福建省2018年普通高中毕业班质量检查数学文科试题

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(解析版)福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查

福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查试题数学（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将集合中的元素，逐一验证是否属于集合即可.详解：因为集合，所以，故选B.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.2. 复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：先利用复数模的公式求得，然后两边同乘以，利用复数运算的乘法法则化简，即可得结果详解：,,，在复平面内对应的点，在第四象限，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 已知，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，结合函数的单调性，从而可得结果.详解：由指数函数的性质可得，，由对数函数的性质可得，，，又，在上递增，所以，故选C.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.4. 如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成.在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：设小黑色三角形面积为，则整个在图案面积为，黑色部分总面积为，根据几何概型概率公式可得结果.详解：设小黑色三角形面积为，则整个在图案面积为，黑色部分总面积为，由几何概型概率公式可得，在点取自黑色部分的概率是，故选B.点睛：本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5. 等差数列的公差为1，成等比数列，则的前10项和为（）A. 50B.C. 45D.【答案】A【解析】分析：根据成等比数列列方程可求得首项，利用等差数列求和公式可得结果.详解：等差数列的公差为1，成等比数列，，即，解得，，故选A.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.6. 已知拋物线的焦点为，过的直线与曲线交于两点，，则中点到轴的距离是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：将点到焦点的距离转化为到准线的距离，可得，从而求出中点横坐标，进而可得结果.详解：由，得，设，等于点到准线的距离，同理，等于到准线的距离，，，中点横坐标为，中点到轴的距离是，故选B.点睛：与抛物线焦点、准线有关的问题，一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决7. 如图，在正方体中，分别是的中点，则下列命题正确的是（）A. B. C. 平面 D. 平面【答案】C【解析】分析：取中点，连接，可证明平面平面，进而可得结果. 详解：取中点，连接，由三角形中位线定理可得，面，由四边形为平行四边形得，面，平面平面，面，平面，故选C.点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.8. 如图是为了计算的值，则在判断框中应填入（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到输出，即可得到输出条件.详解：由程序框图可知，判断框中，若填，则输出，若填或，直接输出，应填，故选A.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9. 函数的周期为，，在上单调递减，则的一个可能值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由函数的周期为，求得，由结合在上单调递减，即可得结果.详解：由函数的周期为，得，，，或，令，或，，在不是单调函数，不合题意，故，故选D.点睛：本题主要通过已知三角函数的性质求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.10. 设函数若恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：函数恒成立等价于是的最小值，根据分段函数的性质列不等式可得结果.详解：若恒成立，是的最小值，由二次函数性质可得对称轴，由分段函数性质得，得，综上，，故选A.....................................11. 已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为，三视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A. B. 2 C. 4 D. 6【答案】D【解析】分析：根据正三棱锥的性质可得球心在正三棱锥的高上，由正棱锥的性质可得顶点在底面的射影是正三角形的中心，列方程可解得棱锥的高，从而可得结果.详解：设正三棱锥外接球的半径为，则，由三视图可得底面边长为，底面正三角形的高为，底面三角形外接圆半径为，由勾股定理得，得，侧视图面积为，故选D.点睛：本题主要考查三棱锥外接球问题，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接设出球心和半径，列方程求解.12. 设函数，直线是曲线的切线，则的最小值是（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】分析：设切点是，求出切线方程，可得，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出的最小值即可的结果.详解：设切点是，由是切线斜率，切线方程为，整理得，，记，当，递减；当，递增；故，即的最小值是故选C.点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量与的夹角为，，则__________．【答案】【解析】分析：将平方，把，代入化简，再开平方即可得结果.详解：向量与的夹角为，，，，，故答案为.点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.14. 已知满足约束条件则的最小值为__________．【答案】2【解析】分析：画出可行域，化为，平移直线，由图可得当直线经过时，有最小值，从而可得结果.详解：画出表示可行域，如图，由，可得，平行直线，由图知，当直线经过时，直线在轴上截距最小，此时最小为，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 若双曲线的渐近线与圆无交点，则的离心率的取值范围为__________．【答案】【解析】分析：根据圆心到直线的距离大于半径，列不等式，结合可得离心率的取值范围.详解：曲线的渐近线与圆无交点，圆心到直线的距离大于半径，即，，，，即的离心率的取值范围为，故答案为.点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用点到直线的距离大于圆半径构造出关于的不等式，最后解出的范围.16. 已知数列满足，，是递增数列，是递减数列，则__________．【答案】【解析】分析：先判断，可得，，根据等差数列的通项公式可得结果.详解：是递增数列，，，，，又成立，由是递减数列，，同理可得，，，是首项为，公差为的等差数列，故，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，角所对的边分别为，.（1）求；（2）若，的周长为，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由，根据正弦定理得，可得所以，从而可得结果；（2）由，可得，可求得，由此以，根据周长为可求得，从而可得结果.详解：（1）因为，由正弦定理得所以所以，且所以.（2）因为，所以，所以，，或解得：或因为，所以所以，所以因为，所以所以.点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18. 在如图所示的四棱锥中，底面为菱形，,为正三角形.（1）证明:；（2）若，四棱锥的体积为16，求的长.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）由正三角形的性质可得，，根据线面垂直的判定定理可得平面，由线面垂直的性质可得结论；（2）根据勾股定理，，结合可得，平面，设，利用棱锥的体积公式列方程解得，由勾股定理可得的长.详解：（1）证明：取中点为,连接∵底面为菱形，,∴为正三角形，∴又∵为正三角形，∴又∵平面,平面，∴平面，∵平面，∴.（2）法一：设，则，在正三角形中，，同理，∴，∴，又∵，平面，平面，∴平面,∴，∴，∵∴∴.法二：设，则，在正三角形中，，同理，∴，∴，又∵，平面，平面，∴平面,∴，∴，连接,∵在中，，∴由余弦定理得，∴在中，.点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.19. 为提高玉米产量，某种植基地对单位面积播种数与每棵作物的产量之间的关系进行研究，收集了 11块实验田的数据，得到下表：技术人员选择模型作为与的回归方程类型，令，相关统计量的值如下表:由表中数据得到回归方程后进行残差分析，残差图如图所示:（1）根据残差图发现一个可疑数据，请写出可疑数据的编号(给出判断即可，不必说明理由）；（2）剔除可疑数据后，由最小二乘法得到关于的线性回归方程中的，求关于的回归方程；（3）利用（2）得出的结果，计算当单位面积播种数为何值时，单位面积的总产量的预报值最大？（计算结果精确到0.01)附:对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，.【答案】（1）10（2）（3）【解析】分析：（1)可疑数据为第10组 ; （2）根据平均数公式可求出与的值，从而可得样本中心点的坐标，结合样本中心点的性质可得，进而可得关于的回归方程；（3）根据（2）的结果并结合条件，可得单位面积的总产量的预报值，变形后利用均值不等式求解即可.详解：（1)可疑数据为第10组 ;（2）剔除数据后，在剩余的10组数据中，，，所以，所以关于的线性回归方程为则关于的回归方程为；（3）根据（2）的结果并结合条件，单位面积的总产量的预报值当且仅当时，等号成立，此时，即当时，单位面积的总产量的预报值最大，最大值是1.83.点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20. 过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点.当直线的斜率为0时，.（1）求椭圆的方程；（2）求四边形面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由得：，由，所以，从而可得椭圆的方程；（2）直线的方程为，则直线的方程为.设由，得，根据韦达定理、弦长公式求出的值，三角形面积公式可得，结合，利用函数的单调性求解即可.详解：（1）由已知得：将代入得，所以，所以所以椭圆；（2）①当直线—条的斜率为0，另一条的斜率不存在时，.②当两条直线的斜率均存在时，设直线的方程为，则直线的方程为.设由，得，（或：，）用取代得∴又，当且仅当取等号所以所以综上：四边形面积的取值范围是.点睛：本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.21. 已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：(1) 求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）原不等式可化为，即，记，只需即可，分三种情况讨论，分别利用导数研究函数的单调性，利用单调性求出函数的最大值，利用最大值不大于零列不等式即可得结果. 详解：（1）依题意，①当时，，所以在上单调递增；②当时，，，且，令得，令得或，此时在上单调递增；在上单调递减综上可得，①时，在上单调递增；②当时，在上单调递增；在上单调递减（2）法一：原不等式可化为，即记，只需即可.①当时，由可知，，所以，命题成立.②当时，显然在上单调递减，所以所以在上单调递减，从而，命题成立.③当时，显然在上单调递减，因为，所以在内，存在唯一的，使得，且当时，即当时，，不符合题目要求，舍去.综上所述，实数的取值范围是.法二：原不等式可化为，即记，只需即可.可得，令，则所以在上单调递减，所以.时，，从而，所以，所以在上单调递减，所以，原不等式成立②当时，，，所以存在唯一，使得，且当时，，此时，在上单调递增，从而有，不符合题目要求，舍去.综上所述，实数的取值范围是.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系中，曲线，曲线(为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）射线的极坐标方程为，若分别与交于异于极点的两点，求的最大值.【答案】（1），；（2）【解析】分析：（1）将曲线，曲线消去参数可得普通方程，然后利用即可得的极坐标方程；（2）将分别代入的极坐标方程可得，，，换元后，结合三角函数的有界性，利用二次函数的性质求解即可.详解：（1），∵，故的极坐标方程：.的直角坐标方程：，∵，故的极坐标方程:.（2）直线分别与曲线联立，得到，则，，则，∴令，则所以，即时，有最大值.点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23. 已知函数，其中.（1）求函数的值域；（2）对于满足的任意实数，关于的不等式恒有解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）将函数，写成分段函数形式，判断函数的单调性，利用单调性可得函数的值域；（2）先利用作差法证明，再由，利用基本不等式可得，结合（1）可得，从而可得结果.详解：（1）∵，∴∴故.（2）∵，∴，∵，∴，∴.当且仅当时，，∴关于的不等式恒有解即，故，又，所以.点睛：转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，将“任意实数，关于的不等式恒有解”转化为“”是解题的关键.。

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2019年03月01日xx 学校高中数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.已知集合{}1,3,9,27A =,3{|log ,}B y y x x A ==?,则A B ⋂= ( )A. {}1,3B. {}1,3,9C. {}3,9,27D. {}1,3,9,272.若复数满足(1)12i z i +?+,则z 等于( )A.12B. 2C. 32D. 2 3.已知1a =,2b =,且()a a b ⊥-,则向量a 与b 的夹角为( )A.4π B. 3π C. 23π D. 34π 4.已知角α的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =-上,则cos 2α= ( )A. 45-B. 35-C. 35D. 45 5.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2,则 C 的渐近线方程为( )A. 3y x =±B. 3y x =±C. 2y x =±D. 5y x =±6.已知 m ,n 是空间中两条不同的直线, α,β为空间中两个互相垂直的平面,则下列命题正确的是( )A.若m α⊂,则m β⊥B.若m α⊂,n β⊂,则m n ⊥C.若m α⊄,m β⊥,则//m αD.若m αβ⋂=,n m ⊥,则n α⊥7.已知函数1()1x f x x +=-的图像在点(2,(2))f 处的切线与直线10ax y ++=平行,则实数a = ( )A. 2B.12C. 12- D. 2- 8.下列说法正确的是( )A.命题p ,q 都是假命题,则命题“p q ⌝∧”为真命题B. R ϕ∀∈,函数()sin(2)f x x ϕ=+都不是奇函数C.函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像关于512x π=对称 D.将函数sin 2y x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到sin 4y x =9.执行下面的程序框图,如果输入的48m =,36n =,则输出的k , m 的值分别为( )。

福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查数学(文)试题(含答案)

福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查试题数学（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,0,1,2,2,A B x x n n Z =-==∈，则A B ⋂=（） A ．{}2 B ．{}0,2 C ．{}1,0,2- D ．∅2.复数z 满足()234i z i +=-，则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知()33f x x x =+，0.3222,0.3,log 0.3a b c ===，则（） A ．()()()f a f b f c << B ．()()()f b f c f a << C ．()()()f c f b f a << D ．()()()f b f a f c <<4.如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成.在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．14 B ．13C ．23D ．34 5.等差数列{}n a 的公差为1，125,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和为（） A ．50 B ．50- C ．45 D ．45-6.已知拋物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线与曲线C 交于,A B 两点，6AB =，则AB 中点到y 轴的距离是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是1111,,C D BC A D 的中点，则下列命题正确的是（）A ．//MN APB ．1//MN BDC ．//MN 平面11BBD D D ．//MN 平面BDP 8.如图是为了计算11111234561920S =++++⨯⨯⨯⨯的值，则在判断框中应填入（）A ．19?n >B ．19?n ≥C ．19?n <D ．19?n ≤ 9.函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的周期为π，()12f π=，()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ϕ的一个可能值为（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π10.设函数()()21,1,ln ,1,x a x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩若()()1f x f ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]1,2B ．[]0,2C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞ 11.已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为1256π，三视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A ．32B ．2C ．4D ．6 12.设函数()x f x x e -=-，直线y mx n =+是曲线()y f x =的切线，则m n +的最小值是（）A ．1e- B ．1 C ．11e - D ．311e +第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a 与b 的夹角为90︒，1,2a b ==，则a b -= ． 14.已知,x y 满足约束条件1,3,1,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最小值为．15.若双曲线22220,1()0:x y C a b a b -=>>的渐近线与圆()2221x y -+=无交点，则C 的离心率的取值范围为．16.已知数列{}n a 满足121,3a a ==，()1,3n n a a n n N n --=∈≥，{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，则2018a = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()()cos 2cos b A a c B π=--. （1）求B ；（2）若1,sin sin 2a b A C >=，ABC ∆的周长为33+，求ABC ∆的面积. 18.在如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒,PAB ∆为正三角形.（1）证明:AB PD ⊥；（2）若62PD AB =，四棱锥的体积为16，求PC 的长. 19.为提高玉米产量，某种植基地对单位面积播种数x 与每棵作物的产量y 之间的关系进行研究，收集了 11块实验田的数据，得到下表：技术人员选择模型21y a bx =+作为y 与x 的回归方程类型，令21,i i ii u x y υ==，相关统计量的值如下表:由表中数据得到回归方程后进行残差分析，残差图如图所示:（1）根据残差图发现一个可疑数据，请写出可疑数据的编号(给出判断即可，不必说明理由）；（2）剔除可疑数据后，由最小二乘法得到υ关于u 的线性回归方程u υβα=+中的0.03β=，求y 关于x 的回归方程；（3）利用（2）得出的结果，计算当单位面积播种数x 为何值时，单位面积的总产量w xy =的预报值最大？（计算结果精确到0.01)附:对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u u u υυυ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121ni ii n ii u nu unuυυβ==-⋅=-∑∑，u αυβ=-，30 5.48≈.20.过椭圆2222:1()0x E b b y a a +>>=的右焦点F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与E 交于,A B 两点，直线2l 与E 交于,C D 两点.当直线1l 的斜率为0时，42,22AB CD ==. （1）求椭圆E 的方程；（2）求四边形ABCD 面积的取值范围.21.已知函数()2ln 1f x x ax x =++-，()()11,x g x x e a R -=-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1x ≥时，()()2a f x ax g x ⎡⎤-≤⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线221:14x C y +=，曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程；（2）射线l 的极坐标方程为()0θαρ=≥，若l 分别与12,C C 交于异于极点的,A B 两点，求OB OA的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x x a =--+，其中0a >. （1）求函数()f x 的值域；（2）对于满足221b c bc ++=的任意实数,b c ，关于x 的不等式()()3f x b c ≥+恒有解，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BDCBA 6-10: BCADA 11、12：DC二、填空题13. 5 14. 2 15.23,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭16.1005- 三、解答题17. 解：（1）因为()()cos 2cos b A a c B π=--，由正弦定理得()()sin cos sin 2sin cos B A A C B =-- 所以()sin 2sin cos A B C B +=所以1cos 2B =，且()0,B π∈所以3B π=.（2）因为23A C π+=，所以2311sin sin sin cos sin 3222A A A A A π⎛⎫⎛⎫-=⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以23sin cos cos A A A ⋅=，()cos 3sin cos 0A A A -=，cos 0A =或3tan 3A =解得：6A π=或2π 因为a b >，所以2A π=所以，6C π=所以3,22a cb a ==因为33a b c ++=+，所以2,1,3a c b === 所以13sin 22ABC S bc A ∆==.18.（1）证明：取AB 中点为O ,连接,,PO DO BD ∵底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒, ∴ABD ∆为正三角形，DA DB = ∴DO AB ⊥又∵PAB ∆为正三角形， ∴PO AB ⊥又∵,DO PO O PO ⋂=⊂平面POD ,DO ⊂平面POD ， ∴AB ⊥平面POD ， ∵PD ⊂平面POD ， ∴AB PD ⊥.（2）法一：设2AB x =，则6PD x =，在正三角形PAB ∆中，3PO x =，同理3DO x =， ∴222PO OD PD +=，∴PO OD ⊥，又∵,PO AB DO AB O ⊥⋂=，DO ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ,∴21233163P ABCD V x x -=⨯⨯=，∴2x =，∵//,AB CD AB PD ⊥ ∴CD PD ⊥ ∴()2222264210PC PD CD=+=+=.法二：设2AB x =，则6PD x =，在正三角形PAB ∆中，3PO x =，同理3DO x =， ∴222PO OD PD +=， ∴PO OD ⊥，又∵,PO AB DO AB O ⊥⋂=，DO ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ,∴21233163P ABCD V x x -=⨯⨯=，∴2x =，连接OC ,∵在OBC ∆中，2,4,120OB BC OBC ==∠=︒，∴由余弦定理得222cos12027OC OB BC OB BC =+-⋅⋅︒=， ∴在RT POC ∆中，()()22222327210PC PO OC =+=+=.19.解：（1)可疑数据为第10组（2）剔除数据()10,0.25后，在剩余的10组数据中11101600100501010ii uu u =--===∑，1110144441010i i v v v =--===∑所以0.034500.03 2.5v u α=-⋅=-⨯= 所以v 关于u 的线性回归方程为0.03 2.5v u =+ 则y 关于x 的回归方程为212.50.03y x=+ （3）根据（2）的结果并结合条件，单位面积的总产量w 的预报值22.50.03xw x =+12.50.03x x=+1301.8332 2.50.03≤=≈⨯ 当且仅当2.50.03x x=时，等号成立，此时 2.55309.130.033x ==≈，即当9.13x =时，单位面积的总产量w 的预报值最大，最大值是1.83. 20.解：（1）由已知得：222ABa ==将x c =代入22221x y a b +=得2b y a =±，所以22222222b b CD a ===，所以24b =所以椭圆22:184x y E +=（2）①当直线12,l l —条的斜率为0，另一条的斜率不存在时，114222822ACBD S AB CD =⋅=⨯⨯=. ②当两条直线的斜率均存在时，设直线AB 的方程为2x my =+，则直线CD 的方程为12x y m=-+.设 ()()1122,,,A x y B x y 由222280x my x y =+⎧⎨+-=⎩，得()222440m y my ++-= ()()22216162321m m m ∆=++=+，2122242122m y y m m ∆+-==++ ()2212242112m AB m y y m +=+-=+（或：12122244,22m y y y y m m --+==++，()()()22212122421142m AB m y y y y m +⎡⎤=++-=⎣⎦+）用1m -取代m 得()222214214211212m m CD m m ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++ ∴()()22224214*********ACBDm m S AB CD m m ++=⋅=⨯⨯++ ()()42422424221252168252252m m m m m m m m m ++++-=⨯=⨯++++2288225m m=-++又22224m m +≥，当且仅当1m =±取等号所以[)22224,m m +∈+∞ 所以228648,82925ACBD S m m⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭++ 综上：四边形ACBD 面积的取值范围是64,89⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21.解：（1）依题意，()()2121210ax x f x ax x x x++'=++=>①当0a ≥时，()1210f x ax x '=++>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；②当0a <时，180a ∆=->，12118118,44a ax x a a----+-==，且120x x >>，令()()()1220a x x x x f x x--'=>得21x x x <<，令()0f x '<得20x x <<或1x x >，此时()f x 在()21,x x 上单调递增；在()()210,,,x x +∞上单调递减综上可得，①0a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增；②当0a <时，()f x 在118118,44a a a a ⎛⎫-+---- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在1181180,,,44a a a a ⎛⎫⎛⎫-+----+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减（2）法一：原不等式可化为()()20a f x ax g x ⎡⎤--≤⎣⎦，即()()1ln 110x a x x x e -+---≤ 记()()()1ln 11,1x h x a x x x e x -=+---≥，只需()0h x ≤即可. ①当0a ≤时，由1x ≥可知ln 10x x +-≥，()110x x e --≥，所以()0h x ≤，命题成立. ②当102a <≤时，显然()111x h x a xe x -⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭在[)1,+∞上单调递减，所以()()1210h x h a ''≤=-≤所以()h x 在[)1,+∞上单调递减，从而()()10h x h ≤=，命题成立.③当12a >时，显然()111x h x a xe x -⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭在[)1,+∞上单调递减，因为()1210h a '=->，()2212221112222420222a h a a ae a a a -'=+-≤+-=-< 所以在()1,2a 内，存在唯一的()01,2x a ，使得()00h x '=，且当01x x <<时，()0h x '> 即当01x x <<时，()()10h x h >=，不符合题目要求，舍去. 综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.法二：原不等式可化为()()20a f x ax g x ⎡⎤--≤⎣⎦，即()()1ln 110x a x x x e -+---≤记()()()1ln 11,1x h x a x x x e x -=+---≥，只需()0h x ≤即可. 可得()21111111x x x e h x a xe a x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()21,11x x e m x a x x -=-≥+，则()()()2122201x x x x e m x x -++'=-<+ 所以()m x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()112m x m a ≤=-. 12a ≤时，()10m ≤，从而()0m x ≤，所以()()110h x m x x ⎛⎫'=+≤ ⎪⎝⎭，所以()h x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10h x h ≤=，原不等式成立 ②当12a >时，()10m >， ()()22121244m 20212121a a a a e a a a a a a a --=-<-=<+++，所以存在唯一()01,2x a ∈，使得()00m x =，且当01x x <<时，()0m x >，此时()()110h x m x x ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭，()h x 在()01,x 上单调递增，从而有()()10h x h >=，不符合题目要求，舍去.综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 22.解：（1）221:44C x y +=，∵cos ,sin x y ρθρθ==，故1C 的极坐标方程：()223sin 14ρθ+=.2C 的直角坐标方程：()2224x y -+=， ∵cos ,sin x y ρθρθ==，故2C 的极坐标方程:4cos ρθ=.（2）直线l 分别与曲线12,C C 联立，得到()223sin 14ρθθα⎧+=⎪⎨=⎪⎩，则2243sin 1OA α=+， 4cos ρθθα=⎧⎨=⎩，则2216cos OB α=， ∴()22224cos 3sin 1OBOA αα=+()()2244sin 3sin 1αα=-+令2sin t α=，则()()22244311284OBt t t t OA =-+=-++ 所以13t =，即3sin 3α=±时，OB OA 有最大值433. 23.解：（1）∵0a >，∴2a -<∴()2,22,22,2a x a f x x a a x a a +≤-⎧⎪=--+-<<⎨⎪--≥⎩故()[]2,2f x a a ∈--+.（2）∵()221024b c bc b c +⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭，∴22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， ∵()21b c bc +=+，∴()2212b c b c +⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，∴223333b c -≤+≤. 当且仅当33b c ==时，()max 233b c +=，∴()max 323b c +=⎡⎤⎣⎦ 关于x 的不等式()()3f x b c +恒有解()()max max 3f x b c ⇔≥+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 即223a +≥，故232a ≥-，又0a >，所以232a ≥-.。

2018福建省质检福建省2018届高三普通高中毕业班4月质检数学文试题 Word版含答案

2018年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I4IeOCFw4D 1．已知全集U =R ，集合{}31|<≤-=x x A ，{}0,2,4,6B =，则A B ⋂等于A ．{}0,2B ．{}1,0,2- C ．{}|02x x ≤≤ D ．{}|12x x -≤≤ 2．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的y 的值为A ．4B ．5C ．8D ．103．某几何体的俯视图是正方形，则该几何体不可能是Ａ．圆柱Ｂ．圆锥Ｃ．三棱柱Ｄ．四棱柱4．函数()f x =的定义域是 A ．()0,2 B ．[]0,2 C ．()()0,11,2⋃ D ．[)(]0,11,2⋃ 5．“1a =”是“方程22220x y x y a +-++=表示圆”的Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件6．向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正n ()3,n n N ≥∈边形内的概率为n P ，下列论断正确的是A ．随着n 的增大，n P 减小B ．随着n 的增大，n P 增大C ．随着n 的增大，n P 先增大后减小D ．随着n 的增大，n P 先减小后增大7．已知0ω>，2π<ϕ，函数()sin()f x x =+ωϕ的部分图象如图所示．为了得到函数()sin g x x =ω的图象，只要将()f x 的图象 A ．向右平移4π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度 D ．向左平移8π个单位长度8．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且在),0[+∞单调递增，若(lg )0f x <，则x 的取值范围是A ．(0,1)B ．(1,10)C ．(1,)+∞D ．(10,)+∞9．若直线ax by ab +=<0,0a b >>）过点()1,1，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为A ． 1B ．2C ．4D ． 810．若ABC ∆满足2A π∠=，2AB =，则下列三个式子：①AB AC ，②BA BC ，③CA CB 中为定值的式子的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．311．已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>，一条渐近线为l ，抛物线2C ：24y x =的焦点为F ，点P 为直线l 与抛物线2C 异于原点的交点，则PF = A ．2 B ． 3 C ．4 D ．512．已知()g x '是函数()g x 的导函数，且()()f x g x '=，下列命题中，真命题是A ．若()f x 是奇函数，则()g x 必是偶函数B ．若()f x 是偶函数，则()g x 必是奇函数C ．若()f x 是周期函数，则()g x 必是周期函数D ．若()f x 是单调函数，则()g x 必是单调函数第Ⅱ卷<非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．复数()1i i +=__________．14．已知1sin 3α=，则cos2α=__________．15．已知y x ,满足4000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值是__________．16．在平面直角坐标系xOy 中， Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a ，对于任意P ∈Ω，均有Q ∈Ω，使得OQ OP a =+，则称a 为平面点集Ω的一个向量周期．现有以下四个命题：yscqAJo3Va ①若平面点集Ω存在向量周期a ，则ka (),0k k ∈≠Z 也是Ω的向量周期； ②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期；③若平面点集(){},0,0x y x y Ω=>>，则()1,2b =为Ω的一个向量周期； ④若平面点集()[][]{},0x y y x Ω=-=<[]m 表示不大于m 的最大整数），则()1,1c =为Ω的一个向量周期．其中真命题是＿＿＿＿<写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分>已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，432a a =，26S =。

2018年福建省三明市普通高中毕业班质量检查测试文科数学(附答案)

2018年福建省三明市普通高中毕业班质量检查测试文科数学（附答案）本试卷共5页．满分150分．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若命题：，则为A ．B ．C ．D ． 2．已知集合，，则A. B. C. D. 3．若复数满足是虚数单位，则复数的共轭复数A ．B ．C ．D ． 4．已知向量，，且，则C. D.5．《中国诗词大会》节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为宗旨，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识竞赛．现组委会要从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取2人进行比拼，记“甲被选上且乙不被选上”为事件，则事件的概率为A. B. C. D. 6．若为数列的前项和，且，则等于A ．B ．C ．D ．7．已知定义在上的奇函数，当时，恒有，且当时，，则A ．0B ．C ．D ．8．将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，则的可能取值为A. B.p 32,1x x x ∃∈>-R p ⌝32,1x x x ∀∈<-R 32,1x x x ∀∈-R ≤32,1x x x ∃∈<-R 32,1x x x ∃∈-R ≤{|13}A x x =-<<2{|280}B x x x =+->=B A ∅(1,2)-(2,3)(2,4)z ()3+4i 1i z =-(i )z z =17i 55--17i 55-+17i 2525--17i 2525-+(1,2)=a (2,)t =-b a//b ||+=a b 105A A 0.30.40.50.6n S {}n a n 22n n S a =-8S 255256510511R ()f x 0x ≥(2)()f x f x +=[]0,1x ∈()e 1x f x =-(2017)(2018)f f -+=e e 1-1e -()sin f x x x = (0)ϕϕ>a ()2cos2g x x =,a ϕπ1,62a ϕ==π1,22a ϕ==C. D. 9. 执行如图所示的程序框图，如果输入的是，输出的结果是7，则判断框中“”应填入A ．B ．C ．D ．10．已知某几何体的三视图如图所示，网格线上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为A. B.C. 18D.11．函数的零点个数为A ．B ．C ．D ．12．已知双曲线的左,右焦点分别是，过的直线与的右支交于两点，分别是的中点，为坐标原点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的离心率是 A ．BC ．D ．π,22a ϕ==π,26a ϕ==0,0n S ==56S >67S >78S >89S >933323364()()22log f x x x =-12342222:1(0,0)x y E a b a b-=>>12,F F 2F E ,A B ,M N 21,AF BF O MON △O E 552二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知中心是坐标原点的椭圆过点，且它的一个焦点为，则的标准方程为． 14．在等差数列中，若，则． 15．若直线将平面区域划分为面积成的两部分，则实数的值等于．16．如图，正方形的边长为，点分别在边上，且．将此正方形沿切割得到四个三角形，现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，则该三棱锥的内切球的体积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分 17．（12分）在△中，，，点在边上，且.（1）若，求；（2）若，求△的周长. 18．（12分）在四棱锥中，与相交于点，点在线段上，，且．（1）求实数的值；（2）若，, 求点到平面的距离．19．（12分）已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆C (1(20)，C {}n a 7π2a =111313sin 2cos sin 2cos =a a a a +++0ax y +=0,(,)|1,1x x y x y x y ⎧≥⎫⎧⎪⎪⎪Ω=+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≤⎩⎩⎭1:2a ABCD 3,E F ,AD CD 2AE DF ==,,BE BF EFABC AB =6C π=D AC π3ADB ∠=4BD =tan ABC∠AD ABC ABCD P -//,2,AB CD CD AB =AC BD M N AP (0)AN AP λλ=>//MN PCD 平面λ1,AB AD DP PA PB ====060BAD ∠=N PCD ΓF y 12y x =FEDCBA与轴相切，且关于点对称．（1）求和的标准方程；（2）过点的直线与交于，与交于，求证：． 20．（12分）近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1．图1图2（1）记“在年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在”为事件，试估计的概率；（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中(单位：年)表示二手车的使用时间，(单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．由散点图看出，可采用作为二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程，相关数据如下表（表中，）：①根据回归方程类型及表中数据，建立关于的回归方程；②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．附注：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为； E x ,E F ()1,0M -E ΓM l E ,A B Γ,CD CD AB2017(8,16]A A x y ea bxy +=y x ln i i Y y =101110i i Y Y ==∑4%10%()()()1122,,,,,n n u v u v u v v u αβ=+1221ˆˆˆ,ni i i nii u v nu vv u unu βαβ==-==--∑∑②参考数据：． 21．（12分）已知函数．（1）若曲线在处切线的斜率为，求此切线方程；（2）若有两个极值点，求的取值范围，并证明：．（二）选考题：共10分．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．22．选修4－4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）设与交于两点，求． 23.选修4－5：不等式选讲（10分）已知函数，，．（1）当时，解关于的不等式；（2）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．文科数学参考答案和评分细则一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

福建省龙岩市2018届高三下学期教学质量检查(4月)数学(文)+扫描版含答案

龙岩市 2018 年高中毕业班教学质量检查数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 12选项CDDAACBDDBBA二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13 ．714．315． 416．(2,2 3)223三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17 ．（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）由 S n2a n （1n N ），可得 S 1 2a 1 1， ∴a 1 2a 1 1，∴ a 11.1 分又 S 22a 2 1 ，∴a 1 a 2 2a 2 1，∴ a 2 2 .∵数列 { a n } 是等比数列，∴公比 qa 2 2 ， 3分a 1∴数列 { a n } 的通项公式为 a n2n 1 .（ 5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n lg a n (n 1)lg2 ，（ 6 分）∴数列 {b n a n } 的前 n 项和T n (b 1 a 1 ) (b 2 a 2 ) (b n a n ) =(0+1)+(lg2+2)+ +[(n-1)lg2+2 n-1 ][lg22lg2(n 1)lg2](122n 1 )＝ n(n1)lg 2 2n112分2（分组求和，求对一个和得3 分）18 ．（本小题满分12 分）解：（Ⅰ）记事件“获得台历的三人中至少有一人的红包超过5 元”为事件 M ， 5 名顾客中红包超过 5 元的两人分别记为A 1, A 2 ，不足 5 元的三人分别记为B 1, B 2,B 3 ，从这5 名顾客中随机抽取 3 人，共有抽取情况如下： A 1 A 2 B 1, A 1 A 2 B 2 , A 1 A 2B 3, A 1 B 1 B 2 ,A 1B 1 B 3, A 1B 2 B 3, A 2 B 1 B 2 , A 2 B 1B 3, A 2 B 2 B 3, B 1 B 2 B 3 ，共 10 种.4 分其中至少有一人的红包超过 5 元的是前 9 种情况，所以 P(M )9.6 分10（Ⅱ）（ⅰ）根据散点图可判断，选择y a bx 作为每天的净利润的回归方程类型比较.77i( x i x)( y i y)3484.29 b17139(x i x) 2268.86i 1ay bx 194.29 1322.8610310y x y103 13 x . 11x35y 35235352 . 121912PA ABDPABD .1PCBCDPCBD,PCEF 2PA PCP BDPAC3.EFAC, ACPC CEFPACEF // BD4EFABD BD ABDEF //ABD .6BDQAQ,CQ .ABDAQBDABDCBDABD∩ CBDBDAQ CBD .PC BCDAQ // PC .BCDCCQ BDABDCQAQ .8CQPA ABDPA // CQPAAQAPCQCQPA 310VA BCDVCABD1S ABD CQ1 123 3 333 2ABCD3 .12 2012Cec 3 c 2 a 2 b 23 a 2a2a 2b 2a 2 4b 2 .24P(1, 3)1312 a 24b2131b 21a 244b 24b 2∴椭圆 C 的方程为x 2y 2 1.4 分4（Ⅱ）当直线 OA 的斜率存在且不为0 时，设其方程为 y kx ，∵ A, B 分别为椭圆上的两点，且 OA OB 0 ，即 OAOB ，∴直线 OB 的方程为 y1x .k设 A(x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，把 ykx 代入椭圆 C ：x 2y 2 1，44k224，∴ 2， 6 分得 x 11 4k2 y 11 4k 224k 2 24 同理 x 24 4k 2 ，∴ y 24 k 2 ， 8分11 11∴|OB |2x 12y 12x 22 y 22|OA |211 5 10 分44k 24k2441 4k2 1 4k 24 k 24 k 2当直线 OA,OB 中的一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0 ，此时1111 1 1 5 . 11 分|OB |2a 2b 24 4|OA |2115 12 分综上所述，2 |OB | 2为定值 .|OA |421 ．（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）由 f xxm 2ln x m R ，得： f ( x) 1 m2 x 2 2xm, x (0,)( )x ,x 2xx 2设函数 g( x) x 2 2x m, x (0,)当 m1 时，即4+4 m 0 时， g (x)0 ， f ( x) 0 ，所以函数 f ( x) 在 (0, ) 上单调递增 . 当 m 1时，即4+4 m 0 时，令 g (x) 0 得 x 1 1 1 m ， x 21 1 m ， x 1 x 2当 1m0时，即 0 x 1x 2 时，在 (0, x 1 ) ( x 2 ,) 上， g( x) 0 ， f ( x) 0 ;在 ( x 1 , x 2 ) 上， g( x)0 ， f ( x) 0 .所以函数 f ( x) 在 (0, x 1 ) ， (x 2 , ) 上单调递增，在 ( x 1 , x 2 ) 上单调递减 .当 m0 时，即 x 1 0 x 2 时，在 (0, x 2 ) 上， g( x)0 ， f (x)0 ;在 ( x 2 , ) 上， g( x) 0 ， f (x) 0 .所以函数 f ( x) 在 (0, x 2 ) 上单调递减，在 ( x 2 , ) 上单调递增 .综上，当 m1时，函数 f ( x) 在 (0,) 上单调递增；1 m 0 f ( x)(0,1 1 m) (1+ 1 m, )(1 1 m,1+ 1 m)m 0 f (x) (0,1+ 1 m)(1+ 1+m,).5f (x)x1, x2x1x2g( x)x22x m0x111m, x2 1 1m x1x2m0,1m0 .6 4m 0,4f ( x2 )x2mx212ln x2m1 2ln x2x2x2m x222x22ln x2m12ln x2x21.8 x2m x2 (x22)(1,0)x211m(1,2).9h( x)2ln x x, x(1,2)21.10h '( x)xh '( x) 0x(1,2)h(x) x (1,2)h( x)h(1)12ln x2x2 1 x2(1,2)f (x)x1 , x2x1x2 f (x2 ) x21.12 2212x cos, y sin,2x2y2C212cos110x2y2 12x 11 0( x6)2y225.4lx1t cos, ty t sinC( x6)2y225t 214t cos240 A, B t1 ,t2t1, t2t1t214cos ,t1t2|PA|3|PB|4t1 =32t1 =32t2 =42t2 =42247t13t2414cos7272cos219k tan2l y( x1).102312f ( x)5| x 1| 2 | x 2 | 51x 2 x 1 2 x 4 5x8x8 2332 x 11 x 2x 4 5x00x 13x 1x 1 2x 4 5x21.4x3f (x)5 x | x8或 x 0 .53| x 1| m | x 2 |x6x2x 1mx2m x1 2 x25mx2x2m 27x 2m2x 11 xmx 2m xm2x 125x2x2m5 182231x1x1mx 2m xm111x 2m91 23( 1,m ).310。

福建省南平市2018届高三第二次(5月)综合质量检查数学文试题(解析版)

2018年南平市普通高中毕业班第二次综合质量检查考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 己知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由解不等式，解得A集合，再两集合做交运算可得结果。

解析：由题意可得，解得，所以，选B.点睛：集合运算题型，先要化简集合，如本题的解不等式得到集合B,再进行集合的结合运算。

2. 己知为虚数单位，若复数满足，则（）A. B. C. 1 D. -1【答案】A【解析】分析：先解出复数z，再利用复数的模运算及复数的除法与乘方运算化简可得复数z。

解析：由题意可得，所以选A.点睛：记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；(3)＝－i；(4)－b＋a i＝i(a＋b i)；(5)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N)．3. 已知双曲线的焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意焦点在圆上，且焦点x轴，得到c=5,再解得a,b，可求得双曲线的渐近线方程。

解析：由题意可得双曲线的焦点在x轴，由焦点在圆上，所以焦点坐标为，即c=5,所以，所以，则双曲线的渐近线方程为，选C.点睛:解圆锥曲线的题，要先定位再定量，本题考查的是双曲线基本量的计算，较易。

4. 五四青年节活动中，高三(1)、(2)班都进行了3场知识辩论赛，比赛得分情况的茎叶图如图所示（单位：分），其中高三(2)班得分有一个数字被污损，无法确认，假设这个数字具有随机性()，那么高三(2)班的平均得分大于高三(1)班的平均得分的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由高三(2)班的平均得分大于高三(1)班的平均得分，求得x取值范围，再根据古典概形求得概率。

解析：由径叶图可得高三（1）班的平均分为，高三（2）的平均分为，由，得10>x>5,又，所以x可取，6，7，8，9，概率为，选D.点睛：求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数.常常用到排列、组合的有关知识，计数时要正确分类，做到不重不漏.5. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】C【解析】分析：选把变形为，再由图像平移到函数的图象，可得结果。

福建省宁德市2018届普通高中毕业班5月质量检查文科数学试卷Word版含解析

福建省宁德市2018届普通高中毕业班5月质量检查文科数学试卷本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷1至3页，第II 卷4至6页，满分150分．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知复数z 满足z i iz 3-=+，则z =（A ）12i + （B ）12i - （C ）22i + （D ）22i - （2）已知集合{}1,0,1,2A =-，{}220B x x x =--≤，则x A ∈是x B ∈的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）右图中的程序框图表示求三个实数,,a b c 中最大数的算法，那么在空白的判断框中，应该填入（A ）a x > （B ）b x >（C ）c x < （D ）c x >（4）已知3sin ,,52θθπ⎛⎫=∈π ⎪⎝⎭，则tan()4θπ+=（A ）7- （B ）7（C ）17- （D ）17（5）已知双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的焦点到渐近线的距离为3，则C 的离心率为（A （B （C ）32 （D ）52（6）函数2()()ax bf x x c -=-的图象如图所示，则下列结论成立的是（A ）0,0,0a b c >>> （B ）0,0,0a b c <<>O正视图俯视图侧视图（C ）0,0,0a b c >>< （D ）0,0,0a b c <>>（7）某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（A ）4 （B ）12（C ）24 （D ）30（8）已知函数21,0,()1,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩ 若113221(log ),(2),(3)3a f b f c f -===，则（A ）a b c >> （B ）c b a >> （C ）a c b >> （D ）b c a >> （9）已知函数()sin(2)2f x x π=-，下列结论错误．．的是（A ）()f x 的最小正周期为π（B ）()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数（C ）()f x 的图象关于点3,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称（D ）()f x 的图象关于直线54x π=对称（10）过点(1,1)M 的直线与椭圆22143x y +=交于,A B 两点，且点M 平分弦AB ，则直线AB 的方程为（A ）4370x y +-= （B ）3470x y +-= （C ）3410x y -+= （D ）4310x y --=（11）边长为2的两个等边ABD ∆,CBD ∆所在的平面互相垂直，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（A （B ）6π （C ）203π（D ）16π（12）已知方程23ln 02x ax -+=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（A ）2e 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）2e 0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ）2e 0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）2e 0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦福建省宁德市2018届普通高中毕业班5月质量检查文科数学试卷第II 卷注意事项：第II 卷共3页，须用黑色签字笔在答题卡上书写作答．若在试卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）某单位有420名职工，现采用系统抽样方法抽取21人做问卷调查，将420人按1,2，…,420随机编号，则抽取的21人中，编号落入区间[]281,420的人数为 . （14）在ABC ∆中，3,4AB AC ==，M 是边BC 的中点，则AM BC ⋅=.（15）不等式组2,6,20x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域为Ω，若直线10ax y a -++=与Ω有公共点，则实数a 的取值范围是 .（16）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,22,2,44A C c a b ===-，则a = . 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．（17）(本小题满分12分)已知递增等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且2441,1,a a S ++成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设112n n n n na ab a a ++=+-，求数列{}n b 的前n 项和n T .（18）(本小题满分12分)某校为了解本校学生在校小卖部的月消费情况，随机抽取了60名学生进行统计．得到如下样本频数记月消费金额不低于300元为“高消费”，已知在样本中随机抽取1人，抽到是男生“高消费”的概率为16.（Ⅰ）从月消费金额不低于400元的学生中随机抽取2人，求至少有1人月消费金额不低于500元的概率；（Ⅱ）请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“高消费”与“男女性别”有关，说明理由.下面的临界值表仅供参考：7.879（参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）（19）(本小题满分12分)在四棱锥P ABCD-中，,ABC ACD∆∆都为等腰直角三角形，90ABC ACD︒∠=∠=，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：//BE平面PCD；（Ⅱ）若PAC∆是边长为2的等边三角形，PB=求三棱锥P BEC-的体积．DCEBAP（20）(本小题满分12分)已知抛物线Γ：22(0)x py p =>上一点(4,)P m 到焦点F 的距离为54m ．（Ⅰ）求Γ的方程；（Ⅱ）过点(0,2)C 的直线交Γ于,A B 两点，以AB 为直径的圆交y 轴于,M N 两点，证明：OM ON ⋅为定值．（21）(本小题满分12分)已知函数()(1)e x f x x k =--．（Ⅰ）当0x >时，求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x k +<．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线6cos ,:3sin x C y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若点,A B 为曲线C 上的两点，且OA OB ⊥，求OA OB ⋅的最小值．（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()21f x x x a =+--(0)a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()f x x ≤的解集；（Ⅱ）当12x ≤-时，不等式2()230f x t t +++≥对任意t ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．福建省宁德市2018届普通高中毕业班5月质量检查文科数学试卷参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则。

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2018年12月高三月考数学（文科）试卷（答题时间120分钟．满分为150分）参考公式：数据x 1,x 2,…,x n 的平均值x ，方差为：s 2=22212()()()n x x x x x x n-+-++-一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,2,3}，N ＝{3,4,5}，则M ∩(ðU N )＝( )A.{1,2}B.｛4,5｝C.｛3｝D.｛1,2,3,4,5｝2. 复数z=i 2(1+i )的虚部为( )A.1B. iC. -1D. - i3.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A.π3 B.π37 C.π320D.π 4．在等比数列}{n a 中，32-=a ，64-=a ，则8a 的值为( ) A ．–24B ．24C ．±24D ．–125．在四边形ABCD 中，“DC AB 2=”是“四边形ABCD 是梯形”的（） A ．充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 6. 方程062=-+x e x的解一定位于区间（）A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（5，6）7．如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（）A ．41π-B ．4π C ．81π-D ．与a 的取值有关8. 在三角形ABC 中，CBBC AB A sin sin ,7,5,120则===的值为（）A ．58 B ．85 C ．35 D ．53 9.设⎩⎨⎧<+-≥--=0,620,12)(2x x x x x x f ，若2)(>t f ，则实数t 的取值范围是( )78 9 64 4 6 4 7 5A ．),4(1,(+∞⋃--∞） B.),3(2,(+∞⋃-∞） C ．),1(4,(+∞⋃--∞） D.),3(0,(+∞⋃-∞）10．设α表示平面，b a ,表示直线，给定下列四个命题：其中正确命题的个数有( )①αα⊥⇒⊥b b a a ,// ②αα⊥⇒⊥b a b a ,// ③αα//,b b a a ⇒⊥⊥ ④b a b a //,⇒⊥⊥αα A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11．右图是某次歌唱比赛中，七位评委为某选手打出分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A.84，4.84B.84，1.6C.85，1.6D.85，412．设)('x f 是函数)(x f 的导函数，将)(x f y =和)('x f y =的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）13．已知,x y 满足约束条件50,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则y x z +=2的最小值为 .14. 右面是一个算法的程序框图，当输入的值x 为20时，则其输出的结果是 .15.若一个圆的圆心在抛物线24x y -=的焦点处，且此圆与直线0143=-+y x 相切，则圆的方程是 .16. 对任意实数x 、y ，定义运算x *y =ax +by +c xy ，其中a 、b 、c 为常实数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算.现已知2*1=3，2*3=4，且有一个非零实数m ，使得对任意实数x ，都有x *m =2x ，则m = .三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知(sin ,cos )a x x =，)cos ,(cos x x =，f (x )=∙ ⑴ 求f (x )的最小正周期和单调增区间； ⑵ 如果三角形ABC 中，满足f (A )=12，求角A 的值． 18．（本小题满分12分）如图在棱长都相等的正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直于底面）ABC-A 1B 1C 1中，D,E 分别为AA 1，B 1C 的中点.⑴ 求证：DE ∥平面ABC ； ⑵ 求证：B 1C ⊥平面BDE.19．（本小题满分12分）下表为某体育训练队跳高、跳远成绩的分布，共有队员40人，成绩分为1～5五个档次，例如表中所示跳高成绩为4分，跳远成绩为2分的队员为5人.将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，该卡片队员的跳高成绩为x 分，跳远成绩为y 分. ⑴求m +n 的值；⑵求x =4的概率及x ≥3且y =5的概率．D B A B 1120.（本小题满分12分）数列{a n }的前n 项和为S n .且点（n S n ,）在函数x x x f 23)(2-=的图象上.⑴求数列{a n } 的通项公式； ⑵设13+=n n n a a b ，n T 是数列{n b }的前n 项和，求使得n T 60m <对所有的*N n ∈都成立的最小值m ．21．（本小题满分12分）已知函数b ax x x f ++=23)(),(R b a ∈⑴ 若函数)(x f 在2,0==x x 处取得极值，且极小值为2-,求b a ,的值．⑵ 若]1,0[∈x ，函数)(x f 在图象上任意一点的切线的斜率为k ，求k ≤1恒成立时a 的取值范围．22．（本小题满分14分）设21,F F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右两个焦点，若椭圆C 上的点21,)23,1(F F A 到两点的距离之和等于4. ⑴ 求出椭圆C 的方程和焦点坐标； ⑵ 过点P （0，32）的直线与椭圆交于两点M 、N ，若OM ⊥O N ，求直线MN 的方程.2018年12月高三月考数学（文科）答题卷（答题时间120分钟，本试卷满分150分）题号一二三总分17 18 19 20 21 22得分一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上） 13． 14. 15． 16.三、解答题（大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解：18．解：學校班级考号姓名密封线内不要答题DCBAB 1119．解：20．（本题满分12分）解：21．（本题满分12分）解：22．解：A1B C AD2018年12月高三月考数学（文科）参考答案一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B A B A A D D B C C二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）13． 25-14. 0 15． 161)161(22=++y x 16. 3三、解答题：17．本题考查向量、二倍角和辅助角公式、三角函数性质和三角形的有关性质，要求学生能运用所写的知识解决实际问题.满分12分解：⑴f (x )= sin x cos x +x 2cos ………1分 =21x 2sin +x 2cos 2121+………2分=22sin(2x+4π)+21………3分最小正周期为π，…………………4分单调增区间[k π-83π,k π+8π]（k ∈Z ）……………………6分 ⑵由21)(=A f 得sin(2A+4π)=0, …………7分 4π<2A+4π<49π,……………9分 ∴2A+4π=π或2π∴A =83π或87π…………………… 12分18．本题主要考察空间线线、线面、面面的位置关系，考查空间想象和推理、论证能力，同时也可考察学生灵活利用所学的知识解决问题的能力. 解：（1）取BC 中点G ，连结AG ，EG ， ∵G ，E 分别为CB ，CB 1的中点，∴EG ∥BB 1,且BB 1=2EG ，又∵正三棱柱ABC-A 1B 1C 1，∴E G ∥AD ，EG=AD∴四边形ADEG 为平行四边形.∴A G ∥DE ∵AG ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC …………6分所以D E ∥平面ABC（2）取BC 中点G∵正三棱柱ABC-A 1B 1C 1，∴BB 1⊥平面ABC .∵AG ⊂平面ABC ，∴AG ⊥BB 1，∵G 为BC 的中点，AB=AC ，∴A G ⊥BC∴AG ⊥平面BB 1C 1C ，∵B 1C ⊂平面BB 1C 1C ，∴A G ⊥B 1C∵A G ∥DE ，∴DE ⊥B 1C, ∵BC=BB 1，B 1E=EC ，∴B 1C ⊥BE∵BE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，B E ∩DE=E ，∴B 1C ⊥平面BDE …………12分19．本题主要考察学生的对统计图表的认识，古典概率，同时也考察学生信息收集与数据处理的能力.解：(1) m +n =40-37=3 答：…6分（2）．当x =4时的概率为1940P =,……………9分当x ≥3且y =5时的概率为2110P =．答：……………12分20．本题主要考查学生对数列的知识的处理，同时考查学生对式的运算能力和应变能力.解：（1）因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n. ………1分当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[])1(2)132---n n （＝6n －5. ……4分当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5， …5分所以，a n ＝6n －5 （n N *∈） ……（6分）（2）由（Ⅰ）得知13+=n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3-+-n n ＝)161561(21+--n n ，（7分）故T n ＝∑=ni i b 1＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）.（10分）因此，要使21（1－161+n ）<60m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足21≤60m ，即m ≥30，所以满足要求的最小值m 为30. （12分）21．本题主要考查函数、导数的基本知识以及不等式的恒成立问题，同时考查学生的逻辑推理能力和灵活应用知识的能力.解：（1）由ax x x f 23)(2+=' 得0=x 或32ax -= ∴232=-a得a =-3. ……………………………………3分当20<<x 时， 0)(<'x f ，当2>x 时0)(>'x f 故当2=x 时)(x f 取得极小值，248)2(-=++=b a f 所以2=b …………6分（2）当]1,0[∈x ，123)(2≤+='=ax x x f k 恒成立，即令0123)(2≤-+=ax x x g 对一切[0,1]x ∈恒成立，………9分只需⎩⎨⎧≤+=≤-=022)1(01)0(a g g 即1-≤a所以a 的取值范围为]1,(--∞. ………………………………12分22．本题考查解析几何的基本思想方法，要求学生能正确分析问题，寻找较好的解题方向，同时兼顾考查算理和逻辑的能力，数形结合能力. 解：（Ⅰ）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.；又点.1,31)23(21,)23,1(22222===+c b b A 于是得因此在椭圆上；所以椭圆C 的方程为).0,1(),0,1(,1342122F F y x -=+焦点，………6分（Ⅱ）直线MN 不与x 轴垂直，∴设直线MN 方程为y =kx +32，代入椭圆C 的方程得（3+4k 2)x 2+12kx -3=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-21234k k +, x 1x 2=-2334k+,且△>0成立. 又OA OB ⋅= x 1x 2+ y 1y 2= x 1x 2+( kx 1+32)(kx 2+32)= -223(1)34k k ++-221834k k ++94=0，∴16k 2=5,k =∴MN 方程为y =+32……………14分。

【数学】福建省龙岩市2018届高三毕业班教学质量检查试题(文)(解析版)

福建省龙岩市2018届高三毕业班教学质量检查数学试题（文）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】求解二次不等式可得：，则，由Venn图可知图中阴影部分为：.本题选择D选项.2. 复数（为虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，则复数（为虚数单位）的虚部为.本题选择B选项.3. 设，满足约束条件，则目标函数的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标还是的几何意义可知，目标函数在点处取得最小值，其最小值为：.本题选择A选项.4. 如图是某校高三（1）班上学期期末数学考试成绩整理得到的频率分布直方图，由此估计该班学生成绩的众数、中位数分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】频率分布直方图中，考查最高的条形图可知该班学生成绩的众数为，设中位数为，由题意可得：，求解关于实数的方程可得：.综上可估计该班学生成绩的众数、中位数分别为，.本题选择D选项.5. 函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】整理函数的解析式有：结合三角函数的性质可知，函数的单调递增区间满足：，求解不等式可得函数的单调递增区间是.本题选择B选项.6. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中两个小矩形面积相等，则该“堑堵”的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的侧面积S==4+4，故选：C．7. 已知直线：与：，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若，则或，经检验，当时，与重合，∴，故是充分不必要条件，故选A．8. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】输入s=0，n=1＜2018，s=0，n=2＜2018，s=﹣1，n=3＜2018，s=﹣1，n=4＜2018，s=0，n=5＜2018，…，由2018=504×4+2得，输出s=0，故答案为：C．9. 函数的图象如图所示，下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】如图所示，表示函数在点处切线的斜率，表示函数在点处切线的斜率，表示直线的斜率，结合所给的函数图像可知：，即.本题选择A选项.10. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，当点位于第二象限时，过点作，轴于点，由抛物线的定义可得：，由平行线的性质结合相似三角形的性质可得：，据此有：，则，直线的方程为：，联立直线方程与抛物线方程有：.结合焦点弦公式可得：.结合对称性可知，当点位于第三象限时仍然有.综上可得：.本题选择C选项.11. 已知向量，满足，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，，两式相加可得：如图所示，在平面直角坐标系中，，以坐标原点为圆心，为半径绘制单位圆，为圆的直径，则为满足题意的向量，其中，据此可得：，，据此可得：，，据此可得：，结合三角函数的性质可得：当时，，当时，，综上可得：的取值范围是.本题选择D选项.12. 已知正方体的棱长为，点是底面的中点，点是正方形内的任意一点，则满足线段的长度不小于的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，正方形内与点距离相等的点组成的轨迹为圆，该圆与点P构成一个圆锥，如图所示，满足题意时，圆的半径，如图所示，正方形内满足题意的点构成图中的阴影部分，由几何概型计算公式可得，满足题意的概率值为：.本题选择B选项.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分.13. 函数在区间上的最大值为__________．【答案】8【解析】由函数的解析式可知函数是定义在区间上的单调递减函数，则函数的最大值为：.14. 已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于__________．【答案】3【解析】不妨考查焦点到准线的距离：，由题意结合双曲线的性质有：，求解方程组可得：，则此双曲线的焦距为：.15. 如图，中，，为边上的一点，，，，则__________．【答案】【解析】在△BCD中应用正弦定理有：，则，，则，在△ACD中，由余弦定理有：.16. 已知函数，则的值为__________．【答案】3027【解析】考查函数有：，则，，两式相加有：，函数关于点中心对称，则，则，，两式相加有：，据此可得的值为：.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知是数列的前项和，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和.解：（Ⅰ）因为①，所以②，②-①得：，即，又，所以.（Ⅱ），令，则，所以.18. 某地随着经济的发展，居民收入逐年增长.该地一建设银行统计连续五年的储蓄存款（年底余额）得到下表：年份储蓄存款（千亿元）为便于计算，工作人员将上表的数据进行了处理（令，），得到下表：时间储蓄存款（Ⅰ）求关于的线性回归方程；（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出关于的回归方程；（Ⅲ）用所求回归方程预测到年年底，该地储蓄存款额可达多少？附：线性回归方程，其中，.解：（Ⅰ），，，，，，∴.（Ⅱ），，代入得到：，即.（Ⅲ）∴，∴预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元.19. 已知空间几何体中，与均为边长为的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面平面，平面平面.（Ⅰ）试在平面内作一条直线，使得直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明；（Ⅱ）求三棱锥的体积.解：（Ⅰ）如图所示，取中点，取中点，连结，则即为所求.证明：取中点，连结，∵为腰长为的等腰三角形，为中点，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，同理可证平面，∴，∵平面，平面，∴平面.又，分别为，中点，∴，∵平面，平面，∴平面.又，平面，平面，∴平面平面，又平面，∴平面.（Ⅱ）连结，取中点，连结，则，由（Ⅰ）可知平面，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等.又是边长为的等边三角形，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，∴平面，∴，又为中点，∴，又，，∴.∴.20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为和，离心率是，直线过点交椭圆于，两点，当直线过点时，的周长为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）当直线绕点运动时，试求的取值范围.解：（Ⅰ）∵的周长为，∴，又，∴，∴，∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）设，两点坐标分别为，，当直线与轴重合时，点与上顶点重合时，，当直线与轴重合时，点与下顶点重合时，，当直线斜率为时，，当直线斜率存在且不为时，不妨设直线方程为，联立，得，则有，①②设，则，代入①②得③④∴，即，解得，综上，21. 已知，.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.解：（Ⅰ），当时，，.∴在上单调递增；当时，由，得.当时，；当时，.所以在单调递减；在单调递增.（Ⅱ）令，问题转化为在上恒成立，，注意到.当时，，，因为，所以，，所以存在，使，当时，，递减，所以，不满足题意.当时，，当时，，，所以，在上单调递增；所以，满足题意.综上所述：.22. 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.（Ⅰ）求直线和曲线的普通方程；（Ⅱ）直线与轴交于点，与曲线交于，两点，求.解：（Ⅰ），化为，即的普通方程为，消去，得的普通方程为.（Ⅱ）在中令得，∵，∴倾斜角，∴的参数方程可设为即，代入得，，∴方程有两解，，，∴，同号，.23. 已知函数.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若不等式的解集包含，求实数的取值范围. 解：（Ⅰ）时，或或，或或，解集为.（Ⅱ）由已知在上恒成立，∵，，∴在上恒成立，∵的图象在上递减，在上递增，∴，∴的取值范围是.。

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福建省2018年普通高中毕业班质量检查数学 (文科)试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，共8页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)．如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k )=k n kk n )p (p C --1．球的表面积公式 S =4πR 2，其中R 表示球的半径．球的体积公式 V =34πR 3，其中R 表示球的半径．第I 卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把正确答案填在题目后面的括号内．1．已知集合A={x |-2，-1，0,1，2}，B={2，3}，则A ∪B 为( )A ．{2}B ．{2，3}C ．{-2，-1，0,1，2}D ．{-2，-1，0,1，2，3} 2．不等式032>+-x x 的解集是( ) A ．(-3,2) B ．(2，+∞)C ．(-∞，-3)∪(2，+∞)D ． (-∞，-2)∪(3, +∞) 3．双曲线4x 2-y 2=1的渐近线方程是( )A ．4x ±y =0B ．x ±4y =0C ．x ±2y =0D ．2x ±y =0 4．已知函数),x (),x (x )x (f x0203>≤+=则f ( f (-2))的值为( )A ．-1B ．41C ．2D ．4 5．已知A 、B 为球面上的两点，O 为球心，且AB =3，∠AOB =120°，则球的体积为( ) A ．29π B ． π34 C ．36π D ． π3326．已知二次函数y=x 2-2ax+1在区间(2，3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤2或a ≥3 B ．2≤a ≤3 C ． a ≤-3或a ≥-2 D ．-3≤a ≤-2 7．已知条件p : k =3，条件q ：直线y=kx +2与圆x 2+y 2=1相切，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且S n 是a n 与1的等差中项，则a n 等于( ) A ．1 B ．-1 C ．(-1)n D ．(-1)n-19．若m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是( ) A ．若m ∥α，m ⊂β，α∩β=n ，则m ∥n B ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n C ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n D ．若α∩β =m ，m ⊥n ，则n ⊥α10．函数y=A sin(ωx+φ)图象的一部分如图所示，则此函数的解析式可以写成( ) A ．y =sin(x +8π)B ．y =sin(2x +8π)C ．y =sin(2x +4π)D ．y =sin(2x -4π)11．某小组有12名学生，其中男生8名，女生4名，从中随机抽取3名学生组成一兴趣小组，则这3 名学生恰好是按性别分层抽样得到的概率为 ( ) A ．3122418C C C B ．3121428C C C C ．3121428A A A D ．3121428A A A12．若函数f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (2)=0，则x)x (f )x (f --＜0的解集为( )A ．(-2,0)∪(0,2)B ．(-∞，-2)∪(0,2)C ．(-∞，-2)∪(2，+∞)D ．(-2,0)∪(2，+∞)第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分。

共16分．请把正确答案填在题目后面的横线上．13．二项式(21xx +)6的展开式中，常数项为_____________.14．椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为____． 15．已知向量a =(1，1)，b =(sin x ，-cos x )，x ∈(0，π)，若a ∥b ，则x 的值是_______． 16．阅读下面材料，并回答问题：设D 和D 1是两个平面区域，且D 1 ⊂D ．在区域D 内任取一点M ，记“点M 落在区域D 1内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )=的面积的面积D D 1.已知区域E ={(x ，y)|0≤x ≤3，0≤y ≤2}，F ={(x ，y)|0≤x ≤3，0≤y ≤2，x ≥y }，若向区域E 内随机投掷一点，则该点落入区域F 内的概率为________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明。

证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知函数f (x )=cos 2x +sin x cos x (x ∈R )(I)求f (8π3)的值； (Ⅱ)求f (x )的单调递增区间．在数列{}n a 中，a 1=1，a n +1=a n +c (c 为常数，n ∈N *)，且a 1，a 2，a 5成公比不等于1的等比数列．(Ⅰ) 求c 的值； (Ⅱ) 设b n =11+n n a a ，求数列{}n b 的前n 项和S n ．19．(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1，和CC 1的中点． (I)求证：EF ∥平面ACD ，；(Ⅱ)求异面直线EF 与AB 所成的角；(Ⅲ) 设点P 在棱BB 1上，且BP=36求二面角P-AC-B 的大小．20．(本小题满分12分)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值υ(美元)与其重量ω (克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元． (I)写出υ关于ω的函数关系式；(Ⅱ)若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；(Ⅲ)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n 克拉，试用你所学的数学知识证明：当m=n 时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率=原有价值现有价值原有价值-³100％；在切割过程中的重量损耗忽略不计)已知函数f (x )=ax 3+bx 2-x (x ∈R ，a 、b 是常数，a ≠0)，且当x =1和x =2时，函数f (x )取得极值． (I)求函数f (x )的解析式；(Ⅱ)若曲线y =f (x )与g (x )= -3x -m (-2≤x ≤0)有两个不同的交点，求实数m 的取值范围.22．(本小题满分14分)已知定点A (a ，O)( a >0)，直线l 1 ： y =-a 交y 轴于点B ，记过点A 且与直线l 1相切的圆的圆心为点C ．(I)求动点C 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)设倾斜角为α的直线l 2过点A ，交轨迹E 于两点 P 、Q ，交直线l 1于点R ．(1)若tan α=1，且ΔPQB 的面积为2，求a 的值； (2)若α∈[6π，4π]，求|PR|²|QR|的最小值．2018年福建省普通高中毕业班质量检查数学(文科)试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 6．A 7．A 8．D 9．A 10．C 11．B 12．A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分．13．15；14．2；15．34π；16．23三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明。

证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查三角函数的倍角公式、和角公式，三角函数的图象与-眭质等基础知识；考查理解能力和运算能力．满分12分.解：1cos21()sin222xf x x+=+……………………………………………………(4分)122)22221)42x xxπ=++=++ (6))311(I)()8222fππ=+=…………………………………………………(8分)(II)222242k x kπππππ-≤+≤+令…………………………………………(10分)322244k x kππππ∴-≤≤+即3()88k x k k Zππππ-≤≤+∈时，f(x)单调递增.∴f(x)单调递增区间为[38kππ-，38kππ+]()k Z∈……………………(12分)18．本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识；考查化归与转化的思想方法：考查推理与运算能力．满分12分．解：(Ⅰ)∵a n+1=a n+c,a1=1,c为常数,∴a n=1+(n-1)c.………………………………………………………………(2分)∴a2=1+c,a5=1+4c.又a 1,a 2,a 5成等比数列,∴(1+c )2=1+4c ,解得c =0或c =2……………………………………………(4分) 当c =0,a n+1=a n 不合题意,舍去.∴c =2.………………………………………………………………………(6分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知,a n =2n -1, ∴111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+，……………(10分) ∴S n =b 1+b 2+…+b n=111111[(1)()()]23352121n n -+-++--+ = 11(1)221n -+ = 21nn +.……………………………………………………………(12分)19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想象能力，逻辑思维能力和探索问题、解决问题的能力．满分12分．解法一：如图，分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 D -xyz ，由已知得D (0,0,0)、A (2,0,0)、B (2,2, 0)、C (0,2,0)、B l (2,2,2)、D l (0,0,2)、E (1,0,2)、F (0,2,1)． …………………………………………(2分)(Ⅰ)易知平面ACD 1的一个法向量是DB=(2,2,2)．………………………(4分)又∵EF=(-1,2,-1)，由EF ²1DB= -2+4-2=0，∴EF ⊥1DB，而EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1……………………(6分)(Ⅱ) ∵AB=(0,2，0)，cos<EF ,AB>=||||EF AB EF AB ⋅==⋅∴异面直线EF 与AB 所成的角为arccos36……………………(8分). (Ⅲ)∵BP =36，∴P (2，2，36). 设n =(x ，y ，z )是平面P AC 的一个法向量，则0,0.n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∵AP =(0，2，36), AC =(-2，2，0)，∴220,20,x y y z -+=⎧⎪⎨=⎪⎩取(1,1,n =. 易知1(0,0,2)BB =是平面ACB 的一个法向量，∴cos<n ，1BB>=11||||n BB n BB ⋅==⋅…………(10分)∴二面角P -AC -B 的大小为30°. ………………………………(12分)解法二：(Ⅰ)同解法一知(Ⅰ)同解法一知EF=(-1,2，-1) ，1AD =(-2,0，2)，AC = (-2,2，0)，∴AC -1AD =EF ， ∴EF 、AC、1AD 共面.又∵EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1. ……………………………(4分)(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一．解法三：(Ⅰ)取AD 1的中点K ，连结EK 、KC ，在△AA 1D 1中，EK ∥AA 1，且EK =12AA 1， ∵FC =12CC 1，CC 1∥AA 1，∴FCEK ， ∴四边形EKCF 为平行四边形， ∴EF ∥CK ．又∵CK ⊂平面ACD 1，EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1. (4分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知EF ∥CK ，又AB ∥CD ，∴∠DCK 就是异面直线AB 和EF 所成的角(或补角)．连DK ，∵CD ⊥平面AD 1，DK ⊂平面AD 1，∴CD ⊥DK ，在Rt △CDK 中，DC =2，DK tan ∠DCK =2， ∴异面直线AB 和EF 所成的角为arctan2．…………………(8分) (Ⅲ)连结BD 交AC 于O ，连OP ，∵四边形ABCD 为正方形，∴BO ⊥AC ，而OB 是PO 在平面ABCD 上的射影，由三垂线定理得OP ⊥AC ，∴∠BOP 为二面角P —AC —B 的平面角．…………………………(10分)在Rt ΔPBO 中，tan ∠BOP =∴二面角P-AC-B 的大小为30°．…………………(12分)解法四：(Ⅰ)取D 1C 1的中点H ，连结EH ，FH ，A 1C 1， ∵E 为A 1D 1的中点，∴EH ∥A l C l ，而A 1C 1∥AC ，∴EH ∥AC ，又∵F 为CC 1的中点，∴HF ∥D 1C ． ∵EH 与HF 相交，D 1C 与AC 相交，∴平面EHF ∥平面ACD 1，EF ⊂平面EHF ， ∴EF ∥平面ACD 1． ………………(4分) (Ⅱ)、(Ⅲ)同解法三． 20．本小题主要考查函数与不等式等基础知识；考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分．解：(Ⅰ)依题意设v =kω2，……………………………………………………(2分) 又当ω=3时，v =54000，∴k =6000，…………………………………(3分) 故v =6000ω2．………………………………………………………(4分) (Ⅱ)设这颗钻石的重量为a 克拉，由(Ⅰ)可知，按重量比为l ∶3切割后的价值为 6000(14a )2+6000(34a )2．…………………………………………… (6分) 价值损失为 6000a 2一[6000(14a )2+6000(34a )2]．…………………………………(7分) 价值损失的百分率为2222136000[6000()6000()]440.37537.5%6000a a a a-+== 答：价值损失的百分率为37.5％．……………………………………(8分)(Ⅲ)证明：价值损失的百分率应为22222222()6000()(60006000)2126000()()()2m n m n m n mn m n m n m n +⋅+-+=≤=+++，等号当且仅当m=n 时成立.即把一颗钻石切割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率达到最大………………(12分)21．本小题主要考查导数、函数的极值、方程与不等式等基础知识；考查化归及数形结合的思想方法；考查分析问题、解决问题的能力．满分12分．解：(Ⅰ)()f x '=3ax 2+2bx -1，……………………………………………………………(2分)依题意，(1)f '=(2)f '=0，即3210,12410.a b a b +-=⎧⎨+-=⎩解得a =16-，b =34，经检验a =16-，b =34符合题意. ∴3213()2064f x x x x m =----=.…………………………………………(4分)(Ⅱ)曲线y =f (x )与g (x )=-3x -m (-2≤x ≤0)有两个不同的交点，即32132064x x x m ---=在[-2，0] 有两个不同的实数解.………………(5分) 设φ(x )= 213()0222x x x ϕ'=--，则213()222x x x ϕ'=--，……………(7分)由()0x ϕ'=，得x = 4或x = -1， ∵x ∈[-2，0]，∴当x (-2,-1)时，()0x ϕ'>，于是φ(x )在[-2,-1]上递增；当x (-1,0)时，()0x ϕ'<，于是φ(x )在[-1,0]上递减. ……………………(9分)依题意有323213(2)(2)(2)2(2)0,6413(1)(1)(1)2(1)0,64(0)0,m m m ϕϕϕ⎧-=------≤⎪⎪⎪=------>⎨⎪=-≤⎪⎪⎩………………(11分)解得0≤m<1312……… (12分) 22．本小题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查解析几何的基本思想方法；考查分析问题、解决问题的能九满分14分．解法一：(Ⅰ)连CA ，过C 作CD ⊥l 1，垂足为D ，由已知可得|CA |=|CD |， ∴点C 的轨迹是以A 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴轨迹E 的方程为x 2=4ay ……………………………………………(4分) (Ⅱ)直线l 2的方程为y=kx+a ，与抛物线方程联立消去y 得x 2-4akx -4a 2=0．记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1+x 2=4ak ，x 1x 2=-4a 2<0. ……………(6分) (1)若tan α=1,即k =1,此时x 1+x 2=4a , x 1x 2=-4a 2. ∴S ΔBPQ =S ΔABP +S ΔABQ =a |x 1|+a |x 2|=a |x 2-x 1|===2 .…………………………………………(8分)∴2a >0,∴a =12………………………………(9分) (2) 因为直线P A 的斜率k ≠O ，易得点R 的坐标为(2ak-,-a ).……(10分)|PR |²|QR |=RP ²RQ ＝（x 1+2a k ，y 1+a ）²（x 2+2ak，y 2+a ）=（x 1+2a k ）（x 2+2ak）+（kx 1+2 a ）（kx 2+ 2a ）=(1+k 2) x 1 x 2+(2a k +2 ak )( x 1+x 2)+ 224a k+4a 2= -4a 2(1+k 2)+4ak (2a k +2ak )+224a k+4a 2=4a 2(k 2+21k)+8a 2， ∵k 2+21k≥2，当且仅当k 2=1时取到等号．……………………(12分)又α∈[6π,4π],k ∈[3,1],∴上述不等式中等号能取到．…(13分) 从而|PR |²|QR |的最小值为16a 2. ………………………………(14分)解法二：(I)同解法一．(Ⅱ)设直线l 2的方程为y=kx+a ，把直线方程与抛物线方程联立消去y 得 x 2-4akx -4a 2=0. ………………………(6分)记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1+x 2=4ak ，x 1x 2=-4a 2<0. ………………………(6分)(1)∵tan α=1，即k =1，此时x 1+x 2=4a ，x 1x 2=-4a 2，过P 、Q 引直线l 1的垂线，垂足为M 、N ，则|PQ |=|PM |+|QN |=y 1+y 2+2a=x 1+x 2+4a=8a ,又点B 到直线l 2的距离d.∴S ΔBPQ =12d ²|PQ 2, ………………………………………………(8分)2a>0，∴a =12.………………………………………(9分)(2) |PR |²|QR |x 1-x R ||x 2-x R | =(1+k 2)²(x 1+2a k )(x 2+2a k)，下同解法一．。