常用的一些矢量运算公式

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所有矢量计算公式解析

所有矢量计算公式解析

所有矢量计算公式解析矢量计算公式解析。

矢量是物理学和工程学中经常出现的概念,它们可以用来描述物体的运动、力和速度等。

在矢量计算中,有一些常见的公式和运算规则,下面我们来逐个解析这些公式。

1. 矢量的加法和减法。

矢量的加法和减法是矢量计算中最基本的运算之一。

假设有两个矢量A和B,它们的加法和减法运算分别如下:A +B = (Ax + Bx, Ay + By)。

A B = (Ax Bx, Ay By)。

其中,Ax和Ay分别表示矢量A在x和y方向上的分量,Bx和By表示矢量B 在x和y方向上的分量。

通过这些公式,我们可以很容易地计算出两个矢量的和或差。

2. 矢量的数量积。

矢量的数量积又称为点积,它是矢量计算中另一个重要的运算。

假设有两个矢量A和B,它们的数量积运算如下:A·B = |A| |B| cosθ。

其中,|A|和|B|分别表示矢量A和B的模长,θ表示两个矢量之间的夹角。

通过这个公式,我们可以计算出两个矢量的数量积,从而得到它们之间的关系。

3. 矢量的叉积。

矢量的叉积又称为向量积,它是矢量计算中另一个重要的运算。

假设有两个矢量A和B,它们的叉积运算如下:A×B = |A| |B| sinθ n。

其中,|A|和|B|分别表示矢量A和B的模长,θ表示两个矢量之间的夹角,n表示一个垂直于A和B所在平面的单位矢量。

通过这个公式,我们可以计算出两个矢量的叉积,从而得到它们之间的关系。

4. 矢量的分解。

在实际问题中,我们经常需要将一个矢量分解成两个分量矢量,以便进行更方便的计算。

假设有一个矢量A,它可以被分解成在x和y方向上的两个分量矢量Ax和Ay,分解公式如下:A = Ax + Ay。

其中,Ax和Ay分别表示矢量A在x和y方向上的分量。

通过这个公式,我们可以将一个矢量分解成两个分量矢量,从而方便进行计算。

5. 矢量的单位化。

在矢量计算中,有时我们需要将一个矢量转化为单位矢量,以便进行更方便的计算。

矢量运算公式范文

矢量运算公式范文

矢量运算公式范文矢量运算是对矢量进行运算的数学方法,包括矢量的加法、减法、数与矢量的乘法(数量积)、矢量与矢量的乘法(矢量积)等。

在物理学、工程学、计算机图形学等领域中,矢量运算被广泛应用。

下面将介绍一些常见的矢量运算公式:一、矢量的加法和减法:矢量的加法:对于两个矢量A和B,它们的加法可以表示为:C=A+B加法满足交换律:A+B=B+A加法满足结合律:(A+B)+C=A+(B+C)矢量的减法:对于两个矢量A和B,它们的减法可以表示为:C=A-B减法可以看作加法的反向操作:A-B=A+(-B)其中,-B表示B的反向矢量,即将B的大小保持不变,方向取反。

二、数与矢量的乘法(数量积):数与矢量的乘法是将一个数与一个矢量各分量相乘。

假设有一个矢量A和一个数k,则数与矢量的乘法可以表示为:B=kA乘法满足交换律:kA=Ak乘法满足结合律:(kl)A = k(lA)三、矢量与矢量的乘法(矢量积):矢量与矢量的乘法有两种形式,一种是叉乘(也称为矢量积或外积),另一种是点乘(也称为数量积或内积)。

1.叉乘:对于两个矢量A和B,它们的叉乘可以表示为:C=A×B矢量的叉乘满足右手法则:-若A和B的夹角θ小于180度,则C的方向垂直于A和B的平面,且由右手握住旋转方向由A转向B;-若A和B的夹角θ大于180度,则C的方向垂直于A和B的平面,且由右手握住旋转方向由B转向A;-若A和B的夹角θ等于180度,则C等于0。

2.点乘:对于两个矢量A和B,它们的点乘可以表示为:C=A•B点乘的结果是一个标量。

点乘的计算方法有两种:-一种是将两个矢量的各分量分别相乘,然后相加:C=A₁*B₁+A₂*B₂+...+An*Bn- 另一种是使用矢量的模和夹角公式:C = ,A, * ,B,* cos(θ)其中,A,表示矢量A的模,B,表示矢量B的模,θ表示A和B的夹角。

以上是矢量运算的一些基本公式,它们在物理学、工程学和计算机图形学中都有广泛的应用。

矢量的乘法

矢量的乘法

矢量的乘法
矢量的乘法可以分为两种情况:数量积(又称点乘)和向量积(又称叉乘)。

1. 数量积(点乘):
数量积是两个矢量相乘得到一个标量的运算,用符号"."表示。

对于两个矢量a和b的数量积,可以表示为a·b。

计算公式为:a·b = |a| |b| cosθ
其中,|a|和|b|分别表示矢量a和b的模长,θ表示两个矢量之
间的夹角。

2. 向量积(叉乘):
向量积是两个矢量相乘得到一个新矢量的运算,用符号"×"表示。

对于两个矢量a和b的向量积,可以表示为a×b。

计算公
式为:
a×b = |a| |b| sinθ n
其中,|a|和|b|分别表示矢量a和b的模长,θ表示两个矢量之
间的夹角,n为垂直于a和b所在的平面上的单位法向量。

矢量的乘法在物理学和工程学中有广泛的应用,例如力的乘法可以得到力矩,电场强度的乘法可以得到电场感应强度等。

常用的一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式1.三重标量积如a ,b 和c 是三个矢量,组合()a b c⨯∙叫做他们的三重标量积。

三重标量积等于这三个矢量为棱边所作的平行六面体体积。

在直角坐标系中,设坐标轴向的三个单位矢量标记为(),,i j k ,令三个矢量的分量记为()()123123,,,,,a a a a b b b b 及()123,,c c c c 则有()()123123123123123123c c c i jka b c a a a c i cj c k a a a b b b b b b ⨯∙=∙++=因此,三重标量积必有如下关系式:()()()a b c b c a c a b ⨯∙=⨯∙=⨯∙即有循环法则成立,这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合,其结果相等。

2.三重矢量积如a ,b 和c 是三个矢量,组合()a b c⨯⨯叫做他们的三重标量积,因有()()()a b c a c b c b a ⨯⨯=-⨯⨯=⨯⨯故有中心法则成立,这就是说只有改变中间矢量时,三重标量积符号才改变。

三重标量积有一个重要的性质(证略):()()()a b c a b c a c b⨯⨯=-∙+∙ (1-209)将矢量作重新排列又有:()()()a b c b a c b a c∙=⨯⨯+∙ (1-210)3.算子(a ∇)∇是哈密顿算子,它是一个矢量算子。

(a ∇)则是一个标量算子,将它作用于标量φ,即()a φ∇是φ在a 方向的变化速率的a 倍。

如以无穷小的位置矢量d r代替以上矢量a,则()dr φ∇是φ在位移方向d r的变化率的d r倍,即d φ。

()()d dr dr φφφ=∇=∇若将()dr ∇作用于矢量v,则()dr v∇就是v 再位移方向d r变化率的d r倍,既为速度矢量的全微分()dv d r v=∇ 应用三重矢量积公式(1-209)()()()00()()()()a b a b a b b a a b b a a b ∇⨯⨯=∇⨯⨯+∇⨯⨯=∙∇-∙∇-∇∙+∇∙应用三重矢量积公式(1-210)又有()()()00()()()()a b a b a b a b a b b a b a∇∙=∇∙+∇∙=⨯∇⨯+∇+⨯∇⨯+∇∙将以上两式结合(相减)后可得(){()}1()()()()()2a b a b a b b a a b b a a b ∇=∇∙-∇⨯⨯-⨯∇⨯-⨯∇⨯-∇∙+∇∙ 一个重要的特例,令a b v==,因()0v v ∇⨯⨯=则有21()()2v v v v v ∇=∇-⨯∇⨯ 4.算子∇的应用 令φ是标量,a 是矢量,;a b为并矢量,则有00002000()()()()()()()()()()()(;)(;)(;)()()a a a a a a a a a a a a aa b a b a b b a a b φφφφφφφφφφ∇=∇+∇=∇∙+∙∇∇⨯=∇⨯+∇=∇⨯+∇⨯∇⨯∇⨯=∇∇∙-∇∇=∇+∇=∇∙+∙∇在直角坐标中,令2222222()x y z y x zx y zx y za ia ja ka ij k x y z a a a a x y z i jk a x y z a a a x y za a a a x y zφφφφφφφφφ=++∂∂∂∇=++∂∂∂∂∂∂∇∙=++∂∂∂∂∂∂∇⨯=∂∂∂∂∂∂∇=∇∙∇=++∂∂∂∂∂∂∇=++∂∂∂对一组正交曲线坐标系123(,,)εεε,其单位矢量123(,,)e e e ,将任意位置矢量R变分写为111222333R h d e h d e h d e δεεε=++其中123,,h h h 为尺度因子(拉美系数)。

常用矢量公式

常用矢量公式

常用矢量公式矢量是物理学中常常用到的工具,它能够表示一个物理量的大小和方向。

在研究物体运动、力学和电磁学等方面,常常需要使用矢量公式。

以下是一些常用的矢量公式。

1.矢量的加法:如果有两个矢量A和B,它们的和矢量C可以通过将两个矢量的对应分量相加得到:C=A+B。

2.矢量的减法:如果有两个矢量A和B,它们的差矢量C可以通过将第二个矢量的对应分量取相反数,再与第一个矢量相加得到:C=A-B。

3.矢量的数量积:两个矢量A和B的数量积可以通过将两个矢量的对应分量乘积相加得到:A·B=AxBx+AyBy+AzBz。

4.矢量的向量积:两个矢量A和B的向量积可以通过以下公式计算:C=A×B,其中C是结果矢量,Ax、Ay和Az是矢量A的分量,Bx、By和Bz是矢量B的分量。

向量积的结果是一个垂直于两个矢量的平面,并且它的大小等于两个矢量张成的平行四边形的面积。

5.矢量的标量三重积:三个矢量A、B和C的标量三重积可以通过以下公式计算:(A×B)·C,其中×表示向量积,·表示数量积。

标量三重积的结果是一个标量,它可以用来计算三个矢量张成的平行六面体的体积。

6.矢量的分解:一个矢量A可以被分解为垂直于另一个矢量B的分量和平行于矢量B的分量。

平行分量可以通过数量积来计算:A\,B=(A·B)B/,B,^2,其中\,表示平行于。

垂直分量可以通过减去平行分量得到:A⊥B=A-A\,B。

7.矢量的模长:一个矢量A的模长可以通过以下公式计算:,A,=√(Ax^2+Ay^2+Az^2),其中Ax、Ay和Az是矢量A的分量。

8.矢量的单位矢量:一个矢量A的单位矢量可以通过以下公式计算:Ā=A/,A,其中Ā是单位矢量。

9. 矢量的投影:一个矢量A在另一个矢量B上的投影可以通过以下公式计算:Proj_A(B) = (A · Ā)Ā,其中Ā是单位矢量。

10. 矢量的夹角:两个矢量A和B之间的夹角可以通过以下公式计算:cosθ = (A · B)/(,A,B,),其中θ是夹角。

矢量的运算法则

矢量的运算法则
线元: dl dRaR Rd a R sinda 面元:
dSR R2 sin d daR dS R sin dRda
dS RdRd a
体元:
dV R2 sin dRd d
工程电磁场
在不同旳坐标系中,梯度旳计算公式:
在直角坐标系中:
x
aˆx
y
aˆ y
z
aˆz
在柱坐标系中:
r
aˆr
r
工程电磁场
主要旳场论公式
1. 两个零恒等式
(1) () 0 任何标量场梯度旳旋度恒为零。
(2) ( F ) 0
任何矢量场旳旋度旳散度恒为零。
工程电磁场
2. 拉普拉斯算子 2 ()
在直角坐标系中:
2
2
x 2
2
y 2
2
z 2
在圆柱坐标系中:
2
1 r
(r )
r r
( )
( A) A A
(A) A A
(A B) (A)B (B )A A( B) B( A)
(A B) B A A B (A B) A B B A (B )A (A)B
球坐标系中:
F
1 R2
(R2FR ) R
1
R sin
(F sin )
1
R sin
F
正交曲线坐标系中:
F
1
Fu1h 2 h 3
( Fu2
h1h3
)
(Fu3 h1h2
)
h1h2h3 u1
u2
u3
工程电磁场
旋度公式:
F
Fz y
Fy z
aˆx
Fx z
Fz x
aˆ y

常用矢量公式

常用矢量公式

常用矢量公式矢量公式是一种强大的数学工具,可以帮助我们理解和应用多维空间方程。

它不仅可以描述几何形状,而且还可以用来解决许多数学问题。

它有很多用法,以下是几个常用的矢量公式:1. 极坐标变换(Polar Change of Coordinates):它表示将一组参数坐标系统从极坐标(Polar coordinates)变换到直角坐标系统(Rectangular coordinates),格式为:x = r cos pt, y = r sin pt。

2. 空间向量(Space Vector):表示由三个不同方向的向量构成的空间向量,格式为:V~ = {vx, vy, vz}。

3. 矢量加法(Vector Addition):表示对两个向量进行矢量加法运算,格式为:Va + Vb = {va + Vb, Va + Vb, Va + Vb}。

4. 外积(Cross Product):表示对两个向量进行外积运算,格式为:Va x Vb = {VaxVb, VayVb, VazVb}。

5. 内积(Dot Product):表示对两个向量进行内积运算,格式为:Va • Vb = VaxVb + VayVb + VazVb。

6. 梯度(Gradient):表示函数的梯度的矢量方向,格式为:∇f(x) = {df/dx,df/dy,...}。

7. 拉普拉斯算子(Laplacian Operator):表示二维平面上函数拉普拉斯算子的值,格式为:∇2f = (∂2/∂x2 +∂2/∂y2).8. 散度(Divergence):表示某些物理多维空间中矢量场的散度,格式为:∇•V = ∂vx/∂x + ∂vy/∂y + ∂vz/∂z。

以上就是矢量公式的一些常用用法,它们可以让我们更容易、更有效地呈现和分析几何形状,并解决多维空间最佳路径等问题。

如果需要更多的矢量公式,可以查阅数学相关书籍,或者找到专门的中文资料。

常用的一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式矢量运算是研究矢量的数学运算方法和规律的一个分支。

在物理学、工程学和计算机图形学等领域,矢量运算经常被用于描述和计算各种物理量。

以下是一些常用的矢量运算公式。

1.矢量加法矢量加法是指两个矢量相加得到一个新的矢量。

设两个矢量A和B,它们的坐标分别为(A1,A2,A3)和(B1,B2,B3),则它们的矢量和C的坐标为(C1,C2,C3)。

矢量加法公式为:C=A+B=(A1+B1,A2+B2,A3+B3)2.矢量减法矢量减法是指一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量。

设两个矢量A和B,它们的坐标分别为(A1,A2,A3)和(B1,B2,B3),则它们的矢量差C的坐标为(C1,C2,C3)。

矢量减法公式为:C=A-B=(A1-B1,A2-B2,A3-B3)3.点乘点乘是指两个矢量之间的乘积得到一个标量。

设两个矢量A和B,它们的坐标分别为(A1,A2,A3)和(B1,B2,B3),则它们的点乘结果为:A·B=A1B1+A2B2+A3B34.叉乘叉乘是指两个矢量之间的乘积得到一个新的矢量。

设两个矢量A和B,它们的坐标分别为(A1,A2,A3)和(B1,B2,B3),则它们的叉乘结果为:A×B=(A2B3-A3B2,A3B1-A1B3,A1B2-A2B1)5.矢量模长矢量的模长表示向量的长度或大小。

设一个矢量A,它的坐标为(A1,A2,A3),则它的模长结果为:A,=√(A1^2+A2^2+A3^2)6.单位矢量单位矢量是模长为1的矢量,通常用于表示方向。

设一个非零矢量A,它的坐标为(A1,A2,A3),则它的单位矢量U的坐标为:U=A/,A,=(A1/,A,,A2/,A,,A3/,A,)7.矢量投影矢量投影是指一个矢量在另一个矢量上的投影,得到一个与原矢量垂直的新矢量。

设一个矢量A投影到B上的矢量为C,则矢量C的坐标为:C=(A·B/,B,^2)B8.向量夹角向量夹角是指两个矢量之间的夹角。

矢量的运算法则

矢量的运算法则
例: F dl , B dS , dV 其中:dl , dS 和 dV 称为微分元。
dS
dl
1. 直角坐标系 在直角坐标系中,坐标变量为(x,y,z),如图,做一微分体元。 ˆx ˆx 线元:dlx dxa 面元: dS x dydza
ˆy dl y dya
ˆy dS y dxdza
工程电磁场
例3: 已知A点和B点对于原点的位置矢量为
a
和 b,
求:通过A点和B点的直线方程。
解:在通过A点和B点的直线方程上,
z
a
A
c
任取一点C,对于原点的位置
矢量为
C B
b
c ,则
x
y
c a k (b a )
c (1 k )a kb
其中:k 为任意实数。
工程电磁场
矢量微分元:线元、面元、体元
工程电磁场
在直角坐标系中,两矢量的叉积运算如下:
z o x y
ˆx Ay a ˆ y Az a ˆz ) (Bx a ˆx By a ˆ y Bz a ˆz ) A B ( Ax a
ˆ x ( Az Bx Ax Bz )a ˆ y ( Ax By Ay Bx )a ˆz ( Ay Bz Az By )a
Ay Ax A cos , cos , cos z | A| | A| | A|
在直角坐标系中三个矢量加法运算:
ˆ x ( Ay By Cy )a ˆ y ( Az Bz Cz ) a ˆz A B C ( Ax Bx Cx ) a
工程电磁场
3.乘法: (1)标量与矢量的乘积:
ˆ kA k | A | a k 0 方向不变,大小为|k|倍 k 0 k 0 方向相反,大小为|k|倍

三个矢量叉乘运算法则

三个矢量叉乘运算法则

三个矢量叉乘运算法则
a×(b×c)=b(a·c)-c(a·b),套入公式,所以r×(ω×r)=ωr^2-r(ω·r)
拉格朗日公式:a × (b × c) = b(a·c)− c(a·b)
二重向量叉乘化简公式及证明,可以简单地记成“BAC-CAB”。

这个公式在物理上简化向量运算非常有效。

需要注意的是,这个公式对微分算子不成立。

这里给出一个和梯度相关的一个情形;这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。

扩展资料
运算法则:
1、反交换律:a×b=-b×a
2、加法的分配律:a×(b+c)=a×b+a×c。

3、与标量乘法兼容:(ra)×b=a×(rb)=r(a×b)。

4、不满足结合律,但满足雅可比恒等式:a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0。

5、分配律,线性性和雅可比恒等式别表明:具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。

6、两个非零向量a和b平行,当且仅当a×b=0。

常用的一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式个矢量为棱边所作的平行六面体体积。

在直角坐标系中,设坐标轴向的三个单位矢量标记为i,j,k,令三个矢量的分量记为a a1,a2,a3 ,b b1,b2,b 3及C c1,c2,c 3则有I I L一(a 乂b )∙c = (b 乂 c )∙a = (c ×: a ⅛∙b因此,三重标量积必有如下关系式:即有循环法则成立,这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合,其结果相等。

2.三重矢量积4 4 4如a ,b 和C 是三个矢量,组合a (b C )应用三重矢量积公式(1-210)又有、、a 第「… 、a.b θ J C b )(a 、)b b c I c 需a 将以上两式结合(相减)后可得(a.)b=1、a;」、a b -b C a )_a C ;)-:「■麗):c 肮1.三重标量积如a , b 和C 是三个矢量,组合a b *c叫做他们的三重标量积。

三重标量积等于这三卑k! I Ic 1c 2c3■* 4 ÷(a=<b )∙c = a 1a 2a 3 ∙(Gi +C 2 j +C 3k )=b ∣b 2bb ∣b 2b叫做他们的三重标量积,因有彳a X *b)*9*b)*(c故有中心法则成立, 这就是说只有改变中间矢量时, 二重标量积符号才改变。

三重标量积有一个重要的性质(证略)a (b c) - -(a *b)c 亠〔a *c b (1-209) 将矢量作重新排列又有:ab∙c=b aci7b∙ac(1-210)",即a,则(dr')是在位移方向dr 的变化率的dr 倍,即d I=(dr') = dr '若将")作用于矢量V ,则(dr ')v就是V 再位移方向dr 变化率的dr 倍,既为速度矢量dv =(dr 京 V的全微分 应 用 三矢 量 积 公 式1-209)W- (a 5(a^b 0(a 0江 b ) = (b N)a — (a ∙V)b —b (可∙a) +a(^ *b)一个重要的特例,令 1a =b=v ,因' VV =O 则有H 存-V C V)在直角坐标中,^ia X ja y Za ∙^r,k +… ,4cΦ G Φ B *C Φ -i —— j —— k —— :X ;y √z'•、、订=旦旦旦CXCyGZH÷ 1ijk0r ∖ .∙~∙. IC C-X .:y ;:za x a y az'、a =:2 ' :2| =\、•(▽«)CX Cy・L 、L 、L 、⅛ C -L C+ Ca -a xa ya z -:X :y:Z::2 '■.∙z对一组正交曲线坐标系1, 2, ^),其单位矢量,e2,eJ ),将任意位置矢量 R变分写为、R = h l d 1e l h 2d ;2e 2 h 3d;3eh 1,h 2,h 36 R = dxi 十 dx i +dxk其中为尺度因子(拉美系数) 。

矢量运算公式大全

矢量运算公式大全

矢量运算公式大全一、矢量加法。

1. 平行四边形法则。

- 对于两个矢量→A和→B,以这两个矢量为邻边作平行四边形,那么它们的合矢量→C=→A+→B就是平行四边形的对角线(以→A和→B的起点为共同起点的那条对角线)。

- 设→A=(A_x,A_y),→B=(B_x,B_y),则→C=→A+→B=(A_x + B_x,A_y +B_y)(在直角坐标系下)。

2. 三角形法则。

- 把两个矢量首尾相接,从第一个矢量的起点指向第二个矢量的终点的矢量就是这两个矢量的和矢量。

即→C=→A+→B,先画→A,再从→A的终点开始画→B,→C就是从→A的起点指向→B的终点的矢量。

- 在空间直角坐标系中,如果→A=(A_x,A_y,A_z),→B=(B_x,B_y,B_z),那么→C=→A+→B=(A_x + B_x,A_y + B_y,A_z + B_z)。

二、矢量减法。

1. 定义。

- 矢量减法是矢量加法的逆运算,→A-→B=→A+(-→B),其中-→B是→B的反矢量,其大小与→B相同,方向相反。

2. 三角形法则。

- 同样可以用三角形法则来计算矢量减法。

把→A和-→B首尾相接,从-→B 的起点指向→A的终点的矢量就是→A-→B。

- 在直角坐标系下,如果→A=(A_x,A_y,A_z),→B=(B_x,B_y,B_z),则→A-→B=(A_x - B_x,A_y - B_y,A_z - B_z)。

三、矢量的数乘。

1. 定义。

- 设→A是一个矢量,k是一个实数(标量),则k→A是一个矢量,其大小| k→A|=| k||→A|。

- 当k>0时,k→A与→A方向相同;当k < 0时,k→A与→A方向相反;当k = 0时,k→A=→0。

2. 在直角坐标系中的表示。

- 如果→A=(A_x,A_y,A_z),那么k→A=(kA_x,kA_y,kA_z)。

四、矢量的点积(数量积)1. 定义。

- 对于两个矢量→A和→B,它们的点积→A·→B=|→A||→B|cosθ,其中θ是→A和→B之间的夹角(0≤slantθ≤slantπ)。

矢量及其运算

矢量及其运算

矢量及其运算是物理学和数学中的重要概念,矢量是指有方向的线段,也称为向量。

其运算主要包括以下几个方面:
1.矢量加法:对于两个矢量,将它们的对应分量相加,得到新矢
量的对应分量。

2.矢量减法:将矢量的各个分量取反后再与另一个矢量相加,得
到新矢量的对应分量。

3.点积:也叫数量积或内积,表示两个矢量的乘积在夹角上的投
影。

点积满足交换律、分配律,且点积等于两矢量模的乘积与
它们夹角的余弦的乘积。

4.叉积:也叫向量积或外积,表示两个矢量的乘积垂直于它们构
成的平面。

叉积的大小等于以两矢量为邻边所构成的平行四边
形面积,方向满足右手法则。

5.三重积:也叫混合积,用于计算三个矢量构成的体积。

具体计
算方法为先求出两个矢量的叉积,再将其与第三个矢量做点积。

矢量的运算法则

矢量的运算法则

b.矢量三重积: A ( B C ) B ( A C ) C ( A B )
例1:设
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r 2 aa , r a a 2 a 1 x y a z 2 x 3 y z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r 2 aa a , r 3 a 2 a 5 a 3 x y 3 z 4 x y z
d l d R a R d a R s i n d a R
2 d SR s i n d d a R R



d SR s i n d R d a
d S R d Ra d
体元:
2 d V R s i nddd R
在不同的坐标系中,梯度的计算公式:
在任意正交曲线坐标系中:
ˆ ˆ ˆ a a a u 1 u 2 u 3 h u hu hu 1 1 2 2 3 3
常用坐标系中,散度的计算公式
F F F y x F z 直角坐标系中: x y z
柱坐标系中: 球坐标系中:
ˆ ˆ ˆ ( 2 a b 2 c ) a ( a 3 b c ) aa ( 2 b 3 c ) a x y z
则: 2 a b 2 c 3
a 2 b 1 c 3
a 3b c 2 a 2b 3c 5
例2: 已知 A ˆ ˆ ˆ 2 a 6 a 3 a x y z 求:确定垂直于
3.乘法: (1)标量与矢量的乘积: 方向不变,大小为|k|倍 k 0 ˆ k A k |A |a k 0 k 0 方向相反,大小为|k|倍
(2)矢量与矢量乘积分两种定义 a. 标量积(点积):

(完整版)常用矢量公式

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注:方程组若有解,则该解在上述条件下不必唯一,但该方程组是否有解与 和 有关,只有当它们满足下述条件时才有解存在,
由 及
得:
§7. “三度”在各种坐标系中得表示式
一、矢量微分算子(哈密顿算子)
直角坐标
柱坐标
球坐标
二、柱坐标、球坐标与直角坐标的关系
1. 柱坐标与直角坐标
2.球坐标与直角坐标
三、“三度”在三种坐标系中的表示形式
解:固有两个变量 和 我们可求 和

(2)求 。
解: , ,
§3. 高斯定理与矢量场的散度
一、矢量场的通量
1.矢量族:在矢量场中对于给定的一点,有一个方向,它沿某一曲线的切线方向,这条曲线形成一条矢量线,又叫场线(对静电场称为电力线),无穷多条这样的曲线构成一个矢量族。
2. 通量: 称为 通过面元 的通量,记作 ,记作 ,有限面积 ,通量上 ,闭合曲面 ,通量上 , 方向,由面内指向面外。
为了反映空间某一点发散与会聚的情况,可以将 面缩小到体元 ,体元仅包围一个点,此时,高斯定理可以改为 ,我们
用单位体积的通量来描述,则有 ,取极限 称为矢量 的散度。(>0,有源;=0,无源,<0,负源)。有时表示成 (divergence)。若空间各点处处 ,则称 为无源场。
例题:
1. 求 ,其中
证:⑴

§2. 场的概念和标量场的梯度
一、场的概念:
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说:若在一定空间中的每一点,都对应着某个物理量的确定值,就说在这空间中确定了该物理的场。如:强度场、速度场、引力场、电磁场。
描述场用一个空间中和时间坐标的函数:
当 与 无关时称为稳恒场(稳定场、静场),有关则称为变化场(时变场)。当已知场函数则可以了解场的各种性质:如 随时空的变化关系(梯、散、旋度)。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数(以后主要讨论的问题)。

常用矢量公式

常用矢量公式

常用矢量公式矢量是具有大小和方向的物理量,它在许多领域中都有广泛的应用,包括物理、数学、工程学和计算机科学等等。

在处理矢量运算时,使用一些常用的矢量公式可以使计算更加简便高效。

本文将介绍一些常用的矢量公式,包括向量运算、向量分解和向量积分等等。

1.向量运算(1)向量加法:对于两个矢量A和B,其加法定义为:A+B=(A_x+B_x,A_y+B_y,A_z+B_z),其中A_x,A_y和A_z分别表示A的x、y和z分量。

(2)向量减法:对于两个矢量A和B,其减法定义为:A-B=(A_x-B_x,A_y-B_y,A_z-B_z),其中A_x,A_y和A_z分别表示A的x、y和z分量。

(3)向量数乘:对于一个矢量A和一个标量k,其数乘定义为:kA=(kA_x,kA_y,kA_z),其中A_x,A_y和A_z分别表示A的x、y和z分量。

2.向量分解(1) 向量的投影:对于一个矢量A和一个单位向量u,其投影的大小定义为:A_u = ,A,cosθ,其中,A,表示A的模长,θ表示A与u的夹角。

(2) 向量的分解:对于一个矢量A和一个单位向量u,其分解定义为:A = A_uu + A_⊥,其中A_uu表示A在u方向上的分量,A_⊥表示A在u方向垂直的分量。

3.向量积分(1) 线积分:对于一个曲线C和一个矢量场F,其线积分定义为:∮C F·ds = ∮C (F_xdx + F_ydy + F_zdz),其中F_x, F_y和F_z分别表示F的x、y和z分量,ds表示曲线C上的元素位移矢量。

(2) 曲面积分:对于一个曲面S和一个矢量场F,其曲面积分定义为:∬S F·dS = ∬S (F_xdS_x + F_ydS_y + F_zdS_z),其中F_x, F_y和F_z分别表示F的x、y和z分量,dS表示曲面S上的元素面积矢量。

(3) 体积积分:对于一个区域V和一个矢量场F,其体积积分定义为:∭V F·dV = ∭V (F_xdV_x + F_ydV_y + F_zdV_z),其中F_x, F_y和F_z分别表示F的x、y和z分量,dV表示区域V内的元素体积矢量。

常用矢量公式范文

常用矢量公式范文

常用矢量公式范文矢量公式是向量分析中常用的数学工具,主要用于描述和求解向量场的性质和运算。

下面是一些常用的矢量公式及其应用:1. 格林公式(Green's Theorem):格林公式是一个基本的矢量公式,描述了平面区域上的环量和面积积分之间的关系。

设F=Pi+Qj是一个连续可微的二维向量场,S是一个闭合的简单曲线围成的平面区域,n是曲线S的单位法向量,则根据格林公式有:∮(Pdx + Qdy) = ∬(∂Q/∂x - ∂P/∂y)dA这个公式在电磁学、流体力学等领域中有广泛的应用。

2. 斯托克斯定理(Stokes' Theorem):斯托克斯定理是格林公式的推广,描述了曲面上的环量和曲面积分之间的关系。

设F=Pi+Qj+Rk是一个连续可微的三维向量场,S是一个有向曲面,n 是曲面S的单位法向量,则根据斯托克斯定理有:∮(F·dr) = ∬(∇×F)·dS这个公式在电磁学、流体力学、几何学等领域中有广泛的应用。

3. 散度定理(Divergence Theorem):散度定理描述了对空间中一个闭合曲面的矢量场的散度和该矢量场的体积积分之间的关系。

设F=Pi+Qj+Rk是一个连续可微的三维向量场,V是一个有界闭区域,S是该闭区域的边界曲面,n是曲面S的单位法向量,则根据散度定理有:∬(F·dS)=∭(∇·F)dV这个公式在电磁学、流体力学、热力学等领域中有广泛的应用。

4. 梯度公式(Gradient Formula):梯度公式描述了标量函数在空间中的梯度与函数值的关系。

设u是一个具有连续的一阶偏导数的标量函数,grad u是该标量函数的梯度,则根据梯度公式有:f(x,y,z)=u(x,y,z)∇f=(∂u/∂x)i+(∂u/∂y)j+(∂u/∂z)k这个公式在几何学、热力学、量子力学等领域中有广泛的应用。

5. 矢量恒等式(Vector Identity):矢量恒等式是一组用于简化矢量场运算的公式集合,它包括了一些常用的矢量运算规则。

三个矢量和计算公式

三个矢量和计算公式

三个矢量和计算公式在物理学和工程学中,矢量是一种具有大小和方向的物理量。

矢量可以用来表示力、速度、位移和其他物理量,因此在许多领域都有重要的应用。

在本文中,我们将讨论三个常见的矢量和计算公式,它们分别是位移矢量、速度矢量和加速度矢量。

位移矢量是描述物体从一个位置移动到另一个位置的矢量。

它的大小等于物体从初始位置到最终位置的距离,方向则是从初始位置指向最终位置的方向。

位移矢量通常用符号Δr表示,它的计算公式为:Δr = r2 r1。

其中,Δr表示位移矢量,r2表示物体的最终位置,r1表示物体的初始位置。

这个公式告诉我们,位移矢量的大小等于物体从初始位置到最终位置的距离,方向则是从初始位置指向最终位置的方向。

速度矢量是描述物体在单位时间内移动的距离和方向的矢量。

它的大小等于物体在单位时间内移动的距离,方向则是物体在单位时间内移动的方向。

速度矢量通常用符号v表示,它的计算公式为:v = Δr / Δt。

其中,v表示速度矢量,Δr表示位移矢量,Δt表示时间间隔。

这个公式告诉我们,速度矢量的大小等于物体在单位时间内移动的距离,方向则是物体在单位时间内移动的方向。

加速度矢量是描述物体在单位时间内速度改变的矢量。

它的大小等于物体在单位时间内速度改变的大小,方向则是速度改变的方向。

加速度矢量通常用符号a表示,它的计算公式为:a = Δv / Δt。

其中,a表示加速度矢量,Δv表示速度改变的矢量,Δt表示时间间隔。

这个公式告诉我们,加速度矢量的大小等于物体在单位时间内速度改变的大小,方向则是速度改变的方向。

这三个矢量和计算公式在物理学和工程学中有着广泛的应用。

它们可以用来描述物体的运动状态,帮助我们理解物体的运动规律。

通过计算位移矢量、速度矢量和加速度矢量,我们可以预测物体的运动轨迹,分析物体的运动规律,从而为工程设计和科学研究提供重要的参考依据。

除此之外,这三个矢量和计算公式还可以应用于许多实际场景中。

比如,在汽车行驶过程中,我们可以利用位移矢量和速度矢量来描述汽车的运动状态,通过计算加速度矢量来评估汽车的加速性能。

矢量微分运算公式汇总

矢量微分运算公式汇总

矢量微分运算公式汇总1.矢量的求导:设矢量f(t)=(f1(t),f2(t),f3(t)),则它的导数为:df/dt = (df1/dt, df2/dt, df3/dt)2.矢量的积分:设曲线C的参数方程为r(t)=(x(t),y(t),z(t)),则矢量场F(x,y,z)沿曲线C的积分为:∫F·dr = ∫(F·r'(t)) dt,其中r'(t)为r(t)的导数。

3.散度:设矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)),则它的散度为:div F = ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z4.散度的运算公式:(1)若U和V是标量场,F和G是矢量场,则有:∇·(UF+VG)=U∇·F+V∇·G∇·(F×G)=G·(∇×F)-F·(∇×G)(2)若F是矢量场,Φ是标量场,则有:∇·(ΦF)=(∇Φ)·F+Φ∇·F5.旋度:设矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)),则它的旋度为:rot F = ∇×F = ( ∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y ) 6.旋度的运算公式:(1)若U和V是标量场,F和G是矢量场,则有:∇×(UF+VG)=U∇×F+V∇×G(2)若F是矢量场,Φ是标量场,则有:∇×(ΦF)=(∇Φ)×F+Φ∇×F7.保守场:若矢量场F是一个保守场,则存在标量场Φ,使得F=∇Φ。

在保守场下,散度和旋度之间满足如下关系:∇·(∇×F)=08.梯度:设标量场Φ(x,y,z)grad Φ = ∇Φ = (∂Φ/∂x, ∂Φ/∂y, ∂Φ/∂z)9.梯度的运算公式:若U和V是标量场,F是矢量场,则有:∇·(U∇V)=∇U·∇V+UΔV∇×(U∇V)=U∇×∇V=0∇·(F×G)=G·∇×F-F·∇×G∇×(F×G)=(∇·G)F-(∇·F)G+(G·∇)F-(F·∇)G以上是一些常见的矢量微分运算公式汇总,这些公式在向量分析的求解中起到了重要的作用。

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常用的一些矢量运算公式1.三重标量积如a ,b 和c 是三个矢量,组合()a b c⨯•叫做他们的三重标量积。

三重标量积等于这三个矢量为棱边所作的平行六面体体积。

在直角坐标系中,设坐标轴向的三个单位矢量标记为(),,i j k ,令三个矢量的分量记为()()123123,,,,,a a a a b b b b 及()123,,c c c c 则有()()123123123123123123c c c i jka b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ⨯•=•++=因此,三重标量积必有如下关系式:()()()a b c b c a c a b ⨯•=⨯•=⨯•即有循环法则成立,这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合,其结果相等。

2.三重矢量积如a ,b 和c 是三个矢量,组合()a b c⨯⨯叫做他们的三重标量积,因有()()()a b c a c b c b a ⨯⨯=-⨯⨯=⨯⨯故有中心法则成立,这就是说只有改变中间矢量时,三重标量积符号才改变。

三重标量积有一个重要的性质(证略):()()()a b c a b c a c b⨯⨯=-•+• (1-209)将矢量作重新排列又有:()()()a b c b a c b a c•=⨯⨯+• (1-210)3.算子(a ∇)∇是哈密顿算子,它是一个矢量算子。

(a ∇)则是一个标量算子,将它作用于标量φ,即()a φ∇是φ在a 方向的变化速率的a 倍。

如以无穷小的位置矢量d r代替以上矢量a,则()dr φ∇是φ在位移方向d r的变化率的d r倍,即d φ。

()()d dr dr φφφ=∇=∇若将()dr ∇作用于矢量v,则()dr v∇就是v 再位移方向d r变化率的d r倍,既为速度矢量的全微分()dv dr v=∇ 应用三重矢量积公式(1-209)()()()00()()()()a b a b a b b a a b b a a b ∇⨯⨯=∇⨯⨯+∇⨯⨯=•∇-•∇-∇•+∇•应用三重矢量积公式(1-210)又有()()()00()()()()a b a b a b a b a b b a b a∇•=∇•+∇•=⨯∇⨯+∇+⨯∇⨯+∇•将以上两式结合(相减)后可得(){()}1()()()()()2a b a b a b b a a b b a a b ∇=∇•-∇⨯⨯-⨯∇⨯-⨯∇⨯-∇•+∇• 一个重要的特例,令a b v ==,因()0v v ∇⨯⨯=则有21()()2v v v v v ∇=∇-⨯∇⨯ 4.算子∇的应用 令φ是标量,a 是矢量,;a b为并矢量,则有00002000()()()()()()()()()()()(;)(;)(;)()()a a a a a a a a a a a a aa b a b a b b a a b φφφφφφφφφφ∇=∇+∇=∇•+•∇∇⨯=∇⨯+∇=∇⨯+∇⨯∇⨯∇⨯=∇∇•-∇∇=∇+∇=∇•+•∇在直角坐标中,令2222222()x y z y x zx y zx y za ia ja ka ij k x y z a a a a x y z i jka x y z a a a x y za a a a x y zφφφφφφφφφ=++∂∂∂∇=++∂∂∂∂∂∂∇•=++∂∂∂∂∂∂∇⨯=∂∂∂∂∂∂∇=∇•∇=++∂∂∂∂∂∂∇=++∂∂∂对一组正交曲线坐标系123(,,)εεε,其单位矢量123(,,)e e e ,将任意位置矢量R变分写为111222333R h d e h d e h d e δεεε=++其中123,,h h h 为尺度因子(拉美系数)。

因在直角坐标中,R dxi dx j dxkδ=++,所以1231h h h ===。

在柱坐标(,,)r z ϕ中,因r zR dre rd e dze ϕδφ=++,所以1321,h h h r===。

在球坐标(,,)r θϕ中,因sin r R dre rd e r e θθδθθ=++,所以1231,,sin h h r h r θ===。

在任意正交曲线坐标系中,令φ是标量,矢量112233a a e a e a e =++,则有312112233231312231123133112233123123112233()()()11e e e h h h h h a h h a h h a a h h h h e h e h e a h h h h a h a h a φφφφξξξξξξξξξ∂∂∂∇=++∂∂∂⎫⎧∂∂∂∇•=++⎨⎬∂∂∂⎩⎭∂∂∂∇⨯=∂∂∂单位矢量的旋度和散度为3211113312223112312233112123111222333(1,2,3)()1(1,2,3)1()()()e e h h e h h h h h h e h h h h h h h h h h h h h h h ξξξφφφφξξξξξξ∂∂∇⨯=-∂∂∂∇•=∂⎫⎧∂∂∂∂∂∂∇=++⎨⎬∂∂∂∂∂∂⎩⎭轮换轮换123(,,)n n n n 方向梯度n ∇作用于矢量a为{{{332121111213122131313332221223212332311233112233313231132323()()()()()()a h a h h hn a e n a n n n n h h h h a a h h h he n a n n n n h h h h h h a h a h e n a n n n n h h h h ξξξξξξξξξξξξ⎫∂∂∂∂∇=∇+---⎬∂∂∂∂⎭⎫∂∂∂∂+∇+-+-⎬∂∂∂∂⎭⎫∂∂∂∂+∇+-+-⎬∂∂∂∂⎭笛卡尔张量1.求和约定.克罗尼克尔符号.轮转符号以1(1,2,3)x i =表示笛卡尔直角坐标系的坐标,1(1,2,3)i i =表示三个坐标轴方向单位矢量。

令123(,,)x x x φ,定义求和约定的写法为123123iid dx dx dx dx x x x x φφφφφ∂∂∂∂=++=∂∂∂∂式中重复下标称为哑指标,表示求和约定。

哑指标字母可以任意更换,j j dx x φ∂∂和ii dx x φ∂∂具有相同的效果。

使用求和约定时规定在每一单项中同一指标使用不能超过两次。

克罗克尼尔(Kroneker )符号定义为0,1,ij i ji j δ=⎧=⎨≠⎩在笛卡尔直角坐标系中,有12,,3,iij ij ij ij i j j x i i x x x δδδδ∂•====∂单位矩阵也可以表示为111213212223313233100010()001ij I δδδδδδδδδδ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦轮转符号定义为0,,,1,,,1,2,3-1,,,1,2,3ijki j k i j k i j k ε⎧⎪=⎨⎪⎩当中有两个相同时当为顺序轮转排列时当为非轮转顺序排列时 例如1232313121323212131,1εεεεεε======-。

采用轮转符号ijkε可使运算的书写简化,如123123123iijk j ki i i i a b a a a a b b b b ε⨯==或123123123()()ii ijk j ki k ijk i j a b a b i i i v v i x x x x v v v εε⨯=⎡⎤⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥∇⨯==⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦或()()ki ijk j v v x ε∂∇⨯=∂2.笛卡尔张量定义在直角坐标系中张量称为笛卡尔张量,而张量本身与所取的坐标无关。

如一个标量在任何坐标系中都为同一个量,标量亦称为零阶张量。

如一个适量在任何坐标系中以为同一个量。

但他在三维空间中由三个分量组成,在不同的坐标系中这三个分量则不同,但他们都有一定的变换关系,矢量亦称为一阶张量。

若有一个量∏(如应力)在任一点处有三个矢量分量123,,p p p 即这个量具有九个分量。

∏这个量在任何坐标系中都为一个量,而它们的9个分量在不同的坐标系中有不同的分量,但它们存在一定的变换关系,则∏这个量称为二阶张量,常简称为张量。

在三维空间中被称为零阶张量,一阶张量,二阶张量等等,是因为它们分别有0123,3,3个分量,而称之为零阶,一阶,二阶张量,并可由此类推到n 阶张量。

笛卡尔二阶张量∏所确定的三个矢量的分解式为112233111121231321212223233131232333i p i p i p p i p i p i p p i p i p i p p i p i p i p ∏=++=++=++=++则张量∏可用9个张量元素来定义,可写成如下的矩阵形式111213212223313233p p p p p p p p p ⎡⎤⎢⎥∏=⎢⎥⎢⎥⎣⎦或写成张量的九项式:,,1,2,3i j ij i i p i j ∏==如1112131,0()ij p p p p i j ====≠,则为单位张量I如果张两分两满足条件ij jip p =,则这个张量叫对称张量。

如果张两分两满足条件ij jip p =-,则这个张量叫反对称张量。

若将张量∏的分量ijp 与jip 互易位置后的张量,则称该张量的共轭张量,并以c ∏表示:112131122232132333c p p p p p p p p p ⎡⎤⎢⎥∏=⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.并失为区别两个矢量的点乘,可将两个矢量的并失ab写成;a b。

令112233112233,a i a i a i a b i b i b i b =++=++,则并失亦有9个分量,写成矩阵形式为111213212223313233;a b a b a b ab a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦,并失为二阶张量。

必须注意,并失;a b 与;b a 是不同的111213212223313233;b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,由此可见;b a 是并失;a b 的共轭张量。

矢量的梯度梯度为一并失,故是一个二阶张量:312111312222312333;a a a x x x a a a grad a a x x x a a a x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂=∇=⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎣⎦考虑矢量123()(,,)a r a x x x =的无穷小增量,因111112312322221231233333123123a a a da dx dx dx x x x a a ada dx dx dx x x x a a ada dx dx dx x x x ∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂ 故/d a d r 为具有九个分量的二阶张量312111312222312333a a a x x x a a a d a x x x d r a a a x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂=⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎣⎦因可将da表示为张量/d a d r 与矢量d r的点乘,(;)d ad a d r d r grad a d r a d r=•=•=∇ 应用并失运算法则又有(;)();()d a d r a d r a d r a =•∇=•∇=•∇对标量函数()r φ类似的有d d r grad d r φφφ=•=•∇并失运算服从如下四个运算法则 (1)结合律法则 ;;(;);;(;)a b c a b c a b c ==连续的并失积可以任何方式加上括号而不改变结果。

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