2012高考数学一轮复习数列--数列求和课件ppt

2n 1 等比数列
1 2
的积数列,
1 2n
错位相减法法步骤如下：
1、在 Sn a1 a2 an的两边同时乘于公比q; 2、两式相减 : 左边为 1 q) Sn，右边q的同次式相减; （ 3、右边去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的 各项组成等比数列，可用公式求和!
这里等比数列的公比 q =
数列求和的常用方法
1 3 5 7 2n 1 例2. 求数列 , , , , , n , 的前n项和！ 2 4 8 16 2
解析：源自文库
由Sn 则 1 Sn 2
1 2
2
3 22

1 22
n

1 2
5 23

3 23

7 24

5 24

wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
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特级教师 王新敞
wxckt@126.com
Sn 1 2 3 n n ( n 1 ) 2 n 2 3 若a 1 Sn a 2a 3a na
数列求和有本质上的不同，所以解题时需讨论进行!
五、倒序求和法
将数列的倒数第 k 项(k=1, 2, 3, …)变为正数第 k 项, 然 后将得到的新数列与原数列进行变换(相加、相减等)！
推导等差数列前n项和的重要方法！
数列求和的常用方法
例4、已知 lgx+lgy=a, 且 Sn=lgxn +lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+„+lgyn, 求 Sn=? 解: 由 Sn=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+„+lgyn,
错位相减法各项特征: 等差与等比数列对 应项的积!
强化练习题
4.已知数列 {an} 是等差数列, 且 a1=2, a1+a2+a3=12, (1)求数列 {an} 的 通项公式; (2)令 bn=an3n, 求数列 {bn} 前 n 项和Sn.
解: (1)设数列 {an} 的公差为 d, 则由已知得 3a1+3d=12 又 a1=2, ∴d=2 ∴an=2+(n-1)2=2n. 故数列 {an} 的通项公式为 an=2n. (2)由 bn=an3n=2n3n 得数列 {bn} 前 n 项和 Sn=23+432+„+(2n-2)3n-1+2n3n ① ∴3Sn= 232+433+„+(2n-2)3n+2n3n+1 ② 将 ① 式减 ② 式得: -2Sn=2(3+32+„+3n)-2n3n+1=3(3n-1)-2n3n+1. 3(1-3n) ∴Sn= 2 +n3n+1.
数列求和的常用方法：
二、分组求和法
n 通项 a n 是若干项的代数和,如：an 2n 3 可以把它按需要拆开! 1 1 1 1 例1(1) 求数列 2, 2 , 3 , 4 , , n n1 , 的前n项和. 2 4 8 2
方法总结:
分组求和法:将数列的一项分成两项(或多项), 然后重新组合,再利用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解!
试写出这个数列通项公an 2n 1 式
1 1 前n项和sn nn 2 2 2 n1
1
2 n1
1 1 1 变式：已知数列a n 各项依次为3 ,5 ,7 , 4 8 16 n 1 n 1 1 9 , 前n项和sn 5 1 2n 1 1 2 2 2 32
练习3: 强化练习题
(1)数列1,1 2,1 2 22 ,1 2 22 23 , ,1 2 22
关键求通项! 2在数列an 中, a1 1, a2 2 3, a3 4 5 6,
2n1 , 的前n项和是 2n1 n 2
课堂小结：
1.等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法, 复杂的数列转化为等差、等比数列！
Ex2 求数列 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, … 的前n项和!
数列求和的常用方法
三、错位相减法
分析： 该数列可看作等差数列
错位相减法在等比数列 求前 n项和时用过；它主 要用于由一个等差数列与 一个等比数列的积数列。
1 3 5 7 2n 1 例2. 求数列 , , , , , n , 的前n项和！ 2 4 8 16 2
注:关键抓住通项的裂项方式! 1 1 1 练习2: 1 1 1 1 1 ( 2) __________ 3 n n 3 (1) __________ 2 n n 2 _ nn 3 nn 2 1 1 1 1 n( n 1) ( n 1)( n 2) 2 ( 3) __________ ________ n( n 1)n 2 1 n 1 n_ (4) __________ n1 n
强化练习题
8、已知数列 {an} 中, a1=1, (2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2, nN*), 求数列 {an} 的前 n 项和 Sn. 解: ∵(2n+1)an=(2n-3)an-1, an 2n-3 a3 3 a2 1 an-1 2n-5 ∴ an-1 = 2n+1 . 则 a = 2n-1 , „, a2 = 7 , a1 = 5 . n-2 an 3 ∴ a1 = (2n+1)(2n-1) . 1 1 3 3 ∴an= (2n+1)(2n-1) = 2 ( 2n-1 - 2n+1 ). ∴Sn=a1+a2+„+an 3 [(1- 1 )+( 1 - 1 )+( 1 - 1 )+„+( 1 - 1 )] =2 2n-1 2n+1 3 3 5 5 7 3n = 2n+1 .
两边同乘a:
aSn
a 2 2a 3 (n 1)a n na n1
a (1 a n ) 1 a n
2
两式相减： (1 a) S a a 2 a 3 a n na n1 n 所以：
(1 a) Sn
n
na
na n1 1 a
n 1
强化练习题
5、将上题 (2) 中“ bn=an3n ” 改为“ bn=anxn(x≠0)”, 仍求 {bn} 的前 n 项和. 解: 令 Sn=b1+b2+„+bn, 则由 bn=anxn=2nxn 得: Sn=2x+4x2+„+(2n-2)xn-1+2nxn ① ∴xSn=2x2+4x3+„+(2n-2)xn+2nxn+1 ② 当 x=1 时, Sn=2+4+„+2n=n(n+1); 当 x1 时, 将 ① 式减 ② 式得: 2x(1-xn) (1-x)Sn=2(x+x2+„+xn)-2nxn+1= 1-x -2nxn+1. 2x(1-xn) 2nxn+1 ∴Sn= (1-x)2 - 1-x . n(n+1), x=1 时, 综上所述, Sn= 2x(1-xn) 2nxn+1 (1-x)2 - 1-x , x1 时.
强化练习题
2 2 1 n 7、数列 {an} 中, an= n+1 + n+1 +„+ n+1, 又 bn= anan+1 , 求数列 {bn} 的前 n 项的和. n 1 1 1 2 解: ∵an= n+1(1+2+„+n)= 2, ∴bn= n n+1 =8( n - n+1 ). 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ∴Sn=8[(1- 2 )+( 2 - 3)+( 3 - 4 )+„+( n - n+1 )] 1 =8(1- n+1) = 8n . n+1
强化练习题
6、求数列 {n(n+1)(2n+1)} 的前 n 项和 Sn =? 解: ∵通项 ak=k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+k, ∴Sn=2(13+23+„+n3)+3(12+22+„+n2)+(1+2+„+n)
n2(n+1)2 n(n+1)(2n+1) n(n+1) = + + 2 2 2 n(n+1)2(n+2) = . 2
运算并整理得：S

a ( 1 a ) ( 1 a )


na n 2 ( n 1 ) a n1 a ( 1 a ) 2
数列求和的常用方法
四、裂项相消法
顾名思义，“裂项相消法” 就是把数列的项拆成几项，然 后，前后交叉相消为0达到求 和目的的一种方法！
1 例3.求通项为an 的数列的前n项和 1 2 3 n
又 Sn=lgyn +lg(xyn-1)+„+lg(xn-1y)+lgxn, ∴2Sn=lg(xnyn)+lg(xnyn)+„+lg(xnyn)+lg(xnyn) =n(n+1)lg(xy)
n(n+1) n(n+1) ∴Sn= lg(xy)= a. 2 2 注: 本题亦可用对数的运算性质求解:
∵lgx+lgy=a, ∴lg(xy)=a
)
2 n 3 2n
2 n1 2n

2 n1 2n1
两式相减： (1 1 ) S 所以：
1 2
1 222 223 224 22n 22n11 n 2
1 （1 2 1 2n1
1 1 2 运算整理得： S 3 2n 3 n 2n
Sn

*
数列求和的常用方法
一、公式求和法
n (a1 an ) n( n 1) 1、等 差 数 列 的 求 和 公 式 S n na1 d 2 2 (q 1) na1 2、等 比 数 列 的 求 和 公 式 S n a1 (1 q n ) (q 1) 1 q n( n 1) 3、 ) 1 2 3 n (1 ; 2 n( n 1)(2n 1) 2 2 2 2 ( 2) 1 2 3 n ； 6
n( n 1) ( 3) 1 2 3 n 2
3 3 3 3
2
数列求和的常用方法 Ex1.已知数列{an}:①若an=2n+3,求Sn=?
方法总结：
n ②若an 3 2 ,求Sn=?.
公式求和法:对等差数列、等比数列或可以转化 成等差、等比数列的数列,求前n项和Sn可直接用 等差、等比数列的前n项和公式进行求解!
1 2 1 1 通项a n 分析： 2( ) n( n 1) n( n 1) n n1 2
该方法多用于分母为等差数列相邻几项之积, 分子为常数的分式型数列求和！
1 Ex4、求数列14
， ， ，，
1 47 1 710
1 ( 3n 2)( 3n1)
的前n 项和!
数列求和的常用方法
n+1 项
∵Sn=lg[xn+(n-1)+„+3+2+1y1+2+3+„+(n-1)+n],
n(n+1) n(n+1) ∴Sn= lg(xy)= a. 2 2
强化练习题
n 练习1: 数列 1 的前n项和sn _________ n1 nn 1
该方法适用于分母为等差数列相邻几项之积, 分子为常数的分式型数列求和!
a4 7 8 9 10,则a10 505
提示：第n项的第一个数为
1 n 1 n( n 1) 1 1 2 ... ( n 1) 1 ( n 1) 1 2 2
强化练习题
1 1 1 1 3已知数列an 各项依次为3 ,5 ,7 ,9 , 4 8 16 32
2 n1 2n1
数列求和的常用方法
变式: 设 a 0,求数列 a,2a 2 ,3a 3 ,4a 4 ,, na n 的前n项和!
分析： 这个数列的每一项都含有a，而a等于1或不等于1，对 解：若a 1
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