(新课标)高考数学大一轮复习3.2同角三角函数基本关系式与诱导公式课时作业理
2022届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案理含解析北
第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，本节的命题重点是同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用，单独命题的概率较低．本讲知识多作为工具考查三角恒等变形或研究三角函数的图像与性质，以选择题和填空题为主．本节通过同角三角函数基本关系及诱导公式考查考生的数学运算核心素养及分类讨论思想的应用．授课提示：对应学生用书第63页 知识点一 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； （2）商数关系：tan α＝sin αcos α．•温馨提醒•同角三角函数关系式的常用变形 （sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α； sin α＝tan α·cos α．1．已知α为第二象限角，化简：cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α＝（ ）A ．sin α＋cos αB ．sin α－cos αC ．1＋sin αD ．1－sin α解析：原式＝cos α（1－sin α）2cos 2α＋sin α（1－cos α）2sin 2α＝cos α1－sin α|cos α|＋sin α1－cos α|sin α|＝cos α·1－sin α－cos α＋sin α·1－cos αsin α＝sin α－cos α． 答案：B 2．若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝_________．解析：因为π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255，所以tan α＝sin αcos α＝－12．答案：－123．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为_________．解析：原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3．答案：3知识点二 诱导公式组数 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α （k ∈Z ） π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan αtan α－tan α－tan α口诀函数名不变 符号看象限函数名改变，符号看象限1．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝（ ） A ．－79B ．－13C ．13D ．79解析：∵⎝⎛⎭⎫α＋π3＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13． 答案：C2．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫52π＋α·sin （α－π）·cos （2π－α）的结果为_________．解析：原式＝sin αcos α·（－sin α）·cos α＝－sin 2α．答案：－sin 2α3．已知A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α（k ∈Z ），则A 的值构成的集合是_________．解析：当k ＝2n （n ∈Z ）时， A ＝sin （2n π＋α）sin α＋cos （2n π＋α）cos α＝sin αsin α＋cos αcos α＝2． 当k ＝2n ＋1（n ∈Z ）时， A ＝sin （π＋α）sin α＋cos （π＋α）cos α＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝－1＋（－1）＝－2． 答案：{2，－2}授课提示：对应学生用书第64页题型一 三角函数的诱导公式1．已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α的值为（ ） A ．33 B ． 3 C ．－33D ．－ 3解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33． 答案：C2．（2021·某某二检）在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫sin 5π3，cos 5π3，则sin （π＋α）等于（ ） A ．－32B ．－12C ．12D ．32解析：由诱导公式可得sin 53π＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－sin π3＝－32， cos 53π＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝cos π3＝12， 即P ⎝⎛⎭⎫－32，12． 由三角函数的定义可得sin α＝12⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫122＝12， 则sin （π＋α）＝－sin α＝－12．答案：B3．（2021·黔东南模拟）已知直线y ＝－43x ＋1的倾斜角为α，则cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋αsin （π＋α）的值为（ ） A ．22 B ．24C ．28D ．724解析：由已知有k ＝tan α＝－43，cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋αsin （π＋α）＝（cos α－sin α）（cos α＋sin α）22（cos α－sin α）sin α＝2·cos α＋sin αsin α＝2⎝⎛⎭⎫1tan α＋1， 故cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋αsin ()π＋α＝24． 答案：B4．已知a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b解析：由已知，a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－π－π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos ⎝⎛⎭⎫6π－π4＝cos π4＝22，c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－8π－π4＝－sin π4＝－22，因而b ＞a ＞c ．答案：B5．（2020·某某模拟）已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝35，那么tan α的值为（ ） A ．－43B ．－34C ．±43D ．±34解析：sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝35化为cos α＝35，那么sin α＝±45，tan α＝±43． 答案：C6．（2021·某某模拟）化简：sin （π－α）＋sin αcos α⎣⎡⎦⎤1＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αtan α＝_________．解析：sin （π－α）＋sin αcos α⎣⎡⎦⎤1＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αtan α＝sin α＋sin αcos α（1＋cos α）tan α ＝cos α． 答案：cos α应用诱导公式的思路与技巧（1）应用诱导公式的一般思路 ①化大角为小角；②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．（2）常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．题型二 同角三角函数基本关系式的应用考法（一） 知一求二问题[例1] 若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin （π－α）＝35，则tan α＝（ ） A ．－43B ．43C ．－34D ．34[解析] 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35， 所以cos α＝－45，所以tan α＝－34．[答案] C利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些问题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．考法（二） 弦切互化[例2] （1）已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是（ ）A ．35B ．－35C ．－3D ．3（2）已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝_________． [解析] （1）由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35．（2）由（sin θ＋3cos θ）2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43．[答案] （1）A （2）－43若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型． 考法（三） sin α±cos α、sin αcos α之间的关系[例3]（2021·某某二诊）已知α为第二象限角，且sin α＋cos α＝15，则cos α－sin α＝（ ）A ．75B ．－75C ．±75D ．－15[解析] 法一：（整体代入法）由sin α＋cos α＝15两边同时平方，得1＋2sin αcos α＝125，则2sinαcos α＝－2425，所以（cos α－sin α）2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925．因为α为第二象限角，所以cos α－sin α＝－75．故选B ．法二：（换元法）sin α＋cos α＝15，①令cos α－sin α＝t ．②由①2＋②2，得2sin 2α＋2cos 2α＝125＋t 2，即2＝125＋t 2，整理得t 2＝2－125＝4925，解得t ＝±75．因为α为第二象限角，所以cos α－sin α<0， 故cos α－sin α＝－75．法三：（列方程法）由sin α＋cos α＝15两边同时平方，1＋2sin αcos α＝125，则2sin αcos α＝－2425，即sin αcos α＝－1225．所以sin α，cos α是方程x 2－15x －1225＝0的两根，解方程得x 1＝－35，x 2＝45．因为α是第二象限角，所以sin α＝45，cos α＝－35，所以cos α－sin α＝－75．[答案] B对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t 2－12，sin α－cos α＝±2－t 2（注意根据α的X 围选取正、负号），体现了方程思想的应用．[题组突破]1．（2021·某某模拟）已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，sin α＝－35，则cos （π－α）的值为（ ） A ．－45B ．45C ．35D ．－35解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，sin α＝－35，∴cos α＝45， ∴cos （π－α）＝－cos α＝－45．答案：A2．若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是（ ）A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：由sin α＋cos α＝23，得（sin α＋cos α）2＝49，∴1＋2sin αcos α＝49，2sin αcos α＝－59，∵α∈（0，π），∴α为钝角． 答案：D3．若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝（ ）A ．6425B ．4825C ．1D ．1625解析：tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425．答案：A同角三角函数关系式中的核心素养（一）数学抽象——分类讨论思想在化简求值中的应用[例1] 在△ABC 中，若sin （2π－A ）＝－2sin （π－B ），3cos A ＝－2cos （π－B ），则C ＝_________．[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝2sin B ①，3cos A ＝2cos B ②，①2＋②2，得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22，当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A ，B 是三角形的内角，所以A ＝π4，B ＝π6，所以C ＝π－（A ＋B ）＝712π；当cos A ＝－22时，cos B ＝－32，又A ，B 是三角形的内角，所以A ＝34π，B ＝56π，不符合题意，舍去． 综上，C ＝712π．[答案]712π三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用． （二）创新应用——斜率公式与三角函数的交汇问题[例2] 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A （1，a ），B （2，b ），且cos 2α＝23，则|a －b |＝（ ）A ．15B ．55C ．255D ．1[解析] 由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，∴tan α＝±55，即b －a 2－1＝±55，∴|a －b |＝55． [答案] Bword- 11 - / 11 本题主要通过商数关系进行弦化切，结合斜率公式求解，着重考查了逻辑推理与数学运算核心素养．[题组突破]1．已知曲线f （x ）＝23x 3在点（1，f （1））处的切线的倾斜角为α，则sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝（ ） A ．12B ．2C ．35D ．－38解析：由f ′（x ）＝2x 2，得tan α＝f ′（1）＝2，所以sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α－12tan α＋1＝35． 答案：C2．已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝_________． 解析：由sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，知cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝35． 因为θ为第四象限角，所以－θ为第一象限角，π4－θ为第一象限角或第二象限角．又因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝35，所以π4－θ为第一象限角．所以tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝43，tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－43． 答案：－43。
高考数学一轮复习第三章第二讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件
所以 sin α＝2 5 5，cos α＝－ 55，tan α＝－2，
所以 sin (2α－3π)＋tan π2－α＝－2sin αcos α＋tan1 α＝
－2×2
5
5×－
55－12＝45－12＝130.故选
D.
答案：D
2.(考向 2)已知 sinα－1π2＝13，则 cosα＋1172π的值为(
3sin2θ－cos2θ＋( 3－1)sinθcos sin2θ＋cos2θ
θ＝
3tan2θ－ta1n＋2θ1)＝2
3＋1 5.
故选 B.
答案：B
⊙sin x＋cos x，sin x－cos x，sin x cos x 之间的关系 [例 4]已知 sin θ＋cos θ＝173，θ∈(0，π)，则 tan θ 的值为_______.
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－ cos2α，cos2α＝1－sin2α.
考点二 诱导公式及其应用 考向 1 利用诱导公式化简三角函数式 [例 1](1)化简：sinc－osαπ2－－32απcsoins π232＋π－ααsitnan(2π(＋2πα－) α)＝________.
2.三角函数的诱导公式
序号
一
二
三
四
五六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
正弦 sin α
－sin α
－α －sin α
π－α sin α
π2－α π2＋α cos α cos α
余弦 cos α
－cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 口诀
tan α
tan α －tan α －tan α — —
高考数学复习、高中数学 同角三角函数的基本关系与诱导公式附答案解析
第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式22sin sin cos 1,tan cos xx x x x+==；2. 能利用定义推导出诱导公式（2πααπ±±，的正弦、余弦、正切）.【知识衍化体验】【知识梳理】1. 同角三角函数的基本关系式平方关系：22sin cos 1αα+= 商数关系：sin tan cos ααα= 2．诱导公式:诱导公式可概括为：k ·π2±α（k ∈Z ）的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限． 常见的几组为:3.已知一个角的某一个三角函数值,求其余三角函数值时,要特别注意这个角的范围.4.求一个已知的角的三角函数值,其一般步骤为: (1)负角化为正角;(2)大角化为小角. 5．sinα±cosα与sinα·cosα之间的关系：(1) (sinα＋cosα)2＝1＋2sinα·cosα； (2) (sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα ； [微点提醒]1.诱导公式口诀中“奇变偶不变，符号看象限”其中的奇、偶是指的2π的奇数倍和偶数倍. 应用公式有时要先技术处理一下，如33sin()sin(2)()222πππααπα-=-+=+.2.利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.【基础自测】疑误辨析1. 判断下列结论正误（1）sin()sin παα+=- （ ）（2）3sin()cos 2παα-= （ ）（3）3cos()sin 2παα+=- （ ）（4）2211+tan cos αα= （ ） 教材衍化2．（多选）下列式子化简结果和sin x 相同的是 （ ） A ．()sin x π-B ．()sin x π+C ．cos 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．cos 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭3．角α的终边在直线2y x =上，则()()()()sin cos sin cos αππαπαπα-+-=+-- （ ）A ．13B ．1C ．3D ．1-考题体验4．（2016年全国III ）若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2=αα+ （ ） A ．6425 B ．4825 C ．1 D ． 16255．（2013新课标Ⅱ）设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=___． 6．（2016年全国II ）若3cos()45πα-=，则sin2=α （ ） A ． B ． C ． D ．【考点聚焦突破】考点一.同角三角函数基本关系式 角度1 公式的直接运用【例1-1】已知α为第四象限角，化简：ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-7251515-725-角度2 关于sin ,cos αα的齐次式问题【例1-2】若tan α1）sin cos cos sin αααα+-的值；（2）222sin sin cos cos αααα-+的值．角度3 “sin cos sin sin αααα±⋅，”之间的关系【例1-3】已知sin α和cos α是方程250x x m -+=的两实根，求：（1）m 的值；（2）当(0,)απ∈时，求tan(3)πα-的值；（3）33sin +cos αα的值．(4) 2sin 22sin 1tan ααα+-规律方法 1.已知角的一个三角函数值求其余两个三角函数值，通过22sin cos 1αα+=事先正弦与余弦的互化，通过sin tan cos ααα=实现切和弦的互化.2. 利用2sin cos =1sin cos x x x x ±±⋅（）对sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +⋅-知一求二的问题.3.注意公式的逆运用及变形应用，如221=sin cos αα+，221sin cos αα-=，221cos =sin αα-.【训练1】（1）求值（2）已知A 、B 、C ,cos A A -是220x x a -+=方程的两根．①求角A ；②若221+2sin cos 3cos sin B BB B=--，求tanB .（3）已知关于x 的方程221)0x x m -+=的两根为sin ,cos θθ，θ∈(0，2π) ．求：①2sin cos sin cos 1tan θθθθθ+--； ①m 的值； ①方程的两根及此时θ.考点二.诱导公式的应用 【例2】化简：3tan()cos(2)sin()2cos(3)sin(3)ππαπαααππα++-----规律方法 诱导公式的两个简单应用:（1）求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.【训练2】（1）已知72sin()123πα+=，则11cos()=12πα-________ （2）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2y x =上，则3sin()cos()2sin()sin()2πθπθπθπθ++----＝考点三.同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用 【例3】 是否存在22ππα∈（-,），0βπ∈（,），使得等式sin(3))2ππαβ-=-，))απβ-=+同时成立？若存在，求出αβ，的值，若不存在，请说明理由.规律方法 1.注意角的范围对三角函数值符号的影响，特别是多解时要考虑舍解，一解时要考虑漏解.2.一般情况下首先要注意分析角和角之间的关系，比如+36ππαα-，是互余的角,我们常常要在展开和保留整体角之间作出选择.【训练3】已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin()=3sin()2αππα+-（ ）A ．-B ．C ．D反思与感悟 [思维升华]1. 有切有弦，常常切化弦，利用sin tan cos xx x=， 2. 关注齐次式2sin cos sin sin cos ,sin cos cos2a x b x x x xc xd x x+++， 3. 互相关联的sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +⋅-知一求二的问题，如求sin cos +sin cos y x x x x =+⋅的最大值，令sin cos =x x t +换元.[易错防范]利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，基本思想是负化正，大化小，钝化锐.第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式【知识衍化体验】 【知识梳理】 2． 常见的几组为:【基础自测】1.(1).对 （2）.错 （3）.错 （4）.对 2． ACD对于A ：()sin sin x x π-=，则A 选项与sin x 相同，故A 选项正确； 对于B ：()sin sin x x π+=-，则B 选项与sin x 不相同，故B 选项不正确； 对于C ：cos sin 2x x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则C 选项与sin x 相同，故C 选项正确； 对于D ：cos cos sin 22x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则D 选项与sin x 相同，故D 选项正确. 3． C ．角α的终边在直线2y x =上，tan 2α∴=，则()()()()sin cos sin sin cos sin cos cso αππαααπαπααα-+---=+---+sin cos tan 13sin cos tan 1αααααα++===--.考题体验 4．A 由sin 3tan cos 4ααα==，22cos sin 1αα+=，得3sin 5α=，4cos 5α=或 3sin 5α=-，4cos 5α=-，所以24sin 22sin cos 25ααα==，则2164864cos 2sin 2252525αα+=+=，故选A ．5. 5-1tan()=42πθ+则1tan 3θ=-，sin θ=，cos θ=，sin cos = 5θθ+-. 6．D因为3cos cos )45πααα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以sin cos 5αα+=， 所以181sin 225α+=,所以7sin 225α=-,故选D ． 【考点聚焦突破】【例1-1】因为α为第四象限角所以原式=αααααα2222cos 1)cos 1(sin sin 1)sin 1(cos --+-- ()ααααααααααsin cos cos 1sin 1sin cos 1sin cos sin 1cos -=---=--+-=【例题1-2】（1）cos sin 1tan 3cos sin 1tan αααααα++===----（2）原式2222222sin sin cos cos 2tan tan 1sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++=． 【例1-3】(1)解： 1sin cos 5sin cos 5mαααα⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，11+2sin cos 25αα=，125m =-(2)sin cos 0,(,)2παααπ<∈,4sin 5α=,3cos 5α=-,4tan 3α=-4tan tan 3παα-=-=（3） (3)332211237sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )=(1)525125αααααααα+=+-++=。
高考数学一轮复习同角三角函数的基本关系及诱导公式
________
－sin α
tan α
tan α
________
________
－tan α
________
tan α
________
－tan α
[常用结论]
1．同角三角函数关系式的常用变形
sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；(sinα±cos α)2＝1±2sin αcos α；
π
sin α＝tan αcos α α ≠ + kπ，k
2
2
cos α
1
2
cos α＝ 2
＝ 2
.
2
sin α+cos α tan α+1
∈
2α
2α
sin
tan
；sin2α＝ 2
＝ 2
；
2
sin α+cos α tan α+1
2．诱导公式的记忆口诀
π
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数
3
2
α，cos α.
题后师说
本例属于同角三角函数关系中的基础题，关键是掌握“先开方，后
作商”的原则，先求与sin α(或cos α)的平方关系相联系的cos α(或sin
α)，再由公式求tan α.
巩固训练2
3π
(1)[2023·广东惠州模拟]已知tan α＝2，π<α< ，则cos α－sin α＝
3
.
2
8
4
α－sin α的值为
关键能力·题型突破
题型一 诱导公式
π
3
π
例 1(1)[2023·广东深圳高三检测]已知sin (α＋ )＝－ ，则cos (α－ )
必修四：(新课标)同角三角函数基本关系式及诱导公式(典型例题+习题+答案)
同角三角函数基本关系式及诱导公式1． 同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2. 诱导公式1． (2011·大纲全国)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 答案 －55解析 ∵tan α＝2，∴sin αcos α＝2，∴sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴(2cos α)2＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝15.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 2． 若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________．答案 34解析 原式＝2tan α－1tan α＋2＝34.3． 已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.答案 －255解析 ∵α是第二象限的角，∴cos α<0. 又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12， ∴cos α＝－255.4． sin 43π·cos 56π·tan ⎝⎛⎭⎫－43π的值是________． 答案 －334解析 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.5． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. 答案 －23解析 sin ⎝⎛⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. 题型分析 深度剖析题型一 同角三角函数基本关系式的应用 例1 已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．思维启迪：由sin A ＋cos A ＝15及sin 2A ＋cos 2A ＝1，可求sin A ，cos A 的值．解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225.(2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0， ∴sin A －cos A ＝75.②∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.探究提高 (1)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．(1)已知tan α＝2，求sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α；(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α. 解 (1)sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－2tan 2α＋1＝45.(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β，②由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β，③ ①＋③得：sin 2α＋9cos 2α＝4，∵cos 2α＋sin 2α＝1，∴cos 2α＝38，即cos α＝±64.题型二 三角函数的诱导公式的应用例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值． 思维启迪：(1)将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系．(2)先化简已知，求出cos α的值，然后化简结论并代入求值． 解 (1)∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33， 即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33. (2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫72π－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.探究提高 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．(1)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)；(2)已知f (x )＝sin (π－x )cos (2π－x )tan (－x ＋π)cos ⎝⎛⎭⎫－π2＋x ，求f ⎝⎛⎭⎫－31π3的值． 解 (1)原式＝tan αcos αsin ⎣⎡⎦⎤－2π＋⎝⎛⎭⎫α＋π2cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.(2)∵f (x )＝sin x ·cos x ·(－tan x )sin x＝－cos x ·tan x ＝－sin x ，∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫－31π3＝sin 31π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫10π＋π3＝sin π3＝32. 题型三 三角函数式的化简与求值例3 (1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；(2)化简：tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)sin (－π－α).思维启迪：三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察式子的规律，使用恰当的公式． 解 (1)因为tan α＝13，所以12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝23. (2)原式＝－tan α·cos (－α)·sin ⎝⎛⎭⎫－α－π2cos (π－α)·sin (π－α)＝tan α·cos α·sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.探究提高 在三角变换中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－55，α∈(0，π)， 求cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α2sin (π－α)＋cos (3π＋α)的值．解 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－55， ∴cos α＝－55，又α∈(0，π)，∴sin α＝255. cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α2sin (π－α)＋cos (3π＋α)＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2－sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2sin α－cos α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin α－cos α＝－sin αsin α－cos α＝－23.分类讨论思想在三角函数化简中的应用典例：(12分)化简：sin ⎝⎛⎭⎫4n －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4n ＋14π－α (n ∈Z )． 审题视角 (1)角中含有变量n ，因而需对n 的奇偶分类讨论．(2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看．规范解答解 当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则[1分] 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫8k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫8k ＋14π－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫－π4－α＋cos ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0.[5分] 当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1 (k ∈Z )，则[6分] 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫8k ＋34π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫8k ＋54π－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫3π4－α＋cos ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫5π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫5π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0.[10分] 故sin ⎝⎛⎭⎫4n －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4n ＋14π－α＝0.[12分] 温馨提醒 (1)本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论的思想将n 分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想． (2)在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因.方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1． 同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2． 三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…. 失误与防范1． 利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．2． 在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3． 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析 因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.2． cos(－2 013π)的值为( )A.12B ．－1C ．－32D ．0答案 B解析 cos(－2 013π)＝cos(－2 014π＋π)＝cos π＝－1. 3． 已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为( ) A.12B ．－12C.32D ．－32答案 A解析 ∵f (α)＝sin αcos α－cos α·(－tan α)＝cos α，∴f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＝cos π3＝12. 4． 当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x的最小值是( )A.14B.12C ．2D ．4答案 D解析 当0<x <π4时，0<tan x <1，f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x ＝1tan x －tan 2x ， 设t ＝tan x ，则0<t <1，y ＝1t －t 2＝1t (1－t )≥4. 当且仅当t ＝1－t ，即t ＝12时等号成立．二、填空题(每小题5分，共15分)5． 如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝________. 答案265 解析 ∵sin α＝15，且α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－125＝－265， ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－cos α＝265. 6． 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值为________． 答案 －13解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13.7. sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________.答案 －1解析 原式＝－cos α·tan αsin α＝－sin αsin α＝－1.三、解答题(共22分) 8． (10分)已知sin θ＋cos θ＝23(0<θ<π)，求tan θ的值． 解 将已知等式两边平方，得sin θcos θ＝－718，∴π2<θ<π， ∴sin θ－cos θ＝(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝43.解方程组⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝23，sin θ－cos θ＝43，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝2＋46，cos θ＝2－46，∴tan θ＝sin θcos θ＝－9－427.9． (12分)已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．解 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13，∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos (2π－θ)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θcos (π－θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分) 1． 若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( )A ．－79B ．－13C.13D.79答案 A解析 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋α＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13. 则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α－1＝－79. 2． 已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( )A.12B ．－12C ．2D ．－2答案 A解析 由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2α及题意可得cos α≠0且1－sin α≠0， ∴1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，∴cos α1－sin α＝－12， 即cos αsin α－1＝12.3． 若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于( )A.12B ．2C ．－12D ．－2答案 B解析 由cos α＋2sin α＝－5可知，cos α≠0，两边同时除以cos α得1＋2tan α＝－5cos α，平方得(1＋2tan α)2＝5cos 2α＝5(1＋tan 2α)，∴tan 2α－4tan α＋4＝0，解得tan α＝2. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 若sin(π＋α)＝－12，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝________. 答案 －32解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α，∴sin α＝12. 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－32. 5． 已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________.答案 45解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ1＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45. 6． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． 答案 0解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 三、解答题7． (13分)已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根．(1)求角A .(2)若1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B＝－3，求tan B . 解 (1)由已知可得，3sin A －cos A ＝1①又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin 2A ＋(3sin A －1)2＝1，即4sin 2A －23sin A ＝0，得sin A ＝0(舍去)或sin A ＝32，∴A ＝π3或2π3，将A ＝π3或2π3代入①知A ＝23π时不成立，∴A ＝π3. (2)由1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B＝－3， 得sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0，∵cos B ≠0，∴tan 2B －tan B －2＝0， ∴tan B ＝2或tan B ＝－1.∵tan B ＝－1使cos 2B －sin 2B ＝0，舍去， 故tan B ＝2.。
同角三角函数的基本关系式、诱导公式基础+复习+习题+练习)
课题：同角三角函数的基本关系式考纲要求：① 理解同角三角函数的基本关系式，能利用平方关系和商数关系进行化简、求值和证明有关问题.②能利用单位圆的三角函数线推到有关的诱导公式，能利用诱导公式化简任意角的三角函数值.重点：理解同角三角函数的基本关系式及诱导公式；并能进行求值、化简与证明． 难点：公式的恰当选用及利用公式时符号的正确选取． 教材复习：1.同角三角函数的基本关系式： （1）倒数关系：tan cot 1sin csc 1cos sec 1αααααα⋅=⋅=⋅=；（2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==； （3）平方关系：222222sin cos 1sec 1tan csc 1cot αααααα+==+=+ ． 2.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限． 基本知识方法：1.利用平方关系时，要注意开方后符号的选取；2.诱导公式的作用在于将任意角的三角函数转化为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内角的三角函数值，其解题思路是化负角为正角，化复杂角为简单角，运用时应充分注意符号；3.利用商数关系、倒数关系能够完成切割化弦；4.涉及sin ,cos αα的二次齐次式（如22sin sin cos cos a b c αααα++）的问题常采用“1”代换法求解；5.涉及sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-⋅的问题常采用平方法求解；6.涉及sin ,cos αα的齐次分式（如sin cos sin cos a b c d αααα++）的问题常采用分式的基本性质进行变形．典例分析：考点一 利用诱导公式化简三角函数式问题1．()1（07全国Ⅱ文）cos330︒= .A 12 .B 12- .C .D -()2（06黄岗模拟）已知cos31m ︒=，则sin 239tan149︒⋅︒=.A 21m m-.B.C 21m m-.D()3（2013聊城模拟）已知()()()sin cos 4f x a x b x παπβ=++++（,,,a b αβ为非零实数），(2011)5f =，则(2012)f = .A 1 .B 3.C 5 .D 不能确定()4（2013=.A sin 2cos 2- .B )c o s 2 .D cos 2sin 2-()5已知cos 63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，求5cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.考点二 同角三角函数基本关系式的应用问题2．()1（2011重庆）若3cos 5α=-，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=()2化简: sin()cos()44ππαα-++()3求值：已知32,cos(9)5παπαπ<<-=-，求11tan()2πα-的值；考点三 关于sin cos αα±，sin cos αα相互转化的问题问题3．()1（2012辽宁）已知sin cos αα-=，()0,απ∈，则tan α=.A 1- .B .C .D 1()2（2013东北三校模拟）已知4sin cos 3θθ+=（04πθ<<），则sin cos θθ-=.A 3 .B 3- .C 13.D 13-()3若tan αcos sin cos sin αααα+-；②222sin sin cos cos αααα-+．()4已知：1sin cos 5αα+=，且()0,απ∈，求33sin cos αα-的值．()5求值66441sin cos 1sin cos x xx x----．问题4．已知sin ,cos θθ是方程244210x mx m -+-=的两个根，322πθπ<<，求角θ．课后作业：1.若,(0,)2παβ∈，且sin cos 0αβ-<，则.A αβ< .B αβ>.C 2παβ+<.D 2παβ+>2.（2013盐城模拟）已知51cos 123πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且2ππα-<<-，则cos 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭3.已知1sin 3β=，()sin 1αβ+=，求()sin 2αβ+的值.4.已知1tan 3α=，求212sin cos cos ααα+的值.5.化简：()()()()3tan cos 2sin 2cos sin ππαπαααππα⎛⎫---+⎪⎝⎭----.4.是否存在α、β，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0,βπ∈使等式()sin 3cos 2ππαβ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，()()απβ-=+同时成立?若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由.走向高考：1.（06湖北文）已知2sin 23A =，()0,A π∈，则sin cos A A += .A .B .C 53 .D 53-2.（07海南）若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为 .A 2-.B 12-.C 12.D 23.（07湖北文）tan 690︒=.A .B .C .D4.（07全国Ⅰ）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α= .A 15 .B 15- .C 513 .D 513-5.（06湖南文）已知),,0(,1cos )cos()22sin(sin 3πθθθπθπθ∈=⋅+--求θ的值.。
高考数学一轮复习专题训练—同角三角函数的基本关系式与诱导公式
同角三角函数的基本关系式与诱导公式考纲要求 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan__α.2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切 tan αtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (3)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立.( )(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)对任意的角α，sin 2α＋cos 2α＝1. (2)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴上时，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13，当k 为偶数时，sin α＝－13.2.已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α＝( )A.54B.－54C.53D.－53答案 A解析 原式＝3tan α－1tan α＋2＝3×2－12＋2＝54.3.已知α为锐角，且cos α＝45，则sin(π＋α)＝( )A.－35B.35C.－45D.45答案 A解析 由题意得sin α＝1－cos 2α＝35，故sin(π＋α)＝－sin α＝－35.4.(2021·天津南开质检)cos 480°＝( ) A.－12B.12C.－32D.32答案 A解析 由诱导公式可得cos 480°＝cos(540°－60°)＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12.故选A.5.(2021·成都诊断)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝15，则下列结论错误的是( )A.θ∈⎝⎛⎭⎫π2，πB.cos θ＝－35C.tan θ＝－34D.sin θ－cos θ＝75答案 C解析 ∵sin θ＋cos θ＝15，①∴(sin θ＋cos θ)2＝⎝⎛⎭⎫152， 即sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝125，∴2sin θcos θ＝－2425，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925，∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cos θ<0， ∴θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin θ－cos θ＝75.② ①＋②得sin θ＝45，①－②得cos θ＝－35，∴tan θ＝sin θcos θ＝45－35＝－43.6.(2021·海南期末)若cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝15，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________.答案 15解析 sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝15.考点一 诱导公式的应用1.化简cos （π＋α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫11π2－αcos （π－α）sin （－π－α）sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的结果是( )A.－1B.1C.tan αD.－tan α答案 C解析 由诱导公式，得原式＝－cos α·（－sin α）·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α－cos α·sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin 2α·cos α－sin α·cos 2α＝tan α，故选C.2.(2021·长春模拟)已知α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3，则角α＝( ) A.π12 B.π6C.π4D.π3答案 C解析 由条件得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，又因为α为锐角，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，即sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3，所以有α－π3＝π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3，解得α＝π4，故选C. 3.(2021·皖北名校联考)sin 613°＋cos 1 063°＋tan(－30°)的值为________. 答案 －33解析 sin 613°＋cos 1 063°－tan 30°＝sin(180°＋73°)＋cos(－17°)－tan 30°＝－sin 73°＋cos(－17°)－tan 30°＝－cos 17°＋cos 17°－33＝－33. 感悟升华 1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 考点二 同角三角函数基本关系及其应用角度1 切弦互化【例1】 (1)已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于( )A.1517B.－1517C.817D.－817(2)已知曲线f (x )＝23x 3在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝( )A.12B.2C.35D.－38答案 (1)D (2)C解析 (1)因为tan α＝－815，所以sin αcos α＝－815，所以cos α＝－158sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝64289，又α是第四象限角，所以sin α＝－817.(2)由f ′(x )＝2x 2，得tan α＝f ′(1)＝2， 故sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α－12tan α＋1＝35.故选C.角度2 sin α±cos α与sin αcos α的转化【例2】(2020·东北三省三校联考)若sin θ－cos θ＝43，且θ∈⎝⎛⎭⎫34π，π，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝( ) A.－23B.23C.－43D.43答案 A解析 由sin θ－cos θ＝43得1－2sin θcos θ＝169，即2sin θcos θ＝－79，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝29，又θ∈⎝⎛⎭⎫34π，π，∴sin θ＋cos θ<0， ∴sin θ＋cos θ＝－23， 则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝－23，故选A. 感悟升华 1.(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化.(2)形如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.【训练1】 (1)已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan(π＋α)等于( )A.－513B.513C.－125D.125(2)(2021·兰州诊断)已知sin α＋cos α＝75，则tan α＝________.答案 (1)C (2)43或34解析 (1)因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－125.(2)将sin α＋cos α＝75两边平方得1＋2sin αcos α＝4925，∴sin αcos α＝1225，∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝1225， 整理得12tan 2α－25tan α＋12＝0，解得tan α＝43或tan α＝34.考点三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( ) A.53B.23C.13D.59(2)已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. (3)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________. 答案 (1)A (2)－33(3)0 解析 (1)由3cos 2α－8cos α＝5， 得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5， 即3cos 2α－4cos α－4＝0， 解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去).又因为α∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53.故选A. (2)∵⎝⎛⎭⎫π6－α＋⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝π， ∴tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.(3)∵cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 感悟升华 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π6－θ与5π6＋θ，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等.【训练2】 (1)已知α是第四象限角，且3sin 2α＝8cos α，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2 021π2＝( ) A.－223B.－13C.223D.13(2)(2020·上海徐汇区期中)若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 答案 (1)C (2)35解析(1)∵3sin 2α＝8cos α，∴sin 2α＋⎝⎛⎭⎫3sin 2α82＝1， 整理可得9sin 4α＋64sin 2α－64＝0， 解得sin 2α＝89或sin 2α＝－8(舍去)，又∵α是第四象限角，∴sin α＝－223，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋2 021π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋1 010π＋π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α＝223，故选C. (2)∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35.A 级 基础巩固一、选择题 1.tan 420°＝( ) A.－ 3 B. 3 C.33D.－33答案 B解析 tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝ 3. 2.若角α的终边在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A.3B.－3C.1D.－1答案 B解析 由角α的终边在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3，故选B. 3.已知3s in(π＋θ)＝cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A.－π6B.－π3C.π6D.π3答案 A解析 ∵3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)， ∴－3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－33， ∵|θ|<π2，∴θ＝－π6.4.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79答案 A解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫432＝－79. 5.1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝( )A.sin 2－cos 2B.sin 2＋cos 2C.±(sin 2－cos 2)D.cos 2－sin 2答案 A 解析1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝1－2sin 2cos 2＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 6.已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35 B.－35C.－3D.3答案 A 解析sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.故选A.7.(2021·四川名校联考)在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，则cos A －sin A 的值为( )A.－32B.－52C.52D.±32答案 B解析 ∵在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，∴A 为钝角，∴cos A －sin A <0， ∴cos A －sin A ＝－（cos A －sin A ）2 ＝－cos 2A ＋sin 2A －2sin A cos A ＝－1－2×⎝⎛⎭⎫－18＝－52. 8.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝( ) A.355B.377C.31010D.13答案 C解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0. 消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角). 二、填空题9.(2021·西安调研)sin(－570°)＋cos(－2 640°)＋tan 1 665°＝________.答案 1解析 原式＝sin(－570°＋720°)＋cos(－2 640°＋2 880°)＋tan(1 665°－1 620°)＝sin 150°＋cos 240°＋tan 45°＝sin 30°－cos 60°＋1＝12－12＋1＝1. 10.若sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝________. 答案 35解析 sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋θ ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35. 11.已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________.答案 －43解析 由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43. 12.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________.答案 1－ 5解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2，解得m ＝1±5， 又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.B 级 能力提升13.已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15B.55C.33D.255答案 B解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos α≠0，所以 2sin α＝cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以5sin 2α＝1，sin 2α＝15，sin α＝55.故选B. 14.已知α∈[0，2π)，cos α＋3sin α＝10，则tan α＝( )A.－3B.3或13C.3D.13 答案 C解析 因为(cos α＋3sin α)2＝10，所以cos 2α＋6sin αcos α＋9sin 2α＝10，所以cos 2α＋6sin αcos α＋9sin 2αcos 2α＋sin 2α＝10，所以1＋6tan α＋9tan 2α1＋tan 2α＝10，所以tan α＝3. 15.(2021·嘉兴联考)已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝________，cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.答案 －74 34 解析 sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α， ∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－1－⎝⎛⎭⎫342＝－74.cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34. 16.已知2θ是第一象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么tan θ＝________. 答案 22解析 因为sin 4θ＋cos 4θ＝59， 所以(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59. 所以sin θcos θ＝23，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝23， 即tan θ1＋tan 2θ＝23，解得tan θ＝2或tan θ＝22. 又因为2θ为第一象限角，所以2k π<2θ<2k π＋π2，k ∈Z . 所以k π<θ<π4＋k π，k ∈Z . 所以0<tan θ<1.所以tan θ＝22.。
高三数学(理)一轮复习课时作业(十九) 同角三角函数的基本关系及诱导公式 Word版含解析
∴sinα－cosα＝ .
答案：
9．(2017·福建漳州二模)已知θ是三角形的一个内角，且sinθ、cosθ是关于x的方程4x2＋px－2＝0的两根，则θ等于________．
解析：由题意知sinθ·cosθ＝－ ，联立 得sinθ＝± ，又θ为三角形的一个内角，∴sinθ＝ ，
A．－ B．－
C. D.
解析：依题意得： ＝5，∴tanα＝2.
∴sin2α－sinαcosα＝
＝ ＝ ＝ .
答案：D
5．(2017·江西赣中南五校联考)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos 的值为()
A. B．－
C．2D．－
解析：由题意可得tanα＝2，所以cos ＝－sin2α＝ ＝ ＝－ .故选B.
＝(－sin60°)·(－cos30°)＋cos60°·sin30°＋tan45°
＝ × ＋ × ＋1＝2.
11．已知sin(3π＋α)＝2sin ，求下列各式的值；
(1) ；
(2)sin2α＋sin2α.
解析：由已知得sinα＝2cosα.
(1)原式＝ ＝－ .
(2)原式＝
＝ ＝ .
12．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－ sin(π－B)， cosA＝－ cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
解析：由已知得sinA＝ sinB， cosA＝ cosB两式平方相加得2cos2A＝1.
即cosA＝ 或cosA＝－ .
(1)当cosA＝ 时，cosB＝ ，又角A、B是三角形的内角，
∴A＝ ，B＝ ，∴C＝π－(A＋B)＝ .
(2)当cosA＝－ 时，cosB＝－ .
高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形2第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式课件理
(教材习题改编)已知
tan
α
＝
2
，
则
sin sin
α＋cos α－cos
α α
的
值
为
________．
解析：sin sin
α＋cos α－cos
α＝tan α tan
αα＋－11＝22＋－11＝3.
答案：3
同角三角函数基本关系式的应用(多维探究)
角度一 公式的直接应用
(1)已知 sin α＝ 55，π2≤α≤π，则 tan α＝( )
角度三 sin α±cos α，sin αcos α 之间的关系 已知 α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝15.
(1)求 sin α－cos α 的值； (2)求sin12－α＋ta2nsαin2α的值．
【解】 (1)由 sin α＋cos α＝15， 平方得 sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝215， 整理得 2sin αcos α＝－2245. 所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4295. 由 α∈(－π，0)，知 sin α<0，又 sin α＋cos α>0， 所以 cos α>0，则 sin α－cos α<0， 故 sin α－cos α＝－75.
【解】 由已知得 tan α＝12.
(1)ssiinnαα－＋3ccoossαα＝ttaann αα－＋31＝－53.
(2)sin2α＋sin
αcos
α＋
2＝
sin2α＋sin αcos sin2α＋cos2α
α＋2＝tanta2nα2＋α＋tan1
α
＋2＝121222＋＋112＋2＝153.
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻 求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
高考数学大一轮复习配套课时训练：第三篇 三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2013广东省深圳市第一次调研)化简sin 2013°的结果是( C )(A)sin 33°(B)cos 33°(C)-sin 33°(D)-cos 33°解析:sin 2013°=sin(5×360°+213°)=sin 213°=sin(180°+33°)=-sin 33°,故选C.2.已知cos α=-,角α是第二象限角,则tan(π+α)等于( D )(A)(B)-(C)(D)-解析:∵cos α=-,α是第二象限角,∴sin α==,∴tan(π+α)=tan α==-.故选D.3.已知tan θ=2,则sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ等于( D )(A)-(B)(C)-(D)解析:sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ===.故选D.4.(2013广东六校第二次质检)已知sin(-x)=,则cos(-x)等于( C )(A)(B)(C)-(D)-解析:根据诱导公式求解,Cos(-x)=cos[+(-x)]=-sin(-x)=-.故选C.5.若cos α+2sin α=-,则tan α等于( B )(A)(B)2 (C)-(D)-2解析:∵cos α+2sin α=-,∴=5,∴sin2α-4sin αcos α+4cos2α=0, ∴sin α=2cos α,∴tan α=2.故选B.6.已知f(α)=,则f的值为( B )(A)(B)-(C)(D)-解析:∵f(α)==-cos α,∴f=-cos=-cos=-cos=-cos=-.故选B.二、填空题7.若sin θ=-,tan θ>0,则cos θ= .解析:∵sin θ=-<0,tan θ>0,∴θ为第三象限角,cos θ=-=-.答案:-8.= .解析:原式=====1.答案:19.(2013汕头高三期末检测)已知cos(-α)=,则sin2(α-)-cos+α的值为.解析:sin2(α-)-cos(+α)=1-cos2(-α)+cos(-α)=1-+=.答案:10.设α∈,sin α+cos α=,则tan α= .解析:将sin α+cos α=①两边平方得sin αcos α=②由①②得或又∵0<α<,∴sin α<cos α,∴故tan α=.答案:11.(2013中山模拟)已知cos(-α)=,则sin(α-)= . 解析:sin(α-)=sin[--(-α)]=-sin[+(-α)]=-cos(-α)=-.答案:-三、解答题12.已知函数f(x)=.(1)求函数y=f(x)的定义域;(2)设tan α=-,求f(α)的值.解:(1)由cos x≠0,得x≠+kπ,k∈Z,所以函数的定义域是{x x≠+k π,k∈Z}.(2)tan α=-,f(α)====-1-tan α=.13.已知cos(π+α)=-,计算:(n∈Z).解:由cos(π+α)=-,得-cos α=-,即cos α=,∴====-=-4.B组14.已知sin αcos α=,且π<α<,则cos α-sin α的值为( B )(A)-(B)(C)-(D)解析:∵<α<,∴cos α<0,sin α<0且|cos α|<|sin α|,∴cos α-sin α>0,又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=,∴cos α-sin α=.故选B.15.在△ABC中,sin(-A)=3sin(π-A),且cos A=-cos(π-B),则C 等于( C )(A)(B)(C)(D)解析:∵sin(-A)=3sin(π-A),∴cos A=3sin A,∴tan A=,又0<A<π,∴A=.又∵cos A=-cos(π-B),即cos A=cos B,∴cos B=cos=,0<B<π,∴B=.∴C=π-(A+B)=.故选C.16.已知△ABC中,cos(-A)+cos(π+A)=-.(1)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形.(2)求tan A的值.解:(1)△ABC为钝角三角形,由已知得,-sin A-cos A=-.∴sin A+cos A=.(*)(*)式平方得,1+2sin Acos A=,∴sin Acos A=-<0,又∵0<A<π,∴sin A>0,cos A<0.∴A为钝角,故△ABC是钝角三角形.(2)法一∵(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=1+=.又∵sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0,∴sin A-cos A=,又由已知得sin A+cos A=,故sin A=,cos A=-,∴tan A==-.法二由(1)知sin Acos A=-,即=-.∴=-.得tan A=-或tan A=-.又由sin A+cos A=,sin A>0,cos A<0知tan A=-.。
(新课标)高考数学一轮总复习 第三章 三角函数、解三角形 3-2 同角三角函数的基本关系及诱导公式课
3-2 同角三角函数的基本关系及诱导公式课时规X 练(授课提示：对应学生用书第247页)A 组 基础对点练1．(2017·某某某某模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝35，则cos(π－2α)＝( A )A.725 B ．－725C.925D ．－9252．(2018·某某期末)已知sin α＝23，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( B ) A ．－53B ．－23C.53D ．233．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( A ) A ．－1 B ．－22C.22D ．14．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( C ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b5．若sin π－θ＋cos θ－2πsin θ＋cos π＋θ＝12，则tan θ＝( D )A ．1B ．－1C ．3D ．－36．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴的距离为π3.若角φ的终边经过点P (1，－2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π3等于( A )A.255B ．55C ．－255D ．－557．(2017·某某赣中南五校联考)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 015π2－2α的值为( B )A.45 B ．－45C ．2D ．－128．(2017·某某实验中学二诊)已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( B ) A.23B ．－23C.13 D ．－139．(2018·某某一模)已知tan θ＝2，则sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ的值为( C )A.195 B ．165C.2310D ．1710解析：∵tan θ＝2，则sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ＝1＋1tan θ＋sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋12＋tan 2θtan 2θ＋1＝32＋44＋1＝2310. 10．(2016·高考某某卷)sin 750°＝12.解析：sin 750°＝sin(720°＋30°)＝sin 30°＝12.11．(2018·某某期末)若点P (3cos θ，sin θ)在直线x ＋y ＝0上，则tan θ＝ －3 . 解析：由题意知3cos θ＋sin θ＝0，∴sin θ＝－3cos θ， ∴tan θ＝sin θcos θ＝－3.12．设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝－105.解析：法一 由tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，得1＋tan θ1－tan θ＝12，解得tan θ＝－13，则cos θ＝－3sin θ.由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得10sin 2θ＝1.∵θ为第二象限角，∴sin θ＝1010，cos θ＝－31010，∴sin θ＋cos θ＝－105.法二 由于θ在第二象限，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，因而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－55，因而sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－105.13．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－43. 解析：法一 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22×(sin θ＋cos θ)＝35， ∴sin θ＋cos θ＝325，①∴2sin θcos θ＝－725.∵θ是第四象限角，∴sin θ＜0，cos θ＞0， ∴sin θ－cos θ＝－1－2sin θcos θ＝－425，② 由①②得sin θ＝－210，cos θ＝7210， ∴tan θ＝－17，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－43. 法二 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝35，又2k π－π2＜θ＜2k π，k ∈Z ，∴2k π－π4＜θ＋π4＜2k π＋π4，k ∈Z ，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝43， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝－43.B 组 能力提升练1．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0 ”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( A ) A.12 B ．32C ．0D ．－12解析：f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫236π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12. 3．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( D )A.35 B ．45 C.74D ．344．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ等于( B )A ．－32B ．32 C ．0D ．235．(2018·某某某某一中月考)设0≤x ＜2π，且1－sin 2x ＝sin x －cos x ，则( B ) A ．0≤x ≤π B ．π4≤x ≤5π4C.π4≤x ≤7π4D ．π2≤x ≤3π26．已知函数f (sin x )＝cos 15x ，则f (cos x )＝( C ) A ．sin 15x B ．cos 15x C ．－sin 15xD ．－cos 15x解析：f (cos x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15×⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫152π－15x＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π－π2－15x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋15x ＝－sin 15x .故选C.7．(2018·海珠区期末)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( D )A.22B ．33C ．1D ． 3解析：由cos 2α＝1－2sin 2α，得到sin 2α＋cos 2α＝1－sin 2α＝14，则sin 2α＝34，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝32，则α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3. 8．(2017·某某某某模拟)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )的两根，则sin θ－cos θ等于( A ) A.1＋32B ．1－32C. 3 D ．－ 39．(2017·某某日照一中测试)角α的终边经过点P (sin 10°，－cos 10°)，则α的可能取值为( D ) A ．10° B ．80° C ．－10°D ．－80°10．(2017·某某某某模拟)已知θ是三角形的一个内角，且sin θ，cos θ是关于x 的方程4x 2＋px －2＝0的两根，则θ等于 3π4. 解析：由题意得sin θcos θ＝－12.结合sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得sin θ＝±22，因为θ为三角形的一个内角，所以sin θ＝22，所以cos θ＝－22，故θ＝34π. 11．(2017·某某皖南八校联考)已知sin α＝13，α是第二象限角，则tan(π－α)＝ 24 .解析：∵sin α＝13，α是第二象限角，∴cos α＝－223，∴tan α＝－24，故tan(π－α)＝－tan α＝24. 12．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋2π－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α1－cos π－2α＋sin 2α的值． 解析：(1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1＋tan α1－tan α＝12，解得tan α＝－13. (2)sin 2α＋2π－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α1－cos π－2α＋sin 2α＝sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＋sin 2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＋sin 2α ＝2tan α－12＋tan 2α＝－1519.。
高考数学大一轮复习第三章第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式教师用书理46
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1。
(2)商数关系：tan α＝sin αcos α。
2．三角函数的诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，tan(α＋2k π)＝tan α，其中k ∈Z 。
公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α。
公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α。
公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α。
微点提醒1．平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中α≠π2＋k π，k ∈Z 。
2．利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定。
3．化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定。
小|题|快|练一 、走进教材1．(必修4P 29B 组T 2改编)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝( )A.35 B ．－35C.45D ．－45【解析】 sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝35， α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以sin(α＋π)＝－sin α＝－45。
故选D 。
【答案】 D2．(必修4P 71B 组T 3改编)已知α为第二象限角，化简：cos α 1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α＝( )A ．sin α＋cos αB ．sin α－cos αC ．1＋sin αD ．1－sin α【解析】 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，则原式＝cos α·－sin α＋sin α＋sin α2＋sin α·－cos α＋cos α＋cos α2＝－cos 2α1＋sin α＋sin 2α1＋cos α＝－－sin 2α1＋sin α＋1－cos 2α1＋cos α＝sin α－1＋1－cos α＝sin α－cos α。
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课时作业19 同角三角函数基本关系式与诱导公式一、选择题1．sin 29π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－29π3－tan 25π4＝( ) A ．0 B.12 C ．1D ．－12解析：原式＝sin(4π＋5π6)＋cos(－10π＋π3)－tan(6π＋π4)＝sin 5π6＋cos π3－tan π4＝12＋12－1＝0.答案：A2．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 22π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝( )A.35B.53C.45D.54解析：由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35或2.∴sin α＝－35.∴原式＝cos α－cos α·tan 2αsin α·－sin α·－sin α＝1－sin α＝53.答案：B3．已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1＝( ) A ．0 B.95 C.43D.53解析：sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.答案：B4．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( ) A ．7 B.17 C ．－17D ．－7解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π且cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴tan α＝34.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝tan π4－tan α1＋tan π4·tan α＝1－341＋34＝17.答案：B5．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )A.25 B ．－25C ．－2D ．2解析：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5即tan α＝2，所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25. 答案：A6．已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23B ．－23C.13 D ．－13解析：∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝169，∴sin2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ，∴sin θ－cos θ＝－sin θ－cos θ2＝－1－sin2θ＝－23. 答案：B 二、填空题7．(tan x ＋1tan x)cos 2x 化简的结果是________． 解析：(tan x ＋1tan x )cos 2x ＝(sin x cos x ＋cos x sin x )cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x .答案：1tan x8．已知角α终边上一点P (－4,3)，则cosπ2＋αsin －π－αcos 11π2－αsin 9π2＋α的值为________．解析：∵tan α＝y x ＝－34，∴cosπ2＋αsin －π－αcos 11π2－αsin 9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34.答案：－349．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α ＝________.解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，又－π<α<－π2，∴7π12<π12－α<13π12， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12－α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－223.答案：－223三、解答题10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos π＋θcos θ[cos π－θ－1]＋cos θ－2πsin θ－3π2cos θ－π－sin 3π2＋θ的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13，∴原式＝－cos θcos θ－cos θ－1＋cos 2π－θ－sin 3π2－θcos π－θ＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2－132＝18.11．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．解：(1)∵sin A ＋cos A ＝15，①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225，(2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0， ∴sin A －cos A ＝75，②∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin Acos A＝45－35＝－43.1．已知sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)，则sin(θ－5π)sin(32π－θ)的值是( )A.229B ．－229C ．－19D.19解析：∵sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)，∴cos θ＝1－sin 2θ＝223.∴原式＝－sin(π－θ)·(－cos θ)＝sin θcos θ ＝－13×223＝－229.答案：B2．当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x 的最小值是( )A.14 B.12 C ．2D ．4解析：当0<x <π4时，0<tan x <1，f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x ＝1tan x －tan 2x ，设t ＝tan x ，则0<t <1，y ＝1t －t 2＝1t1－t ≥1[t ＋1－t 2]2＝4. 当且仅当t ＝1－t ，即t ＝12时等号成立．答案：D3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ 的值是________． 解析：cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a . sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.答案：04．在平面直角坐标系xOy 中，钝角α＋π4的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合．若角α＋π4的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，t .(1)求sin α的值；(2)设f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋α，求f (1)＋f (2)＋…＋f (9)．解：(1)由三角函数的定义，得 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45.sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4 ＝45×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＝7210. (2)f (1)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，f (2)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π2＋α＝－cos α， f (3)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin α，f (4)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4×π2＋α＝cos α，f (5)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×5＋α＝－sin α. ∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋α的最小正周期T ＝4. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (9)＝2×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)． 从而f (1)＋f (2)＋…＋f (9)＝2×0－sin α＝－7210.。