2020高考数学大一轮复习第五章平面向量复数5-1平面向量的概念及线性运算教师用书

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2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第五章 5.1 平面向量的概念及线性运算含解析

§5.1　平面向量的概念及线性运算最新考纲　1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.通过实例，掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.3.通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .概念方法微思考1．若b 与a 共线，则存在实数λ使得b ＝λa ，对吗？提示　不对，因为当a ＝0，b ≠0时，不存在λ满足b ＝λa .2．如何理解数乘向量？提示　λa 的大小为|λa |＝|λ||a |，方向要分类讨论：当λ>0时，λa 与a 同方向；当λ<0时，λa 与a 反方向；当λ＝0或a 为零向量时，λa 为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示　如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb .题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(　√　)(2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．(　√　)(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .(　×　)(4)若向量与向量是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．(　×　)AB → CD →(5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．(　√　)(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　×　)题组二　教材改编2．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且＝a ，＝b ，则＝________，＝OA → OB → DC → BC →________.(用a ，b 表示)答案　b －a －a －b解析　如图，＝＝－＝b －a ，DC → AB → OB → OA →＝－＝－－＝－a －b .BC → OC → OB → OA → OB →3．在平行四边形ABCD 中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD 的形状为________．AB → AD → AB → AD →答案　矩形解析　如图，因为＋＝，AB → AD → AC →－＝，AB → AD → DB → 所以||＝||.AC → DB →由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形．题组三　易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案　A解析　若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.答案　12解析　∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则Error!解得λ＝μ＝.126．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝AB ，BE ＝BC .若＝λ1＋λ2(λ1，λ21223DE → AB → AC →为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案　12解析　＝＋＝＋DE → DB → BE → 12AB → 23BC→＝＋(＋)＝－＋，12AB → 23BA → AC → 16AB → 23AC → ∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.162312题型一　平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且＝，则ABCD 为平行四边形；AB → DC →④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中真命题的序号是________．答案　③解析　①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为＝，所以||＝||且∥；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以AB → DC → AB → DC → AB → DC →四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．故填③.2．判断下列四个命题：①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案　A解析　只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．题型二　平面向量的线性运算命题点1　向量加、减法的几何意义例1 (2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|>|b|答案　A解析　方法一　∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b .∴a·b ＝0.∴a ⊥b .故选A.方法二　利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD 中，设＝a ，＝b ，AB → AD →由|a ＋b |＝|a －b |知，||＝||，AC → DB →从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .故选A.命题点2　向量的线性运算例2 (1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设＝a ，＝b ，AB → AD →则向量等于( )BF →A.a ＋b B ．－a －b13231323C ．－a ＋bD.a －b 13231323答案　C解析　＝＝(＋)BF → 23BE → 23BC → CE →＝＝－a ＋b ，23(b －12a )1323故选C.(2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则等于( )EB →A.－B.－34AB → 14AC → 14AB → 34AC →C.＋D.＋34AB → 14AC → 14AB → 34AC →答案　A解析　作出示意图如图所示．＝＋＝＋EB → ED → DB → 12AD → 12CB → ＝×(＋)＋(－)1212AB → AC → 12AB → AC → ＝－.34AB → 14AC →故选A.命题点3　根据向量线性运算求参数例3　在锐角△ABC 中，＝3，＝x ＋y ，则＝________.CM → MB → AM → AB → AC →x y 答案　3解析　由题意得＋＝3(－)，CA → AM → AB → AM →即4＝3＋，AM → AB → AC →亦即＝＋，AM → 34AB → 14AC → 则x ＝，y ＝.3414故＝3.x y思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1 (1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且＝2，＝3，若＝a ，BD → DC → CE → EA → AB →＝b ，则等于( )AC → DE →A.a ＋bB.a －b 13512131312C ．－a －bD ．－a ＋b135********答案　C解析　＝＋＝＋DE → DC → CE → 13BC → 34CA→＝(－)－13AC → AB → 34AC→＝－－＝－a －b ，故选C.13AB → 512AC → 13512(2)(2018·威海模拟)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若＝x ＋yAB → AE → (x ，y ∈R )，则x －y ＝________.AF →答案　2解析　由题意得＝＋＝＋，AE → AB → BE → AB → 12AD →＝＋＝＋，AF → AD → DF → AD → 12AB → 因为＝x ＋y ，AB → AE → AF →所以＝＋，AB → (x ＋y 2)AB → (x 2＋y )AD → 所以Error!解得Error!所以x －y ＝2.题型三　共线定理的应用例4 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，AB → BC → CD →求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明　∵＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，AB → BC → CD →∴＝＋＝2a ＋8b ＋3(a －b )BD → BC → CD →＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5，AB → ∴，共线．AB → BD →又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)解　假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.引申探究　1．若将本例(1)中“＝2a ＋8b ”改为“＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A ，B ，D 三点共线？BC → BC →解　＋＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ，BC → CD →即＝4a ＋(m －3)b .BD →若A ，B ，D 三点共线，则存在实数λ，使＝λ.BD → AB →即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )．所以Error!解得m ＝7.故当m ＝7时，A ，B ，D 三点共线．2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？解　因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ<0)．所以Error!所以k ＝±1.又λ<0，k ＝λ，所以k ＝－1.故当k ＝－1时两向量反向共线．思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2 已知O ，A ，B 是不共线的三点，且＝m ＋n (m ，n ∈R )．OP → OA → OB →(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明　(1)若m ＋n ＝1，则＝m ＋(1－m )＝＋m (－)，OP → OA → OB → OB → OA → OB →∴－＝m (－)，OP → OB → OA → OB →即＝m ，∴与共线．BP → BA → BP → BA →又∵与有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线．BP → BA →(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使＝λ，BP → BA →∴－＝λ(－)．OP → OB → OA → OB →又＝m ＋n .OP → OA → OB →故有m ＋(n －1)＝λ－λ，OA → OB → OA → OB →即(m －λ)＋(n ＋λ－1)＝0.OA → OB →∵O ，A ，B 不共线，∴，不共线，OA → OB →∴Error!∴m ＋n ＝1.1．对于非零向量a ，b ，“a ＋2b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案　A解析　若a ＋2b ＝0，则a ＝－2b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋2b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．2．已知向量＝a ＋3b ，＝5a ＋3b ，＝－3a ＋3b ，则( )AB → BC → CD →A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线答案　B解析　∵＝＋＝2a ＋6b ＝2，BD → BC → CD → AB →∴与共线，由于与有公共点B ，BD → AB → BD → AB →因此A ，B ，D 三点共线，故选B.3.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上的一个靠近点B 的三等分点，那么等于( )EF →A.－B.＋12AB → 13AD →14AB → 12AD → C.＋ D.－13AB → 12DA →12AB → 23AD →答案　D解析　在△CEF 中，有＝＋.EF → EC → CF → 因为点E 为DC 的中点，所以＝.EC → 12DC →因为点F 为BC 上的一个靠近点B 的三等分点，所以＝.CF → 23CB →所以＝＋＝＋EF → 12DC → 23CB → 12AB → 23DA →＝－，故选D.12AB → 23AD →4．(2018·唐山模拟)在△ABC 中，点G 满足＋＋＝0.若存在点O ，使得＝，GA → GB → GC → OG → 16BC →且＝m ＋n ，则m －n 等于( )OA → OB → OC →A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案　D解析　∵ ＋＋＝0，GA → GB → GC →∴－＋－＋－＝0，OA → OG → OB → OG → OC → OG →∴＝＝＝，OG → 13(OA → ＋OB → ＋OC → )16BC → 16(OC → －OB → )可得＝－－，OA → 12OC → 32OB →∴m ＝－，n ＝－，m －n ＝－1，故选D.32125.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，＝a ，＝b ，则AB → AC → AD →等于( )A ．a －b B.a －b 1212C ．a ＋b D.a ＋b 1212答案　D 解析　连接OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以＝＋＝＋＝a ＋b ，故选D.AD → AO → AC → 12AB → AC → 126.如图，在△ABC 中，＝，P 是BN 上的一点，若＝m ＋，则实数m 的值为( )AN → 13AC → AP → AB → 211AC →A. B.911511C. D.311211答案　B解析　注意到N ，P ，B 三点共线，因此＝m ＋＝m ＋，AP → AB → 211AC → AB → 611AN →从而m ＋＝1，所以m ＝.6115117．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________.AB → AC → AB → AC → AB → AC →答案　23解析　因为||＝||＝|－|＝2，AB → AC → AB → AC →所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|＋|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，AB → AC →所以|＋|＝2.AB → AC →38．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC 的形OB → OC → OB → OC → OA →状为________．答案　直角三角形解析　因为＋－2＝－＋－OB → OC → OA → OB → OA → OC → OA →＝＋，－＝＝－，AB → AC → OB → OC → CB → AB → AC →所以|＋|＝|－|，AB → AC → AB → AC →即·＝0，AB → AC →故⊥，△ABC 为直角三角形．AB → AC →9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且＝3，设＝λ＋μ，则λ的值为________．CM → MB → AM → AB → AC →答案　34解析　由题设知＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ，CM MB则＝＝＝，MN AC BN BA BM BC 14从而＝，AN AB 34又＝λ＋μ＝＋＝＋，AM → AB → AC → AN → NM → 34AB → 14AC →所以λ＝.3410．(2019·钦州质检)已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，＝2e 1－3e 2，＝λe 1＋6e 2，MN → NP →若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案　－4解析　因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得＝k ，MN → NP →所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得Error!解得λ＝－4.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且＋＝－2，求△ABC 与△AOC 的面积之OA → OC → OB → 比．解　取AC 的中点D ，连接OD ，则＋＝2，OA → OC → OD →∴＝－，OB → OD →∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设＝a ，AB →＝b ，试用a ，b 表示向量.AC → AO →解　方法一　由D ，O ，C 三点共线，可设＝k 1＝k 1(－)＝k 1DO → DC → AC → AD → (b －12a )＝－k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，12同理，可设＝k 2＝k 2(－)BO → BF → AF → AB →＝k 2＝－k 2a ＋k 2b (k 2为实数)， ①(12b －a )12又＝＋＝－a ＋BO → BD → DO → 12(－12k 1a ＋k 1b )＝－(1＋k 1)a ＋k 1b ， ②12所以由①②，得－k 2a ＋k 2b ＝－(1＋k 1)a ＋k 1b ，1212即(1＋k 1－2k 2)a ＋b ＝0.12(12k 2－k 1)又a ，b 不共线，所以Error!　解得Error!所以＝－a ＋b .BO → 2313所以＝＋AO → AB → BO →＝a ＋＝(a ＋b )．(－23a ＋13b )13方法二　延长AO 交BC 于点E ，O 为△ABC 的重心，则E 为BC 的中点，所以＝＝×(＋)＝(a ＋b )．AO → 23AE → 2312AB → AC → 1313．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若＝λ＋μ(λ，μDE → AB → AD →为实数)，则λ2＋μ2等于( )A. B. C ．1 D.5814516答案　A解析　＝＋＝＋DE → 12DA → 12DO → 12DA → 14DB →＝＋(＋)＝－，12DA → 14DA → AB → 14AB → 34AD →所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝，故选A.14345814．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )OC → OA → OB →A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，]D ．(－1,0)2答案　B解析　设＝m ，则m >1，OC → OD →因为＝λ＋μ，OC → OA → OB →所以m ＝λ＋μ，OD → OA → OB →即＝＋，OD → λm OA → μm OB →又知A ，B ，D 三点共线，所以＋＝1，即λ＋μ＝m ，λm μm所以λ＋μ>1，故选B.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足＝OP → 13，则点P 一定为△ABC 的( )(2OA → ＋12OB → ＋12OC → )A ．BC 边中线的中点B ．BC 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．BC 边的中点答案　B解析　设BC 的中点为M ，则＋＝，12OC → 12OB →OM → ∴＝(＋2)＝＋，OP → 13OM → OA → 13OM → 23OA →即3＝＋2，也就是＝2，OP → OM → OA → MP → PA →∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点．16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是________．答案　②③解析　①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。

(新课标)2020高考数学大一轮复习第五章平面向量与复数第1课时向量的概念及线性运算课件文

向量运算 (1)加减法法则：
(2)运算律：a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (3)①A→B＋B→C＝____，A→B＋B→A＝_0_，A→B－A→C＝____， ②A→1A2＋A→2A3＋…＋An－1An＋A→nA1＝_0__． ③||a|－|b||≤|a±b|≤__|a_|＋__|b_| _．
答案 (1)0 (2)0 (3)0 (4)0
3.如图所示，向量 a－b 等于( )
A．－4e1－2e2 C．e1－3e2 答案 C
B．－2e1－4e2 D．3e1－e2
解析由三角形法则知 a－b 是 b 的终点指向 a 的终点的一个向
量，用基底 e1，e2 表示为 e1－3e2，故选 C.
4.如图所示，在正六边形 ABCDEF 中，B→A＋C→D＋E→F＝( )
A．0
→ B.BE
→ C.AD
→ D.CF
答案 D
解析由于B→A＝D→E，故B→A＋C→D＋E→F＝C→D＋D→E＋E→F＝C→F.
5．如图所示，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是( )
A.A→B＝D→C
B.A→D＋A→B＝A→C
C.A→B－A→D＝B→D 答案 C
D.A→D＋C→B＝0
解析由A→B－A→D＝D→B＝－B→D，故 C 错误．
6．已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a) 共线，则 λ＝________．
答案－13 解析方法一：设 a＋λb＝k[－(b－3a)]＝3ka－kb， ∴1＝3k，且 λ＝－k，∴λ＝－13. 方法二：设 a＝(1，0)，b＝(0，1)，则 a＋λb＝(1，λ)，－(b－ 3a)＝3a－b＝(3，－1)，∴3λ－1×(－1)＝0，∴λ＝－13.

高考数学一轮总复习教学课件第五章平面向量、复数第1节平面向量的概念及线性运算

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②利用结论“若=λ+μ(λ,μ为实数),则 A,B,C 三点共线的
充要条件是λ+μ=1”来证明三点共线,但应注意此结论成立的前提条
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件是“,不共线”.
[针对训练]
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(1)已知向量 a,b 且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三
点是(
A.A,B,D
相等,与起点(终点)无关.
(3)两向量可以相等,也可以不相等,但两向量不能比较大小.向量
的模长均为实数,所以模长可以比较大小.

(4)非零向量a与 || 的关系: ||是与a同方向的单位向量.
[针对训练] 给出下列命题:
→
→
①若A,B,C,D是不共线的四点,且 = ,则四边形ABCD为平行
(1)|a|与|b|是否相等和a,b的方向无关.( √
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(
→
×
)
)
→
(3)向量与向量是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条直线上.
(
)
×
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( √
)
2.在平行四边形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点
k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,因为a,b是两个不共线向量,故a
- = ,
与b均不为零向量,所以
+ = ,

解得 k=,λ=-.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
平面向量的基本概念
[例1] (1)下列命题正确的是(

高考数学大一轮复习第五章平面向量、复数第1讲平面向量的概念及线性运算课件

[说明] 三点共线的等价关系 A，P，B 三点共线⇔A→P＝λA→B(λ≠0)⇔O→P＝(1－t)·O→A＋tO→B(O 为平面内异于 A，P，B 的任一点，t∈R)⇔O→P＝xO→A＋yO→B(O 为平面内异于 A，P，B 的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．
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D．4
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解析：选 A.①错误．两向量共线要看其方向而不是看起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当 a＝0 时，无论 λ 为何值，λa＝0.④错误．当 λ＝μ＝0 时，λa ＝μb，此时，a 与 b 可以是任意向量．
2．已知 D 为三角形 ABC 的边 BC 的中点，点 P 满足P→A＋B→P＋ C→P＝0，A→P＝λP→D，则实数 λ 的值为________．
解析：因为 D 为边 BC 的中点，所以P→B＋P→C＝2P→D，又P→A＋B→P＋C→P＝0，所以P→A＝P→B＋P→C＝2P→D，所以A→P＝－2P→D，与A→P＝λP→D比较，得 λ＝－2.
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1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有_方__向__的量叫做向量，向量的大小叫做向量的_模__． (2)零向量：长度为_0_的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于_1_个__单__位__的向量．
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(4)平行向量：方向相同或_相__反__的非零向量，又叫共线向量，
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平面向量的线性运算 (高频考点) 平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有： (1)用已知向量表示未知向量； (2)求参数的值．

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算课件理

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解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C，又∵A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，可得A→B＝D→C.故“A→B＝ D→C”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件． ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同；又 b＝c，∴b， c 的长度相等且方向相同，∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．由 a＝b 可得|a|＝|b|且 a∥b；由|a|＝|b|且 a∥b 可得 a ＝b 或 a＝－b，故“|a|＝|b|且 a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故填②③.
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下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与向量C→D共线，则 A，B，C，D 四点共线； ④如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c； ⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
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2．向量的加法和减法
(1)向量的加法
①三角形法则：以第一个向量 a 的终点 A 为起点作第二个向量 b，
则以第一个向量 a 的起点 O 为________以第二个向量 b 的终点 B 为 ________的向量O→B就是 a 与 b 的________(如图 1)．
推广：A→1A2＋A→2A3＋…＋An→-1An＝____________.
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(1)( 2015·福建模拟 ) 在 △ABC

2020版高考文科数学第一轮复习课件：第五章平面向量、复数5-1

A．① B．③ C．①③ D．①②
[解析] 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量A→B与B→A互为相反向量，故③错误．故选 A.
[答案] A
考点二平面向量的线性运算
【例 2】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的
[答案]
5 11
第
平面向量、复数
五
章
(必修 4、选修 1－2)
第一节
平面向量的概念及线性运算
高考概览：1.平面向量的实际背景及基本概念：(1)了解向量的实际背景；(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；(3) 理解向量的几何表示；2.向量的线性运算：(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；(2)掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义；(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义．
[答案] C
3．在△ABC 中，A→B＝c，A→C＝b.若点 D 满足B→D＝2D→C，则A→D
＝( )
A.23b＋13c
B.53c－23b
C.23b－13c
D.13b＋23c
[解析] 如图所示，可知A→D＝A→B＋23(A→C－A→B)＝c＋23(b－c) ＝23b＋13c.故选 A.
[答案] A
[双基自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)零向量与任意向量平行．( ) (2)若 a∥b，b∥c，则 a∥c.( ) (3)向量A→B与向量C→D是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上．( ) (4)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 b＝λa，反之成立．( )

2020版高考数学历史专用讲义：第五章 5.1 平面向量的概念及线性运算

§5.1平面向量的概念及线性运算最新考纲 1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.通过实例，掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.3.通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算3.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . 概念方法微思考1．若b 与a 共线，则存在实数λ使得b ＝λa ，对吗？提示不对，因为当a ＝0，b ≠0时，不存在λ满足b ＝λa . 2．如何理解数乘向量？提示 λa 的大小为|λa |＝|λ||a |，方向要分类讨论：当λ>0时，λa 与a 同方向；当λ<0时，λa 与a 反方向；当λ＝0或a 为零向量时，λa 为零向量，方向不确定． 3．如何理解共线向量定理？提示如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb .题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √ ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二教材改编2．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b解析如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________．答案矩形解析如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形．题组三易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件． 5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中真命题的序号是________．答案 ③解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．故填③.2．判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．题型二平面向量的线性运算命题点1 向量加、减法的几何意义例1 (2017·全国Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |>|b |答案 A解析方法一 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A.方法二利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，由|a ＋b |＝|a －b |知，|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A.命题点2 向量的线性运算例2 (1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →等于( )A.13a ＋23b B ．－13a －23bC ．－13a ＋23bD.13a －23b 答案 C解析 BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)＝23⎝⎛⎭⎫b －12a ＝－13a ＋23b ，故选C.(2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 答案 A解析作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 故选A.命题点3 根据向量线性运算求参数例3 在锐角△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →，则x y ＝________.答案 3解析由题意得CA →＋AM →＝3(AB →－AM →)，即4AM →＝3AB →＋AC →，亦即AM →＝34AB →＋14AC →，则x ＝34，y ＝14.故x y＝3. 思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1 (1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →等于( ) A.13a ＋512b B.13a －1312b C ．－13a －512bD ．－13a ＋1312b答案 C解析 DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA →＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b ，故选C.(2)(2018·威海模拟)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________. 答案 2解析由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →＝⎝⎛⎭⎫x ＋y 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2＋y AD →，所以⎩⎨⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.题型三共线定理的应用例4 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1. 引申探究1．若将本例(1)中“BC →＝2a ＋8b ”改为“BC →＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A ，B ，D 三点共线？解 BC →＋CD →＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ，即BD →＝4a ＋(m －3)b .若A ，B ，D 三点共线，则存在实数λ，使BD →＝λAB →. 即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )．所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝λ，m －3＝λ，解得m ＝7.故当m ＝7时，A ，B ，D 三点共线．2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？解因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ<0)．所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，kλ＝1，所以k ＝±1.又λ<0，k ＝λ，所以k ＝－1. 故当k ＝－1时两向量反向共线．思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2 已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明 (1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)， ∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →， ∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)．又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.1．对于非零向量a ，b ，“a ＋2b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若a ＋2b ＝0，则a ＝－2b ，所以a ∥b . 若a ∥b ，则a ＋2b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．2．已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线答案 B解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2AB →， ∴BD →与AB →共线，由于BD →与AB →有公共点B ，因此A ，B ，D 三点共线，故选B.3.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上的一个靠近点B 的三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → 答案 D解析在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 上的一个靠近点B 的三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D. 4．(2018·唐山模拟)在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA →＝mOB →＋nOC →，则m －n 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1 答案 D解析 ∵ GA →＋GB →＋GC →＝0， ∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，∴OG →＝13()OA →＋OB →＋OC →＝16BC →＝16()OC →－OB →，可得OA →＝－12OC →－32OB →，∴m ＝－32，n ＝－12，m －n ＝－1，故选D.5.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 答案 D解析连接OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b ，故选D.6.如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A.911B.511C.311D.211答案 B解析注意到N ，P ，B 三点共线，因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1，所以m ＝511.7．若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________. 答案 2 3解析因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB →＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，所以|AB →＋AC →|＝2 3.8．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．答案直角三角形解析因为OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，所以|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，即AB →·AC →＝0，故AB →⊥AC →，△ABC 为直角三角形．9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________．答案 34解析由题设知CMMB＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ，则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14，从而AN AB ＝34，又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →，所以λ＝34.10．(2019·钦州质检)已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________. 答案－4解析因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝kλ，－3＝6k ，解得λ＝－4.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△ABC 与△AOC 的面积之比．解取AC 的中点D ，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →， ∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解方法一由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝⎛⎭⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝⎛⎭⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)， ① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ， ②所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝⎛⎭⎫12k 2－k 1b ＝0. 又a ，b 不共线，所以⎩⎨⎧12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0，解得⎩⎨⎧k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b .所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )．方法二延长AO 交BC 于点E ，O 为△ABC 的重心，则E 为BC 的中点，所以AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b )．13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )A.58B.14 C ．1 D.516 答案 A解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A.14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1，2] D ．(－1,0)答案 B解析设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μm OB →，又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm ＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1，故选B.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝⎛⎭⎫2OA →＋12OB →＋12OC →，则点P 一定为△ABC 的( )A ．BC 边中线的中点B ．BC 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．BC 边的中点答案 B解析设BC 的中点为M ，则12OC →＋12OB →＝OM →， ∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →，即3OP →＝OM →＋2OA →，也就是MP →＝2P A →， ∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点．16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题： ①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是________．答案 ②③解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。

高考数学一轮复习第五章第一讲平面向量的概念及线性运算课件

②试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线.
(1)①证明：∵A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b). ∴B→D＝B→C＋C→D＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝ 5(a＋b)＝5A→B. ∴A→B，B→D共线. ∵它们有公共点 B， ∴A，B，D 三点共线.
D.若四边形 ABCD 满足A→B＝D→C，则四边形 ABCD 是平行四边形
解析：平行向量即共线向量，故 A 错误；A→B与B→A为相反向量，所以模相等，故 B 正确；|AA→ →BB|是与非零向量A→B共线的单位向量，C 正确；A→B＝D→C，所以A→B∥D→C且|A→B|∥|D→C|，则四边形 ABCD 是平行四边形，D 正确.故选 BCD.
(4)向量加法的多边形法则多个向量相加，利用向量加法的三角形法则，如图 5-1-1，首尾顺次连接，a＋b＋c 表示从始点指向终点的向量，即O→A＋A→B＋ B→C＝O→C.
图 5-1-1
考点一平面向量的概念
1.(多选题)(2023 年广东省月考)下列说法正确的是( ) A.平行向量不一定是共线向量 B.向量A→B的长度与向量B→A的长度相等 C.|AA→→BB|是与非零向量A→B共线的单位向量
设A→E＝λA→C＋μB→F，
因为A→C＝A→D＋D→C，
A→E＝12(A→C＋A→B)＝12A→D＋32D→C， B→F＝B→A＋A→D＋D→F＝A→D－32D→C，
图 5-1-2
所以A→E＝12A→D＋32D→C＝λ(A→D＋D→C)＋μA→D－32D→C，
即12A→D＋23D→C＝(λ＋μ)A→D＋λ－32μD→C，
亦可用口诀“减数指向被减数”运算. (2)在小题中遇到线段的等分点时，可直接用等和线定理运算.

2020届高考数学一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示课件

,故选A.
4
44
题型归纳平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)考查向量加法或减法的几何意义. (2)求已知向量的和或差.一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则;求首尾相连的向量的和用三角形法则. (3)与三角形综合,求参数的值.求出向量的和或差,与已知条件中的式子比较,求得参数. (4)与平行四边形综合,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
1.(2016四川,9,5分)已知正三角形ABC的边长为2 3 ,平面ABC内的动点P,M满足| AP |=1, PM =

MC

,则| BM
|2的最大值是
(
)
A. 43
4
B. 49
4
C. 37 6 3 4
D. 37 2 33 4
答案 B 以A为坐标原点,
建立如图所示的平面直角坐标系,
.
答案 8 解析本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法. ∵a⊥b,∴a·b=(-4,3)·(6,m)=-24+3m=0, ∴m=8.
易错警示容易把两向量平行与垂直的条件混淆.
3.(2011北京,10,5分)已知向量a=( 3 ,1),b=(0,-1),c=(k, 3 ).若a-2b与c共线,则k=
.
答案 -3
解析本题考查向量平行的条件. ∵a=(2,6),b=(-1,λ),a∥b, ∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.
8.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为
.

2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算课件文

④是错误的，当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b，所以|a|＝|b|且 a∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤是错误的，当 λ＝μ＝0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足 λa ＝μb，但 a 与 b 不一定共线．故填③. 【答案】 ③
辨析向量有关概念的五个关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度． (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度． (5)零向量的关键是方向没有限制，长度是 0，规定零向量与任何向量共线．
【解析】 ①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点． ②是错误的，|a|＝|b|，但 a，b 方向不确定，所以 a，b 的方向不一定相等或相反． ③是正确的，因为A→B＝D→C，所以|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C；又 A， B，C，D 是不共线的四点，所以四边形 ABCD 为平行四边形．
数乘
求实数 λ 与向量 a
当 λ>0 时，λa 与 a 的方向__相__同__；
λ(μ a)＝_(λ_μ_)_a__； (λ＋μ)a＝_λ_a_＋__μ__a_；
的积的运算
当 λ<0 时，λa 与 a 的方向_相__反___；
λ(a＋b)＝__λa_＋__λ_b__
当 λ＝0 时，λ a＝_0__
C．B→D与C→D是相反向量
D．A→E＝12|A→C|
解析：选 D.根据向量的概念可知选 D.
对于非零向量 a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件

2020高考理科数学一轮复习第五章 1 第1讲平面向量的概念及线性运算

第五章平面向量
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)零向量与任意向量平行．( ) (3)若 a∥b，b∥c，则 a∥c.( ) (4)若向量A→B与向量C→D是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上．( )
→
第五章平面向量
已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a)共线，则 λ＝________．解析：由题意知存在 k∈R，使得 a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以 λ1＝＝－3kk，，解得kλ＝＝－13，13. 答案：－13
第五章平面向量
平面向量的有关概念(自主练透)
C.A→D＝43A→B＋13A→C
D.A→D＝43A→B－13A→C
解析：选 A.由题意得A→D＝A→C＋C→D＝A→C＋13B→C＝A→C＋13A→C－13
A→B＝－13A→B＋43A→C.
第五章平面向量
(教材习题改编)化简： (1)(A→B＋M→B)＋B→O＋O→M＝________． (2)N→Q＋Q→P＋M→N－M→P＝________．解析：(1)(A→B＋M→B)＋B→O＋O→M＝(A→B＋B→O)＋(O→M＋M→B)＝A→O ＋O→B＝A→B. (2)N→Q＋Q→P＋M→N－M→P＝N→P＋P→N＝0.
法则(或几何意义)
运算律
|λa|＝_|λ_|_|a_|_，当 λ>0 时，λ(μa)＝_(_λμ__)a_；求实数 λ 与 λa 与 a 的方向_相__同__； (λ＋μ)a＝
数乘
向量 a 的积当 λ<0 时，λa 与 a 的 __λ_a_＋__μ_a__；
的运算

2025版高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数5-1平面向量的概念及线性运算

2024
0
解：当单位向量，， ,方向相同时，取得最大值，当单位向量，， ,首尾相连时，则，所以的最小值为0.故填2024；0.
【点拨】运用三角形法则时，注意向量三角不等式的应用.运用平行四边形法则时，注意与就是以向量和为邻边的平行四边形的对角线向量.
变式2 在四边形中，若，且，则四边形是( )
（1）用，表示向量, ;
（2）若向量与共线，求的值.
解：（1）因为为的中点，所以，可得 .而 .（2）由（1），得 .因为与共线，所以设，即 .根据平面向量基本定理，得解得 .
【综合运用】
9.设，是非零向量，则“存在实数 ,使得”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形
解：因为，所以四边形为平行四边形.因为，所以，即对角线相等.所以四边形为矩形. 故选A.
√
命题角度2 平面向量的线性运算
例3 如图，在平行四边形中,，，，则 ( )
A. B. C. D.
解：由题意，可得 ,所以，，所以 .故选B.
√
【点拨】 ①平面向量的线性运算除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何性质，将未知向量转化为已知向量来求解.②求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，通过向量相等或平行得到含参系数的方程，进而求参数的值.
【教材梳理】
1.向量的有关概念
名称
定义
说明
向量
既有______又有______的量叫做向量
平面向量是自由向量
有向线段
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度

2020版高考数学(新课改省份专用)一轮复习(讲义)第五章平面向量复数第一节平面向量的概念及线性运算

第一节平面向量的概念及线性运算突破点一平面向量的有关概念[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)若a 与b 不相等，则a 与b 一定不可能都是零向量．( ) 答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．如果对于任意的向量a ，均有a ∥b ，则b 为________．答案：零向量2．若e 是a 的单位向量，则a 与e 的方向________．解析：∵e ＝a|a |，∴e 与a 的方向相同．答案：相同3．△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为端点的有向线段所表示的向量中，与EF ―→共线的向量有________个．答案：7个[典例感悟]1．(2018·海淀期末)下列说法正确的是( )A ．方向相同的向量叫做相等向量B ．共线向量是在同一条直线上的向量C ．零向量的长度等于0D ．AB ―→∥CD ―→就是AB ―→所在的直线平行于CD ―→所在的直线解析：选C 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A 不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B 不正确；显然C 正确；当AB ―→∥CD ―→时，AB ―→所在的直线与CD ―→所在的直线可能重合，故D 不正确．2．(2019·辽宁实验中学月考)有下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若|AB ―→|＝|DC ―→|，则四边形ABCD 是平行四边形； ③若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中，假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 对于①，|a |＝|b |，a ，b 的方向不确定，则a ，b 不一定相等，所以①错误；对于②，若|AB ―→|＝|DC ―→|，则AB ―→，DC ―→的方向不一定相同，所以四边形ABCD 不一定是平行四边形，②错误；对于③，若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ，③正确；对于④，若a ∥b ，b ∥c ，则b ＝0时，a ∥c 不一定成立，所以④错误．综上，假命题的是①②④，共3个，故选C.3．(2019·赣州崇义中学模拟)向量AB ―→与CD ―→共线是A ，B ，C ，D 四点共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由A ，B ，C ，D 四点共线，得向量AB ―→与CD ―→共线，反之不成立，可能AB ∥CD ，所以向量AB ―→与CD ―→共线是A ，B ，C ，D 四点共线的必要不充分条件，故选B.[方法技巧]关于平面向量的3个易错提醒(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小； (2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．突破点二平面向量的线性运算[基本知识]1．向量的线性运算向量b 与a(a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa. 3．向量的中线公式及三角形的重心 (1)向量的中线公式：若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)．(2)三角形的重心：已知平面内不共线的三点A ，B ，C ，PG ―→＝13(PA ―→＋PB ―→＋PC ―→)⇔G 是△ABC 的重心．特别地，PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0⇔P 为△ABC 的重心．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)a ∥b 是a ＝λb(λ∈R)的充要条件．( )(2)△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD ―→＝12(AC ―→＋AB ―→)．( )答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．在如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP ―→＋OQ ―→＝________.答案：FO ―→2．化简：(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)＝________.解析：(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)＝AB ―→－CD ―→－AC ―→＋BD ―→＝(AB ―→－AC ―→)＋(DC ―→－DB ―→)＝CB ―→＋BC ―→＝0.答案：03．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为________．答案：－12[全析考法]考法一平面向量的线性运算应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可．(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”； (2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”； (3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算． [例1] (1)(2019·湖北咸宁联考)如图，在△ABC 中，点M 为AC的中点，点N 在AB 上，AN ―→＝3NB ―→，点P 在MN 上，MP ―→＝2PN ―→，那么AP ―→＝( )A.23AB ―→－16AC ―→B.13AB ―→－12AC ―→C.13AB ―→－16AC ―→ D.12AB ―→＋16AC ―→(2)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ―→＝14AB ―→，BE ―→＝2EC ―→，且AE―→＝r AB ―→＋s AD ―→，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)AP ―→＝AM ―→＋MP ―→＝AM ―→＋23MN ―→＝AM ―→＋23(AN ―→－AM ―→)＝13AM ―→＋23AN ―→＝16AC ―→＋12AB ―→.故选D.(2)根据图形，由题意可得AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(BA ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23(AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋14AB ―→＝12AB ―→＋23AD ―→.因为AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.[答案] (1)D (2)C [方法技巧]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．考法二平面向量共线定理的应用求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程：A ，P ，B 三点共线⇔OP ―→＝(1－t )·OA ―→＋t OB ―→(O 为平面内任一点，t ∈R)．[例2] (1)(2019·南昌莲塘一中质检)已知a ，b 是不共线的向量，AB ―→＝λa ＋b ，AC ―→＝a ＋μb(λ，μ∈R)，若A ，B ，C 三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是( )A ．λμ＝1B ．λμ＝－1C ．λ－μ＝－1D ．λ＋μ＝2(2)(2019·郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量，AB ―→＝3e 1＋2e 2，CB ―→＝k e 1＋e 2，CD ―→＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________．[解析] (1)∵AB ―→与AC ―→有公共点A ，∴若A ，B ，C 三点共线，则存在一个实数t 使AB―→＝t AC ―→，即λa ＋b ＝t a ＋μt b ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，μt ＝1，消去参数t 得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，AB ―→＝1μa ＋b ，此时存在实数1μ使AB ―→＝1μAC ―→，故AB ―→和AC ―→共线．∵AB ―→与AC ―→有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．故选A.(2)由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB ―→＝λBD ―→. 又AB ―→＝3e 1＋2e 2，CB ―→＝k e 1＋e 2，CD ―→＝3e 1－2ke 2，所以BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝3e 1－2ke 2－(ke 1＋e 2) ＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2，又e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－k ，2＝－λk ＋，解得k ＝－94.[答案] (1)A (2)－94[方法技巧] 平面向量共线定理的3个应用1.[考法一]在等腰梯形ABCD 中，AB ―→＝－2CD ―→，M 为BC 的中点，则AM ―→＝( ) A.12AB ―→＋12AD ―→ B.34AB ―→＋12AD ―→C.34AB ―→＋14AD ―→ D.12AB ―→＋34AD ―→ 解析：选B 因为AB ―→＝－2CD ―→，所以AB ―→＝2DC ―→.又M 是BC 的中点，所以AM ―→＝12(AB―→＋AC ―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋AD ―→＋12 AB ―→ ＝34AB ―→＋12AD ―→，故选B.2.[考法一]在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO ―→＝λAB ―→＋μBC ―→，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( )A ．1 B.12 C.13D.23解析：选D 由题意易得AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋13BC ―→，则2AO ―→＝AB ―→＋13BC ―→，即AO ―→＝12AB ―→＋16BC ―→.故λ＋μ＝12＋16＝23.3.[考法二]设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．解：(1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b)， ∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3(a －b)＝5(a ＋b)＝5AB ―→， ∴AB ―→，BD ―→共线，又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵ka ＋b 与a ＋kb 共线，∴存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb)，即(k －λ)a ＝(λk －1)b. 又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.。

高考数学大一轮复习第五章平面向量、复数 5.1 平面

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量、复数5.1 平面向量的概念及线性运算教师用书1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 【知识拓展】1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n →＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ )(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ )1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等．则所有正确命题的序号是( ) A ．① B ．③ C ．①③ D ．①②答案 A解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误．2．(教材改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( ) A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C.BC →－12BA →D.BC →＋12BA →答案 A 解析如图，CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.3．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件是( ) A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1 D ．λμ＝1答案 D解析由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )及A ，B ，C 三点共线得AB →＝tAC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1，故选D.4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 答案 2解析由向量加法的平行四边形法则，得AB →＋AD →＝AC →.又O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ，∴AC →＝2AO →，∴AB →＋AD →＝2AO →.又AB →＋AD →＝λAO →， ∴λ＝2.题型一平面向量的概念例1 给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．③④ D ．②④答案 A解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，∴AB →＝DC →.③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A. 思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 题型二平面向量的线性运算命题点1 向量的线性运算例2 (1)(2016·临安中学统练三)在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( ) A.AB →＝DC → B.AD →＋AB →＝AC → C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋CD →＝BD → (2)(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，若BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 (1)C (2)A解析 (1)AB →＝DC →，AD →＋AB →＝AC →， AD →＋CD →＝BD →正确．而AB →－AD →＝DB →，故C 错误．故选C. (2)∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.命题点2 根据向量线性运算求参数例3 (1)(2016·台州模拟)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 答案 (1)12(2)D解析 (1)DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.(2)设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( ) A.29 B.27 C.25 D.23答案 A解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →，∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →，由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝29，故选A.题型三共线定理的应用例4 设两个非零向量a 与b 不共线． (1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线．(1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线(2)如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 (1)B (2)2 解析 (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →， ∴BD →，AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．故选B. (2)取AC 的中点D ，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →， ∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点， ∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 面积之比为2.4．容易忽视的零向量典例下列叙述错误的是________． ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .②若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同． ③|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同．④向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . ⑤AB →＋BA →＝0.⑥若λa ＝λb ，则a ＝b . 错解展示解析 ⑤中两个向量的和仍是一个向量，∴AB →＋BA →＝0. 答案 ⑤ 现场纠错解析对于①，当b ＝0时，a 不一定与c 平行．对于②，当a ＋b ＝0时，其方向任意，它与a ，b 的方向都不相同．对于③，当a ，b 之一为零向量时结论不成立．对于④，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b ≠0或a ≠0但b ＝0时，λ不存在．对于⑤，由于两个向量之和仍是一个向量，所以AB →＋BA →＝0.对于⑥，当λ＝0时，不管a 与b 的大小与方向如何，都有λa ＝λb ，此时不一定有a ＝b . 故①②③④⑤⑥均错．答案 ①②③④⑤⑥纠错心得在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量.1．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( ) A ．相等的向量 B ．平行的向量 C ．有相同起点的向量 D ．模相等的向量答案 D解析这四个向量的模相等．2．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE →等于( )A.23AB →＋12AD →B.12AB →＋23AD →C.56AB →＋13AD →D.13AB →＋56AD → 答案 A解析因为BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－23AB →＋AD →，所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23AB →＝23AB →＋12AD →. 3．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D答案 B解析因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．4．已知平面内一点P 及△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上 D ．点P 在△ABC 外部答案 C解析由PA →＋PB →＋PC →＝AB →得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－PA →＝2AP →，所以点P 在线段AC上．5. 如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 ∵O 为BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2.6．设P 为锐角△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)，AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，若cos∠BAC ＝25，则k 等于( ) A.514 B.17 C.57 D.37 答案 A解析取BC 的中点D ，连接PD ，AD ，则PD ⊥BC ，AB →＋AC →＝2AD →， ∵AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，∴AP →＝2kAD →，∴A ，P ，D 三点共线， ∴AB ＝AC ，∴cos∠BAC ＝cos∠DPC ＝DP PC ＝DP PA ＝25， ∴AP ＝57AD ，∴2k ＝57，解得k ＝514，故选A.7. (2016·宁波一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.答案135解析如图，取单位向量i ，j ，则a ＝i ＋2j ，b ＝2i －j ，c ＝3i ＋4j .∴c ＝x a ＋y b ＝x (i ＋2j )＋y (2i －j )＝(x ＋2y )i ＋(2x －y )j ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，2x －y ＝4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115，y ＝25，∴x ＋y ＝135.8．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是________．答案－1解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )， ∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.*9.设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则角B 的大小为________．答案 60°解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sinB ·GB →＋sinC ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0.又GB →，GC →不共线，∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C ．根据正弦定理知b ＝a ＝c ， ∴△ABC 是等边三角形，则角B ＝60°.*10.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________. 答案 3解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴M 为△ABC 的重心．如图所示，连接AM 并延长交BC 于点D ，则D 为BC 的中点．∴AM →＝23AD →.又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.11．已知O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋λOB →＋(λ－1)OC →＝0，若△OAB 的面积与△OAC 的面积的比值为13，则λ的值为________．答案 32解析因为OA →＋λ(OB →＋OC →)－OC →＝0，所以AC →＝λ(OB →＋OC →)，设G 为BC 的中点，所以AC →＝2λOG →，所以点O 在过点G 且与AC 平行的直线上，分别过点B ，C 作BF ⊥OA ，CE ⊥OA ，因为S △OAB S △OAC＝13，所以BF CE ＝BH HC ＝13，所以AC OG ＝CHGH＝3，所以2λ＝|AC →||OG →|＝3，得λ＝32.12. 在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b . *13. 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，求实数m 的值．解由N 是OD 的中点得AN →＝12AD →＋12AO →＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD →＋14AB →，又因为A ，N ，E 三点共线，故AE →＝λAN →，即mAB →＋AD →＝λ(34AD →＋14AB →)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14λ，1＝34λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，λ＝43，故实数m ＝13.。

2020版高考数学一轮总复习第五单元平面向量与复数课时1平面向量的概念及线性运算课件文新人教A版

(方法一)在△ABD 中利用向量的加法：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AD ＝ AB ＋ BD ＝ AB ＋ BC ＋ CD
＝
uuur AB
＋43
uuur BC
＝
uuur AB
＋43(
uuur AC
－
uuur AB
)
＝－13
uuur AB
＋34
uuur AC
.
(方法二)在△ACD 中利用向量的加法：
a＋b＝___b_＋__a___；(a＋b)＋c＝___a_＋__(_b_＋__c_)__.
(2)向量的减法
①定义：减去一个向量相当于加上这个向量的__相__反__向___量____.
②法则：向量的减法符合三角形法则． ③几何意义如下图所示．
(3)向量的数乘运算 ①定义：实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 λa，它的长度和方向规定如下：
uuur uuurຫໍສະໝຸດ 所以 AB 、 BD 共线，又它们有公共点，
所以 A、B、D 三点共线．
(2)因为 ka＋b 和 a＋kb 共线，
所以存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)，
即 ka＋b＝λa＋λkb，
所以(k－λ)a＝(λk－1)b，
又 a、b 是不共线的两个非零向量，
所以 k－λ＝λk－1＝0，所以 k＝±1.
所以
uuur AB
＝23(2d－c)，
uuur AD
＝23(2c－d)．
点评：本题求解体现了思维的灵活性，考查了方程的思想方法．
【变式探究】
uuur uuur uuur
3．已知△ABC 和点 M 满足 MA ＋ MB ＋ MC ＝0.若存在实数 m

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【2019最新】精选高考数学大一轮复习第五章平面向量复数5-1平面向量的概念及线性运算教师用书1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a 的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ;(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0(1)λ(μa )＝(λμ)a ； (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa. 【知识拓展】1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则＝(＋)． 3.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × ) (2)|a|与|b|是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a∥b ，b∥c，则a∥c.( × )(4)若向量与向量是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa，反之成立．( √ )1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量与相等．则所有正确命题的序号是( ) A ．① B ．③ C ．①③ D ．①②答案 A解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误．2．(教材改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量等于( ) A ．－＋ B ．－－12BA →C.－D.＋12BA →解析如图，→＝＋＝＋＝－＋.CD3．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是( )A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝1答案D解析由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得＝t，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1，故选D.4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.答案2解析由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.又O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴＝2，∴＋＝2.又＋＝λ，∴λ＝2.题型一平面向量的概念例1 给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是( )A．②③ B．①②C．③④ D．②④解析①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且||＝||，∴＝.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a0平行，则a 与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 题型二平面向量的线性运算命题点1 向量的线性运算例 2 (1)(2016·临安中学统练三)在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( ) A.＝ B.＋＝AC →C.－＝D.＋＝BD →(2)(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，若＝3，则( ) A.＝－＋ B.＝－43AC → C.＝＋ D.＝－13AC →答案 (1)C (2)A 解析 (1)＝，＋＝，AD →＋＝正确．而－＝，故C 错误．故选C. (2)∵＝3，∴－＝3(－)，即4－＝3，∴＝－＋.命题点2 根据向量线性运算求参数例3 (1)(2016·台州模拟)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝AB ，BE ＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且＝3，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若＝x ＋(1－x)，则x 的取值范围是( ) A. B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.D.⎝⎛⎭⎪⎫－13，0 答案 (1) (2)D解析 (1)＝＋＝＋23BC → ＝＋(＋)＝－＋，∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝. (2)设＝y ， ∵＝＋CO →＝＋y ＝＋y(－) ＝－y ＋(1＋y).∵＝3，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y∈，∵＝x ＋(1－x)， ∴x＝－y ，∴x∈.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为( ) A. B.27 C. D.23答案 A解析 ∵＝，＝， ∴＝，＝2.由向量加法的平行四边形法则可知，AC →＝＋，∴＝λ＝λ(＋)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫52AE →＋2AF →＝λ＋2λ，由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝，故选A.题型三共线定理的应用例4 设两个非零向量a 与b 不共线． (1)若＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b)，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线． (1)证明 ∵＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b)， ∴＝＋＝2a ＋8b ＋3(a －b)＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b)＝5， ∴，共线．又∵它们有公共点B ，∴A，B ，D 三点共线． (2)解假设ka ＋b 与a ＋kb 共线，则存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a＋kb)，即(k －λ)a＝(λk－1)b.又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0.消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线．(1)已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则( )A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线(2)如图所示，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△ABC与△AOC的面积之比为________．答案(1)B (2)2解析(1)∵＝＋CD→＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，∴，共线，又有公共点B，∴A，B，D三点共线．故选B.(2)取AC的中点D，连接OD，则＋＝2，∴＝－，∴O是AC边上的中线BD的中点，∴S△ABC＝2S△OAC，∴△ABC与△AOC面积之比为2.4．容易忽视的零向量典例下列叙述错误的是________．①若a∥b，b∥c，则a∥c.②若非零向量a与b方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同．③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同．④向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.⑤＋＝0.⑥若λa＝λb，则a＝b.错解展示解析⑤中两个向量的和仍是一个向量，∴＋＝0.答案 ⑤ 现场纠错解析对于①，当b ＝0时，a 不一定与c 平行．对于②，当a ＋b ＝0时，其方向任意，它与a ，b 的方向都不相同．对于③，当a ，b 之一为零向量时结论不成立．对于④，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b≠0或a≠0但b ＝0时，λ不存在．对于⑤，由于两个向量之和仍是一个向量，所以＋＝0.对于⑥，当λ＝0时，不管a 与b 的大小与方向如何，都有λa＝λb，此时不一定有a ＝b.故①②③④⑤⑥均错．答案 ①②③④⑤⑥纠错心得在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量. 1．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量，，，是( ) A ．相等的向量 B ．平行的向量 C ．有相同起点的向量 D ．模相等的向量答案 D解析这四个向量的模相等．2．在四边形ABCD 中，AB∥CD，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则等于( ) A.＋ B.＋23AD →C.＋D.＋56AD →答案 A解析因为＝＋＋＝－＋，所以＝＋＝＋＝＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23AB →＝＋.3．已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则下列一定共线的三点是( ) A．A，B，C B．A，B，DC．B，C，D D．A，C，D答案B解析因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，又，有公共点A，所以A，B，D三点共线．4．已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是( ) A．点P在线段AB上B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上D．点P在△ABC外部答案C解析由＋＋＝得＋＝－＝，即＝－＝2，所以点P在线段AC上．5. 如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为( )A．1 B．2C．3 D．4答案B解析∵O为BC的中点，∴＝(＋)＝(m＋n)＝＋，∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，∴m＋n＝2.6．设P为锐角△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)，＝k(＋)(k∈R)，若cos∠BAC ＝，则k等于( )A. B. C. D.37答案A解析取BC 的中点D ，连接PD ，AD ，则PD⊥BC，＋＝2，∵＝k(＋)(k∈R)，∴＝2k ，∴A，P ，D 三点共线，∴AB＝AC ，∴cos∠BAC＝cos∠DPC＝＝＝，∴AP＝AD ，∴2k＝，解得k ＝，故选A.7. (2016·宁波一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝xa ＋yb(x ，y∈R)，则x ＋y ＝________.答案 135解析如图，取单位向量i ，j ，则a ＝i ＋2j ，b ＝2i －j ，c ＝3i ＋4j.∴c＝xa ＋yb ＝x(i ＋2j)＋y(2i －j)＝(x ＋2y)i ＋(2x －y)j ，∴ ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝115，y ＝25，∴x＋y ＝.8．设a ，b 不共线，＝2a ＋pb ，＝a ＋b ，＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是________．答案－1解析 ∵＝a ＋b ，＝a －2b ，∴＝＋＝2a －b.又∵A，B ，D 三点共线，∴，共线．设＝λ，∴2a＋pb ＝λ(2a－b)，∵a，b 不共线，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.*9.设G为△ABC的重心，且sin A·＋sin B·＋sin C·＝0，则角B的大小为________．答案60°解析∵G是△ABC的重心，∴＋＋＝0，＝－(＋)，将其代入sin A·＋sin B·＋sin C·＝0，得(sin B－sin A)＋(sin C－sin A)＝0.又，不共线，∴sin B－sin A＝0，sin C－sin A＝0，则sin B＝sin A＝sin C．根据正弦定理知b＝a＝c，∴△ABC是等边三角形，则角B＝60°.*10.已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m，使得＋＝m成立，则m＝________.答案3解析∵＋＋＝0，∴M为△ABC的重心．如图所示，连接AM并延长交BC于点D，则D为BC的中点．∴＝.又＝(＋)，∴＝(＋)，即＋＝3，∴m＝3.11．已知O为△ABC内一点，且满足＋λ＋(λ－1)＝0，若△OAB的面积与△OAC的面积的比值为，则λ的值为________．答案32解析因为＋λ(＋)－＝0，所以＝λ(＋)，设G为BC的中点，所以＝2λ，所以点O在过点G且与AC平行的直线上，分别过点B，C作BF⊥OA，CE⊥OA，因为＝，所以＝＝，所以＝＝3，所以2λ＝＝3，得λ＝.12. 在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.解＝(＋)＝a＋b. AG→＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝＋13AC→＝a＋b.*13. 如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若＝m＋，求实数m的值．解由N是OD的中点得＝＋12AO→＝＋(＋)＝＋，又因为A，N，E三点共线，故＝λ，即m＋＝λ(＋)，所以解得故实数m＝.。