福建省龙岩市2018届高三数学下学期教学质量检查2月试题_含答案 师生通用

龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{2,1,0,1,2}A =--，2{|4}B x x =≥，则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{2,1,0,1}--B ．{0} C. {1,0}- D ．{1,0,1}- 2.复数12iz i-=（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．2- B ．1- C.i D ．i -3.设x ，y 满足约束条件3603600x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数z x y =-的最小值是（ ）A ．0B ．2 C. 4 D ．64.如图是某校高三（1）班上学期期末数学考试成绩整理得到的频率分布直方图，由此估计该班学生成绩的众数、中位数分别为（ ）A ．105，103B ．115，125 C. 125，113.3 D ．115，113.35.函数cos()(cos sin )2y x x x π=-+的单调递增区间是（ ）A ．3[2,2]88k k ππππ-+()k Z ∈ B ．3[,]88k k ππππ-+()k Z ∈ C. [,]44k k ππππ-+()k Z ∈ D ．[2,2]22k k ππππ-+()k Z ∈6. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中两个小矩形面积相等，则该“堑堵”的表面积为（ ）A ．2B ．4+．6+．8+7.已知直线1l ：(3)453m x y m ++=-与2l ：2(5)8x m y ++=，则“12//l l ”是“1m <-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S 的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1- 9.函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．'(3)(3)(2)'(2)f f f f <-<B ．'(3)'(2)(3)(2)f f f f <<-C ．'(2)'(3)(3)(2)f f f f <<-D ．(3)(2)'(2)'(3)f f f f -<<10.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线C 交于M ，N 两点，若3PF MF =，则MN =（ ）A ．16B ．8C ．163 D 11.已知向量a ，b 满足3a b += ，2a b -= ，则a b +的取值范围是（ ）A ．[2,3]B ．[3,4]C ．D ．12.已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，点O 是底面ABCD 的中点，点P 是正方形1111A B C D 内的任意一点，则满足线段PO ）A ．4π B ．14π- C ．8π D ．18π-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分.13.函数21()()log (4)3xf x x =-+在区间[2,2]-上的最大值为 ．14. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3，则此双曲线的焦距等于 ．15.如图，ABC ∆中，3B π∠=，D 为边AB 上的一点，CD =AD ，4BC =，则AC = ．16.已知函数211()3sin()2122x f x x x =+-+-，则12()()20192019f f +2018()2019f +⋅⋅⋅+的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且32n n S a =-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令312log n n b a +=，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.某地随着经济的发展，居民收入逐年增长.该地一建设银行统计连续五年的储蓄存款（年底余额）得到下表：为便于计算，工作人员将上表的数据进行了处理（令2012t x =-，5z y =-），得到下表：（Ⅰ）求z 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？附：线性回归方程 y bxa =+ ，其中1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-⋅=-∑∑ ， ay bx =- . 19.已知空间几何体ABCDE 中，BCD ∆与CDE ∆均为边长为2的等边三角形，ABC ∆为腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .（Ⅰ）试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出详细证明； （Ⅱ）求三棱锥E ABC -的体积.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -和2(,0)F c ，离心率是12，直线l 过点(0,)P c -交椭圆于A ，B 两点，当直线l 过点2F 时，1F AB ∆的周长为8. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）当直线l 绕点P 运动时，试求PA PBλ=的取值范围.21.已知2()(1)(1)x f x x e a x =--+，[1,)x ∈+∞. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()2ln f x a x ≥-+，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为2sin()306πρθ+-=，曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =-++. （Ⅰ）当1a =时，解不等式()4f x ≥；（Ⅱ）若不等式()3f x x ≤+的解集包含[0,1]，求实数a 的取值范围.龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查数学（文科）参考答案一、选择题1-5: DBADB 6-10: CACAC 11、12：DB 二、填空题13. 8 14. 33027 三、解答题17.命题立意：本题主要考查数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，裂项相消法求和.考查学生公式的熟练运用能力和计算能力. 解：（Ⅰ）因为32n n S a =-①， 所以1132n n S a ++=-②， ②-①得：1133n n n a a a ++=-，即132n n a a +=， 又11a =，所以11331()()22n n n a --=⨯=. （Ⅱ）312log n n b a n +==，令11n n n c b b +=，则111(1)1n c n n n n ==-++，所以12n n T c c c =++⋅⋅⋅+111(1)()223=-+-+11()11n nn n ⋅⋅⋅+-=++. 18.命题立意：本题主要考查一元线性回归分析，考查学生数据处理的能力.解：（Ⅰ）3t =，115z =，5145i i i t z ==∑，52155i i t ==∑，4553 2.2655595b-⨯⨯==-⨯ ， 11673555a z bt =-=-⨯=- ， ∴6755zt =- . （Ⅱ）将2012t x =-，5z y =-，代入6755zt =- ， 得675(2012)55y x -=--，即 1.22410.8y x =-（或61205455y x =-）. （Ⅲ）∵ 1.22410.8y x =-， ∴1.220202410.813.2⨯-=.所以预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达13.2千亿元.19.命题立意，本题主要考查面面垂直的性质定理，面面平行的判定定理及空间几何体的体积公式，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力和化归转化思想.解：（Ⅰ）如图所示，取DC 中点N ，取BD 中点M ，连结MN ，则MN 即为所求. 证明：取BC 中点H ，连结AH ，∵ABC ∆为腰长为3的等腰三角形，H 为BC 中点， ∴AH BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，AH ⊂平面ABC ， ∴AH ⊥平面BCD ， 同理可证EN ⊥平面BCD ， ∴//EN AH ，∵EN ⊄平面ABC ，AH ⊂平面ABC ， ∴//EN 平面ABC .又M ，N 分别为BD ，DC 中点， ∴//MN BC ，∵MN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴//MN 平面ABC .又MN EN N = ，MN ⊂平面EMN ，EN ⊂平面EMN ， ∴平面//EMN 平面ABC ，又EF ⊂平面EMN ，∴//EF 平面ABC .（Ⅱ）连结DH ，取CH 中点G ，连结NG ，则//NG DH ， 由（Ⅰ）可知//EN 平面ABC ，所以点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等. 又BCD ∆是边长为2的等边三角形，∴DH BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，DH ⊂平面BCD ， ∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC ，∴DH =N 为CD 中点，∴NG =，又3AC AB ==，2BC =，∴12ABC S BC AC ∆=⋅⋅=∴E ABC N ABC V V --=13ABC S NG ∆=⋅⋅=.20.命题立意：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线和椭圆的位置关系，考查学生逻辑思维能力和分类讨论思想及运算求解能力.解：（Ⅰ）∵1F AB ∆的周长为11AF BF AB ++1212AF AF BF BF =+++48a ==， ∴2a =，又12c e a ==，∴1c =，∴b ∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （Ⅱ）设A ，B 两点坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，当直线AB 与y 轴重合时，A 点与上顶点重合时，2PA PBλ==+当直线AB 与y 轴重合时，A点与下顶点重合时，2PA PBλ==当直线AB 斜率为0时，1PA PBλ==，当直线AB 斜率存在且不为0时，不妨设直线AB 方程为1y kx =-， 联立223412x y +=， 得22(34)880k x kx +--=， 则有122834kx x k +=+，①122834kx x k ⋅=-+②设12PA x PBx λ==-，则21x x λ=-，代入①②得 112834kx x k λ-=+③212834x k λ-=-+④∴212221(1)(1)x x λλλλ=--222228343488()34k k k k k++==+2131(1)242k =⋅+>， 即21(1)2λλ>-，解得22λ<<综上，[2λ∈.21.命题立意：本题主要考查函数的单调性、导数的应用、不等式恒成立等知识，考查学生的数形结合的能力、化归转化能力、运算求解能力以及分类讨论思想. 解：（Ⅰ）'()2xf x xe ax =-(2)xx e a =-，当2ea ≤时，[1,)x ∈+∞，'()0f x ≥.∴()f x 在[1,)+∞上单调递增； 当2ea >时，由'()0f x =，得ln(2)x a =.当(1,ln(2))x a ∈时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈+∞时，'()0f x >. 所以()f x 在(1,ln(2))a 单调递减；在(ln(2),)a +∞单调递增.（Ⅱ）令2()(1)(1)ln x g x x e a x x =----， 问题转化为()0g x ≥在[1,)x ∈+∞上恒成立，1'()2x g x xe ax x=--，注意到(1)0g =.当12e a ->时，'(1)210g e a =--<，1'(ln(21))ln(21)ln(21)g a a a +=+-+，因为21a e +>，所以ln(21)1a +>，'(ln(21))0g a +>， 所以存在0(1,ln(21))x a ∈+，使0'()0g x =， 当0(1,)x x ∈时，'()0g x <，()g x 递减， 所以()g(1)0g x <=，不满足题意.当12e a -≤时，1'()(1)x g x xe e x x ≥---1[(1)]xx e e x=---， 当1x >时，[(1)]1xx e e -->，101x<<，所以'()0g x >，()g x 在[1,)+∞上单调递增；所以()(1)0g x g ≥=，满足题意. 综上所述：12e a -≤. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）2sin()306πρθ+-=，sin cos 30θρθ+-=，即l 的普通方程为30x -=，2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩消去ϕ，得C 的普通方程为224x y +=.（Ⅱ）在30x -=中令0y =得(3,0)P ，∵k =，∴倾斜角56πα=，做题破万卷，下笔如有神天才出于勤奋 ∴l 的参数方程可设为53cos 650sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入224x y +=得250t -+=，70∆=>，∴方程有两解，12t t +=1250t t =>，∴1t ，2t 同号，12PA PB t t +=+12t t =+=23. 选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）1a =时，()4f x ≥2214x x <-⎧⇔⎨--≥⎩或2134x -≤≤⎧⎨≥⎩或1214x x >⎧⎨+≥⎩， 52x ≤-或x φ∈或32x ≥， 解集为53(,][,)22-∞-+∞ . （Ⅱ）由已知()3f x x ≤+在[0,1]上恒成立，∵20x +>，30x +>， ∴1x a -≤在[0,1]上恒成立， ∵y x a =-的图象在(,)a -∞上递减，在(,)a +∞上递增， ∴01110211a a a a ⎧-≤-≤≤⎧⎪⇒⎨⎨≤≤-≤⎩⎪⎩，∴a 的取值范围是[0,1].。