1.2怎样判定三角形相似(1)
相似三角形的判定和判定方法
相似三角形的判定和判定方法1.边长比较法：通过比较两个三角形的各个边长，可以判断它们是否相似。
如果两个三角形的对应边长成比例关系，即每对对应边长之比相等，那么这两个三角形是相似的。
比如，如果一个三角形的边长是另一个三角形的边长的两倍，那么这两个三角形就是相似的。
2.角度比较法：通过比较两个三角形的各个角度，可以判断它们是否相似。
如果两个三角形的对应角度相等（或互为对应角的补角），那么这两个三角形是相似的。
比如，如果一个三角形的一对内角是另一个三角形的一对内角的两倍，那么这两个三角形就是相似的。
3.角边比较法：通过比较两个三角形的一个角和对边的比值，可以判断它们是否相似。
如果两个三角形的一个角相等，并且对应边长之比相等，那么这两个三角形是相似的。
比如，如果一个三角形的一个角是60度，它的对边长是另一个三角形的一个角是30度，它的对边长的两倍，那么这两个三角形就是相似的。
4.比例关系法：通过使用相似三角形的比例关系，可以判断两个三角形是否相似。
根据数学原理，如果两个三角形的对应边长之比相等，那么它们是相似的。
这个比例关系可以表示为：AB/DE=BC/EF=AC/DF其中AB、BC、AC分别是一个三角形的三条边长，DE、EF、DF分别是另一个三角形的对应边长。
如果这个比例关系满足，那么这两个三角形就是相似的。
需要注意的是，相似三角形的判定必须满足两个条件：对应角度相等（或互为对应角的补角），以及对应边长成比例关系。
如果只满足其中一个条件，那么这两个三角形不是相似的。
此外，还可以根据相似三角形的性质解决一些图像类问题，比如计算物体在投影变换下的大小、角度等。
在计算机图形学和计算机视觉领域，相似三角形的概念被广泛应用于图像识别、图像重建等算法中。
总之，判定两个三角形是否相似有多种方法，包括比较边长、角度和使用比例关系。
通过这些方法，可以解决一些几何和图像问题，应用广泛。
1.2怎样判定三角形相似(1)ppt
C l1
E
l2
F l3
猜 想 ：
2 AB 2 DE 若 , 那么， ？ BC 3 EF 3 3 AB 3 DE 若 ，那么, ？ BC 4 EF 4
你能否利用所学过的相关知识进行说明？
AB 2 设线段AB的中点为P1，线段 我们以 为例： BC的三等分点为P2、P3. BC 3
[例二]如图，有一块形状为直角梯形的草地，周围均为
水泥直道，两个拐角A、B处均为直角，草地中间另有一条 水泥直道EF垂直于AB，垂足为E.已知AE长米，EB长b米， DF长c米.求CF.分析：(1)从题目中至少可以知道什么？ （2）你想到了什么？ 解：由题意可知：
A B 90 0 ，EFAB AD//EF//BC AE DF EB CF （平行线分线段成比例 定理） a c b CF bc CF (米） a bc 答：CF长为 米. a 即
F
AB DE 2 则： . BC EF 3
我们已经得到： AB 2 若l1//l2 //l3 , ， BC 3 DE 2 AB DE 则 即： EF 3 BC EF
A B C
D E F
l1 l2
l3
怎样用文字把这一发现表述出来？
平行线分线段成比例定理： 两条直线被一组平行线所截，所得的 对应 线段成比例.
AB DE BC EF
得到其它比例式？
AB
DE
AC DF
合比
更比
？
AB BC AC DE EF DF
BC AC EF DF
AB DE AC DF
A
D
AB BC l2 B E BC F l AB C 3 AB AC 其它比例式 BC 仿此可记！ AC
1.2 怎样判定三角形相似
那么△ABC∽△A′B′C′, (斜边直角边对应成比例的
两个直角三角形相似.) 这是一个用来判定两个直角三角形相似的方法,务必 引起重视.
• 我们重新来看问题三: • 如果△ ABC与△ DEF有一个 角相等,且两边对应成比例,那 么它们一定相似吗?
A 4cm
C
3.2cm
F 1.6cm 这两边中一
条边的对角,那么它们一定相
• 通过上面的活动,你猜出
似吗?
• 小明和小颖分别画出了下面 的△ ABC与△ DEF:
了什么结论?
• 两边对应成比例,且其中 一边的对角对应相等的两 个三角形不一定相似。
• 判定三角形相似的常用方法: • 两角对应相等的两个三角形相似.
相似与全等类比—新化旧
由角边角(ASA)、角角边(AAS)可知,有两个角对应相等的 两个三角形相似; 由边边边(SSS)可知:有三边对应成比例的两个三角形相似; 由边角边(SAS)可猜想: 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似; 由斜边直角边(HL)可猜想: 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 我们已经把前两个猜想变为现实,剩余的还有问题吗？
• 如图,在△ ABC与△A′B′C′中,如果
AB AC . AB AC
且∠A=∠A′,
那么△ ABC∽△A′B′C′ (两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.)
这又是一个用来判定两个三角形相似的方法,但使用频 率不是很高,务必引起重视.
• 图中的△ABC∽△A′B′C′, 你还能用其它方法来说
前提和关键.
判定三角形相似的方法
判定两个三角形相似的方法: 两角对应相等的两个三角形相似. 三边对应成比例的两个三角形相似.
• 类比三角形全等的判定方法:
1.2怎样判定三角形相似(第1课时)
第 9 个 基 本 事 实 及 推 论
做 不 出 伟 大 的 发 现 。
没 有 大 胆 的 猜 想 ， 就
学习目标：
1、记住并
理解第9个基本事实及
推论。 2、能写出图中的成比例线段。 3、会识别平行线分线段成比例的变式图形 4、会用推论去计算和证明有关的问题。
自学课本第8至11页，不懂的地方小 组内解决。完成以下任务
图10-4
C
E
E
练习一: 1、判断题:
如图:DE∥BC, 下列各式是否正确
A
AD ＝ —— AE AD ＝ —— AE ( ) D A: —— B: —— AB AC ( ) BD CE
AD AE AD AB ＝ ＝ —— —— —— —— C: AC ( ) D: ( ) B AB AE AC
E C
C
推论：
A
平行于三角形一边的直线 D E 截其他两边(或两边的延长 线），所得的对应线段成 C 比例。 B 推论的数学符号语言： E D
∵ DE∥BC AD AE ∴ —— ＝ —— （推论） AB AC B
A
C
知识点一
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 成比例。 A F AD/DB=FE/EC L1 （上/下=上/下） D E L2 AD/AB=FE/FC （上/全=上/全） B C DB/AB=EC/FC L3 （下/全=下/全）
B
C
L4 L5
A B C
D E F
L1
L2 L3
L4 L5
L1
L2 L3
L5L4
L1
L2 L3
L5 L4
L1
L2 L3
L5
L4
L1
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
相似三角形的判定方法
(一)类似三角形1.界说：对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做类似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等,且三条对应边的比相等时,这两个(或几个)三角形叫做类似三角形,即界说中的两个前提,缺一不成;②类似三角形的特点：外形一样,但大小不必定相等;③类似三角形的界说,可得类似三角形的基赋性质：对应角相等,对应边成比例．2.类似三角形对应边的比叫做类似比．①全等三角形必定是类似三角形,其类似比k=1．所以全等三角形是类似三角形的特例．其差别在于全等请求对应边相等,而类似请求对应边成比例．②类似比具有次序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比,即类似比为k,则△A′B′C′∽△ABC的类似比,当它们全等时,才有k=k′=1．③类似比是一个主要概念,后继进修时消失的频率较高,其本质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助类似三角形可不雅察得出．3.假如两个边数雷同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做类似多边形．4.类似三角形的准备定理：平行于三角形的一条边直线,截其它双方地点的直线,截得的三角形与原三角形类似．①定理的根本图形有三种情形,如图其符号说话：∵DE ∥BC,∴△ABC ∽△ADE;（双A型）②这个定理是用类似三角形界说推导出来的三角形类似的剖断定理．它不单本身有着普遍的应用,同时也是证实类似三角形三个剖断定理的基本,故把它称为“准备定理”;③有了准备定理后,在解题时不单要想到 “见平行,想比例”,还要想到“见平行,想类似”．(二)类似三角形的剖断1.类似三角形的剖断：剖断定理1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形类似.可简略说成：两角对应相等,两三角形类似.例1.已知：如图,∠1=∠2=∠3,求证：△ABC ∽△ADE ．例2.如图,E.F 分离是△ABC 的边BC 上的点,DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.剖断定理2：假如三角形的两组对应边的比相等,并且响应的夹角相等,那么这两个三角形类似. AB CD E F 第4简略说成：双方对应成比例且夹角相等,两三角形类似．例1.△ABC中,点D在AB上,假如AC2=AD•AB,那么△ACD与△ABC类似吗？说说你的来由．例2.如图,点C.D在线段AB上,△PCD是等边三角形.（1）当AC.CD.DB知足如何的关系时,△ACP∽△PDB？（2）当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.剖断定理3：假如三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形类似.简略说成：三边对应成比例,两三角形类似．强调：①有平行线时,用准备定理;②已有一对对应角相等(包含隐含的公共角或对顶角)时,可斟酌应用剖断定理1或剖断定理2;③已有双方对应成比例时,可斟酌应用剖断定理2或剖断定理3．但是,在选择应用剖断定理2时,一对对应角相等必须是成比例双方的夹角对应相等．2.直角三角形类似的剖断：斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形类似．例1.已知：如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP＝3PC,Q 是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．例 2.如图,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P点在BD上由B点向D点活动时,PB的长知足什么前提,可以使图中的两个三角形类似?请解释来由.例3.如图AD⊥AB于D,CE⊥AB于E交AB于F,则图中类似三角形的对数有对.例 4.已知：AD是Rt△ABC中∠A的等分线,∠C=90°,EF是AD的垂直等分线交AD于M,EF.BC的延伸线交于一点N.求证：(1)△AME∽△NMD(2)ND2=NC·NB①因为直角三角形有一个角为直角,是以,在剖断两个直角三角形类似时,只需再找一对对应角相等,用剖断定理1,或两条直角边对应成比例,用剖断定理2,一般不必剖断定理3剖断两个直角三角形类似;②如图是一个十分主要的类似三角形的根本图形,图中的三角形,可称为“母子类似三角形”,其应用较为普遍．（直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形类似）③如图,可简略记为：在Rt△ABC中,CD⊥AB,则△ABC∽△CBD ∽△ACD．④填补射影定理.特别情形：第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形类似.第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形类似.第三：有一个锐角相等的两个直角三角形类似.第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形类似.第五：假如一个三角形的双方和个中一边上的中线与另一个三角形的双方和个中一边上的中线对应成比例,那么这两个三角形类似.三角形类似的剖断办法与全等的剖断办法的接洽列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的剖断SAS SSS AAS（ASA）HL类似三角形的剖断双方对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例二.重点难点疑点冲破1.查找类似三角形对应元素的办法与技能准确查找类似三角形的对应元素是剖析与解决类似三角形问题的一项根本功．平日有以下几种办法：(1)类似三角形有公共角或对顶角时,公共角或对顶角是最显著的对应角;类似三角形中最大的角(或最小的角)必定是对应角;类似三角形中,一对相等的角是对应角,对应角所对的边是对应边,对应角的夹边是对应边;(2)类似三角形中,一对最长的边(或最短的边)必定是对应边;对应边所对的角是对应角;对应边所夹的角是对应角．（3）对应字母要写在对应的地位上,可直接得出对应边,对应角.2.罕有的类似三角形的根本图形：进修三角形类似的剖断,要与三角形全等的剖断比拟较,把证实三角形全等的思惟办法迁徙到类似三角形中来;对一些消失频率较高的图形,要擅长归纳和记忆;对类似三角形的剖断思绪要擅长总结,形成一整套完全的剖断办法．如：(1)“平行线型”类似三角形,根本图形见前图．“见平行,想类似”是解这类题的根本思绪;(2)“订交线型”类似三角形,如上图．个中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角,找另一对等角或夹等角的双方成比例”是解这类题的根本思绪;(3)“扭转型”类似三角形,如图．若图中∠1=∠2,∠B=∠D(或∠C=∠E),则△ADE∽△ABC,该图可算作把第一个图中的△ADE 绕点A扭转某一角度而形成的．从根本图形入手能较顺遂地找到解决问题的思绪和办法,能帮忙我们尽快地找到添加的帮助线．以上“平行线型”是罕有的,这类类似三角形的对应元素有较显著的次序,“订交线型”识图较艰苦,解题时要留意从庞杂图形平分化或添加帮助线结构出根本图形．演习：1.如图,下列每个图形中,存不消失类似的三角形,假如消失,把它们用字母暗示出来,并扼要解释识此外依据.2.如图27-2-1-12,在大小为4×4的正方形方格中,△ABC的极点A,B,C在单位正方形的极点上,请在图中画一个△A1B1C1,使△A1B1C1∽△ABC(类似比不为1),且点A1,B1,C1都在单位正方形的极点上.图27-2-1-121.查找类似三角形的个数例 1.(吉林)将两块完全雷同的等腰直角三角形摆成如图的样子,假设图形中所有点.线都在统一平面内,答复下列问题：(1)图中共有若干个三角形？把它们一一写出来;(2)图中有类似(不包含全等)三角形吗？假如有,就把它们一一写出来．如图,△ABC 中,点D.E 分离在边AB.AC 上,衔接并延伸DE 交BC 的延伸线于点F,衔接DC.BE,若∠BDE ＋∠BCE ＝180°.⑴写出图中3对类似三角形（留意：不得添加字母和线）⑵请在你所找出的类似三角形中拔取1对,解释它们类似的来由.1.如图,在正方形网格上有6个三角形：①ABC ∆,②BCD ∆,③BDE ∆,④BFG ∆,⑤FGH ∆,⑥EFK ∆,个中②-⑥中与①类似的是.2.画相符请求的类似三角形例1.(上海)在大小为4×4的正方形方格中,△ABC 的极点A.B.C 在单位正方形的极点上,请在图中画出一个△A 1B 1C 1,使得△A 1B 1C 1∽△ABC(类似比不为1),且点A 1.B 1.C 1都在单位正方形的极点上．3.类似三角形的剖断例1.(1)如图,O 是△ABC 内任一点,D.E.F 分离是OA.OB.OC 的中点,FE D B A C求证：△DEF ∽△ABC;(2)如图,正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,DF=3CF,写出图中所有类似三角形,并证实．例2.如图,在△ABC 中,DF 经由△ABC 的重心G,且DF∥AB,DE∥AC,衔接EF,假如BC=5,AC=2AB.求证:△DEF∽△ABC4.直角三角形中类似的剖断例1.如图,△ABC 中,∠BAC =90°,AD ⊥BC 于D ,DE 为AC 的中线,延伸线交AB 的延伸于F ,求证：AB ·AF=AC ·DF .例2.已知：如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,E 是AC 上一点,CF ⊥BE 于F.求证：EB ·DF=AE ·DB5.类似三角形的分解应用例1.如图,CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线,过点D 垂直于AB 的直线交BC 于E,交AC 延伸线于F ．求证：(1)△ADF ∽△EDB;(2)CD 2=DE·DF．例 2.如图,AD 是△ABC 的角等分线,BE ⊥AD 于E,CF ⊥AD 于F ． 求证：． 例3.如图,在正方形ABCD 中,M.N 分离是AB.BC 上的点,BM=BN,BP ⊥MC 于点P ．求证： PN ⊥PD ．6.类似三角形中帮助线的添加（1）.作垂线C B AF ED G3.如图从 ABCD极点C向AB和AD的延伸线引垂线CE和CF,垂足分离为E.F,（2）.作延伸线例1. 如图中,CD为斜边AB上的高,E为CD的中点,AE 的延伸线交BC于于G,求证：（3）.作中线例1. 如图,AB⊥AC,AE⊥BC于E,D在AC边上,若BD=DC=EC=1,求AC.演习：是AB上一点,Q是PC上一点（不是中点）,MN过Q且MN⊥CP,交AC.BC于M.N,求证：2.. 来由？3.(2009年湖北武汉)如图1,,（1（2,如图2,;（3,BBA ACEDDECOF图1 图2F。
【青岛版九年级数学上册教案】1.2怎样判定三角形相似(1)
1.2 如何判断三角形相似（1）教课目标【知识与能力】1．认识平行线分线段成比率基本领实及其推论..2．会用平行线分线段成比率解决实质问题.【过程与方法】借助方格纸，经过观察、计算，由特别到一般地逐渐归纳、猜想，从而明确平行线分线段成比率的基本领实；而后把这一基本领实特别化（应用在三角形中），获取推论，为后边证明相似三角形的判断基本领实做准备.【感情态度价值观】掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力课前准备课件、方格纸 .教课过程1.情形导入梯子是我们生活中常有的工具 .如图是一个生产过程中不合格的左右不对称的梯子的简图，经丈量，AB＝ BC＝ CD，AA1∥BB1∥ CC1∥ DD1，那么 A1B1和 B1 C1相等吗？2.新知研究在图 4-6 中，小方格的边长均为1，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m，n与格点 A1，A2，A3，B1，B2，B3.图 4-6（1）计算A1A2与B1B2的值，你有什么发现？A2 A3B2B3（ 2）将4-7,l 2A1, B2l 2向下平移到如图的地址，直线的交点分别为m n 与你在问题（ 1）中发现结论还成立吗？假如将l 2平移到其余地址呢？（ 3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比率吗？3.分组谈论，得出结论平行线分线段成比率基本领实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比率.4. 想想（一）假如把图 1 中l1 ,l 2两条直线订交，交点 A 刚落到 l 3上，如图 2 所得的对应线段的比会相等吗？依照是什么？（二）假如把图 1 中l1 , l2两条直线订交，交点 A 刚落到l 4上，如图2（ 2）所得的对应线段的比会相等吗？依照是什么？得出结论：（推论）平行于三角形一边的直线与其余两边( 或两边的延长线 ) 订交，截得的对应线段成比例.5.例题学习研究点一：平行线分线段成比率如图，直线l 1∥ l 2∥ l 3，直线 AC分别交这三条直线于点A，B， C，直线 DF分别交7这三条直线于点D，E， F，若 AB＝3， DE＝， EF＝4，求 BC的长.2解：∵直线 l∥ l∥l7，且 AB＝ 3， DE＝2， EF＝ 4，123∴依据平行线分线段成比率可得AB DE＝，BC EF即＝EF＝424·7×3＝ .BC DE AB72方法总结：利用平行线分线段成比率求线段长的方法：先确立图中的平行线，由此联想到线段之间的比率关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比率关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长 .以以下图，直线l 1∥ l 2∥l3，以下比率式中成立的是（）A.AD CEB.AD BC ＝BC＝DF BE AFC.CE ADD.AF BE ＝BC＝DF DF CE分析：由均分线分线段成比率可知AD BC AD AF＝，故 A 选项不成立；由＝可知 B 选项不行DF CE BC BE立；由CE BC＝可知 C 选项不成立； D选项成立 . 应选 D. DF AD方法总结：应用平行线分线段成比率获取的比率式中，四条线段与两条直线的交点地址上上上上下下上下全没关，要点是线段的对应，可简记为：“下＝下，全＝全，全＝全”或“上＝下＝全”.研究点二：平行线分线段成比率的推论以以下图，在△ ABC中，点 D，E 分别在 AB，AC边上， DE∥ BC，若 AD：AB＝3∶4，＝ 6，则等于（）AE ACA.3B.4C.6D.8分析：由∥可得AD AE36＝ 8.应选 D.＝，即＝，∴DE BC AB AC4AC AC易错提示：在由平行线推出成比率线段的比率式时，要注意它们的互相地址关系，比率式不可以写错，要把对应的线段写在对应的地址上.如图，在△ ABC的边 AB上取一点 D，在 AC上取一点 E，使得 AD＝ AE，直线 DE和BP BD的延长线订交于，求证：＝ .BC P CP CE分析：本题没法直接证明，分析所要求证的等式中，有BP： CP，又含有 BD，故可考虑过点 C作 PD的平行线 CF，便可以构造出BP BD＝，此时只需证得 CE＝ DF即可. CP DF证明：如图，过点C作 CF∥ PD交 AB于点 F，则BP BD AD AE＝，＝ .CP DF DF CE BP BD∵AD＝AE，∴ DF＝ CE，∴ ＝.CP CE方法总结：证明四条线段成比率时，假如图形中有平行线，则可以直接应用平行线分线段成比率的基本领实以及推论获取相关比率式. 假如图中没有平行线，则需构造辅助线创立平行条件，再应用平行线分线段成比率的基本领实及其推论获取相关比率式.6.课时小结平行线分线段成比率基本领实：(1)两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比率（要点要能熟练地找出对应线段）(2) 平行于三角形一边的直线与其余两边( 或两边的延长线) 订交，截得的对应线段成比例.。
1.2.2怎样判定三角形相似(1)
∴∠ADC=90°
∵∠A=∠A
A D ∴∆ABC∽∆ACD（相似三角形的判定定理1）
（2）△ABC∽△CDB，△ACD ∽△CBD
B
结论：直角三角形被斜边上的高分成的两 个直角三角形和原三角形相似.
巩固练习二
已知等腰三角形△ABC 和△A´B´C´中， ∠A、∠A´分别是顶角，求证： （1）如果∠A=∠A´，那么ΔABC∽△A´B´C´ （2）如果∠B=∠B´，那么ΔABC∽△A´B´C´
(2)所有的直角三角形都相似. (3)所有的等腰三角形都相似.
(×) ( ×)
(4)所有的等腰直角三角形都相似.( √ )
(5)所有含1000角的等腰三角形都相似.（ √ ）
(6)所有含700角的等腰三角形都相似. （× ）
2、在△ ABC和△A′B′C′中,已知
∠A=∠A′=70°, ∠B=50°,当∠C′=_6__0_0_
实验与探究
如图，在△ABC和△A´B ´C ´中，∠A=∠A´ ， ∠B=∠B´ .试猜想：△ABC与△A´B´C´ 是否相 似？证明你猜的结论.
两角分别相等的两个三角形相似。
已知：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠ A = ∠ A'，∠ B= ∠ B'
求证：△ABC ∽ △A'B'C' . A′
符号语言：
在△ABC 和△A´B´C´中， ∵∠A=∠A´，∠B=∠B´， ∴△ABC ∽△A´B´C´（相似三角形的判定定理1）
例1
如图，已知点B、D分别是∠A的两边AC、AB上的点， 连接BE,CD,相交于点O,如果∠1=∠2,那么图中有那几对 相似三角形?说明理由。
解：△DOE∽△BOC，△ABE∽△ADC,理由如下： 在△DOE和△BOC中， ∵∠1=∠2，∠DOE=∠BOC ∴△DOE∽△BOC（相似三角形的判定定理1）
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD=BD·DC，AB=BD·BC ，AC=CD·BC 。
22二相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：BC（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)B(3)(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A共A角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）A4DCDEADE1E（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”DEB(D)B(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
1.2.1怎样判定三角形相似
AB AE BE AC AF CF
AE AB DE BC
AG AD DG AF AC CF
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
例题
如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2,
BC=8.求BF和CF的长.
解：∵DE//BC
∴ DE AE
AБайду номын сангаас
BC AC
∵AE=4,EC=2, BC=8
AP1=P1B=BP2= P2P3= P3C DQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F
则：
A
ll A
P1
BB
P2
P3
CC
lDQEQ1lD2 Eaall1212
l1 l2
Q3
F
a3
l3F
l3
这时你想到了什么？
l l
A
D
l1
B
E
l2
C
F
l3
利用比例的基本性质，还能得到什么样 的结论？
基本事实9：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段
l5//l4，交l2与点F, F是线段DC的中点吗？如果 是，证明你的结论.
l1
A
E
l2
D
l3
F
l5
B
C l4
要证明DF=FC，如 果把它们放在两个 全等三角形中就好
办了
过D作DG∥L1于点G， 过F作FH∥L1，交L4
于点H，由已知 AE=EB，可推出 DG=FH，再设法证明 △DGF≌△FHC(AAS) 便能推出DF=FC
探究活动二
（2）三条距离不相等的平
行线截两条直线会有什么
结果?
猜 想
1.2怎样判定三角形相似(1)
E F
l3
l5
C
B
l4
山东星火国际传媒集团
探究活动二
三条距离不相等的平行线 截两条直线会有什么结果? A l
l D
E F
2 AB 2 DE 猜 若 BC 3 ,那么，EF ？ 3 B 想 AB 3 3 DE ， 那么, ？ ： 若 BC 4 EF 4 C
l1
l2
说出成比 例线段
山东星火国际传媒集团
拓 展 延 伸 C
A B
a
b D E
L1 L2 F L3
AB DE BC EF
基本图形：“A”字形
山东星火国际传媒集团
a 拓 展 延 伸 C
A
B
b D （E）
L1 L2 L3
F
AB DE BC EF
基本图形：“x”字形
山东星火国际传媒集团
例题
如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2, A BC=8.求BF和CF的长.
AP1=P1B=BP2= P2P3= P3C DQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F
则：
l D lD l1 l Q1 a1 1 E E l Q2 2 l2 a2 Q3 a3 F F l3 l 3
AB DE 2 . BC EF 3
这时你想到了什么？
山东星火国际传媒集团
我们得到： AB 2 若l1 //l 2 //l 3 , ， BC 3 AB DE DE 2 即： 则 BC EF EF 3
山东星火国际传媒集团
1.2 怎样判定 三角形相似（1）
山东星火国际传媒集团
新课导入
如何不通过测量，快速将一条长5厘米的细线 分成两部分，使这两部分之比是2:3?
1.2怎样判定三角形相似 课件 青岛版数学九年级上册
∵
DF=14DC，∴DAEF
=
12.∴DABE
=
DF AE
.
∴△ ABE ∽△ DEF.
感悟新知
知3－练
5-1.[月考·承德第四中学] 如图，已知：∠ BAE= ∠ CAD， AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40.求证：△ ABC ∽△ AED.
感悟新知
知3－练
证明：∵AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40， ∴AABE＝2107.4＝1.2，AADC＝4480＝1.2. ∴AABE＝AADC.∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE＋∠EAC＝∠CAD＋∠EAC， 即∠BAC＝∠EAD，∴△ABC∽△AED.
感悟新知
知识点 4 相似三角形的判定定理3
知4－讲
相似三角形的判定定理3 三边成比例的两个三角形相似. 数学表达式：如图1.2-11，在△ ABC 和△ DEF 中，
∵DABE=BECF=FCDA， ∴△ ABC ∽△ DEF.
感悟新知
知4－讲
特别解读：应用时要注意比的顺序性，即分子为 同一个三角形的三边，分母为另一个三角形的三边， 同时要注意边的对应情况，用长边对长边，短边对 短边的思路找对应边.
感悟新知
知2－练
4-1. 如图，在ABCD中，E 为AD 边上的点，且AD=3AE， 连接CE并延长交BA 的延长线于点F.求证：AB=2AF.
感悟新知
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠FAE＝∠CDE，∠AFE＝∠DCE. ∴△AEF∽△DEC.∴DAFC＝DAEE. ∵AD＝3AE，∴ED＝2AE. ∴DAFC＝12.∴DC＝2AF. ∵AB＝CD，∴AB＝2AF.
相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
怎样判定三角形相似
数学篇数苑纵横三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广应用.判定三角形相似的方法较多，但由于有些题目的图形中三角形较多，没有掌握方法的同学往往会感到无从下手.实际上，我们只要掌握了相似三角形的常见模型，就可以从复杂的图形中轻松找到相似的三角形.下面对判定三角形相似的常见模型和方法进行说明.一、由平行判断两个三角形相似平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.结合几何图形，可用数学式表达如下：如图1所示，因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC .图1是判定方法所涉及的几种基本类型，如果图中有线段平行的条件，则集中精力在图形中寻找符合“A ”型或“X ”型的基本图形来判定相似.图1例1如图2，DE 与△ABC 的边AB ，AC 分别相交于D ，E 两点，且DE ∥BC .若DE ＝2cm ，BC ＝3cm ，EC ＝23cm ，则AC=（）cm.A.1B.43C.53D.2解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AC =DEBC ，即AE AE +EC =DE BC，又∵DE ＝2cm ，BC ＝3cm ，EC ＝23cm ，∴AE AE +23=23，∴AE ＝43cm ，∴AC ＝43+23＝2cm.故选D 项.二、由三边的对应比判定三角形相似如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.简单地说三边对应成比例的两个三角形相似.结合几何图形，可用数学式表达如下：如图3所示，在△ABC和△A ′B ′C ′中，如果AB A ′B ′=BC B ′C ′=CACA ′,那么图2怎样判定三角形相似广西钦州李贤23数学篇数苑纵横似的方法与判定三角形全等的“SSS ”方法类似，只是把三边对应相等，改为三组对应边成比例即可.图3例2如图4，每个小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）A.B.C.D.解：根据勾股定理，得AC ＝12+12=2,AB ＝32+12=10，又∵BC ＝2，∴△ABC 的三边之比为2∶2∶10=1∶2∶5，A 选项中，三角形三边之比为1∶2∶5，∴图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似，故A 选项符合题意；B 选项中，三角形三边之比为2∶5∶3，∴图中的三角形（阴影部分）与△ABC 不相似，故B 项不符合题意；C 选项中，三角形三边之比为1∶5∶22，∴图中的三角形（阴影部分）与△ABC 不相似，故C 项不符合题意；D 选项中，三角形三边之比为2∶5∶13,∴图中的三角形（阴影部分）与△ABC 不相似，故D 项不符合题意，故选A 项.三、由两边和夹角判定三角形相似如果两个三角形的两组对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似.简单地说，两对应边成等比例且夹角相等的两个三角形相似.结合几何图形，可用数学式表达如下：如图3，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果AB A ′B ′=CA CA ′,∠A =∠A ′,那么△ABC ∽△A ′B ′C ′.在利用两边及一角判定相似时，应注意这个角必须是两边的夹角，而不是其他的角.例3如图5，在4×4的正方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）∠ABC =_____,BC =_____;（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.图5解：(1)利用正方形对角线平分一组对角的性质可得∠ABC =180°-45°=135°，由勾股定理得BC =22+22=22；（2）在△DEF 中，∠DEF =135°，分别计算△ABC 的边AB 、BC 和△DEF 的边DE 、EF ，AB =2，BC =22；EF =2，DE =2.∵AB DE =2,BC EF 2,∴AB DE =BC EF且∠ABC =∠DEF =135°，∴△ABC ∽△DEF .四、由两角对应相等判定三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相图424数学篇数苑纵横似.简单地说：两角对应相等，两个三角形相似.结合几何图形，可用数学式表达如下：如图3，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果∠A =∠A ′,∠B =∠B ′，那么△ABC ∽△A ′B ′C ′.由两个角判定三角形形相似的方法是所有方法中最常见的方法，运用的关键是找准对应角.一般地公共角、对顶角、同角的余角（或补角）都是相等的，解题时应注意挖掘题中的隐含条件.例4如图6，已知△PMN 是等边三角形，∠APB =120°，求证：AM ∙PB =PN ∙AP.图6证明：∵△PMN 是等边三角形，∴∠PMN =∠PNM =60°,又∵∠PMA +∠PMN =∠PNB +∠PNM =180°,∴∠PMA =∠PNB =120°,∴∠A +∠1=60°,∠1+∠2=120°-60°=60°,∴∠A +∠1=∠1+∠2,∴∠A =∠2,∴△APM ∽△PBN ,∴AM PN =AP PB,∴AM ∙PB =PN ∙AP .以上四种判定三角形相似的方法，在具体应用时要弄清题目中的条件，这样才能选择适当的判定方法，正确、简便、快速地识别两个三角形相似.上期《<平面直角坐标系>巩固练习》参考答案1.B ；2.D ；3.C ；4.C ；5.D ；6.4；7.12；8.（2，3）；9.2；10.解：（1）∵点Q (-3,2)，且直线PQ 与y轴平行，点P (m +1,2m -4)，∴m +1=-3，解得m =-4，∴2m -4=-8-4=-12，∴P (-3,-12)；（2）∵点P 到x 轴，y 轴的距离相等，∴|m +1|=|2m -4|，即m +1=2m -4或m +1=4-2m ，解得m =5或m =1，∴m +1=5+1=6或m +1=1+1=2，2m -4=10-4=6或2m -4=2-4=-2，∴P (6,6)或P (2,-2)．11.解：（1）图略；（2）由图中其他点的位置可得，C (1,0)，D (-2,1)，E (-4,-2)，F (6,-2)．上期《<反比例函数>拓展精练》参考答案1.A ；2.D ；3.B ；4.C ；5.m >1；6.x <0或1≤x ≤4；7.46；8.m >n ；9.解：（1）m =1,y =-2x；（2）x <-2或0<x <1．10.解：（1）当0≤x ≤4时，设水温y (℃)与开机时间x （分）的函数关系为：y =kx +b ，依据题意，得ìíîb =20,4k +b =100,解得ìíîk =20,b =20,∴y =20x +20(0≤x ≤4)；当4<x <t 时，设水温y (℃)与开机时间x （分）的函数关系式为：y =m x，依据题意得：100=m 4，解得m =400，当y =20时，20=400x，解得：x =20，即t =20，∴y =400x(4<x <20)；（2）在y =20x +20中，令y =40得x =2，在y =400x 中，令y =40得x =10，∵10-2=8，∴第二次加热之前，水温保持不低于40℃有8分钟．25。
1.2 怎样判定三角形相似(1)
△ADE与△ABC有什么关系?
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通过 相似的定义证明这个结论.
先证明两个三角形的对应角相等.
在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A, ∵DE//BC, ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
再证明两个三角形的对应边的比相等. 过点E作EF//AB, EF交BC于点F. 在平行四边形BFED中, DE=BF.
l l
A
l1
l
l
E
D l1
D
E l2
A
l2
B
C
l3
B
Байду номын сангаасC l3
课堂小结
三、基本事实9的推论
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成 的三角形与原三角形对应边成比例且相似.
∵DE∥BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
AD AE DE AB AC BC 又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC
l1
A
B
l2
D
l3
E
l4
C
F
l5
图1
A（D） BE
C
F
图2（1）
A型图
思考
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点刚 好落到l4上，如图2（2）所得的对应线段 的比会相等吗？依据是什么？
l1
A
B
l2
D
l3
E
l4
D
A
B（E）
F
C
C
F
l5
图1
图2（2）
X型图
结论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的
Q DE / /BC, EF / / AB,
九上1.2怎样判定三角形相似(1)
（2）将l2向下平移到如图所示的位置，直线m ,n与l2的交 点分别为A2，B2，你在问题(1)中发现的结论还成立吗？ 如果将l2平移到其他位置呢？
A1 B1
l1
A2
B2
l
2
A3
B3
l3
m
n
A1A 2 ＢＢ ＢＢ ＢＢ 1 2 A1A 2 1 2 A２A３ 与 ， 与 ， 与 ２ ３ 的值， 1 计算 A 2 A3 ＢＢ A3 ＢＢ A 3 ＢＢ 2 3 A １ １ ３ A １ １ ３ 你有什么发现？
1.2怎样判定三角形相似（1）
平行线分线段成比例
基本事实
基本事实1:两点确定一条直线 基本事实2:两点间直线段最短
基本事实3:过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线垂直。 基本事实4:过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行。
基本事实5:两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等， 则两直线平行。
在△ABC中， DM∥AC.
BC MC = . AB AD
B
M
C
F
在△DMF中，
DE MC = . EF CF
∵AD=CF，
\
BC DE = . AB EF
例3. 已知：如图△ABC中，D、E分别是AB、AC 上两点，DE、BC的延长线相交于F. AD=CF.
BC DE . 求证： = AB EF
基本事实6:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(SAS)
基本事实7:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(ASA) 基本事实8:三边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
学习目标
1.了解平行线分线段成比例这个基本事实
产生的过程
2.掌握由平行线分线段成比例所得的推论
1.2.怎样判定三角形相似(1)
比 一 比 ： 看 谁 记 得 快 ！
. . . .
. . . .
三、要熟悉该定理的几种基本图形
A B C D E F C D B A E F A D
B
E
F
C
A C
B
M
D E F
平移
A B C
D (E) C
(D) E F
A B F
平移
D A B NE C F
平移
! 注意:应用平行线分线段成比例定理得到 的比例式中,四条线段与两直线的交点位置 无关!
A
AD ＝ —— AE AD ＝ —— AE ( ) D A: —— B: —— AB AC ( ) BD CE
AD AE AD AB ＝ ＝ —— —— —— —— C: AC ( ) D: ( ) B AB AE AC
E C
2、填空题:
E 2 AD ＝ — 求: —— 5 AB ——
D
如图:DE∥BC, 已知: 2 AE —— ＝ — AC 5
∵ DE∥BC，DF∥AC， ∴ 四边形 DFCE 是平行四边形. ∴ DE = CF .
于是，就得到基本事实 9 的一个推论：
• 推论 平行于三角形的一边，并且与其 他两边相交的直线，所截得的三角形 的三边与原三角形的三边对应成比例.
A
B D
C E
练习一: 1、判断题:
如图:DE∥BC, 下列各式是否正确
• 由 E 是 AB 的中点，P 是 AE 的中点，可得
另一方面，由 l6∥l3∥l5∥l4，利用（1） 的结论，可知DF = FC，DQ = QF，于是
• 在图 ① 中，再继续取 AP 的中点 P2，或 PE 的中点 P3，或 PB 的中点 P4，或 AP4的中点 P5，分别过这些点作 l3的平行线，重复（2） 中的推理过程，还可得到
九年级数学上册1.2怎样判定三角形相似教案(新版)青岛版
1.2怎样判定三角形相似【教学目标】一、知识和能力1、掌握相似三角形的概念。
2、掌握两个三角形相似的条件。
3、能用两个三角形相似的条件解决问题。
二、过程与方法通过利用相似三角形解决实际问题中不能直接测量的物体的长度的问题，让学生体会数学转化的思想，并体会如何用已学习的数学知识解决实际问题．三、情感态度与价值观让学生体会用数学知识解决实际问题的成就感和快乐．【重难点】重点：在实际问题中，构造相似三角形的模型以及运用相似形的知识解决问题．难点：利用工具构造相似三角形的模型．【教学过程】流程内容呈现师生活动意图设计一、创设情景激发兴趣（1）导入激学师：（出示图片）看大屏幕：位于四川省乐山市南岷江东岸凌云寺侧的乐山大佛、位于南美洲的世界上最高的树——红杉树，世界上最高的楼——台北101大楼等等。
我们怎样测量这些非常高大物体的高度？世界上最宽的河亚马孙河，我们怎样测量它的宽度？生：观察图片，听教师讲述。
⒈通过图片的展示及教师的娓娓讲述一开始就把学生的视觉、听觉深深的吸引牢了。
2、图中就隐藏着相似三角形的模型，因此可以自然的引出有关的实际问题。
3选择学生熟知的生活情景引入，激发兴趣，产生“要学习”的欲望。
流程内容呈现师生活动意图设计二、授人以鱼，给出模型师：（出示图片）利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题生：观察图片，听教师讲述。
看生活中的简化模型图引出与所学知识的联系，目的在于既可对相似三角形的识别与性质进行有效的复习,又可让学生形成初步应用相似三角形知识来解决实际问题的意识。
三、自学探究为了测量一座水塔的高度，在阳光下，小亮走进水塔的影子里，使自己的影子刚好被水塔的影子遮住。
已知小亮的身高BC=1.6m ，此时。
他的影长AC=1m ，他距水塔的底部E处11.5m ，水塔的顶部为点D 。
根据以上数据，你能算出水塔的高度DE 是多少吗？师：给出例题，要求学生独立完成？生：独立完成，并思考解决问题的关键是什么。
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E C
l2
A B
l2
l3
C
l3
平行线分线段成比例定理与平行线等分线段 定理有何联系？
A B D E
AB 当 1 BC
F
A
D E
B
C
AB 当 1 BC
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！
2014-9-29
例 如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长. 分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分 A 别列出比例式求解. 解 ∵DE//BC
AB BC AC DE EF DF
平行线等分线段成比例定理
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
2014-9-29
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的 延长线)所截得的三角形的三边与原三角形的三 边对应成比例 .l l l l A D l E l
1 1
D B
2014-9-29
A
P1
l
l D
Q1
B E 设线段AB的中点为P1，线 l2 Q P2 2 段BC的三等分点为P2、P3. a1 P3 Q3 a3 AP1=P1B=BP2= P2P3= P3C C F l3 分别过点P1,P2, P3作直线 a1,a2,a3平行于l1,与l 的交 这时你想到了什么？ 点分别为Q1,Q2,Q3. DQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F
2014-9-29
小结 一、平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应 线段成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A B C
2014-9-29
D E F C
D B
A E F
三、注意该定理在三角形中的应用
2014-9-29
AD AE 4 2 AB AC 6 3
D
B F
E
C
∵DF//AC
AD CF AB CB
2014-9-29
2 CF 16 , 即CF 3 8 3
16 8 BF 8 - 3 3
如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD. 求证:AD是AB和AF的比例中项. 分析: 分别在△ABC及△ADC中利 用平行线分线段成比例定理的推论
2014-9-29
l1 a1
AB DE 2 则： . BC EF 3
我们们已经得到 AB 2 若l1 //l 2 //l 3 , ， BC 3 AB DE DE 2 即： 则 BC EF EF 3
A B C
l
l D E F
l1 l2
l3
除此之外，还有其它对应线段成比例吗？
2014-9-29
三条距离不相等的平行线 截两条直线会有什么结果?
A B
l
l D E F
l1 l2
猜 想， ？ BC 3 EF 3C 3 AB 3 DE 若 ， 那么, ？ BC 4 EF 4
你能否利用所学过的相关知识进行说明？
l3
2014-9-29
AB 2 考察 BC 3
1.2怎样判定三角形相似（1）
2014-9-29
平行线等分线段
推论1
推论2
2014-9-29
如何不通过测量，运用所学知识，快速将一 条长5厘米的细线分成两部分，使这两部分 之比是2:3?
A
AB 2 则 BC 3
B
C
2014-9-29
平行线等分线段定理的条件
相邻的两条平行线间的距离相等
2014-9-29
AB DE 怎样由 得到其它比例式？ BC EF
AB DE BC EF
反 比
BC EF AB DE
合比
AC DF AB DE
合比 AC DF AB BC DE EF BC EF 反 比
BC EF AC DF
BC AC EF DF
?
2014-9-29
合比
AB DE AC DF
A F E C
证明 在ABC中, DE//BC , AB AC
AD AE AD AC 在ADC中, EF//CD, AF AE AB AD AD AF
D B
∴AD2=ABAF,即AD是AB和AF的比例中项
2014-9-29
平行于三角形一边，并且与其他两边相交的直 线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边 对应成比例. 已知:如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、E A AD AE DE 求证： AB AC BC E D AD AE DE//BC AB AC C B F AE BF EF//AB AD AE DE AC BC AB AC BC DE=BF