苏教版数学高一-【苏州第五中学】数学苏教版必修一教案 1.2子集、全集、补集2

第四课时子集、全集、补集(二)

教学目标：

使学生了解全集的意义，理解补集的概念；通过概念教学，提高学生逻辑思维能力和分析、解决问题能力；渗透相对的观点.

教学重点：

补集的概念.

教学难点：

补集的有关运算.

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

1.集合的子集、真子集如何寻求?其个数分别是多少?

2.两个集合相等应满足的条件是什么?

Ⅱ.讲授新课

［师］事物都是相对的，集合中的部分元素与集合之间关系就是

部分与整体的关系.

请同学们由下面的例子回答问题：

幻灯片（A）：

看下面例子

A＝{班上所有参加足球队同学}

B＝{班上没有参加足球队同学}

S＝{全班同学}

那么S、A、B三集合关系如何?

［生］集合B就是集合S中除去集合A之后余下来的集合.

即为如图阴影部分

由此借助上图总结规律如下：

幻灯片(B)：

1.补集

一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即A⊆S)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中集合A的补集(或余集).

记作C S A，即C S A＝{x｜x∈3且x∉a}

上图中阴影部分即表示A在S中补集C S A

2.全集

如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作U.

［师］解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集U，那么有理数集Q的补集C U Q 就是全体无理数的集合.

举例如下：请同学们思考其结果.

幻灯片(C)：

举例，请填充

(1)若S＝{2，3，4}，A＝{4，3}，则C S A＝____________.

(2)若S＝{三角形}，B＝{锐角三角形}，则C S B＝___________.

(3)若S＝{1，2，4，8}，A＝∅，则C S A＝_______.

(4)若U＝{1，3，a2＋2a＋1}，A＝{1，3}，C U A＝{5}，则a＝_______

(5)已知A＝{0，2，4}，C U A＝{－1，1}，C U B＝{－1，0，2}，求B＝_______

(6)设全集U＝{2，3，m2＋2m－3}，a＝{｜m＋1｜，2}，C U A＝{5}，求m.

(7)设全集U＝{1，2，3，4}，A＝{x｜x2－5x＋m＝0，x∈U}，求C U A、m.

师生共同完成上述题目，解题的依据是定义

例(1)解：C S A＝{2}

评述：主要是比较A及S的区别.

例(2)解：C S B＝{直角三角形或钝角三角形}

评述：注意三角形分类.

例(3)解：C S A＝3

评述：空集的定义运用.

例(4)解：a2＋2a＋1＝5，a＝－1± 5

评述：利用集合元素的特征.

例(5)解：利用文恩图由A及C U A先求U＝{－1，0，1，2，4}，再求B＝{1，4}.

例(6)解：由题m2＋2m－3＝5且｜m＋1｜＝3解之m＝－4或m＝2

例(7)解：将x＝1、2、3、4代入x2－5x＋m＝0中，m＝4或m＝6

当m＝4时，x2－5x＋4＝0，即A＝{1，4}

又当m＝6时，x2－5x＋6＝0，即A＝{2，3}

故满足题条件：C U A＝{1，4}，m＝4；C U B＝{2，3}，m＝6.

评述：此题解决过程中渗透分类讨论思想.

Ⅲ.课堂练习

课本P10练习1，2，3，4

Ⅳ.课时小结

1.能熟练求解一个给定集合的补集.

2.注意一些特殊结论在以后解题中的应用.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P10习题1.2 3，4

3.解：因有一组对边平行的四边形是梯形.故S集合是由梯形、平行四边形构成，而A ＝{x｜x是平行四边形}，那么C S A＝{x｜x是梯形}.

补充：

1.判断下列说法是否正确，并在题后括号内填“”或“”：

(1)若S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则C S A＝{2，3} （）

(2)若S＝{三角形}，A＝{直角三角形}，则C S A＝{锐角或钝角三角形} （）

(3)若U＝{四边形}，A＝{梯形}，则C U A＝{平行四边形} （）

(4)若U＝{1，2，3}，A＝∅，则C U A＝A （）

(5)若U＝{1，2，3}，A＝5，则C U A＝∅（）

(6)若U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则C U A＝{1} （）

(7)若U是全集且A⊆B，则C U A⊆C U B （）

解：紧扣定义，利用性质求解相关题目.(2)(5)(6)正确，其余错误.

在(1)中，因S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则C S A＝{3}.

(2)若S＝{三角形}，则由A＝{直角三角形}得C S A＝{锐角或钝角三角形}.

(3)由梯形及平行四边形构成的图形集合不一定是四边形的全部.如既不是梯形，

也不是平行四边形.

(4)因U＝{1，2，3}，A＝∅，故C U A＝U.

(5)U＝{1，2，3}，A＝5，则C U A＝∅.

(6)U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则C U A＝{1}.

(7)若U是全集且A＝B，则C U A⊇C U B.

评述：上述题目涉及补集较多，而补集问题解决前提必须考虑全集，故一是先看全集U，二是由A找其补集，应有A∪(C U A)＝U.

2.填空题

(1)A＝{x∈R｜x≥3}，U＝R，C U A＝_____________________.

(2)A＝{x∈R｜x＞3}，U＝R，C U A＝_____________________.

(3)已知U中有6个元素，C U A＝∅，那么A中有_______个元素.

(4)U＝R，A＝{x｜a≤x≤b}，C U A＝{x｜x＞9或x＜3＝，则a＝_______，b＝_________ 解：由全集、补集意义解答如下：

(1)由U＝R及A＝{x｜x≥3}，知C U A＝{x｜x＜3＝(可利用数形结合).对于(2)，由U＝R 及A＝{x｜x＞3}，知C U A＝{x｜x≤3}，注意“＝”成立与否.对于(3)，全集中共有6个元素，A的补集中没有元素，故集合A中有6个元素.对于(4)，全集为R因A＝{x｜a≤x≤B}，其补集C U A＝{x｜x＞9或x＜3}，则A＝3，B＝9.

3.已知U＝{x∈N｜x≤10}，A＝{小于10的正奇数}，B＝{小于11的质数}，求C U A、C U B. 解：因x∈N，x≤10时，x＝0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10

A＝{小于10的正奇数}＝{1，3，5，7，9}，B＝{小于11的质数}＝{2，3，5，7}，那么C U A＝{0，2，4，6，8，10}，C U B＝{0，1，4，6，8，9，10}.

4.已知A＝{0，2，4，6}，C U A＝{－1，－3，1，3}，C U B＝{－1，0，2}，用列举法写出B. 解：因A＝{0，2，4，6}，C U A＝{－1，－3，1，3}，

故U＝A∪（C U A）＝{0，1，2，3，4，6，－3，－1}

而C U B＝{－1，0，2}，故B＝{－3，1，3，4，6}.

5.已知全集U＝{2，3，a2－2a－3}，A＝{2，｜a－7｜}，C U A＝{5}，求a的值.

解：由补集的定义及已知有：a2－2a－3＝5且｜a－7｜＝3，由a2－2a－3＝5有a＝4或a＝－2，当a＝4时，有｜a－7｜＝3，当a＝－2时｜a－7｜＝9(舍)

所以符合题条件的a＝4

评述：此题和第4题都用C U A＝{x｜x∈5，且x∉A}，有U中元素或者属于A，或者属于C U A.二者必居其一，也说明集合A与其补集相对于全集来说具有互补性，这一点在解题过程中常会遇到，但要针对全集而言.

6.定义A－B＝{x｜x∈A，且x∉B}，若M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4，8}，求N－M的表达式.

分析：本题目在给出新定义的基础上，应用定义解决问题.要准确把握定义的实质，才能尽快进入状态.

解：由题所给定义：N－M＝{x｜x∈N，且x∉M}＝{8}

评述：从所给定义看：类似补集但又区别于补集，A－B与C A B中元素的特征相同，后者要求B⊆A.而前者没有这约束，问题要求学生随时接受新信息，并能应用新信息解决问题.

7.已知集合M＝{x2＋x－2＝0}，N＝{x｜x＜a}，使M C R N的所有实数a的集合记为A，又知集合B＝{y｜y＝－x2－4x－6}，试判断A与B的关系.

分析：先找M中元素，后求B中元素取值范围.

解：因x2＋x－2＝0的解为－2、1，即M＝{－2，1}，N＝{x｜x＜a}，

故C R N＝{x｜x≥a}，使M C R N的实数a的集合A＝{a｜a≤－2}，