高考数学(理)总复习随堂小测： 解三角形的实际应用

课时跟踪检测(二十七) 解三角形的实际应用一、题点全面练1.如图，两座灯塔A 和B 与河岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m解析：选C ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝2－3，∴BC ＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)．3．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析：选A 作出示意图如图所示，设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在Rt △BCD 中，BC ＝3h ，在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.4．地面上有两座相距120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α2，且在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为( )A ．50 m,100 mB ．40 m,90 mC ．40 m,50 mD ．30 m,40 m解析：选B 设高塔高H m ，矮塔高h m ，在O 点望高塔塔顶的仰角为β.则tan α＝H 120，tan α2＝h 120， 根据三角函数的倍角公式有H 120＝2×h 1201－⎝⎛⎭⎫h 1202.① 因为在两塔底连线的中点O 望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在O 点望矮塔塔顶的仰角为π2－β， 由tan β＝H 60，tan ⎝⎛⎭⎫π2－β＝h 60， 得H 60＝60h .② 联立①②解得H ＝90，h ＝40.即两座塔的高度分别为40 m,90 m.5.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径的长度为( )A ．50 5 mB ．507 mC ．5011 mD ．5019 m解析：选B 设该扇形的半径为r (m)，连接CO ，如图所示．由题意，得CD ＝150(m)，OD ＝100(m)，∠CDO ＝60°，在△CDO 中，由余弦定理，得CD 2＋OD 2－2CD ·OD ·cos 60°＝OC 2，即1502＋1002－2×150×100×12＝r 2， 解得r ＝507(m)．6.如图，为了测量河对岸电视塔CD 的高度，小王在点A 处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C 与A 的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m 到达M 处，测得塔底C 与M 的连线同河岸成60°角，则电视塔CD 的高度为________m.解析：在△ACM 中，∠MCA ＝60°－15°＝45°，∠AMC ＝180°－60°＝120°，由正弦定理得AM sin ∠MCA ＝AC sin ∠AMC ，即1 20022＝AC 32，解得AC ＝600 6.在△ACD 中，∵tan ∠DAC ＝DC AC ＝33， ∴DC ＝6006×33＝600 2. 答案：600 27.如图，为了测量河对岸A ，B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C .测量得到：CD ＝2，CE ＝23，∠D ＝45°，∠ACD ＝105°，∠ACB ＝48.19°，∠BCE ＝75°，∠E ＝60°，则A ，B 两点之间的距离为______.⎝⎛⎭⎫取cos 48.19°＝23 解析：依题意知，在△ACD 中，∠DAC ＝30°，由正弦定理得AC ＝CD sin 45°sin 30°＝22，在△BCE 中，∠CBE ＝45°，由正弦定理得BC ＝CE sin 60°sin 45°＝3 2.在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝10，解得AB ＝10.答案：108.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.解析：由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°，可得∠DBA ＝135°，∠ADB ＝30°.在△ABD 中，根据正弦定理可得AB sin ∠ADB ＝BD sin ∠BAD， 即50sin 30°＝BD sin 15°， 所以BD ＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝25(6－2)．在△BCD 中，由正弦定理得CD sin ∠DBC ＝BD sin ∠BCD， 即25sin 45°＝25(6－2)sin ∠BCD ， 解得sin ∠BCD ＝3－1.所以cos θ＝cos(∠BCD －90°)＝sin ∠BCD ＝3－1.答案：3－19．如图所示，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到点A 的距离分别为20 km 和50 km.某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8 s 后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求静止目标P 到海防警戒线AC 的距离．解：(1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x .同理，在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .因为cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，所以3x ＋325x ＝25x ，解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于点D (图略)，在△ADP 中，由cos ∠PAD ＝2531，得sin ∠PAD ＝1－cos 2∠PAD ＝42131，所以PD ＝PA sin ∠PAD ＝31×42131＝421(km)．故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421 km.10.已知在东西方向上有M ，N 两座小山，山顶各有一座发射塔A ，B ，塔顶A ，B 的海拔高度分别为AM ＝100 m 和BN ＝200 m ，一测量车在小山M 的正南方向的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 3 m 后到达点Q ，在点Q 处测得发射塔顶B 处的仰角为θ，且∠BQA ＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A ，B 之间的距离．解：在Rt △AMP 中，∠APM ＝30°，AM ＝100，∴PM ＝100 3.连接QM (图略)，在△PQM 中，∠QPM ＝60°，PQ ＝1003，∴△PQM 为等边三角形，∴QM ＝100 3.在Rt △AMQ 中，由AQ 2＝AM 2＋QM 2，得AQ ＝200.在Rt △BNQ 中，tan θ＝2，BN ＝200，∴BQ ＝1005，cos θ＝55.在△BQA 中，BA 2＝BQ 2＋AQ 2－2BQ ·AQ ·cos θ＝(1005)2，∴BA ＝100 5.即两发射塔顶A ，B 之间的距离是100 5 m.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°，距灯塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则此船航行的速度为________n mile/h.解析：如图，由题意知∠MPN ＝75°＋45°＝120°，∠PNM ＝45°.在△PMN 中，MN sin 120°＝PM sin 45°， ∴MN ＝68×3222＝34 6 n mile. 又由M 到N 所用的时间为14－10＝4小时，∴此船的航行速度v ＝3464＝1762n mile/h. 答案：17622.如图，一位同学从P 1处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90°－α.后退l m 至点P 2处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，P 1，P 2三点在同一条水平线上，则塔BC 的高为________m ；旗杆BA 的高为________m ．(用含有l 和α的式子表示)解析：在Rt △BCP 1中，∠BP 1C ＝α，在Rt △P 2BC 中，∠P 2＝α2. ∵∠BP 1C ＝∠P 1BP 2＋∠P 2，∴∠P 1BP 2＝α2，即△P 1BP 2为等腰三角形，BP 1＝P 1P 2＝l ， ∴BC ＝l sin α. 在Rt △ACP 1中，AC CP 1＝AC l cos α＝tan(90°－α)，∴AC ＝l cos 2αsin α，则BA ＝AC －BC ＝l cos 2αsin α－l sin α＝l (cos 2α－sin 2α)sin α＝l cos 2αsin α. 答案：l sin α l cos 2αsin α(二)素养专练——学会更学通3.[直观想象、数学建模]为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，A ，B ，C 三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点A ，B 两地相距100米，∠BAC ＝60°.在A地听到弹射声音的时间比B 地晚217秒．在A 地测得该仪器至最高点H 处的仰角为30°(已知声音的传播速度为340米/秒)．(1)求A ，C 两地的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC .解：(1)由题意，设AC ＝x ，因为在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217秒， 所以BC ＝x －217×340＝x －40， 在△ABC 内，由余弦定理得BC 2＝AC 2＋BA 2－2BA ·AC ·cos ∠BAC ，即(x －40)2＝x 2＋10 000－100x ，解得x ＝420.故A ，C 两地的距离为420米．(2)在Rt △ACH 中，AC ＝420，∠CAH ＝30°，所以CH ＝AC ·tan ∠CAH ＝1403米．故该仪器的垂直弹射高度CH 为1403米．4.[数学建模]如图所示，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．记∠AMN ＝θ.(1)将AN ，AM 用含θ的关系式表示出来；(2)如何设计(即AN ，AM 为多长时)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP 最大)?解：(1)∠AMN ＝θ，在△AMN 中，由正弦定理，得MN sin 60°＝AN sin θ＝AM sin (120°－θ)， 所以AN ＝433sin θ，AM ＝433sin(120°－θ)． (2)在△APM 中，由余弦定理，得AP 2＝AM 2＋PM 2－2AM ·PM ·cos ∠AMP＝163sin 2(θ＋60°)＋4－1633sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＝83[1－cos(2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，0°＜θ＜120°(其中利用诱导公式可知sin(120°－θ)＝sin(θ＋60°))，当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN ＝AM ＝2千米．。