高中数学第二章参数方程2.1参数方程的概念备课资料北师大版选修4_4
高中数学 2.1参数方程的概念教案 北师大版选修4-4
选修4-4 第二章 参数方程【课标要求】1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。
2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。
3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。
第一课时 参数方程的概念一、教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
三、教学方法：启发诱导，探究归纳四、教学过程（一）．参数方程的概念1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为0ν，与地面成α角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？2．分析探究理解：（1）、斜抛运动： 为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα （2）、抽象概括：参数方程的概念。
（见课本第27页）说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
（3）平抛运动：【课本P27页例题】为参数）t gt y t x (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-==（4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。
（二）、应用举例：例1、（课本第28页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x (t 为参数)（1）判断点1M (0,1), 2M (5,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点3M (6,a )在曲线C 上，求a 的值。
分析：只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。
学生练习。
反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。
《 参数方程的概念》 (北师大版 选修4-4)
[解] (1)把点 M1 的坐标(0,1)代入方程组，得：01＝＝32tt2，＋1. 解得：t＝0.∴点 M1 在曲线 C 上． 同理：可知点 M2 不在曲线 C 上． (2)∵点 M3(6，a)在曲线 C 上，∴6a＝＝32tt，2＋1. 解得：t＝2，a＝9. ∴a＝9.
易错点
探究 1 下面将参数方程xy＝＝1－t＋21，t (t 为参数)，化成普通方程的过程是否 正确？为什么？
解：由 x＝ t＋1，得 t＝x－1， 代入 y＝1－2 t，得 y＝－2x＋3. 这是一条过点(0,3)，且斜率为－2 的直线.
【提示】 解析过程不正确，因为没有考虑 x 是有范围的，即 x＝ t＋1≥1.
哪些具体的方法？
典例精讲
类型一 参数方程表示的曲线上的点 例 1．已知曲线 C 的参数方程是xy＝＝23tt2，＋1 (t 为参数)． (1)判断点 M1(0,1)，M2(5,4)与曲线 C 的位置关系； (2)已知点 M3(6，a)在曲线 C 上，求 a 的值． [思路点拨] 由参数方程的概念，只需判断对应于点的参数
当堂检测
5.指出下列参数方程表示什么曲线.
x＝3cos θ， (1)y＝3sin θ
(0≤θ≤π)；(2)xy＝＝32scions
t， t
(π≤t≤2π).
【解】
(1)由yx＝＝33scions
θ， θ，
得 x2＋y2＝9.又∵0≤θ≤π.
∴－3≤x≤3,0≤y≤3.
【答案】 以(2,0)和(0,1)为端点的线段
当堂检测
1.曲线(x－1)2＋y2＝4 上的点可以表示为 ( )
A．(－1＋cos θ，sin θ)
高中数学第2章参数方程2.2直线和圆锥曲线的参数方程曲线的参数方程教案北师大版选修4_4
曲线的参数方程教学目的知识目标 弄清曲线参数方程的概念；能力目标 能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程。
教学重点 曲线参数方程的定义及方法。
教学难点 求简单曲线的参数方程。
授课类型 新授课教学模式 启发、诱导发现教学.教 具 多媒体、实物投影仪教学过程一、复习引入一架救援飞机在离灾区地面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行。
为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机？二、讲解新课1、 参数方程的定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 反过来，对于t 的每个允许值，由函数式：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x所确定的点),(y x P 都在曲线C 上，那么方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。
2、 关于参数几点说明：（1）参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。
（2）同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样。
（3）在实际问题中要确定参数的取值范围。
3、 参数方程的意义：参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标。
4、 参数方程求法（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ；（2）选取适当的参数；（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式；（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程。
5、 关于参数方程中参数的选取选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。
与运动有关的问题选取时间t 做参数与旋转的有关问题选取角θ做参数或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。
高中数学第2章参数方程2.1参数方程的概念参数方程的应用教案北师大版选修4
2.1.1 参数方程的应用教学目的利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题。
教学重点 利用圆锥曲线的参数方程来确定最值。
教学难点 利用圆锥曲线的参数方程来确定最值。
授课类型 新授课教学模式 讲练结合教 具 多媒体、实物投影仪教学过程一、复习引入通过参数θ简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。
二、讲解新课例1．求椭圆的内接矩形面积的最大值。
例2．AB 为过椭圆1162522=+y x 中心的弦，1F ，2F 为焦点，求△ABF 1面积的最大值。
例3．抛物线x y 42=的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接三角形的周长。
例4 、过P （0，1）到双曲线122=-y x 最小距离例5，在抛物线ax y 42=)0(>a 的顶点，引两互相垂直的两条弦OA ，OB ，求顶点O 在AB 上射影H 的轨迹方程。
三、巩固与练习1 椭圆 12222=+by a x （0>>b a ）与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上存在点P ，使OP ⊥AP ，（O 为原点），求离心率e 的范围。
2 设P 为等轴双曲线122=-y x 上的一点，1F ，2F 为两个焦点，证明221OP P F P F =⋅四、小 结本节课学习了以下内容：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值五、课后作业 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
高二数学北师大版选修4-4《参数方程的概念》教案
（1）有几个变量？
（2）x，y都可以用什么来表示？
（3）给定t的一个值，方程中x，y的值确定吗？
3.参数方程的概念：一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数
并且对于t的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(2)就叫做这条曲线的,联系变数x,y的变数t叫做,简称。
提炼的课题
参数方程的概念
教学重难点
重点：曲线参数方程的定义及方法。
难点：求曲线的参数方程
教 学 过 程
一、自主预习
1.引例： 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？救援物资做何运动？你能用物理知识解决这个问题吗？
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做。
二、合作探究
1.已知曲线C的参数方程是 （ 为参数），当 时，曲线上对应点的坐标
是.
2.已知曲线C的参数方程是
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C
的位置关பைடு நூலகம்；
（2）已知点M3(6, a)在曲线C上,求a的值
课堂检测内容
1、课本第页 练习1，2
1.动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12 ,运动开始时位于点P(1,2),求点M的轨迹参数方程。
2.已知曲线C的参数方程是 ，点M(5,4)在该曲线上.（1）求常数a;（2）求曲线C的普通方程.
3.曲线 与x轴的交点坐标是( )
课后作业布置
课本第28页习题2-11,2,3
预习内容布置
2017_2018学年高中数学第二章参数方程2.1参数方程的概念课件北师大版选修4_4
题型一
题型二
题型三
解:设点M的坐标为(x,y),∠AOP=θ. 因为点P在圆x2+y2=16上,过点P分别作x轴、y轴的垂线可得点P 的坐标为(4cos θ,4sin θ),又A(12,0),所以由中点坐标公式得点M的坐 标为(2cos θ+6,2sin θ). ������ = 6 + 2cos������, 所以点 M 的轨迹的参数方程为 (������为参数). ������ = 2sin������
3
【做一做 2】 已知 P(x,y)是曲线
������ = 2 + cos������, (������为参数) ������ = sin������
2 2 上任意一点, 求 ( ������- 5) +( ����பைடு நூலகம்� + 4) 的最大值.
解 :由题意,设 d2=(x-5)2+(y+4)2=(2+cos α-5) 2+(sin α+4)2= 8sin α-6cos α+26=10sin(α-φ)+26,其中 φ 为锐角,tan φ = 所以 ������2 max = 10 + 26 = 36, 从而dmax=6, 即 (������-5)2 + (������ + 4)2 的最大值为6.
题型一
题型二
题型三
题型一
参数方程的概念
������ = 2������ 2 - 1, 【例 1】 已知曲线 C 的参数方程为 其中������为参数 . ������ = 2������ + 4, (1)判断点 M(7,0), N(1,6),P(2,- 2)与曲线 C 的关系; (2)试求当 t=-3 时,曲线 C 上的点的坐标.
高中数学 第二章 参数方程本章整合课件 北师大版选修44
为参数).
在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 l:θ=α 与 C1,C2 各有 一个交点.当 α=0 时,这两个交点间的距离为 2,当 α=π2时,这两个交点重合.
(1)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (2)设当 α=π4时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 α=-π4时,l 与 C1,C2 的交 点分别为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积.
所以|OP|2+|OQ|2=16cos2θ1+4sin2θ1+16cos2θ2+4sin2θ2=20,即 |OP|2+|OQ|2=20.
专题一
专题二
知识建构
综合应用
真题放送
(2)设 PQ 的中点为(x,y),
则
������
= 2(cos ������1 + cos ������2), ������ = sin ������1 + sin ������2.
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题一 参数方程和普通方程的互化
在求出曲线的参数方程后,通常利用消参法得出普通方程.一般地,消参
数经常采用的是代入法和三角公式法.但将曲线的参数方程化为普通方程,
不只是把其中的参数消去,还要注意 x,y 的取值范围在消参前后应该是一
致的,也就是说,要使得参数方程与普通方程等价,即它们二者要表示同一曲
线.
【应用】 参数方程
������ =
cos
������ 2
+
sin
������ 2
������
=
1 2
(1
+
高中数学 参数方程的概念参数方程的概念教案 北师大版选修4-
参数方程的概念教学目标：（1）通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
（2）分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
（3）能掌握消去参数的一些常用技巧：代人消参法、三角消参等；重点难点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义教学过程：1.问题提出：已知圆C 的方程为1)2(22=+-y x ，过点P 1(1,0) 作圆C 的任意弦，交圆C 于另一点P 2,求P 1P 2的中点M 的轨迹方程.书中列举了六种解法，其中解法六运用了什么方法求得M 点的轨迹方程？此种方法是如何设置参数的，其几何意义是什么？设M(y x ,) ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=222112k ky k k x ，消去k,得41)23(22=+-y x ，因M 与P 1不重合，所以M 点的轨迹方程为41)23(22=+-y x （1≠x ） 解法六的关键是没有直接寻求中点M 的轨迹方程0),(=y x F ,而是通过引入第三个变量k （直线的斜率），间接地求出了x 与y 的关系式，从而求得M 点的轨迹方程.实际上方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=222112k ky k k x （1）和41)23(22=+-y x （1≠x ）（2）都表示同一个曲线，都是M 点的轨迹方程.这两个方程是曲线方程的两种形式.方程组（1）是曲线的参数方程，变数k 是参数，方程（2）是曲线的普通方程.（2）、抽象概括：参数方程的概念。
1、 曲线的参数方程在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数，⎩⎨⎧==)()(t g y t f x (1)并且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程.联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数.2、 求曲线的参数方程求曲线参数方程一般程序：(1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标；(2) 选参：选择合适的参数；(3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系式，并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式.(4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程3、 曲线的普通方程相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程F （x,y ）＝0叫做曲线C 的普通方程.4、 参数方程的几个基本问题(1) 消去参数，把参数方程化为普通方程.(2) 由普通方程化为参数方程.(3) 利用参数求点的轨迹方程.(4) 常见曲线的参数方程.3、曲线的普通方程与曲线的参数方程的区别与联系曲线的普通方程),(y x F ＝0是相对参数方程而言，它反映了坐标变量x 与y 之间的直接联系；而参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ， t D ∈是通过参数t 反映坐标变量x 与y 之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数，变数的个数比方程的个数多1；曲线的参数方程中，有三个变数两个方程，变数的个数比方程的个数多1个.从这个意义上讲，曲线的普通方程和参数方程是“一致”的.参数方程 普通方程 ； 普通方程 参数方程这时普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
高中数学 北师大选修4-4 2.1参数方程的概念和圆的参数方程
1、相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程 叫做普通方程；
2、参数是联系变数x,y的桥梁，可以是一个有物理意义或几 何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.
例题分析
例1、 已知曲线 C 的参数方程是
x y
3t, 2t 2
(t为参数) 1.
（1）判断点M1（0，1），M2（5，4）与曲线
所以
(a,b)
r P1(x1, y1)
参数方程与普通方程的互化
x2+y2=r2
x r cos y r sin
注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的 横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵 坐标与参数之间的关系.
2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难 或不可能体现时，通过参数建立间接的联系.
由中点公式得:点M的轨迹方程为
x =6+2cosθ y =2sinθ
∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆.
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x
轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA
中点M的轨迹是什么?
解:设M的坐标为(x,y),
y P M
(0 θ
2π )
⑴如果圆上点P所对应的参数θ 5π 则点P的坐标是 _______
3
2
如果圆上点Q所对应的坐标是
5 2
,
5
3 2
,
则点Q对应
的参数 等于_______
2、填空题 :
(1)参数方程
x
y
2 cosθ 2 sinθ
表示圆心为（2，-2）
半径为 1 的圆，化为标准方程为
北师版高二数学选修4-4 2-1-1参数方程的概念
[P24思考] 这里定点Q在圆O外，你能判断这个轨迹表示什么曲
线吗？如果定点Q在圆O上，轨迹是什么？如果定点Q在
x＝2cos
π 60t，
y＝2sin
π 60t.
题型二 圆的参数方程及其应用
【例2】 已知圆的直径AB上有两点C、D，且|AB|＝10， |AC|＝|BD|＝4，P为圆上一点，求|PC|＋|PD|的最大值． [思维启迪] 本题应考虑数形结合的方法，因此需要先建立 平面直角坐标系．将P点坐标用圆的参数方程的形式表示 出来，θ为参数，那么|PC|＋|PD|就可以用只含有θ的式子 来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值． 解 以AB所在直线为x轴，以线段 AB的中点为原点建立平面直角坐标 系．
＝1 可求得在直角坐标系下的方程为 y＝1，由 yx＝ 2＋1（，y－1）2＝1可解得xy＝ ＝1±.1， 所以直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为(－1，1)，(1，1)
答案 (－1，1)，(1，1)
【例2】 (2009·安徽高考)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半 轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的
【反思感悟】 如果取半径绕原点 O 逆时针旋转转过的角度 θBiblioteka 为参数，圆x2＋y2＝r2
对应的参数方程为xy＝＝rrscions
θ， θ.
同 理 ， 圆 (x － x0)2 ＋ (y － y0)2 ＝ r2 对 应 的 参 数 方 程 为
x＝x0＋rcos θ， y＝y0＋rsin θ
(θ 为参数)．
解 (1)如图所示，建立平面直角坐标系， 设炸弹投出机舱的时刻为 0 s，在时刻 t s 时其坐标为 M(x，y)， 由于炸弹作平抛运动，依题意，得 xy＝＝210000t0，－12gt2，即xy＝＝210000t0，－5t2，
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1 参数方程的概念
教学建议
1.通过对抛体运动中时间与运动物体位置关系的探究,写出抛体运动轨迹的参数方程,从而加深理解参数的意义.
2.借助典例分析,让学生掌握求曲线的参数方程的方法与步骤,并掌握选取参数的常见技巧.
备选习题
一架救援飞机以100m/s的速度做水平直线飞行,在离灾区指定目标的水平距离还有1 000m时投放救灾物资(不计空气阻力,g=9.8m/s2),问此时飞机的飞行高度约是多少?(精确到1m)
解:在时刻t时飞机在水平方向的位移量x=100t.
离地面高度y=0+gt2,
即
令1000=100t,得t=10,
代入②得y=×9.8×100=490.
即此时飞机的飞行高度约是490m.。