上海实验学校高一数学期中考试试卷
上海市实验学校高一数学下学期期中试卷(含解析)
2014-2015学年上海市实验学校高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）（2015春•上海校级期中）若α∈（0，π），且角α的终边与角5α的终边相同，则α= ．考点：终边相同的角．专题：三角函数的求值．分析：写出与α终边相同的角的集合，列出方程求解即可．解答：解：∵与α终边相同的角的集合为{β|β=α+2kπ，k∈Z}．角α的终边与角5α的终边相同，∴5α=α+2kπ，α∈（0，π），∴α=，可得k=1，α=．故答案为：．点评：本题考查了终边相同的角的集合的写法，是基础的会考题型．2．（4分）（2015春•上海校级期中）化简：= ﹣1 ．考点：运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：直接利用诱导公式化简求解即可．解答：解：==﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．3．（4分）（2015春•上海校级期中）一个半径为2的扇形，若它的周长等于所在的圆的周长，则该扇形的圆心角是2π﹣2 ．考点：弧长公式．专题：计算题；三角函数的求值．分析：设圆心角为θ，弧长为l，建立方程，求得弧长，再求扇形的圆心角即可．解答：解：设圆心角为θ，弧长为l，由题意得4+l=4π，解得l=4π﹣4∴圆心角θ==2π﹣2故答案为：2π﹣2．点评：本题考查弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，属基础题．4．（4分）（2015春•上海校级期中）已知cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα=﹣，且β是第三象限的角，则sinβ= ．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由两角差的余弦公式可得cosβ，进而由同角三角函数的基本关系可得．解答：解：∵cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα=﹣，∴cos[（α﹣β）﹣α]=﹣，即cosβ=﹣，∵β是第三象限的角，∴sinβ=﹣=﹣，故答案为：．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．5．（4分）（2015春•上海校级期中）已知△ABC中，a=7，b=8，A=60°，则边c= 3或5．．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理得出a2=b2+c2﹣2bccosA，把已知a，b及A的度数代入，利用特殊角的三角函数值化简，得出关于c的一元二次方程，求出方程的解即可得到c的值．解答：解：∵在△ABC，a=7，b=8，A=60°，∴根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bc•cosA得：72=82+c2﹣16c•cos60°，整理得：c2﹣8c+15=0，解得：c=3或c=5，则c的值为3或5．故答案为：3或5．点评：此题考查了余弦定理，一元二次方程的解法，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．（4分）（2015春•上海校级期中）若，则sin2α= ．考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据已知等式可求tanα，由万能公式即可求值．解答：解：∵，∴整理可得：1+tanα=3﹣3tanα+2﹣2tanα，可得：tanα==，∴sin2α===．故答案为：．点评：本题主要考查了万能公式和三角函数求值，属于基本知识的考查．7．（4分）（2013•黄埔区一模）已知，，则tan（β﹣2α）等于﹣1 ．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：把已知条件利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，即可求出tanα的值，然后把所求式子中的角β﹣2α变为（β﹣α）﹣α，利用两角差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．解答：解：由==2tanα=1，得到tanα=，又，则tan（β﹣2α）=tan[（β﹣α）﹣α]===﹣1．故答案为：﹣1点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道基础题．8．（4分）（2015春•上海校级期中）若2sinθ+3cosθ=2，则sinθ+cosθ= 或1 ．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：将已知等式两边平方整理可得（12sinθ+5cosθ）cosθ=0，从而解得cosθ=0，或者12sinθ+5cosθ=0，分别解得sinθ，cosθ的值，即可求和得解．解答：解：∵2sinθ+3cosθ=2，∴两边平方有：4sin2θ+12sinθcosθ+9cos2θ=4，（12sinθ+5cosθ）cosθ=0，所以有：cosθ=0，代入原式，得 sinθ=1，或者 12sinθ+5cosθ=0，解得：sinθ=﹣cosθ，代入原式，有：sinθ=﹣，cosθ=．所以可得：sinθ+cosθ=1，或者 sinθ+cosθ=．故答案为：或1．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，属于基本知识的考查．9．（4分）（2015春•上海校级期中）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，则该八边形的面积的最大值为．考点：解三角形．专题：计算题；解三角形．分析：根据正弦定理可先求出4个三角形的面积，再由三角面积公式可求出正方形的边长进而得到面积，最后得到答案．解答：解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：4××1×1×sinα=2sinα，由余弦定理可得正方形边长为：=，故正方形面积为：2﹣2cosα，所以所求八边形的面积为：2sinα﹣2cosα+2=2sin（α﹣）+2，所以该八边形的面积的最大值为．故答案为：．点评：本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用．正、余弦定理是考查解三角形的重点，是必考内容．10．（4分）（2015春•上海校级期中）已知函数f（x）=x2+bx+c，对于任意α，β∈R都有f （sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0，若f（sinα）的最大值为10，则f（x）= x2﹣5x+4 ．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（sinα）≥0知，x∈[﹣1，1]时，f（x）≥0，同样可得x∈[1，3]时，f（x）≤0，从而得到f（1）=0，从而可得到f（x）在[﹣1，1]上单调递减，从而便可得到f（﹣1）=10，这样便可得到不等式组，解出b，c即可得出f（x）．解答：解：由已知条件知，x∈[﹣1，1]时，f（x）≥0，x∈[1，3]时，f（x）≤0；∴f（1）=0，f（x）在[﹣1，1]上单调递减；f（sinα）的最大值为10；∴f（﹣1）=10；∴解得，；∴f（x）=x2﹣5x+4．故答案为：x2﹣5x+4．点评：考查正余弦函数的值域，根据条件可画出函数f（x）的草图求解，函数单调性定义的运用，要熟悉二次函数的图象．二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，满16分）11．（4分）（2015•嘉兴二模）在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：由正弦定理知，由sinA＞sinB，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可得结论．解答：解：若sinA＞sinB成立，由正弦定理=2R，所以a＞b，所以A＞B．反之，若A＞B成立，所以a＞b，因为a=2RsinA，b=2RsinB，所以sinA＞sinB，所以sinA＞sinB是A＞B的充要条件．故选C．点评：本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形．属于基础题．12．（4分）（2015春•上海校级期中）设集合A={x|x=π+，k∈z}，B={x|x=kπ+，k∈z}，C={x|x=kπ+，k∈z}，则A∩（B∪C）=（）A．B．C．D．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出B与C的并集，找出A与并集的交集即可．解答：解：∵A={x|x=π+，k∈Z}，B={x|x=kπ+，k∈Z}，C={x|x=kπ+，k∈Z}，∴A∩（B∪C）={x|x=2kπ±，k∈Z}，故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．13．（4分）（2015春•上海校级期中）已知，则下列不等式中正确的是（）A．sin（sinα）＜sin（tanα）＜sinαB．s in（sinα）＜sinα＜sin（tanα）C．sin（tanα）＜sinα＜sin（sinα）D．s inα＜sin（sinα）＜sin（tanα）考点：三角函数线．专题：三角函数的求值．分析：由，得到0＜sinα＜α＜tanα＜1，利用三角函数的单调性解答．解答：解：因为，所以0＜sinα＜α＜tanα＜1，所以sin（sinα）＜sinα＜sin（tanα）；故选：B．点评：本题考查了三角函数的单调性；注意角度范围以及对应函数的单调性．14．（4分）（2015春•上海校级期中）已知△ABC中，AB=2，，则△ABC的面积的最大值为（）A．2B．2C．2 D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：综合题；解三角形．分析：设BC=a，则AC=a，利用余弦定理可求得cos2B=+﹣，再利用三角形的面积公式可求得S△ABC=asinB，继而可求S△ABC2=﹣（a2﹣12）2+8，从而可得△ABC面积的最大值．解答：解：依题意，设BC=a，则AC=a，又AB=2，由余弦定理得：（a）2=a2+AB2﹣2a•ABcosB，即a2+4acosB﹣4=0，∴cosB==﹣，∴cos2B=+﹣，∴sin2B=1﹣cos2B=﹣﹣．∵S△ABC=AB•BCsinB=×2asinB=asinB，∴S2△ABC=a2sin2B=a2（﹣﹣）=﹣+a2﹣1=﹣（a4﹣24a2）﹣1=﹣（a2﹣12）2+8，当a2=12，即a=2时，2、2、2能组成三角形，∴S2max=8，∴S max=2．故选：A．点评：本题考查余弦定理与正弦定理的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得S2△ABC=﹣（a2﹣12）2+8是关键，也是难点，属于难题．三、解答题（本大题共4小题，满分44分）15．（10分）（2015春•上海校级期中）在△ABC中，，（1）求角B的值；（2）若b=3，sinC=2sinA，求边长a、c的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由已知式子和两角和的正切公式变形可得tanB，可得B值；（2）由正弦定理和已知可得c=2a，再由余弦定理可得a值，可得c值．解答：解：（1）∵在△ABC中，，∴tanB+tanC=tanA（tanC﹣1），∴tanB=tanAtanC﹣（tanA+tanC）=tanAtanC﹣tan（A+C）（1﹣tanAtanC），∴tanB=tanAtanC+tanB（1﹣tanAtanC），∴tanB﹣tanB（1﹣tanAtanC）=tanAtanC，∴tanBtanAtanC=tanAtanC，∴tanB=，∴B=，（2）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理得c=2a，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，代入数据可得，解得，∴．点评：本题考查解三角形，涉及正余弦定理的综合应用以及两角和与差的正切函数的变形应用，属中档题．16．（10分）（2015春•上海校级期中）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（1）求的值；（2）设0≤β≤≤α≤π，，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：（1）代值计算可得答案；（2）由题意和同角三角函数的基本关系可得sinα和cosβ的值，进而由两角和的余弦公式可得．解答：解：（1）由题意可得=2sin（×﹣）=2sin=；（2）∵0≤β≤≤α≤π，，f（3β+2π）=，∴f（3α+）=2sin（α+﹣）=2sinα=，∴sinα=，f（3β+2π）=2sin（β+﹣）=2cosβ=，∴cosβ=，∴cosα=﹣=﹣，sinβ=，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ==﹣．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．17．（12分）（2015春•上海校级期中）在平面直角坐标系xOy中，钝角α+的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合．若α+的终边与单位元圆交于点．（1）求t的值；（2）求cosα和sinα的值；（3）设，求f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．考点：两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：（1）根据题意和三角函数的定义求出cos（α+）的值，再由平方关系求出t的值；（2）根据两角和的正弦、余弦公式列出方程组，求出cosα和sinα的值；（3）根据三角函数的周期公式求出f（x）的周期，再求出一个周期内的函数值，利用函数的周期性求出式子的值．解答：解：（1）∵钝角α+的终边与单位元圆交于点，∴根据三角函数的定义，cos（α+）=，∴t=sin（α+）==；（2）由sin（α+）=、cos（α+）=得，（sinα+cosα）=，①（cosα﹣sinα）=，②由①②解得，cosα=，sinα=；（3）∵f（x）=cos（+α），∴函数f（x）的周期T==4，∴f（1）=cos（+α）=﹣sinα=﹣，f（2）=cos（π+α）=﹣cosα=﹣，f（3）=cos（π+α）=sinα=，f（4）=cos（2π+α）=cosα=，f（5）=cos（+α）=﹣sinα，…，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0；∴f（1）+f（2）+…+f（2015）=f（1）+f（2）+f（3）=﹣﹣+=﹣．点评：本题考查三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦、余弦公式，以及三角函数的周期性，属于中档题．18．（12分）（2015春•上海校级期中）已知A={α|2cos2α﹣3cosα+1≤0，α∈R}，B={α|2sinα＞1，α∈R}，（1）求集合A∩B；（2）若对任意x∈A∩B，都有恒成立，求m 的取值范围．考点：交集及其运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：集合．分析：（1）分别求出关于A、B中的α的范围，从而求出A∩B，（2）问题转化为对任意x∈A∩B，都有m＞﹣（cosx﹣）2恒成立，求出即可．解答：解（1）A={α|2cos2α﹣3cosα+1≤0，α∈R}={α|（2cosα﹣1）（cosα﹣1）≤0，α∈R}={α|≤cosα≤1，α∈R}={α|2kπ﹣≤α≤2kπ+，α∈R}，B={α|2sinα＞1，α∈R}={α|sinα＞0}={α|2kπ＜α＜2kπ+π}，∴A∩B={α|2kπ＜α≤2kπ+，k∈Z}，（2）由⇒cos2x﹣4sin（+）cos（+）+m＞0⇒cos2x﹣2sin（+x）+m＞0⇒cos2x﹣2cosx+m＞0⇒2cos2x﹣1﹣2cosx+m＞0⇒m＞﹣2（cosx﹣）2∴若对任意x∈A∩B，都有恒成立，即对任意x∈A∩B，都有m＞﹣2（cosx﹣）2恒成立，∵x∈（2kπ，2kπ+]，∴cosx∈[，1），∴0≤2（cosx﹣）2≤，∴m＞．点评：本题考查了集合的运算，考查三角函数的运算，考查函数恒成立问题，本题是一道中档题．四、附加题（本大题共2小题，满分20分）19．（10分）（2015春•上海校级期中）已知△ABC的三个内角A，B，C满足：，求的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的积化和差公式．专题：计算题．分析：先根据A，B，C的关系求出B的值，再代入到中得到cosA，cosC的关系，根据和差化积及积化和差公式化简，再将cos，cos（A+C）的值代入整理后因式分解，即可求出的值．解答：解：由题设条件知B=60°，A+C=120°．∵，∴将上式化为利用和差化积及积化和差公式，上式可化为将代入上式得将代入上式并整理得，∵，∴从而得点评：本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．20．（10分）（2015春•上海校级期中）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足tanB=，（1）判断△ABC的形状，并加以证明；（2）当a=2，∠B=x时，将y=表示成y=f（x）的形式，并求此函数的定义域，当x为何值时，y=f（x）有最值？并求出最值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数的定义域及其求法．专题：解三角形；不等式的解法及应用．分析：（1）切和弦共同存在的等式中，一般要切化弦，根据两外项之积等于两内项之积，把分式化为整式，移项，逆用两角和的余弦公式，把脚C化为A+B用两角和的余弦公式展开，合并同类项，得到两角余弦乘积为零，则两角中必有一个直角．（2）由题意及（1）可得：A=，由正弦定理可解得b=2sinx，c=2cosx，从而可得，．设sinx+cosx=t，，设u=2t+1，，=，由x的范围，可求t，u的范围，利用基本不等式的解法即可得解．解答：解：（1）△ABC是直角三角形．证明：由已知得：=，∴sinAsinB+sinBsin（C﹣B）=cosBcos（C﹣B），移项，逆用两角和的余弦公式得：sinAsinB=cosC，∵在△ABC中，cosC=﹣cos（A+B），∴sinAsinB=﹣cos（A+B），∴cosAcosB=0，∴cosA=0或 cosB=0，∴△ABC是直角三角形．（2）∵当a=2，∠B=x时，由（1）可得：A=，由正弦定理可得：2==，sinC=cosx．∴解得：b=2sinx，c=2cosx，∴，．设sinx+cosx=t，，设u=2t+1，，=，∵，当时，．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，函数的定义域及其求法，不等式的解法及应用，考查了换元法和转化思想，属于难题．。
上海市高一第一学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
上海市高一上学期数学期中考试试卷一、单选题1.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B. C . D.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁I S故答案为：C．【分析】根据集合的运算结合韦恩图，即可确定阴影部分所表示的集合.2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. （）与（）【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】【解答】对于A选项，，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数；对于B选项的定义域为的定义域为∴不是同一函数；对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数．对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数.故答案为：D.【分析】判断两个函数是否表示同一个，看定义域和对应关系是否相同即可.3.已知，则“ ”是“ ”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故答案为：A．【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的概念进行判断即可.4.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下得燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【考点】函数的图象【解析】【解答】对于A，消耗升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油, 故错；对于D,车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故答案为：D.【分析】根据图象的实际意义，对选项逐一判断即可.二、填空题5.函数的定义域为________【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】由题意得，即定义域为【分析】要使函数有意义，应满足分式的分母不为0，偶次根式被开方数非负，解不等式组即可求出函数的定义域.6.已知集合，，则________【答案】【考点】交集及其运算【解析】【解答】由题集合集合故.故答案为.【分析】通过求函数的定义域求出集合A，通过求二次函数的值域求出集合B，根据交集的含义求出相应的集合即可.7.不等式的解集是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】不等式，则故答案为.【分析】通过作差，将分式不等式转化为整式不等式，解相应的一元二次不等式即可求不相应的解集. 8.“若且，则”的否命题是________【答案】若或，则【考点】四种命题【解析】【解答】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【分析】将原命题的条件和结论都进行否定，即可得到否命题.9.已知，则的取值范围是________【答案】【考点】简单线性规划【解析】【解答】作出所对应的可行域，即（如图阴影），目标函数z=a-b可化为b=a-z，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A（1，-1）时，z取最小值-2，当直线经过点O（0，0）时，z取最大值0，∴a-b的取值范围是，故答案为：．【分析】作出可行域及目标函数相应的直线，平移直线即可求出相应的取值范围.10.若，，且，则的取值范围是_________【答案】【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【解答】由题，，且，当时，，则；当时，，则可得故的取值范围是.【分析】通过解绝对值不等式表示出集合A，将集合之间的关系转化为区间端点值的大小比较，即可求出实数a的取值范围.11.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________ 【答案】【考点】不等式的综合【解析】【解答】略【分析】对二次项系数的取值分类讨论，当系数为0时，求出a值，直接验证符合题意；当二次项系数不为0时，开口向下，判别式小于0，解不等式组即可求出实数a的取值范围.12.若函数，则________【答案】【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】设,则则即即答案为.【分析】采用换元法，求出函数f（x）的表达式，代入即可求出f（2x+1）.13.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是__【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】∵关于的不等式在上恒成立，∴，∵x＞，∴，当且仅当，即时取等号，∴，∴，解得，，∴实数a的最小值为．故答案为．【分析】将不等式恒成立问题进行转化，结合基本不等式求出相应式子的最值，即可求出实数a的最小值.14.已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】由f（x）＞1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．由g（x）＜0得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜x＜a，a＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，A的取值范围是{a|a≤-2或- ≤a＜0}．即答案为.【分析】分别解相应的不等式，结合不等式的解集即可确定实数a的取值范围.15.当时，可以得到不等式，，，由此可以推广为，则________【答案】【考点】归纳推理【解析】【解答】∵x∈R+时可得到不等式，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方即答案为.【分析】根据已知式子归纳猜想，得到相应的关系即可确定P.16.已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）【答案】②③④【考点】元素与集合关系的判断【解析】【解答】①数集中，，故数集不具有性质；②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质；③若数列A具有性质P，则a n+a n=2a n与a n-a n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3，而2a n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i+a5＞a5，由A具有性质P，a5-a i∈A，又i=1时，a5-a1∈A，∴a5-a i∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，则a5-a1=a5， a5-a2=a4， a5-a3=a3，从而可得a2+a4=a5， a5=2a3， A2+a4=2a3，即答案为②③④.【分析】根据集合中元素的特点，结合集合中元素的互异性，逐一判断即可确定真命题个数.三、解答题17.设集合，集合.（1）若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）解：若“ ”是“ ”，则B⊆A，∵A={x|-1≤x≤2}，①当时，B={x|2m ＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒；②当时，B=∅，有B⊆A成立；③当时B=∅，有B⊆A成立；；综上所述，所求m的取值范围是（2）解：∵A={x|-1≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜-1或x＞2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，若∁R A∩B中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得②当m当时，不符合题意；③当时，不符合题意；综上知，m的取值范围是-【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【分析】（1）根据必要条件的概念，将集合的关系转化为端点值比较大小，即可求出实数m的取值范围；（2）根据交集、补集的概念，结合区间端点值的大小关系，即可求出实数m的取值范围.18.若“ ，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明. 【答案】（1）解：，∴，当且仅当时等号成立（2）解：故.当且仅当时等号成立【考点】归纳推理，类比推理【解析】【分析】（1）根据题干中证法及不等式的性质，结合基本不等式，即可证明相应的不等式成立；（2）根据具体例子，归纳推广即可证明相应的不等式.19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②当时，；③，其中为常数，且.（1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.【答案】（1）解：设，当时，可得k=4，∴∴定义域为，t为常数，（2）解：因为定义域中函数在上单调递减，故.【考点】函数解析式的求解及常用方法，二次函数的性质【解析】【分析】（1）根据题意，采用待定系数法，设出表达式，求出相应的系数，即可得到f（x）机器定义域；（2）采用配方法，结合二次函数的单调性，求出函数的最大值即可.20.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.【答案】（1）证明：若x∈A，则又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为，（2）解：，，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合（3）解：由，，可得，所有元素积为1，∴，、、，∴.【考点】元素与集合关系的判断【解析】【分析】（1）将x=2代入，即可求出集合A中的另外两个元素；（2）根据集合中元素的特点，确定集合A中至少有三个元素；（3）设出集合中相应的元素，结合元素之和，即可求出集合A.21.已知，设，，（，为常数）.（1）求的最小值及相应的的值；（2）设，若，求的取值范围；（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.【答案】（1）解：。
高一第一学期期中考试数学试卷含答案(共3套,上海市)
上海市高一第一学期期中考试数学一、 填空题(共42分，1-6每小题3分，7-12每小题4分) 1. 若82log 3x =-，则x = 2. 已知集合(){}(){}2,1,,1A x y y x B x y y x ==+==+，则AB =3. 若幂函数()f x 过)22,2(，则(8)f = 4. 不等式x x x 232)31()31(2<+-的解集为5. 若22xa=且0a >，则33x xxxa a a a --+=+ 6. 若关于x 的方程03422=-+x x 的两个根为21,x x ，则=+2221x x ______7. 若函数()21xy a =-在R 上是严格减函数，则实数a 的取值范围是___________8. 下列幂函数在区间(),0+∞上是严格增函数，且图像关于原点成中心对称的是（请填入全部正确的序号）(1) ;21x y =（2）;31x y = (3) ;32x y =(4) ;31-=xy (5) .3x y =9. 已知集合{}2(1)320A x a x x =-+-=的子集有且仅有2个，则a = 10. ＂2560x x ++≠＂是＂2x ≠-＂的 条件．11. 若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>-≤+-00)23)(32(a x x x 的解集为φ，则实数a 的取值范围为12. 若x>0,y>0, x+2y=2，则11x y+的最小值为 二、选择题(共16分，每小题4分)13、若56789log 6log 7log 8log 9log 10p =⋅⋅⋅⋅，则 （ ） （A ）(0,1)p ∈；（B ）1p =；（C ）(1,2)p ∈;(D)2p =14、在同一平面直角坐标系中，指数函数(0xy a a =>且1)a ≠和一次函数(1)y a x =+的图像关系可能是 （ ）15、如果|a-c|<|b|，则一定有 （ ） A.a<b+c; B.|a|<|b|+|c|; C.a<c-b; D.|a|>|b|-|c|16、已知命题“非空集合M 中的元素都是集合P 中的元素”是假命题，现有下列命题： （1）M 中的元素都不是集合P 中的元素； （2）M 中一定有不属于P 的元素； （3）M 中一定有属于P 中的元素； （4）M 中的元素不都是集合P 中的元素。
上海市实验学校2020-2021学年高一上学期期中数学试题
集合 ， ，
若A∩B中有且仅有一个元素，则由 ，
得 在 上有且仅有一解；
上海市实验学校2020-2021学年高一上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．不等式 的解集是_________
2．已知正数 满足 ,则 的最小值是___________.
3．已知关于 的不等式 解集为空集，则实数 的取值范围是________
【详解】
因为方程 有两个实数根 、 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
，
即 ，
解得 或 （舍去）
故答案为：4
7．
【解析】
【分析】
由题可知 ，利用绝对值不等式的性质可以求出 的最大值，进而可求出实数 的取值范围.
【详解】
解：由于不等式 对一切实数 恒成立，
则 大于等于 的最大值，即 ，
，
当 时取等号，即 时取等号，
则 的最大值为7，
所以实数 的取值范围是： .
故答案为： .
【点睛】
结论点睛：本题考查含有两个绝对值的函数的最值及恒成立问题，一般利用绝对值的性质或者几何意义进行求解，在恒成立问题中求参数的范围的常用结论如下：
恒成立 ；
恒成立 .
8．
【解析】
【分析】
由 且 ，可得 且 ，解之即可．
【详解】
解： 且 ，
（2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 轴的上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 轴的下方.
4．
【解析】
【分析】
上海市实验学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
上海市实验学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、填空题1．已知集合{}33A xx =-≤≤∣，{}1B x x =≥，则A B = .2．不等式1025x x ->+的解集为.3．若14a <<，13b -<<，则a b +的取值范围是.4．已知0m >，0n >，且1m n +=，则22m n +的最小值为.5．若存在x ，使得11x x a -++≤成立，则a 的取值范围是6．已知对于任意x ∈R ，2220kx kx k +--<，则实数k 的取值范围为.7．已知关于x 的方程()2160x m x m +---=的两根一个比2大，另一个比2小，则实数m 的范围是.8．关于x 的不等式()()()()()()2024231350246x x x x x x ---≤---的解集为.9．若实数a 、b 、c 满足41122a b +=，141222a b b ac c +++=，则c 的最小值是.10．将4x ax b x+--在区间[]1,4上的最大值记为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为.二、单选题11．以下选项中，是集合(){},35A x y y x ==-∣的元素的是（）A ．(1,2)-B ．(2,1)-C ．(3,5)D ．(4,8)12．如果a 、b 、c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项不恒成立的是（）A ．22cb ab <B ．ab ac >C ．()0c b a ->D ．()0ac a c -<13．大气压强p （单位：kPa ）与海拔h （单位：m ）之间的关系可以由0e khp p -=近似描述，其中0p 为标准大气压强，k 为常数.已知海拔为5000m 、8000m 两地的大气压强分别为54kPa 、36kPa .若测得某地的大气压强为72kPa ，则该地的海拔约为（）mA ．2415B ．2653C ．2871D ．302514．已知p ：集合{}1A ≠或集合{}2B ≠，{}:1,2q A B ≠ ，则p 是q 的（）条件A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要三、解答题15．（1）已知lg2a =，lg3b =，试用a 、b 表示2log 15；（2）已知362x y ==，求21x y-的值.16．解关于x 的不等式：112ax x ->-.17．集合{}28120A x x x =-+≥，{}2233B xm x m =-≤≤-∣，22m C x x m ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭∣.(1)若6m =，求A B C ；(2)若B C ⊆，求m 的取值范围；(3)若A B B C = ，求m 的取值范围.18．对给定的正整数n ，令(){}{}12Ω,,,0,1,1,2,,n nia a a a i n =∈= .对任意()12,,,nx x x x = 、()12,,,n n y y y y =∈ΩL ，定义x 与y 的距离()1,niii d x y x y==-∑，设A 是n Ω的至少含有两个元素的子集，集合(){},,,D d x y x y x y A =≠∈∣中的最小值称为A 的特征值，记作()A χ.(1)设()()(){}0,0,0,0,1,1,1,0,1A =，()()()(){}0,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,1B =，直接写出集合A 、B 的特征值；(2)当4049n =时，求证：存在集合A 满足对任意4049x ∈Ω，都存在唯一的y A Î，使得(),2024d x y ≤，且A 中不同元素之间的距离为4049；(3)当0n n =时，且()2A χ=，求A 中元素个数的最大值（用0n 表示）.19．已知集合{}12,,,n A a a a = 中的元素都是正整数，且12n a a a <<<，集合A 具有性质M ：对任意的x 、y A Î，且x y ≠，都有17xyx y -≥.(1)求证：111117n n a a --≥；(2)求集合A 中元素个数的最大值，并说明理由.20．已知{}1,2,,S m = ，,i i P S P ⊆≠∅，1i =、2、L 、n ，满足：对任意i j ≠，则i j P P ≠，如果i j P P ≠∅ ，则i j P P 的最小元素不等于i P 中的最大元素，也不等于j P 中的最大元素.(1)当3m =时，列出1P ，2P ，3P；(2)当2024m =时，求出n 的最大值并说明理由.。
2020-2021学年上海市实验学校高一上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年上海市实验学校高一上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列说法中，错误的是()A. 命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2−3x+2≠0”B. 对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1<0，则￢p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0C. 若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D. “x>2”是“x2−3x+2>0”的充分不必要条件2.给出下列四个命题：①命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p：∃x∈R，sinx<1．②当a≥1时，不等式|x−4|+|x−3|<a的解集为非空．③当x>1时，有lnx+1lnx≥2．④设复数z满足(1−i)z=2i，则z=1−i．其中真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 33.已知集合A={1,3，5，7，9}，B={0,3，6，9，12}，则A∩(∁N B)=()A. {1,5，7}B. {3,5，7}C. {1,3，9}D. {0,6，9}4.若关于x的不等式2−>|x−a|至少有一个负数解，则a的取值范围为()A. B. C. D.二、单空题（本大题共10小题，共30.0分）5.已知定义在实数集R上的函数满足，且的导数在R上恒有，则不等式的解集为_______________6.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a,b，c∈(0,1))已知他投篮一次得分的期望为2，则2a +13b的最小值为______．7. 若方程表示双曲线，则 的取值范围是________． 8.设a =(12) 34，b =(15) 34，c =(12) 12，则a ，b ，c 的大小关系为______． 9. 不等式|x −3|<2的解集为______．10. 已知函数f(x)={lnx,(x >0)2x +1,(x ≤0)，g(x)=ax ，若两函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的公共点A(m,f(m))、B(n,f(n))、C(t,f(t))，m <n <t ，则1m +n +2的范围为______．11. 0≤α≤π，不等式8x −(8iα)x +cs2α≥对∈R 成立，则α的取范围为______ ．12. 不等式x 9−x <0的解集为______.(用区间表示)13. 已知集合A ={y|y =x 2−2x,x ∈R}，B ={y|=−x 2+2x +6,x ∈R}，则A ∩B = ______ ．14. (理)函数f(x)=min{2√x,|x −2|}，其中min{a,b}={a,a ≤b b,a >b，若动直线y =m 与函数y =f(x)的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则x 1⋅x 2⋅x 3是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15. 已知0< x <，化简：lg(cos x ·tan x +1−2sin 2)+lg[cos(x −)]−lg(1+sin2 x ).16. 设n ∈N ∗，x n 是曲线y =x 2n+2+1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标(1)求数列{x n }的通项公式；(2)记T n =x 12x 32…x 2n−12，证明：T n ≥14n ．17. 政府为了稳定房价，决定建造批保障房供给社会，计划用1600万的价格购得一块建房用地，在该土地上建10幢楼房供使用，每幢楼的楼层数相同且每层建10套每套100平方米，经测算第x 层每平方米的建筑造价y(元)与x 满足关系式y =kx +800(其中k 为整数且被10整除)，根据某工程师的个人测算可知，该小区只有每幢建8层时每平方米平均综合费用才达到最低，其中每平方米平均综合费用=购地费用+所有建筑费用总的建筑面积． (1)求k 的值；(2)为使该小区平均每平方米的平均综合费用控制在1400元以内，每幢至少建几层⋅至多造几层⋅18. 18.已知函数的定义域都是集合，函数和的值域分别为和，(1)若，求；(2)若且，求实数的值；(3)若对于集合的任意一个数的值都有，求集合．19. 已知函数f(x)=|x−2|+|x−a|．(1)当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)不等式f(x)<4的解集中的整数有且仅有1，2，3，求实数a的取值范围．20. 已知集合A=｛2，−1，x2−x+1｝，B=｛2y，−4，x+4｝，C=｛−1，7｝，且A∩B=C，求实数x，y的值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A.命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2−3x+2≠0”，正确．B.命题p：∃x∈R，使得x2+x+1<0，的否定￢p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，正确．C.若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，错误．D.由x2−3x+2>0得x>2或x<1，即“x>2”是“x2−3x+2>0”的充分不必要条件，正确，故错误的是C，故选：CA.根据逆否命题的定义进行判断．B.根据含有量词的命题的否定进行判断．C.根据复合命题之间的关系进行判断．D.根据充分条件和必要条件的进行判断．本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点有四种命题之间关系，含有量词的命题的否定，复合命题之间的关系以及充分条件和必要条件的判断．2.答案：B解析：解：对①，￢P：：∃x∈R，sinx>1，故①为假命题；对②，当a=1时，∵|x−4|+|x−3|≥|(x−4)−(x−3)|=1，∴不等式|x−4|+|x−3|<1的解集为空集，故②为假命题；对③，∵x>1，∴lnx>0，∴lnx+1lnx≥2，当lnx=1即x=10时取等号，故③是真命题；对④，∵复数z满足z(1−i)=2i，∴z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i，故④为假命题．故答案为：B．根据全称命题的否定是特称命题，是条件不变，否定结论，来判断①是否正确；举例判断②是否正确；利用基本不等式求最值，来验证③是否正确；④根据所给的等式两边同时除以1−i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．本题借助考查命题的真假判断，考查了全称命题的否定、绝对值不等式、幂函数与指数函数的性质．利用基本不等式求最值时，要注意：一“正”；二“定”；三“相等”．3.答案：A解析：解：A∩∁N B={1,3，5，7，9}∩{1，2，4，5，7，8，10，11，13，14，…}={1,5，7}．故选A．先求B的补集，再求交集．本题考查了集合的运算，属于基础题．4.答案：A解析：5.答案：解析：试题分析：不等式化为，令，则，由于，所以，故函数在Ｒ上为减函数，又因为，所以，画出函数的大致图像如下：。
上海市实验学校高一数学下学期期中试卷(含解析)
2014-2015学年上海市实验学校高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）（2015春•上海校级期中）若α∈（0，π），且角α的终边与角5α的终边相同，则α=．考点：终边相同的角．专题：三角函数的求值．分析：写出与α终边相同的角的集合，列出方程求解即可．解答：解：∵与α终边相同的角的集合为{β|β=α+2kπ，k∈Z}．角α的终边与角5α的终边相同，∴5α=α+2kπ，α∈（0，π），∴α=，可得k=1，α=．故答案为：．点评：本题考查了终边相同的角的集合的写法，是基础的会考题型．2．（4分）（2015春•上海校级期中）化简：= ﹣1 ．考点：运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：直接利用诱导公式化简求解即可．解答：解：==﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．3．（4分）（2015春•上海校级期中）一个半径为2的扇形，若它的周长等于所在的圆的周长，则该扇形的圆心角是2π﹣2 ．考点：弧长公式．专题：计算题；三角函数的求值．分析：设圆心角为θ，弧长为l，建立方程，求得弧长，再求扇形的圆心角即可．解答：解：设圆心角为θ，弧长为l，由题意得4+l=4π，解得l=4π﹣4∴圆心角θ==2π﹣2故答案为：2π﹣2．点评：本题考查弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，属基础题．4．（4分）（2015春•上海校级期中）已知cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα=﹣，且β是第三象限的角，则sinβ=．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由两角差的余弦公式可得cosβ，进而由同角三角函数的基本关系可得．解答：解：∵cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα=﹣，∴cos[（α﹣β）﹣α]=﹣，即cosβ=﹣，∵β是第三象限的角，∴sinβ=﹣=﹣，故答案为：．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．5．（4分）（2015春•上海校级期中）已知△ABC中，a=7，b=8，A=60°，则边c= 3或5．．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理得出a2=b2+c2﹣2bccosA，把已知a，b及A的度数代入，利用特殊角的三角函数值化简，得出关于c的一元二次方程，求出方程的解即可得到c的值．解答：解：∵在△ABC，a=7，b=8，A=60°，∴根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bc•cosA得：72=82+c2﹣16c•cos60°，整理得：c2﹣8c+15=0，解得：c=3或c=5，则c的值为3或5．故答案为：3或5．点评：此题考查了余弦定理，一元二次方程的解法，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．（4分）（2015春•上海校级期中）若，则sin2α=．考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据已知等式可求tanα，由万能公式即可求值．解答：解：∵，∴整理可得：1+tanα=3﹣3tanα+2﹣2tanα，可得：tanα==，∴sin2α===．故答案为：．点评：本题主要考查了万能公式和三角函数求值，属于基本知识的考查．7．（4分）（2013•黄埔区一模）已知，，则tan（β﹣2α）等于﹣1 ．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：把已知条件利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，即可求出tanα的值，然后把所求式子中的角β﹣2α变为（β﹣α）﹣α，利用两角差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．解答：解：由==2tanα=1，得到tanα=，又，则tan（β﹣2α）=tan[（β﹣α）﹣α]===﹣1．故答案为：﹣1点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道基础题．8．（4分）（2015春•上海校级期中）若2sinθ+3cosθ=2，则sinθ+cosθ=或1 ．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：将已知等式两边平方整理可得（12sinθ+5cosθ）cosθ=0，从而解得cosθ=0，或者12sinθ+5cosθ=0，分别解得sinθ，cosθ的值，即可求和得解．解答：解：∵2sinθ+3cosθ=2，∴两边平方有：4sin2θ+12sinθcosθ+9cos2θ=4，（12sinθ+5cosθ）cosθ=0，所以有：cosθ=0，代入原式，得sinθ=1，或者12sinθ+5cosθ=0，解得：sinθ=﹣cosθ，代入原式，有：sinθ=﹣，cosθ=．所以可得：sinθ+cosθ=1，或者sinθ+cosθ=．故答案为：或1．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，属于基本知识的考查．9．（4分）（2015春•上海校级期中）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，则该八边形的面积的最大值为．考点：解三角形．专题：计算题；解三角形．分析：根据正弦定理可先求出4个三角形的面积，再由三角面积公式可求出正方形的边长进而得到面积，最后得到答案．解答：解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：4××1×1×sinα=2sinα，由余弦定理可得正方形边长为：=，故正方形面积为：2﹣2cosα，所以所求八边形的面积为：2sinα﹣2cosα+2=2sin（α﹣）+2，所以该八边形的面积的最大值为．故答案为：．点评：本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用．正、余弦定理是考查解三角形的重点，是必考内容．10．（4分）（2015春•上海校级期中）已知函数f（x）=x2+bx+c，对于任意α，β∈R都有f （sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0，若f（sinα）的最大值为10，则f（x）= x2﹣5x+4 ．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（sinα）≥0知，x∈[﹣1，1]时，f（x）≥0，同样可得x∈[1，3]时，f（x）≤0，从而得到f（1）=0，从而可得到f（x）在[﹣1，1]上单调递减，从而便可得到f（﹣1）=10，这样便可得到不等式组，解出b，c即可得出f（x）．解答：解：由已知条件知，x∈[﹣1，1]时，f（x）≥0，x∈[1，3]时，f（x）≤0；∴f（1）=0，f（x）在[﹣1，1]上单调递减；f（sinα）的最大值为10；∴f（﹣1）=10；∴解得，；∴f（x）=x2﹣5x+4．故答案为：x2﹣5x+4．点评：考查正余弦函数的值域，根据条件可画出函数f（x）的草图求解，函数单调性定义的运用，要熟悉二次函数的图象．二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，满16分）11．（4分）（2015•嘉兴二模）在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：由正弦定理知，由sinA＞sinB，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可得结论．解答：解：若sinA＞sinB成立，由正弦定理=2R，所以a＞b，所以A＞B．反之，若A＞B成立，所以a＞b，因为a=2RsinA，b=2RsinB，所以sinA＞sinB，所以sinA＞sinB是A＞B的充要条件．故选C．点评：本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形．属于基础题．12．（4分）（2015春•上海校级期中）设集合A={x|x=π+，k∈z}，B={x|x=kπ+，k∈z}，C={x|x=kπ+，k∈z}，则A∩（B∪C）=（）A．B．C．D．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出B与C的并集，找出A与并集的交集即可．解答：解：∵A={x|x=π+，k∈Z}，B={x|x=kπ+，k∈Z}，C={x|x=kπ+，k∈Z}，∴A∩（B∪C）={x|x=2kπ±，k∈Z}，故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．13．（4分）（2015春•上海校级期中）已知，则下列不等式中正确的是（）A．sin（sinα）＜sin（tanα）＜sinαB．s in（sinα）＜sinα＜sin（tanα）C．sin（tanα）＜sinα＜sin（sinα）D．s inα＜sin（sinα）＜sin（tanα）考点：三角函数线．专题：三角函数的求值．分析：由，得到0＜sinα＜α＜tanα＜1，利用三角函数的单调性解答．解答：解：因为，所以0＜sinα＜α＜tanα＜1，所以sin（sinα）＜sinα＜sin（tanα）；故选：B．点评：本题考查了三角函数的单调性；注意角度范围以及对应函数的单调性．14．（4分）（2015春•上海校级期中）已知△ABC中，AB=2，，则△ABC的面积的最大值为（）A．2B．2C．2 D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：综合题；解三角形．分析：设BC=a，则AC=a，利用余弦定理可求得cos2B=+﹣，再利用三角形的面积公式可求得S△ABC=asinB，继而可求S△ABC2=﹣（a2﹣12）2+8，从而可得△ABC面积的最大值．解答：解：依题意，设BC=a，则AC=a，又AB=2，由余弦定理得：（a）2=a2+AB2﹣2a•ABcosB，即a2+4acosB﹣4=0，∴cosB==﹣，∴cos2B=+﹣，∴sin2B=1﹣cos2B=﹣﹣．∵S△ABC=AB•BCsinB=×2asinB=asinB，∴S2△ABC=a2sin2B=a2（﹣﹣）=﹣+a2﹣1=﹣（a4﹣24a2）﹣1=﹣（a2﹣12）2+8，当a2=12，即a=2时，2、2、2能组成三角形，∴S2max=8，∴S max=2．故选：A．点评：本题考查余弦定理与正弦定理的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得S2△ABC=﹣（a2﹣12）2+8是关键，也是难点，属于难题．三、解答题（本大题共4小题，满分44分）15．（10分）（2015春•上海校级期中）在△ABC中，，（1）求角B的值；（2）若b=3，sinC=2sinA，求边长a、c的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由已知式子和两角和的正切公式变形可得tanB，可得B值；（2）由正弦定理和已知可得c=2a，再由余弦定理可得a值，可得c值．解答：解：（1）∵在△ABC中，，∴tanB+tanC=tanA（tanC﹣1），∴tanB=tanAtanC﹣（tanA+tanC）=tanAtanC﹣tan（A+C）（1﹣tanAtanC），∴tanB=tanAtanC+tanB（1﹣tanAtanC），∴tanB﹣tanB（1﹣tanAtanC）=tanAtanC，∴tanBtanAtanC=tanAtanC，∴tanB=，∴B=，（2）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理得c=2a，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，代入数据可得，解得，∴．点评：本题考查解三角形，涉及正余弦定理的综合应用以及两角和与差的正切函数的变形应用，属中档题．16．（10分）（2015春•上海校级期中）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（1）求的值；（2）设0≤β≤≤α≤π，，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：（1）代值计算可得答案；（2）由题意和同角三角函数的基本关系可得sinα和cosβ的值，进而由两角和的余弦公式可得．解答：解：（1）由题意可得=2sin（×﹣）=2sin=；（2）∵0≤β≤≤α≤π，，f（3β+2π）=，∴f（3α+）=2sin（α+﹣）=2sinα=，∴sinα=，f（3β+2π）=2sin（β+﹣）=2cosβ=，∴cosβ=，∴cosα=﹣=﹣，sinβ=，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ==﹣．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．17．（12分）（2015春•上海校级期中）在平面直角坐标系xOy中，钝角α+的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合．若α+的终边与单位元圆交于点．（1）求t的值；（2）求cosα和sinα的值；（3）设，求f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．考点：两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：（1）根据题意和三角函数的定义求出cos（α+）的值，再由平方关系求出t的值；（2）根据两角和的正弦、余弦公式列出方程组，求出cosα和sinα的值；（3）根据三角函数的周期公式求出f（x）的周期，再求出一个周期内的函数值，利用函数的周期性求出式子的值．解答：解：（1）∵钝角α+的终边与单位元圆交于点，∴根据三角函数的定义，cos（α+）=，∴t=sin（α+）==；（2）由sin（α+）=、cos（α+）=得，（sinα+cosα）=，①（cosα﹣sinα）=，②由①②解得，cosα=，sinα=；（3）∵f（x）=cos（+α），∴函数f（x）的周期T==4，∴f（1）=cos（+α）=﹣sinα=﹣，f（2）=cos（π+α）=﹣cosα=﹣，f（3）=cos（π+α）=sinα=，f（4）=cos（2π+α）=cosα=，f（5）=cos（+α）=﹣sinα，…，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0；∴f（1）+f（2）+…+f（2015）=f（1）+f（2）+f（3）=﹣﹣+=﹣．点评：本题考查三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦、余弦公式，以及三角函数的周期性，属于中档题．18．（12分）（2015春•上海校级期中）已知A={α|2cos2α﹣3c osα+1≤0，α∈R}，B={α|2sinα＞1，α∈R}，（1）求集合A∩B；（2）若对任意x∈A∩B，都有恒成立，求m 的取值范围．考点：交集及其运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：集合．分析：（1）分别求出关于A、B中的α的范围，从而求出A∩B，（2）问题转化为对任意x∈A∩B，都有m＞﹣（cosx﹣）2恒成立，求出即可．解答：解（1）A={α|2cos2α﹣3cosα+1≤0，α∈R}={α|（2cosα﹣1）（cosα﹣1）≤0，α∈R}={α|≤cosα≤1，α∈R}={α|2kπ﹣≤α≤2kπ+，α∈R}，B={α|2sinα＞1，α∈R}={α|sinα＞0}={α|2kπ＜α＜2kπ+π}，∴A∩B={α|2kπ＜α≤2kπ+，k∈Z}，（2）由⇒cos2x﹣4sin（+）cos（+）+m＞0⇒cos2x﹣2sin（+x）+m＞0⇒cos2x﹣2cosx+m＞0⇒2cos2x﹣1﹣2cosx+m＞0⇒m＞﹣2（cosx﹣）2∴若对任意x∈A∩B，都有恒成立，即对任意x∈A∩B，都有m＞﹣2（cosx﹣）2恒成立，∵x∈（2kπ，2kπ+]，∴cosx∈[，1），∴0≤2（cosx﹣）2≤，∴m＞．点评：本题考查了集合的运算，考查三角函数的运算，考查函数恒成立问题，本题是一道中档题．四、附加题（本大题共2小题，满分20分）19．（10分）（2015春•上海校级期中）已知△ABC的三个内角A，B，C满足：，求的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的积化和差公式．专题：计算题．分析：先根据A，B，C的关系求出B的值，再代入到中得到cosA，cosC的关系，根据和差化积及积化和差公式化简，再将cos，cos（A+C）的值代入整理后因式分解，即可求出的值．解答：解：由题设条件知B=60°，A+C=120°．∵，∴将上式化为利用和差化积及积化和差公式，上式可化为将代入上式得将代入上式并整理得，∵，∴从而得点评：本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．20．（10分）（2015春•上海校级期中）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足tanB=，（1）判断△A BC的形状，并加以证明；（2）当a=2，∠B=x时，将y=表示成y=f（x）的形式，并求此函数的定义域，当x为何值时，y=f（x）有最值？并求出最值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数的定义域及其求法．专题：解三角形；不等式的解法及应用．分析：（1）切和弦共同存在的等式中，一般要切化弦，根据两外项之积等于两内项之积，把分式化为整式，移项，逆用两角和的余弦公式，把脚C化为A+B用两角和的余弦公式展开，合并同类项，得到两角余弦乘积为零，则两角中必有一个直角．（2）由题意及（1）可得：A=，由正弦定理可解得b=2sinx，c=2cosx，从而可得，．设sinx+cosx=t，，设u=2t+1，，=，由x的范围，可求t，u的范围，利用基本不等式的解法即可得解．解答：解：（1）△ABC是直角三角形．证明：由已知得：=，∴sinAsinB+sinBsin（C﹣B）=cosBcos（C﹣B），移项，逆用两角和的余弦公式得：sinAsinB=cosC，∵在△ABC中，cosC=﹣cos（A+B），∴sinAsinB=﹣cos（A+B），∴cosAcosB=0，∴co sA=0或 cosB=0，∴△ABC是直角三角形．（2）∵当a=2，∠B=x时，由（1）可得：A=，由正弦定理可得：2==，sinC=cosx．∴解得：b=2sinx，c=2cosx，∴，．设sinx+cosx=t，，设u=2t+1，，=，∵，当时，．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，函数的定义域及其求法，不等式的解法及应用，考查了换元法和转化思想，属于难题．。
上海市实验中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题
【易错点晴】本题的设置将面积与余弦定理有机地结合起来,有效地检测了综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和三角形的面积公式及余弦定理探究出三边 的关系 及 ,先求出 ,在运用余弦定理得到 .
10．
【解析】
由 在区间 内单调递增,且 的图像关于直线 对称,可得 ,且 ,所以
（2）当 时，求函数 的解析式；
（3）设函数 ， ，其中 为参数，且满足关于 的不等式 有解，若对任意 ，存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．
【解析】
【分析】
根据点P求出角的正切值，从而求得角 ，由终边相同的角的性质即可写出答案.
【详解】
因为点P在第一象限，所以 ， ，
则与 终边相同的角的集合为 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ，求 的 最大值.
19．甲、乙两人解关于 的方程： 甲写错了常数b，得到根为 ，乙写错了常数c，得到根为 .求方程的真正根．
20．已知函数 ，任取 ，若函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，记 .
（1）求函数 的最小正周期及对称轴方程；
故答案为：
【点睛】பைடு நூலகம்
本题考查任意角的三角函数的定义，终边相同的角的表示方法，属于基础题.
2．
【分析】
根据对数的运算性质，可得 ，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，根据对数的运算性质，可得 ，
可得 ，解得 .
故答案为 .
【点睛】
本题主要考查了对数的运算性质及其应用，其中解答中熟记对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
上海市实验中学2021-2021学年高一数学上学期期中质量检测试题试题(含解析)
可修改 欢迎下载上海市实验中学2021-2021学年高一数学上学期期中质量检测试题试题（含解析）一、填空题1.设集合{}{}20,1,2,|320M N x x x ==-+≤，则MN =_____.【答案】{}1,2 【解析】 【分析】求出集合{}12N x x =≤≤，由集合的基本运算“交”即可求解。
【详解】由{}{}2|32012N x x x x x =-+≤=≤≤，{}0,1,2M =，所以{}1,2MN =。
故答案为：{}1,2【点睛】本题考查了集合的基本运算“交”，属于基础题。
2.已知x ∈R ，命题“若25x <<，则27100x x -+<”的否命题是______. 【答案】若2x ≤或5x ≥，则27100x x -+≥ 【解析】 【分析】根据四种命题的形式，直接写其否命题.【详解】原命题的否命题是“若2x ≤或5x ≥，则27100x x -+≥” 故答案为：若2x ≤或5x ≥，则27100x x -+≥【点睛】本题考查四种命题的书写形式，属于基础题型，若原命题是“若p 则q ” 那么否命题：“若p ⌝则q ⌝”，逆命题：“若q 则p ”，逆否命题：“若q ⌝则p ⌝”. 3.函数()2f x x =-的定义域为_____________. 【答案】{}12x x x ≥-≠且 【解析】要使函数有意义需满足1020x x +≥⎧⎨-≠⎩得{}12x x x ≥-≠且，则函数的定义域为{}12x x x ≥-≠且，故答案为{}12x x x ≥-≠且.4.已知集合{}{}2|60,|20,M x x x N y ay a R =+-==+=∈，若满足MN N =的所有实数a 形成集合为A ，则A 的子集有个_____ 【答案】8 【解析】 【分析】求出集合{}3,2M =-，由M N N =得N M ⊆，进而求出集合A ，由此能求出A 的子集个数。
【详解】集合{}{}2|603,2M x x x =+-==-，由MN N =得N M ⊆，当N =∅时，0a =； 当{}3N =-时，23a =； 当{}2N =时，1a =-；21,0,3A ⎧⎫∴=-⎨⎬⎩⎭A ∴的子集个数有328=故答案为：8【点睛】本题考查集合的基本关系以及集合的子集个数；若N 中有n 个元素，则其所有子集的个数为2n ，本题属于基础题。
上海上海市实验学校西校数学高一下期中经典题
一、选择题1．(0分)[ID ：12416]水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（ ）A ．2B ．217C ．2D ．82．(0分)[ID ：12413]已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（ ）A ．48πB ．24πC ．16πD ．323π3．(0分)[ID ：12408]已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．()(),11,∞∞--⋃+C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+ 4．(0分)[ID ：12381]对于平面、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( ) A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B ．若//,a b b α⊂,则//a αC ．若//,,,a b αβαγβγ==则//a bD ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα5．(0分)[ID ：12379]已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ）A ．3B ．212C ．22D ．26．(0分)[ID ：12373]已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且m ⊂αB ．m ⊥n ，且n ∥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β 7．(0分)[ID ：12355]已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-=8．(0分)[ID ：12352]已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a =A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或19．(0分)[ID ：12331]矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A ．12512πB ．1259πC ．1256πD ．1253π 10．(0分)[ID ：12393]点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（ ） A ．1256π B ．8π C ．2516π D ．254π 11．(0分)[ID ：12387]α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）①若α//β，m ⊂α，则m//β； ②若m//α，n ⊂α，则m//n ；③若α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ，则m ⊥β ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β. A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④12．(0分)[ID ：12410]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A ．26 B ．36 C ．23 D ．2213．(0分)[ID ：12335]已知平面αβ⊥且l αβ=，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）. A ．若//m α且//m β，则//m lB ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥ 14．(0分)[ID ：12363]若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶5D ．3∶2 15．(0分)[ID ：12360]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．64B ．643C ．16D ．163二、填空题16．(0分)[ID ：12475]如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的结论的序号为________．17．(0分)[ID ：12462]若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .18．(0分)[ID ：12458]已知圆22(1)16x y ++=，点(1,0),(1,0)E F -，过(1,0)E -的直线1l 与过(1,0)F 的直线2l 垂直且圆相交于,A C 和,B D ，则四边形ABCD 的面积的取值范围是_________.19．(0分)[ID ：12518]若过点(8,1)P 的直线与双曲线2244x y -=相交于A ，B 两点，且P 是线段AB 的中点，则直线AB 的方程为________．20．(0分)[ID ：12517]过点(1,2)-且与直线2390x y -+=垂直的直线方程为____________．21．(0分)[ID ：12454]如图，在ABC 中，AB BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于点D ，E ，又SA AB =，SB BC =，则二面角E BD C --的大小为_______________.22．(0分)[ID ：12441]如上图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1AB CC 、的中点，1MB P ∆的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题：A ．平面1MB P 1ND ⊥； B ．平面1MB P ⊥平面11ND A ；C ．∆1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值；D ．∆1MB P 在侧面11D C CD 上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是__________.23．(0分)[ID ：12498]函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________.24．(0分)[ID ：12495]正四棱锥S -ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为______．25．(0分)[ID ：12453]在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为_____________.三、解答题26．(0分)[ID ：12627]已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0，（m ∈R ）．（1）证明：无论m 取何值，直线l 过定点；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时m 的值及最短弦长．27．(0分)[ID ：12572]如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，AC 与BD 交于点O ，E ，F 分别为AB ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：AF ⊥平面POD ．28．(0分)[ID ：12545]如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60,,ABC E F ∠=分别是,BC PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PAD ；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 3B AF C --的正切值．29．(0分)[ID ：12544]已知圆()22:14C x y -+=内有一点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点．（1）当点P 为AB 中点时，求直线l 的方程；（2）当直线l 的倾斜角为45时，求弦AB 的长．30．(0分)[ID ：12540]已知圆C 的方程：22240x y x y m +--+=．（1）求m 的取值范围；（2）若圆C 与直线l ：240x y +-=相交于M ，N 两点，且45||5MN =，求m 的值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．D3．D4．C5．D6．D7．B8．D9．C10．D11．B12．A13．D14．C15．D二、填空题16．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直17．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h底面积为S体积为V则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积18．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与19．【解析】【分析】设出的坐标代入双曲线方程两式相减根据中点的坐标可知和的值进而求得直线的斜率根据点斜式求得直线的方程【详解】设则直线的方程为即故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的方程直线的斜率公式直线20．【解析】【分析】因为直线l与已知直线垂直根据两直线垂直时斜率的乘积为-1由已知直线的斜率求出直线l的斜率然后根据（-12）和求出的斜率写出直线l的方程即可【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为所21．60°【解析】【分析】首先证得是二面角的平面角解直角三角形求得的大小【详解】由于是的中点所以由于所以平面所以由于平面所以而所以平面所以所以是二面角的平面角设则所以所以在中所以所以故答案为：【点睛】本22．【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断对于A当动点P与点重合时以等腰三角形与不垂直所以不能得出平面A为假命题；对于B易证所以平面所以平面⊥平面故B 为真命题；对于C在底面上的射影图形的面积为定值23．【解析】【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】24．【解析】如图过S作SO1⊥平面ABCD由已知=1在Rt△SO1C中∵SC＝∴∴O1S＝O1A＝O1B＝O1C＝O1D故O1是过SABCD点的球的球心∴球的半径为r＝1∴球的体积为点睛：与球有关的组合25．【解析】【分析】作出直线和平面所成的角解直角三角形求得线面角的正弦值【详解】设为的中点连接根据正方体的性质可知平面所以是直线和平面所成的角设正方体的边长为在中所以故答案为：【点睛】本小题主要考查线面三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】依题意由111A B C △的面积为22，解得114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ．【详解】依题意，因为111A B C △的面积为22， 所以1111122sin 452AC B C ︒=⨯⋅=1112222B C ⨯⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：22228268217AB AC BC =+=+==．故选B ．【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半. 2．D解析：D【解析】【分析】根据球的性质可知球心O 与ABC ∆外接圆圆心O '连线垂直于平面ABC ；在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中利用勾股定理构造出关于半径R 和OO '的方程组，解方程组求得R ，代入球的体积公式可得结果.【详解】设O '为ABC ∆的外心，如下图所示：由球的性质可知，球心O 与O '连线垂直于平面ABC ，作OE AD ⊥于E设球的半径为R ，OO x '=ABC ∆为等边三角形，且3AB = 3AO '∴=OO '⊥平面ABC ，AD ⊥平面ABC ，OE AD ⊥OO AE x '∴==，3OE AO '==在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中，由勾股定理得：22222OE PE O O O A R ''+=+=，即()222363x x R +-=+= 解得：3x =，23R =∴球的体积为：343233V R ππ== 本题正确选项：D【点睛】本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径.3．D解析：D【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031--- =﹣1，PB 的斜率为2031--=1， ∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1，故选：D ．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.4．C解析：C【解析】【分析】【详解】 若由线面垂直的判定定理知,只有当和为相交线时,才有 错误； 若此时由线面平行的判定定理可知,只有当在平面 外时,才有错误；由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若//αβ，a αγ⋂=，b βγ=，则//a b 为真命题, 正确； 若此时由面面平行的判定定理可知,只有当、为相交线时,才有//,D βα错误.故选C.考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系. 5．D解析：D【解析】【分析】当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值.【详解】圆C 方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1． 因为PA ，PB 为切线，221PC PA ∴=+且1=2122PACB S PA PA ⨯⨯⨯==四边形． ∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小， 此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>． 又min 21PC k =+，222221+1k ⎛⎫∴=+，2k ∴=，故选D. 【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题. 6．D解析：D【解析】【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案.【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立； //m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.7．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等，=．即：221244x x y y +-++-229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=． 故选B ．8．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9．C解析：C 【解析】 【分析】由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解. 【详解】因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且球的半径为AC 长度的一半，即22115222r AC AB BC ==+=，所以334451253326V r πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.故选：C 【点睛】本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.10．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意知，ABC 是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积ABCS不变，高最大时体积最大，所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为12·33ABC S DQ =，即12133DQ ⨯⨯=，∴2DQ =，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO 中，222OA AQ OQ =+，即()22212R R =+-，∴54R =，则这个球的表面积为：2525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭；故选Ｄ．考点：球内接多面体，球的表面积．11．B解析：B 【解析】 【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β． 【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ， 由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．12．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=2323⨯=，∴13OO ==，∴高SD=2OO 1，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC∴13S ABC V -==三棱锥考点：棱锥与外接球，体积． 【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．13．D解析：D 【解析】 【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可. 【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确； 选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确； 选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D . 【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.14．C解析：C 【解析】 【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝r ．∴S 侧＝πrl ＝πr 2，S 底＝πr 故选C ． 【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．15．D解析：D 【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433V =⨯⨯=，故选D.二、填空题16．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直 解析：③④ 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：因为1,,,A M C C 四边不共面，所以直线AM 与1CC 是异面直线，所以①错误的；同理，直线AM 与BN 也是异面直线，直线BN 与1MB 是异面直线，直线AM 与1DD 是异面直线，所以②是错误的；③是正确的,④是正确的，故填③④．考点：空间中直线与直线的位置关系的判定．17．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r 高为h 底面积为S 体积为V 则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积 解析：2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，底面积为S ，体积为V ，则有2πr =2⇒r =1π，故底面面积S =πr 2=π×(1π)2=1π，故圆柱的体积V =Sh =1π×2=2π. 考点：圆柱的体积18．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与解析：⎡⎤⎣⎦【解析】 【分析】由题可知8AC =,而过(1,0)F 的弦BD 过圆心时最长,与EF 垂直时最短,据此则可以确定四边形ABCD 的面积的取值范围. 【详解】由题知,直线1l 过圆心(1,0)E -,故8AC =,设圆心(1,0)E -到直线2l 的距离为d ,则02d EF ≤≤=,所以BD ⎡⎤=⎣⎦,所以四边形ABCD的面积12S AB CD ⎡⎤=⋅⋅∈⎣⎦; 故答案为:⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题主要考查直线与圆相交时的弦长､面积问题,解题关键是明确:过圆内一点的作弦,弦过圆心时最长,与最长的弦垂直时弦最短.19．【解析】【分析】设出的坐标代入双曲线方程两式相减根据中点的坐标可知和的值进而求得直线的斜率根据点斜式求得直线的方程【详解】设则直线的方程为即故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的方程直线的斜率公式直线 解析：2150x y --=【解析】 【分析】设出,A B 的坐标，代入双曲线方程，两式相减,根据中点的坐标可知12x x +和12y y +的值,进而求得直线AB 的斜率，根据点斜式求得直线的方程. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则1216x x +=，122y y +=，2222112244,44x y x y -=-=，()()()()121212120x x x x y y y y ∴+--+-=()()12121680x x y y ∴---=，12121628y y x x -==- 2AB k ∴=，∴直线的方程为()128y x -=-，即2150x y --=，故答案为2150x y --=.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、直线的斜率公式、直线点斜式方程的应用，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.20．【解析】【分析】因为直线l 与已知直线垂直根据两直线垂直时斜率的乘积为-1由已知直线的斜率求出直线l 的斜率然后根据（-12）和求出的斜率写出直线l 的方程即可【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为所 解析：3210x y +-=【解析】 【分析】因为直线l 与已知直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由已知直线的斜率求出直线l 的斜率，然后根据（-1，2）和求出的斜率写出直线l 的方程即可． 【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为23 ，所以直线l 的斜率为32- ， 则直线l 的方程为：3212y x -=-+（） ，化简得3210x y +-=.即答案为3210x y +-=． 【点睛】本题考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道基础题．21．60°【解析】【分析】首先证得是二面角的平面角解直角三角形求得的大小【详解】由于是的中点所以由于所以平面所以由于平面所以而所以平面所以所以是二面角的平面角设则所以所以在中所以所以故答案为：【点睛】本解析：60° 【解析】 【分析】首先证得EDC ∠是二面角E BD C --的平面角，解直角三角形求得EDC ∠的大小. 【详解】由于SB BC =，E 是SC 的中点，所以SC BE ⊥，由于,SC DE DE BE E ⊥⋂=，所以SC ⊥平面BDE ，所以SC BD ⊥.由于SA ⊥平面ABC ，所以SA BD ⊥，而SA SC S ⋂=，所以BD ⊥平面SAC ，所以,BD DC BD DE ⊥⊥，所以EDC ∠是二面角E BD C --的平面角.设1SA AB ==，则SB BC ==2SC =，所以在Rt SAC ∆中，12SA SC =，所以30SCA ∠=，所以60EDC ∠=. 故答案为：60【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22．【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断对于A 当动点P 与点重合时以等腰三角形与不垂直所以不能得出平面A 为假命题；对于B 易证所以平面所以平面⊥平面故B 为真命题；对于C 在底面上的射影图形的面积为定值 解析：BC【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断，对于A ，当动点P 与点1D 重合时，MNP ∆以等腰三角形，PM 与1ND 不垂直，所以不能得出平面11MB P ND ⊥，A 为假命题；对于B ，易证11111ND MB MB A D ⊥⊥，，所以1MB ⊥平面11ND A ，所以平面1MB P ⊥平面11ND A ，故B 为真命题；对于C ，∆ 1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值，因为1MB P ∆在底面ABCD 的射影是三角形，底边是MB ，点P 在底面的射影在CD 上，到MB 的距离不变，若正方体棱长为a 时，则射影面积为214a 为定值，所以C 为真命题；对于D ，当P 点与点1C 重合时，则点1B 与点P 的投影重合，此时∆ 1MB P 在侧面11D C CD 上的射影图形是线段，不是三角形，故D 是假命题。
上海市实验学校高一数学下学期期中试卷(含解析)
2014-2015学年上海市实验学校高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）（2015春•上海校级期中）若α∈（0，π），且角α的终边与角5α的终边相同，则α=．考点：终边相同的角．专题：三角函数的求值．分析：写出与α终边相同的角的集合，列出方程求解即可．解答：解：∵与α终边相同的角的集合为{β|β=α+2kπ，k∈Z}．角α的终边与角5α的终边相同，∴5α=α+2kπ，α∈（0，π），∴α=，可得k=1，α=．故答案为：．点评：本题考查了终边相同的角的集合的写法，是基础的会考题型．2．（4分）（2015春•上海校级期中）化简：= ﹣1 ．考点：运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：直接利用诱导公式化简求解即可．解答：解：==﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．3．（4分）（2015春•上海校级期中）一个半径为2的扇形，若它的周长等于所在的圆的周长，则该扇形的圆心角是2π﹣2 ．考点：弧长公式．专题：计算题；三角函数的求值．分析：设圆心角为θ，弧长为l，建立方程，求得弧长，再求扇形的圆心角即可．解答：解：设圆心角为θ，弧长为l，由题意得4+l=4π，解得l=4π﹣4∴圆心角θ==2π﹣2故答案为：2π﹣2．点评：本题考查弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，属基础题．4．（4分）（2015春•上海校级期中）已知cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα=﹣，且β是第三象限的角，则sinβ=．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由两角差的余弦公式可得cosβ，进而由同角三角函数的基本关系可得．解答：解：∵cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα=﹣，∴cos[（α﹣β）﹣α]=﹣，即cosβ=﹣，∵β是第三象限的角，∴sinβ=﹣=﹣，故答案为：．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．5．（4分）（2015春•上海校级期中）已知△ABC中，a=7，b=8，A=60°，则边c= 3或5．．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理得出a2=b2+c2﹣2bccosA，把已知a，b及A的度数代入，利用特殊角的三角函数值化简，得出关于c的一元二次方程，求出方程的解即可得到c的值．解答：解：∵在△ABC，a=7，b=8，A=60°，∴根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bc•cosA得：72=82+c2﹣16c•cos60°，整理得：c2﹣8c+15=0，解得：c=3或c=5，则c的值为3或5．故答案为：3或5．点评：此题考查了余弦定理，一元二次方程的解法，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．（4分）（2015春•上海校级期中）若，则sin2α=．考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据已知等式可求tanα，由万能公式即可求值．解答：解：∵，∴整理可得：1+tanα=3﹣3tanα+2﹣2tanα，可得：tanα==，∴sin2α===．故答案为：．点评：本题主要考查了万能公式和三角函数求值，属于基本知识的考查．7．（4分）（2013•黄埔区一模）已知，，则tan（β﹣2α）等于﹣1 ．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：把已知条件利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，即可求出tanα的值，然后把所求式子中的角β﹣2α变为（β﹣α）﹣α，利用两角差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．解答：解：由==2tanα=1，得到tanα=，又，则tan（β﹣2α）=tan[（β﹣α）﹣α]===﹣1．故答案为：﹣1点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道基础题．8．（4分）（2015春•上海校级期中）若2sinθ+3cosθ=2，则sinθ+cosθ=或1 ．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：将已知等式两边平方整理可得（12sinθ+5cosθ）cosθ=0，从而解得cosθ=0，或者12sinθ+5cosθ=0，分别解得sinθ，cosθ的值，即可求和得解．解答：解：∵2sinθ+3cosθ=2，∴两边平方有：4sin2θ+12sinθcosθ+9cos2θ=4，（12sinθ+5cosθ）cosθ=0，所以有：cosθ=0，代入原式，得sinθ=1，或者12sinθ+5cosθ=0，解得：sinθ=﹣cosθ，代入原式，有：sinθ=﹣，cosθ=．所以可得：sinθ+cosθ=1，或者sinθ+cosθ=．故答案为：或1．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，属于基本知识的考查．9．（4分）（2015春•上海校级期中）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，则该八边形的面积的最大值为．考点：解三角形．专题：计算题；解三角形．分析：根据正弦定理可先求出4个三角形的面积，再由三角面积公式可求出正方形的边长进而得到面积，最后得到答案．解答：解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：4××1×1×sinα=2sinα，由余弦定理可得正方形边长为：=，故正方形面积为：2﹣2cosα，所以所求八边形的面积为：2sinα﹣2cosα+2=2sin（α﹣）+2，所以该八边形的面积的最大值为．故答案为：．点评：本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用．正、余弦定理是考查解三角形的重点，是必考内容．10．（4分）（2015春•上海校级期中）已知函数f（x）=x2+bx+c，对于任意α，β∈R都有f （sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0，若f（sinα）的最大值为10，则f（x）= x2﹣5x+4 ．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（sinα）≥0知，x∈[﹣1，1]时，f（x）≥0，同样可得x∈[1，3]时，f（x）≤0，从而得到f（1）=0，从而可得到f（x）在[﹣1，1]上单调递减，从而便可得到f（﹣1）=10，这样便可得到不等式组，解出b，c即可得出f（x）．解答：解：由已知条件知，x∈[﹣1，1]时，f（x）≥0，x∈[1，3]时，f（x）≤0；∴f（1）=0，f（x）在[﹣1，1]上单调递减；f（sinα）的最大值为10；∴f（﹣1）=10；∴解得，；∴f（x）=x2﹣5x+4．故答案为：x2﹣5x+4．点评：考查正余弦函数的值域，根据条件可画出函数f（x）的草图求解，函数单调性定义的运用，要熟悉二次函数的图象．二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，满16分）11．（4分）（2015•嘉兴二模）在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：由正弦定理知，由sinA＞sinB，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可得结论．解答：解：若sinA＞sinB成立，由正弦定理=2R，所以a＞b，所以A＞B．反之，若A＞B成立，所以a＞b，因为a=2RsinA，b=2RsinB，所以sinA＞sinB，所以sinA＞sinB是A＞B的充要条件．故选C．点评：本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形．属于基础题．12．（4分）（2015春•上海校级期中）设集合A={x|x=π+，k∈z}，B={x|x=kπ+，k∈z}，C={x|x=kπ+，k∈z}，则A∩（B∪C）=（）A．B．C．D．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出B与C的并集，找出A与并集的交集即可．解答：解：∵A={x|x=π+，k∈Z}，B={x|x=kπ+，k∈Z}，C={x|x=kπ+，k∈Z}，∴A∩（B∪C）={x|x=2kπ±，k∈Z}，故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．13．（4分）（2015春•上海校级期中）已知，则下列不等式中正确的是（）A．sin（sinα）＜sin（tanα）＜sinαB．s in（sinα）＜sinα＜sin（tanα）C．sin（tanα）＜sinα＜sin（sinα）D．s inα＜sin（sinα）＜sin（tanα）考点：三角函数线．专题：三角函数的求值．分析：由，得到0＜sinα＜α＜tanα＜1，利用三角函数的单调性解答．解答：解：因为，所以0＜sinα＜α＜tanα＜1，所以sin（sinα）＜sinα＜sin（tanα）；故选：B．点评：本题考查了三角函数的单调性；注意角度范围以及对应函数的单调性．14．（4分）（2015春•上海校级期中）已知△ABC中，AB=2，，则△ABC的面积的最大值为（）A．2B．2C．2 D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：综合题；解三角形．分析：设BC=a，则AC=a，利用余弦定理可求得cos2B=+﹣，再利用三角形的面积公式可求得S△ABC=asinB，继而可求S△ABC2=﹣（a2﹣12）2+8，从而可得△ABC面积的最大值．解答：解：依题意，设BC=a，则AC=a，又AB=2，由余弦定理得：（a）2=a2+AB2﹣2a•ABcosB，即a2+4acosB﹣4=0，∴cosB==﹣，∴cos2B=+﹣，∴sin2B=1﹣cos2B=﹣﹣．∵S△ABC=AB•BCsinB=×2asinB=asinB，∴S2△ABC=a2sin2B=a2（﹣﹣）=﹣+a2﹣1=﹣（a4﹣24a2）﹣1=﹣（a2﹣12）2+8，当a2=12，即a=2时，2、2、2能组成三角形，∴S2max=8，∴S max=2．故选：A．点评：本题考查余弦定理与正弦定理的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得S2△ABC=﹣（a2﹣12）2+8是关键，也是难点，属于难题．三、解答题（本大题共4小题，满分44分）15．（10分）（2015春•上海校级期中）在△ABC中，，（1）求角B的值；（2）若b=3，sinC=2sinA，求边长a、c的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由已知式子和两角和的正切公式变形可得tanB，可得B值；（2）由正弦定理和已知可得c=2a，再由余弦定理可得a值，可得c值．解答：解：（1）∵在△ABC中，，∴tanB+tanC=tanA（tanC﹣1），∴tanB=tanAtanC﹣（tanA+tanC）=tanAtanC﹣tan（A+C）（1﹣tanAtanC），∴tanB=tanAtanC+tanB（1﹣tanAtanC），∴tanB﹣tanB（1﹣tanAtanC）=tanAtanC，∴tanBtanAtanC=tanAtanC，∴tanB=，∴B=，（2）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理得c=2a，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，代入数据可得，解得，∴．点评：本题考查解三角形，涉及正余弦定理的综合应用以及两角和与差的正切函数的变形应用，属中档题．16．（10分）（2015春•上海校级期中）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（1）求的值；（2）设0≤β≤≤α≤π，，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：（1）代值计算可得答案；（2）由题意和同角三角函数的基本关系可得sinα和cosβ的值，进而由两角和的余弦公式可得．解答：解：（1）由题意可得=2sin（×﹣）=2sin=；（2）∵0≤β≤≤α≤π，，f（3β+2π）=，∴f（3α+）=2sin（α+﹣）=2sinα=，∴sinα=，f（3β+2π）=2sin（β+﹣）=2cosβ=，∴cosβ=，∴cosα=﹣=﹣，sinβ=，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ==﹣．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．17．（12分）（2015春•上海校级期中）在平面直角坐标系xOy中，钝角α+的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合．若α+的终边与单位元圆交于点．（1）求t的值；（2）求cosα和sinα的值；（3）设，求f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．考点：两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：（1）根据题意和三角函数的定义求出cos（α+）的值，再由平方关系求出t的值；（2）根据两角和的正弦、余弦公式列出方程组，求出cosα和sinα的值；（3）根据三角函数的周期公式求出f（x）的周期，再求出一个周期内的函数值，利用函数的周期性求出式子的值．解答：解：（1）∵钝角α+的终边与单位元圆交于点，∴根据三角函数的定义，cos（α+）=，∴t=sin（α+）==；（2）由sin（α+）=、cos（α+）=得，（sinα+cosα）=，①（cosα﹣sinα）=，②由①②解得，cosα=，sinα=；（3）∵f（x）=cos（+α），∴函数f（x）的周期T==4，∴f（1）=cos（+α）=﹣sinα=﹣，f（2）=cos（π+α）=﹣cosα=﹣，f（3）=cos（π+α）=sinα=，f（4）=cos（2π+α）=cosα=，f（5）=cos（+α）=﹣sinα，…，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0；∴f（1）+f（2）+…+f（2015）=f（1）+f（2）+f（3）=﹣﹣+=﹣．点评：本题考查三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦、余弦公式，以及三角函数的周期性，属于中档题．18．（12分）（2015春•上海校级期中）已知A={α|2cos2α﹣3cosα+1≤0，α∈R}，B={α|2sinα＞1，α∈R}，（1）求集合A∩B；（2）若对任意x∈A∩B，都有恒成立，求m 的取值范围．考点：交集及其运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：集合．分析：（1）分别求出关于A、B中的α的范围，从而求出A∩B，（2）问题转化为对任意x∈A∩B，都有m＞﹣（cosx﹣）2恒成立，求出即可．解答：解（1）A={α|2cos2α﹣3cosα+1≤0，α∈R}={α|（2cosα﹣1）（cosα﹣1）≤0，α∈R}={α|≤cosα≤1，α∈R}={α|2kπ﹣≤α≤2kπ+，α∈R}，B={α|2sinα＞1，α∈R}={α|sinα＞0}={α|2kπ＜α＜2kπ+π}，∴A∩B={α|2kπ＜α≤2kπ+，k∈Z}，（2）由⇒cos2x﹣4sin（+）cos（+）+m＞0⇒cos2x﹣2sin（+x）+m＞0⇒cos2x﹣2cosx+m＞0⇒2cos2x﹣1﹣2cosx+m＞0⇒m＞﹣2（cosx﹣）2∴若对任意x∈A∩B，都有恒成立，即对任意x∈A∩B，都有m＞﹣2（cosx﹣）2恒成立，∵x∈（2kπ，2kπ+]，∴cosx∈[，1），∴0≤2（cosx﹣）2≤，∴m＞．点评：本题考查了集合的运算，考查三角函数的运算，考查函数恒成立问题，本题是一道中档题．四、附加题（本大题共2小题，满分20分）19．（10分）（2015春•上海校级期中）已知△ABC的三个内角A，B，C满足：，求的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的积化和差公式．专题：计算题．分析：先根据A，B，C的关系求出B的值，再代入到中得到cosA，cosC的关系，根据和差化积及积化和差公式化简，再将cos，cos（A+C）的值代入整理后因式分解，即可求出的值．解答：解：由题设条件知B=60°，A+C=120°．∵，∴将上式化为利用和差化积及积化和差公式，上式可化为将代入上式得将代入上式并整理得，∵，∴从而得点评：本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．20．（10分）（2015春•上海校级期中）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足tanB=，（1）判断△ABC的形状，并加以证明；（2）当a=2，∠B=x时，将y=表示成y=f（x）的形式，并求此函数的定义域，当x为何值时，y=f（x）有最值？并求出最值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数的定义域及其求法．专题：解三角形；不等式的解法及应用．分析：（1）切和弦共同存在的等式中，一般要切化弦，根据两外项之积等于两内项之积，把分式化为整式，移项，逆用两角和的余弦公式，把脚C化为A+B用两角和的余弦公式展开，合并同类项，得到两角余弦乘积为零，则两角中必有一个直角．（2）由题意及（1）可得：A=，由正弦定理可解得b=2sinx，c=2cosx，从而可得，．设sinx+cosx=t，，设u=2t+1，，=，由x的范围，可求t，u的范围，利用基本不等式的解法即可得解．解答：解：（1）△ABC是直角三角形．证明：由已知得：=，∴sinAsinB+sinBsin（C﹣B）=cosBcos（C﹣B），移项，逆用两角和的余弦公式得：sinAsinB=cosC，∵在△ABC中，cosC=﹣cos（A+B），∴sinAsinB=﹣cos（A+B），∴cosAcosB=0，∴cosA=0或 cosB=0，∴△ABC是直角三角形．（2）∵当a=2，∠B=x时，由（1）可得：A=，由正弦定理可得：2==，sinC=cosx．∴解得：b=2sinx，c=2cosx，∴，．设sinx+cosx=t，，设u=2t+1，，=，∵，当时，．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，函数的定义域及其求法，不等式的解法及应用，考查了换元法和转化思想，属于难题．。
2020-2021学年上海市实验学校高一(下)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年上海市实验学校高一（下）期中数学试卷一、填空题（共10小题）.1．终边在x轴上的角的全体用集合表示是．2．若扇形的弧长和半径都为2，则此扇形的面积为．3．已知角α的终边位于函数y＝﹣3x的图象上，则cos2α的值为．4．可以写成2sin（x+φ）的形式，其中0≤φ＜2π，则φ＝．5．在△ABC中，已知a＝4，b＝5，c＝6，则角A的正弦值为．6．已知tanθ＝2，则sin2θ+sec2θ的值为．7．已知函数y＝A sin（ωx+φ），其中A＞0，ω＞0，|φ|≤π．在一个周期内，当时，函数取得最大值2；当时，函数取得最小值﹣2，该函数的解析式为．8．已知函数既存在最大值M，又存在最小值m，则M+m的值为．9．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D为AC的中点，点E在BC 上，分别连接BD，AE，交点为F，若∠BFE＝45°，则CE＝．10．若x∈[﹣π，π]，则函数的值域为．二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分。
）11．如果，那么sinα﹣sinβ的值恒等于（）A．B．C．D．12．sin2x＝2sin x的一个充要条件是（）A．sin x＝0B．cos x＝0C．sin x＝1D．cos x＝113．函数y＝sin|x|（）A．是奇函数，也是周期函数B．是奇函数，不是周期函数C．是偶函数，也是周期函数D．是偶函数，不是周期函数14．设函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，，已知f（x）在[0，2π]上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤）15．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．①求sinα的值；②若角β满足sin（α+β）＝，求cosβ的值．16．求函数的定义域、值域及单调增区间．17．某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径是80m．矩形AGHM就是拟建的健身室，其中G、M分别在AB和AD上，H在上．设矩形AGHM的面积为S，∠HCF＝θ，（1）将S表示为θ的函数；（2）求健身室面积的最大值，并指出此时的点H在的何处？18．在△ABC中，a2+c2＝b2+ac．（1）求角B的大小；（2）求cos A+cos C的最大值；（3）若b＝4，求△ABC面积的最大值与周长的范围．四、附加题19．设x≥y≥z≥，且x+y+z＝，求乘积cos x sin y cos z的最大值和最小值．20．求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意θ∈[0，]，恒有（x+3+2sinθcosθ）2+（x+a sinθ+a cosθ）2≥．参考答案一、填空题（本大题满分40分，共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1．终边在x轴上的角的全体用集合表示是{θ|θ＝kπ，k∈Z}．解：终边落在x轴正半轴上的角的集合为{θ|θ＝2kπ，k∈Z}，终边落在x轴负半轴上的角的集合为{θ|θ＝π+2kπ＝（2k+1）π，k∈Z}，所以终边在x轴上的角的全体用集合表示是{θ|θ＝kπ，k∈Z}．故答案为：{θ|θ＝kπ，k∈Z}．2．若扇形的弧长和半径都为2，则此扇形的面积为2．解：∵扇形的弧长和半径都为2，∴S扇形＝lr＝×2×2＝2，故答案为：2．3．已知角α的终边位于函数y＝﹣3x的图象上，则cos2α的值为﹣．解：设点的坐标为（a，﹣3a），则r＝|a|，a＞0，sinα＝﹣，cosα＝，cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣；a＜0，sinα＝，cosα＝﹣，cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣．综上，cos2α的值为﹣．故答案为：﹣．4．可以写成2sin（x+φ）的形式，其中0≤φ＜2π，则φ＝．解：sin x﹣cos x＝2（sin x﹣cos x），∵0≤φ＜2π，∴cosφ＝，sinφ＝﹣，得φ＝，故答案为：5．在△ABC中，已知a＝4，b＝5，c＝6，则角A的正弦值为．解：在△ABC中，由a＝4，b＝5，c＝6，得cos A＝，∴sin A＝．故答案为：．6．已知tanθ＝2，则sin2θ+sec2θ的值为．解：因为tanθ＝2，所以sin2θ＝，并且sec2θ＝1+tan2θ＝1+4＝5，所以sin2θ+sec2θ＝．故答案为：．7．已知函数y＝A sin（ωx+φ），其中A＞0，ω＞0，|φ|≤π．在一个周期内，当时，函数取得最大值2；当时，函数取得最小值﹣2，该函数的解析式为y＝2sin （2x+）．解：由题意可得A＝2，•＝﹣，求得ω＝2．再根据2sin（2•+φ）＝2，可得2•+φ＝2kπ+，k∈Z，解得：φ＝2kπ+，k∈Z，因为|φ|≤π，可得φ＝，∴函数的解析式为：y＝2sin（2x+）．故答案为：y＝2sin（2x+）．8．已知函数既存在最大值M，又存在最小值m，则M+m的值为4．解：，由于函数g（x）＝为奇函数，故可知f（x）关于（0，2）对称，根据对称性质可得，即M+m＝4．故答案为：4．9．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D为AC的中点，点E在BC 上，分别连接BD，AE，交点为F，若∠BFE＝45°，则CE＝．解：如图，设CE＝x，∠CBD＝α，∠CAE＝β，根据题意可得∠CDB＝90°﹣α＝45°+β，整理可得α+β＝45°，所以tan（α+β）＝1，所以，在Rt△BCD中，，在Rt△ACE中，，将代入，解得，所以．故答案为：．10．若x∈[﹣π，π]，则函数的值域为．解：是奇函数，则求出最大值即可知最小值．令，则，由于，当时，k＞0，此时从而，所以函数的值域为．二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分。
2019-2020学年上海市实验中学高一上学期期中质量检测试题数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市实验中学高一上学期期中质量检测试题数学试题一、单选题1．若a 、b 、c ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） A ．若ac>bc ，则a>b B ．若a 2>b 2，则a>bC ．若11a b<，则a>b D >a>b【答案】D【解析】若ac>bc ，则c>0时 a>b ；若2a >2b ，则|a|>|b|；若11a b<，则a>b 或a<0<b; 若>a>b ，所以选D.2．集合{|4M x x =≤且}x N ∈，{|,,P x x ab a b M ==∈且}a b ≠，P 的真子集个数是（ ） A.63 B.127C.1721-D.2021-【答案】B【解析】利用已知条件求出集合P ，然后可得真子集个数。
【详解】因为{|4M x x =≤且}x N ∈，{|,,P x x ab a b M ==∈且}a b ≠， 所以{}0,2,3,4,6,8,12P =，所以集合P 的真子集个数为：721127-= 故选：B 【点睛】本题考查集合的求法、真子集的个数问题，较简单，若N 中有n 个元素，则其所有子集的个数为2n 。
3．已知命题：“若1k ≤，则关于x 的不等式()()224210k x k x -++-≥的解集为空集”，那么它的逆命题，否命题，逆否命题，以及原命题中，假命题的个数是（ ） A.0 B.2C.3D.4【答案】B【解析】根据不等式的解集是空集求出对应的等价条件，然后根据四种命题之间的关系利用逆否命题的真假关系进行判断即可【详解】若22(4)(2)10k x k x -++-≥的解集为空集， 当240k -=，即2k =±时，当2k =，则不等式等价为410x -≥得14x ≥，解集不是空集，不满足条件。
当2k =-，则不等式等价为10-≥，解得集合为空集，满足条件。
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上海实验学校高一数学期中考试试卷
班级 姓名 学号
一、填空题（35分）
1．集合{}
2230A x x x =--=的非空真子集个数是____________． 2．命题“若1x =，则21x =”的逆否命题是________ ___．
3．不等式()()222430x x x x +-++≤的解集为______ _．
4．若0x >，则43x x --
的最大值是_____ _ _． 5．若不等式2350ax ax -+>的解集为R ，则a 的取值范围是 ．
6．集合{}{}
2230,A x x x B x x a =--<=>，若A B ⊂，则a 的取值范围是 ． 7．不等式220ax bx ++>的解集为1123x x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩⎭
，则b 的值为_____ _ _． 二、选择题（15分）
8．方程()0f x =的解集为M ，方程()0g x =的解集为N ，则方程()()0f x g x ⋅=的解集为（ ）
(A)M (B)N (C)M ⋃N (D) M ⋂N
9.下列式子中，与22x a >等价的是 （ ）
(A)x a or x a ><- (B) x a or x a ><- (C) a x a -<< (D) a x a -<<
10．“a b >”是“11a b
<”的 （ ） (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分又不必要条件
三、解答题（50分）
11．解不等式22150x x -->
12．设{}{}
2260,40A x x px B x x x q =-+==-+=，若{}3A B ⋂⊇，求p q +的值．
13．设集合{}{}
2222240,430A x x x B x x ax a =--<=-+<，若A B φ⋂=，求a 的取值范围．
14．已知集合(){}
2210A x x p x =-++=，若A R φ+⋂=，求实数p 的取值范围．
15．已知集合{}1122,,2z A z z B z z b z A ⎧⎫=-≤==
+∈⎨⎬⎩⎭
， （1）若A B φ⋂=，求b 的取值范围；
（2）若A B B ⋂=，求b 的取值范围．。