概率2
概率2
概率一、知识梳理（一）基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f (A)=A n n为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值A n n，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率（二）、概率的基本性质1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A∩B 为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1－P(B)。
2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
概率分布2二项分布样本分布
二项分布的参数
平均数μ np 标准差δ npq
np 2 np q
二项分布的应用
三种主要问题类型举例
182页：例6-6——是非题 182页：例6-7——单项选择题 196页：第17题——多项选择题
第四节 样本分布
样本分布：样本统计量的分布，统计推论的基 础。 学习必要性：我们的需要是归纳整个一类个 体——总体的某种属性。能测量到的只是它的 一部分，我们需要根据样本对总体作出推断。 形成样本的抽样：
概率和概率分布回顾
概率
自然界现象和人类社会现象
确定性现象
必然现象
随机现象
不可能现象
注意：一次观察的无法确切预测的性质，不是绝对的不确定
随机现象的确定性或规律性
随机现象的性质
偶然性：一次随机试验不能预测确定结果
规律性或必然性：多次随机试验（多次观察）
随机现象的规律性的数学指标
次数或频数：N次重复随机试验，观察事件A 发生的次数n。 频率：FN(A)=n/N 概率：当观测次数N趋近于无穷大＋∞时， FN(A)趋近于一个稳定的数值，我们把它叫做 事件A发生的概率P（A）。
Y: x事件出现的概率密度
Z分数及其线性转换T=KZ+C
抽样
研究样本
简单随机抽样：相互独立
随机数字表法 抽签法
等距抽样：个体间变异大、分布均匀时 分层抽样：总体已有的与研究有关的特征 整群抽样：自然群体抽取。分层整群抽样
抽样图示1
抽样图示2
概率分布的分类结构图1
分布
经验分布——频次分布 理论分布——概率分布 基本随机变量分布 抽样分布（样本分布）
概率论 2概率的统计定义、古典概型
个。
• 例８ 从1~100的一百个整数中任取一数，试求取到的整数能被 ６或８整除的概率。
几何概率( Geometric Probability)
将古典概率中的有限性推广到无限性，而保留等可
能性，就得到几何概率。
特点
有一个可度量的几何图形S 试验E看成在S中随机地投掷一点
事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中
投掷两颗骰子,试计算两颗骰子的点数之 和在4和10之间的概率. 解：设A表示点数之和在4和10之间
1 2 5 P( A) 1 2 2 36 36 6
求
P A B, P A B, P A B
设 P A 0.4,
P AB P A B P A AB 0.2
A B 0.4 0.7 0.2 0.9
0.4 0.3 0.2 0.5
古典概率 (Classical Probability)
考察如下几个试验：
抛两枚均匀的硬币，观察它们出现的正反面的情况。 掷骰子一颗，观察其点数。 掷一颗骰子并抛一枚硬币，观察骰子的点数和硬币的 正反面情况。
(2) 事件A,B有包含关系
解 (1) 由于 AB , 因此 A B A, B A B P( A B) P( A) 0.3 P( B A) P( B) 0.6
(2) 由已知条件和性质3,推得必定有
A B
P( A B) P() 0
P( B A) P( B) P( A) 0.3
它们都具备如下特点： （1）每次试验中，所有可能的结果只有有限多个。 （2）每次试验中，每一种可能的结果发生的可能性相同。 满足这些条件的数学模型称作古典概率。
概率论 第二章XTK2
PX { x } 1F ( x ) 1 1
⁂分布函数的性质
F ( x ) 1 , x (1) 0
x , 则 F x F x 1 2 1 2 (2) F(x)是单调不减的,即若 x
x x k
(2) 连续型随机变量
F ( x)
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f ( t )dt
1 . f(x )0
f(x)的性质
4 .F ( x ) f ( x ) ，在 f ( x ) 的连续 .
3 .P { x X x } x ) dx 1 2 f(
x 1
2 . f(x ) dx 1
三、某射手对靶射击，单发命中概率都为0.6，现 他扔一个均匀的骰子，扔出几点就对靶独立射击 几发，求他恰好命中两发的概率。解
四.某商店从早上开始营业起直到第一个顾客到达的 等待时间X(分)的分布函数是,
0 .4 x 1 e x0 F (x ) x0 0
求下列事件的概率: 等待时间 (1) “至多3分钟或至少5分钟”;
(3) F lim F x 0 , F lim F x 1
x x
(4) F(x)是右连续的,即F(x+0)=F(x)
(1) 离散型随机变量X的分布函数
P {Xx F ( x ) P { X x } k}
k e P { X k } , k 0 , 1 , 2 ,...
⁂分布律：P{X=xk}= pk, k =1,2, …
3) 泊松分布：X
~ ( )
概率第二章
0 1 1 1 η ~ 2 2
(1)求ξ和η的联合分布列 (1)求 (2)问 (2)问ξ和η是否独立？为什么？ 是否独立？为什么？
19
§2.3
随机变量函数的分布列
一、随机变量的函数 问题：已知随机变量ξ的分布， f(ξ 问题：已知随机变量ξ的分布，令η=f(ξ), 的分布。 求η的分布。 定理1 设ξ是(Ω，F，P)的一个随机变量，f(x)是一个 P)的一个随机变量 f(x)是一个 的一个随机变量， 定理1 可测函数， f(ξ 也是( P)上的的一个随机量 上的的一个随机量. 可测函数，则η=f(ξ)也是(Ω，F，P)上的的一个随机量.
引例3 引例 掷一枚硬币 ， Ω = {ω1,ω2} 引例4 掷一枚硬币 ， 10件产品，5件次品任取 件，其 引例 件产品， 件次品任取3件 件产品 件次品任取 中的次品数ξ=0。 中的次品数ξ=0。1，2，3
1
定义1 ,P）是概率空间, 是定义在Ω 定义1：设（ Ω, F,P）是概率空间, ξ=ξ(ω)是定义在Ω 上的实值函数， 上的实值函数，如果 ∀x∈ R 有：{ω ξ (ω) < x}∈ F ∈ 则称ξ 随机变量。 则称ξ为随机变量。 定义2 离散型随机变量） 定义2：（离散型随机变量）
x1
x2
p2
x2 L p2 L
L
L
P p1
x1 p 1
或：
3
假设有10种同种电器元件，其中有2只废品， 10种同种电器元件 例5 假设有10种同种电器元件，其中有2只废品，装配仪 器时，从这批元件任取一只，如果是废品，扔掉再取， 器时，从这批元件任取一只，如果是废品，扔掉再取， 直到取出正品， 表示取出正品之前已取出的废品个 取出正品之前已取出的废品个， 直到取出正品，令ξ表示取出正品之前已取出的废品个， 数求ξ的分布列。 数求ξ的分布列。 例6 n=5的Bernoulli试验中 试验中， P(A)=p， 表示5 在n=5的Bernoulli试验中，设P(A)=p，令ξ表示5次
概率论 第2
X的概率密度为：fX ( x)
1
e
(
x μ )2 2σ2
,
x
2πσ
Y的分布函数为：
FY
( y) P(
X
P(Y y) σy μ)
P( X μ σ
σy μ
y) 1 (
e 2πσ
x μ)2 2σ2
dx
于是Y的概率密度为： fY ( y) FY( y)
1
e
(
σy
μ 2σ2
μ
)2
一般地，有如下求离散型随机变量函数分布律的方法：
设X的分布律为：
X P
x1 p1
x2 xi p2 pi
Y 则Y g( X )的分布律为： P
g( x1 ) p1
g( x2 ) p2
g( xi ) pi
.
注：若g( xi )有相同的, 则把相应的pi相加, 即
P(Y y) pi g( xi ) y
h(
y)],
α
y 其它.
β,
(1)
当g x严格单调递增时,同理可得Y = g X 的概率密度
fY
(
y)
f
X
[h(
y )] 0,
h(
y),
α y β, 其它.
(2)
说 明 ：将(1)和(2)统一起来，就得到Y =g(X )的
概率密度的统一表达式
fY
( y)
f X [h( y)] 0,
(σy
μ)
2πσ
1 2π
y2
e2
,
故
Y
X ～N (0,
1).
方法二：利用公式法 Y X μ 是X的单调递增函数, 则 σ
《概率论》 第二章 基本定理
方法二
按乘法法则
1 1 A3 A2 3 P ( AB ) 2 A5 10
1 A3 3 P ( A) 1 , A5 5
P ( AB ) 3/10 1 由乘法法则 P ( B A) P ( A) 3/5 2
注 条件概率的计算方法： (1) 若问题比较简单，可根据实际意义，直接由定 义求P(B|A)； (2) 当问题比较复杂时，可在原样本空间中先求出 P(AB)和P(A)，再由乘法公式求出P(B|A).
1 2 2 1 207 C4 C 46 276 C C 4 46 ， P ( A1 ) ， P ( A ) 3 2 3 980 C 50 19600 C 50
C 43 P ( A3 ) 3 C 50
4 . 19600
故 P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )
定理2 若A，B为任意两事件，则
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ).
推广 三个事件和的情况
P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A3 ) P ( A1 A2 A3 ).
例如 同时抛掷一大一小两枚硬币，设事件 A={大硬币正面}，B={小硬币正面} 则基本事件共有4种情况： {大正,小正},{大正,小反},{大反,小正},{大反,小反}
2 1 2 1 , P(B)= , 于是 P(A)= 4 2 4 2 1 P(AB)= 4
有P(AB) = P(A)P(B) ，可见， A、B相互独立.
概率论第二章
分布函数与密度函数的关系
x
F ( x) = ∫
−∞
f (t )dt
密度函数性质
1. f ( x) ≥ 0 2. f ( x)dx = 1 ∫
−∞ +∞
3. P ( x ∈ (a, b)) = ∫ f ( x)dx
,−∞ < x < +∞
• 其中 µ , σ (σ > 0 ) 为常数 则称 服从参数为 为常数,则称 则称X服从参数为 2 的正态 µ ,σ 分布(或高斯分布 记为X~ N ( µ , σ 2 ) 或高斯分布),记为 分布 或高斯分布 记为 • 正态分布密度函数的图形关于直线 x = 对称,即对 对称 即对 任意常数 a, f ( µ − a ) = f ( µ + a ) • x = µ 时, f (x ) 取到最大值 取到最大值.
(1) P (Y ≥ 2 ) = 1 − 0 .9876 5 − 5 × 0 .9876 4 × 0 .0124 = 0 .0015
(2) P (Y ≥ 2 Y ≥ 1) = P ((Y ≥ 2) ∩ (Y ≥ 1)) P(Y ≥ 2) 0.0015 = = = 0.0248 5 P (Y ≥ 1) P(Y ≥ 1) 1 − 0.9876
， = 0， ， k 1 L5 ，
例2 射击进行到目标被击中或4发子 弹被用完为止.如果每次射击的命中 率都是0.4,求总射击次数X的分布律.
解 X=k所对应的事件为前k-1次射击均 未击中,第k次射击击中,故X的分布律 为:
X
P
1
2
2
3
3
4
4
概率2-3连续型随机变量及其概率密度-2
x
e
dt , x
概率论
( x)
( x )
概率论
7. 标准正态分布与一般正态分布的关系 定理1
X 若 X ~ N , , 则 Z ~ N 0 , 1 .
2
标准正态分布的重要性在于，任何一个一 般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准 正态分布.
概率论
例2 在一公共汽车站有甲、乙、丙 3人，分别等1、2、3路公交车，设 每人等车时间（分钟）都服从[0，5] 上的均匀分布，求3人中至少有2人 等车时间不超过2分钟的概率。
概率论
（II）指数分布 1. 含义：随机变量X描述对某一事件发生的 等待时间，各种不会变老的物品寿命。 2. 密度函数：若 r .v. X具有概率密度
x 2
2
Φ(x)
概率论
作业
58页，24，25，26，27，29，30
概率论
3σ准则
由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时， P{|X| ≤ 1}=2 Φ(1)-1=0.6826 P{|X| ≤ 2}=2 Φ(2)-1=0.9544 P{|X| ≤ 3}=2 Φ(3)-1=0.9974 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间
内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.
概率论
(2) X ~ N ( , 2 ), 求区间概率
X 若 X ~ N ( , ), 则 Y ~N(0,1)
2
P{ a X
a b Y } b} P{
b a ( ) ( )
概率论
例3 若 r. v. X～N(10,4),求 P{10<X<13}, P{│X-10│<2}. 例4 若 r. v. X～N(μ,σ2), P{X ≤ -1.6}=0.036， P{X ≤ 5.9}=0.758，求 P{X> 0}
《概率论》第2章2离散型随机变量-24页文档资料
第二章 随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 11/23
则
P{X1}P(A1) p
P{X2}P(A1A2)P(A2| A1)P(A1) p(1 p)
P{X3}P(A1A2A3) P (A 3|A 1A 2)P (A 2|A 1 )P (A 1 ) p(1 p)2
P{X 4} P (A 1 A 2A 3A 4) P (A 1 A (12 A 3 pA )4 3)
故 X的分布律为
P{X 0} 1 8
P{X
1}
3 8
P{X 2} 3 8
所有样本点 遍历一次
全部和为1
P{X 3} 1 8
分布律有什么特点
第二章 随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 3/23
pk0, k1,2,
pk 1
k 1
pk P{X xk}
k1
k1
P
U{X
k 1
xk }
P(S) 1
第二章 随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 8/23
只产生两个结果 A , 的A 试验 伯努利试验产生什么样的随机变量
将伯努利试验独立重复进行 n 次的试验
某战士用步枪对目标进行射击，记
Байду номын сангаас
A { 击中目标 } ,A { 没击中目标 } 每射击一次就是一个伯努利试验 ,如果对目标进行 n 次射
第二章 随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 6/23
如果 r.v 的X 分布律为
P{X c}1
则称 r.v 服X 从 单点，分其布中 为常数c
概率2
一、单选题1．投掷3枚均匀的硬币,至少有一枚正面向上的概率是()A．38B．12C．38D．782．甲、乙、丙三位同学独立地解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为111,,234，则有人能够解决这个问题的概率为（）A．34B．13C．14D．1243．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为16，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件A BU（B表示事件B的对立事件）发生的概率为()A．13B．12C．23D．564．下列结论错误的是A．一个事件的概率可能等于0B．对立事件一定是互斥事件C．P（A）+P（A）=1D．A、B为两个随机事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）5．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（）A．是对立事件B．是不可能事件C．是互斥但不对立事件D．不是互斥事件6．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局),在某次排球比赛中,甲队在每局比赛中获胜的概率都相等,均为23,前2局中乙队以2:0领先,则最后乙队获胜的概率是( )A．49B．1927C．1127D．40817．某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是（）A ．恰有2名男生与恰有4名男生B ．至少有3名男生与全是男生C ．至少有1名男生与全是女生D ．至少有1名男生与至少有1名女生8．若随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且分别为()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．5,24⎛⎫⎪⎝⎭B ．53,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．53,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．54,43⎛⎤⎥⎝⎦9．设事件A ，B ，已知()15P A =， ()13P B =，()815P A B =U ，则A ，B 之间的关系一定为( ) A ．两个任意事件B ．互斥事件C ．非互斥事件D ．对立事件10．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为（ ） A ．0.45 B ．0.67 C ．0.64D ．0.3211．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是男孩，则这时另一个小孩是女孩的概率是（ ） A ．23B ．13C ．12D ．3512．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830.则在吹东风的条件下下雨的概率为( ) A ．911 B ．811 C ．25 D ．8913．设某动物由出生算起活到20岁的概率为45，活到25岁的概率为25，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．3514．流星穿过大气层落在地面上的概率为0.002，流星数为10的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率为()A．3.32×10－5B．3.32×10－9C．6.64×10－5D．6.64×10－915．如果某一批玉米种子中,每粒发芽的概率均为23,那么播下5粒这样的种子,恰有2粒不发芽的概率是（）A．80243B．8081C．163243D．16372916．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，在已知第一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是（）A．14B．34C．12D．1817．为考察某种药物预防疾病的效果,科研人员进行了动物试验,结果如下表:在服药的前提下,未患病的概率为()A．35B．37C．911D．111518．小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是()A．19B．29C．13D．4919．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球．那么在第4次取球之后停止的概率为()A．315445C CCB．13454()99C⨯⨯C．354()99⨯D．3154⨯20．将一枚质地均匀的硬币连续投掷4次，则出现正面的次数多于反面次数的概率为A．14B．38C．12D．51621．某校举办一场篮球投篮选拔比赛，比赛的规则如下：每个选手先后在二分区、三分区和中场跳球区三个区域各投一球，只有当前一次球投进后才能投下一次，三次全投进就算胜出，否则即被淘汰.已知某选手在二分区投中球的概率为45，在三分区投中球的概率为35，在中场跳球区投中球的概率为25，且在各位置投球是否投进互不影响，则该选手被淘汰的概率为（）A．825B．1325C．101125D．7612522．抛掷3枚质地均匀的硬币,若A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有1枚反面向上},则A与B( )A．是互斥事件B．是对立事件C．是相互独立事件D．不是相互独立事件23．甲、乙两人投球的命中率分别为12，23，甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为（）.A．12B．25C．35D．5624．已知甲盒中有20个螺杆，其中A型16个，B型4个；乙盒中有24个螺母，其中A型18个，B型6个.现从甲、乙两盒中各任取一个，记事件A：“甲盒中抽得A型螺杆”，B：“乙盒中抽得B型螺母”，则事件A与B（）A．互斥B．对立C．相互独立D．不相互独立25．设某项试验成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于()A．0 B．12C．13D．2326．若1()9P AB=,2()3P A=,1()3P B=,则事件A与B的关系是( )A．事件A与B互斥B．事件A与B对立C．事件A与B相互独立D．事件A与B相互斥又独立27．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分).甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B，则P(AB)，P(A|B)的值分别是（）A．14，59B．14，49C．15，59D．15，4928．在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为（）A．14B．89C．116D．53229．袋内有3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为B,“第二次摸得黑球”记为C,那么事件A与B,A与C间的关系是( ) A．A与B,A与C均相互独立B．A与B相互独立,A与C互斥C．A与B,A与C均互斥D．A与B互斥,A与C相互独立30．若事件A,B发生的概率都大于零,则( )A．如果A,B是互斥事件,那么A与B是互斥事件B．如果A,B不是相互独立事件,那么它们一定是互斥事件C．如果A,B是相互独立事件,那么它们一定不是互斥事件D．如果A B+是必然事件,那么它们一定是对立事件参考答案1．D 【解析】 【分析】由题意，“至少有一枚正面向上”的对立事件为“三枚均为反面向上”，根据对立事件的概率，即可求解. 【详解】由题意，“至少有一枚正面向上”的对立事件为“三枚均为反面向上”, 其概率为311()28=,所以“至少有一枚正面向上”的概率为17188-=，故选D. 【点睛】本题主要考查了对立事件的概率的应用，其中解答中找出“至少有一枚正面向上”的对立事件为“三枚均为反面向上”，利用对立事件的概率计算求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】可先求得没有人能解决这个问题的概率, 再根据对立事件的性质求得有人能够解决这个问题的概率即可. 【详解】“没有人能解决这个问题”的概率为11111112344⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以“有人能解决这个问题”的概率为13144-= 故选:A 【点睛】本题考查了对立事件概率的性质及简单应用,属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】由题意知试验发生包含的所有事件是6，事件A 和事件B 是互斥事件，看出事件A 和事件B 包含的基本事件数，根据互斥事件和古典概型概率公式得到结果． 【详解】解：Q 事件B 表示“小于5的点数出现”，B ∴的对立事件是“大于或等于5的点数出现”，∴表示事件是出现点数为5和6． Q 事件A 表示“小于5的偶数点出现”，它包含的事件是出现点数为2和4，()2163P A ∴==，()4263P B == ()()211133P B P B ∴=-=-=()()()112333P A P B P A B ∴+=+==U ．故选：C ． 【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的概率，分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件，属于基础题． 4．D 【解析】 【分析】分析每一个选项的答案，可得事件的概率范围是[0,1]；对立事件一定是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件；由对立事件的性质得：P （A ）+P （A ）=1得出答案. 【详解】在A 中，事件的概率范围是[0,1]，可得一个事件的概率可能等于0，故A 正确； 在B 中，对立事件一定是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件，故B 正确； 在C 中，由对立事件的性质得：P （A ）+P （A ）=1，故C 正确；在D 中，A 、B 为两个随机事件，则P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）-()P A B ⋂，故D 错 故选D 【点睛】本题主要考查了概率的基本性质，属于基础题.5．C【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件、不可能事件的概念，选出正确选项.【详解】显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件.故选：C.【点睛】本小题主要考查互斥事件和对立事件的辨析，考查不可能事件的概念，属于基础题.6．B【解析】【分析】最后乙队获胜的概率含3种情况：第三局乙胜，第三局甲胜第四局乙胜，第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜，由此能求出最后乙队获胜的概率．【详解】最后乙队获胜事件含3种情况:第三局乙胜，其概率为13；第三局甲胜，第四局乙胜，其概率为212 339⨯=；第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜2214 3327⎛⎫⨯=⎪⎝⎭；故最后乙队获胜的概率12419392727P=++=，故选：B.【点睛】本题主要考查概率的求法，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用，属于中档题．7．C【解析】【分析】根据对立事件和互斥事件的概念对选项逐一分析，由此选出正确选项.“恰有2名男生”与“恰有4名男生”是互斥事件，但不是对立事件，排除A 项；“至少有3名男生”与“全是男生”可以同时发生，不是互斥事件，排除B 项；“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，且必有一个发生，是对立事件，C 项正确；“至少有1名男生”与“至少有1名女生”可以同时发生，不互斥，排除D 项． 故选：C. 【点睛】本小题主要考查对立事件和互斥事件概念的理解和辨析，属于基础题. 8．D 【解析】 【分析】由随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，知0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+⎩…，由此能求出实数a 的取值范围． 【详解】解：Q 随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0， 且分别为()2P A a =-，()45P B a =-，∴0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+⎩…，即021*******a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-⎩…，解得5443a <…，即54,43a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 故选：D ． 【点睛】本题考查互斥事件的概率的应用，属于基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 9．B 【解析】 【分析】由题意先求()()P A P B +，然后检验()P A B +与()P A B U 是否相等，从而可判断是否满【详解】 解：()15P A =Q ，()13P B =， ()()1183515P A P B ∴+=+=又()815P A B =U ()()()P A B P A P B ∴=+UA ∴．B 为互相斥事件故选：B ． 【点睛】本题主要考查了互斥事件的概率公式的简单应用，属于基础题. 10．D 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式先求出事件“从口袋中摸出一个红球”的概率，再根据互斥事件的概率加法公式求出“从口袋中摸出一个白球或红球”的概率，即可由对立事件的概率公式求出摸出黑球的概率． 【详解】设“摸出一个红球”为事件A ，“摸出一个白球”为事件B ，“摸出一个黑球”为事件C ，显然事件A ，B ，C 都互斥，且C 与A ＋B 对立． 因为P （A ）＝45100＝0.45，P （B ）＝0.23， 所以P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）＝0.45＋0.23＝0.68， P （C ）＝1－P （A ＋B ）＝1－0.68＝0.32. 故选：D ． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，互斥事件的概率加法公式以及对立事件的概率公式的应用，属于基础题． 11．A 【解析】一个家庭的两个孩子有四种可能：()()()(){},,,+++--+--。
概率论第2章ppt课件
(5) P{恰好2.5分钟}
.
11
第2章 随机变量及其分布
解：
习题19
(1) P{至多3分钟} P { X 3 } F X (3 ) 1 e 0 .4 3 0 .69 (2) P{至少4分钟}
P { X 4 } 1 P { X 4 } 1 F X ( 4 ) e 0 .4 4 0 .20
同理 P{X2}5219 P{X3}4217
36 36
36 36
P{X4}3215 P{X5}2213
36 36
36 36
P{X 6} 1 36
.
3
第2章 随机变量及其分布
习题8
8. 甲乙两人投篮，投中的概率分别为0.6和0.7。今各投三次。求(1)两人投中次数 相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率.
.
9
第2章 随机变量及其分布
习题16
16. 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内 出事故的概率为0.0001. 在某天的该时间段内有1000量汽车通过。问出事故的车辆 数不小于2的概率是多少？(利用泊松定理计算)
解：令在该段时间内发生事故的车辆数目为X, 根据题意知：
0
20
22 4
令 y x2
AI1A1 4
I b3/2
.
15
第2章 随机变量及其分布
习题22(2)
22(2) 研究了英格兰在1875年~1951年期间，在矿山
发生导致不少于10人死亡的事故的频繁程度，得知
相继两次事故之间的时间T(日)服从指数分布，其
概率密度为
fT
(t)
1
et
241
, /241
(1) 解：从8杯酒中随机地挑选4杯，共有
pa并b的概率公式(二)
pa并b的概率公式(二)PA与B的概率公式1. 乘法法则•公式：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)•说明：乘法法则用于计算事件A与事件B同时发生的概率。
其中P(A)为事件A发生的概率，P(B|A)为在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
2. 加法法则互斥事件•公式：P(A∪B) = P(A) + P(B)•说明：加法法则用于计算互斥事件A与B至少发生一个的概率。
当A与B为互斥事件时，其概率可以通过简单相加得到。
非互斥事件•公式：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)•说明：加法法则在事件A与事件B不互斥时的使用方式。
P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，通过减去P(A∩B)可以避免重复计算。
3. 贝叶斯定理•公式：P(A|B) = ( P(B|A) × P(A) ) / P(B)•说明：贝叶斯定理是用于计算在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
其中P(A|B)为在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B|A)为在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)为事件A发生的概率，P(B)为事件B发生的概率。
示例解释假设有一袋子中装有4个红球和6个蓝球，现从袋子中随机取出一个球。
•示例1：计算取出的球是红球且是蓝球的概率。
–P(A)为红球的概率，即4个红球中取得一个的概率，为4/10。
–P(B|A)为在已知取得一个红球的条件下，取得一个蓝球的概率，为0，因为红球与蓝球互斥。
–P(A∩B) = P(A) × P(B|A) = 4/10 × 0 = 0。
–可见，取出的球既是红球又是蓝球的概率为0。
•示例2：计算取出的球是红球或者是蓝球的概率。
–P(A)为红球的概率，即4个红球中取得一个的概率，为4/10。
–P(B)为蓝球的概率，即6个蓝球中取得一个的概率，为6/10。
–P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 4/10 + 6/10 - 0 = 10/10 = 1。
概率论第二版习题答案
概率论第二版习题答案概率论是一门研究随机现象的数学分支，它在统计学、金融学、工程学等多个领域都有广泛的应用。
第二版的概率论教材通常会在第一版的基础上进行修订和补充，以反映最新的研究成果和教学方法。
以下是一些概率论习题的答案示例，这些答案仅供参考，具体习题的答案可能会根据教材的不同而有所变化。
第一章：概率空间1. 习题1：描述一个概率空间的基本元素。
- 答案：一个概率空间由三个基本元素组成：样本空间(Ω)，事件集合(F)，以及概率测度(P)。
样本空间包含了所有可能的结果，事件集合是样本空间的子集，概率测度为每个事件分配一个介于0和1之间的实数，表示事件发生的可能性。
2. 习题2：证明如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B) = P(A) +P(B)。
- 答案：由于A和B互斥，即A∩B = ∅，根据概率测度的性质，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
由于A和B互斥，P(A∩B) = 0，因此P(A∪B) = P(A) + P(B)。
第二章：随机变量及其分布1. 习题1：定义离散型随机变量和连续型随机变量。
- 答案：离散型随机变量是其取值可以列举的随机变量，其概率分布可以用概率质量函数来描述。
连续型随机变量是其取值无法一一列举的随机变量，其概率分布可以用概率密度函数来描述。
2. 习题2：如果X是一个随机变量，求E(X)和Var(X)。
- 答案：期望E(X)是随机变量X的平均值，定义为E(X) = ∑x *P(X = x)（对于离散型随机变量）或E(X) = ∫x * f(x) d x（对于连续型随机变量）。
方差Var(X)是随机变量X的离散程度的度量，定义为Var(X) = E[(X - E(X))^2]。
第三章：多维随机变量及其分布1. 习题1：描述联合分布函数和边缘分布函数的关系。
- 答案：联合分布函数给出了两个或多个随机变量同时取特定值的概率，而边缘分布函数是通过对联合分布函数进行积分或求和得到的，它给出了单个随机变量的分布。
概率论第二章
将 p = 0.5 代入，得
1 0 X ~ 0 .5 0.25 2 0.125 3 0 .0625 0 .0625 4
下面，重点介绍三种离散型随机变量的概率分 布。 （一）0-1分布 分布 若X 的分布律为 k 1− k P { X = k } = p (1 − p ) , k = 0 ,1 或者 0 1 X p pk 1− p 则称随机变量 X 服从参数为 的0-1分布 参数为p的 分布. 参数为 如果试验的结果只有两个：成功与失败，并且成 功的概率为p，则成功的次数 X 服从参数为p的0-1 分布。
P{ X ≥ 2} = 1 − P{ X = 0} − P{ X = 1}
P{ X ≥ 2} = 1 − P{ X = 0} − P{ X = 1}
= 1 − (0.99) − 20(0.01)(0.99) = 0.0169 设A为“四个人中至少有一个人来不及维修”这 一事件，则有
20 19
P( A) ≥ P{ X ≥ 2} = 0.0169
P{ X ≥ 2} = 1 − P{ X = 0} − P{ X = 1}
= 1 − (0.98)
400
− 400(0.02)(0.98)
399
直接计算上式比较麻烦，为此需要一个近似计算 公式。我们先引入一个重要的分布。
(三) 泊松分布 三 泊松分布(Poisson Distribution) 如果随机变量 X 的分布律为：
例6 社会上定期发行某种奖券,中奖率为p.某人 每次购买一张奖券,如果没有中奖则下次继续购买1 张,直至中奖为止.求该人购买次数的分布律. 解 设该人购买的次数为X ,则X的可能取值为
1, 2 , L .
{X = 1} 表示第一次购买就中奖,其概率为p.
3 概率二
第十讲概率（二）一、频率与概率（1）随机掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为多少？你是怎么得到的？（2）随机掷一枚瓶盖，盖口朝上的概率为多少？你有什么办法可以得到？n例2、为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼________练习1．（2012•大连）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为（精确到0.1）．2．（2006年河南省）有一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃共有40个，除颜色外其它完全相同．小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（）A．6 B．16 C．18 D．243．在一个有10万人的小镇，随机调查了2000人，其中有250•人看中央电视台的早间新闻，在该镇随便问一个人，他看早间新闻的概率大约是________．4、甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）A、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率B、抛一枚硬币，出现正面的概率C、任意写一个整数，它能被2整除的概率D、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率5．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近_______；（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是________，•摸到黑球的概率是_______；（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？（4）解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了．这个问题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，•在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数（可以借助其他工具及用品）？请你应用统计和概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法．二、 考点复习一、用公式法计算概率例1．为了防控输入性甲型H1N1流感，某市医院成立隔离治疗发热流涕病人防控小组，决定从内科5位骨干医师中（含有甲）抽调3人组成，则甲一定抽调到防控小组的概率是（ ）（A ）35（B ）25（C ）45（D ）15例2、如图，等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，E 、F 、M 、N 分别是AB 、CD 、DE 、CE 中点，AB=2CD 。
等可能条件下的概率(2)-教案
14-15学年度第一学期九年级数学教案课题：4.2等可能条件下的概率(2) 课型：新授【教学目标】1.能用画树状图或列表格的方法求一些简单随机事件的概率；2.能根据具体情况,适当选择表格或树状图,求等可能条件下的概率.【教学重点】用画树状图和列表格的方法求一些简单随机事件的概率.【教学难点】选择适当的方法求一些简单随机事件的概率.【教学过程】一、自学指导自学课本P133—135内容，思考下列问题：1．抛掷一枚均匀的硬币2次，会出现几种可能的结果？它们是等可能的吗？2. 你有什么好方法能不重复、也不遗漏地列出以上问题的所有可能出现的结果？3. 你能仿照上述方法求出抛掷一枚均匀的硬币3次，结果都是正面朝上的概率吗？二、合作探究例1．一只不透明的袋子中装有1个白球,1个红球和1个蓝球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出1个球,记录下颜色后放回到袋中并搅匀,再从中任意摸出1个球. （1）用树状图列出所有可能的结果；（2）两次都摸到蓝球的概率是多少？（3）两次摸出球的颜色相同的概率是多少？例2. 甲、乙两人掷两个普通的正方体骰子，规定掷出“和为7”算甲赢，掷出“和为8”算乙赢，甲赢的概率是多大？乙呢？请你利用表格法分析这个游戏对谁有利.三、变式拓展如图1，在一个不透明的袋子中装有四个球，分别标有字母A、B、C、D，这些球除了字母外完全相同，此外，有一面白色、另一面黑色、大小相同的四张正方形卡片，每张卡片两面的字母相同，分别标有字母A、B、C、D。
最初，摆成如图2的样子，A、D是黑色，B、C是白色.两次操作后观察卡片的颜色。
（如：第一次取出A 、第二次取出B ，此时卡片的颜色变成） （1）取四张卡片变成相同颜色的概率；（2）求四张卡片变成两黑两白、并恰好形成各自颜色的矩形的概率.五、回扣目标如何用树状图或表格列出所有可能的结果?六、课堂反馈1.随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是反面朝上的概率是（ ）A ．41 B.21 C.43 D.1 2.一道选择题有A 、B 、C 、D 四个选项，其中有且只有一个正确的选项，随意在A 、B 、C 、D 中选择一个答案，所选答案正确的概率是 ；若用排除法排除一个错误选项再任选一个，则所选答案正确的概率是 .3.一只不透明的袋子中装有1个白球,1个红球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出1个球,记录下颜色后放回到袋中并搅匀,再从中任意摸出1个球.（1）用树状图或表格列出所有可能的结果；（2）求两次都摸到白球的概率是多少？教后记：。
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一品学道 五环导航 ○之 九 年级数学学案 26.1.1什么是概率 总第 2 课时 【自学目标】让学生掌握并运用列表法计算简单事件发生的概率，培养应用概率解决问题的能力，感受其实际价值。
【重点难点】重点：掌握列表法计算简单事件的概率的方法。
难点：理解概率的内涵。
【自学过程】 一、自主探究 有两组牌是相同的，如果每组3张牌，它们牌面数字分别是1，2，3，那么从每组中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为几的概率最大？两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少？ 要想解决这个问题，我们可以通过大数次的实验，但估计值必须是在实验之后才能得到，无法预测。
教师活动：提出问题，适时引导 学生活动：小组合作，尝试求解这个问题 二、自学练习 例1 见课本P109例1 1.全班42个学生名字被抽到的机会是 的，p （抽到男同学名字）= ， P （抽到女同学名字）= ，所以抽到 的概率大。
2.抽到男同学名字的概率是 表示什么意思？ 3.p （抽到女同学名字）+p （抽到男同学名字）=100%吗?如果改变男女生的人数，这个关系还成立吗？ 4.下面两种说法你同意吗？如果不同意，想一想可以采用哪些办法来说服这些同学。
（1）.有些同学说：抽到男同学名字的概率应该是 ，因为“抽到男同学名字”与“抽到女同学名字”这两个结果发生的机会相同。
（2）有同学说：虽然抽到男同学名字的概率略大，但是，只抽一张纸条的话，概率实际上还是一样大的。
例2：见课本P110例2 学生活动：参与分析例题从中认识理论概率 三、合作交流1．课堂演练 用列表法求概率： ⑴将一枚均匀的硬币掷两次，两次都是正面朝上的概率是多少？ ⑵游戏者同时转动如下图26.1-3（甲）、（乙）中两个转盘进行“配紫色”游戏，求游戏者获胜的概率
灵
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落实一品教育 缔造卓越品质
教师活动：提出问题，引导学生掌握列表求解概率的具体步骤
学生活动：书面练习，同桌交流（拿出制作的学具，如上图26.1-3（甲）、（乙））
2.思路点拨
⑴掷两次硬币，两次都是正面朝上的概率是，所列表格可以是：
⑵游戏者获胜的概率等于，所列表格可以是：
四、课堂小结 五、当堂达标
1．中国象棋红方棋子按兵种小同分布如下：1个帅，5个兵，“士、象、马、车、炮”各2个，将所有棋子反面朝上放在棋盘中，任取一个不是兵和帅的概率是( ) (A)161 (B)165 (C)83 (D)8
5 2．一个袋中有4个珠子，其中2个红色，2个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若从这个袋中任取2个珠子，都是蓝色珠子的概率是( ) (A)21 (B)31 (C)41 (D)6
1 3．袋中有5个大小一样的球，其中红球有2个、黄球有2个、白球1个．(1)从袋中摸出一个球，得到红球、白球、黄球的概率各是多少?(2)从袋中摸出两个球，两球为一红一黄的概率为多少?．
4甲、乙、丙三人随意排成一列拍照，甲恰好排在中间的概率是___ ___．
5．五张标有1、2、3、4、5的卡片，除数字外其它没有任何区别，现将它们背面朝上，从中任取一张得到卡片的数字为偶数的概率是_ _____．
6．将正面分别标有数字6、7、8，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．(1)随机地抽取一张，求P (偶数)；(2)随机地抽取一张作为个位上的数字(不放回)，再抽取一张作为十位上的数字，能组成哪些两位数?恰好为“68”的概率是多少?
7小李手里有红桃1,2,3,4,5,6,从中任抽取一张牌，观察其牌上的数字．求下列事件的概率．(1)牌上的数字为3；(2)牌上的数字为奇数；(3)牌上的数字为大于3且小于6. 学后反思。