19.3 课题学习 选择方案
19.3课题学习--选择方案
19.3 课题学习选择方案教学设计【教学目标】巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关的实际问题。
【教学重点、难点】重点：根据实际情景中所包含的变量及对应关系建立函数模型，并灵活运用数学模型解决实际问题。
难点：运用一次函数知识解决实际问题。
【教学过程】环节一：提出问题，创设情境做一件事情，有时有不同的实施方案．比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的，在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题时常用到函数．大家知道如何运用一次函数的知识来解决关于“选择最佳方案”的实际问题吗？好，下面我们就一起来探讨学习这方面的问题．环节二：讲授新课活动：怎样选取上网收费方式？下表给出A ，B，C 三种上宽带网的收费方式.选取哪种方式能节省上网费？分析：在方式A , B中，上网时间是影响上网费的变量；在方式C 中，上网费是常量.设月上网时间为x h，则方案A, B的收费金额y1, y2都是x的函数.要比较它们，需在x > 0的条件下，考虑何时(1)y1 =y2 , (2)y1 v y2, (3)y1 >y2.利用函数解析式，通过方程、不等式或函数图象能够解答上述问题.在此基础上，再用其中省钱的方式与方式C进行比较，则容易对收费方式作出选择.在方式A中，月使用费30元与包时上网时间25 h是常量.考虑收费金额时，要把上网时间分为25 h以内和超过25 h两种情况，得到的是如下的函数30, (0<x< 25)y i =』' 30+ 0.05X 60 (x- 25) . (x>25)化简，得30, (0<x< 25)y i = 这个函数的图象如图所示. ' 3x - 45. (x > 25)类似地可以得出方珀，C的收费金额2, y3关于上网时间的函数解析式.类似地y2」50供^50)y3=120(x^0)l3x-10Q (x>50)在图中画出么y的图象结合函数图象与解析式真空:当上网时间时,选择方式A最省钱;当上网时间时,选择方式B最省钱;当上网时间时,选择方式C最省钱.由学生回答老师点评.师：在日常生活中存在着一类抉择性问题们的生活背景可能有差异旦是一旦通过同一种数学模型来解决的话们却是相同的.（幻灯片展示方法总结：1.建立数学模型—一列出两个函数关系式.2.通过解不等式或利用图象来确定自变量的取值范围.3.选择出最佳方案.环节三：巩固练习（幻灯片展示）商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元.该商场为了促销制定了两种优惠方案供顾客选择.甲：买一支毛笔赠送一本书法练习本.乙：按购买金额打九折付款.某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x(x > 10)本.如何选择方案购买呢？(教师纠正学生板书中的错误，同时作方法指导，强调x是正整数)解析：y 甲=25X 10+ 5X (x- 10) = 200 + 5xy 乙=(25 X 10 + 5x) • 0.9(x > 10)(老师引导学生分y甲> y乙，y甲=y乙和y甲v y乙三种情况分别进行讨论)环节四：课堂小结本节课通过实际生活中的例子巩固了一次函数的有关知识，了解了用一次函数这个数学模型解决实际问题的方法，感受到数形结合的重要性，更加激发了学生学习数学的积极性.希望大家在以后的学习中更加努力，多注重数学方法的积累与运用.环节五：教学反思在日常生活中选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题时常用到函数.本节课学生在教师的引导下，利用函数的性质解决这一问题，这提供了用数学知识解决实际问题的一个思路，需要学生在学习实践中不断掌握.。
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19.3课题学习-选择方案D学生的应用意识．教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法.四、教学过程设计（一）、创设问题情境导入：某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票价的6折优惠．”若全票价为240元．可以得出：我们做一件事情，有时有不同的实施方案。
比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的。
今天我们就体会如何运用一次函数选择最佳方案（二）、自主学习与合作探究：问题1 怎样选取上网收费方式？下表给出A，B，C 三种上宽带网的收费方式．收费方月使用费包时上网时超时费/（元式/元间/h /min）A 30 25 0.05B 50 50 0.05C 120 不限时选取哪种方式能节省上网费？设计意图：由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，体会数学来源于生活，又应用于生活，让学生初步感受一次函数在实际生活中的应用．学生活动：在学生已经完成自学的基础上，围绕以下问题进行深入合作探究：（5分钟自学102页）（1）理解题意、解读表格，找出表中反映的信息；（2）方式A、B中上网费的多少与哪个量有关呢？方式C呢？（3）如果设上网时间为X，方式A、B的上网费y1 、 y2与X的关系是什么？（4）设月上网时间为x，则方式A、B的上网费y1、y2都是x的函数，要比较它们，需在x > 0 时，考虑何时（1）y1 =y2；（2） y 1 < y 2；（3） y 1 > y 2.（5）你能在同一直角坐标系中画出它们的图象吗?学生按小组汇报和展示以上讨论的成果． 在方式A 中 当0≤x ≤25时，y 1=30；当 x ＞25时，y 1=30+0.05×60（x -25）=3x -45.即：在方式B 中在方式C 中 上网费y 3关于上网时间x之间的函数关系式当x≥0时，y 3=120.你能在同一直角坐标系中画出它们的图象130, (025)345. (25)x y x x ≤≤⎧=⎨-⎩＞250, (050)3100. ()x y x x ≤≤⎧=⎨-⎩＞50吗?怎样选取上网收费方式呢？问题2 怎样租车？某学校计划在总费用2300元的限额内，利用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表：甲种客车乙种客车45 30载客量（单位：人/辆）400 280租金（单位：元/辆）（1）共需租多少辆汽车？（2）给出最节省费用的租车方案．分析：（1）要保证240名师生有车坐（2）要使每辆汽车上至少要有1名教师根据（1）可知，汽车总数不能小于＿＿＿＿；根据（2）可知，汽车总数不能大于＿＿＿＿．综合起来可知汽车总数为＿＿＿＿＿．讨论：根据问题中的条件，自变量x 的取值应有几种可能？为使240名师生有车坐，x不能小于＿＿＿＿；为使租车费用不超过2300元，X不能超过＿＿＿＿．综合起来可知x的取值为＿＿＿＿．在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中的哪种方案？试说明理由．设计意图：引导学生运用表格分析各量之间关系，设未知数并表示出其它量，通过图表进一步填充能清晰直观地看到各种量之间的，这样有利于提高学生分析问题解决问题的能力，学生可较顺利地列出关系式.设租用x 辆甲种客车，则租车费用y（单位：元）是x的函数，因为X为自然数所以X＝4、 5由函数可知：y 随x增大而增大，所以x = 4时，y最小，即：租用4辆甲车，2辆乙车.归纳：利用一次函数选择最佳方案时（1）审题；（2）分析题中的变量之间的关系，从中找出自变量；（即如果一个变量的取值会影响其它变量的取值，那么这个变量是自变量）（3）根据条件列出函数解析式；（4）借助函数图像分析、得出最佳方案。
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【训练案】：
2．A、B两家旅行社分别推出家庭旅游优惠活动， 两家旅行社的票价均为90元/人，但优惠办法 不同．A旅行社的优惠办法是：全家有一人购 全票，其余的人半价优惠；B旅行社的优惠办 法是：每人均按票价优惠．你将选择哪家旅行 社？在人才招聘会上，某公司承诺：应聘者被 录用后第1年的月工资为2000元，在以后的一 段时间内，每年的月工资比上一年的月工资增 加 300元． （1）某人在该公司连续工作n年，写出他第n 年 的月工资 y与n的函数表达式． （2）他第5 年的年收入能否超过40000元？
这节课你有什么收获？
【预习案】
1.名闻遐迩的玉龙雪山，位于云南丽江城 北15km，由12座山峰组成，主峰海拔 5596m．海拔4500m处一条黑白分明的 雪线蜿蜒山头，由于气候变暖等原因， 雪线平均每年约上升10m，假如按此速 度推算，经过几年，玉龙雪山的雪线将 由现在的4500m退至山顶而消失？
【预习案】
2.某市出租车收费标准：不超过3千米计费 为 7.0元，3千米后按2.4元/千米计费． （1）当路程表显7km时，应付费多少元？ （2）写出车费 y（元）与路程x（千米） 之间的函数表达式； （3）小亮乘出租车出行，付费19元，计算 小亮乘车的路程．
【探究预设案】：
1.在人才招聘会上，某公司承诺：应聘者 被录用后第1年的月工资为2000元，在以 后的一段时间内，每年的月工资比上一 年的月工资增加 300元． （1）某人在该公司连续工作n年，写出他 第n 年的月工资 y与n的函数表达式． （2）他第5 年的年收入能否超过40000元？
【探究预设案】：
课题学习
选择方案
【学习目标】： 1．能根据实际问题中变量之间的关系，确定一 次函数关系式； 2．能将简单的实际问题转化为数学问题建立一 次函数，从而解决实际问题； 3．通过具体问题的分析，发展解决问题的能力， 增强应用意识． 【学习重点】：能结合一次函数表达式及其图像 解决简单的实际问题． 【学习难点】：能结合一次函数表达式及其图像 解决简单的实际问题，体会分类．
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19.3课题学习选择方案一、教学目标1．核心素养:通过在实际问题中建立函数模型，根据所列函数解析式的性质，选择合理方案解决问题的学习，结合实际问题的数学信息，进行合情推理，提升建立数学模型的能力，发展应用意识.2．学习目标（1）巩固一次函数知识，进一步明确一次函数与不等式相结合的实际问题处理方法.灵活运用变量之间的关系建立函数模型．（2）让学生通过“选择上网收费方式”，提高运用函数知识解决实际问题的能力．（3）让学生通过“怎样租车”，提高运用函数知识解决实际问题的能力．3．学习重点（1）培养学生自主分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系．（2）运用一次函数的性质解决生活中的最佳方案．4．学习难点如何构建一次函数模型．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1：预习教材P102-104页，了解上宽带网有几种收费方式，思考影响收费的因素有哪些？任务2：思考租车数量由什么决定，租车费用与哪些因素有关？（二）课堂设计2．知识回顾（1）形如y=kx+b(k，b是常数且k≠0)的函数，y是x的一次函数．（2）一次函数y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大.当k＜0时，y随x 的增大而减小．（3）一元一次方程kx+b=0可看作是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标．（4）一元一次不等式kx+b＞0可看作是直线y=kx+b与x轴交点上方图象对应的x的值．3．问题探究问题探究一怎样选取上网收费方式请认真学习课本P102-103页“问题1”的内容，边学习边思考下列问题：【知识点：一次函数应用，数学思想：建模思想】【点拨】活动一1．选择方案的依据是什么？【答】根据省钱原则选择方案2．要比较三种收费方式的费用，需要做什么？【答】分别计算每种方案的费用．3．怎样计算费用？【答】费用=月使用费+超时费超时费=超时使用价格×超时使用时间4．在A，B，C三种上网收费方式中，上网费用是变量的方式有__________，上网费用的多少与__________有关；上网费用是常量的方式是__________．【答】方案A，B的费用在超过一定时间后，随上网时间变化，是上网时间的函数．方案C费用固定．活动二 1.设上网时间为x h，A，B，C三种方式的收费y1，y2，y3各怎样表示？（注意考虑自变量x的取值范围）2.怎样比较y1，y2，y3的大小？分析：对于这个复杂的问题，我们画函数的图象，借助图象的直观性来解决．【详解】结合图象可知：（1）若y 1=y 2，即3t -45=50，解方程，得t =3123（2）若y 1＜y 2，即3t -45＜50，解不等式，得t ＜3123（3）若y 1＞y 2，即3t -45＞50，解不等式，得t ＞3123（4）若y 2=y 3,即3t -100=120，解方程，得t =7313（5）若y 2＞y 3，即3t -100＞120，解不等式，得t ＞7313综上所述：当上网时间不超过31小时40分，选择方案A 最省钱；当上网时间为31小时40分至73小时20分，选择方案B 最省钱；当上网时间超过73小时20分，选择方案C 最省钱．问题探究二怎样租车思考与讨论：阅读教材P103----P104，【知识点：一次函数应用，数学思想：建模思想】【点拨】活动一 1.影响最后的租车费用的因素有哪些？【答】主要影响因素是甲，乙两种车所租辆数．2.汽车所租辆数又与哪些因素有关？【答】与乘车人数有关．3.如何由乘车人数确定租车辆数呢？【答】（1）要保证240名师生都有车坐，汽车总数不能小于6辆；（2）要使每辆汽车上至少有1名教师，汽车总数不能大于6辆．所以共需租6辆车．活动二在汽车总数确定后，租车费用与租车的种类有关．如果租甲类车x 辆，能求出租车费用y=.在这个函数中，y 随x 的增大而．要求y 的最小值，就要先求x 的取值范围，怎样求x 的取值范围？【详解】设租用x辆甲种客车，则租用乙种客车的辆数为（6-x）辆；设租车费用为y，则y=400x+280（6-x）化简得y=120x+1680．（1）为使240名师生有车坐，则45x+30（6-x）≥240；（2）为使租车费用不超过2300元，则400x+280（6-x）≤2300．解得：4≤x≤316据实际意义可取4或5；因为y随着x的增大而增大，所以当x=4时，y最小，y的最小值为2160．所以，租甲种车4辆，乙种车2辆．结论：在涉及多变量的问题的解决中,能合理选择某个变量作为自变量,然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数．3．课堂总结【知识梳理】基础知识思维导图【重难点突破】（1）本节的问题，其实质是运用一次函数选择最佳方案，一是用一次函数的图像性质；二是多变量的问题．（2）用一次函数解决生活中的方案选择问题需要根据题意列出函数解析式及图像，分三种情况：函数值相等、大于、小于，结合方程、不等式进行说明，在此基础上选择合理方案．（3）将实际问题抽象概括成函数模型体现建模思想，其步骤：审清题意---建立数学模型---数学方法解决问题----验证结果.4．随堂检测：参见ppt巩固练习提升题。
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19.3 课题学习选择方案教学设计龙兴镇中心学校陈明教材分析:教材的地位和作用：本节课是学习了一元一次不等式、一元一次不等式组和一次函数后的有一节应用课，本节课中渗透了数学中的建模思想，学好本节课能为以后更深层次的数学学习打下坚实的基础，因此本节课的学习至关重要。
教学目标:根据新课标的要求及学生的认知规律制定以下学习目标知识与技能：通过在实际问题中建立函数模型，根据所列函数解析式的性质，选择合理方案解决问题的学习，结合实际问题的数学信息，进行合情推理，提升建立数学模型的能力，发展应用意识.过程与方法：经历实际问题的分析、探究和解答过程，进一步感受数学中的建模思想情感态度与价值观：通过本节课的学习，培养学生合作交流的意识和探索的精神, 树立学好数学的自信心教学中的重点、难点:重卢•(1)培养学生自主分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系.(2)运用一次函数的性质解决生活中的最佳方案.难点：如何构建一次函数模型.教学手段：1、使用导学法、讨论法。
2、运用合作学习的方式，分组学习和讨论。
3、运用多媒体辅助教学。
准备工作：多媒体课件、导学案，引导学生思考。
等式kx+b>0可看作是直线y=kx+b 与X轴交点上方图象对应的X的值.自主学习问题1怎样选取规定时间上网收费方式？交流展示1、展示自学内容, 不会的小组研讨，质疑点拨。
整理好上述各题。
2、自学103页的问题2,回答课本上给出的问题，组内交流.归纳总结达标检测练习规定时间任务，组内巡视，对完全没有思路的学生进行点拨。
组织展示相应内容，对不准确的问题适时的提出疑问，完善问题的答案。
提示学生注意总结问题1的解题方法及对函数性质的应用，组间巡视C引导学生归纳总结规定时间，监督学生独立完成相应问题。
通过学生自主学习及导学案的引导，学生独立完成相应问题。
学生能够独立思考的让学生独立完成，培养学生的学习能力。
学生的展示与相互的质疑可以培养学生的表达能力，更能处近学生积极思考。
19.3-课题学习-选择方案-(教学设计)
19.3-课题学习-选择方案-(教学设计)Dx yO 1 2 3 4 5 6 7 8 12 3 4 5 6 7 8教师准备：多媒体课件学生准备：复习一次函数的知识；预习新课。
教学流程 【导课】“数学来源于生活而又应用于生活”，在实际生活中做一件事情，有时有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划是非常有必要的。
【课前预习】1、 如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y 元与销售量x 件之间的函数图象，填空：（1）售 件时，甲、乙两家的售价相同；（2）买1件时，买 家的合算； （3）买3件或以上时，买 家的合算；2、有一种上网方式A 的收费方式如下：月租费30元，包时20 h ，超时费为0.05元/min ，乙甲若方式A的上网费为y元，上网时间为x h，求y与x之间的函数关系式。
3、某校校长暑期带领学校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余的学生可以享受半价优惠”．乙旅行社说：“包括校长全部按全票价的６折优惠”．已知全票价为２４０元．若设学生的人数为x，甲旅行社的收费为y，乙甲旅行社的收费为y，乙（１）写出y、乙y与x之间的函数关系式。
甲（２）若学生人数为９人时，哪家收费低？若学生人数为３人时，哪家收费低？（３）当学生人数是多少时，两家旅行社的收费一样？（４）你能否猜测出当学生人数在哪个范围时选用甲旅行社？【设计意图】预习部分旨在复习前面所学的分段函数及从函数图像中的信息等知识，同时第2、3题为下面的方案选择提供解题的思路。
【多元互动合作探究】问题一怎样选取商家？某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有优惠．甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余的每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%，（1）试写出甲、乙两商场的收费y1、y2（元）与购买台数x之间的关系式；（2）请你判断何时到哪家商场购买更优惠些？【设计意图】本题旨在让学生熟悉方案选择的基本技巧和方法问题二怎样选取上网收费方式？下表给出了A、B、C三种上宽带网的收费方式。
19.3 课题学习选择方案
19.3课题学习选择方案教学目标一、基本目标【知识与技能】1．会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想．2．能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法．3．能进行解决问题过程的反思，总结解决问题的方法．【过程与方法】经历函数模型解决实际问题的过程，体会利用函数思想解决问题的方法．【情感态度与价值观】在数学建模的过程中，发展创新实践能力，培养学生的数学应用意识．二、重难点目标【教学重点】巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题．【教学难点】有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P102～P104的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一次函数可以解决生产实践、日常生活中的很多实际问题：应用一次函数和一元一次方程可以解决行程、面积等实际问题；应用一次函数与一元一次不等式(组)可以解决实际问题中评估、方案选择、决策等问题．应用一次函数与二元一次方程组可以解决生产安排、分工、运输等实际问题；2．用一次函数选择最佳方案的步骤：(1)从数学的角度分析实际问题，建立函数模型；(2)列出不等式(组)，求出函数在取不同值时所对应的自变量的取值范围；(3)结合实际需求，选择最佳方案．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】小刚和他父亲一起去灯具店买灯具，灯具店老板介绍说，一种节能灯的功率是10瓦(即0.01千瓦)的，售价60元；一种白炽灯的功率是60瓦(即0.06千瓦)的，售价为3元．两种灯的照明效果是一样的，使用寿命也相同(3000小时以上)．如果当地电费为0.5元/千瓦时，选择哪种灯更省钱？【互动探索】(引发学生思考)根据“费用＝灯的售价＋电费”，分别列出节能灯的费用y1、白炽灯的费用y2与照明时间x的函数解析式，然后根据y1＝y2，y1＞y2，y2＞y1三种情况进行讨论即可求解．【解答】设照明时间是x小时，节能灯的费用为y1元，白炽灯的费用为y2元．由题意可知y1＝0.01×0.5x＋60＝0.005x＋60，y2＝0.06×0.5x＋3＝0.03x＋3.当使用两灯费用相等时，y1＝y2，即0.005x＋60＝0.03x＋3，解得x＝2280.当使用节能灯的费用大于白炽灯的费用时，y1＞y2，即0.005x＋60＞0.03x＋3，解得x＜2280.当使用节能灯的费用小于白炽灯的费用时，y2＞y1，即0.03x＋3＞0.005x＋60，解得x＞2280.所以当照明时间小于2280小时，应买白炽灯；当照明时间大于2280小时，应买节能灯；当照明时间等于2280小时，两种灯具费用一样．本题中两种灯的照明效果是一样的，使用寿命也相同(3000小时以上)，所以买节能灯可以省钱．【互动总结】(学生总结，老师点评)解题的关键是要分析题意，根据实际意义求解．注意要把所有的情况都考虑进去，分情况讨论问题是解决实际问题的基本能力．【例2】某灾情发生后，某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满．根据表中提供的信息，解答下列问题：(1)(2)如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；(3)在(2)的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？并求出最少总运费．【互动探索】(引发学生思考)(1)装运生活用品的车辆为(20－x －y )辆，根据三种救灾物资共100吨列出关系式；(2)根据题意求出x 的取值范围并取整数值从而确定方案；(3)分别表示装运三种物资的费用，求出表示总运费的表达式，运用函数性质解答．【解答】(1)装运食品的车辆为x 辆，装运药品的车辆为y 辆，那么装运生活用品的车辆为(20－x －y )辆，则有6x ＋5y ＋4(20－x －y )＝100，整理，得y ＝－2x ＋20.(2)由(1)知，装运食品，药品，生活用品三种物资的车辆数分别为x,20－2x ，x .由题意得，⎩⎨⎧x ≥5，20－2x ≥4，解得5≤x ≤8. 因为x 为整数，所以x 的值为5,6,7,8.所以安排方案有4种：方案一：装运食品5辆，药品10辆，生活用品5辆；方案二：装运食品6辆，药品8辆，生活用品6辆；方案三：装运食品7辆，药品6辆，生活用品7辆；方案四：装运食品8辆，药品4辆，生活用品8辆．(3)设总运费为W (元)，则W ＝6x ×120＋5(20－2x )×160＋4x ×100＝16 000－480x .因为k ＝－480＜0，所以W 的值随x 的增大而减小．要使总运费最少，需x 最大，则x ＝8.故选方案四，W 最小＝16 000－480×8＝12 160.即选方案四，最少总运费为12 160元．【互动总结】(学生总结，老师点评)解答此类问题往往通过解不等式(组)求出自变量的取值范围，然后求出自变量取值范围内的非负整数，进而得出每种方案，最后根据一次函数的性质求出最佳方案．活动2巩固练习(学生独学)1．某旅行团计划今年暑假组织老年团到台湾旅游，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆可供选择，其收费标准为每人每天120元，并且推出各自不同的优惠方案：甲宾馆是35人(含35人)以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙宾馆是45人(含45人)以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．设老年团的人数为x.(1)根据题意，用含x的式子填写下表：(2)当x解：(1)108x＋420108x＋42096x＋1080(2)当x≤35时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同；当35＜x≤45时，选择甲宾馆便宜；当x＞45时，甲宾馆的收费是y甲＝108x＋420，乙宾馆的收费是y乙＝96x＋1080，令108x＋420＝96x＋1080，解得x＝55.综上，当x≤35或x＝55时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同．2．某学校为改进学校教室空气质量，决定引进一批空气净化器，已知有A，B两种型号可供选择，学校要求每台空气净化器必须多配备一套滤芯以便及时更换．已知每套滤芯的价格为200元，若购买20台A型和15台B型净化器共花费80 000元；购买10台A型净化器比购买5台B型净化器多花费10 000元．(1)求两种净化器的价格；(2)若学校购买两种空气净化器共40台，且A型净化器的数量不多于B型净化器数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．解：(1)设每台A 型净化器的价格为a 元，每台B 型净化器的价格为b 元． 由题意，得⎩⎨⎧ 20(a ＋200)＋15(b ＋200)＝80 000，10(a ＋200)－5(b ＋200)＝10 000. 解得⎩⎨⎧a ＝2000，b ＝2200.即每台A 型净化器的价格为2000元，每台B 型净化器的价格为2200元．(2)设购买台A 型净化器x 台，B 型净化器为(40－x )台，总费用为y 元． 由题意，得x ≤3(40－x )，解得x ≤30.y ＝(2000＋200)x ＋(2200＋200)(40－x )＝－200x ＋96 000.∵－200＜0，∴y 随x 的增大而减小，当x ＝30时，y 取最小值，y ＝－200×30＋96 000＝90 000，40－x ＝10，即购买A 型净化器30台，B 型净化器10台，最少费用为90 000元．3．现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：(1)(2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a 辆，前往甲、乙两地的总运费为w 元，求出w 与a 的函数关系式(写出自变量的取值范围)；(3)在(2)的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．解：(1)设大货车用x 辆，则小货车用(18－x )辆．根据题意，得16x ＋10(18－x )＝228.解得x＝8，∴18－x＝18－8＝10.即大货车用8辆，小货车用10辆．(2)w＝720a＋800(8－a)＋500(9－a)＋650·[10－(9－a)]＝70a＋11 550(0≤a≤8且a为整数)．(3)由16a＋10(9－a)≥120，解得a≥5.又∵0≤a≤8，∴5≤a≤8且a为整数．∵w＝70a＋11 550，且70＞0，∴w随a的增大而增大，∴当a＝5时，w最小，最小值为w＝70×5＋11 550＝11 900.故使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往甲地；3辆大货车、6辆小货车前往乙地．最少运费为11 900元．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．利用一次函数解决自变量是非负实数的方案选择问题；2．利用一次函数解决自变量是非负整数的方案选择问题；3．利用一次函数、统计等知识解决最省钱、更划算、更优惠的问题．练习设计请完成本课时对应训练！。
19.3 课题学习 选择方案
2.实验学校计划组织共青团员372人到某爱国主义 基地接受教育，并安排8位老师同行，经学校与 汽车出租公司协商，有两种型号客车可供选择， 它们的载客量和租金如下表，
载客量(单位：人/辆) 租金(单位：元/辆)
甲种客车 50 400
乙种客车 30 200
为了保证每人都有座位，学校决定租8辆车．
课堂导学
＝－30x＋39 200，其中0≤x≤70；
(2)当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总 运费最省，最省的总运费是多少？
(2)上述一次函数中k＝－30＜0，所以y随x的增大而 减小，所以当x＝70时，总运费最省，最省总运费 为－30×70＋39 200＝37 100(元)．
感谢聆听
(1)写出符合要求的租车方案，并说明理由； (1)设租甲种客车x辆，则50x＋30(8－x)≥372＋8
得x≥7又x≤8即7≤x≤8 ∴x＝7或8， 所以有两种租车方案： 方案一：租甲种客车7辆，乙种客车1辆； 方案二：租甲种客车8辆，乙种客车0辆．
课堂导学
(2)设租甲种客车x辆，总租金共y(元)，写出y与x 之间的函数关系式；
(2)由(1)知总运费y＝500x＋13 300， ∵x≥0，17－x≥0，18－x≥0，x－3≥0 ∴3≤x≤17又∵k＞0 ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝3时，y最小＝500×3＋13 300＝14 800(元), 所以完成以上调运方案至少需用14 800元运费， 最佳方案是：由A调3台至甲地，14台至乙地；由B调 15台至甲地．
甲地/(元/台)
乙地/(元/台)
A
600
500
B
400
800
(1)如果从A地运往甲地x台，求完成以上调运所需
总费用y(元)与x(台)的函数关系式；
19.3 课题学习 选择方案
（1）分别求两个印刷厂收费y（元）与印刷数量x（份） 之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。 甲：y=1.2x+900(x≥500) 乙：y=1.5x+540(x≥500)
（2）如果这所中学要印刷2000份录取通知书，那么 应选择哪一个印刷厂？需要多少费用？ 甲：当x=2000,则y=1.2×2000+900=3300（元） 乙：当x=2000,则y=1.5×2000+540=3540（元） 综上所述，应选择甲印刷厂，需要3300元。
例2 为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理 设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台价格、月 处理污水量及年消耗费如下表：
A型 价格（万元/台） 处理污水量（吨/月） 年消消耗（万元/台） 12 240 1
B型 10 200 1
经预算，该企业购买设备资金不高于105万元。
（1）请你为该企业设计，能有几种购买方案？
19.3 课题学习 选择方案
一、情境导入，初步认识
新课导入
利用函数具体解决问题可按如下方式： （1）阅读题目，要求学生有意识地带着思考去读，如 “你认为题目要解决的问题是什么？” （2）尝试建立函数关系式，选择正确方案。此时先考 虑“应该从哪一类信息中寻找函数？”等。
数学建模的基本步骤：
（1）阅读理解，审清题意；
解：由（1）知，
当A为0台，B为9台时，月污水处理量为2000吨，不
合题意。 当A为1台，B为9台时，月污水处理量为2040吨，购 买资金为102万元； 当A为2台，B为8台时，污水处理量为2080吨，购买 资金为104万元。 所以应选择方案2，购买资金为102万元。
三、师生互动，课堂小结
课堂小结
解：（1）设购买A型x台，则B型（10-x）台。
19.3 课题学习 选择方案
19.3 课题学习选择方案一、教学目标1、巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题．2、有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力．3、让学生认识数学在现实生活中的意义，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力．二、教学重点1.建立函数模型。
２．灵活运用数学模型解决实际问题。
三、教学过程问题3 怎样调水从A,B两水库向甲乙两地调水，其中甲地需水15万吨，乙地需水13万吨，A,B两水库各可调水14万吨，从A地到甲地50千米，到乙地30千米，从B地到甲地60千米，到乙地45千米。
设计一个调运方案，使得水的调运量（单位：万吨×千米）最小首先应考虑到影响水的调运量的因素有两个，即水量（单位：万吨）和运程（单位：千米），水的调运量是两者的乘积（单位：万吨·千米）；其次应考虑到由A、B水库运往甲、乙两地的水量共4个量，即A--甲，A--乙，B--甲，B--乙的水量，它们互相联系。
设从A水库调往甲地的水量为x吨，则有：设水的运量为y万吨·千米，则有：y=50x+30(14-x)+60(15-x)+45(x-1)1）化简这个函数，并指出其中自变量x的取值应有什么限制条件。
（2）画出这个函数的图像。
（3）结合函数解析式及其图像说明水的最佳调运方案。
水的最小调运量是多少？（4）如果设其他水量（例如从B水库调往乙地的水量）为x万吨，能得到同样的最佳方案么？（1）y=5x+1275 1≤x≤14（3）最佳方案为：从A调往甲1万吨水，调往乙13万吨水；从B调往甲万水。
水的最小调运量为1280万吨·千米。
（4）最佳方案相同。
学生练习：（1）东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元．•该商场为了促销制定了两种优惠方案供顾客选择．甲：买一支毛笔赠送一本书法练习本．乙：按购买金额打九折付款．某校欲为校书法兴趣组购买这种毛笔10支，书法练习本x（x≤10）本．如何选择方案购买呢？小结通过这节课的学习，你有什么收获？。
19.3课题学习-选择方案
《19.3课题学习选择方案》教学设计一、内容和内容解析1.让学生经历体会费用随时间的变化关系、租车费与租车数量的变化关系是一次函数的关系，确定实际数据整理成函数的模型，即建立了数学模型，从而利用函数图像求数学模型的解.本课是明确给出多种方案，要求选择使问题解决最优的一种．二、目标和目标解析知识与能力：1、会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想；2、能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法；情感态度：体会在实际问题中一次函数知识点的重要性，提高学习数学兴趣．三、教学问题诊断分析在本节教学过程中，让学生体会到数学与实际生活的密切联系，经历知识的形成过程，培养学生的应用意识．教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法.四、教学过程设计（一）、创设问题情境导入：某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票价的6折优惠．”若全票价为240元．可以得出：我们做一件事情，有时有不同的实施方案。
比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的。
今天我们就体会如何运用一次函数选择最佳方案（二）、自主学习与合作探究：问题1 怎样选取上网收费方式？下表给出A，B，C 三种上宽带网的收费方式．选取哪种方式能节省上网费？设计意图：由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，体会数学来源于生活，又应用于生活，让学生初步感受一次函数在实际生活中的应用．学生活动：在学生已经完成自学的基础上，围绕以下问题进行深入合作探究：（5分钟自学102页）（1）理解题意、解读表格，找出表中反映的信息；（2）方式A 、B 中上网费的多少与哪个量有关呢？方式C 呢？（3）如果设上网时间为X ，方式A 、B 的上网费 y 1 、 y 2与 X 的关系是什么？（4）设月上网时间为x ，则方式A 、B 的上网费y 1、y 2都是x 的函数，要比较它们，需在 x > 0 时，考虑何时 （1） y 1 = y 2； （2） y 1 < y 2； （3） y 1 > y 2.（5）你能在同一直角坐标系中画出它们的图象吗? 学生按小组汇报和展示以上讨论的成果．在方式A 中 当0≤x ≤25时，y 1=30；当 x ＞25时， y 1=30+0.05×60（x -25）=3x -45.即：在方式B 中在方式C 中 上网费y 3关于上网时间x 之间的函数关系式当x≥0时，y 3=120.你能在同一直角坐标系中画出它们的图象吗?怎样选取 上网收费 方式呢？ 问题2 怎样租车？某学校计划在总费用2300元的限额内，利用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表：（1）共需租多少辆汽车？（2）给出最节省费用的租车方案． 分析：（1）要保证240名师生有车坐 （2）要使每辆汽车上至少要有1名教师130, (025)345. (25)x y x x ≤≤⎧=⎨-⎩＞250, (050)3100. ()x y x x ≤≤⎧=⎨-⎩＞50根据（1）可知，汽车总数不能小于＿＿＿＿；根据（2）可知，汽车总数不能大于＿＿＿＿．综合起来可知汽车总数为＿＿＿＿＿．讨论：根据问题中的条件，自变量x 的取值应有几种可能？为使240名师生有车坐，x不能小于＿＿＿＿；为使租车费用不超过2300元，X不能超过＿＿＿＿．综合起来可知x的取值为＿＿＿＿．在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中的哪种方案？试说明理由．设计意图：引导学生运用表格分析各量之间关系，设未知数并表示出其它量，通过图表进一步填充能清晰直观地看到各种量之间的，这样有利于提高学生分析问题解决问题的能力，学生可较顺利地列出关系式.设租用x 辆甲种客车，则租车费用y（单位：元）是x的函数，因为X为自然数所以X＝4、 5由函数可知：y 随x增大而增大，所以x = 4时，y最小，即：租用4辆甲车，2辆乙车.归纳：利用一次函数选择最佳方案时（1）审题；（2）分析题中的变量之间的关系，从中找出自变量；（即如果一个变量的取值会影响其它变量的取值，那么这个变量是自变量）（3）根据条件列出函数解析式；（4）借助函数图像分析、得出最佳方案。
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首先应考虑到影响水的调运量的因素有 两个，即水量（单位：万吨）和运程 （单位：千米），水的调运量是两者的 乘积（单位：万吨· 千米）；其次应考虑 到由A、B水库运往甲、乙两地的水量共4 个量，即A--甲，A--乙，B--甲，B--乙 的水量，它们互相联系。
设从A水库调往甲地的水量为x吨，则有：
调入地 水量/万吨 调出地
甲
x 15-x
乙
14-x x-1
总计
14 14
A
B
总计
15
13
28
设水的运量为y万吨· 千米，则有： y=50x+30(14-x)+60(15-x)+45(x-1)
（1）y=5x+1275
y/万吨· 千米
1≤x≤14
（ 2）
1345
1280
O
1
14
x/吨
（3）最佳方案为：从A调往甲1万吨水， 调往乙13万吨水；从B调往甲14万吨水。 水的最小调运量为1280万吨· 千米。
（1）要保证240名师生有车坐 （2）要使每辆汽车上至少要有1名教 师 6 根据（1）可知，汽车总数不能小于＿＿＿＿；根据 6 （2）可知，汽车总数不能大于＿＿＿＿。综合起来 6 可知汽车总数为 ＿＿＿＿＿。 设租用x辆甲种客车，则租车费用y（单位：元） 是 x 的函数，即 y=400x+280(6-x) 化简为： y=120x+1680
问题
4两甲种客车，2两乙种客车； y1=120×4＋1680=2160
5两甲种客车，1辆乙种客车； y2=120×5＋1680=2280
应选择方案一，它比方案二节约Fra bibliotek20元。从A、B两水库向甲、乙两地调水， 其中甲地需水15万吨，乙地需水13万 吨，A、B两水库各可调出水14万吨。 从A地到甲地50千米，到乙地30千米； 从B地到甲地60千米，到乙地45千米。 设计一个调运方案使水的调运量（单 位：万吨· 千米）尽可能小。
问题
根据问题中的条件，自变量x 的取值应有几种可能？ 4 为使240名师生有车坐，x不能 小于＿＿＿＿；为使 6 租车费用不超过2300元，X不能超过＿＿＿＿。综合起 4、5 。 来可知x 的取值为＿＿＿＿ 在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的 租车方案？为节省费用应选择其中的哪种方案？试说 明理由。
71.4 60 3 2280
y1= 0.5×0.01x＋60
X( 小时)
我校校长暑期带领学校市级“三好学生”去北京旅 游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余的 学生可以享受半价优惠”．乙旅行社说：“包括校长全 部按全票价的６折优惠”．已知全票价为２４０元． （１）当学生人数是多少时，两家旅行社的收费一样？ （２）若学生人数为９人时，哪家收费低？ （３）若学生人数为３人时，哪家收费低？ （４）你能否猜测出当学生人数在哪个范围时选用甲 旅行社？
第19章 一次函数
19.3 课题学习 选择方案
练习题
(1) 白炽灯功率60瓦,售价3元,每度电0.5 元/ (千瓦· 时),使用1000小时的费用是多少元? 0.5×0.06×1000＋3＝33(元) (2) 节能灯功率10瓦，售价60元,每度电0．5 元/(千瓦· 时),使用1000小时的费用是多少 元? 0.5×0.01×1000＋60＝65(元)
你现在是小采购员,想在两 种灯中选购一种,节能灯功率10瓦，售价为 60元,白炽灯功率为60瓦，售价为3元,两种 灯照明效果一样,使用寿命也相同(3000小 时以上). 如果电费是0.5元/ (千瓦· 时),选哪 种灯可以节省费用?
解:设照明时间为x小时,则节能灯的总费用y1为 y1= 0.5×0.01x＋60 类似地可以写出白炽灯的总费用y2为 y2= 0.5×0.06x＋3
某学校计划在总费用2300元的限额内，利用汽车送234 名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教 师。现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表 ：
甲种客车 载客量（单位：人/辆） 租金 （单位：元/辆） 45 400 乙种客车 30 280
（1）共需租多少辆汽车？ （2）给出最节省费用的租车方案。
71.4
y1= 0.5×0.01x＋60
2280
(1)照明时间小于2280 小时,用哪种灯省钱?照明
Y(元)
y2= 0.5×0.06x＋3
时间超过2280小时,但不超
过灯的使用寿命,用哪种灯 省钱? (2)如果灯的使用寿命 为3000小时,而计划照明 3500小时,则需要购买两个 灯,试设计你认为的省钱选 灯方案?
（4）最佳方案相同。
解决问题
讨论:根据上面两个函数,考虑下列问题:
(1)X为何值时y1= y2?
(2)X为何值时y1＞ y2?
Y(元)
y2= 0.5×0.06x＋3
(3)X为何值时y1＜ y2?
试利用函数解析式及 60 图像给出答案,并结合方程、 不等式进行说明。在考虑 3 上述问题基础上，你能为 消费者选择节省费用的用 灯方案吗？