人教新课标版数学高二-人教B版必修5学案 3.3 一元二次不等式及其解法

3．3 一元二次不等式及其解法1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式的方法.3.培养数形结合、分类讨论思想方法．下列说法不正确的有________．(1)方程2x 2－3x －2＝0有两个不等的实根； (2)方程x 2－2x ＋1＝0有一个实数根； (3)方程x 2－x ＋2 ＝0没有实数根； (4) 一元二次函数y ＝a x 2＋bx ＋c > 0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0；(5)一元二次函数y ＝a x 2＋bx ＋c < 0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac >0.答案 (2)(5)解析 (1)由于Δ>0，故正确；(2)由于Δ＝0，所以方程有两个相等实根，故错误；(3)由于Δ<0，故正确；(4)由于y > 0，所以函数的图象在x 轴上方，故正确；(5)由于y < 0，所以函数的图象在x 轴下方，则a <0，b 2－4ac <0，故(5)错误．1．一元二次不等式的概念(1)一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫做一元二次不等式．(2)一元二次不等式的一般表达形式为ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)或ax 2＋bx ＋c <0 (a ≠0)，其中a ，b ，c 均为常数．2．二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系有两相等实根设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根x1、x2，且x1<x2，则ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集为{x|x<x1或x>x2}；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}.要点一一元二次不等式的解法例1求下列一元二次不等式的解集．(1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6.解(1)由x2－5x>6，得x2－5x－6>0.∴x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6.∴原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，方程(2x－1)2＝0的根为x＝12.∴4x2－4x＋1≤0的解集为{x|x＝1 2}．(3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0，而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6.∴不等式x2－7x＋6<0的解集为{x|1<x<6}．规律方法当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象．跟踪演练1解下列不等式：(1)2x2－x＋6>0；(2)－12x 2＋3x －5>0；(3)(5－x )(x ＋1)≥0.解 (1)∵方程2x 2－x ＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0， ∴函数y ＝2x 2－x ＋6的图象开口向上，与x 轴无交点． ∴原不等式的解集为R .(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0， ∵Δ＝62－40＝－4<0， ∴原不等式的解集为∅.(3)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0， ∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}． 要点二 解含参数的一元二次不等式例2 解关于x 的不等式2x 2＋ax ＋2>0(a ∈R )． 解 Δ＝a 2－16，下面分情况讨论：①当Δ<0，即－4<a <4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R . ②当Δ≥0，即a ≥4或a ≤－4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两个根为 x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)．当a ＝－4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}； 当a >4或a <－4时，原不等式的解集为 {x |x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a 2－16)}；当a ＝4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠－1}．规律方法 含参数不等式的解题步骤为：(1)将二次项系数化为正数；(2)判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有两个相异实根，为了写出解集还要比较两个根的大小)．另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式． 跟踪演练2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R )． 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，解(x －1a )(x －1)<0得，解集为∅；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a.综上所述：当a <0，解集为{x |x <1a 或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a <x <1}．要点三 三个“二次”间对应关系的应用例3 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为(1,2)，试求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1>0的解集．解 由根与系数的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1＋2，b ＝1×2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2，∴不等式bx 2＋ax ＋1>0，就是2x 2－3x ＋1>0. 由2x 2－3x ＋1>0，得(2x －1)(x －1)>0，所以x <12或x >1.∴bx 2＋ax ＋1>0的解集为(－∞，12)∪(1，＋∞)．规律方法 一般求的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集，先求出一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，再根据函数图象与x 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集．跟踪演练3 已知不等式ax 2－bx ＋2<0的解集为{x |1<x <2}，求a ，b 的值． 解 由题设条件知a >0，且1,2是方程ax 2－bx ＋2＝0的两实根．由根与系数的关系，可得⎩⎨⎧ba ＝1＋2，2a ＝1×2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.1．不等式2x 2－x －1>0的解集是( ) A ．(－12，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－12)∪(1，＋∞)答案 D解析 ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0， 解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为(－∞，－12)∪(1，＋∞)．2．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32答案 B解析 ∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0， ∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.3．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 由题可知－7和－1为ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝21a ，a ＝3.4．不等式x 2＋x －2<0的解集为________． 答案 (－2,1)解析 易得方程x 2＋x －2＝0的两根为－2,1，所以不等式x 2＋x －2<0的解集为(－2,1)．1．解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的简图； ③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 当m <n 时，若(x －m )(x －n )>0，则可得x >n 或x <m ；若(x －m )(x －n )<0，则可得m <x <n .有口诀如下：大于取两边，小于取中间． 2．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a >0，a <0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2.一、基础达标1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2}答案 D解析 由方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点为2，－1， 又∵a <0，∴函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是开口向下的抛物线，∴不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为{x |－1≤x ≤2}．2．若0<t <1，则不等式(x －t )(x －1t )<0的解集为( )A ．{x |1t <x <t }B ．{x |x >1t 或x <t }C ．{x |x <1t或x >t }D ．{x |t <x <1t }答案 D解析 ∵0<t <1，∴1t >1，∴t <1t .∴(x －t )(x －1t )<0⇔t <x <1t .3．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2} 答案 A解析 因为x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x＋2)2>0，∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．4．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2 }D ．{x |x <－lg 2}答案 D解析 由题知，一元二次不等式f (x )>0的解集为(－1，12)，即－1<10x <12⇒x <－lg 2.所以选D.5．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中有________个元素． 答案 6解析 由(x －1)2<3x ＋7，解得－1<x <6，即A ＝{x |－1<x <6}，则A ∩Z ＝{0,1,2,3,4,5}． 故A ∩Z 共有6个元素．6．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两根都是负数，则m 的取值范围为________． 答案 ∪1,3)．12．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为{x |－13≤x ≤2}，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为{x |－13≤x ≤2}，知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，∴⎩⎨⎧－13＋2＝－b a，－13×2＝ca ，∴b ＝－53a ，c ＝－23a .∴不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为(－23a )x 2－(－53a )x ＋a <0，即2ax 2－5ax －3a >0.又∵a <0，∴2x 2－5x －3<0， ∴所求不等式的解集为{x |－12<x <3}．三、探究与创新13．解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0. 解 原不等式可化为(ax －2)(x －2)>0. (1)当a ＝0时，－2(x －2)>0⇔x <2.(2)当a >0时，(ax －2)(x －2)>0⇔(x －2a )(x －2)>0.因为2a －2＝2－2a a，所以①当⎩⎨⎧ a >0，2－2aa >0，即0<a <1时，2a >2，此时x >2a或x <2；②当⎩⎨⎧ a >0，2－2aa ＝0，即a ＝1时，2a＝2，此时x ≠2；③当⎩⎨⎧a >0，2－2aa <0，即a >1时，2a <2，此时x >2或x <2a.(3)当a <0时，(ax －2)(x －2)>0⇔(x －2a )(x －2)<0，∵a <0，∴2a <0，∴2a <2.∴2a<x <2.综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x >2a或x <2}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠2}；当a>1时，原不等式的解集为{x|x>2或x<2a}；当a<0时，原不等式的解集为{x|2a<x<2}．。