∴AD＝2+，∴S△ABC＝BC•AD＝2+，S△BOC＝BC•OD＝，∴S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝2++﹣＝2+π，故选：A．12.连接OA、OB，则S阴=S扇形OAB=2606360π⨯=6π故选A13、圆所扫过的图形面积=长方形的面积+圆的面积=2π×2+π=5π二、填空题1、734-23π2、4π3、40π4、14π5、43π﹣36、8﹣2π7、6﹣π8、3 9、6π10、2.5π 11、34π 12、 13、25 14、233π+解：∵∠B=90°，∠C=30°，∴∠A=60°，∵OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠COF=120°，∵OA=2，∴扇形OGF的面积为：=∵OA为半径的圆与CB相切于点E，∴∠OEC=90°，∴OC=2OE=4，∴AC=OC+OA=6，∴AB=AC=3，∴由勾股定理可知：BC=3∴△ABC的面积为：×3×3=∵△OAF的面积为：×2×=，∴阴影部分面积为：﹣﹣π=﹣π故答案为：﹣π1题图 3题图 8题图2、解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC 绕圆心O 逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O ，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°， ∵AB=2cm ，∴OB=1cm ，OC′=，∴B′C′=，∴S 扇形B′OB ==π，S 扇形C′OC ==，∴阴影部分面积=S 扇形B′OB +S △B′C′O ﹣S △BCO ﹣S 扇形C′OC =S 扇形B′OB ﹣S 扇形C′OC =π﹣=π；3、解：连接OE 、AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，∴AE=AB=2，BE==2，∵OA=OB=OE ，∴∠B=∠OEB=30°，∴∠BOE=120°，∴S 阴影=S 扇形OBE ﹣S △BOE ，=﹣×，=﹣，=﹣，4、解：S 阴=S △ABD ﹣S 扇形BAE =×4×4﹣=8﹣2π，故答案为8﹣2π．5、解：∵矩形ABCD ，∴AD=2，∴S 阴影=S 矩形﹣S 四分之一圆=2×3﹣π×22=6﹣π，6、解：∵在⊙O 上，∠ACB=40°，∴∠AOB=2∠ACB=80°， ∴此扇形的半径为：=3．故答案为：3．7、解：设扇形的半径为Rcm ，∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm ， ∴=3π，解得：R=4，所以此扇形的面积为=6π（cm 2），故答案为：6π．8．解：作DF ⊥y 轴于点D ，EG ⊥x 轴于G ，∴△GEM ∽△DNF ，∵NF ＝4EM ，∴＝＝4，设GM ＝t ，则DF ＝4t ，∴A （4t ，），由AC ＝AF ，AE ＝AB ，∴AF ＝4t ，AE ＝，EG ＝， ∵△AEF ∽△GME ，∴AF ：EG ＝AE ：GM ，即4t ：＝：t ，即4t 2＝，∴t 2＝，图中阴影部分的面积＝+＝2π+π＝2.5π，11、解：连接OC ，作CH ⊥OB 于H ，∵∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，∴∠OAB ＝60°，AB ＝2OA ＝6， 由勾股定理得，OB ＝＝3，∵OA ＝OC ，∠OAB ＝60°，∴△AOC 为等边三角形，∴∠AOC ＝60°，∴∠COB ＝30°， ∴CO ＝CB ，CH ＝OC ＝， ∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．11题图12题图 13题图解：在Rt △ABC 中，∵BC ＝，AC ＝3．∴AB ＝＝2，∵BC ⊥OC ，∴BC 是圆的切线，∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴BD ＝BC ，∴AD ＝AB ﹣BD ＝2﹣＝，在Rt △ABC 中，∵sinA ＝＝＝，∴∠A ＝30°，∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴OD ⊥AB ，∴∠AOD ＝90°﹣∠A ＝60°， ∵＝tanA ＝tan30°，∴＝，∴OD ＝1，∴S 阴影＝＝．故答案是：．13、如图，圆心O 在△ABC 内所能到达的区域是△O 1O 2O 3，∵△O 1O 2O 3三边向外扩大1得到△ACB ，∴它的三边之比也是5∶12∶13， ∵△O 1O 2O 3的面积=103，∴O 1O 2=53，O 2O 3=4，O 1O 3=133，连接AO 1 与CO 2，并延长相交于I ，过I 作ID ⊥AC 于D ，交O 1O 2于E ，过I 作IG ⊥BC 于G 交O 3O 2于F ，则I 是Rt △ABC 与Rt△O 1O 2O 3的公共内心，四边形IEO 2F 四边形IDCG 都是正方形，∴IE =IF = 1223122313O O O O O O O O O O ⨯++ =23，ED =1，∴ID =IE +ED =53，设△ACB 的三边分别为5m 、12m 、13m ，则有ID =AC BC AC BC AB ⨯++=2m =53，解得m =56，△ABC 的周长=30m =25.14、连接OE,则S 阴=S 扇形OEC +S △OED =260212123336023ππ⨯+⨯⨯=（三）、解答题 1、（1）证明：连接OC ．∵AC ＝CD ，∠ACD ＝120°∴∠A ＝∠D ＝30°．∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A ＝30°．∴∠OCD ＝∠ACD ﹣∠ACO ＝90°．即OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线． （2）解：∵∠A ＝30°，∴∠COB ＝2∠A ＝60°．∴S 扇形BOC ＝，在Rt △OCD 中，CD ＝OC ，∴，∴，∴图中阴影部分的面积为．2、作MN ⊥OB,垂足为N,连接OM,则MN=12OA=3,OA=6 ,A(-6,0)由sin ∠ABO 3则∠A=60°tan ∠BAO=OBOA∴3 ∴B （0，3）设直线AB:y=kx+b,将A,B 点的坐标代入得：3,b=3∴3x+3 S 阴=S 扇形MAO -S △MAO 2120(23)1634332ππ⨯-⨯-3、证明：（1）如图1，连接OD ，OC ，OE ．∵AD ，BC ，CD 是⊙O 的切线， ∴OA ⊥AD ，OB ⊥BC ，OE ⊥CD ，AD ＝ED ，BC ＝EC ，∠ODE ＝12∠ADC ，∠OCE ＝12∠BCD ∴AD //BC ，∴∠ODE ＋∠OCE ＝12（∠ADC ＋∠BCD ）＝90°， ∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠DOE ＝∠OCE ． 又∵∠OED ＝∠CEO ＝90°，∴△ODE ∽△COE ．∴OE ECED OE=，OE 2＝ED ·EC ∴4OE 2＝4AD ·BC ，∴AB 2＝4AD ·BC （2）解：如图2，由（1）知∠ADE ＝∠BOE ，∵∠ADE ＝2∠OFC ，∠BOE ＝∠2COF ，∴∠COF ＝∠OFC ，∴△COF 等腰三角形。
圆弧长计算公式大全
圆弧长计算公式大全
L=2πr n/360°=πr n/180°(r=半径*n=圆弧的角度的绝对值）
弧长的定义:一段弧的长度叫做弧长.
弧长的计算公式:在半径是R的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C＝2πR,所以n°圆心角所对的弧长为l＝nπR÷180.
比如半径为1cm,45°的圆心角所对的弧长为
l＝nπR÷180
＝45×3.14×1÷180
＝0.785(cm)＝7.85(mm)
如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平,就得到圆锥的平面展开图.它是由一个半径为圆锥体的母线长,弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的,这个扇形又叫圆锥的侧面展开图.。
弧长度的计算公式
弧长度的计算公式当我们谈到弧长度，通常我们是在讨论圆或弧的长度。
弧长度是弧的一部分，它是沿着弧线上测量的一个距离。
弧长度的计算公式可以根据不同的情况而有所不同。
在本文中，我将讨论几种不同类型的弧长度计算公式，并提供相关的参考内容。
1. 完整圆的弧长度计算公式:当我们需要计算完整圆的弧长度时，我们可以使用如下的计算公式：弧长= 2 * π * r在这个公式中，r代表圆的半径。
这个公式非常简单，并且在许多几何和物理问题中都有广泛的应用。
例如，在计算圆周与披萨的大小相关的问题时，我们可以使用这个公式来计算弧的长度。
2. 弧的长度计算公式:在一些情况下，我们需要计算弧的长度，而不是整个圆的长度。
这时，我们可以使用如下的计算公式：弧长= θ * r在这个公式中，θ代表弧的夹角（单位是弧度）。
这个公式可以通过圆的半径和弧的夹角来计算弧的长度。
这个公式在解决几何问题时非常有用。
例如，当我们需要计算一段公路或河流弯曲的长度时，我们可以使用这个公式来计算弧的长度。
3. 弧长的近似计算公式:有时候，我们可能需要计算一个复杂或非常大的弧的长度。
在这种情况下，我们可以使用一个近似计算公式来得到一个相对准确的估计值。
其中一个常用的近似计算公式是使用圆周率π的值来计算弧的长度：弧长≈ d * θ在这个公式中，d代表圆的直径。
这个公式比较简单，并且在实际应用中有一定的准确性。
然而，请注意这只是一个近似值，并且可能会导致一定的误差。
除了上述的计算公式，还有一些其他的方法来计算弧的长度。
例如，对于一个复杂的非线性弧，我们可以使用微积分的知识来计算其弧长。
这涉及到对弧线进行参数化，并使用积分来计算其长度。
这种方法在数学和物理问题中经常用到，但需要较高的数学和计算能力。
总结起来，在计算弧长度时，我们可以使用简单的公式，如完整圆的弧长度公式或弧的长度公式，也可以使用近似值来估计弧的长度。
此外，对于复杂的弧，我们可能需要使用更高级的数学方法来计算其弧长。
弧长 计算公式
弧长计算公式在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。
有优弧劣弧之分。
弧长公式:n是圆心角度数，r是半径，a是圆心角弧度。
公式l = n（圆心角）x π（圆周率）x r（半径）/180在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πR÷180°。
例：半径为1cm，45°的圆心角所对的弧长为l=nπR/180=45×π×1/180=45×3.14×1/180约等于0.785(cm)拓展扇形面积公式：S（扇形面积）=n（圆心角度数）x π（圆周率）x r²【半径的平方（2次方）】/360如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。
它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。
补充公式S扇=nπr*2/360=πrnr/360=2πrn/360×1/2r=πrn/180×1/2r所以：S扇=rL/2还可以是S扇=n/360πr²(n为圆心角的度数，L为该扇形对应的弧长。
)圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积其中：圆锥体的侧面积=πRL圆锥体的全面积=πRl+πR2π为圆周率≈3.14R为圆锥体底面圆的半径L为圆锥的母线长我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线（注意：不是圆锥的高）是展开扇形的边长n圆锥圆心角=r/l*360 360r/l弧长=圆周长侧面展开图的圆心角求法：n=360r/R=πRr或2πr=nπr/180n=360r/R 。
如果题目中有切线，经常用的辅助线是链接圆心和切点的半径，得到直角，再用相关知识解题。
扇形的面积扇形是与圆形有关的一种重要图形，其面积与圆心角（顶角）、圆半径相关，圆心角为n°，半径为r的扇形面积为n/360*πr^2。
圆形的弧长公式
圆形的弧长公式
圆的弧长公式是l=nπR÷180。
弧长公式叙述了弧长，即在圆上过两点的一段弧的长度，与半径和圆心角的关系。
公式为：l=πrα／180。
弧长公式推导：
弧长的计算公式L＝的推导过程：
因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2πR（R为圆的半径）。
所以1°的圆心角所对的弧长是2πR/360，即。
这样n°的圆心角所对的弧长的计算公式是L＝n*2πR/360，也就是l=n°πr÷180°。
简介
曲线的弧长也称曲线的长度，是曲线的特征之一。
不是所有的曲线都能定义长度，能够定义长度的曲线称为可求长曲线。
一般指半径为R的圆中，n°的圆心角所对弧长为nπR/180°，广义上指光滑曲线的弧长。
不等长圆弧的弧长公式
不等长圆弧的弧长公式
首先，我们可以使用弧度制来表示夹角，即将角度转换为弧度。
弧度可以通过以下公式计算，弧度 = 角度× π / 180。
然后，我们可以使用弧长公式来计算不等长圆弧的弧长。
弧长
公式为L = r × θ，其中L表示弧长，r表示圆的半径，θ表示
夹角的弧度。
对于不等长圆弧，我们可以分别计算两个圆弧的弧长。
例如，
对于第一个圆弧，其弧长可以通过公式L1 = r × θ1来计算；对
于第二个圆弧，其弧长可以通过公式L2 = r × θ2来计算。
因此，不等长圆弧的弧长公式可以分别表示为L1 = r × θ1
和L2 = r × θ2。
需要注意的是，这些公式适用于圆的弧长计算，而且在计算之
前需要将夹角转换为弧度制。
希望这些信息能够帮助你理解不等长
圆弧的弧长公式。
圆弧弧长的计算公式
圆弧弧长的计算公式好的，以下是为您生成的关于“圆弧弧长的计算公式”的文章：咱先来说说圆弧弧长这回事儿。
不知道您有没有观察过自行车车轮转动时那一圈圈的轨迹？就像我有次在公园散步，看到一个小朋友骑着小自行车，车轮欢快地转着。
那车轮边缘上的每一点，在转动时划过的路径，其实就是一段圆弧。
圆弧弧长的计算，在数学里可是个重要的知识点。
那它的计算公式是啥呢？简单来说，就是L = n×π×r÷180 ，这里的 L 表示弧长，n 是圆心角度数，r 是圆的半径。
咱们来举个例子瞅瞅。
假设一个圆的半径是 5 厘米，圆心角是 60 度，那这时候圆弧的弧长是多少呢？咱们把数字代入公式算算，60×π×5÷180 ，算出来大约是5π / 3 厘米。
再比如说，学校要举办一场圆形的轮滑比赛，赛道是一个半径为 10 米的圆的一部分，弧所对的圆心角是 120 度。
那这一段赛道的长度得先算出来吧。
用公式一搞，120×π×10÷180 ，算出来大概是20π / 3 米。
这样就能清楚知道选手们要滑过的距离啦。
生活中其实还有好多这样的例子。
像钟表的指针，从 1 点走到 2 点，时针划过的那一小段圆弧，也能用这个公式算出长度。
还有摩天轮，每个座舱转过的路径，也都涉及到圆弧弧长的计算。
想象一下，如果咱们要给一个圆形的花坛围上一圈装饰灯带，知道了圆弧的长度，就能准确地算出需要多长的灯带，不会买多了浪费，也不会买少了不够。
总之，圆弧弧长的计算公式虽然看起来简单，但用处可大着呢。
只要咱们善于观察，就能发现它在生活中无处不在，帮咱们解决好多实际问题。
就像那个小朋友骑的自行车车轮，一圈圈转动的轨迹，都藏着数学的奥秘。
希望您通过我的讲解，能对圆弧弧长的计算公式有更清楚的认识和理解，在遇到相关问题时，能轻松应对，运用这个小公式解决大问题！。
圆弧弧长计算公式
圆弧弧长计算公式
圆弧弧长是一个重要的几何概念，它可以用来衡量圆形的大小，这个概念在计算机科学、机械工程、地理学和其他学科研究中都有重要的应用。
圆弧弧长的计算公式是：弧长= 2πr，其中r是圆的半径。
关于圆弧弧长的计算，首先要确定圆的定义。
圆是一种几何形状，它是由一个点绕圆心旋转某一角度后所形成的曲线，而这个曲线就是圆弧。
圆弧是一条椭圆形状的曲线，它的一端点叫圆弧起点，另一端点叫圆弧终点。
圆弧弧长的计算公式是用圆半径r来衡量圆弧的长度，因
此要计算圆弧弧长先要确定圆的半径。
圆的半径可以通过圆心和圆弧上任意一点的连线的距离来确定。
用公式表示，半径
r=√（x2+y2），其中x和y分别是圆心和圆弧上任意一点的横纵坐标。
计算圆弧弧长时，还必须知道圆弧所跨越的角度，这样才能计算出其弧长。
圆弧跨越的角度可以通过圆心和起点、终点的连线之间的夹角来确定。
公式表示，夹角θ=arctan（y2-y1，x2-x1），其中x1、y1和x2、y2分别是圆心和起点和终点的
横纵坐标。
有了圆的半径r和跨越的角度θ之后，就可以计算出圆弧的弧长了，计算公式为：弧长=θ*r，其中θ是跨越的角度，r 是圆的半径。
总之，圆弧弧长的计算公式是：弧长=θ*r，其中θ=arctan （y2-y1，x2-x1）表示跨越的角度，r=√（x2+y2）表示圆的半径。
本文介绍了圆弧弧长的计算公式，以及如何确定圆弧跨越的角度和圆的半径。
弧长
二、弧长1.定义：在圆上过两点的一段弧的长度叫做弧长2.弧长公式：（1）在半径为R 的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：2C R π=（2）n °的圆心角所对的圆的弧长公式：180n R l π=(弧是圆的一部分) 注意：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的1360，即12360180R R ππ⨯=； (2)公式中的n 表示1°圆心角的倍数，故n 和180都不带单位，R 为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量三、扇形1.定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式：（1）在半径为R 的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：2S R π= （2）n °的圆心角所对的扇形面积公式：21=3602n R S lR π=扇形 注意：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的1360，即221360180R R ππ⨯=； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S 、扇形半径R 、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式12S lR =扇形，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式12S ah =有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：211=36021802n R n R S R lR ππ=⨯⨯=扇形.四、圆锥的侧面积和全面积1.母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.2.高：圆锥顶点到底面圆心的距离；3.面积公式：若圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，侧面展开图中的扇形面积圆心角为n°，则（1）圆锥的侧面积2=360n l S rl ππ=侧， （2）底面积：2=S r π底（3）全面积2+()S S S rl r r l r πππ==+=+全侧底.注意：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.。
弧长公式
如图：在△AOC中，∠AOC=900， ∠C=150，以O为圆心，AO为半径的圆交 AC于B点，若OA=6，求弧AB的长。
C
B
O
A
如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角 所对的弧围成的图形是扇形。
B B 弧 圆心角 O A O A
扇形
圆的一条弧和经过这条弧的端点的 两条半径所围成的图形叫扇形．
（1）半径为R的圆,周长是多少？
C=2π R
（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？
（3）1°圆心角所对弧长是多少？
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长为l， 则 n R
2 R R 360 180
l
180
A
n°
（4）140°圆心角所对的弧长是多少？
B
140 R 7 R 180 9
2. (A)
如果一个扇形面积是它所在圆的面积的 （ ）
C
(A)300
(B)360
(C)450
1、已知扇形的圆心角为120°，半径为 2， 4 则这个扇形的面积，S扇=_ 3 .
4 2、已知扇形面积为 3 ，圆心角为120°，
2． 则这个扇形的半径R=____
4 3、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ， 3 4 则这个扇形的面积，S扇=
O R r
2． a a ∵ 2 2 ， ∴S= 2 a R r ( ) 4 2 4
2
2 2 S= S S R 2 r 2 ． (R r ) 1 2
1:⊙A, ⊙B, ⊙C两两不相交,且半径都 是1cm,则图中的三个扇形的面积之和为 多少?弧长的和为多少? （07年北京） A
注意
1. 扇形的面积大小与哪些因素有关？ （1）与圆心角的大小有关 （2）与半径的长短有关 2. 扇形面积单位与弧长单位的区别： （1）扇形面积单位有平方的 （2）弧长单位没有平方的
圆形弧长公式
圆形弧长公式圆形弧长是由圆形的形状决定的，圆形由圆心和半径确定的，圆的几何性质可以用几何公式来表示。
定义圆形弧长的公式为：圆形弧长=半径*弧度。
弧长公式也可以表示为L = 2πr，其中L为圆形弧长，r为半径，2π为圆周率。
简言之，圆形弧长是圆形弧线所占据的线段长度，即其长度等于半径乘以弧度值。
由于圆形弧线是由圆心和半径确定的，因此可以通过计算其半径和弧度值，来求出圆形弧线的长度。
弧度是一个物理定义的量，它表示一个弧线的长度和圆的周长的比值。
一个圆的周长就是它的直径乘以圆周率，也就是2πr。
弧度可以使用一个带有π的小数精确表示，比如3.14π，也可以用一个百分数，比如50%。
半径是指从圆心到圆弧的距离，用r表示。
一个圆的半径是一个不可变的量，它可以用单位长度表示，比如厘米、米或分米。
将上述公式和定义整合起来，可得到：圆形弧长公式为：L = 2πr，其中L为圆形弧长，r为半径，2π为圆周率。
对于若干个圆，其圆形弧长的计算方法也是一样的，只需根据半径和弧度的值，以及上述公式，就可以求出其圆形弧长。
圆形弧长公式被广泛应用于各种场合，比如计算圆形状的面积，构建圆形图形、绘制圆弧等，都会用到这个公式。
圆形弧长公式也可以用在几何平面及空间图形中，例如通过给定圆形弧长公式，可以构造一个空间几何图形，比如用来建造一个圆柱形或球形。
圆形弧长公式的运用无处不在，其中包括计算圆的面积、求解圆的长度，以及绘制圆形等，这些都是使用圆形弧长公式实现的。
用圆形弧长公式便可以轻松地计算出精确的圆弧长度。
通过这个公式，可以确定物体的大小，以及计算出物体的形状和尺寸，从而为工程和科学研究带来重要的贡献。
总之，圆形弧长公式是一个重要的几何性质，也是一个实用的物理定义，它能描述圆形状并简化圆形弧长的计算。
它还可以用于求解几何平面和空间图形的问题，为计算机图形学的研究以及工程和科学技术的应用提供重要的参考。
圆弧长计算公式大全
圆弧长是圆上弧的长度，符号通常用“S”表示。
圆弧长的计算公式依赖于圆的半径和圆心角的大小。
在本文档中，我们将探讨几种常见的圆弧长计算公式。
弧长定义和符号表示在开始之前，让我们对圆弧长进行一些定义和符号表示。
考虑一个圆，它的圆心角为θ（以弧度表示）。
圆心到圆上某一点的距离称为半径，我们用“r”表示。
圆心角的两条边所构成的弧的长度称为圆弧长，我们用“S”表示。
弧度制和角度制在讨论圆弧长之前，我们先来了解一下弧度制和角度制。
角度制是最常见的角度度量方式，以360度为一圆。
弧度制则是以圆的半径长度等于圆周长的一部分，这个角度记作2π弧度（或360度）。
弧度制和角度制之间的转换关系为：2π弧度 = 360°π弧度 = 180°1弧度≈57.3°圆弧长的计算公式接下来，我们将介绍几种常见的圆弧长计算公式。
1. 弧度制的圆弧长计算公式当给定圆的半径r和圆心角θ（以弧度表示）时，可以使用下面的公式计算圆弧长S：S = rθ这是最简单的弧度制下的圆弧长计算公式。
例如，如果半径为4单位，圆心角为π/2（90度），则圆弧长为4π/2 = 2π单位。
2. 角度制的圆弧长计算公式当给定圆的半径r和圆心角θ（以角度制表示）时，可以使用下面的公式计算圆弧长S：S = (2πrθ) / 360这个公式是在弧度制的公式基础上进行了转换。
例如，如果半径为5单位，圆心角为60度，则圆弧长为（2π×5×60）/ 360 ≈ 5.236单位。
3. 弦长和半径的关系我们还可以通过已知弦长和半径的关系来计算圆弧长。
在一个圆中，如果弦的长度为s，半径为r，弦对应的圆心角为θ（以弧度表示），则可以使用下面的公式计算圆弧长S：S = 2rsin(θ/2)这个公式利用了三角函数的正弦关系。
例如，如果半径为6单位，弦的长度为8单位，而圆心角为π/3（60度），则圆弧长为2×6×sin(π/6) = 6单位。
弧长面积公式变形
弧长面积公式变形1.弧长公式及其变形(1)圆的周长C ＝2πR ， C ＝πd(2)n 0的圆心角所对的弧长l ＝180R n π (3)在弧长公式中，已知l ，n ，R 中的任意两个量，都可以求出第三个量，即n ＝Rl π180 R ＝πn l 180 2.扇形面积公式及其变形 (1)如图所示，阴影部分的面积就是半径为R ，圆心角为n 0的扇形面积，扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是3600的扇形面积等于圆面积πR 2，所以圆心角为10的扇形面积是3602R π，由此得圆心角为n 0的扇形面积计算公式S 扇形＝360n πR 2 (2)在扇形面积公式S 扇形＝360nπR 2中，已知S ，n ，R 中的任意两个量，都可以求出第三个量，即n ＝2360R S π扇形R ＝πn S 扇形360(3)因为扇形的弧长l ＝180R n π， 所以S 扇形＝360n πR 2＝21·180R n π·R ＝21l R 即扇形面积的另一个计算公式是S 扇形＝21lR(4)在扇形面积公式S 扇形＝21lR 中，已知S ，l ，R 中的任意两个量，都可以求出第三个量，即l ＝R S 扇形2R ＝lS 扇形2 3.弓形的面积公式(1)弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫弓形。
(2)弓形的周长＝弦长＋弧长(3)弓形的面积如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB 的面积和△AOB 的面积计算出来，就可以得到弓形AmB 的面积。
当弓形所含的弧是劣弧时，如图(1)所示，S 弓形＝S 扇形OAmB －S △AOB当弓形所含的弧是优弧时，如图(2)所示，S 弓形＝S 扇形OAmB ＋S △AOB当弓形所含的弧是半圆时，如图(3)所示，S 弓形＝21S 圆＝S 半圆 图示面积 S 弓形＝S 扇形－S △S 弓形＝21S 圆 S 弓形＝S 扇形＋S △4.锥形的侧面积公式(1)锥形的侧面积锥形的侧面积展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l ，底面积半径为r ，那么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2πr ，圆锥的侧面积公式为S 侧＝21l ·2πr ＝πr l (2)圆锥的全面积为S 全＝S 侧＋S 底＝πr l ＋πr 2＝πr(l ＋r )说明：(1)圆锥的侧面积与底面积之和为圆锥的全面积。
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初三数学弧长和扇形面积公式知识精讲
一. 本周教学内容：
弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积
教学目的
1. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征，使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。
2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。
3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。
4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想，培养学生空间想象能力和计算能力。
教学重点和难点：
教学重点是弧长和扇形面积公式，圆锥及其特征，圆锥的侧面积计算
难点是圆锥侧面展开图（扇形）中各元素与圆锥各元素之间的关系
教学过程
1. 圆周长：r 2C π=
圆面积：2r S π=
2. 圆的面积C 与半径R 之间存在关系R 2C π=，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是
360
R 2π n °的圆心角所对的弧长是180
R n π 180R n π=∴l P 120。
*这里的180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。
3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。
发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。
4. 在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2R S π=，所以圆心角为n °的扇形面积是： R 2
1360R n S 2l =π=扇形（n 也是1°的倍数，无单位） 5. 圆锥的概念
观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。
其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。
如图，从点S 向底面引垂线，垂足是底面的圆心O ，垂线段SO 的长叫做圆锥的高，点S 叫做圆锥的顶点。
锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。
也就是说，把直角三角形SOA 绕直线SO 旋转一周得到的图形就是圆锥。
其中旋转轴SO 叫做圆锥的轴，圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面。
另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA 、SA 1、SA 2、……都叫做圆锥的母线，显然，圆锥的母线长都相等。
母线定义：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
P 122
6. 圆锥的性质
由图可得
（1）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心；
（2）圆锥的母线长都相等
7. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算
圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。
圆锥侧面积是扇形面积。
如果设扇形的半径为l ，弧长为c ，圆心角为n （如图），则它们之间有如下关系： 180
n c l π= 同时，如果设圆锥底面半径为r ，周长为c ，侧面母线长为l ，那么它的侧面积是： l l r c 21S π==
圆侧面 圆锥的全面积为：2r r π+πl
圆柱侧面积：rh 2π。
例：在⊙中，120°的圆心角所对的弧长为cm 80π，那么⊙O 的半
例：若扇形的圆心角为120°，弧长为cm 10π，则扇形半径为_____________，扇形面积为
例：如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2倍，这个扇形的中心角为____________。
例：已知扇形的周长为28cm ，面积为49cm 2，则它的半径为____________cm 。
例：两个同心圆被两条半径截得的π=⋂10AB ，π=⋂
6CD ，又AC=12，求阴影部分面积。
例：如图，已知正方形的边长为a ，求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。
例：已知AB 、CD 为⊙O 的两条弦，如果AB=8，CD=6，⋂AB 的度数与⋂
CD 的度数的和为180°，那么圆中的阴影部分的总面积为？
例：在△AOB 中，∠O=90°，OA=OB=4cm ，以O 为圆心，OA 为半径画⋂AB ，以AB 为直径作半
圆，求阴影部分的面积。
例：①、②……○m是边长均大于2的三角形，四边形、……、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……
（1）图①中3条弧的弧长的和为_________________
图②中4条弧的弧长的和为_________________
（2）求图○m中n条弧的弧长的和（用n表示）
例：如图，在Rt△ABC中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AC=6m，把△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的点C'处，那么AC边扫过的图形（阴影部分）的面积为？
例：如图，已知Rt△ABC的斜边AB=13cm，一条直角边AC=5cm，以直线AC为轴旋转一周得一个圆锥。
求这个圆锥的表面积。
如果以直线AB为轴旋转一周，能得到一个什么样的图形？
例：一个圆锥的模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形铁皮制作，再用一块圆形铁皮做底，则这块图形铁皮的半径为______________。
例：若圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是_______。
例：已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为______。
例：若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面展开图的圆心角是__________。
例：如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长50cm。
（1）画出它的展开图；
（2）计算这个展开图的圆心角及面积。
例：一个圆锥的高是10cm ，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。
例：蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为2m 9π，高为3.5m ，外围高4m 的蒙古包，至少要多少平方米的毛毡？
基础演练］
1. 已知扇形的弧长为6πcm ，圆心角为60°，则扇形的面积为____________。
2. 已知弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形弦长为a ，则这个弓形的面积是__________。
3. 如图，在平行四边形ABCD 中，34AB =，32AD =，BD ⊥AD ，以BD 为直径的⊙O 交AB 于E ，交CD 于F ，则图中阴影部分的面积为___________。
4. 如图，AB 是⊙O 1的直径，AO 1是⊙O 2的直径，弦MN//AB ，且MN 与⊙O 2相切于C 点，若⊙
O 1的半径为2，则O 1B 、⋂BN 、CN 、⋂C O 1所围成的阴影部分的面积是_____________。
5. 如图，△ABC 为某一住宅区的平面示意图，其周长为800m ，为了美化环境，计划在住宅区周围5m 内，（虚线以内，△ABC 之外）作绿化带，则此绿化带的面积为___________。
6. 如图，两个同心圆被两条半径截得的cm 6AB π=⋂，cm 10CD π=⋂，⊙O'与⋂AB ，⋂
CD 都相切，则图中阴影部分的面积为____________。
［综合测试］
7. 如图，OA 是⊙O 的半径，AB 是以OA 为直径的⊙O ’的弦，O ’B 的延长线交⊙O 于点C ，
且OA=4，∠OAB=45°，则由⋂AB ，⋂AC 和线段BC 所围成的图形面积是______。
8. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 的夹角为120°，AB 长为30cm ，贴纸部分BD 长为20cm ，贴纸部分的面积为（ ）
A. 2cm 3800π
B. 2cm 3500π
C. 2cm 800π
D. 2cm 500π
9. 如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、4，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为（ ）
A. π4
B. π2
C. π34
D. π
10. 一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平翻滚（如图），那么，B 点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）
A. 23π
B. 34π
C. 4
D. 2
32π+ 11. （2004·湖北黄冈）如图，要在直径为50cm 的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面，问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？
［探究升级］
12. （2004·新疆）在相距40km 的两个城镇A 、B 之间，有一个近似圆形的湖泊，其半径为10km ，圆心恰好位于A 、B 连线的中点处，现要绕过湖泊从A 城到B 城，假设除湖泊外，所有的地方均可行走，有如图所示两种行走路线，请你通过推理计算，说明哪条路线较短。
（1）的路线：线段→⋂
→CD AC 线段DB （2）的路线：线段→⋂→EF AE 线段FB （其中E 、F 为切点）。