2.4函数的微分及其应用
高等数学——微积分2.4 山东大学版
d tan x sec2 xdx ,
d sec x sec x tan xdx,
d csc x csc x cot xdx,
a
x
a ln a ,
x
e
x
e ,
x
d e e
x
d a x a x ln adx,
x
dx ,
7
log a x 1 , x ln a 1 ln , x 1 arcsinx , 1 x2 1 arccosx , 2 1 x arctan x 1 2 , 1 x
11
(2)因为 d (si n t ) costdt,
1 可见， cos tdt d sin t d si nt ,
1
1 即 ，d si nt costdt,
1 一般地，有： d si nt C costdt, (C为 任 意 常 数 )
等式两端除以 x , 得
y o( x ) A . x x
于是, 当 x 0时, 由上式就得到 ox y lim A lim A. f x0 x 0 x x 0 x 因此, 如果函数 f ( x ) 在点 x 0 可微，则 f ( x )在点 x 0也一定可导, 且
9
2 x 1), 求 dy. 例2 y sin(
解
把2x+1看成中间变量u ，则 dy d (sinu) cos udu cos(2 x 1)d ( 2 x 1)
cos(2 x 1) 2dx 2 cos(2 x 1)dx.
在求复合函数的微分时，也可以不写出中间变量。
函数的微分与微分的应用
函数的微分与微分的应用在微积分中，函数的微分是一个重要的概念。
微分的应用则是将微分应用于实际问题的数学方法。
本文将围绕函数的微分及其应用展开详细讨论。
一、函数的微分函数的微分是函数在某一点上的变化率的近似。
具体而言，设函数f(x)在点x=a处是可导的，那么x=a处的微分表示为df，定义如下：df = f'(a)dx其中，f'(a)是函数f(x)在点x=a处的导数，dx表示自变量x的增量。
函数的微分可通过导数乘以自变量的增量获得。
二、微分的应用微分的应用广泛存在于数学、物理、经济等领域。
以下列举几个常见的应用。
1. 切线与法线函数的微分可用于求解函数图像上某一点的切线和法线。
设函数f(x)在点x=a处可导，则切线的斜率为f'(a)，求解切线方程可根据点斜式或一般式进行。
法线的斜率为-1/f'(a)，同样可根据点斜式或一般式求解。
2. 极值点与拐点函数的微分也可用于确定函数的极值点和拐点。
设函数f(x)的导数为f'(x)，极值点的横坐标可通过解方程f'(x)=0求得。
通过判别式和导数的符号变化，可以判断极值点的类型（极大值或极小值）。
拐点则是函数图像由凸变凹或由凹变凸的点，可通过求解二阶导数f''(x)的零点来确定。
3. 近似计算微分的近似性质可应用于计算函数的近似值。
对于函数f(x)在某一点x=a附近，可以使用微分df作为函数f(x)的近似值。
当自变量的变化量较小时，误差较小，从而可以得到较为精确的计算结果。
4. 最优化问题微分可以应用于最优化问题的求解。
例如，求解函数f(x)在一定范围内的最大值或最小值。
根据函数的导数和临界点的性质，可以得到最优解。
5. 物理运动问题微分在物理学中有着广泛的应用。
例如，求解物体在某一时刻的速度、加速度等。
通过将位移函数或速度函数微分，可以得到物体在不同时刻的速度、加速度等物理量。
综上所述，函数的微分在数学和实际应用中扮演着重要的角色。
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用微分中值定理是微积分中的一个重要定理，也是微分学中的基本定理之一。
该定理通常用于研究函数在某一点的变化情况，可以推导出许多与函数极值、单调性、零点和曲率等相关的性质。
微分中值定理的数学表述如下：若函数f(x)在[a, b]区间内满足以下条件：1、f(x)在[a, b]区间内可导；2、f(a)和f(b)存在；则在[a, b]内必有一个点c满足：f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)其中，f'(c)表示在点c处的导数。
这个定理的意义可以用图示表示为以下：此外，微分中值定理也可以用于求函数的 Taylor 展开式和曲率等问题。
下面我们来看一些微分中值定理的应用实例。
例1：证明一次函数f(x) = kx + b的图像线性。
我们知道，要证明一条直线呈现线性图像，需要证明其斜率k是恒定不变的。
因此，我们可以利用微分中值定理进行证明。
由于f(x)是一个一次函数，因此它在[a, b]区间内可导。
我们设该区间的两个端点为a和b，于是由微分中值定理可知，在[a, b]区间内必有一个点c满足：f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)根据f(x) = kx + b的定义，我们可以计算出其导数：f'(x) = k因此，有：即k是[b, a]区间上两个点间f(x)的变化率的平均值。
也就是说，k是线性函数在任何两个点间斜率的平均值，从而证明了一次函数的图像呈现线性。
例2：证明一段周期函数的平均值等于零。
假设f(x)是一个具有周期T的函数，即f(x+T) = f(x)，我们需要证明其平均值为0，即：(1/T) * ∫f(x)dx = 0 （其中，积分区间为一个周期）我们首先对函数进行平移（或反演）操作，得到：由于g(x)的平均值为0，那么根据微分中值定理，我们可以得到：∃c∈[x, x+T]，使得g'(c) = g(x+T) - g(x) / T = 0即：由此可得：因此，f(x)的周期平均值为f(c)，而由于函数具有周期性，因此f(c)等于函数的平均值，即证明了我们的论点。
高等数学上册第五节函数的微分及其应用
线性主部 (f(x0)0时 )
©
说明: y f( x 0 ) x o ( x ) dyf(x0) x
当 f(x0)0时 , lim y lim y x 0 d y x0 f(x0)x 1 limy 1 f(x0)x0x
所以 x 0时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
导数也叫作微商
©
例1 设 y x3, 求当 x 0 1, x0.1及 x0.01
时，函数的增量和微分的值 . 解: 当 x 0 1 时，函数的增量
y f( 1 x ) f( 1 ) ( 1 x )3 1 3
3x3(x)2(x)3 dy 3x
得增量x 时, 面积的增量为
A (x0 x)2x2 2x0x(x)2
关于△x 的 x0时为
线性主部 高阶无穷小
x x0x
x 0 A x02
(x)2 x0x
故 A2x0x 称为函数在 x 0 的微分
©
定义: 若函数 yf(x)在点 x 0 的增量可表示为 y f( x 0 x ) f( x 0 )A xo ( x)
第五节
函数的微分
第二章
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用
©
一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由x 0 变到 x0x,问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2, 当 x 在 x 0 取
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
©
四、 微分在近似计算中的应用 （一）函数值的近似计算
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用一、本文概述《微分中值定理及其应用》是一篇深入探讨微分学中值定理及其在实际应用中的作用的学术性文章。
微分中值定理是数学分析领域中的一个核心概念，它建立了函数在特定区间内的变化与其导数之间的紧密联系。
本文旨在通过对微分中值定理的深入剖析，揭示其在理论研究和实际应用中的广泛价值。
文章首先介绍了微分中值定理的基本概念，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。
这些定理不仅在数学分析中占有重要地位，而且在实际应用中发挥着重要作用。
接着，文章通过一系列实例展示了微分中值定理在几何、物理、工程等领域的应用，如曲线形状的判定、物体运动的分析、工程设计的优化等。
本文还关注微分中值定理在经济学、生物学等社会科学领域的应用。
通过引入这些领域的实际案例，文章进一步强调了微分中值定理在解决实际问题中的重要作用。
文章对微分中值定理的应用前景进行了展望，探讨了其在未来科学研究和技术发展中的潜在影响。
《微分中值定理及其应用》是一篇系统介绍微分中值定理及其在各个领域应用的综合性文章。
通过本文的阅读，读者可以全面了解微分中值定理的基本知识和应用技巧，为深入研究和实际应用打下坚实基础。
二、微分中值定理概述微分中值定理是微积分理论中的核心内容之一，它揭示了函数在某区间内与导数之间的紧密联系。
这些定理不仅为函数的研究提供了重要的工具，还在解决实际问题中发挥了重要作用。
微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。
罗尔定理是微分中值定理的基础，它指出如果一个函数在某闭区间上连续，在开区间内可导，并且区间两端点的函数值相等，那么在这个开区间内至少存在一点，使得该点的导数值为零。
拉格朗日定理是罗尔定理的推广，它进一步指出，如果存在满足上述条件的点，那么该点的导数值等于函数在区间两端点值的差与区间长度的商。
柯西定理则是拉格朗日定理的推广，它涉及到两个函数在相同区间上的性质。
这些定理在实际应用中具有广泛的价值。
多个函数多介值的微分中值定理及其应用
多个函数多介值的微分中值定理及其应用1. 引言1.1 多个函数多介值的微分中值定理及其应用多个函数多介值的微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它是多元函数微分中值定理的推广和应用。
在多个函数多介值的情况下，该定理可以帮助我们更准确地分析函数在不同点的变化情况。
我们需要了解多元函数的微分中值定理。
该定理告诉我们，如果一个函数在某个区域内是连续的且可微的，那么在这个区域内存在一点，该点的梯度等于函数在这个区域内平均变化率的值。
这个定理对于研究函数的变化趋势和最值点是非常有帮助的。
我们将探讨多个函数多介值的微分中值定理在实际问题中的应用。
这包括在经济学、物理学、工程学等领域中的具体案例分析，以及如何利用该定理来解决实际问题中的挑战。
多个函数多介值的微分中值定理及其应用是微积分中的重要内容，通过深入研究和实践，我们可以更好地理解和应用这一定理。
希望通过本文的介绍，读者可以对该定理有更深入的认识和理解。
2. 正文2.1 多元函数的微分中值定理多元函数的微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它是一种关于多元函数的函数值与导数之间的关系的定理。
在单变量函数的微积分中，我们熟悉的是微分中值定理，它表达了函数在某个区间内的平均增长率与瞬时增长率相等的性质。
而对于多元函数，微分中值定理的表述则需要引入偏导数的概念。
多元函数的微分中值定理可以描述为：设函数f(x,y)在闭区域D上连续且在开区域D内可微，且对于P(x_1,y_1)和Q(x_2,y_2)属于D，则存在一点C(x_0,y_0)属于线段PQ，使得f(x_2,y_2) - f(x_1,y_1) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x_2 - x_1) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y_2 - y_1)其中\frac{\partial f}{\partial x}和\frac{\partial f}{\partial y}分别表示f(x,y)对x和y的偏导数。
高等数学第二章导数与微分
x0
x
瞬时变化率
点导数是因变x0量 处在 的点 变化 ,它率 反映因 了变量随自变量 而的 变变 化化 的快 慢程.度
根据导数定义求导，可分为如下三个步骤：
( 1 ) 求y 增 f( x 量 x ) f( x );
曲线 y = f (x)在点x0处的切线斜率
tan lim y
x0 x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0）
f x0
左右导数
设函数 y = f (x)在点x0的某一个邻域内有定义.
假设极限l i m x 0
－
y x
存在，那么称 y = f (x)在点 x0 左可 导，
且称此极限值为函数 y = f (x) 在点 x0 的左导数，
解：由导数的几何意义, 得切线斜率为
k
y
x1 2
1 x
x 1 2
1 x2
x1 2
4.
切线方程为 y24x12, 即 4 xy 4 0 .
法线方程为
y
2
1 4
x
12,
即 2 x 8 y 1 5 0 .
2.1.4 函数的可导性与连续性的关系
〔1〕假设 f (x)在 x0点可导，那么它在 x0点必连续.
记作 f(x0 ). 同样可定义右导数： f(x0 ).
f (x)在x0可导的充要条件是： f (x)在 x0 既左可导
又右可导，且 f (x0)f (x0). 即 f(x0)存在 f (x 0 )f (x 0 )存 在 .
导函数的概念
假设函数 y = f (x)在开区间I内每一点都可导，那么称
f (x)在I 内可导. 此时对xI, 有导数 f ( x ) 与之
电子课件-《高等数学及应用(第3版)》-B10-3160 第二章 导数与微分
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2．1 导数的概念
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2.1 导数的概念 2.2 导数的运算法则 2.3 函数的微分及其应用
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2．1 导数的概念 例题解析
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2．1 导数的概念
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2.1 导数的概念 2.2 导数的运算法则 2.3 函数的微分及其应用
2.2
3.了解函数微分的简单应用.
2.3
导数的概念 导数的运算法则 函数的微分及其应用
教学重点
1. 函数微分的概念. 2. 会求函数的微分.
教学难点 函数微分的概念及几何意义. 教学方法 讲练结合法
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多个函数多介值的微分中值定理及其应用
多个函数多介值的微分中值定理及其应用1. 引言1.1 简介微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它可以帮助我们理解函数在某个区间内的平均变化率及其与函数在这个区间内的某一点处的切线斜率之间的关系。
多介值的微分中值定理是对单变量函数微分中值定理的推广，它考虑了多个函数在多个介值点的情况，更加贴近实际问题的需求。
本文将首先介绍拉格朗日中值定理和柯西中值定理，这两个定理是微分中值定理的两个重要特例。
然后我们将探讨多个函数的微分中值定理以及多介值的微分中值定理，解释其在实际问题中的应用。
最后通过具体的例子，我们将展示这些定理是如何帮助我们求解问题，并验证其在实际中的可靠性和有效性。
通过本文的介绍，读者将更加深入地了解微分中值定理的理论基础和应用价值，同时也能够对多个函数多介值的微分中值定理有一个全面的认识。
在未来的研究中，我们可以进一步探讨多介值的微分中值定理在更加复杂情况下的应用，为实际问题的解决提供更加有力的理论支持。
1.2 中值定理概述中值定理是微积分中的重要定理之一，它主要用于描述函数在某个区间内平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
中值定理的提出为我们研究函数的性质和行为提供了有力的工具。
在微积分中，主要有拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及多个函数的微分中值定理等多种形式。
拉格朗日中值定理是最为基础的中值定理之一，它描述了在一个区间内可导函数的平均变化率等于某一点的瞬时变化率。
柯西中值定理则是在更一般的条件下得到的结果，描述了在一个区间内两个函数的平均变化率之间存在一点使得两个函数的导数之比等于这两个函数的值之比。
当涉及到多个函数和多介值时，我们可以推广中值定理为多个函数多介值的微分中值定理。
这一定理提供了多个函数在多个点上的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
在实际应用中，可以通过这一定理求解一些复杂函数的性质，进而帮助我们更好地理解和分析问题。
中值定理为我们研究函数的性质提供了重要的理论支持，同时也为我们解决实际问题提供了有力的工具。
2.4 参数式函数导数 微分
其中 A = f ′( x0 ) 与 Δx 无关, 所以 f ( x ) 在 x0 可微 .
暨南大学电气信息学院苏保河主讲
注 微分的几何意义
切线纵坐标的增量
d y = f ′( x0 )Δx = tan α ⋅ Δ x .
当 Δx 很小时, Δ y ≈ d y .
当y = x 时: d y = d x = 1 ⋅ Δ x = Δ x,
=
y'' ( t ) x' ( t ) − y' ( t ) x'' ( t )
x' 3 ( t )
暨南大学电气信息学院苏保河主讲
′ d y ψ ′( t ) d y ⎛ ψ ′( t ) ⎞ =⎜ ⎟ , = 注意 : 已知 2 d x ϕ ′( t ) d x ⎝ ϕ ′( t ) ⎠
2
×
?
例5. 设
: 证: “ ⇒ ”
已知 y = f ( x ) 在点 x0 可微, 则
Δ y = f ( x0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = A Δ x + o( Δ x ) Δy o( Δ x ) ∴ lim = lim ( A + )= A Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δx 故 y = f ( x ) 在点 x0 处可导, 且 f ′( x0 ) = A.
t =π
2 b, 4= 2
2 2 ⎞ b⎛ b=− ⎜x− a ⎟. 所求切线方程为: y − a⎝ 2 2 ⎠
暨南大学电气信息学院苏保河主讲
例2. 抛射体运动轨迹的参数方程为
x = v1 t y = v2 t − 1 g t 2 2
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求抛物体速度大小: dx dy 速度的水平分量为 = v1 , 垂直分量为 = v 2 − gt , dt dt dx 2 d y 2 = v12 + (v2 − gt )2 . 故速度大小 v = ( ) + ( ) dt dt 再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用微分中值定理是微分学中的重要定理之一，用于描述函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
本文将介绍微分中值定理的概念、表述形式以及其在实际问题中的应用。
一、微分中值定理的概念微分中值定理是由法国数学家拉格朗日于18世纪提出的，它是微分学的基石之一。
该定理基于连续函数的性质，揭示了连续函数在区间内的某个点存在瞬时变化率等于平均变化率的情况。
二、微分中值定理的表述形式微分中值定理有三种常见的表述形式，它们分别是拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
下面将分别对这三个定理进行详细介绍。
1. 拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)上存在一个点c，使得f'(c)等于函数f(x)在[a, b]上的平均变化率，即：f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)2. 柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）设函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，且g'(x)不为0，则在(a, b)上存在一个点c，使得：[f'(c)]/[g'(c)] = [f(b) - f(a)]/[g(b) - g(a)]3. 罗尔中值定理（Rolle's Mean Value Theorem）设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，且f(a)等于f(b)，则在(a, b)上存在一个点c，使得f'(c)等于0。
三、微分中值定理的应用微分中值定理在实际问题中具有重要的应用价值。
下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 判断函数的增减性通过微分中值定理，可以判断函数在某个区间内的增减性。
如果在该区间内的导数恒为正（负），则函数在该区间上单调递增（递减）。
微积分：微分及其应用
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu (c 是常数),
（3）(uv) uv uv,
（4）( u )
v
uv v2
uv
(v
0) .
(2) 反函数的求导法则
如果函数x ( y)的反函数为y f ( x),则有
f
(
x)
1 ( x)
.
(3) 复合函数的求导法则
设y f (u),而u ( x)则复合函数y f [( x)]的导数为 dy dy du 或 y( x) f (u) ( x). dx du dx
dt dx
(t); (t )
dt
d2y dx2
(t )
(t) (t 3(t)
)(t) .
4、高阶导数 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
二阶导数 ( f ( x)) lim f ( x x) f ( x) ,
x0
x
记作
f
( x),
y,
d2y dx 2
或
d
2 f (x) dx2 .
二阶导数的导数称为三阶导数,
(cos x) sin x
(cot x) csc2 x
(csc x) csc xctgx
(e x ) e x
(ln x) 1 x
(arccos x) 1 1 x2
(arc
cot
x)
1
1 x2
3、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x),v v( x)可导，则
2、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）
(C ) 0
(sin x) cos x
(tan x) sec2 x
(sec x) sec xtgx
高等数学教材第四版答案
高等数学教材第四版答案第一章：导数与微分1. 函数与极限1.1 极限的概念与性质1.2 极限的运算法则1.3 无穷小与无穷大1.4 两个重要极限2. 导数与微分的概念2.1 导数的定义2.2 导数的几何意义与物理意义2.3 导数的性质2.4 微分的概念及其计算3. 导数的应用3.1 高阶导数3.2 隐函数求导3.3 参数方程求导3.4 反函数求导3.5 极值与最值问题第二章：微分学与中值定理1. 中值定理1.1 罗尔中值定理1.2 拉格朗日中值定理1.3 柯西中值定理2. 函数的单调性与曲线的凹凸性2.1 函数的单调性2.2 曲线的凹凸性2.3 用导数证明函数的单调性和曲线的凹凸性3. 导数的应用3.1 泰勒公式3.2 麦克劳林公式3.3 曲线的渐近线3.4 曲率与曲率半径第三章：不定积分1. 原函数与不定积分1.1 原函数的概念与性质1.2 不定积分的概念1.3 不定积分的运算法则2. 基本积分表2.1 一般函数的基本积分2.2 有理函数的基本积分3. 不定积分的计算方法3.1 分部积分法3.2 代换积分法3.3 有理函数的积分3.4 三角函数的积分3.5 反三角函数的积分第四章：定积分1. 定积分的概念与性质1.1 定积分的几何意义与物理意义 1.2 定积分的性质1.3 定积分的计算方法2. 牛顿—莱布尼兹公式2.1 原函数与定积分的关系 2.2 牛顿—莱布尼兹公式2.3 定积分的应用3. 定积分的计算方法3.1 分割求和法3.2 牢记的基本公式3.3 换元法与分部积分法3.4 定积分的应用3.5 特殊积分的计算第五章：多元函数微积分学1. 二元函数的极限与连续1.1 二元函数的极限1.2 二元函数的连续性1.3 混合偏导数与高阶偏导数2. 二重积分2.1 二重积分的概念与性质2.2 二重积分的计算方法2.3二重积分的应用3. 三重积分与曲线曲面积分3.1 三重积分的概念与性质3.2 三重积分的计算方法3.3 曲线曲面积分的概念与性质 3.4 曲线曲面积分的计算方法 3.5 曲线曲面积分的应用第六章：无穷级数1. 数项级数的概念与性质1.1 数项级数的概念1.2 数项级数的收敛性1.3 数项级数的性质2. 正项级数2.1 正项级数的审敛法2.2 相关级数2.3 函数项级数2.4 幂级数与泰勒级数3. 交错级数与绝对收敛的级数3.1 交错级数的判别法3.2 绝对收敛的概念与性质3.3 绝对收敛级数的判别法3.4 结果的应用以上是高等数学教材第四版的答案目录，希望能够对学习者提供一定的参考和解答。
函数的微分及其应用
自由落体的路程s与时间t的函数关系是s=12gt2，当时 间从t到t+Δt时，路程s
上式中，gtΔt是Δt的线性函数，12g(Δt)2是当Δt→0时 比Δt高阶的无穷小.因此，当|Δt|很小时，可以把12g(Δt)2忽
Δs≈gtΔt.
一、 引例
引列2
一块正方形均匀铁板(见 图3-5)，受热膨胀后边长由x0 变到x0+Δx，问面积y改变了 多少？
五、 微分在近似计算中的应用
【例53】
利用微分计算cos30°30′的近似值.
五、 微分在近似计算中的应用
【例54】
计算31.02的近似值. 解令f(x)=31+x,x=0.02，由近似公式
QP=MQtan α=f′(x0)Δx 即dy=QP.
由此可见，当自变量有增量Δx时，y=f(x)在点x0处的微
分dy等于曲线在点M(x0,y0)
.
四、 微分基本公式及运算法则
由微分定义知，函数的微 分是函数的导数f′(x)乘以自变 量的微分dx，所以只要把导数 表中的导数运算公式都乘以dx， 就得到相应函数的微分表和微 分的运算法则.
【例50】
四、 微分基本公式及运算法则
【例51】
y=eaxcosbx，求dy. dy=cos bxdeax+eaxd(cosbx)=acos bxeaxdx－be
axsin bxdx =eax(acos bx－bsin bx)dx.
四、 微分基本公式及运算法则
【例52】
在下列等式左端的括号内填入适当的函数，使等式成立.
Δy≈2x0Δx,
一、 引例
由此式作为Δy
Δx2是比
Δx高阶的无穷小.
这两个问题的实际意义虽然不同，但在数量关系
第二章 函数的微分
二、微分的定义
定义 设 数y = f ( x)在 区 内 定 , 函 某 间 有 义 x0及x0 + ∆x在 区 内 如 这 间 , 果
∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = A⋅ ∆x + o(∆x) 成 (其 A是 ∆x无 的 数 则 函 立 中 与 关 常 ), 称 数 y = f ( x)在 x0可 , 并 称 ⋅ ∆x为 数 且 A 点 微 函 y = f ( x)在 x0相 于 变 增 ∆x的 分 点 应 自 量 量 微 , 作 dy 记 dy x=x0 或df ( x0 ), 即 x=x0 = A⋅ ∆x.
分 . 微 dy叫 函 增 ∆y的 性 部 微分的实质) 做 数 量 线 主 (微分的实质)
由定义知: 由定义知:
(1) dy是自变量的改变量 ∆x的线性函数;
( 2) ∆y − dy = o( ∆x )是比 ∆x高阶无穷小; ( 3) 当A ≠ 0时, dy与∆y是等价无穷小;
∆y o( ∆ x ) Q = 1+ → 1 ( x → 0). dy A ⋅ ∆x
∴ ∆y = A ⋅ ∆x + o( ∆x ),
o( ∆ x ) ∆y , ∴ = A+ ∆x ∆x
o( ∆x ) ∆y 则 lim = A + lim = A. ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x
即函数 f ( x )在点 x0 可导, 且A = f ′( x0 ).
(2) 充分性 Q函数f ( x )在点x 0 可导,
⇒ ydx + xdy = ln adx + ln bdy
ln a − y ⇒ dy = ⋅ dx x − ln b dy ln a − y ⇒ = dx x − ln b
《微分形式及其在二次函数中的应用》
《微分形式及其在二次函数中的应用》
微分形式及其在二次函数中的应用被认为是高等数学中重要的概念，它的研究和应用正在向着更深入、更复杂的方向发展。
微分形式可以解决一系列曲线方程的运动问题，比如势能、力学和热力方面的问题，这些方面对人们生活有着重要影响。
更重要的是，微分格式也可以用于研究物理学和化学中的重要概念。
在高等数学中，二次函数的微分形式表达式是很重要的概念。
二次函数的微分形式可以用来分析函数的结构，可以用来求解最大值和最小值的问题，也可以用来分析变化的性质。
通过使用微分形式，可以处理二次函数的绿色曲线，从而深入理解有关数学概念，比如函数极值、凸性判断等。
除此之外，二次函数的微分形式也可以用来解决微积分中的一些重要问题。
微分形式可以用来求解微分方程和积分方程，并且可以帮助我们求解数学建模和动力学相关的问题。
所以总的来说，二次函数的微分形式在数学计算、物理学建模和动力学的分析方面有着重要的作用，是高等数学中重要的概念之一。
微分法在概率密度函数中的应用与实例介绍
微分法在概率密度函数中的应用与实例介绍1. 引言1.1 介绍微分法在概率密度函数中的重要性微分法在概率密度函数中的应用是非常重要的，它在统计学和概率论中扮演着至关重要的角色。
概率密度函数是描述一个随机变量可能取值的概率分布的函数，通过对概率密度函数进行微分求导，我们能够得到各种重要的统计量，比如均值、方差、偏度和峰度等。
这些统计量对于了解随机变量的性质和分布具有重要意义。
微分法可以帮助我们求解概率密度函数的导数，进而得到随机变量的概率分布函数。
通过微分法，我们可以更加深入地理解随机变量的性质和特征，为统计分析和推断提供了有效的工具。
微分法还可以帮助我们对概率密度函数进行优化和调整，以满足实际问题的需求。
微分法在概率密度函数中的应用是不可或缺的，它为我们提供了一种有效的途径来探索随机变量的分布特征，并且为统计学和概率论的研究提供了重要的支持。
通过深入研究微分法在概率密度函数中的应用，我们可以更好地理解和分析各种随机现象，为科学研究和实际问题的解决提供强有力的工具和支持。
2. 正文2.1 概率密度函数的概念及意义概率密度函数是描述一个随机变量在某个取值范围内取到不同值的可能性分布的函数。
在概率论和统计学中，概率密度函数通常用于描述连续型随机变量的分布情况。
概率密度函数的概念对于理解随机变量的分布特征至关重要。
概率密度函数的意义在于通过该函数可以计算出在某个取值范围内的不同取值的可能性大小。
概率密度函数通常表现为一个曲线，曲线下方的面积在某个区间内代表了该区间内随机变量落在该区间内的概率大小。
概率密度函数的性质决定了不同取值的概率大小，其形状可以反映出随机变量的分布特征。
概率密度函数的概念及意义对于理解微分法在概率密度函数中的应用具有重要意义。
通过对概率密度函数进行微分操作，可以推导出相关概率分布的性质，进而求解一些与概率密度函数相关的问题。
在实际应用中，概率密度函数的概念及意义也被广泛应用于数据分析、风险评估等领域。
微积分学中的积分和微分
微积分学中的积分和微分微积分学是高等数学的一个重要分支，它以微分和积分为主要内容，是研究数学问题的有力工具。
微分和积分是微积分学的两个核心概念，它们具有非常重要的作用。
本文将分别介绍微分和积分的定义及其应用。
微分微分是微积分学中的基本概念之一，它是指对函数进行微小变化的研究。
在微分的研究中，我们主要关注函数在某一点附近的变化规律。
微分的定义可以用极限来表示，在函数f(x)中x的增量为Δx时，f(x+Δx)-f(x)的差值与Δx的比值在Δx趋近于0时的极限，称为函数f(x)在x点处的导数，记为f'(x)。
在微分学中，导数的概念是非常重要的。
它不仅给出了曲线的切线斜率，而且给出了曲线的变化率，从而可以研究曲线的局部特征，如拐点、最大值、最小值等。
此外，导数还可以应用于物理学、经济学等领域，如速度、加速度、收益率等。
积分积分是微积分学中另一个重要的概念，它是对微小变化的积累研究。
在积分的研究中，我们主要关注函数在一个区间内的变化规律。
积分的定义可以用极限和求和的方式来表示，即将一个区间x0到x1分成n段，将每一段的面积加起来，当n趋近于无穷大时，得到的值称为函数f(x)在[x0,x1]上的定积分，记为∫a^bf(x)dx。
积分在微积分学中具有广泛的应用，它可以用来求解曲线下的面积、体积、质量、重心等问题。
例如，当我们需要求解一个曲线下的面积时，可以将曲线分成无数个微小的矩形，根据矩形的面积求和得到曲线下面积；当我们需要求解一个物体的重心时，可以将物体分成无数个微小的体积元，根据力矩原理求和得到物体的重心。
微积分学中的积分和微分是密切相关的，它们之间存在着微积分基本定理。
这个定理表明，在一个连续的函数f(x)上进行积分和微分是可以互逆的。
具体来说，如果函数F(x)是函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则f(x)在区间[a,b]上的定积分等于F(b)-F(a)。
这个定理在微积分学中应用非常广泛，它有助于简化积分和微分的计算。
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解：由微分的计算公式得
dy
ydx
(sin x )dx x
x
cos
x x
2
sin
x
dx
或
dy
x
dv
sidnux vx 22
siunxdvdx
x
cos
x x
2
sinxdx高等数学(GAO DENG SHU XUE)
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2.4.3 一阶微分形式不变性
2.4.1 微分及其几何意义 ☼ 微分的计算
例1 求函数 y x2在 x 1 和x 3 处的微分。
解：由微分公式 dy f (x0 )x 得：
当x 1时， dy f ( x0 )Δx ( x2 ) Δx x1 2x Δx 2Δx x1
当x 3时， dy f ( x0 )Δx ( x2 ) Δx x3 2x Δx 6Δx. x3
(2) d(Cu) Cdu
(3) d(uv) vdu udv
(4)
d(u) v
vdu v2
udv
(v
0)
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2.4.2 微分的基本公式与运算法则
2. 微分的四则运算法则 例3 设 y sin x , 求dy.
x0 x0 x x
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2.4.2 微分的基本公式与运算法则 从函数的微分的表达式： dy f ( x)dx
要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自 变量的微分就可了。
1. 基本初等函数的微分公式 2. 微分的四则运算法则
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2.4.3 一阶微分形式不变性
例6 设 y e13x cos x, 求dy. 解 dy cvos xd(ed1u3x ) e1u3x d (codsvx)
cos x (3e13x )dx e13 x ( sin x)dx
dy Af (xx0 )x
【结论】可导必可微；可微必可导。
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2.4.1 微分及其几何意义
【结论】可导必可微；可微必可导。
dy f (x0 )Δ x
证: “可微必可导”
已知
在点 可微 , 则
y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x)
1
(10)
d(loga
x)
1 dx x ln a
(12) d(arcsin x) 1 dx
dx
1 x2
1 x2
(15)
d(arc cot x)
1
1 x2
dx
(14)
d(arctan x)
1
1 x
2
dx
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解: d(x2 ) 2xdx
同理：
d( x2 ) xdx 2
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2.4.3 一阶微分形式不变性 例3 设 y sin(2x 1), 求dy.
解二 dy d(sin(2x 1)) cos(2x 1)d(2x 1) cos(2x 1) 2dx 2cos(2x 1)dx.
(5) d(cot x) csc2 xdx
(6) d(sec x) sec x tan xdx
(7) d(csc x) csc x cot xdx (8) d(a x ) a x ln adx
(9) d(ex ) exdx (11) d(ln x) 1 dx
x (13) d(arccos x)
lim y lim ( A o(x) ) A
x0 x x0
x
故
在点 可导, 且
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2.4.1 微分及其几何意义
【结论】可导必可微；可微必可导。
dy f (x0 )Δ x
证: “可导必可微” 已知
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2.4.3 一阶微分形式不变性
例3 设 y sin(2x 1), 求dy.
解 y sin u, u 2x 1. dy (sin u)d u cos udu cos(2x 1)d(2x 1) cos(2x 1) 2dx 2cos(2x 1)dx.
dy Ax
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2.4.1 微分及其几何意义
可微的条件： 【结论】函数������ = ������(������)在点������������可微的充分必要条件是：
函数 ������ = ������(������)在点������������处可导，且������ = ������′(������������)， 即：
e13x (3cos x sin x)dx.
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2.4.3 一阶微分形式不变性
例7. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
d(
x2 C
) xdx;
2
d( 1 sin t C ) cost d t
第二章
第四节 函数的微分 及其应用
2.4.1 微分及其几何意义 2.4.2 微分的基本公式与运算法则 2.4.3 一阶微分形式不变性 2.4.4 微分在近似计算中的应用
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2.4.1 微分及其几何意义
问题: 当自变量 x 有微小变化 ∆x 时, 函数 y = f ( x )的改变量 ∆y 如何计算？
2.4.1 微分及其几何意义
再例如, 设函数 y x3在点 x0处的改变量为 x时,
求函数的改变量 y.
Δy ( x0 Δx)3 x03
3 x02 Δx 3 x0 (Δx)2 (Δx)3 .
(1)
(2)
当 x 很小时, (2)是 x的高阶无穷小o( x),
Δy 3 x02 Δx.
既容易计算 又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)表示的意义是 什么?如何计算?
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2.4.1 微分及其几何意义 1. 微分的定义
定义2.6 设函数������ = ������(������)在某区间内有定义，������������及 ������������ + ∆������在这区间内，如果函数的增量
2.4.2 微分的基本公式与运算法则 2. 微分的四则运算法则 设函数������ = ������(������)，������ = ������(������)在点������处可微，则由函数 的四则运算求导法则可推得微分的四则运算法则：
(1) d(u v) (u v)dx udx vdx du dv
☼ 微分的商 通常把自变量 x 的增量Δx称为自变量的微分，
记作： dx Δx 则函数 y f ( x) 的微分又可记作：dy f ( x)dx
从而有：
dy dx
f ( x)
函数和微分与自变量的微分之商等于该函数的 导数，因此，导数也叫做“微商”。
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2.4.3 一阶微分形式不变性
例4.
求
解: dy d[ln(1 ex2 )]
1 1 ex2
d(1
ex2
)
1 1 ex2
ex2 d(x2 )
1 1 ex2
ex2
2xdx
2x ex2 1 ex2 dx.
困难:对某些函数，直接计算这一变化量非常复杂！ 思路:寻找函数增量的简单、可行的计算方法！
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2.4.1 微分及其几何意义
引例： 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其
边长由x0 变到 x0 x , 问此薄片面积改变了多少?
dy
x0 1
3 x02Δx
x0 1 x0.01
3 0.01
0.03,
当x0 1, x 0.0001时
Δy ( x0 x)3 x03 (1.000 1)3 13 0.000 300 030 001,
dy
x0 1
3 x02Δx
x0 1 3 0.000
在点 可导, 则
lim y x0 x
f
(x0 )
y x
f
(x0 )
( lim 0 ) x0
故 y f (x0 )x x f (x0 )x o(x)
即 dy f (x0 )x
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x0.000 1
1
0.000
3,
结论：x很小时，用dy近似替代y，误差也非常小。