正交试验设计中的方差分析 例题分析

可见： F0.05（2，4）≥FA＞F0.10（2，4）， F0.05（2，4）≥FC＞F0.10（2，4）， 因此A和C属于影响显著的因素，要重点考察。 而B的F值小于F0.25（2,4)，因此B因素对指标没什么 影响，可以忽略。因此其加入体积可以在给定范围内 任意变化。 这是用方差分析和前面直观分析以及极差分析得出的 一个比较重要的不同结论。 当然，在实际分析中，因素B还要用其他试验指标进 一步确定，以保证得到准确的结果。
QA 33.4, QB 5.4 , QC 38.1, Qe 7.1,
fA
fB
fC
fe
可以看出，B的平均方差和小于误差效应，因此可 以将其合并到误差效应中，用合并后的误差效应做 F检验，自由度变大，灵敏度更高 ：

QB Qe 6.3, fB fe
然后计算各因素的F值：
QA
FA
QB
Qe
fA
fB
数据的方差分析：
首先计算各因素的方差和、总方差和以及试验误差 的方差和：
因素A的方差和如下计算：
同样：QB=10.9；QC=76.2；
总的方差和QT如下计算：
那么试验误差的差方和就可如下计算：
Qe＝QT－（QA＋QB＋QC） ＝168.2－（66.9＋10.9＋76.2） ＝14.2
其次，计算自由度：
fT＝n－1＝9－1＝8； fA＝fB＝fC＝m－1＝3－1＝2 ；
fe=fT－fA－fB－fC＝2 。
再次，计算平均差方和： 因素的平均差 因方 素和 差＝ ＝ 方Q因 和
因素的自f由 因 度
试 验 误 差 的＝ 平试 均验 差误方差 和 ＝ 差 Qe方 试验误差的 fe 自
这样，计算得出的各因素及误差的差方和分别是：
20
4
2（7 ml）
1
2
3
22
5
2
2
6
2
3
7
3（10 ml）
1
3
1
29
1
2
17
3
2
21
8
3
2
1
3
19
9
3
3
2
1
19
这里看出A2B2C3的结果最好。 第四步，计算各因素平均试验指标以及极差:
A
B
C
D
K1
48
56
49
61
K2
68
63
56
53
K3
59
56
70
61
k1
16
18.7
16.3
20.3
k2
22.7
根据正交设计法的步骤：
第一步，明确试验目的和试验指标： 目的：用正交设计找出测定痕量铁的最佳试 验条件。 指标：吸光度，越大越好。
第二步，挑选必须考察的因素和合适的水平，
制定因素水平表；
因素-水平表
因素 A
B
C
水平 1
酸度（1：1 0.5%8-羟基 20 mg/ml 锶
HCl）
喹啉
盐
4 ml
3 ml
fe
33.4 5.30 6.3
QC
FC
QB
Qe
fC
fB
fe
38.1 6.05 6.3
最后是显著性检验：
对不同置信度的临界F值可以从F表中查找。 F表在一般的数理统计书里都有。 对本例，在置信度分别为99％、95％、90％ 以及75％（即a＝0.01，0.05，0.10，0.25） 时的临界值分别是： F0.01(2，4)＝18.00，F0.05(2，4)＝6.94， F0.10(2，4)＝4.32，F0.25(2，4)＝2.00。
1 ml
2
7 ml
6 ml
9 ml
3
10 ml
9 ml
17 ml
第三步，根据因素水平表，选择L9(34)正交表，试 验安排如下表：
L9(34)试验方案及结果表
A
B
C
D
1
1（4 ml） 1（3 ml）
1（1 ml） 1
Abs （×100） 13
2
1
2（6 ml）
2（9 ml） 2
15
3
1
3（9 ml） 3（17 ml） 3
三．实际应用举例
例8：用原子吸收光谱测定铝合金中痕量铁时， 需要选择以下三个因素的最适宜条件：1）酸度 (用1:1盐酸的体积代表)；2）络合剂（5％的8羟基喹啉）加入量；3）释放剂（20mg/ml的锶 盐）加入量。每个因素考虑三个水平，分别是： 4ml、7ml、10ml；3ml、6ml、9ml；1ml、 9ml、17ml。如何安排这个试验，并对结果进 行分析。
正交试验设计的方差分析小结
一。几个数据处理中常用的数理统计名词 平均值 ；总体平均值m；总体；样本; 极差 R ; 差方和Q ;
自由度f ;
方差s2 ;
样本方差s2 ;
标准偏差s ;
二．正交试验设计的方差分析的步骤和格式 1.计算差方和（离差平方和）： 包括以下几部分：（1）各因素差方和，（2）总差方 和QT，（3）试验误差的差方和Qe。 2.计算自由度 : 包括：试验的总自由度；各因素自由度；试验误差的 自由度。 3.计算平均差方和 包括各因素平均差方和与误差的平均差方和。 4.求F比 5.对因素进行显著性检验： 对照F表检验。F检验的规律。
19
18.5
2
4
6
8
10
0.5% 8-OH喹啉 (ml)
24 23 22
21 20 19 18
17 16 15
0
5
10
15
20
20mg/ml Sr2+ (ml)
从趋势图看试验指标与因素C，即释放剂锶盐的浓度 呈单调增长，因此增加锶盐浓度可能会使吸光度更 高，即灵敏度得到更大的提高。
以上就是一个完整的正交试验及直观分析的过程。 如果采用方差分析，其正交试验过程和前面的一致， 只是数据处理采用了方差分析法。
21
18.7
17.7
k3
19.7
18.7
23.3
20.3
R
6.7
2.3
7
优水平 A2
B2
C3
由极差看B的影响最小，即络合剂是测定的次要因素。 第五步，进一步画出指标－因素趋势图观察。
Abs Abs Abs
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
2
7
12
1:1HCl(ml)
21.5
21
20.5
20
19.5