2017届高三数学误区：3.1-忽略三角函数定义域问题含答案
高考数学考点17三角函数的性质与应用试题解读与变式(new)
专题17 三角函数的性质与应用【考纲要求】（1）了解三角函数的周期性；（2）理解正弦函数、余弦函数在区间[]0,2π上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等）；（3）理解正切函数在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调性．【命题规律】高考对本部分内容的考查以能力为主,重点考查三角函数的性质（周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值等）,体现数形结合的思想，函数与方程的思想等的应用，均可能出现选择题、填空题与解答题中，难度中低档为主，主要有两种考查题型:（1）根据三角函数的解析式确定其性质；（2）根据三角函数的性质求相关的参数值（或取值范围）．预计2018年高考对三角函数的性质的考查仍会集中在对称性、单调性、周期性和最值问题，体现整体思想的应用．【典型高考试题变式】 （一）三角函数的周期性例1 【2017山东】函数cos2y x x =+最小正周期为（ ） A ．π2B ．2π3C ．πD ．2π 【答案】C【解析】∵1π2sin 2cos 22sin 2226y x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴2ππ2T ==，故选C ． 【方法技巧归纳】求解三角函数的周期性的方法：（1)求三角函数的周期,通常应将函数式化为只有一个函数名,且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解．(2)三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成sin()y A x ωϕ=+，或tan()y A x ωϕ=＋等类型后，用基本结论2||T πω=或||T πω=来确定；③根据图象来判断．【变式1】【例题中的解析式改变了,选择题改为填空题】函数()()21cos2sin f x x x =+的最小正周期是__________． 【答案】2π 【解析】∵()()()2121cos2sin 122cos x f x x x cos x -=+=+⋅()2111cos 41cos 21222x x +⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭＝11cos 41cos 422244x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴函数()()21cos2sin f x x x =+的最小正周期是242T ππ==． 【变式2】【例题中的解析式改为了含有参数的解析式，求解问题改为确定参数的值】已知函数()sin 3cos f x kx kx =+的最小正周期是3π，则正数k 的值为＿＿＿＿＿＿．【答案】6【解析】∵()2sin 3f x kx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴263T k k ππ==⇒==． (二）三角函数的单调性例2 【2015新课标1】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( ）A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈ 【答案】D【方法技巧归纳】求解三角函数的单调性的方法:（1）三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．（2)已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法:①子集法：求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组)求解；②反子集法：由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解．【变式1】【例题中由图象先求解析式改为由文字条件求解析式，其它形式没改变】已知函数()()2sin 1(0,)f x x ωϕωϕπ=+-><的一个零点是3x π=，6x π=-是()y f x =的图像的一条对称轴，则ω取最小值时， ()f x 的单调增区间是( ）A ．713,3,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦B ．513,3,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦C ．212,2,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦D ．112,2,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】B【变式2】【例题中由图象先求解析式改为直接给出解析式，所求改为求某指定区间上的单调区间】函数()()sin 30f x x x x π=-≤≤的单调增区间是_________．【答案】,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为)3sin(2cos 3sin )(π-=-=x x x x f ,所以增区间为22322πππππ+≤-≤-k x k ,即65262ππππ+≤≤-k x k ,取0=k 可得656ππ≤≤-x ，又0≤≤-x π,故06≤≤-x π,应填答案,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． （三）三角函数的奇偶性例3 【2014安徽】若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ )A ．8π B.4π C ．83π D ．43π【答案】C【方法技巧归纳】求解三角函数的奇偶性的策略:(1）判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中,对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下,需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性；（2）两个常见结论：①若函数()()sin f x A x ωϕ=+为奇函数，则()k k Z ϕπ=∈;若函数()()sin f x A x ωϕ=+为偶函数，则()2k k Z πϕπ=+∈;②若函数()()cos f x A x ωϕ=+为奇函数,则()2k k Z πϕπ=+∈；若函数()()cos f x A x ωϕ=+为偶函数,则()k k Z ϕπ=∈．【变式1】【命题中由先求解析式改为直接给出解析,且由偶函数改为奇函数,所求基本不变】若函数()[]()cos 0,233x f x x ϕπ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭是奇函数，则ϕ=( ）A ．2π B ．23π C ．32π D ．53π【答案】C【解析】因为函数()[]()cos 0,233x f x x ϕπ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭是奇函数,所以()332x k k Z ϕππ+=+∈,所以0k =时,[]30,22πϕπ=∈，故选C ． 【变式2】【命题中解析式变为含有初相外的另一参数的非标准正弦型函数，所求解问题没有变】使函数()()()sin f x x x ωθωθ=++,22ππθ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦是奇函数,且最小正周期为π，则θ=＿＿＿．【答案】3π-【解析】函数()()()sin 22f x x x θθ=++=2sin 23x πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数,所以3k πθπ+=,即(),3k k Z πθπ=-∈．当0k =时，3πθ=-．（四)三角函数的对称性例4 【2016新课标2】若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为（ ）A ．x =26k ππ-（k ∈Z ）B ．x =26k ππ+(k ∈Z )C ．x =212k ππ-（k ∈Z ) D ．x =212k ππ+(k ∈Z ） 【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移π12个单位长度得函数π2sin 2()12y x =+＝π2sin(2)6x +的图像，则平移后函数图像的对称轴为ππ2π,62x k k +=+∈Z ,即ππ,62k x k =+∈Z ，故选B ． 【方法技巧归纳】求解三角函数对称性的方法：（1）求函数sin()y A x ωϕ=+的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题：①由sin y x =的对称中心是(0)k π，，k ∈Z ，所以sin()y A x ωϕ=+的中心，由方程x k ωϕπ+=解出x即可；②因为sin y x =的对称轴是2x k ππ=+，k ∈Z ，所以可由2x k πωϕπ+=+解出x ,即为函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴；(3)注意tan y x =的对称中心为1(,0)()2k k Z π∈；（2）对于函数sin()y A x ωϕ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验()0f x 的值进行判断．【变式1】【例题由正弦改为余弦，由求对称轴改为求对称中心】将函数π2cos 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位后，得到的图象的一个对称中心为（ ）A ．π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5π,012⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】将函数2cos 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移12π个单位后，得到的2cos 42cos 42sin412636y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象，令4x k π=，求得,4k x k Z π=∈，令1k =-，可得该函数的图象的一个中心对称中心为,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭,故选A ．【变式2】【由例题求函数的对称轴改为根据函数的对称性求解参数】如果函数()2sin 2y x ϕ=-的图像关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么ϕ的最小值为( ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】由题意，知42sin 203πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭,得423k πϕπ⨯-=，()83k k Z πϕπ=-+∈,则由条件，知当3k =时，ϕ的最小值为3π，故选C ． （五)三角函数的最值例5 【2017课标II 】函数23()sin 4f x x x =-([0,])2x π∈的最大值是____________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则()231cos 4f x x x =-+-＝21cos 4x x -++＝23(cos )12x --+，由[0,]2x π∈可得cos [0,1]x ∈，当3cos x =时，函数()f x 取得最大值1．【方法技巧归纳】求解三角函数的值域(最值）常见的题目类型及求解策略：（1）形如sin cos y a x b x k =++的三角函数化为sin()y A x k ωϕ=++的形式，再利用正弦曲线的知识求最值(值域）；（2）形如2sin sin y a x b x k =++的三角函数，可先设sin x t =，化为关于t 的二次函数求值域（最值)；(3）形如()sin cos sin cos y a x x b x x c =+±+的三角函数，可先设sin cos t x x =±,化为关于t 的二次函数求值域(最值）。
北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编：三角函数含答案
北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编三角函数一、选择、填空题1、（昌平区2017届高三上学期期末）已知函数()2sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的图象如图所示，则函数()f x 的解析式的值为（A)()2sin(2)6f x x π=+(B ）()2sin(2)3f x x π=+（C ）()2sin()6f x x π=+（D ）()2sin()3f x x π=+2、(朝阳区2017届高三上学期期末）在△ABC 中，已知45,2B AC BC ∠=︒=,则C ∠= ．3、（朝阳区2017届高三上学期期中）函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .4、（东城区2017届高三上学期期末）在△ABC 中，若2AB =，3AC =，60A ∠=，则BC = ; 若AD BC ⊥，则AD =_______．5、（丰台区2017届高三上学期期末）如果函数()sin 3cos f x x xωω=的两个相邻零点间的距离为2,那么(1)(2)(3)(9)f f f f ++++的值为（A ）1（B)-1(C 3（D ）3-6、(海淀区2017届高三上学期期末）已知函数2sin()y x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><。
① 若(0)1f =，则ϕ=________；② 若x ∃∈R ，使(2)()4f x f x +-=成立，则ω的最小值是________．7、（海淀区2017届高三上学期期中）已知函数42()cos sin f x x x=+，下列结论中错误．．的是A 。
()f x 是偶函数 B. 函数()f x 最小值为34C 。
π2是函数()f x 的一个周期D 。
函数()f x 在π0,2（）内是减函数8、（石景山区2017届高三上学期期末）已知ABC △中,AB =1BC ，sin C C，则ABC △的面积为 ．9、（通州区2017届高三上学期期末）在△ABC 中，2a =，3B π=,△ABC 的面积等于,则b 等于AB ．1CD ．10、(西城区2017届高三上学期期末）在△ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3C π=,sin 2sin B A =，则a =____．11、（昌平区2017届高三上学期期末）已知角α终边经过点(3,4)P ，则cos 2α=___________。
高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总
高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总高考文科数学题型分类汇总：三角函数篇本文旨在汇总高考文科数学中的三角函数题型，包括定义法求三角函数值、诱导公式的使用、三角函数的定义域或值域、三角函数的单调区间、三角函数的周期性、三角函数的图象变换和三角函数的恒等变换。
题型一：定义法求三角函数值这类题目要求根据三角函数的定义，求出给定角度的正弦、余弦、正切等函数值。
这类题目的难点在于熟练掌握三角函数的定义，以及对角度的准确度量。
题型二：诱导公式的使用诱导公式是指通过对已知的三角函数进行代数变形，得到新的三角函数值的公式。
这类题目需要熟练掌握各种诱导公式，以及灵活应用。
题型三：三角函数的定义域或值域这类题目要求确定三角函数的定义域或值域。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数的定义域和值域的概念和计算方法。
题型四：三角函数的单调区间这类题目要求确定三角函数的单调区间，即函数在哪些区间上单调递增或单调递减。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数单调性的判定方法。
题型五：三角函数的周期性这类题目要求确定三角函数的周期。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数周期的计算方法。
题型六：三角函数的图象变换这类题目要求根据给定的变换规律，确定三角函数图象的变化。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对图象变换的计算方法。
题型七：三角函数的恒等变换这类题目要求根据已知的三角函数恒等式，进行变形和推导。
需要掌握各种三角函数的恒等式，以及灵活应用。
2）已知角α的终边经过一点P，则可利用点P在单位圆上的性质，结合三角函数的定义求解．在求解过程中，需注意对角终边位置进行讨论，避免忽略或重复计算．例2已知sinα=0.8，且α∈[0,π2]，则cosα=．答案】0.6解析】∵sinα=0.8，∴cosα=±√1-sin²α=±0.6XXXα∈[0,π2]，∴cosα>0，故cosα=0.6易错点】忘记对cosα的正负进行讨论思维点拨】在求解三角函数值时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．同时，需根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型二诱导公式的使用例3已知tanα=√3，且α∈(0,π2)，则sin2α=．答案】34解析】∵ta nα=√3，∴α=π/30<α<π/2，∴0<2α<πsin2α=sin(π-2α)=sinπcos2α-cosπsin2α=-sin2α2sin2α=0，∴sin2α=0sin2α=3/4易错点】忘记利用诱导公式将sin2α转化为sin(π-2α)思维点拨】在解决三角函数的复合问题时，可利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三角函数的形式，从而简化计算．同时，需注意根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型三三角函数的定义域或值域例4已知f(x)=2sinx+cosx，则f(x)的值域为．答案】[−√5,√5]解析】∵f(x)=2sinx+cosx=√5(sin(x+α)+sin(α-x))，其中tanα=-121≤sin(x+α)≤1，-1≤sin(α-x)≤15≤f(x)≤√5f(x)的值域为[−√5,√5]易错点】忘记利用三角函数的性质将f(x)转化为含有同一三角函数的形式思维点拨】在确定三角函数的定义域或值域时，可利用三角函数的性质将其转化为含有同一三角函数的形式，从而方便计算．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其定义域或值域．题型四三角函数的单调区间例5已知f(x)=sin2x，则f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为．答案】[0,π/4]∪[3π/4,π]解析】∵f'(x)=2cos2x=2(2cos²x-1)=4cos²x-2f'(x)>0的充要条件为cosx12f(x)在[0,π/4]∪[3π/4,π]上单调递增易错点】忘记将f'(x)化简为含有同一三角函数的形式，或对于三角函数的单调性判断不熟练思维点拨】在求解三角函数的单调区间时，需先求出其导数，并将其化简为含有同一三角函数的形式．然后，利用三角函数的单调性进行判断，得出函数的单调区间．题型五三角函数的周期性例6已知f(x)=sin(2x+π)，则f(x)的周期为．答案】π解析】∵sin(2x+π)=sin2xcosπ+cos2xsinπ=-sin2xf(x)的周期为π易错点】忘记利用三角函数的周期性质思维点拨】在求解三角函数的周期时，需利用三角函数的周期性质，即f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其周期．题型六三角函数的图象变换例7已知f(x)=sinx，g(x)=sin(x-π4)，则g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移了．答案】π4解析】∵g(x)=sin(x-π4)=sinxcosπ4-cosxsinπ4g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移π4易错点】忘记利用三角函数的图象变换公式，或对于三角函数的图象不熟悉思维点拨】在求解三角函数的图象变换时，需利用三角函数的图象变换公式，即y=f(x±a)的图象相对于y=f(x)的图象向左（右）平移a个单位．同时，需对于各种三角函数的图象有一定的了解，以便准确判断图象的变化情况．题型七三角函数的恒等变换例8已知cosα=12，且α∈(0,π2)，则sin2α的值为．答案】34解析】∵cosα=12，∴sinα=√3/2sin2α=2sinαcosα=√3/2×1/2=3/4易错点】忘记利用三角函数的恒等变换公式思维点拨】在求解三角函数的恒等变换时，需熟练掌握三角函数的基本恒等式和常用恒等式，从而简化计算．同时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．已知角α的终边所在的直线方程，可以通过设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义来解决相关问题。
湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编：三角函数 含答案 精品
湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编三角函数2017.02一、选择、填空题1、（黄冈市2017届高三上学期期末）已知函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= A.35 B. 35- C. 45 D. 45- 2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）已知α为第四象限角，1sin cos 5αα+=，则tan 2α的值为 A.12-B.12C.13- D.13 3、（荆门市2017届高三元月调考）若将函数1π()sin(2)23f x x =+图象上的每一个点都向左平移π3个单位，得到()g x 的图象， 则函数()g x 的单调递增区间为A ．ππ[π,π]()44k k k Z -+∈B ．π3π[π,π]()44k k k Z ++∈C ．2ππ[π,π]()36k k k Z --∈D ．π5π[π,π]()1212k k k Z -+∈ 4、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）计算sin 46cos16cos314sin16⋅-⋅=AB．2CD ．125、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）已知1tan()42πα+=，且02πα-<<， 则22sin sin 2cos()4ααπα+-等于A． B．C．D6、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考）已知函数()()17sin cos 0326f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为2π，则6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.34 B. 327、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin a b C =，则tan tan tan A B C ++的最小值是（ ）A ．4 B．．8、（襄阳市2017届高三1月调研）已知2sin cos 2sin ,sin 22sin ,θθαθβ+==，则 A. cos 2cos βα= B. 22cos 2cos βα= C. cos 22cos 2βα= D. cos 22cos 2βα=-9、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考）已知函数()()()()()sin ,0cos ,0x x f x x x αβ+≤⎧⎪⎨->⎪⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是 A. ,48ππαβ==B. 2,36ππαβ== C. ,36ππαβ== D. 52,63ππαβ== 10、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）下列命题中正确的是（ ）A ．函数y sin x =，[]0,2x π∈是奇函数B ．函数y sin26x π=-（））在区间-63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减 C ．函数y 2sin(2)cos 2()36x x x R ππ⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程是6x π= D ．函数y sin cos x x ππ=的最小正周期为2，且它的最大值为111、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）已知()s i n2017c o s 201766f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A,若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为 A.2017πB.22017π C. 42017π D.4034π12、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin(2)3πθ+=（ ）A ．310--B ． 410--C ．310-D ．410- 13、（荆门市2017届高三元月调考）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC △的面积为S =，则ab 的最小值为 ▲ .14、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知1tan()42πα-=，则sin cos sin cos αααα+-的值为A ．1/2B ．2C ．2 2D ．-215、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考）在ABC ∆中，角60C =，且t an t a n 122A B+=，则sinsin 22A B⋅= . 16、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）函数()sin 25sin 2f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为 ．二、解答题1、（黄冈市2017届高三上学期期末） 函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将()y f x =的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()y g x =的图象. （1）求函数()y g x =的解析式； （2）在ABC ∆中，角A,B,C 满足22sin 123A B g C π+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，且其外接圆的半径R=2，求ABC ∆的面积的最大值.2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）已知函数3c o s s i n 2s i n 32)(2-+=x x x x f ，11[,]324x ππ∈． （Ⅰ）求函数)(x f 的值域；（Ⅱ）已知锐角ABC ∆的两边长分别为函数)(x f 的最大值与最小值，且ABC ∆的外接圆半径为423，求ABC ∆的面积．3、（荆门市2017届高三元月调考） 已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且（a ＋b ）（sinA －sinB ）＝（c －b ）sinC （Ⅰ）求∠A 的大小；（Ⅱ）若f （x 2cos cos 222x x x⋅＋，求f （B ）的取值范围．4、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知函数3c o s s i n 2s i n 32)(2-+=x x x x f ，11[,]324x ππ∈． （Ⅰ）求函数)(x f 的值域；（Ⅱ）已知锐角ABC ∆的两边长分别为函数)(x f 的最大值与最小值，且ABC ∆的外接圆半径为423，求ABC ∆的面积．5、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）已知函数()sin cos f x ax x x =+，且()f x 在4x π=. （Ⅰ）求a 的值，并讨论()f x 在[,]ππ-上的单调性；（Ⅱ）设函数1()ln(1),01xg x mx x x-=++≥+，其中0m >，若对任意的1[0,)x ∈+∞总存在2[0,]2x π∈，使得12()()g x f x ≥成立，求m 的取值范围.6、（襄阳市2017届高三1月调研）已知函数()22sin cos .f x x x x =+ (1)求函数()f x 的单调区间； (2)当,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值.7、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考）在ABC ∆中，角,,A B C 的的对边分别为,,a b c （1）若,,a b c 成等比数列，12cos 13B =，求cos cos sin sin A CA C+的值；（2）若,,A B C 成等差数列，且2b =，设A α=，ABC ∆的周长为l ，求()l f α=的最大值.8、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1cos .2b c a C -= （1）求角A ;（2）若()43,b c bc a +==ABC ∆的面积S .9、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知231()cos cos 224f x x x x =+-. （Ⅰ）求()y f x =的最小正周期T 及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若5(),14f A a ==，求ABC ∆面积的最大值.参考答案一、选择、填空题1、D2、C3、B4、D5、A6、A7、C8、C9、B10、B 11、B 12、C13、1214、B1516、14.4二、解答题1、（Ⅰ）由图知，解得∵∴，即由于，因此……………………3分∴∴即函数的解析式为………………6分（Ⅱ）∵∴∵，即，所以或1（舍），……8分由正弦定理得，解得由余弦定理得∴，（当且仅当a =b 等号成立）∴∴的面积最大值为.……………………12分2、（Ⅰ）2()2sin cos 2sin(2)3f x x x x x π=+=-……….3分又117,2,sin(2)132433123x x x ππππππ≤≤∴≤-≤≤-≤ ∴函数()f x的值域为⎤⎦ ……………………………………6分（Ⅱ）依题意不妨设2,a b ABC ==∆的外接圆半径r =，sin 2323a b A B r r ======……………………8分1cos 3A B ==sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=…………………..10分11sin 2223ABC S ab C ∆∴==⨯=分 3、解：（1）因为()(sin sin )()sin .a b A B c b C +-=-由正弦定理有()()()a b a b c b c +-=- 即有222b c a bc +-=.由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，60A ∴=︒ …………6分 （2）由题，21()cos cos sin 22262B B B f B B π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 且在锐角ABC ∆中，62B ππ<<，2363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，()f B ∴的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.…………12分4、（Ⅰ）2()2sin cos 2sin(2)3f x x x x x π=+=-……….3分又117,2,sin(2)132433123x x x ππππππ≤≤∴≤-≤≤-≤ ∴函数()f x的值域为⎤⎦ ……………………………………6分（Ⅱ）依题意不妨设2,a b ABC ==∆的外接圆半径r =，sin 2222a b A B r r ======分1cos 3A B ==sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=…………………..10分11sin 222ABC S ab C ∆∴==⨯=分 5、 【解析】（Ⅰ）∵()sin cos sin (1)sin cos f x a x ax x x a x ax x '=+-=-+ ………………1分222()(1)44f a a πππ'=-+=∴1a =，()cos f x x x '=………………………………………………………3分 当()0f x '>时，2x ππ-<<-或02x π<<当()0f x '<时，02x π-<<或2x ππ<<∴()f x 在(,),(0,)22πππ--上单调递增；在(,0),(,)22πππ-上单调递减 (6)分（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，()f x 单调递增，∴min ()(0)1f x f ==，则只需()1g x ≥在[0,)x ∈+∞上恒成立即可 (7)分222()()(0,0)(1)(1)m m x m g x x m mx x -+'=≥>++①当2m ≥时，20m m-≥ ∴()0g x '≥在[0,)+∞上恒成立， 即()g x 在[0,)+∞上单调递增 又(0)1g =，∴()1g x ≥∴()1g x ≥在[0,)+∞上恒成立，故2m ≥时成立；………………………9分 ②当02m <<，x ∈时，()0g x '<，此时()g x 单调递减 ∴()(0)1g x g <=，故02m <<时不成立....................................11分 综上所述，m 的取值范围是[2,)+∞ (12)分6、(Ⅰ)解：错误！未找到引用源。
2017届高三数学-解三角形-专题练习-答案
2）因为3⋅=，BA BC=）可知cos Bac2017届高三数学专题练习解三角形解析【重点把关】1．解析：由正弦定理可得sin A===．因为a=<b=，所以0<A<，所以A=，故选B．2．解析：已知等式利用正弦定理化简得=，即c2-b2=ac-a2，所以a2+c2-b2=ac，所以cos B==，因为B为三角形的内角，所以B=．故选C．3．解析：因为bcos B=acos A，所以sin Bcos B=sin Acos A，所以sin 2A=sin 2B，所以A=B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，即△ABC为等腰或直角三角形，故选C．4．解析：因为△ABC中，asin Asin B+bcos2A=a，所以根据正弦定理，得sin2Asin B+sin Bcos2A=sin A，可得sin B(sin2A+cos2A)=sin A，因为sin2A+cos2A=1，所以sin B=sin A，可得=．故选C．5．解析：因为在锐角△ABC中，sin A=，S△ABC=，所以bcsin A=bc×=，所以bc=3，①又a=2，A是锐角，所以cos A==，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，即(b+c)2=a2+2bc(1+cos A)=4+6(1+)=12，所以b+c=2，②由①②得解得b=c=．故选A．6．解析：因为b2+c2+bc-a2=0，所以cos A==-，所以A=120°．由正弦定理可得====．故选B．7．解析：因为82+52-2×8×5×cos(π-D)=32+52-2×3×5×cos D⇒cos D=-，所以AC==7．答案：78．解析：因为∠A=60°，所以∠BOC=120°．又·=-，设△ABC外接圆半径为R，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，所以·=R2·cos∠BOC=-．所以R=1．由正弦定理得，=2R，所以a=2×sin 60°=．由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos A，即3=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3×()2，所以b+c≤2，所以a+b+c≤3，即三角形ABC周长的最大值为3．答案：39．【能力提升】10．解析：依题意可知1-cos Acos B-cos2=0，因为cos2===，所以1-cos Acos B-=0，整理得cos(A-B)=1，所以A=B，所以三角形为等腰三角形．故选B．11．解析：因为BD=2DC，所以设CD=x，AD=y，则BD=2x，因为cos ∠DAC=，cos C=，所以sin ∠DAC=，sin C=，则由正弦定理得=，即=，即y=x，sin ∠ADB=sin(∠DAC+∠C)=×+×=，则∠ADB=，∠ADC=，在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2AD·BDcos ，即2=4x2+2x2-2×2x×x×=2x2，即x2=1，解得x=1，即BD=2，CD=1，AD=，在△ACD中，AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos =2+1-2××(-)=5，即AC=．答案：。
误区6.2 含参数不等式的讨论不当失误-2017届高三数学跨越一本线(原卷版)
2017届高三数学跨越一本线精品误区二：含参数不等式的讨论不当失误解含参数不等式是不等式学习的重要内容,是中学数学培养分类讨论能力的主要题型．初学这部分往往对分类讨论分而不全,等价变形变而不等价,盲目套用等式有关性质,从而导致解解题失误．对于含参数的不等式,其求解比较复杂,常涉及分类讨论思想、转化思想、数形结合思想等,求解时稍有不慎就会出错．其错误表现为：忽略对系数为零情况的判断、忽略对判别式的判断、忽略对根的大小关系的判断、忽略系数为负时对不等式的转化等．解决的办法是了解这样一些常见的错误形式,其次是对不等式中的参数所引起的各种情况有充足的认识．一、忽略二次项系数为零而导致错误 【例1】若函数y ＝kx 2－6kx ＋k ＋的定义域为R ,则k 的取值范围是________．【错解】0<k ≤1． 由题意知kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0恒成立,∴⎩⎪⎨⎪⎧k >0Δ＝36k 2－4k k ＋,∴0<k ≤1,即k 的取值范围是0<k ≤1．【辨析】错解忽视了k ＝0时,kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0也成立,考虑问题不全面导致错误． 【正解】0≤k ≤1．由题意kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0恒成立．当k ＝0时满足,当k ≠0时⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0△＝36k 2－4k k ＋,∴0＜k ≤1,综上得0≤k ≤1．【小试牛刀】【2017山东潍坊寿光市上期中】若关于x 的不等式012>+-kx kx 的解集为R ,则实数k 的取值范围是 .二、忽略根的大小关系而导致错误一元二次不等式的求解,一般是依据对应方程的根来完成的,由于根中含有参数,有时由于草率没有对根的大小关系作出判断就轻易地给出不等式的解集而犯错误． 【例2】解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0．【错解】原不等式化为a (x －1a)(x －1)<0,∴当a >1时,不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1；当a <1时,不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a ．【错因分析】 解本题容易出现的错误是：(1)认定这个不等式就是一元二次不等式,忽视了对a ＝0时的讨论；(2)在不等式两端约掉系数a 时,若a <0,忘记改变不等号的方向；(3)忽视了对根的大小的讨论,特别是等根的讨论；(4)分类讨论后,最后对结论不进行整合．综上所述,当a <0时,不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(1,＋∞)；当a ＝0时,不等式的解集为(1,＋∞)；当0<a <1时,不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫1，1a ；当a ＝1时,不等式的解集为∅；当a >1时,不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，1．【点评】含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是不是二次不等式,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集． 【小试牛刀】解关于x 的不等式22560x ax a +-<． 三、忽略对根的判别式的讨论而导致错误由于不等式系数中含有参数,没有注意到参数范围的影响而一味的认为对应方程有实数根,而导致错误． 【例3】解关于x 的不等式240x ax ++>．【错解】由方程240x ax ++=,得1,2x =,∴不等式的解集为x x x 禳镲<睚镲铪．（3）当0D>时,即4a <-或4a >时,原不等式的解集为x x x 禳镲<睚镲铪．综上所述：（1）当4a <-或4a >时,原不等式的解集为x x x 禳镲<睚镲铪；（2）当4a =-时,原不等式的解集为{}2x x ¹；（3）当44a -<<时,原不等式的解集为R ； （4）当4a =时,原不等式的解集为{}2x x ?．【点评】讨论判别式时应按判别式D 的符号分类,即分0,0,0D>D=D<三种情况讨论． 【小试牛刀】设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ,如果M ⊆[1,4],求实数a 的取值范围． 【总结】对于含有参数的不等式,由于参数的取值范围不同,其结果就不同,因此必须对参数进行讨论,即要产生一个划分参数的标准．1．对于含参数的一元一次不等式：()00,0,0ax b +><常,按一次项系数0,0,0a a a >=<三种情况讨论． 2．对于解含有参数的二次不等式,一般讨论的顺序是：（1）讨论二次项系数：当二次项系数含参数时,按2x 项的系数a 的符号分类,即分0,0,0a a a >=<三种情况讨论；（2）讨论判别式：按判别式D 的符号分类,即分0,0,0D>D=D<三种情况讨论；（3）讨论对应二次方程两根的大小：按对应方程20ax bx c ++=的根12,x x 的大小分类,即分121212,,x x x x x x >=<三种情况讨论．3．把遇到的每一个需要讨论的点按从小到大的顺序标在数轴上,然后按照从左到右的每一个区间和端点进行讨论．总之,解含参数的不等式的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键．”【迁移运用】1.【2017学年黑龙江鹤岗一中上学期期中】若032≥+++a ax ax 对一切实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是（ ）A ．)0,4(-B ．),0()4,(+∞--∞C ．),0[+∞D ．]0,4(- 2.【2017河南漯河高级中学12月月考】若不等式2322x ax a -≤-+≤-有唯一解,则a 的值是（ ）A ．2或-1B D ．2 3．【2016-2017学年广西陆川县中学12月月考】关于x 的不等式2210ax x -+<的解集非空的一个必要不充分条件是（ ）A ．1a <B ．1a ≤C ．01a <<D ．0a <4．【2017届湖南师大附中高三上学期月考】若01a <<,则关于x 的不等式1()()0a x x a-->的解集是 ．5．【2017届广东七校联合体高三上学期联考】已知函数()2f x x x a =-,若存在[]1,2x ∈,使得()2f x <,则实数a 的取值范围是 _____________．6．【2017学年安徽六安一中高二上学期周检】已知关于x 的不等式()()2440ax x x --->的解集为A ,且A 中共含有n 个整数,则当n 最小时实数a 的值为 ．7．【2017届河南南阳一中高三上学期月考】已知当11a -≤≤时,2(4)420x a x a +-+->恒成立,则实数x 的取值范围是 ．8．【2016-2017学年福建连城县一中高二上学期期中】若关于x 的不等式23x ax a --≤-解集不是空集,则实数a 的取值范围是________． 9．【2017江西吉安一中期中】若2log 13a<,则a 的取值范围是____________. 10.设a ∈R ,若x >0时均有[(a －1)x －1]·(x 2－ax －1)≥0,则a ＝________. 11.解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).12．【2017广东清远三中上学期月考】已知关于x 的不等式0122<+--m x mx .（1）是否存在m 使对所有的实数x ,不等式恒成立？若存在,求出m 的取值范围；若不存在,请说明理由； （2）设不等式对于满足2||≤m 的一切m 的值都成立,求x 的取值范围.13．【2016-2017学年福建福州八县一中高二理期中联考】已知2(),f x ax x a a R =+-∈.（1）若不等式()f x b <的解集为(,1)(3,)-∞-+∞,求,a b 的值；（2）若0a <,解不等式()1f x >. 14.解关于x 的不等式：a （x －1）x －2＞1(a ＜1).15．解不等式：()0122>+++x a ax。
2017年高考数学—三角函数(解答+答案)
2017年高考数学—三角函数（解答+答案）1.（17全国1理17．（12分））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin sin B C ;（2）若6cos cos 1,3B C a ==，求△ABC 的周长.2.（17全国2理17.（12分））ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=， （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b ．3.（17全国3理17．（12分））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0,2A A a b +===（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．4.（17北京理（15）（本小题13分））在ABC ∆中，360,7A c a ∠==o（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若7a =，求ABC ∆的面积.已知函数())2sin cos 3f x x x x π=--（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求证：当[,]44x ππ∈-时，1()2f x ≥-6.（17山东理16）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=. （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.7.（17山东文（17）（本小题满分12分））在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=3，6AB AC =-u u r u u u rg ,3ABC S ∆=，求A 和a 。
8.（17天津理15.（本小题满分13分））在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.10.（17浙江18．（本题满分14分））已知函数22()sin cos 23sin cos ()f x x x x x x R =--∈（Ⅰ）求2()3f π的值. （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.11.（17江苏16. （本小题满分14分））已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,]a x x b x π==-∈. （1）若//a b ，求x 的值； （2）记,求()f x 的最大值和最小值以及对应x 的值参考答案：1.解：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =故2sin sin 3B C =。
2017年高考数学—三角函数(选择+填空+答案)
2017年高考数学—三角函数（选择+填空+答案）1.（17全国1理9）已知曲线122:cos ,:sin(2)3C y x C y x π==+，则下面结论正确的是 A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 2.（17全国1文8）.函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为3.（17全国1文11）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π34.（17全国2文3）函数()sin(2)3f x x π=+的最小正周期为A.4πB.2πC. πD.2π 5.（17全国3文4）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α= A ．79-B ．29-C ．29D ．796.（17全国3文6）函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为 A ．65 B ．1 C ．35 D ．157.（17全国3文7）函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．8.（17山东理（9））在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 9.（17山东文（4））已知34cosx =,则2cos x = A ．-14B. 14C. - 18D.1810.（17山东文（7））函数sin2cos23+=y x x 最小正周期为A.2πB.23πC.πD.2π11.（17天津理（7））设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=12.（17全国3理6）设函数()cos()3f x x π=+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在(,)2ππ单调递减13. （17全国1文15）已知π(0)2a ∈，,tan α=2，则πcos ()4α-=__________。
被忽略函数定义域的几种常见问题
2018年第6期 福建中学数学 45被忽略函数定义域的几种常见问题许沐英 福建省莆田市第四中学（351100）函数是高考的重要内容，也是常考不衰的一个热点，而函数的定义域是函数三大因素重中之重，在研究函数各种性质时如果忽略它，常常会使解题出现各种不必要的错误．本文就针对高中几种常见忽略定义域的典型问题进行归纳和总结，希望考生能够应试中更好地解决问题． 忽略1 判断函数奇偶性时忽略定义域 求解函数的奇偶性时，根据定义是有两个条件的，首先先留意定义域是否关于原点对称，若该定义域没有关于原点对称，则函数没有奇偶性可谈，反之再用与()f x 的关系加以判断． 例1判断函数()f x =的奇偶性．错解 因为()()f x f x −≠，()()f x f x −≠−−，依据定义得出原函数是非奇非偶函数．正解 本题就是忽略定义域， 240x −≥且|3|30x +−≠，22x ∴−≤≤且0x ≠，由此原函数化为()f x =， ()()f x f x ∴−=−，则该函数是奇函数．点评 函数能否具备奇偶性的必要条件是定义域能否关于原点对称，因此在解答相似判断函数奇偶性问题时必需优先求解函数的定义域，否则不等价就把绝对值符号去掉，会得出错误的判断．忽略2 求解函数单调区间时忽略定义域 例2 求出此函数22log 2y t t x x ，==−的单调递减区间．错解 依照复合函数单调性的口诀：同增异减． 因对数函数2log y t =是递增函数，而函数22t x x =−的减区间为[1+)，∞，则函数22()log (2)f x x x =−的递减区间是[1+)，∞． 正解 此题也是同样忽略对数函数的定义域造成解题失误，所以应由220x x −>，得(02)x ∈，，不难求函数22()log (2)f x x x =−的递减区间是[1+)，∞．点评 求解函数单调区间时再次显示定义域不容忽视，单调区间是定义域的子集，意识这个问题后，才能正确把握函数的性质． 忽略3 求解函数最值（值域）忽略定义域 例3求函数y =的值域．错解2y = ，令t =[2+)，∞． 正解 这里在利用换元时忽略考虑定义域，此时的2t =≥，1y t t=+在[1+)t ，∈∞时单调递增，得到值域为5[)2y ，∈+∞．而本题在此处使用均值不等式求最值时，也忽略了要考虑一正二定相等中等号成立的条件，x 无解．点评 求函数的值域时，不单要关注对应法则，而且更要关注换元后变量定义域的变化，高中生很容易在这个知识点上犯错误．忽略4 求解函数周期时忽略定义域例4 求函数2tan 1tan xy x=−的最小正周期．错解 从公式二倍角的变形得：2tan 1tan 221tan x y x x ==−，因此2T π=． 正解 在运用公式时，应等价转化成立的条件，即函数2tan 1tan x y x =−中(0)0()2f f ，π=无意义，故本题的最小正周期不是2π，若能注意定义域对函数性质的约束作用，可以选择其它解题方向，通过画图得到T =π．点评 由()()f x f x T =+知周期性的定义具备整体性，从()()f x f x T =+式子可以获悉，若x 任取定义域某一个数时，则x T +也必需在其定义域内，所以在处理函数的周期性问题时，必须先考虑定义域．忽略5 求解函数解析式时忽略定义域例5 若2211()f x x x x+=+，求()f x 的解析式．46 福建中学数学 2018年第6期 错解 令1t x x =+，2()2f t t =−，2()2f x x ∴=−．正解 其中1t x x =+时，1t x x=+根据基本不等式范围已经发生了很大的变化，2()2(2f x x x ∴=−≥或2)x ≤−．点评 有些比较复杂的函数在求解析式时，往往要对函数式先作变形后再作恒换元，那么考生在变形时一定要注意恒等变换，尤其是新变量定义域的变化．忽略6 作答函数图象时忽略定义域高中有些函数给出的解析式不是基本初等函数，所以首先要作的步骤是对表达式进行有效化简，而在化简时假如没有留意整个变形过程的等价性，作出的函数图象就会改变原有函数的性质．例6 作出函数lg|2|10x y =的图象．错解 由函数lg|2|10=|2|x y x =，其可以得出图象如图1所示．正解 事实上所画图象是错的，因为本题在函数式恒等变式后没有关注原函数的定义域，对数的真数大于0得原函数的定义域是(0)(0)−∞∪+∞，，．因此图象应该如图2．点评 初学者防范这一点不是那么容易的，一定要把定义域优先原则牢牢记住．总而言之，函数的定义域看起来似乎是那么不起眼，但是忽视它会给解题带来不可预估的错误．所以解题时一定要注意定义域优先原则，做到有效防范，同时要始终提高学生的思维品质，培养学生思维的严谨性．函数思想方法在非函数型不等式中的运用黄如炎 福建省闽清教师进修学校（350800）有些难度较大的不等式（最值）问题，表面看似与函数无关但背后往往蕴藏着某个函数，如能揭示所隐含的函数，通过研究函数的性质与图象可化难为易．此类不等式（最值）问题在近年高考压轴题、竞赛题和数学问题中时有出现，学生不知所措，束手无策，应引起教师教学上的重视．运用函数思想方法解决非函数型不等式（最值）问题的关键在于根据不等式结构特征或将不等式变形转化后构建以某个量为自变量的函数，利用导数研究函数的单调性、最值、极值、切线和图象后使问题获解．探寻与构建不等式中蕴藏函数的方法机智灵活多样，主要有以下几种情境与对策．例1 不等式22ln 1x x x +<解集是 ． 思路探寻 超越不等式无法直接求解，化为2x −2ln 10x x −>，构建函数2()2ln 1f x x x x =−−，(1)f =0，()22ln 2f x x x ′=−−，令()22ln 2g x x x =−−，()g x ′22x =−，当(1)x ∈+∞，时，()0g x ′>，()g x 递增；当(01)x ∈，时，()0g x ′<，()g x 递减，所以()(1)g x g ≥=0，从而()f x 在(0)+∞，递增，又(1)0f =，故1x >，即原不等式解集为(1)+∞，． 方法提炼 对无法直接求解的超越不等式，常构建函数求解． 例2 （2012年高考江苏卷·理14改编）已知0a >，0b >，280a b c −+≤，20a b c −+≥，ln c b b + ln b a ≤，则a cb −取值范围是 ． 思路探寻 为减少字母个数，对齐次不等式两边同除以b ，令a x b =，c y b =，则已知不等式转化为2x + 80y −≤，20x y +−≥，ln y x ≤．构建函数()ln f x x =，设a c x y s b−=−=，根据不等式所围成的可行域，当动直线x y s −=与曲线()ln f x x =相切时s 最小，当动直线x y s −=过直线280x y +−=和20x y +−=交点(64)A ，时S 最大．设直线x y s −=和曲线()ln f x x=相切于00()B x y ，，由1()f x x ′=，得011x =，00ln y x =图2。
(完整word)(完整word版)2017年高考数学理试题分类汇编：三角函数,推荐文档
2017年高考数学理试题分类汇编：三角函数一．填空选择题1. (2017年天津卷文)设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><．若5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，则（A ）2π,312ωϕ==（B ）211π,312ωϕ==-（C ）111π,324ωϕ==-（D ）17π,324ωϕ==【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由||πϕ<得12ϕπ=，故选A ．2. (2017年天津卷理)设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．3. ( 2017年全国Ⅲ卷文)ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知3,6,600===c b C ，则=A ________15【解析】 根据正弦定理有：Bsin 660sin 30=22sin =∴B 又b c >Θ045=∴B 075=∴A4. (2017年新课标Ⅰ) 9．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D5. ( 2017年新课标Ⅱ卷理) 14.函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． 【答案】1【解析】()22311cos cos 44f x x x x x =-+-=-++ 2cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么[]cos 0,1x ∈，当cos x =时，函数取得最大值1. 6. (2017年浙江卷) 14．已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2. 点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______.【答案】,24【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1cos ,sin 44DBC DBC ∴∠=-∠==，BC 1sin 22D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=△又21cos 12sin ,sin 44DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，cos sin BDC DBF ∴∠=∠=，综上可得，△BCD cos BDC ∠=.7. ( 2017年新课标Ⅱ文). 13函数()cos sin =2+fx x x.8. ( 2017年新课标Ⅱ文) 16.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=3π9. ( 2017年新课标Ⅱ文) 3.函数()fx =πsin （2x+）3的最小正周期为 (C)A.4πB.2πC. πD.2π10. (2017年浙江卷) 11．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位学.科.网，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，=6S .【解析】将正六边形分割为6个等边三角形，则233)60sin 1121(66=⨯⨯⨯⨯=οS11. (2017年北京卷理) （12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，cos()αβ-=___________. 【答案】79- 【解析】2227sin sin ,cos cos cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 19βαβααβαβαβααα==-∴-=+=-+=-=-Q12. (2017年新课标Ⅰ文)已知π(0)2a ∈，,tan α=2，则πcos ()4α-____。
高考数学解题方法专题讲解(15)易错警示：三角函数求值忽视角的范围致误
高考数学解题方法专题讲解专题(十五) 易错警示：三角函数求值忽视角的范围致误[例] (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为________；(2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝________.易错分析：(1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误．(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角．解析：(1)∵0<β<π2<α<π，∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459， ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.(2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34，∴π2<B <π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2<B <A ＋B <π，sin(A ＋B )＝23，∴cos(A ＋B )＝－1－sin 2(A ＋B )＝－53，∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋23×74＝35＋2712. 答案：(1)－239729 (2)35＋2712温馨提醒：在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．方法与技巧：1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2， 配方变形：1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．失误与防范：1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．。
[精品]2017年全国高考数学考前复习专题2.1三角函数解三角形和答案
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【知识网络】【考点聚焦】对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）．1.原题（必修4第十页A组第五题）变式1下列说法中正确的是( )A ．第一象限角一定不是负角B ．－831°是第四象限角C ．钝角一定是第二象限角D ．终边与始边均相同的角一定相等 【答案】C.变式2 已知θ为第二象限角，那么3θ是（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第一或四象限角 C. 第二或四象限角 D. 第一、二或第四象限角 【答案】D.【答案】C. 【解析】22,(),,(),2422k k k Z k k k Z ππαππαππππ+<<+∈+<<+∈当2,()k n n Z =∈时，2α在第一象限；当21,()k n n Z =+∈时，2α在第三象限；而coscoscos0222ααα=-⇒≤，2α∴在第三象限；答案：C .2.原题（必修4第十页B 组第二题）变式时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )A.143 π B．－143 πC.718 πD ．－718π【答案】B.【解析】显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制表示就是－4π－13×2π＝－143π.故选B.3.原题（必修4第十九页例6）变式 （1）已知sin α13=，且α为第二象限角，求tan α；（2）已知sin α=m (0,1)m m ≠≠±，求tan α. 【解析】（1）1sin 3α=，且α为第二象限角，cos α∴=sin tan cos ααα∴== （2）sin (0,1)m m m α=≠≠±，α∴为象限角.当α为第一或第四象限角时，cos αtan α=α为第二或第三象限角时，cos α=tan α=，综上，tan α.4.原题（必修4第十九页例7）变式 若sin cos 1,sin cos 1,a b ab θθθθ+=-=则的值是（ ）【答案】B.5.原题（必修4第二十二页习题 1.2B 组第二题）变式 化简为（ ）A. 2tan x C. 2tan x -B. 2tan x ± D. 不能确定 【答案】C.【解析】:C .原式=2tan 2,4432tan 2,44xx k k x x k k ππππππππ⎧⎛⎫∈-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-∈++ ⎪⎪⎝⎭⎩6.原题（必修4第二十二页B 组第三题）变式 已知tan 2α=，计算：（1）2sin cos sin 2cos αααα-+； （2）22sin sin cos 2cos αααα+-【解析】：（1）原式2tan 13tan 24αα-==+；（2）原式2222sin sin cos 2cos sin cos αααααα+-=+22tan tan 24tan 15ααα+-==+ 7.原题（必修4第二十三页探究）变式1( )A.sin 2cos 2+B.cos 2sin 2-C.sin 2cos 2-D.±cos 2sin 2- 【答案】C.【答案】B. 【解析】(2001)sin(2001)cos(2001)4sin()cos()f a b a b παβαβ=++π++=π++π+ sin cos 45a b αβ=--+=,sin cos 1a b αβ∴--=,(2010)sin(2010)cos(2010)4sin cos 4143f a b a b αβαβ=π++π++=++=-+=8.原题（必修4第二十七页例4）变式 已知角x 终边上的一点P （-4，3），则()cos sin 29cos sin 22x x x x ππππ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为. 【解析】()cos sin sin sin 2tan 9sin cos cos sin 22x x x x x x x x x ππππ⎛⎫+-- ⎪-∙⎝⎭==-∙⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据三角函数的定义，可知33tan ,=-tan 44y x x x ==-=所以原式 9.原题（必修4第四十一页练习题6）变式 函数12log cos 34x y π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递增区间为.【解析】1122log cos log cos 3434x x y ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，∴所求的递增区间就是使cos 34x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值为正值的递减区间，由22,342x k k k zππππ≤+〈+∈得：3366,.44k x k k z ππππ-+≤〈+∈∴所求的递增区间为()336,644k k k z ππππ⎡⎫-++∈⎪⎢⎣⎭答案：()336,644k k k z ππππ⎡⎫-++∈⎪⎢⎣⎭10.原题（必修4第五十三页例1）变式 设ω>0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx＋π3的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3 【答案】C.11.原题（必修4第五十六页练习题3）变式 sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的振幅为______，频率和初相分别为______，______.【解析】 21π4π-12.原题（必修4第五十八页例4）变式 某正弦交流电的电压（单位V ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是),[0,)6v t t ππ=-∈+∞.（1）求该正弦交流电电压的周期、频率、振幅； （2）当1600t =，160时，求瞬时电压； （3）将此电压加在激发电压、熄灭电压均为84V 的霓虹灯的两端，求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？（说明：加在霓虹灯管两端电压大于84V 时灯管才发光.1.4≈）【解析】（1）周期2110050T ππ==，频率150f T==，振幅A =（2）1600t =时，1)06006v ππ=⨯-==（V ）；160t =时，13)6062v πππ=⨯-==-V ）. （3）由)846t ππ-> 1.4，得1sin(100)62t ππ->.结合正弦图象，取半个周期，有5100666t ππππ<-<，解得11300100t <<. 所以，半个周期内霓虹灯管点亮的时间为112100300300-=（s ）. 13.原题（必修4第六十页例2）变式 在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、2tan(2)3y x π=+中，最小正周期为π的函数的个数为（） A ．个 B ．个 C ．个 D ．个14.原题（必修4第六十九页复习参考题A 组第八题）变式 已知1tan tan αα，是关于的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且παπ273<<，求2sin cos sin ααα+的值．【解析】21tan 31,2tan k k αα⋅=-=∴=±，而παπ273<<，则1t a n 2,t a n kαα+==得tan 1α=，则222222sin cos sin tan tan sin cos sin 1cos sin 1tan ααααααααααα+++===++. 15.原题（必修4第七十一页复习参考题B 组第六题）变式 已知222121,yx y u x x-==+则的值域为. 【解析】221,x y -=()22221cos tan 12tan cos 2sin sin 2sin 1sec sin 12,1sin 1x sec y u sec θθθθθθθθθθθθ⎧==⎪∴⎨⎪=⎩∴=+=+=-++=--+-〈〈可设其中 sin u θ随的增大而增大.sin 12,sin 12u u θθ→-→-→→又当时，当时，∴所求值域为（-1，2）.16.原题（必修4第一百二十七页例2）变式 已知431c o s ,,,t a n ,,,5232πααππββπ⎛⎫⎛⎫=-∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求()cos αβ+.17.原题（必修4第137页A 组第十题）已知：αtan ，βtan 是方程0382=--x x 的两根，试求)tan(βα+的值.变式 已知：αt a n ,βtan 是方程0382=--x x 的两根，求2)c o s ()s i n (3)(s i n 2+++-+βαβαβα的值.【解析】由题意有8tan tan =+βα，3tan tan -=βα， ∴2)3(18tan tan 1tan tan )tan(=--=-+=+βαβαβα，∴2)cos()sin(3)(sin 2+++-+βαβαβα)(cos )(sin )](cos )([sin 2)cos()sin(3)(sin 22222βαβαβαβαβαβαβα+++++++++-+=5812223231)(tan 2)tan(3)(tan 32222=++⨯-⨯=++++-+=βαβαβα.18.原题（必修4第一百三十九页例1）变式 +的结果是. 【解析】2sin219.原题（必修4第147页复习参考题B 组第七题）变式如图，正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为AB 、DA 上的点，当∠PCQ=045时，求△APQ 的周长.20.原题（必修4第一百四十七页复习参考题B 组第六题）变式 若函数2()22cos f x x x m ++在区间[0,]2π上的最小值为3，求常数m 的值及此函数当[,]x a a π∈+(其中可取任意实数)时的最大值.21.原题（必修5第3页例1）变式 ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3C π=，326,a c ==则的值为（ ）B 1C 1D【解析】先求出sin A ，再求出sinB ，最后用一次正弦定理即得.选D. 22.原题（必修5第10页习题1.1A 组第2题）变式1 在三角形ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A ．a=8 b=16 A=30︒ B. a=25 b=30 A=150︒ C. a=30 b=40 A=30︒ D. a=72 b=60 A=135︒ 【解析】C.变式2 在△ABC 中，已知a =b B =45︒ ，求A 、C 及c .23.原题（必修5第10页习题1.1B 组第2题）变式 （2010辽宁）在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.【解析】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++ 即222a b c bc =++，由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-，故1cos 2A =-，A=120° （Ⅱ）由（Ⅰ）得：sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒-1sin 2sin(60)B BB =+=︒+ 故当B=30°时，sinB+sinC 取得最大值1.24.原题（必修5第11页例2）变式 如图,为了测量河对岸两个建筑物C 、D 之间的距离,在河岸这边取两点A 、B,测得∠BAC=45°,∠DAC=75°,∠ABD=30°,∠DBC=45°.又AB=千米,A 、B 、C 、D 在同一平面内,试求C 、D 之间的距离.25.原题（必修5第19页习题1.2A 组第1题）变式 一只船以均匀的速度由A 点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A 点观测灯塔C 的方位角为30°，行驶60海里后，船在B 点观测灯塔C 的方位角为45°，求A 到C 的距离．【解析】A 到C 的距离为60+海里． 【感受高考】1.【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为( )（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B 【解析】试题分析：因为4x π=-为()f x 的零点,4x π=为()f x 图像的对称轴,所以()444T kT ππ--=+,即41412244k k T ππω++==⋅,所以41(*)k k N ω=+∈,又因为()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调,所以5236181222T ππππω-=≤=,即12ω≤,由此ω的最大值为9.故选B.2.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度（C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D 【解析】试题分析：由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D.3.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ）（A ）725（B ）15 （C ）15-（D ）725-【答案】D4.【2016高考新课标1卷】 ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （I ）求C ；（II ）若c ABC =∆的面积为2,求ABC 的周长． 【答案】（I ）C 3π=（II ）5【解析】（II ）由已知,1sin C 22ab =． 又C 3π=,所以6ab =．由已知及余弦定理得,222cosC 7a b ab +-=．故2213a b +=,从而()225a b +=．所以C ∆AB 的周长为5+5.【2016高考天津理数】已知函数f(x)=4tanxsin(2x π-)cos(3x π-(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间,44ππ-]上的单调性. 【答案】（Ⅰ）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，.π（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()()=2sin 23f x x π-，再根据正弦函数性质求定义域、周期()II 根据（1）的结论，研究三角函数在区间,44ππ-]上单调性试题解析：()I 解：()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭)()=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π=-.所以,()f x 的最小正周期2.2T ππ==。
误区3.1 忽略三角函数定义域问题-2017届高三数学跨越一本线 含解析 精品
2017届高三数学跨越一本线精品误区一：忽略三角函数的定义域问题三角函数作为一类特殊函数,首先应该满足其函数的特征,如函数的三要素：定义域、值域、对应法则,因此在解决三角函数问题时,也需要对其定义域进行考察,特别是有一些特殊的限制条件,如人为定义域、三角形内的三角函数问题等等,忽视了自变量的取值范围,往往是造成这类试题解答失误的主要原因. 一、三角形对变量范围的限制问题三角形中,A ＋B ＋C ＝π,且A 、B 、C 均大于0,故0＜A ＜π,0＜B ＋C ＜π,|b －c |＜a ＜b ＋c ,如果还有锐角三角形的条件,则A ＋B ＞2等,都是在解决相关试题时容易忽略的限制条件,我们在解题时一定要认真读题,把握每一个显性条件,也不放过每一个隐性条件,才能保证答案的准确性.【例1】【2017河北沧州一中高三11月月考】在错误！未找到引用源。
中,角错误！未找到引用源。
的对边分别为错误！未找到引用源。
,若错误！未找到引用源。
为锐角三角形,且满足错误！未找到引用源。
,则错误！未找到引用源。
的取值范围是 ．【分析】把错误！未找到引用源。
化简得错误！未找到引用源。
,再根据角B 的范围求值域.【点评】本题以三角形的三边所满足的等量关系式错误！未找到引用源。
为背景,考查的是正弦定理及三角变换公式与三角函数中和差化积公式及方程思想等有关知识和数学思想的综合运用.解答时充分运用题设中的错误！未找到引用源。
运用正弦定理可得错误！未找到引用源。
,然后再运用和差化积得到错误！未找到引用源。
,从而求出错误！未找到引用源。
及错误！未找到引用源。
,进而得到错误！未找到引用源。
,最后推出错误！未找到引用源。
,使得问题获解.【小试牛刀】【2016届北京市朝阳区高三上学期期中统一考试】在错误！未找到引用源。
中,角错误！未找到引用源。
所对的边分别为错误！未找到引用源。
．已知错误！未找到引用源。
．（Ⅰ）若错误！未找到引用源。
,求错误！未找到引用源。
误区2.1 忽略函数的定义域问题-2017届高三数学跨越一本线(原卷版)
2017届高三数学跨越一本线精品误区一：忽略函数的定义域问题函数是高中数学最基本的内容,函数作为高中数学的主线,函数思想贯穿整个高中数学学习的始终.函数的定义域是函数概念的重要组成部分,是函数“三要素” (定义域、值域、对应法则)之首,是函数最本质的特征,在函数问题中有着重要的地位.它不仅是研究函数图象性质的基础,而且在众多数学问题的求解过程中,往往能够显示出不可低估的特殊作用.它直接制约着函数的解析式、图象和性质,在解决问题的过程中, 函数定义域是研究函数的基础依据,对函数性质的讨论,必须在定义域上进行．如果忽视函数的定义域,常常会事倍功半,甚至误入歧途.本文对下面几类典型问题进行扼要剖析, 供同学们参考.一、判断函数的奇偶性时忽视函数的定义域奇偶性是函数的一种基本性质,根据它的定义,判断函数的奇偶性,就应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称, 如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称,则函数必是一个非奇非偶函数；否则再用奇偶性定义()f x -与()f x 的关系加以判断.【例1】判断函数()1cos sin 1cos sin x x f x x x-+=++的奇偶性. 【错解】因为()222sin sin cos sin 1cos sin 2222tan 1cos sin 22cos 2sin cos cos 2222x x x x x x x f x x x x x x x +-+====+++,而tan 2x y =是奇函数,所以函数()1cos sin 1cos sin x x f x x x-+=++是奇函数. 【分析】由奇（偶）函数的定义,“对于函数定义域内任意一个,都有（或）……”,不难推得,具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称的.此题中,函数的定义域并不关于原点对称,如π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭而π2f ⎛⎫- ⎪⎝⎭无定义,所以所给函数既不是奇函数也不是偶函数. 【解析】因为π12f ⎛⎫=⎪⎝⎭而π2f ⎛⎫- ⎪⎝⎭无定义,所以()f x 定义域不关于原点对称,所以函数()f x 为非奇非偶函数. 【点评】本题考查了函数奇偶性的判定,根据奇偶性的定义函数具备奇偶性的一个必要条件是定义域关于坐标原点对称,如果定义域关于原点不对称,则函数无奇偶性可言.但已知一个函数具备奇偶性,并不意味着函数在x=0处一定有定义,因此判断函数奇偶性时必须优 先考虑函数的定义域.【小试牛刀】【2017陕西宝鸡中学上学期期中】若二次函数()()22f x x b x =+-在[]13,2a a -上是偶函数,则,a b 的值分别是（ ）A ．2,1B ．1,2C ．0,2D ．0,1二、求函数单调区间忽视函数的定义域复合函数的单调性问题是高中学生学习的一个难点问题,也是高考的一个热点问题,复合函数的单调性是指函数在定义域的某一区间上,函数值随自变量的变化而增减的情况.切记函数单调性是一个局部概念,单调区间必须是定义域的子集.【例2】【2017河北唐山上学期联考】函数()20.2()log 2f x x x =-的单调递减区间是 ( )A.(],1-∞B.[)1,+∞C.(]0,1D.[)1,2 【错解】2()2u x x x =-的增区间为[)1,+∞,又因为0.21<,所以函数)(x f 的单调减区间为[)1,+∞.【分析】观察题中所给函数,发现这是一个复合函数,先求出它的定义域,再根据复合函数的单调性规律:同增异减.该函数是减函数,其外函数是为增函数,其内函数为则必是减函数,进而求解.【解析】()20.2()log 2f x x x =-的定义域是()0,2,2()2u x x x =-的增区间为[)1,+∞,又因为0.21<,所以函数)(x f 的单调减区间为[)1,2,故选D.【点评】此题考查学生求对数函数及二次函数图象和性质的研究能力,以及会求复合函数的增减性的能力.在完成此类题目时,学生往往会仅仅抓住复合函数单调性的规律：“同增异减”,而不考虑函数的定义域,进而得出错误的结果.【小试牛刀】【2017河北武邑中学周考】函数()21ln 2f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．（-1,1） B ．(),1-∞ C ．（0,1） D ．()1,+∞三、利用换元法解题时忽视函数的定义域在一些函数综合问题中,表面没有强调的函数定义域,但是在解答过程中函数定义域的作用是不能忽略的,定义域优先原则是永恒的.函数隐形定义域在函数变换传递中起着非常大的作用.在处理此类问题的过程中,我们常常使用换元法.但请务必注意,只要是换了元,就一定要把新元的取值范围求出并沿用到最后,方可正确解题.【例3】函数1()422(0)x x f x x +=++ ≤的值域是 . 【错解】12()422(2)222x x x x f x +=++=+∙+,令2x t =,则0t <,且2222(1)1y t t t =++=++,当(1,)t ∈-+∞时是增函数,而0t <,所以2(01)1y ++<,即2y <.所以所求函数的值域为(2,)+∞.【分析】利用24(2)x x =的关系,不难想到本题中要将2x当作一个整体,从而进行换元,进而转化得到一个新的一元二次函数,运用一元二次函数的图象和性质进行解题,但一定要注意新的参数的取值范围,这是本题的一个易错点.【解析】12()422(2)222(0)x x x x f x x +=++=+∙+<,令2x t =,则01t <≤,且2222(1)1y t t t =++=++,当(1,)t ∈-+∞时是增函数,而01t <≤,所以22(01)1(11)1y ++<≤++,即25y <≤.所以所求函数的值域为(2,5].【点评】本题主要考查了函数值域的求法,换元法在解题中的运用能力.在运用换元法时一定要注意换元后函数定义域的变化,这一点初学者很容易犯的错误,当然这并非一天两天所能解决的,需要学生长期的练习和领悟..【小试牛刀】函数2y x =+的值域是________________.【迁移运用】1.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1,＋∞)2.【2017山东陵县一中12月月考】已知(3),1()log ,1a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩是（-∞,+∞）上的增函数,那么a 的取值范围是（ ）. A.(1,+∞) B. 3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.(-∞,3)D.(1,3)3.【2017甘肃天水一中高三12月月考】已知函数2()ln f x x ax ax =-+恰有两个零点,则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(0,1)(1,)+∞D ．{}(,0)1-∞4．【2016届黑龙江省牡丹江市一中高三上学期期中】函数1()ln )f x x x =-（的图象是（ ）5.若()()2lg 21f x x ax a =-+-在区间(-∞,1]上递减,则a 的取值范围为( )A. [1,2)B. [1,2]C. [1,+∞)D. [2,+∞)6．【2016届河南省中原名校高三上学期第一次联考】已知函数()23ln 212+-=x x x f 在其定义域内的一个子区间()1,1+-a a 内不是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-45,43 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,17.【2016届黑龙江哈尔滨六中高三上期中】已知函数()f x 是定义在[]1,2a a -上的偶函数,且当0x >时, ()f x 单调递增,则关于x 的不等式(1)()f x f a ->的解集为（ ）A ．45[,)33B ．]35,34()32,31[⋃C ．)32,31[]31,32(⋃--D ．随a 的值而变化 8．【2017学年河北省石家庄一中高一上学期期中】对于函数()f x ,若在其定义域内存在两个实数(),a b a b <,当[],x a b ∈时,()f x 的值域也是[],a b ,则称函数()f x 为“科比函数”．若函数2)(++=x k x f 是“科比函数”,则实数k 的取值范围A ．]2,49(--B ．]0,49(- C ．]0,2[- D ．),2[+∞- 9．【2016届湖北武汉华中师大第一附中高三上期中】定义在),1(+∞上的函数)(x f 满足下列两个条件：（1）对任意的),1(+∞∈x 恒有)(2)2(x f x f =成立；（2）当(]2,1∈x 时,x x f -=2)(．记函数=)(x g )1()(--x k x f ,若函数)(x g 恰有两个零点,则实数k 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,34B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,34 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,34 D ．[)2,1 10．【2016届浙江省温州市十校联合体高三上学期期初】定义区间12[,]x x 的长度为21x x - 21()x x >,函数22()1()(,0)a a x f x a R a a x+-=∈≠的定义域与值域都是[,]()m n n m >,则区间[,]m n 取最大长度时实数a 的值为（ ）A ．-3 C ．1 D ．3 11.若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数,则实数k ＝________. 12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________． 13.已知函数()()2ln 21f x x =+的值域为{}0,1,ln 2,则满足这样条件的函数的个数为（ ） A.8 B.9 C.26 D.2714．已知函数()a ax x y 3log 221+-=在[)+∞,2上为减函数,则实数a 的取值范围是 ．。
2017届人教版高三数学一轮复习防错纠错3三角函数和答案
防错纠错3 三角函数一、填空题1．在锐角⊿ABC 中，若1tan +=t A ，1tan -=t B ，则t 的取值范围为 .【解析】解：由2tan 01tan 01tan 0202A tB t tC t t ⎧⎪>>⎧⎪⎪>⇒>-⇒>⎨⎨⎪⎪>⎩⎪>-⎩【易错、易失分点点拨】解题中有如下错解：tan 011tan 01A t tB t >>⎧⎧⇒⇒>⎨⎨>>-⎩⎩点拨：上面解答错在错因:只注意到,0tan ,0tan >>B A 而未注意C tan 也必须为正.．2．函数sin cos 1y x x =-的最小正周期与最大值的和为 ．【解析】 ∵ y=1sin 212x -知原函数的最小正周其为π，最大值为-21.∴最小正周期与最大值的和是21-π【易错、易失分点点拨】解题中有如下错解：∵函数y=sin cos 1y x x =- ∴函数的最小正周期为T=2π.最大值为-21∴最小正周期与最大值的和是122π-．点拨：解答错在最小正周期的计算，应化简后考虑． 3．函数22sin cos ()1sin x x f x x=+的值域为 ．【解析】 222sin (1sin )11()2sin (1sin )2(sin )1sin 22x x f x x x x x -==-=--++，sin (1,1]x ∈-，∴函数()f x 值域为1(4,]2-．【易错、易失分点点拨】本题在化简后得到()2si n (1si n )f x x x =-，易忽视1s i n 0x +≠，导致默认sin [1,1]x ∈-而出错．点拨：此类问题应注意化简后函数的定义域对结果的影响． 4．在△ABC 中，已知AC B AB ,66cos ,364==边上的中线BD=5，则sinA 的值为 ．【解析】解法1：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE//AB ，且DE=,,36221x BE AB ==设 在△BDE 中利用余弦定理可得： BD 2=BE 2+ED 2－2BE ·EDcosBED ，,6636223852x x ⨯⨯++=,328cos 2,2),(37,1222=⋅-+==-==B BC AB BC AB AC BC x x 从而故舍去解得.1470sin ,6303212sin 2,630sin ,3212====A AB AC 故又即 解法2：以B 为坐标原点，x 为轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A 位于第一象限. ).(314,2.5)352()634(||).352,634(),0,(),354,34()sin 364,cos 364(,630sin 22舍去从而由条件得则设则由-===++=+=====x x x x x B B B ),354,32(-=故.1470cos 1sin ,141439809498091698098||||cos 2=-=∴=+++-==A A CA BA A 于是 解法3：过A 作AH ⊥BC 交BC 于H ，延长BD 到P 使BD=DP ，连接AP 、PC ，过P 作PN ⊥BC 交BC 的延长线于N ，则HB=ABcosB=,354,34=AH.1470sin ,6303212sin 2.3212,32,2,34,310)354()52(22222222=∴==+===-=∴===-=-=-=A A HC AH AC HC CN BN BC HB CN AH BP PN BP BN 故由正弦定理得而【易错、易失分点点拨】解题中容易出现思路混乱，导致结果算不出来点拨：解三角形问题要注意正弦定理、余弦定理、以及挖掘图形的几何性质． 5．已知sin αβ==,αβ为锐角，则αβ+的值为 ． 【解析】 解法一：∵α、β为锐角，sin α＝55， sin β＝1010，∴cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22， ∵0<55<12，α为锐角，∴0°<α<30°， 同理0<β<30°，∴0°<α＋β<60°， ∴α＋β＝45°. 解法二：∵α、β为锐角，sin α＝55，sin β＝1010， ∴cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255·31010－55·1010＝22. ∵0°<α＋β<180°，∴α＋β＝45°.【易错、易失分点点拨】本题容易得到错误答案3,44ππ点拨：错误原因：要挖掘特征数值来缩小角的范围和选择合适的三角函数．6．设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ．．【解析】 由α为锐角及4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭知360ππα<+<，252454532)6cos()6sin(2)32sin(=⨯⨯=++=+παπαπα ，2571)6(cos 2)32cos(2=-+=+παπα]4)32sin[()122sin(ππαπα-+=+∴50217)]32cos()32[sin(22=+-+=παπα．． 【易错、易失分点点拨】本题容易出现的错误是把已知条件和所求均展开求解，点拨：给值求值问题，常考虑利用角的变换．7．设函数f (x )＝cos(2x ＋φ)，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的______条件． 【解析】 φ＝π2⇒f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝cos(2x ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z ) φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．答案 必要不充分．【易错、易失分点点拨】本题容易得到错误答案充要条件点拨：熟练掌握三角函数性质和理解充分条件、必要条件是解决这类题的关键．8．已知y x y x sin cos ,21cos sin 则=的取值范围是 ． 【解析】 设t y x y x t y x 21)sin )(cos cos (sin ,sin cos ==则，可得sin2x sin2y=2t,由21211212sin 2sin ≤≤-∴≤≤t t y x 即．【易错、易失分点点拨】本题容易得到错误答案]21,23[-或]23,21[-点拨：将t y x t y x y x +=+==21)sin(sin cos 21cos sin 相加得与由212312111)sin(1≤≤-≤+≤-≤+≤-t t y x 得得，没有考虑上述两种情况均须满足． 二、解答题9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象的一部分如图所示．.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值． ；【解析】(1)由图象知A ＝2，T ＝8＝2πω，∴ω＝π4，得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ. 由π4×1＋φ＝2k π＋π2⇒φ＝2k π＋π4， 又|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4x ＋2＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝22cos π4x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23，∴π4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，－π6，∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y 的最大值为6； 当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y 的最小值为－2 2. 【易错、易失分点点拨】三角函数图像及性质的熟练掌握是解决三角函数图像问题的关键，二合一公式的正确使用。
又是忽视定义域惹的祸——一道三角函数题的探究实录
又是忽视定义域惹的祸——一道三角函数题的探究实录
张世林;谭斌;向清耀
【期刊名称】《新高考（高一语文、数学、英语）》
【年(卷),期】2010(000)012
【摘要】这是2010届高三湖北八校第一次联考理科卷第7题，许多优秀的同学在此题上纷纷落马，甚至还有一些老师不小心也做错．为此笔者和一些同学专门抽小时间，共同探究此问题的解法，分析出错原因，然后自我总结，举一反三，收到了良好的效果．其过程实录如下．
【总页数】2页(P42-43)
【作者】张世林;谭斌;向清耀
【作者单位】不详
【正文语种】中文
【中图分类】G633.64
【相关文献】
1.又是忽视定义域惹的祸——道三角函数题的探究实录 [J], 张世林;谭斌;向清耀
2.又是微信惹的“祸” [J],
3.定义域“惹”的祸 [J], 谢星恩;林世中
4.又是忽视定义域惹的祸——一道联考题的讲评实录 [J], 谭柱魁;张世林
5.全是“等效”惹的祸——对一道高考题解法的探究 [J], 孙万兵
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2017高考理科解三角形试题预测及高真题(含答案解析)
2017高考理科解三角形试题预测及高真题(含答案解析）结论总结：（1)正弦定理:错误!＝错误!＝错误!（2)余弦定理:a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ,c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ． 余弦定理可以变形为：cos A ＝错误!，cos B ＝错误!，cos C ＝错误!。
（3）S △ABC ＝错误!ab sin C ＝错误!bc sin A ＝错误!ac sin B（4）已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角A 为钝角或直角图形关系 式 a ＜b sin A a ＝b sin Ab sin A ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b解的 个数无解 一解 两解 一解 一解 无解常用二级结论：（1）在三角形中，大角对大边,大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .（2）正弦定理的变形：错误!＝错误!＝错误!＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径． ①a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； ②a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ;③sin A ＝错误!，sin B ＝错误!，sin C ＝错误!等形式，以解决不同的三角形问题．（4）三角形的面积公式:S △ABC ＝错误!ab sin C ＝错误!bc sin A ＝错误!ac sin B ＝错误!＝错误!(a ＋b ＋c ）·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径）,并可由此计算R ,r 。
（5）解三角形的常用途径：①化边为角；②化角为边，并常用正弦(余弦）定理实施边、角转换．考点交汇展示：(1）与三角函数的图像与性质的交汇【2015高考山东，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭。
高三数学误区：1.2区间端点取舍问题含答案
2017届高三数学跨越一本线精品误区二 区间端点取舍问题区间的端点是集合的重要组成部分,是在解决集合间基本关系问题时,应该考虑的重要因素,在教学中发现,许多学生不注意区间端点的取舍经常出错,且不知错在哪里,本文由几个学生经常出错的例题分析,以期学生的注意． 一、由集合间的关系引起的区间端点问题【例1】【2015江西七校联考】若集合P ＝{x |3<x ≤22},非空集合Q ＝{x |2a ＋1≤x <3a －5},则能使Q ⊆(P ∩Q )成立的所有实数a 的取值范围为( ) A ．(1,9) B ．1,9] C ．6,9)D ．(6,9]【分析】因为()P Q Q ⊆I ,且()Q P Q ⊆I ,所以()Q P Q =I ,故Q P ⊆,由集合的包含关系,得关于实数的不等式,对端点的取舍要检验．【解析】选D依题意,P ∩Q ＝Q ,Q ⊆P ,于是⎩⎨⎧2a ＋1<3a －5，2a ＋1>3，3a －5≤22，解得6<a ≤9,即实数a 的取值范围是(6,9]．【点评】在求解关于参数的集合包含关系时,先考虑端点不重合时的情况,再研究端点是否能重合．【小试牛刀】【2017江苏江都中学等五校期中联考】若不等式a x <-|1|成立的一个充分条件是40<<x ,则实数的取值范围是__________． 【答案】[3,)+∞二、与单调性有关的区间端点问题求解含参数的单调性问题时,主要注意两个条件：一是单调区间一定是函数定义域的子集；二是单调区间的右端点一定大于左端点． 【例2】函数y ＝xx a+在(－2,＋∞)上为增函数,则a 的取值范围是________．【分析】由题意(2,)-+∞包含于函数y ＝xx a+的单调递增区间,则首先研究其单调性根的大小,得单调递增区间为(－∞,－a)、(－a,＋∞),由集合包含关系得－2≥－a,即a≥2． 【解析】y ＝x x a +＝1－a x a+,依题意,得函数的单调增区间为(－∞,－a)、(－a,＋∞),要使函数在(－2,＋∞)上为增函数,只要－2≥－a,即a≥2． 【点评】函数y ＝xx a+(0)a ≠的图象是双曲线,其单调区间是用a -隔开的两段,其单调性需要分离常数后通过的范围确定．【小试牛刀】已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称,且2()f x x x =+． （1）求函数()y g x =的解析式；（2）若()()()3h x g x m f x =-⋅+在[]1,1-上是增函数,求实数m 的取值范围． 【答案】（1）x x x g +-=2)(；(2)133m -≤≤-．三、导数中的区间端点问题若函数在某个区间可导,且递增,则'()0f x ≥恒成立；若递减,则'()0f x ≤,需要检验'()0f x =的点是否是连续点．【例3】【2017届湖南雅礼中学高三月考】若函数343y x bx =-+在R 上单调递减,则的取值范围是__________．【分析】本题容易忽略0b =的情况【答案】(],0-∞【解析】由已知可得2'40y x b =-+≤在R 上恒成立20b x b ⇒≤⇒≤．【点评】本题实质是不等式的有解问题,可先参变分离,转化为求函数的最值问题,但是需注意因为函数单调是对于某一区间而言的,故还需检验解不是唯一． 【小试牛刀】设函数()21ln 2f x x ax bx =-- （1）当12a b ==时,求函数()f x 的单调区间； （2）令()()21(03)2aF x f x ax bx x x=+++<≤,其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立,求实数的取值范围．（3）当0,1a b ==-时,方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解,求实数m 的取值范围．【答案】（1）单调增区间为)1,0(,减区间为),1(+∞；（2）21≥a ；（3）2211em +≤≤． 【解析】（1）依题意,知)(x f 的定义域为),0(+∞,当12a b ==时,211()ln 42f x x x x =--,111(2)(1)()222x x f x x x x -+-'=--=．令0)(='x f ,解得1x =或2x =-（舍去）,当01x <<时,0)(>'x f ；当1>x 时,0)(<'x f ,所以)(x f 的单调增区间为)1,0(,减区间为),1(+∞；四、恒成立问题中的区间端点问题已知()f x a >恒成立,若()f x 的值域为(),m n ,则a m ≤；若()f x 的值域为[).m n ,则a m <.【例4】若231n a b n +<<+对任意n *∈N ,则实数a 的取值范围是__________．,实数b 的取值范围是__________． 【分析】先由231211n n n +=+++,确定235212n n +<≤+,再根据恒成立确定a,b 的范围【答案】2,3a b ≤> 【解析】因为231211n n n +=+++,所以235212n n +<≤+,所以2,3a b ≤>.【点评】本题易错误认为2,3a b <>【小试牛刀】若不等式21log 221x a x-<+对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(]1,2【解析】因为212112121x xx -=-<++，所以log 21a ≥，解得12a <≤。
【满足】专题11解三角形三年高考2017数学理真题分项版解析解析版
【关键字】满足1.【2017山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】试题分析：所以，选A.【考点】1.三角函数的和差角公式2.正弦定理.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有，，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.2.【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】试题分析：设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．考点：余弦定理．3.【2016高考天津理数】在△ABC中，若,BC=3，,则AC= （）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】A【解析】试题分析：由余弦定理得,选A.考点：余弦定理【名师点睛】1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．4.【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos△BDC=_______．【答案】【解析】试题分析：取BC中点E，DC中点F，由题意：，△ABE中，，，．又，，综上可得，△BCD面积为，．【考点】解三角形5.【2015高考北京，理12】在中，，，，则．【答案】1【解析】考点定位：本题考点为正弦定理、余弦定理的应用及二倍角公式，灵活使用正弦定理、余弦定理进行边化角、角化边.【名师点睛】本题考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理，本题属于根底题，题目所求分式的分子为二倍角正弦，应用二倍角的正弦公式进行恒等变形，变形后为角的正弦、余弦式，灵活运用正弦定理和余弦定理进行角化边，再把边长代入求值.6.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是.【答案】8.【解析】，因此，即最小值为8.考点：三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识7.【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD中，△A=△B=△C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是.【答案】（，）【解析】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，△B=△C=75°，△E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，△B=△BFC=75°，△FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.【考点定位】正余弦定理；数形结合思想8.【2016高考新课标2理数】的内角的对边分别为，若，，，则．【答案】【解析】试题分析：因为，且为三角形内角，所以，，又因为，所以.考点：三角函数和差公式，正弦定理. 能用到。
【高考数学易错专练】知识点 三角函数的图象与性质 易错点1 忽略定义域导致求错单调区间(解析版)
易错点1忽略定义域导致求错单调区间
【易错诠释】复合型正弦函数 的单调区间的求解，并且限制了定义域，这种问题首先应求出这个函数在 上的单调区间，再将所得区间与定义域取交集即可求解．
【典例】函数 的单调递增区间为_________．
错解： 因为2>1，所以只需求 单调递增区间即可
【答案】
【分析】由复合函数单调性，即求 的单调递减区间，注意定义域要求.
【详解】因为 单调递减，根据同增异减，只需求解 的单调递减区间，其中 .当 时 为正且单调递减，故 .
故答案为：
3.函数 在区间 上的单调递减区间是___________.
【答案】
【分析】根据题意求出函数在R上的单调区间，进而与 求交集即可得到答案.
【详解】令 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
4.函数 的单调递增区间为__________．
【答与定义域 取交集可得出答案．
【详解】正弦函数 的单调递减区间为 ，
由 ，得 ，
故函数的增区间为
再结合 ，可得函数的增区间为 ，
故答案为： ，
【点睛】方法点睛：本题考查复合型正弦函数 的单调区间的求解，并且限制了定义域，这种问题首先应求出这个函数在 上的单调区间，再将所得区间与定义域取交集即可求解，考查计算能力以及三角函数基本性质的应用，属于中等题．
于是 ， ，即 ．
所以函数 的单调递增区间为 ．
错因分析：该解法错误的原因在于忘记考虑对数函数的定义域．应先求出函数的定义域，单调区间是定义域的子集．
正解：由题意，得 ，所以 ，
解得 ．
又因为2>1，所以只需求 的单调递增区间，
令 ， ，即 ．
所以 单调递增区间为 ，结合定义域得
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2017届高三数学跨越一本线精品
误区一：忽略三角函数的定义域问题
三角函数作为一类特殊函数,首先应该满足其函数的特征,如函数的三要素：定义域、值域、对应法则,因此在解决三角函数问题时,也需要对其定义域进行考察,特别是有一些特殊的限制条件,如人为定义域、三角形内的三角函数问题等等,忽视了自变量的取值范围,往往是造成这类试题解答失误的主要原因.
一、三角形对变量范围的限制问题
三角形中,A ＋B ＋C ＝π,且A 、B 、C 均大于0,故0＜A ＜π,0＜B ＋C ＜π,|b －c |＜a ＜b ＋c ,如果还有锐角三角形的条件,则A ＋B ＞2
等,都是在解决相关试题时容易忽略的限制条件,我们在解题时一定要认真读题,把握每一个显性条件,也不放过每一个隐性条件,才能保证答案的准确性.
【例1】【2017河北沧州一中高三11月月考】在错误！未找到引用源。
中,角错误！未找到引用源。
的对边分别为错误！未找到引用源。
,若错误！未找到引用源。
为锐角三角形,且满足错误！未找到引用源。
,则错误！未找到引用源。
的取值范围是 ．
【分析】把错误！未找到引用源。
化简得错误！未找到引用源。
,再根据角B 的范围求值域.
【点评】本题以三角形的三边所满足的等量关系式错误！未找到引用源。
为背景,考查的是正弦定理及三角变换公式与三角函数中和差化积公式及方程思想等有关知识和数学思想的综合运用.解答时充分运用题设中的错误！未找到引用源。
运用正弦定理可得错误！未找到引用源。
,然后再运用和差化积得到错误！未找到引用源。
,从而求出错误！未找到引用源。
及错误！未找到引用源。
,进而得到错误！未找到引用源。
,最后推出错误！未找到引用源。
,使得问题获解.
【小试牛刀】【2016届北京市朝阳区高三上学期期中统一考试】在错误！未找到引用源。
中,角错误！未找
到引用源。
所对的边分别为错误！未找到引用源。
．已知错误！未找到引用源。
． （Ⅰ）若错误！未找到引用源。
,求错误！未找到引用源。
的面积；
（Ⅱ）求错误！未找到引用源。
的取值范围．
【答案】（Ⅰ）错误！未找到引用源。
；（Ⅱ）错误！未找到引用源。
．
【解析】（Ⅰ）在错误！未找到引用源。
中,因为错误！未找到引用源。
,
所以错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
由正弦定理错误！未找到引用源。
可得错误！未找到引用源。
则错误！未找到引用源。
．
又错误！未找到引用源。
为锐角,则错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
．
所以错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
． （Ⅱ）错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
．
因为错误！未找到引用源。
,
所以错误！未找到引用源。
．
则错误！未找到引用源。
．
所以错误！未找到引用源。
的取值范围是错误！未找到引用源。
．
二、三角函数定义域问题
在三角函数问题中,有两类问题需要特别关注重定义域,一是给出的条件就有自变量(角)的范围限制,解答合理而正确的使用这些限制条件,才能得出正确结论.二是一些分式形式的三角函数,在变形过程中,分式“消失”,容易使定义域的范围“扩大”,导致解题失误.
【例2】【2017福建厦门一中上学期期中】若函数错误！未找到引用源。
,则错误！未找到引用源。
的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
【分析】先用辅助角公式化简得错误！未找到引用源。
,再根据函数单调性求最大值.。