圆内接多边形练习题
83九年级下册第三章第八节圆内接正多边形课后作业
圆内接正多边形课后作业一.基础性作业(必做题)1.圆内接正三角形的边长为6,则该圆的半径是()A .2B .4C .32D .342.如图1,在⊙O 中,OA =AB ,OC ⊥AB ,则下列结论错误的是()A .弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长;B .弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长;C .弧AC =弧BC ;D .∠BAC =30°.3.正方形内接于圆,它的一边所对的圆周角等于.4.如图2,在圆内接正六边形ABCDEF 中,半径OC =4,OG ⊥BC ,垂足为点G ,则正六边形的中心角=°,边长=,边心距=.5.如图3,在圆内接正五边形ABCDE 中,对角线AC ,BD 交于点P .则∠APD 的度数等于.6.如图5,已知正方形ABCD 的外接圆为⊙O ,点P 在劣弧CD 上(不与C 点重合).(1)求∠BPC 的度数;(2)若⊙O 的半径为8,求正方形ABCD 的边长.图1图2图4图3二、拓展性作业(选做题)1.如图5,请用直尺和圆规确定已知圆的圆心,并作出此圆的内接正六边形ABCDEF ;(保留作图痕迹,不写作法)2.我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”,利用圆的内接正多边形来确定圆周率.若设⊙O 的半径为R ,圆内接正n 边形的边长、面积分别为a n ,S n ,圆内接正2n 边形边长、面积分别为a 2n ,S 2n .刘徽用以下公式求出a 2n 和S 2n .22222))21(()21(n n n a R R a a --+=,R na n 21S n 2=.如图6,若⊙O 的半径为1,则⊙O 的内接正八边形AEBFCGDH 的面积为.图5图63.【探索发现】小迪同学在学习圆的内接正多边形时,发现:如图7,若P是圆内接正三角形ABC 的外接圆的弧BC上任一点,则∠APB=60°,在PA上截取PM=PC.连接MC,可证明△MCP 是(填“等腰”“等边”或“直角”)三角形,从而得到PC=MC,再进一步证明△PBC ≌,得到PB=MA,可证得:PB+PC=PA.【拓展应用】小迪同学对以上推理进行类比研究,发现:如图8,若P是圆内接正四边形ABCD 的外接圆的弧BC上任一点,则∠APB=∠APD=°,分别过点B、D作BM⊥AP于M、DN⊥AP于N.【猜想证明】分别过点B,D作BM⊥AP于M,DN⊥AP于N.请写出PB、PD与PA之间的数量关系,并说明理由.图7图8。
九年级数学 圆内接正多边形 专题练习(含解析)
C.连接 AD,则 AD 分别平分∠EAC 与∠EDC D.图中一共能画出 3 条对称轴
答案:B 解析:解答: A.∵多边形 ABCDEF 是正六边形, ∴△ACE 是等边三角形,故本选项正确; B.∵△ACE 是等边三角形,∴是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误; C.∵△ACE 是等边三角形,∴连接 AD,则 AD 分别平分∠EAC 与∠EDC,故本选项正确; D.∵△ACE 是等边三角形,∴图中一共能画 3 条对称轴,故本选项正确. 故选 B. 分析:根据正多边形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答.
C.18
D.36
答案:C
解析:解答:连接正六边形的中心与各个顶点,得到六个等边三角形,
等边三角形的边长是 2 ,高为 3,
因而等边三角形的面积是 3 ,
∴正六边形的面积=18 , 故选 C. 分析:解题的关键要记住正六边形的特点,它被半径分成六个全等的等边三角形.
12.已知某个正多边形的内切圆的半径是 ()
∴△OAB 是等边三角形, ∴OB=AB=24cm,
∴ 60 ´ 24 = 8 180
故选 B 分析:连接 OA、OB,得出等边三角形 AOB,求出 OB 长和∠AOB 度数,根据弧长公式求
出即可.
10.若一个正六边形的半径为 2,则它的边心距等于( )
A.2 B.1 C.
D.2
答案:C 解析:解答:已知正六边形的半径为 2,则正六边形 ABCDEF 的外接圆半径为 2, 如图:
连接 OA,作 OM⊥AB 于点 M, 得到∠AOM=30°,
则 OM=OA•cos30°= .
则正六边形的边心距是 .
故选 C. 分析:根据正六边形的边长与外接圆的半径相等,构建直角三角形,利用直角三角形的边角 关系即可求出.
圆内接正多边形练习北师大版九年级数学下册
3.8圆内接正多边形练习一、填空题1.正六边形的中心角等于度.2.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,若AB=2 .3.如图,在圆内画正六边形、正五边形,则∠ABC=.4.如图,正六边形ABCDEF的顶点B、C分别在正方形AGHI的边AG、GH上,如果AB=4 .二、选择题5.如图,⊙O的半径为1cm,正六边形ABCDEF内接于⊙O()cm2.(结果保留π)A.B.C.D.6.如图,正六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接六边形,则图中阴影部分的面积是()A.B.C.D.7.已知等边三角形的内切圆半径,外接圆半径和高的比是()A.1:2:B.2:3:4 C.1::2 D.1:2:3 8.如图,正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O,EF与BC、CD分别相交于点G、H,则()A.B.C.D.29.蜂巢的构造非常美丽、科学,如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络,正六边形的顶点称为格点,则△ABC是直角三角形的个数有()A.4个B.6个C.8个D.10个10.先作半径为的第一个圆的外切正六边形,接着作上述外切正六边形的外接圆,…,则按以上规律作出的第8个外切正六边形的边长为()A.B.C.D.11.如图,有一圆内接正八边形ABCDEFGH,若△ADE的面积为10()A.40 B.50 C.60 D.80 12.如图,正六边形的顶点在矩形的各条边上,若阴影部分的面积为3()A.B.6 C.9 D.12 13.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,若直线PA与⊙O相切于点A()A.30°B.40°C.45°D.60°14.正方形的边长为2,则正方形外接圆的半径是()A.1 B.C.D.2 15.如图,正八边形ABCDEFGH内接于⊙O,则∠ADB的度数为()A.45°B.25°C.22.5°D.20°16.如图,正五边形ABCDE的边长为2,连接AC、AD、BE,连接DF,给出下列结论:①∠FDG=18°;③(S四边形CDEF)2=9+2;④DF2﹣DG2=7﹣2.其中结论正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4三、解答题17.如图,正三角形ABC内接于⊙O,若AB=cm,求⊙O的半径.18.如图是由边长为2的六个等边三角形组成的正六边形,建立适当的直角坐标系,写出正六边形各顶点的坐标.19.如图,⊙O的周长等于8πcm,正六边形ABCDEF内接于⊙O.(1)求圆心O到AF的距离;(2)求正六边形ABCDEF的面积.20.如图正方形ABCD内接于⊙O,E为CD任意一点,连接DE、AE.(1)求∠AED的度数.(2)如图2,过点B作BF∥DE交⊙O于点F,连接AF,AF=1,AE=4,求DE的长度.21.如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,若正方形的面积等于4,求⊙O的面积.。
九年级数学下册圆内接正多边形同步测试
第3章圆3.8圆内接正多边形同步测试新版北师大版◆基础题1.正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是()A.互余B.互补C.互余或互补D.不能确定2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为()A.3:2:1 B.4:3:2 C.4:2:1 D.6:4:33.正六边形的边心距是,则它的边长是()A.1 B.2 C.2 D.34.如图,⊙O的一条弦AB垂直平分半径OC,且AB=2,则这个圆的内接正十二边形的面积为()A.6 B.6 C.12 D.125.正八边形的中心角等于度.6.如图,要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少为.7.如图,在正八边形ABCDEFGH中,若四边形BCFG的面积是12cm2,则正八边形的面积为cm2.8.如图,在正八边形ABCDEFGH中,AC、GC是两条对角线,则∠ACG= °.9.如图,正三角形ABC内接于⊙O,若AB=2cm,求⊙O的半径.10.如图,点G,H分别是正六边形ABCDEF的边BC,CD上的点,且BG=CH,AG交BH 于点P.(1)求证:△ABG≌△BCH;(2)求∠APH的度数.◆能力题1.如图,由7个形状,大小完全相同的正六边形组成的网格,正六边形的顶点称为格点,已知每个正六边形的边长为1,△ABC的顶点都在格点上,则△ABC的面积是()A.B.2 C.D.32.若一个正多边形的中心角等于其内角,则这个正多边形的边数为()A.3 B.4 C.5 D.63.古代数学家祖冲之和他的儿子根据刘徽的“割圆术”(用圆内接正多边形的周长代替圆周长),来计算圆周率π的近似值.他从正六边形算起,一直算到正24576边形,将圆周率精确到小数后七位,在世界上领先一千多年.根据这个办法,由圆内接正六边形算得的圆周率π的近似值是()A.2.9 B.3 C.3.1 D.3.144.如果正n边形的中心角为2α,边长为5,那么它的边心距为.(用锐角α的三角比表示)5.如图,AB,AC分别为⊙O的内接正六边形,内接正方形的一边,BC是圆内接n边形的一边,则n等于.6.如图,P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点,BP=CQ,则∠POQ= .7.如图,⊙O半径为4cm,其内接正六边形ABCDEF,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1cm/s速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,QE,PE,BQ.设运动时间为t(s).(1)求证:四边形PEQB为平行四边形;(2)填空:①当t= s时,四边形PBQE为菱形;②当t= s时,四边形PBQE为矩形.8.(1)如图1,在圆内接正六边形ABCDEF中,半径OC=4,求正六边形的边长.(2)如图2,在△ABC中,AB=13,BC=10,BC边上的中线AD=12.求证:AB=AC.◆提升题1.如图,在正五边形ABCDE中,连接AC、AD、CE,CE交AD于点F,连接BF,下列说法不正确的是()A.△CDF的周长等于AD+CD B.FC平分∠BFDC.AC2+BF2=4CD2D.DE2=EF•CE2.如图,有一圆内接正八边形ABCDEFGH,若△ADE的面积为10,则正八边形ABCDEFGH 的面积为何()A.40 B.50 C.60 D.80【答案】A3.小刚在纸上画了一个面积为6分米2的正六边形,然后连接相隔一点的两点得到如图所示的对称图案,他发现中间也出现了一个正六边形,则中间的正六边形的面积是分米2.4.阅读下面材料:对于平面图形A,如果存在一个圆,使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径,则称图形A被这个圆所覆盖.对于平面图形A,如果存在两个或两个以上的圆,使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径,则称图形A被这些圆所覆盖.例如:图中①的三角形被一个圆覆盖,②中的四边形被两个圆所覆盖.已知长宽分别为2cm,1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖,则r的最小值是cm.5.如图正方形ABCD内接于⊙O,E为CD任意一点,连接DE、AE.(1)求∠AED的度数.(2)如图2,过点B作BF∥DE交⊙O于点F,连接AF,AF=1,AE=4,求DE的长度.6.教材的《课题学习》要求同学们用一张正三角形纸片折叠成正六边形,小明同学按照如下步骤折叠:请你根据小明同学的折叠方法,回答以下问题:(1)如果设正三角形ABC的边长为a,那么CO= (用含a的式子表示);(2)根据折叠性质可以知道△CDE的形状为三角形;(3)请同学们利用(1)、(2)的结论,证明六边形KHGFED是一个六边形.答案和解析◆基础题1.【答案】B解:设正多边形的边数为n,则正多边形的中心角为,正多边形的一个外角等于,所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角,而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补,所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补.2.【答案】A解:如图,△ABC是等边三角形,AD是高.点O是其外接圆的圆心,由等边三角形的三线合一得点O在AD上,并且点O还是它的内切圆的圆心.∵AD⊥BC,∠1=∠4=30°,∴BO=2OD,而OA=OB,∴AD=3OD,∴AD:OA:OD=3:2:1.3.【答案】B解:∵正六边形的边心距为,∴OB=,AB=OA,∵OA2=AB2+OB2,∴OA2=(OA)2+()2,解得OA=2.4.【答案】C解:如图,连接OA;取的中点D,连接AD、CD、OD;过点D作DE⊥OC于点E;∵OF=OA,且∠OFA=90°,∴∠OAF=30°,∠AOC=60°,∠AOD=∠COD=30°;∵圆的内接正十二边形的中心角==30°,∴AD、DC为该圆的内接正十二边形的两边;∵OC⊥AB,且AB=2,∴AF=;在△AOF中,由勾股定理得:;在△ODE中,∵∠EOD=30°,∴DE=OD=1,,∴这个圆的内接正十二边形的面积为12.5.【答案】45解:正八边形的中心角等于360°÷8=45°.6.【答案】6cm解:设正多边形的中心是O,其一边是AB,∴∠AOB=∠BOC=60°,∴OA=OB=AB=OC=BC,∴四边形ABCO是菱形,∵AB=6cm,∠AOB=60°,∴cos∠BAC=,∴AM=6×=3(cm),∵OA=OC,且∠AOB=∠BOC,∴AM=MC=AC,∴AC=2AM=6(cm).7.【答案】24解:连接HE,AD,在正八边形ABCDEFGH中,可得:HE⊥BG于点M,AD⊥BG于点N,∵正八边形每个内角为:=135°,∴∠HGM =45°,∴MH =MG ,设MH =MG =x ,则HG =AH =AB =GF =x ,∴BG ×GF =2(+1)x 2=12,∴四边形ABGH 面积=(AH +BG )×HM =(+1)x 2=6,∴正八边形的面积为:6×2+12=24(cm 2).8.【答案】45°解:设正八边形ABCDEFGH 的外接圆为⊙O ;∵正八边形ABCDEFGH 的各边相等,∴圆周长,∴的度数为=90°,∴圆周角∠ACG =.9.解:过点O 作OD ⊥BC 于点D ,连接BO ,∵正三角形ABC 内接于⊙O ,∴点O 即是三角形内心也是外心,∴∠OBD =30°,BD =CD =BC =AB =,∴cos 30°=,解得:BO =2,即⊙O 的半径为2cm .10.(1)证明:∵在正六边形ABCDEF 中,AB =BC ,∠ABC =∠C =120°,在△ABG 与△BCH 中120AB BC ABC C BG CH =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,∴△ABG ≌△BCH ;(2)解:由(1)知:△ABG ≌△BCH ,∴∠BAG =∠HBC ,∴∠BPG =∠ABG =120°,∴∠APH =∠BPG =120°.◆ 能力题1.【答案】B解:延长AB ,然后作出过点C 与格点所在的直线,一定交于格点E .正六边形的边长为1,则半径是1,则CE =4,中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是,则△BCE 的边EC 上的高是,△ACE 边EC 上的高是,则S △ABC =S △AEC ﹣S △BEC =×4×(﹣)=2.2.【答案】B解:360°÷n =.故这个正多边形的边数为4.3.【答案】B解:由题意n =6时,π≈=3.4.【答案】解:如图所示:∵正n 边形的中心角为2α,边长为5,∵边心距OD =.5.【答案】12解:连接AO ,BO ,CO .∵AB 、AC 分别为⊙O 的内接正六边形、内接正方形的一边,∴∠AOB ==60°,∠AOC ==90°,∴∠BOC =30°,∴n ==12.6.【答案】72°解:连接OA 、OB 、OC ,∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形,∴∠AOB =∠BOC =72°,∵OA =OB ,OB =OC ,∴∠OBA =∠OCB =54°,在△OBP 和△OCQ 中,OB OC OBP OCQ BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△OBP ≌△OCQ ,∴∠BOP =∠COQ ,∵∠AOB =∠AOP +∠BOP ,∠BOC =∠BOQ +∠QOC ,∴∠BOP =∠QOC ,∵∠POQ =∠BOP +∠BOQ ,∠BOC =∠BOQ +∠QOC ,∴∠POQ =∠BOC =72°.7.(1)证明:∵正六边形ABCDEF内接于⊙O,∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F,∵点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1cm/s速度沿AF,DC向终点F,C运动,∴AP=DQ=t,PF=QC=4﹣t,在△ABP和△DEQ中,AB DE A D AP DQ=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABP≌△DEQ(SAS),∴BP=EQ,同理可证PE=QB,∴四边形PEQB是平行四边形.(2)解:①当PA=PF,QC=QD时,四边形PBEQ是菱形时,此时t=2s.②当t=0时,∠EPF=∠PEF=30°,∴∠BPE=120°﹣30°=90°,∴此时四边形PBQE是矩形.当t=4时,同法可知∠BPE=90°,此时四边形PBQE是矩形.综上所述,t=0s或4s时,四边形PBQE是矩形.8.(1)解:连接OD,如图所示:∵六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形,∴∠O==60°,∵OC=OD,∴△OCD是等边三角形,∴CD=OC=4,即正六边形的边长为4;(2)证明:∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD=BC=5,∵AB=13,AD=12,∴BD2+AD2=52+122=169=132=AB2,∴△ABD是直角三角形,AD⊥BC,又∵BD=CD,∴AB=AC.◆提升题1.【答案】B解:∵五边形ABCDE是正五边形,∴AB=BC=CD=DE=AE,BA∥CE,AD∥BC,AC∥DE,AC=AD=CE,∴四边形ABCF是菱形,∴CF=AF,∴△CDF的周长等于CF+DF+CD,即△CDF的周长等于AD+CD,故A选项正确;∵四边形ABCF是菱形,∴AC⊥BF,设AC与BF交于点O,由勾股定理得OB2+OC2=BC2,∴AC2+BF2=(2OC)2+(2OB)2=4OC2+4OB2=4BC2,∴AC2+BF2=4CD2.故C选项正确;由正五边形的性质得,△ADE≌△CDE,∴∠DCE=∠EDF,∴△CDE∽△DFE,∴,∴DE2=EF •CE,故D选项正确.2.【答案】A解:取AE中点I,则点I为圆的圆心,圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△IDE全等的三角形构成.易得△IDE的面积为5,则圆内接正八边形ABCDEFGH为8×5=40.3.【答案】2解:设O是原正六边形的中心,连接AO,FO,MO,设FO与AE交于点Q,AO与BE交于P,∵一个面积为6分米2的正六边形,连接相隔一点的两顶点得到如图所示的对称图案,∴∠AOF=×360°=60°,S△AOF=×6=1(分米2),∴△OAF是等边三角形,∵AB=AF,∴OA⊥BF,∴AP=OP,∴AM=OM,同理:OF⊥AE,OQ=FQ,∴OM=FM,∴点M是△AOF的外心,∴S△OAM=S△AOF=(分米2),∴S△OPM=S△OAM=(分米2),∴中间的正六边形的面积是:12×S△OPM=2(分米2).4.【答案】解:如图:矩形ABCD中AB=1,BC=2,则覆盖ABCD的两个圆与矩形交于E、F两点,由对称性知E、F分别是AD和BC的中点,则四边形ABFE、EFCD是两个边长为1的正方形,所以圆的半径r=,两圆心距=1.5.解:(1)如图1中,连接OA、OD.∵四边形ABCD是正方形,∴∠AOD=90°,∴∠AED=∠AOD=45°.(2)如图2中,连接CF、CE、CA,作DH⊥AE于H.∵BF∥DE,AB∥CD,∴∠ABF=∠CDE,∵∠CFA=∠AEC=90°,∴∠DEC=∠AFB=135°,∵CD=AB,∴△CDE≌△ABF,∴AF=CE=1,∴AC=,∴AD=AC=,∵∠DHE=90°,∴∠HDE=∠HED=45°,∴DH=HE,设DH=EH=x,在Rt△ADH中,∵AD2=AH2+DH2,∴=(4﹣x)2+x2,解得x=或,∴DE=DH=或.6.解:(1)∵正三角形ABC的边长为a,由折叠的性质可知,点O是三角形的重心,∴CO=a;(2)△CDE为等边三角形;(3)由(2)知△CDE为等边三角形,∴CD=CE=DE=CO÷cos30°=a,∠ADE=∠BED=120°,同理可得,AH=AK=KH=a,BG=BF=GF=a,∠CKH=∠BHK=120°,∵AB=BC=AC=a,∴DE=DK=KH=HG=GF=FE=a,∠ADE=∠BED=∠CKH=∠BHK=∠CFG=∠AGF=120°,∴六边形KHGFED是一个正六边形.3.8圆内接正多边形一、选择题1.下列说法正确的是 ( ) A.各边相等的多边形是正多边形 B.各角相等的多边形是正多边形C.各边相等的圆内接多边形是正多边形D.各角相等的圆内接多边形是正多边形2.(2013•天津)正六边形的边心距与边长之比为 ( ) A . :3 B . :2 C . 1:2 D . :23.(2013山东滨州)若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为 ( )A .6,32B .32,3C .6,3D .62,324. 如图所示,正六边形ABCDEF 内接于⊙O , 则∠ADB 的度数是( ).A .60°B .45°C .30°D .22.5°5.半径相等的圆的内接正三角形,正方形,正六边形的边长的比为 ( ) A.1:2:3 B.3:2:1C.3:2:1D.1:2:36. 圆内接正五边形ABCDE 中,对角线AC 和BD 相交于点P , 则∠APB 的度数是( ). A .36° B .60° C .72° D .108°7.(2013•自贡)如图,点O 是正六边形的对称中心,如果用一副三角板的角,借助点O (使该角的顶点落在点O 处),把这个正六边形的面积n 等分,那么n 的所有可能取值的 个数是( )A.4B.5C.6D.78.如图,△PQR 是⊙O 的内接正三角形,四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形,BC ∥QR ,则∠AOQ 的度数是 ( ) A.60° B.65°C.72°D.75°二、填空题9.一个正n 边形的边长为a ,面积为S ,则它的边心距为__________.第4题 第6题 第7题第8题10.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于__________度.11.若正六边形的面积是243cm2,则这个正六边形的边长是__________.12.已知正六边形的边心距为3,则它的周长是_______.13.点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点,且AM=BN,点O是正八边形的中心,则∠MON=_____________.14.边长为a的正三角形的边心距、半径(外接圆的半径)和高之比为_________________.15.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片,则选用的圆形铁片的直径最小要__________cm.16.若正多边形的边心距与边长的比为1:2,则这个正多边形的边数是__________.17.一个正三角形和一个正六边形的周长相等,则它们的面积比为__________.18.(2013•徐州)如图,在正八边形ABCDEFGH中,四边形BCFG的面积为20cm2,则正八边形的面积为________cm2.三、解答题19.比较正五边形与正六边形,可以发现它们的相同点与不同点.正五边形正六边形例如它们的一个相同点:正五边形的各边相等,正六边形的各边也相等.它们的一个不同点:正五边形不是中心对称图形,正六边形是中心对称图形.请你再写出它们的两个相同点和不同点.相同点:(1)____________________________________________________________________;(2)___________________________________________________________________. 不同点:(1)____________________________________________________________________;(2)____________________________________________________________________.20.已知,如图,正六边形ABCDEF的边长为6cm,求这个正六边形的外接圆半径R、边心距r6、面积S6.第13题第18题第20题21.如图,⊙O 的半径为2,⊙O 的内接一个正多边形,边心距为1,求它的中心角、边长、面积.22.已知⊙O 和⊙O 上的一点A.(1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ;(2)在(1)题的作图中,如果点E 在弧AD 上,求证:DE 是⊙O 内接正十二边形的一边.23.如图1、图2、图3、…、图n ,M 、N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCDE…的边AB 、BC 上的点,且BM=CN ,连结OM 、ON.(1)求图1中∠MON 的度数;(2)图2中∠MON 的度数是_________,图3中∠MON 的度数是_________; (3)试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系(直接写出答案).第21题第22题3.8圆内接正多边形知识要点基础练知识点1正多边形与圆1.以下说法正确的是(C)A.每个内角都是120°的六边形一定是正六边形B.正n边形的对称轴不一定有n条C.正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数D.正多边形一定既是轴对称图形,又是中心对称图形2.小颖同学在手工制作中,把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上,若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上,则圆的半径为(B)A.2 3 cmB.4 3 cmC.6 3 cmD.8 3 cm3.如图所示,正六边形ABCDEF内接于☉O,则∠ADB的度数是(C)A.60°B.45°C.30°D.22.5°知识点2正多边形的性质4.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是(A)A. 6 2B. 3 4C. 6 3D. 4 3【变式拓展】以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长为三边作三角形,则(B)A.这个三角形是等腰三角形B.这个三角形是直角三角形C.这个三角形是锐角三角形D.不能构成三角形5.如图,在☉O中,OA=AB,OC⊥AB,则下列结论正确的是(D)①弦AB的长等于圆内接正六边形的边长;②弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长;③AA=AA ;④∠BAC=30°.A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③6.(贵阳中考)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,☉O的半径为6,则这个正六边形的边心距OM的长为 3 3 .7.图1是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形.如图2,AE是☉O的直径,用直尺和圆规作☉O的内接正八边形ABCDEFGH.(不写作法,保留作图痕迹)解:如图所示,八边形ABCDEFGH即为所求.综合能力提升练8.正六边形的两条平行边之间的距离为1,则它的边长为(D)A. 3 6B. 3 4C. 2 3 3D. 3 39.(连云港中考)如图所示,一动点从半径为2的☉O上的A0点出发,沿着射线A0O方向运动到☉O上的点A1处,再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到☉O上的点A2处;接着又从A2点出发,沿着射线A2O方向运动到☉O上的点A3处,再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到☉O上的点A4处;…按此规律运动到点A2019处,则点A2019与点A0间的距离是(C) A.4 B.2 3C.2D.010.张萌取三个如图1所示的面积为4 cm2的钝角三角形按如图2所示的方式相连接,拼成了一个正六边形,则拼成的正六边形的面积为(C)A.12 cm2B.20 cm2C.24 cm2D.32 cm211.如图,正六边形ABCDEF中,AB=4,P是ED的中点,连接AP,则AP的长为 (C)A.4 3B.8C.2 13D.2 1112.(株洲中考)如图,正五边形ABCDE和正三角形AMN都是☉O的内接多边形,则∠BOM= 48°.13.如图,若干个全等正五边形排成环状.图中所示的是前3个五边形,要完成这一圆环还需7个五边形.14.如图,已知☉O和☉O上的一点A.(1)作☉O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;(2)在(1)题的作图中,如果点E在AA上,求证:DE是☉O的内接正十二边形的一边.解:(1)作法:①作直径AC;②作直径BD⊥AC;③依次连接A,B,C,D四点,四边形ABCD即为☉O的内接正方形;④分别以A,C为圆心,OA长为半径作弧,交☉O于点E,H,F,G;⑤顺次连接A,E,F,C,G,H各点,六边形AEFCGH即为☉O的内接正六边形.(2)连接OE,DE.∵∠AOD= 360° 4 =90°,∠AOE= 360° 6 =60°,∴∠DOE=∠AOD-∠AOE=30°,∴DE为☉O的内接正十二边形的一边.拓展探究突破练15.如图1,2,3,4分别是☉O的内接正三角形、正四边形、正五边形、正n边形,点M,N分别从点B,C开始以相同的速度在☉O上逆时针运动.(1)求图1中∠APN的度数;(2)图2中,∠APN的度数是90°,图3中,∠APN的度数是108°;(3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系.解:(1)∵点M,N分别从点B,C开始以相同的速度在☉O上逆时针运动,∴AA=AA ,则∠BAM=∠CBN,∴∠APN=∠ABP+∠BAM=∠ABP+∠CBN=∠ABC=60°.(2)提示:在题图2中,∵点M,N分别从点B,C开始以相同的速度在☉O上逆时针运动,∴AA=AA ,∴∠BAM=∠CBN.又∵∠APN=∠ABN+∠BAM,∴∠APN=∠ABN+∠CBN,即∠APN=∠ABC.∵四边形ABCD是正四边形,∴∠ABC=90°,∴∠APN=90°.同理可得:在题图3中,∠APN=108°.(3)由(1)(2)可知,∠APN=它所在的正多边形的内角度数,由多边形内角和公式可知:正多边形的内角度数为 (A-2)×180°A (n≥3,且n为整数), ∴∠APN= (A-2)×180°A.。
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-8圆内接正多边形》同步测试题(附答案)
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.8圆内接正多边形》同步测试题(附答案)一.选择题(共10小题,满分40分)1.如图,分别以正五边形ABCDE的顶点A,D为圆心,以AB长为半径作,,若AB =1,则阴影部分图形的周长是()A.π+1B.πC.π+1D.π2.如图,A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点,连接AC、CE、EB、BD、DA,得到一个五角星图形和五边形MNFGH.有下列3个结论:①AO⊥BE,②∠CGD=∠COD+∠CAD,③BM=MN=NE.其中正确的结论是()A.①②B.①③C.②③D.①②③3.有一个正五边形和一个正方形边长相等,如图放置,则∠1的值是()A.15°B.18°C.20°D.9°4.如图,已知正五边形ABCDE内接于⊙O,连接BD,则∠ABD的度数是()A.60°B.70°C.72°D.144°5.如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,P为上的一点(点P不与点D重合),则∠CPD 的度数为()A.30°B.36°C.60°D.72°6.如图,点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点.且AM=BN,点O是正五边形的中心,则∠MON的度数是()A.45度B.60度C.72度D.90度7.一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放,它们都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,则∠AOB的度数是()A.83°B.84°C.85°D.94°8.如图,边长为3的正五边形ABCDE,顶点A、B在半径为3的圆上,其他各点在圆内,将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转,当点E第一次落在圆上时,则点C转过的度数为()A.12°B.16°C.20°D.24°9.边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起,则∠ABO的度数为()A.24°B.48°C.60°D.72°10.如图,若干个全等的正五边形排成环状,图中所示的是前3个正五边形,要完成这一圆环还需正五边形的个数为()A.10B.9C.8D.7二.填空题(共10小题,满分40分)11.如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,F是CD弧的中点,则∠CBF的度数为.12.如图,正五边形形ABCDE的边长为2,分别以点C、D为圆心,CD长为半径画弧,两弧交于点F,则的长为.(结果保留π)13.已知正五边形ABCDE内接于⊙O,连接BD,则∠ABD的度数是.14.阅读下列材料:问题:如图1,正方形ABCD内有一点P,P A=,PB=,PC=1,求∠BPC的度数.小明同学的想法是:已知条件比较分散,可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起,于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到了△BP′A(如图2),然后连接PP′.请你参考小明同学的思路,解决下列问题:(1)图2中∠BPC的度数为;(2)如图3,若在正六边形ABCDEF内有一点P,且P A=2,PB=4,PC=2,则∠BPC的度数为,正六边形ABCDEF的边长为.15.如图,⊙O经过正五边形OABCD的顶点A,D,点E在优弧AD上,则∠E等于度.16.如图,五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,AF是⊙O的直径,则∠BDF的度数是°.17.如图,点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点.且AM=BN,点O是正五边形的中心,则∠MON的度数是度.18.如图,正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形,则∠BOM=.19.如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,连接对角线AC,AD,则下列结论:①BC∥AD;②∠BAE=3∠CAD;③△BAC≌△EAD;④AC=2CD.其中判断正确的是.(填序号)20.如图,正三角形AMN与正五边形ABCDE内接于⊙O,则∠BOM的度数是.三.解答题(共4小题,满分40分)21.O是边长为a的正多边形的中心,将一块半径足够长,圆心角为α的扇形纸板的圆心放在O点处,并将纸板绕O点旋转.(1)若正多边形为正三角形,扇形的圆心角α=120°,请你通过观察或测量,填空:①如图1,正三角形ABC的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为;②如图2,正三角形ABC的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为;(2)若正多边形为正方形,扇形的圆心角α=90°时,①如图3,正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为;②如图4,正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少?并给予证明;(3)若正多边形为正五边形,如图5,当扇形纸板的圆心角α为时,正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值a.(4)一般地,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处,并将纸板绕O点旋转.当扇形纸板的圆心角为时,正n边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为定值a.22.如图,正五边形ABCDE中,点F、G分别是BC、CD的中点,AF与BG相交于H.(1)求证:△ABF≌△BCG;(2)求∠AHG的度数.23.比较正五边形与正六边形,可以发现它们的相同点和不同点.例如:它们的一个相同点:正五边形的各边相等,正六边形的各边也相等.它们的一个不同点:正五边形不是中心对称图形,正六边形是中心对称图形.请你再写出它们的两个相同点和不同点:相同点:①;②.不同点:①;②.24.如图,分别是正方形、正五边形和正六边形,(1)试分别计算这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角的度数;(2)探究正n边形相邻两条对角线的夹角满足的规律.参考答案一.选择题(共10小题,满分40分)1.解:∵五边形ABCDE为正五边形,AB=1,∴AB=BC=CD=DE=EA=1,∠A=∠D=108°,∴的长=的长==π,∴阴影部分图形的周长=的长+的长+BC=π+1.故选:A.2.解:∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点,∴=,∴AO⊥BE,故①正确;∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点,∴的度数==72°,∴∠COD=72°,∵∠COD=2∠CAD,∴∠CAD=36°;连接CD∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点,∴===,∴∠BDC=∠DCE=∠CAD=36°,∴∠CGD=108°,∴∠CGD=∠COD+∠CAD,故②正确;连接AB,AE,∴∠MBA=∠MAB=36°,∴AM=BM,∵∠MAN=36°,∠ANM=∠DAE+∠AEB=72°,∴AM≠MN,∴BM≠MN③错误!则∠BAM=∠ABM=∠EAN=∠AEN=36°,∵AB=AE,∴△ABM≌△AEN(ASA),∴BM=EN=AM=AN,∵∠MAN=36°,∴AM≠MN,∴③错误.故选:A.3.解:正五边形的内角的度数是×(5﹣2)×180°=108°,正方形的内角是90°,则∠1=108°﹣90°=18°.故选:B.4.解:∵五边形ABCDE为正五边形,∴∠ABC=∠C==108°,∵CD=CB,∴∠CBD==36°,∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=72°,故选:C.5.解:如图,连接OC,OD.∵ABCDE是正五边形,∴∠COD==72°,∴∠CPD=∠COD=36°,故选:B.6.解:连接OA、OB、OC,∠AOB==72°,∵∠AOB=∠BOC,OA=OB,OB=OC,∴∠OAB=∠OBC,在△AOM和△BON中,,∴△AOM≌△BON(SAS)∴∠BON=∠AOM,∴∠MON=∠AOB=72°,故选:C.7.解:由题意:∠AOE=108°,∠BOF=120°,∠OEF=72°,∠OFE=60°,∴∠EOF=180°﹣72°﹣60°=48°,∴∠AOB=360°﹣108°﹣48°﹣120°=84°,故选:B.8.解:设点E第一次落在圆上时的对应点为E′,连接OA、OB、OE′,如图,∵五边形ABCDE为正五边形,∴∠EAB=108°,∵正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转,点E第一次落在圆上E′点,∴AE=AE′=3,∵OA=AB=OB=OE′=3,∴△OAE′、△OAB都为等边三角形,∴∠OAB=∠OAE′=60°,∴∠E′AB=120°,∴∠EAE′=12°,∴当点E第一次落在圆上时,则点C转过的度数为12°.故选:A.9.解:由题意得:正六边形的每个内角都等于120°,正五边形的每个内角都等于108°,∴∠BOA=360°﹣120°﹣108°=132°,∵AO=BO,∴∠ABO=∠OAB==24°故选:A.10.解:∵五边形的内角和为(5﹣2)•180°=540°,∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°,如图,延长正五边形的两边相交于点O,则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°,360°÷36°=10,∵已经有3个五边形,∴10﹣3=7,即完成这一圆环还需7个五边形.故选:D.二.填空题(共10小题,满分40分)11.解:设圆心为O,连接OC,OD,BD,∵五边形ABCDE为正五边形,∴∠O==72°,∴∠CBD=O=36°,∵F是的中点,∴∠CBF=∠DBF=CBD=18°,故答案为:18°.12.解:连接CF,DF,则△CFD是等边三角形,∴∠FCD=60°,∵在正五边形ABCDE中,∠BCD=108°,∴∠BCF=48°,∴的长==π,故答案为:π.13.解:∵五边形ABCDE为正五边形,∴∠ABC=∠C==108°,∵CD=CB,∴∠CBD==36°,∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=72°,故答案为:72°.14.解:(1)如图2.∵△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到了△BP′A,∴∠P′BP=90°,BP′=BP=,P′A=PC=1,∠BP′A=∠BPC,∴△BPP′为等腰直角三角形,∴PP′=PB=2,∠BP′P=45°,在△APP′中,AP=,PP′=2,AP′=1,∵()2=22+12,∴AP2=PP′2+AP′2,∴△APP′为直角三角形,且∠AP′P=90°∴∠BP′A=45°+90°=135°,∴∠BPC=∠BP′A=135°;(2)如图3.∵六边形ABCDEF为正六边形,∴∠ABC=120°,把△BPC绕点B逆时针旋转120°,得到了△BP′A,∴∠P′BP=120°,BP′=BP=4,P′A=PC=2,∠BP′A=∠BPC,∴∠BP′P=∠BPP′=30°,过B作BH⊥PP′于H,∵BP′=BP,∴P′H=PH,在Rt△BP′H中,∠BP′H=30°,BP′=4,∴BH=BP′=2,P′H=BH=2,∴P′P=2P′H=4,在△APP′中,AP=2,PP′=4,AP′=2,∵(2)2=(4)2+22,∴AP2=PP′2+AP′2,∴△APP′为直角三角形,且∠AP′P=90°,∴∠BP′A=30°+90°=120°,∴∠BPC=120°,过A作AG⊥BP′于G点,∴∠AP′G=60°,在Rt△AGP′中,AP′=2,∠GAP′=30°,∴GP′=AP′=1,AG=GP′=,在Rt△AGB中,GB=GP′+P′B=1+4=5,AB===2,即正六边形ABCDEF的边长为2.故答案为135°;120°,2.15.解:∵⊙O经过正五边形OABCD的顶点A,D,∴∠AOD=108°,∴∠E=AOD=54°,故答案为:54.16.解:∵AF是⊙O的直径,∴=,∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,∴=,∠BAE=108°,∴=,∴∠BAF=∠BAE=54°,∴∠BDF=∠BAF=54°,故答案为:54.17.解:连接OA、OB、OC,∠AOB==72°,∵∠AOB=∠BOC,OA=OB,OB=OC,∴∠OAB=∠OBC,在△AOM和△BON中,∴△AOM≌△BON,∴∠BON=∠AOM,∴∠MON=∠AOB=72°,故答案为:72.18.解:连接OA,∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠AOB==72°,∵△AMN是正三角形,∴∠AOM==120°,∴∠BOM=∠AOM﹣∠AOB=48°,故答案为:48°.19.解:①∵∠BCD=180°﹣72°=108°,∠E=108°,∴∠ADE=×(180°﹣108°)=36°,∴∠ADC=108°﹣36°=72°,∴∠BCD+∠ADC=108°+72°=180°,∴BC∥AD,故本选项正确;②∵∠BAE=108°,∠CAD=×=36°,∴∠BAE=3∠CAD,故本选项正确;③在△BAC和△EAD中,,∴△BAC≌△EAD(SSS),故本选项正确;④∵AB+BC>AC,∴2CD>AC,故本选项错误.故答案为:①②③.20.解;连接AO,∵正三角形AMN与正五边形ABCDE内接于⊙O,∴∠AOM=×360°=120°,∴∠AOB=×360°=72°,∵∠BOM=∠AOM﹣∠AOB,∴∠BOM=120°﹣72°=48°故答案为:48°三.解答题(共4小题,满分40分)21.解:(1)①a;(1分)②a;(2分)(2)①a;(3分)②正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为a.(4分)理由:证明:连接OA、OD∵四边形ABCD是正方形,点O为中心∴OA=OD,∠OAM=∠ODN=45°又∵∠AOD=∠POQ=90°∴∠AOM+∠AOQ=90°∠DON+∠AOQ=90°∴∠AOM=∠DON∴△AOM≌△DON∴AM=DN∴AM+AN=DN+AN=AD=a(8分)(3)∵正五边形的内角为(5﹣2)×180°÷5=108°∴当扇形纸板的圆心角α为72°时,正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值a.(10分)(4)∵正多边形的中心角为,∴当扇形纸板的圆心角为时,正n边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为定值a.(12分)22.(1)证明:∵五边形ABCDE是正五边形,∴AB=BC=CD,∠ABC=∠BCD,(2分)∵F、G分别是BC、CD的中点,∴BF=CG,(4分)在△ABF和BCG中,AB=BC,∠ABC=∠BCD,BF=CG,(5分)∴△ABF≌△BCG;(6分)(2)解:由(1)知∠GBC=∠F AB,∵∠AHG=∠F AB+∠ABH=∠GBC+∠ABH=∠ABC(,7分)∵正五边形的内角为108°,∴∠AHG=108°.(9分)(注:本小题直接正确写出∠AHG=108°不扣分)23.解:相同点不同点①都有相等的边.①边数不同;②都有相等的内角.②内角的度数不同;③都有外接圆和内切圆.③内角和不同;④都是轴对称图形.④对角线条数不同;⑤对称轴都交于一点.⑤对称轴条数不同.24.解:(1)解:由正方形ABCD,可得:AC⊥BD,∴α4=90°;由正五边形ABCDE,可得:AB=BC=CD,∠ABC=∠BCD=108°,∴∠DBC=∠ACB==36°,∴α5=180°﹣∠DBC﹣∠ACB=108°;同理:α6=120°;(2).。
北师版九年级数学下册《圆内接正多边形(2)》同步练习3
《圆内接正多边形(2)》同步练习3基础检测1.八边形的内角和等于________度.2.半径为R 的圆内接正三角形的面积是( ) A .232R B .2πR C .2332R D .2334R3.如图,菱形花坛ABCD 的边长为6m ,∠B =60°,其中由两个正六边形组成的部分种花,则种花部分的图形周长为____________.4.(1)如图1,把等边三角形的各边三等分,分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形,并去掉居中的那条线段,得到一个六角星,则这个六角星的边数是__________. (2)如图2,在5×5的网格中有一个正方形,把正方形的各边三等分,分别以居中那条线段为一边向外作正方形,并去掉居中的那条线段.请你把得到的图形画在图3中,并写出这个图形的边数.(3)现有一个正五边形,把正五边形的各边三等分,分别以居中那条线段为一边向外作正五边形,并去掉居中的那条线段,得到的图形的边数是多少?拓展提高1.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 为正方形,顶点A 、C 在坐标轴上,以边AB 为弦的⊙M 与x 轴相切,已知点A 的坐标为(0,8),则圆心M 的坐标为_________.(图1)(图2) (图3)ADB2.如图,已知在Rt ABC △中,Rt ACB ∠=∠,4AB =,分别以AC ,BC 为直径作半圆,面积分别记为1S ,2S ,则1S +2S 的值等于__________.3.如图,△PQR 是⊙O 的内接正三角形,四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形,BC//QR ,则∠AOQ 的度数是_________.4.各边相等的圆内接多边形一定是正多边形吗?各角相等的圆内接多边形呢?如果是,说明为什么,如果不是,举出反例.5、图(1)、图(2)、图(3)是分别由两个公共顶点A 的正三角形、正四边形和正五边形组成的图形,且其中一个正多边形的顶点B ′在另一个正多边形的边BC 上. ⑴图(1)中,∠B′CC′=__________.(直接写出答案)⑵图(2)中,求∠B′CC′;(写出解答过程)⑶图(3)中,∠B′CC′=_________.(直接写出答案)P QR C BAODC ABS 1S 2⑷当满足条件的图形为正n 边形时(如图(4)),猜想:∠B ′CC ′=________(直接写出答案).(1) (2) (3) (4) 体验中考1.(2009年,肇庆)若正六边形的边长为2,则此正六边形的边心距为__________. 2.(2009年,黄石市)如图,ABC △为O ⊙的内接三角形,130AB C =∠=,°,则O ⊙的内接正方形的面积为( )A .2B .4C .8D .16【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功,文档内容齐全完整,请放心下载。
九年级数学下册《圆内接正多边形》专项练习(含答案)
8 圆内接正多边形A 卷1.边长为a 的正六边形的边心距是__________,周长是____________,面积是___________.2.如图1,正方形的边长为a ,以顶点B 、D 为圆心,以边长a 为半径分别画弧,在正方形内两弧所围成图形的面积是___________.(1) (2) (3)3.圆内接正方形ABCD 的边长为2,弦AE 平分BC 边,与BC 交于F ,则弦AE 的长为__________.4.正六边形的面积是18,则它的外接圆与内切圆所围成的圆环面积为_________.5.圆内接正方形的一边截成的小弓形面积是2π-4,则正方形的边长等于__________.6.正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为___________.7.在半径为R 的圆中,内接正方形与内接正六边形的边长之比为___________.8.同圆的内接正n 边形与外切正n 边形边长之比是______________.9.正三角形与它的内切圆及外接圆的三者面积之比为_____________.10.正三角形的外接圆半径为4cm ,以正三角形的一边为边作正方形,则此正方形的外接圆半径长为___________.3B 卷1.正方形的内切圆半径为r ,这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形,其中一个弓形的面积为_________.2.如果正三角形的边长为a ,那么它的外接圆的周长是内切圆周长的_______倍.3.如图2,正方形边长为a ,那么图中阴影部分的面积是__________.4.正多边形的一个内角等于它的一个外角的8倍,那么这个正多边形的边数是________.5.半径为R 的圆的内接正n 边形的面积等于__________.6.如果圆的半径为a ,它的内接正方形边长为b ,该正方形的内切圆的内接正方形的边长为c ,则a,b,c 间满足的关系式为___________.7.如图3,正△ABC 内接于半径为1cm 的圆,则阴影部分的面积为___________.8.如果圆内接正六边形的边长为10cm ,则它的边心距为_______cm ,正六边形的一边在圆上截得的弓形面积是____________.9.已知正方形的边长为a ,以各边为直径在正方形内画半圆,则所围成的阴影部分(如图)的面积为__________.10.周长相等的正方形和正六边形的面积分别为和,则和的大小关系为__________.24S 6S 4S 6S参考答案A 卷1.2.3.点B 到弦AE 的垂线段长为,由勾股定理或射影定理,求得弦AE 的长为. 4.由正六边形的面积为18,得正六边形的边长为2,边心距为3,从而正六边形的外接圆半径为2,内切圆半径为3,故所围成的圆环面积为3π. 5.设所求正方形的边长为x ,则外接圆的半径为,正方形的一边截成的小弓形面积为,即 = 2π- 4,于是,得正方形的边长等于4.6.设正三角形的边长为a ,则内切圆半径为,外接圆半径为,高为,故内切圆半径、外接圆半径和高的比为1:2:3.7.内接正方形的边长为R ,内接正六边形的边长为R ,其比为:1.8.设圆的半径为R ,则同圆的内接正π边形和外切正n 边形的边分别为2Rsin和2Rtg ,其比为cos . 9.设正三角形的边长为a ,则内切圆半径为,外接圆半径为,其面积分别为、和,三者之比为3:π:4π . 10.求得正三角形的边长即所作正方形的边长为4,从而外接圆的半径长为2.2233;6;23a a 222a a -π552558333x 22224181x x ππ-224181x x ππ-a 63a 33a 2322n ︒180n ︒180n︒180a 63a 33243a 2121a π231a π336B 卷1.由已知得正方形的边长为2r , 从而正方形的外接圆半径为r ,所求弓形的面积为. 2.边长为a 的正三角形的外接圆半径和内切圆半径分别为、,其周长分别为的πa 和,故它的外接圆周长是内切圆周长的2倍. 3.阴影部分面积为 4.设所求正多边形的边数为n ,则它的一个内角等于, 相应的外角等于180°- , 则由已知,得=8×(180°-),解之,得n = 18. 5.半径为R 的圆的内接正n 边形的边长为2Rsin ,边长距为Rcos , 则正n 边形的面积为= 6.半径为a 的圆的内接正方形的边长为a ,即 b =a ; 边长为b 的正方形的内切圆的内接正方形的边长为b ,即 C = b , 从而得知 a =c ,故a,b,c 三者之间的关系为:7.设正△ABC 的边长为a ,则=1,a=, 于是阴影部分的面积为π· 8.边心距×10=5(); 正六边的一边在圆上截得的弓形的面积减去三角形的面积,即 22)221(r -πa 33a 63332a π3322241)22(21)2(41a a a πππ=-︒⋅-180)2(n n ︒⋅-180)2(nn ︒⋅-180)2(n n ︒⋅-180)2(nn n ︒180n︒180n n nR n R n R n ︒⋅︒=︒⋅︒⋅⋅180cos 180sin 180cos 180sin 2212222222222c a b +=a 333))(433()3(431222cm -=⋅-π2332cm )(325350104310321222cm -=⋅-⋅⋅ππ9.图中四个半圆都通过正方形的中心,用正方形的面积减去四隙的面积,剩下的就是阴影部分的面积,而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空隙的面积,故所求阴影部分的面积为 10.设周长为a ,则正方形的正六边形的边长分别为,其面积分别为,故.22])2([22222a a a a a -=⨯⋅--ππa a 6141和222243)61(436161a a a =⋅⋅和64S S <。
北师大版九年级数学下《3.8圆内接正多边形》同步习题含答案
北师大版九年级数学下册第三章圆 3.8 圆内接正多边形同步习题一、选择题(9分×3=27分)1.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )A.62 B.34 C.63 D.432.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S33.如图,△PQR是⊙O的内接正三角形,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,BC∥QR,则∠AOQ的度数为( )A.60°B.65°C.72°D.75°二、填空题(9分×2=18分)4.点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点,且AM=BN,点O是正八边形中心,则∠MON=____________.,第4题图),第5题图)5.如图,在正八边形ABCDEFGH中,四边形BCFG的面积为20cm2,则正八边形的面积为_______cm2.三、解答题(17分+18分+20分=55分)6.学习完正多边形和圆后,在师生共同小结与归纳时,下面有几位同学谈了自己的想法.针对以上三位同学的意见,谈谈自己的想法.7.如图,已知l是⊙O的切线,切点为A,点B在⊙O上,BC交⊙O于E,交直线l于C,OC交⊙O于F,且AB=AO=AC.一同学通过测量猜测,EF为⊙O的内接正二十四边形的一边,你认为他的猜测正确,请你证明;若你认为他的猜测不正确,请说明理由.8.如图1,2,3,…,n,M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE,…,正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点,且BM=CN,连接OM、ON.(1)求图1中∠MON的度数;(2)图2中∠MON的度数是_______;图3中∠MON的度数是________;(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).答案:1. A2. B3. D4. 45°5. 406. 解:矩形不一定是正多边形,因为其各边不一定都相等,菱形不一定是正多边形,因为其各角不一定相等,正方形是正多边形;圆内接菱形是正方形,因为菱形各边相等,且各边所对的弧也相等,可推出其各内角也都相等;正多边形是轴对称图形,但不一定是中心对称图形.7. 解:猜测正确.证明:连接OE.∵AB=AO=AC,又OB=OA,∴△OAB为等边三角形,∴∠OAB=60°,由l切⊙O于A得OA⊥l,∴∠ABC =∠ACB =15°,∴∠AOE =30°,由OA =CA ,OA ⊥AC 得∠AOC =45°,∴∠EOF =15°,而360°15°=24,故EF 为⊙O 的内接正二十四边形的一边.8. 解:(1)连接OB 、OC.∵正△ABC 内接于⊙O ,∴∠OBM =∠OCN =30°,∠BOC =120°,又∵BM =CN ,OB =OC ,∴△OBM ≌△OCN ,∴∠BOM =∠CON ,∴∠MON =∠BOC =120°(2)90°72°(3)∠MON =360°n。
《圆内接正多边形》同步练习 (精品)2022年 附答案
3.8 圆内接正多边形1.以下边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来,不能镶嵌成平面的是( )(1)正三角形(2)正五边形(3)正六边形(4)正八边形A.(1)(2) B.(2)(3) C.(1)(3) D.(1)(4)2.以下说法正确的选项是A.每个内角都是120°的六边形一定是正六边形.B.正n边形的对称轴不一定有n条.C.正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数.D.正多边形一定既是轴对称图形,又是中心对称图形.3.假设同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3,r4,r6,那么r3:r4:r6等于( )A.B.C.D.4.如图,假设正方形A1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆,那么的值为〔〕A.B.C.D.5.正六边形ABCDEF内接于⊙O,图中阴影局部的面积为,那么⊙O的半径为______________________.第5题图第6题图6.如图,正方形ABCD内接于⊙O,点E在上,那么∠BEC= .7.将一块正六边形硬纸片〔图1〕,做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒〔侧面均垂直于底面,见图2〕,需在每一个顶点处剪去一个四边形,例如图中的四边形AGA/H,那么∠GA/H 的大小是度.8.从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形,那么此正方形的边长为.9.如图五边形ABCDE 内接于⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E .求证:五边形ABCDE 是正五边形10.如图,10-1、10-2、10-3、…、10-n 分别是⊙O 的内接正三角形ABC ,正四边形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCD …,点M 、N 分别从点B 、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动。
(1)求图10-1中∠APN 的度数;(2)图10-2中,∠APN 的度数是_______,图10-3中∠APN 的度数是________。
(3)试探索∠APN 的度数与正多边形边数n 的关系〔直接写答案〕第17章 一元二次方程17.1 一元二次方程◆随堂检测1、判断以下方程,是一元二次方程的有____________.〔1〕; 〔2〕; 〔3〕;〔4〕;〔5〕;〔6〕.〔提示:判断一个方程是不是一元二次方程,首先要对其整理成一般形式,然后根据定义判断.〕2、以下方程中不含一次项的是〔 〕A .B .C .D .3、方程的二次项系数___________;一次项系数__________;常数项_________.4、1、以下各数是方程解的是〔 〕N 图10-1N 图10-2 A M 图10-3M 图10-4A、6B、2C、4D、05、根据以下问题,列出关于的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.〔1〕4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长.〔2〕一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长.〔3〕一个直角三角形的斜边长为10,两条直角边相差2,求较长的直角边长.分析:此题是含有字母系数的方程问题.根据一元一次方程和一元二次方程的定义,分别进行讨论求解.解:〔1〕由题意得,时,即时,方程是一元一次方程.〔2〕由题意得,时,即时,方程、一次项系数是、常数项是.◆课下作业●拓展提高1、以下方程一定是一元二次方程的是〔〕A、 B、C、 D、2、是关于的一元二次方程,那么的值应为〔〕A、=2B、C、D、无法确定3.是一元二次方程的一个解,那么的值是〔〕A.-3 B.3 C.0 D.0或34.假设是关于的方程的根,那么的值为〔〕A.1 B.2 C.-1 D.-25.根据以下表格对应值:A、 B、3.24<C、5<D、<6.假设一元二次方程有一个根为1,那么_________;假设有一个根是-1,那么b与、c之间的关系为________;假设有一个根为0,那么c=_________.7.下面哪些数是方程的根?-3、-2、-1、0、1、2、3、0,求的值是多少?9.关于的方程.〔1〕为何值时,此方程是一元一次方程?〔2〕为何值时,此方程是一元二次方程?并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。
3.8 圆内接正多边形课后练习2020-2021学年 北师大版九年级下册数学
第三章圆8.圆内接正多边形课后练习2020-2021学年下学期九年级下册初中数学北师大版一、单选题(共12题)⌢上,则∠P的度数为()1.如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在ABA. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2.⊙O是一个正n边形的外接圆,若⊙O的半径与这个正n多边形的边长相等,则n的值为()A. 3B. 4C. 5D. 63.已知圆内接正六边形的半径为2,则该内接正六边形的边心距为()A. 2B. 1C. √3D. √324.如图,五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,AF是⊙O的直径,则∠BDF的度数是()A. 18°B. 36°C. 54°D. 72°5.如图,四边形ABCD为⊙O的内接正四边形,△AEF为⊙O的内接正三角形,若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边,则n的值为()A. 8B. 10C. 12D. 156.正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为√2,则这个正多边形为()2A. 正十二边形B. 正六边形C. 正四边形D. 正三角形7.一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为()A. 3:2B. 1:√3C. 1:√2D. √2:√38.正方形外接圆的半径为4,则其内切圆的半径为()A. 2 √2B. √2C. 1D. √229.已知正六边形ABCDEF内接于⊙O,若⊙O的直径为2,则该正六边形的周长是()A. 12B. 6√3C. 6D. 3√310.半径为a的圆的内接正六边形的边心距是()A. a2B. √2a2C. √3a2D. a11.半径为R的圆内接正三角形的面积是()A. √32R2 B. πR2 C. 3√32R2 D. 3√34R212.如图,在圆内接正六边形ABCDEF中,BF,BD分别交AC于点G,H.若该圆的半径为15cm,则线段GH 的长为()A. √5cmB. 5 √3cmC. 3 √5cmD. 10 √3cm二、填空题(共6题)13.如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,点F在弧CD上,则∠BFE的度数为________14.如图,正方形ABCD和正六边形AEFCGH均内接于⊙O,连接HD;若线段HD恰好是⊙O 的一个内接正n边形的一条边,则n=________.15.若圆内接正方形的边心距为3,则这个圆内接正三角形的边长为________.16.数学家刘徽首创割圆术,用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求出圆周率.如图,正六边形ABCDEF的边长为2,现随机向该图形内掷一枚小针,则针尖落在阴影区域的概率为________.17.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,若AB=3cm,则⊙O的半径为________.18.我国古代数学家刘徽创造的“割圆术”,利用了圆内接正多边形和外切正多边形的面积或周长,无限逼近圆来近似估计圆的面积或周长,从而估算出π的范围.如图1,用圆内接正方形和外切正方形周长可得2 √2<r<4,那么利用图2中的圆内接正六边形和外切正六边形周长可进一步将π的范围缩小到________(结果保留根号)三、综合题(共4题)19.如图,已知圆O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm,求这个正六边形的边心距n,面积S .20.如图,ABCDE是⊙O的内接正五边形.求证:AE∥BD.21.试比较图中两个几何图形的异同,请分别写出它们的两个相同点和两个不同点。
九年级数学下册知识讲义-3圆内接正多边形(附练习及答案)-北师大版
一、考点突破1. 了解圆内接正多边形的有关概念。
2. 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。
3. 会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形。
二、重难点提示重点:圆内接正多边形的定义及相关性质。
难点:正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。
考点精讲 1. 圆内接正多边形的有关概念 ① 顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形。
这个圆叫做该正多边形的外接圆。
② 正多边形的中心、半径、边心距、中心角正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心;正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径;正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距;正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
如图:五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形, 圆心O 叫做这个正五边形的中心; OA 是这个正五边形的半径; OM 是这个正五边形的边心距。
AOB 叫做这个正五边形的中心角。
A E【要点诠释】① 只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以做出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆。
② 求正n 边形中心角的常用方法:正n 边形有n 条边,每条边对应一个中心角,所以正n 边形的中心角为。
(正n 边形中心角度数与正n 边形的一个外角相等)2. 特殊的圆内接正多边形的半径、弦心距、边长之间的关系① 正三角形——在中进行:;② 正四边形——在中进行,;③ 正六边形——在中进行,。
D E OC OB O D B A CA A B【规律总结】正多边形的外接圆半径R 与边长a 、边心距r 之间的关系:R 2=r 2+(a )2,连接正n 边形的半径,弦心距,把正n 边形的有关计算转化为直角三角形中的问题。
典例精讲例题1 (义乌市)一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如下图所示方式分别剪成一个正方形,边长都为1,则扇形和圆形纸板的面积比是( )A. 5:4B. 5:2C.:2D.:思路分析:先画出图形,分别求出扇形和圆的半径,再根据面积公式求出面积,最后求出比值即可。
初三数学圆内接多边形练习题
初三数学圆内接多边形练习题高中数学练习题:圆内接多边形一、选择题1. 若一个正多边形的外接圆半径为2cm,则它的内接圆半径为()。
A. 1cmB. √2cmC. 2cmD. 2√2cm2. 已知一个正六边形的内接圆半径为r,则其外接圆半径为()。
A. √3rB. 2rC. r/2D. r3. 若一个正八边形的外接圆半径为3cm,则它的内接圆直径为()。
A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 6cm4. 正多边形内接圆的周长恒为24cm,则它的边数为()。
A. 6B. 8C. 12D. 245. 一个正五边形的内角和为()。
A. 540°B. 360°C. 180°D. 108°二、填空题1. 一个正六边形的外接圆半径为4cm,则其内接圆半径为()cm。
2. 正多边形内接圆的半径r,若它的边长为6cm,则它的周长为()cm。
3. 正多边形内接圆的半径为3cm,若它的边数为n,则它的周长为()cm。
4. 一个正五边形的内角度数为()°。
5. 一个正七边形的外接圆半径为5cm,则其内接圆直径为()cm。
三、解答题1. 某正多边形的边长为a,内接圆半径为r,外接圆半径为R。
若它的边数为n,则以下等式成立:(a)正多边形的内角和为()°。
(b)正多边形的外角和为()°。
(c)正多边形的面积为()。
2. 已知一个正六边形的外接圆半径为6cm,求其内接圆半径和面积。
3. 某正多边形的内接圆半径为2cm,若其外接圆半径为3cm,则求这个正多边形的周长。
4. 如图所示,正八边形的内接圆半径为r,外接圆半径为R。
则R与r的关系为()。
[插入图示正八边形和内接外接圆的图片,不要出现网址链接]答案及解析:一、选择题1. B 内接圆半径等于外接圆半径乘以√2,即2cm * √2 = 2√2cm。
2. B 正六边形的外接圆半径等于内接圆半径的2倍,即外接圆半径为2r。
3.8圆内接正多边形(共26张)
第18页,共26页。
1、正多边形和圆有什么关系?你能举例说明吗?
2、什么是正多边形的中心、半径、中心角、
边心距?你能举例说明吗? 3、如何计算(jì suàn)正多边形的半径、边心距及边长?
4、说说作正多边形的方法有哪些?
还有哪些疑问?
第19页,共26页。
亭子的面积 S 1 Lr 1 24 2 22
3 41.6(m2)
第12页,共26页。
E D
C
用尺规作一个(yī ɡè)已知圆的内接正六边形
你还能借助尺规作出圆内接正三角形吗? 你是怎么做的?与同伴交流。
第13页,共26页。
你能尺规作出正六边形、正三角形(zhènɡ sān jiǎo 、 xínɡ) 正十二边形吗?
解:作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
A
连接OB,则OB=R
在Rt△OBD中 ∠OBD=30°,
边心距=OD=
·O
在Rt△ABDБайду номын сангаас ∠BAD=30°,
B
D
C
第9页,共26页。
正n边形与圆的关系
思考:当把正n边形的边数无限增多时,这时 正多边形就接近(jiējìn)于什么图形?
正六边形
正八边形
正十二边形
正十七边形
1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆.
2.怎样由圆得到正多边形呢?
第10页,共26页。
思考 : (sīkǎo) 把一个圆5等分, 并依次连接这些点,
得到正多边形吗??
A
证明:∵A⌒B=B⌒C=CD⌒=DE⌒=EA⌒ B
E
∴AB=BC=CD=DE=EA
第21课 圆内接正多边形(解析版)
第21课 圆内接正多边形3.8培优第一阶——基础过关练一、单选题1.一个正多边形的半径与边长相等,则这个正多边形的边数为( )A .4B .5C .6D .8【答案】C【分析】如图(见解析),先根据等边三角形的判定与性质可得60AOB Ð=°,再根据正多边形的中心角与边数的关系即可得.【解析】解:如图,由题意得:OA OB AB ==,AOB \V 是等边三角形,60AOB \Ð=°,则这个正多边形的边数为360606°¸°=,故选:C .【点睛】本题考查了正多边形,熟练掌握正多边形的中心角与边数的关系是解题关键.2.正十边形的中心角是()A .18°B .36°C .72°D .144°【答案】B【分析】正多边形的每个中心角相等,且其和是360°,故一个中心角的度数为360°除以正多边形的边数.【解析】正十边形的每个中心角相等,且其和是360°,故一个中心角的度数为:360°÷10=36°故选:B【点睛】本题考查了求正多边形中心角,这时要清楚正多边形的中心角都相等且它们的和组成一个周角.3.如图,在正六边形ABCDEF 中,△BCD 的面积为4,则△BCF 的面积为( ) 课后培优练A.16B.12C.8D.6【答案】C【分析】利用正六边形的性质可得出:△BCD与△BCF同底,其高的比为:2:1,即可得出答案.【解析】解:△BCD与△BCF同底,其高的比为:2:1,∵△BCD的面积为4,∴△BCF的面积为:8.故选C.【点睛】此题考查的是正多边形和圆的题目,利用正六边形的性质,得出△BCD与△BCF高的比是解题关键.4.如图,螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF,已知这个正六边形的半径是2,则它的周长是()A.B.C.12D.24Q,==OA OB2\V为等边三角形,AOB\=,AB2\正六边形ABCDEF故选:.C 【点睛】本题考查的是正多边形与圆,正多边形的半径,中心角,周长,掌握以上知识是解题的关键.5.如图,正六边形ABCDEF 内接于O e ,已知O e 的 半径为2,则圆心O 到边AB 的距离是( )A .2B .1CD 在正六边形ABCDEF 中,∵OA =OB ,6.若一个正多边形的中心角为40°,则这个多边形的边数是( )A .9B .8C .7D .67.如图所示的图案,其外轮廓是一个正五边形,绕它的中心旋转一定的角度后能够与自身重合,则这个旋转角可能是( )A .90°B .72°C .60°D .36°8.我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”,即通过圆内接正多边形割圆,从正六边形开始,每次边数成倍增加,依次可得圆内接正十二边形,内接正二十四边形,….边数越多割得越细,正多边形的周长就越接近圆的周长.再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率.设圆的半径为R ,图1中圆内接正六边形的周长66=l R ,则632»=l Rp .再利用图2圆的内接正十二边形计算圆周率,首先要计算它的周长,下列结果正确的是( )A .1224sin15=°l R B .1224cos15=°l R C .1224sin 30=°l R D .1224cos30=°l R9.如图,边AB 是⊙O 内接正六边形的一边,点C 在AB 上,且BC 是⊙O 内接正八边形的一边,若AC 是⊙O 内接正n 边形的一边,则n 的值是( )A.6B.12C.24D.48【答案】C【分析】根据中心角的度数=360°÷边数,列式计算分别求出∠AOB,∠BOC的度数,可得∠AOC=15°,然后根据边数n=360°÷中心角即可求得答案.【解析】解:连接OC,∵AB是⊙O内接正六边形的一边,∴∠AOB=360°÷6=60°,∵BC是⊙O内接正八边形的一边,∴∠BOC=360°÷8=45°,∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=60°-45°=15°∴n=360°÷15°=24.故选:C.【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质;根据题意求出中心角的度数是解题的关键.10.如图,已知正六边形ABCDEF G,H,I,J,K,L依次在正六边形的六条边上,且AG=BH=CI=DJ=EK=FL,顺次连结G,I,K,和H,J,L,则图中阴影部分的周长C的取值范围为( )A.6≤C≤B.3≤C≤C.C≤6D.C≤二、填空题11.半径为6的圆内接正三角形的边心距为__________.【点睛】本题考查了正多边形和圆,等边三角形的性质,含作出辅助线,构造直角三角形来解答.12.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,连接OC、OD,若OC长为2cm,则正六形ABCDEF的周长为______cm.Ð的度数为______.13.如图,点O为正八边形ABCDEFGH的中心,则AFO【答案】22.5°.Ð,再根据圆周角定理计算即可.【分析】连接OA、OB,根据正多边形的性质求出AOB【解析】解:作正八边形ABCDEFGH的外接圆O,连接OA、OB,如图:14.在正六边形ABCDEF中,对角线AC,BD相交于点M,则AMCM的值为______.质等知识,熟记多边形的内角和公式是解答本题的关键.15.如图,在⊙O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=30°,则∠B+∠E=_____.【答案】210°.【分析】连接CE,根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°,再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD,然后求解即可.【解析】解析:连接CE.∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形,∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形,∴∠B +∠AEC=180°.∵∠CED=∠CAD=30°,∴∠B+∠E=180°+30°=210°.故答案为: 210°.【点睛】本题考查圆内接四边形的性质,同弧所对的圆周角相等的性质,熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题关键.16.如图1的螺丝钉由头部(直六棱柱)和螺纹(圆螺纹直径柱)组合而成,其俯视图如图2所示.小明想用一把刻度尺测量出螺纹直径.已知刻度尺紧靠螺纹,经过点A且交CD于点P,若测得AP长为13mm,正六边形ABCDEF的边长为7.5mm,则CP长为___________mm,螺纹直径为___________mm.【答案】 0.5##12【分析】连接AC,过点B作BM⊥AC于点M,设正六边形ABCDEF的中心为O,连接AD,知A、O、D17.如图,若五边形ABCDE 是O e 的内接正五边形,则BOC Ð=_________,ABE Ð=__________,ADC Ð=__________,ABC Ð=__________.OP=,点A为OP上一动点,点B为⊙O上一动点,连接18.如图,点P为⊙O上一点,连接OP,且4AB,以线段AB为边在⊙O内构造矩形ABCD,且点C在⊙O上,则矩形ABCD面积的最大值为______.【答案】32【分析】根据当圆的半径确定以后,圆内接正方形是圆内接矩形中面积最大的,进而求得圆内接正方形的面积,则矩形ABCD面积的最大值为圆内接正方形面积,据此求解即可.【解析】如图,四边形BCEF是圆O的内接正方形,当圆的半径确定以后,圆内接正方形是圆内接矩形中面积最大的;点A,D分别是正方形的对边BF,CE的中点,此时矩形ABCD的面积恰好是正方形BCEF的面积,圆O的直径PQ恰好经过点A,D,连接BE,Q四边形BCEF是圆O的内接正方形,OP=4,\BE = PQ = 2OP =8,BC = CE,Q ∠C = 90°,\BC 2 + CE 2 = 2BO 2 = BE 2 = 82,\BC 2=32,即S 正方形BCEF =32,如图,当,P A 重合时,当,,,A B C D 四点都在圆上时,四边形ABCD 是正方形矩形ABCD 面积的最大值为32.故答案为:32.【点睛】本题考查了圆内接四边形,将问题转化为圆内接四边形是解题的关键.三、解答题19.如图,正五边形ABCDE 内接于O e ,点F 在 AB 上,求CFD Ð的度数.【答案】36°【分析】如图所示,连接OC 、OD ,由正五边形的性质可得COD Ð的度数,由圆周角与圆心角的关系:在同圆或等圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半,即可得出答案.【解析】如图所示,连接OC 、OD ,ABCDE 是正五边形,360725°=°,1362COD =Ð=°.20.如图,O e 为正五边形ABCDE 的外接圆,已知13CF BC =,请用无刻度直尺完成下列作图,保留必要的画图痕迹.(1)在图1中的边DE 上求作点G ,使DG CF =;(2)在图2中的边DE 上求作点H ,使EH CF =.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)连接AO 并延长 与CD 相交,连接EF 交AO 延长线于M ,连接BM 与DE 的交点即为所求作;(2)在(1)的基础上,连接BO 并延长与DE 相交,连接AG 交BO 延长线于N ,连接CN 并延长即可.(1)连接AO并延长与CD相交,连接EF交AO延长线于M,连接BM交DE于点G,则点G为所求作,如图1所示;理由:∵⊙O为正五边形的外接圆,∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴,点B与点E、点C与点D分别是一对对称点.∵点M在直线AO上,∴射线BM与射线EF关于直线AO对称,从而点F与点G关于直线AO对称,∴CF与DG关于直线AO对称.∴DG=CF.(2)在(1)的基础上,连接BO并延长与DE相交,连接AG交BO延长线于N,连接CN,如图2所示;【点睛】本题考查了作图:无刻度直尺作图,考查了正五边形的对称性质,掌握正五边形的性质是解题的关键.21.如图,正方形ABCD内接于⊙O,P为 BC上的一点,连接DP,CP.(1)求∠CPD的度数;(2)当点P为 BC的中点时,CP是⊙O的内接正n边形的一边,求n的值.∵正方形ABCD内接于⊙∴∠DOC=90°,∴1452DPC DOCÐ=Ð=°(2)∵正方形ABCD内接于⊙V内接于⊙O,连接CO并延长交⊙O于点D.22.如图1,等边ABC(1)可以证明CD垂直平分AB,写出 AD与 DB的数量关系:___.(2)请你仅使用无刻度的直尺按要求作图:①在图1中作出一个正六边形,保留作图痕迹(作图过程用虚线表示,作图结果用实线表示).②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴,保留作图痕迹(作图过程用虚线表示,作图结果用实线表示).【答案】(1)=;(2)①见解析,②见解析AD DB【分析】(1)结合外心的定义和等边三角形的性质推断出CD垂直平分AB,从而利用垂径定理得出结论即可;(2)①结合(1)的结论,可直接连接AO,BO,分别延长与圆相交,再顺次连接各交点即可;②如图,延长AF,EC,交于一点,此时可构成等边三角形,从而连接交点与圆心的直线即为所求的对称轴.【解析】(1)=,AD DB∵O为三角形的外心,∴O为三角形三边中垂线的交点,又∵三角形为等边三角形,∴可得CD垂直平分AB,根据垂径定理可得:=;AD DB(2)①如图所示,在(1)的基础之上,连接AO,并延长至E,连接BO,并延长至F,顺次连接圆周上各点即可;②如图所示:(方法不唯一)【点睛】本题主要考查复杂作图,以及正多边形与圆之间的关系,熟练掌握正多边形的性质是解题关键.23.请仅用无刻度的直尺画图,不写作法,保留画图痕迹.(1)如图1,点O是等腰△ABC底边BC的中点,E是AB上一点,请在AC上作出点F,使EF∥BC;(2)如图2,△ABC为⊙O的内接三角形,请在AB,AC上分别作出点M,N,使MN∥BC;(3)如图3,六边形ABCDE为正六边形,在AF上取一点H,使2=.HF AH【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.【分析】(1)连接CE、AO,过它们的交点作直线BF,交AC于点F,连接EF即可;(2)过B、C两点画两条直径,连接两条直径的另外两个端点,与AB、AC分别交于点M、N,连接MN 即可;(3)延长BA、EF,过交点作直线CH,交AF于点F即可.【解析】如图所示.【点睛】本题考查了无刻度的直尺画图,解题关键是掌握相关图形的性质,通过构造全等、相似或特殊图形解决问题.24.如图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC,正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…,点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动.(1)求图1中∠APN的度数;(2)图2中,∠APN的度数是_______,图3中∠APN的度数是________.(3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系(直接写答案)25.如图1,正五边形ABCDE 内接于⊙O ,阅读以下作图过程,并回答下列问题,作法:如图2,①作直径AF ;②以F 为圆心,FO 为半径作圆弧,与⊙O 交于点M ,N ;③连接,,AM MN NA .(1)求ABC Ð的度数.(2)AMN V 是正三角形吗?请说明理由.(3)从点A 开始,以DN 长为半径,在⊙O 上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n 边形,求n 的值.【答案】(1)108°(2)是正三角形,理由见解析(3)15n =【分析】(1)根据正五边形的性质以及圆的性质可得 BC CD DE AE AB ====,则AOC Ð(优弧所对圆心角)372216°°=´=,然后根据圆周角定理即可得出结论;(2)根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论;(3)运用圆周角定理并结合(1)(2)中结论得出14412024NOD Ð=°-°=°,即可得出结论.(1)解:∵正五边形ABCDE .∴ BC CD DE AE AB ====,26.如图所示,正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 分别是O e 的内接三角形、内接四边形、内接五边形,点M 、N 分别从点B 、C 开始,以相同的速度在O e 上逆时针运动.(1)求图①中APB Ð的度数(2)图②中APB Ð的度数是______,图③中APB Ð的度数是______;(3)若推广到一般的正n 边形情况,请写出APB Ð的度数是______.27.如图①,正六边形ABCDEF 的边长为a ,P 是BC 上一动点,过P 作PM ∥AB 交AF 于M ,作PN ∥CD 交DE 于N .(1)求出MPN Ð的度数,并证明3PM PN a +=;(2)如图②,点O 是AD 的中点,连接OM 、ON ,求证:OM ON =;(3)如图③,点O 是AD 的中点,OG 平分MON Ð,求证:四边形OMGN 是菱形.【答案】(1)60°;证明见详解;(2)证明见详解;(3)证明见详解.【分析】(1)根据正六边形的性质和平行线的性质,得到两个正三角形,然后等量代换即可;(2)根据正六边形的性质,得到OM 、ON 所在的三角形全等,即可证明;(3)根据(2)的结论以及题意,证明MOG GON D D 和是等边三角形,即可证明结论.(1)证明:延长FA 、ED ,分别交BC 延长线于I ,H∵MP ∥AB ,PN ∥CD ,ABCDEF 是正六边形∴IPM IAB HPN HCD D D D D、、、均为等边三角形∴PM =PI ,AB =IB ,PN =PH ,CD =CH ,∠IPM =∠HPN =60°∴∠MPN =180°-60°-60°=60°PM +PN =PI +PH =IB +BP +PC +CH =AB +BC +CD =3a(2)证明:如图,令MP 交AD 于R ,NP 交AD 于Q ,∵ABCDEF 是正六边形,O 是AD 中点∴AD ∥BC ,AO=OD=AB ,∠MAR =∠NDQ =60°∵PM ∥AB∴ABPR 是平行四边形,∴AR =BP ,∠ARM =180°-120°=60°∴AGM D 是等边三角形,∴AM =MQ =AQ ,∠MRO =120°同理可证QD =PC ,DN =DQ =QN ,∠OQN =120°,∵AO =AR +RO =OQ +QD =BP +PC∴AR =OQ ,RO =QN在MRO OQN D D 和中120MR OQ MRO OQN RO QN =ìïÐ=Ð=°íï=î∴MROOQN D D ≌∴MO =NO(3)证明:连接OE ,∵ABCDEF 是正六边形∴∠EOD =60°由(2)知∠NOQ +∠MOR =60°∴∠MON =120°∵OG 是∠MON 的角平分线∴∠GON =60°∵∠GOE +∠EON =60°,∠DON +∠EON =60°∴∠GOE =∠DON在GOE DON D D 和中60GEO NDO OE ODGOE NOD Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî∴GOE DOND @D ∴GO =GN∴GO =GM∵∠MOG =∠NOG =60°∴MOG GON D D 和都是等边三角形∵MO =NO∴MO =NO =NG =GM∴四边形MONG 是菱形;【点睛】本题考查了正六边形,涉及了正三角形、平行线的性质、全等三角形等知识,掌握并熟练使用相关知识,同时注意解题中需注意的事情,精准识图,合理推论是本题的解题关键.28.在下列正多边形中,O 是中心,定义:OBC D 为相应正多边形的基本三角形.如图1,OBC D 是正三角形ABC 的基本三角形;如图2,OBC D 是正方形ABCD 的基本三角形;如图3,OBC D 为正n 边形ABCDEF …的基本三角形.将基本OBC D 绕点O 逆时针旋转a 角度得OB C ¢¢D .(1)若线段BC 与线段B C ¢¢相交点O ¢,则:图1中a 的取值范围是________;图3中a 的取值范围是________;(2)在图1中,求证BO O C ¢¢¢=(3)在图2中,正方形边长为4,135a =°,边BC 上的一点P 旋转后的对应点为P ¢,若B P OP ¢¢+有最小值时,求出该最小值及此时BP 的长度;(4)如图3,当B C OC ¢¢^时,直接写出a 的值.培优第二阶——拓展培优练一、单选题1.已知点O 是边长为6的等边△ABC 的中心,点P 在△ABC 外,△ABC ,△PAB ,△PBC ,△PCA 的面积分别记为0S ,1S ,2S ,3S .若12302S S S S ++=,则线段OP 长的最小值是( )A 2BC .D 【答案】B2PDB BDC S S S =+V V ,3PDA ADC S S S =+V V ,∴1231()()PDB BDC PDA ADC S S S S S S S S V V V V ++=++++=1()()PDB PDA BDC ADC S S S S S V V V V ++++ =1PAB ABCS S S V V ++=110S S S ++=102S S +=02S ,2.如图,正六边形ABCDEF 中,点P 是边AF 上的点,记图中各三角形的面积依次为12345,,,,S S S S S ,则下列判断正确的是( )A .1232S S S +=B .143S S S +=C .2432S S S +=D .153S S S +=23133,22S a a a \=´´= 设,PF x = 则,AP a x =-()11132224S AP FQ a x a \==-´=g3.如图,将边长为6的正六边形ABCDEF沿H G折叠,点B恰好落在边AF的中点上,延长B C¢¢交EF于点M,则C M¢的长为()A.1B.65C.56D.95761C M B M B C \¢=¢-¢¢=-=.故选:A .【点睛】本题考查了正多边形和圆,翻折变换,相似三角形的判定和性质,解决本题的关键是掌握正多边形和圆的关系.4.如图, 已知正方形ABCD 中, 连结AC , 在AC 上截取AE=AD , 作ADE V 的外接圆交AB 于点F , 连结DF 交AC 于点M , 连结EF .下列选项正确的是( )①DG=AF ;②AM=EC ;③∠EFB=∠AFD ;④BCMF ADEFS S =四边形四边形A .①②B .①②③C .②③④D .①②③④22.5CDE ADC ADE \Ð=Ð-Ð=°,由圆周角定理得:45EDF BAC Ð=Ð=°,22.5ADM ADE EDF \Ð=Ð-Ð=°,ADM CDE \Ð=Ð,在ADM △和CDE V 中,DAM DCE AD CD ADM CDE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî,()ADM CDE ASA \@V V ,AM EC \=,则结论②正确;由圆内接四边形的性质得:EFB ADE Ð=Ð,ADE AED Ð=ÐQ ,EFB AED \Ð=Ð,由圆周角定理得:AED AFD Ð=Ð,EFB AFD \Ð=Ð,则结论③正确;由圆周角定理得:AEF ADM Ð=Ð,ADM CDE Ð=ÐQ ,AEF CDE \Ð=Ð,,AD CD AD AE ==Q ,AE CD \=,在AEF △和CDE V 中,45AEF CDE AE CD EAF DCE Ð=Ðìï=íïÐ=Ð=°î,()AEF CDE ASA \@V V ,AEF CDE S S \=V V ,ADE AEF ADE CDE ACD ADEF S S S S S S \=+=+=V V V V V 四边形,Q 四边形ABCD 是正方形,ACD ABC S S \=V V ,ABC ADEF S S \=V 四边形,又ABC AMF ABC BCMF S S S S =-<V V V Q 四边形,BCMF ADEF S S \<四边形四边形,则结论④错误;综上,结论正确的是①②③,故选:B .【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点,熟练掌握各定理与性质,并正确找出全等三角形是解题关键.5.如图,A B C D E 、、、、是O e 上的5等分点,连接AC CE EB BD DA 、、、、,得到一个五角星图形和五边形MNFGH .有下列3个结论:①AO BE ^,②CGD COD CAD Ð=Ð+Ð,③BM MN NE ==.其中正确的结论是( )A .①B .①②C .②③D .①②③72COD \Ð=°,2COD CAD Ð=ÐQ ,36CAD \Ð=°;连接CDA Q 、B 、C 、D 、E 是O e 上的5等分点,\»»»»AB DE BC CD ===,36BDC DCE CAD \Ð=Ð=Ð=°,108CGD \Ð=°,CGD COD CAD \Ð=Ð+Ð,故②正确;连接AB ,AE ,则36BAM ABM EAN AEN Ð=Ð=Ð=Ð=°,AB AE =Q ,()ABM AEN ASA \@△△,BM EN AM AN \===,36MAN Ð=°Q ,AM MN \¹,③错误.故选:B .【点睛】本题考查了正多边形与圆,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.二、填空题6.如图,O e 是正八边形ABCDEFGH 的外接圆,O e 的半径是1,则下列四个结论中正确的是___.① DF 的长为2p;②DF =;③ODE D 为等边三角形;④ABCDEFGH S AE DF =×正八边形.数的关系是解决问题的关键.7.如图,正六边形ABCDEF 的边长为2,点P 在对角线AC 上,75EDP Ð=°,PQ EF ^于点Q ,则PQ 的长是__________;过点Q 作//QG ED 交DP 于点G ,则PQG V 的面积为__________.∵六边形ABCDEF 是正六边形,∴∠COI=60°,∠OCI=30°,OC=2,∠QPG=360°-∠PQE-∠DEF-∠EDP=75°,QG ED//8.如图,△ABC为⊙O的内接等边三角形,BC=12,点D为BC上一动点,BE⊥OD于E,当点D由点B 沿 BC运动到点C时,线段AE的最大值是____.【答案】D是⊙O内接等边三角形,直线MN与⊙O相切于A点,P是弧BC的中点,则9.如图1,ABCÐ=°.90PAM(1)如图2,正方形ABCD是⊙O内接正方形,直线MN与⊙O相切于A点,P是弧BC的中点,则PAMÐ=________;(2)如图3,若正n边形ABC……PQ是⊙O内接正n边形,直线MN与⊙O相切于A点,P是弧BC的中点,若PAMÐ的度数小于30°,则n的最小值是_______.(2)如图5,连接OC 、OP 、OB ,则OA=OB ,∠AOB =∠BOC =360n o ∴18019022AOB OAB AOB -ÐÐ==-Ðo o ,∴1180902BAM OAB AOB n Ð=-Ð=Ð=o o,∵P 是弧BC 的中点,∴1136018022POB COB n nÐ=Ð=´=o o ,1118090o o ,三、解答题10.正方形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上,E 是⊙O 上的一点.(1)如图①,若点E 在 AB 上,F 是DE 上的一点,DF=BE .求证:△ADF ≌△ABE ;(2)在(1)的条件下,小明还发现线段DE 、BE 、AE 之间满足等量关系:AE .请说明理由;(3)如图②,若点E 在 AB 上.连接DE ,CE ,已知BC=5,BE=1,求DE 及CE 的长.掌握正方形、圆周角、正多边形与圆、等腰三角形、勾股定理、全等三角形、旋转的性质,从而完成求解.11.如图,已知⊙O的半径为1,PQ是⊙O的直径,n个相同的正三角形沿PQ排成一列,所有正三角形都关于PQ对称,其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合,第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点,…,最后一个△A n B n C n的顶点B n、C n在圆上.(1)如图1,当n=1时,求正三角形的边长a1;(2)如图2,当n=2时,求正三角形的边长a2;(3)如题图,求正三角形的边长a(用含n的代数式表示).决问题的能力.12.如图,已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆,直径BE=8,点G、H分别在射线CD、EF上(点G不与点C、D重合),且∠GBH=60°,设CG=x,EH=y.(1)如图①,当直线BG经过弧CD的中点Q时,求∠CBG的度数;(2)如图②,当点G在边CD上时,试写出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;(3)联结AH、EG,如果△AFH与△DEG相似,求CG的长.∵六边形ABCDEF是正六边形,∴BC=DE,∠ABC=120°.∴»»BC DE=,∠EBC=12∠ABC=60°.。
圆内接多边形
若∠B=80°,则∠ADC1=0_0___
80°
∠CDEA=____D__
°A
E
80
B
C
100 D
O
B
C
(2)四边形5A0°BCD内接1于3⊙0°O,∠AOC=100° 则∠B=______∠D=______
(3)四边4形5°ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则
2.已知:∠1=100°,求∠ACB的度数。
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。
练习
A
四边形ABCD中,
∠B与∠1互补,AD的延
长线与DC所夹∠2=600 , B 则∠1=_1__2_0_°,∠B=___6_0_°.
D 1
2E
C
1∠.(A1)+四∠边C=形_A1_8_B0_C°_D_内∠接B于+∠⊙AOD,C则=_1_8_0_°___;
∠F+∠1=180°、∠1=∠E
D
A
∠E+∠F=180°
1
CE∥DF
C O1
E
B
O2 F
9.求证:圆内接平行 四边形是矩形。
A
B
O
D
C
课本 练 习
3.求证:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角 形.(提示:作出以这条边为直径的圆.)
已知:△ABC 中,CO为AB边上的中线, 求证: △ABC 为直角三角形.
若一个多边形各顶点都在同一个圆上, 那么,这个多边形叫做圆内接多边形,这 个圆叫做这个多边形的外接圆。
D
E
C
O
A B
BC
A
O
D
F
E
四边形ABCD为⊙O的内接四边形; ⊙O为四边形ABCD的外接圆。
3.8圆内接正多边形课时训练(含答案)
3.8圆内接正多边形课时训练学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.已知⊙O 的半径是2,一个正方形内接于⊙O ,则这个正方形的边长是( )A .B .2CD .4 2.将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上,飞镖落在白色区域的概率为( )A .12B .25C .35D .23 3.已知正六边形ABCDEF 内接于O ,若O 的直径为2,则该正六边形的周长是( )A .12B .C .6D .4.如图,正五边形ABCDE 内接于O ,点P 为DE 上一点(点P 与点D ,点E 不重合),连接PC ,PD ,DG PC ⊥,垂足为G ,则PDG ∠等于( )A .72°B .54°C .36°D .64° 5.一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为( )A .3:2B .C .D 6.如图,有一个半径为4cm 的圆形纸片,若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片,则这个正六边形纸片的边心距是( ).A B.2cm C.D.4cm7.若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等,则n的值为()A.4 B.5 C.6 D.78.如图,在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧AC延弦AC翻折交AB于点D,连接CD.若∠BAC=20度,则∠BDC=()A.80°B.70°C.60°D.50°9.如图,四边形ABCD为⊙O的内接正四边形,△AEF为⊙O的内接正三角形,若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边,则n的值为()A.8 B.10 C.12 D.1510.如图,⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G,点M为劣弧FG的中点.若FM=⊙O的半径为()A.2 B C.D.二、填空题11.一个半径为4cm的圆内接正六边形的周长等于_____cm.12.如图,已知AB 为O 直径,若CD 是O 内接正n 边形的一边,AD 是O 内接正()4n +边形的一边,BD AC =,则n =_____.13.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时,这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积,因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积,如图,O 是正十二边形的外接圆,设正十二边形的半径OA 的长为1,如果用它的面积来近似估计O 的面积,那么O 的面积约是___.14.如图,在边长为4cm 的正六边形ABCDEF 中,点P 在BC 上,则PEF 的面积为________2cm .15.如图,正五边形ABCDE 内接于O ,F 是CD 的中点,则CBF ∠的度数为________.16.如图所示的长方体材料要切割成体积最大的圆柱,则这个圆柱的体积是______.三、解答题17.如图,O 的内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别交于点M ,N . (1)当∠M=∠N=42°时,求∠A 的度数;(2)若DMC α∠=,BNC β∠=且αβ≠,请你用含有α、β的代数式表示∠A 的度数.18.如图,已知抛物线的顶点坐标为M (1,4),且经过点N (2,3),与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C .抛物线的对称轴与x 轴交于点E ,点P 在对称轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)直线CM 与x 轴交于点D ,若DME APE ∠∠=,求点P 的坐标;(3)请探索:是否存在这样的点P ,使ANB 2APE ∠∠=?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.19.如图,正方形ABCD 内接于O ,E 为CD 任意一点,连接DE 、AE . (1)求AED ∠的度数.(2)如图2,过点B 作//BF DE 交O 于点F ,连接AF ,1AF =,4AE =,求DE的长度.20.如图,已知A、B、C、D四点都在⊙O上.(1)若∠ABC=120°,求∠AOC的度数;(2)在(1)的条件下,若点B是弧AC的中点,求证:四边形OABC为菱形.参考答案1.A2.A3.C4.B5.C6.C7.C8.B9.C10.C11.2412.413.314.15.18︒16.3000πcm 317.(1)∠A=48°;(2)∠A=90°2αβ+-.【详解】 解:(1)在△CDM 与△CBN 中,∵∠M=∠N=42°,∠MCD=∠NCB ,∴∠CDM=∠CBN ,∴180°-∠CDM=180°-∠CBN ,即∠ADC=∠ABC ,∵四边形ABCD 内接于⊙O ,∴∠ADC+∠ABC=180°,∴∠ABC=90°;∵∠M =42°,∴∠A=90°-∠M=48°;(2)∵四边形ABCD 内接于⊙O ,∴∠ADC+∠ABC=180°,∴∠MDC+∠NBC=180°,∵∠M+∠MDC+∠MCD=180°,∠N+∠NCB+∠NBC=180°,∴∠M+∠N+∠MCD+∠NCB=180°,又DMC α∠=,BNC β∠=∴∠MCD+∠NCB=180°-(α+β),∴∠BCD+∠NCM=360°-(∠MCD+∠NCB )=180°+(α+β),∵∠BCD=∠NCM ,∴∠BCD=90°+2αβ+,∵∠A+∠BCD=180°,∴∠A=90°-2αβ+;18.(1)y=-x 2+2x+3;(2)P (1,2)或(1,-2);(3)P (1)或(1,).【详解】解:(1)设抛物线为y=a (x-1)2+4.∵抛物线过点(2,3)∴3=a (2-1)2+4,解得a=-1∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4,即y=-x 2+2x+3;(2)如图1,令y=0,则-(x-1)2+4=0,解得x=-1或x=3,∴A (-1,0),B (3,0),令x=0,可得y=3∴C (0,3),∵M(1,4)∴运用待定系数法可得:直线CM的解析式为y=x+3 令y=0,则x+3=0,x=-3,∴D(-3,0)∵∠DEM=∠AEP=90°,∠DMB=∠APE.∴△DEM∽△AEP,∴DE ME AE PE=∵A(-1,0),E(1,0),D(-3,0),M(1,4). ∴DE=4,ME=4,AE=2.∴442PE=,即PE=2∴P(1,2)或(1,-2);(3)存在,P的坐标为(1)或(1,),理由如下:如图2,①当点P在x轴上方时,连接BP,∵PE是抛物线的对称轴,∴∠APE=∠BPE,∠APB=2∠APE∵∠ANB=2∠APE∴∠ANB=∠APB∴点A,B,N,P四点共圆,设圆心F的坐标为(1,n),即PF=AF=NF,∵A(-1,0),N(2,3)∴AF NF ==∴n 2+4=1+(3-n )2,解得n=1∴F (1,1),即∴,P (1);②当点P 在x 轴下方时,由对称知,P (1,);综上,点P 的坐标为P (1)或(1,).19.(1)45°;(2)2【详解】(1)如图1中,连接OA 、OD .四边形ABCD 是正方形,90AOD ∴∠=︒,1452AED AOD ∴∠=∠=︒. (2)如图2中,连接CF ,CE ,CA ,BD ,作DH AE ⊥于H .//BF DE ,//AB CD ,BDE DBF ∴∠=∠,BDC ABD ∠=∠,ABF CDE ∴∠=∠,90CFA AEC ∠=∠=︒,135DEC AFB ∴∠=∠=︒, CD AB =,CDE ABF ∴∆≅∆,1AF CE ∴==,AC ∴==22AD AC ∴==, 90DHE ∠=︒,45HDE HED ∴∠=∠=︒, DH HE ∴=,设DH EH x ==, 在Rt ADH ∆中,222AD AH DH =+, ∴2234(4)4x x =-+, 解得32x =或52(舍弃),2DE ∴== 20.(1)∠AOC=120°;(2)见解析【详解】(1)∵A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上 ∴∠ABC+∠ADC=180°,∵∠ABC=120°,∴∠ADC=60°,∴∠AOC=2∠ADC=120°;(2)连接OB ,如图所示:∵点B是弧AC的中点,∠AOC=l20°,∴∠AOB=∠BOC=60°,又∵OA=OC=OB,∴△OAB和△OBC都是等边三角形,∴AB=OA=OC=BC,∴四边形OABC是菱形.。
圆内接多边形
∴∠A+∠C=180°A 同理∠B+∠D=180°
B
O
C
圆的内接四边形的对角互补。
例 如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点, 经过点A的直线CD与⊙O1 交于点C,与 ⊙O2 交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E,与⊙O2 交于点F。 求证:CE∥DF
C E
O1
D A
O2
B
F
证明:连结AB ∵ABEC是⊙O1的内接四边形, ∴∠E+∠1=180° ∵ADFB是⊙O2的内接四边形, ∴∠1=∠F D ∴∠E+∠F=180° A 1 ∴CE∥DF
巩固练习:
1、如图,四边形ABCD为⊙O 的内接四边形,已知∠BOD= 100°,求∠BAD及∠BCD的度 A 数。
O
B
D C
求证:圆内接平行四边形是矩形。 已知:如图,四边形ABCD是 圆的内接四边形并且ABCD是 平行四边形。 求证:四边形ABCD A 是矩形。 O
D
B
C
填空
新课讲解:
若一个多边形各顶点都在同一 个圆上,那么,这个多边形叫做圆 内接多边形,这个圆叫做这个多边 形的外接圆。
D E C B
O
B
C
A
圆内接正多边形
圆内接正多边形关键问答①正n 边形的中心角是多少度?②衔接正六边形的中心和恣意两个相邻顶点失掉的三角形是一个什么样的三角形? ③处置与圆内接正多边形的有关计算题,应如何添加辅佐线?1.①2021·株洲以下圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A .正三角形 B .正方形 C .正五边形 D .正六边形2.应用等分圆的方法可以作正多边形,以下只应用直尺和圆规不能作出的多边形是( )A .正三角形B .正方形C .正六边形D .正七边形 3.②③正六边形的半径为r ,那么它的边长、边心距、面积区分为( )A .233r ,r ,3r 2B .r ,r 2,23r 2C .33r ,r ,3r 2D .r ,3r 2,332r 2 4.如图3-8-1,正三角形ABC 内接于⊙O ,假定AB =2 3 cm ,求⊙O 的半径.图3-8-1命题点 1 正多边形的画法 [热度:87%]5.如图3-8-2,要在一个圆形纸板上截出一个面积最大的正方形,试用尺规作出这个正方形(不要求写作法,保管作图痕迹).图3-8-26.④如图3-8-3,⊙O 和⊙O 上的一点A ,作⊙O 的内接正六边形ABCDEF .图3-8-3解题打破④正六边形的半径与其外接圆的半径有什么关系?命题点 2 与圆内接正多边形有关的计算 [热度:81%]7.⑤如图3-8-4,正六边形DEFGHI 的顶点区分在等边三角形ABC 的各边上,那么S 阴影S △ABC的值为( ) 图3-8-4A .12B .13C .23D .32 解题打破⑤依据正六边形的每一个内角是120°失掉△ADI 是什么三角形?失掉ADAB 的值是多少?8.⑥如图3-8-5,正五边形ABCDE 内接于⊙O ,过点A 的切线与CB 的延伸线相交于点F ,那么∠F 的度数是( )图3-8-5A .18°B .36°C .54°D .72° 解题打破⑥衔接OA ,OB, 你能求出∠AOB, ∠BAF, ∠ABF 的度数吗?9.2021·达州以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,那么该三角形的面积是( )A .22 B .32C . 2D .3 10.⑦如图3-8-6,A ,B ,C 在⊙O 上,AB 是⊙O 内接正六边形的一边,BC 是⊙O 内接正十边形的一边,假定AC 是⊙O 内接正n 边形的一边,那么n 等于( )图3-8-6A .12B .15C .18D .20 解题打破⑦衔接OA ,OC ,OB ,你能求出∠AOC 的度数吗?11.⑧2021·玉林如图3-8-7,正六边形ABCDEF 的边长是6+4 3,点O 1,O 2区分是△ABF ,△CDE 的内心,那么O 1O 2=________.图3-8-7方法点拨⑧处置正六边形效果,往往需求作辅佐线将其转换为三角形效果停止求解.命题点3与圆内接正多边形有关的证明[热度:80%]12.如图3-8-8,⊙O的内接正十边形ABCD…,AD与OB,OC区分交于点M,N.图3-8-8求证:(1)MN∥BC;(2)MN+BC=OB.13.⑨如图3-8-9,在⊙O的内接等腰三角形ABC中,AB=AC,弦BD,CE区分平分∠ABC,∠ACB,BE=BC.(1)求证:五边形AEBCD是正五边形;(2)假定BD,CE相交于点F,试判别四边形AEFD的外形,并证明你的结论.图3-8-9知识链接⑨(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形;(2)各边相等,各角相等的五边形是正五边形.命题点4与正多边形有关的实践运用[热度:79%]14.⑩如图3-8-10①是一个宝塔,它的地基边缘是周长为26 m的正五边形ABCDE(如图3-8-10②),点O为中心.(1)求地基的中心到边缘的距离(结果准确到0.1 m);(2)塔的墙体宽1 m,现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像,并且留出最窄处为1.6 m 的观光通道,那么塑像底座的半径最大是多少?图3-8-10模型树立⑩从实践效果中树立正多边形模型,并结构直角三角形,借助三角函数停止计算.15.⑪如图3-8-11①②③,正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE区分是⊙O 的内接三角形、内接四边形、内接五边形,点M,N区分从点B,C末尾,以相反的速度在⊙O上做逆时针运动,AM与BN交于点P.(1)求图①中∠APB的度数.(2)图②中∠APB 的度数是________,图③中∠APB 的度数是________.(3)依据前面的探求,你能否由此题推出普通的正n 边形的状况?假定能,请写出你的结论;假定不能,请说明理由.图3-8-11方法点拨⑪从特殊到普通发现规律,再从普通到特殊验证规律.16.⑫盼盼同窗在学习正多边形时,发现了以下一组幽默的结论: (1)假定P 是正三角形ABC 的外接圆BC ︵上的一点,那么PB +PC =P A ; (2)假定P 是正四边形ABCD 的外接圆BC ︵上的一点,那么PB +PD =2P A ;(3)假定P 是正五边形ABCDE 的外接圆BC ︵上的一点,请问PB +PE 与P A 有怎样的数量关系,写出结论,并加以证明;(4)假定P 是正n 边形A 1A 2A 3…A n 的外接圆A 2A 3︵上的一点,请问P A 2+P A n 与P A 1又有怎样的数量关系,写出结论,不要求证明.图3-8-12方法点拨⑫处置正多边形效果时,通常需求作辅佐线结构直角三角形,借助三角函数加以计算.详解详析1.A2.D [解析] 应用圆的半径即可将圆等分红6份,这样就能得出正三角形,也可以得出正六边形;作两条相互垂直的直径即可失掉圆的4等分点,衔接各分点可得出正方形;但是无法只应用直尺与圆规将圆7等分,故无法失掉正七边形.3.D4.解:过点O 作OD ⊥BC 于点D ,衔接BO . ∵正三角形ABC 内接于⊙O , ∴点O 既是三角形的内心也是外心,∴∠OBD =30°,BD =CD =12BC =12AB = 3 cm ,∴cos30°=BD BO =3BO =32,解得BO =2 cm ,即⊙O 的半径为2 cm.5.解:①作两条弦AB ,BC 的垂直平分线,交点即为圆心O; ②作直径DE ,作直径DE 的垂直平分线,交圆O 于点F ,G ; ③依次衔接D ,G ,E ,F ,四边形DGEF 即为所求,如下图.6.解:如图,首先作直径AD ,然后区分以点A ,D 为圆心,OA 长为半径画弧,与⊙O区分交于点B ,F ,C ,E ,衔接AB ,BC ,CD ,DE ,EF ,AF ,那么正六边形ABCDEF 即为所求.7.C [解析] ∵六边形DEFGHI 是正六边形, ∴∠EDI =120°,∴∠ADI =60°, ∴△ADI 是等边三角形,∴AD =DE .同理,BE =DE ,∴AD =DE =BE ,∴AD AB =13,∴S △ADI =19S △ABC ,同理,S △BEF =19S △ABC ,S △CGH =19S △ABC ,∴S 阴影S △ABC =S △ABC -3×19S △ABCS △ABC=23.应选C.8.D [解析] 衔接OA ,OB .∵AF 是⊙O 的切线,∴∠OAF =90°. ∵正五边形ABCDE 内接于⊙O , ∴∠AOB =360°5=72°.∵OA =OB ,∴∠OAB =∠OBA =54°, ∴∠BAF =90°-54°=36°. ∵∠ABF =360°5=72°,∴∠F =180°-36°-72°=72°.应选D. 9.A10.B [解析] 衔接OC ,OA ,OB .∵AB 是⊙O 内接正六边形的一边, ∴∠AOB =360°÷6=60°.∵BC 是⊙O 内接正十边形的一边, ∴∠BOC =360°÷10=36°,∴∠AOC =∠AOB -∠BOC =60°-36°=24°, ∴n =360°÷24°=15.应选B.11.12+4 3 [解析] 过点A 作AM ⊥BF 于点M ,衔接O 1F ,O 1B . ∵六边形ABCDEF 是正六边形, ∴∠F AB =120°,AF =AB ,∴点A ,O ,M 在一条直线上,∠AFB =∠ABF =12×(180°-120°)=30°,∴△ABF 中BF 边上的高AM =12AF =12×(6+4 3)=3+2 3,FM =BM =3AM =33+6,∴BF =3 3+6+3 3+6=12+6 3. 设△ABF 的内切圆的半径为r ,∵S △ABF =S △AO 1F +S △AO 1B +S △BFO 1, ∴12×(3+2 3)×(63+12)=12×(6+43)×r +12×(6+43)×r +12×(12+63)×r ,解得r =3,即O 1M =r =3,∴O 1O 2=2×3+6+4 3=12+4 3. 12.证明:(1)如图,衔接OA ,OD . ∵BC ,CD 为⊙O 的内接正十边形的边长, ∴∠BOC =∠COD =36°, ∴∠BOD =72°, ∴∠BAD =12∠BOD =36°.∵OB =OC ,∴∠1=∠2=12×(180°-36°)=72°.同理可得∠3=72°, ∴∠ABC =∠1+∠3=144°, ∴∠BAD +∠ABC =180°, ∴AD ∥BC ,即MN ∥BC . (2)∵∠BAD =36°,∠3=72°, ∴∠AMB =180°-∠BAD -∠3=72°, ∴∠OMN =∠AMB =72°. ∵∠OMN =∠AOM +∠OAM , ∴∠OAM =36°,∴OM =AM .在△OMN 和△AMB 中,∠MON =∠MAB ,OM =AM ,∠OMN =∠AMB , ∴△OMN ≌△AMB ,∴MN =MB ,ON =AB . ∵OM =ON ,∴OB =OM +BM =AB +MN . ∵AB =BC ,∴MN +BC =OB .13.解:(1)证明:∵AB =AC ,∴∠ABC =∠ACB . ∵BD ,CE 区分平分∠ABC ,∠ACB , ∴∠ABD =∠DBC =∠ECB =∠ACE . ∵BE =BC ,∴BE ︵=BC ︵,∴∠BEC =∠BCE .∵∠BAC =∠BEC ,∴∠ABD =∠DBC =∠ECB =∠ACE =∠BAC ,∴AE ︵=AD ︵=DC ︵=BC ︵=BE ︵,∴AE =AD =DC =BC =BE ,∴五边形AEBCD 是正五边形. (2)四边形AEFD 是菱形.理由如下: ∵五边形AEBCD 是正五边形,∴∠EBC =∠EAD =∠AEB =∠ADC =∠BCD =108°. ∵BC =DC ,∴∠CBD =∠BDC =36°, ∴∠ADB =72°,∴∠EAD +∠ADB =180°, ∴AE ∥BD ,同理可得:EC ∥AD , ∴四边形AEFD 是平行四边形. 又∵AE =AD ,∴四边形AEFD 是菱形.14.解:(1) 如图,过点O 作OM ⊥AB 于点M ,衔接OA ,OB ,那么OM 为边心距,∠AOB 是中心角.由正五边形的性质得∠AOB =360°÷5=72°. 又AB =15×26=5.2(m),所以AM =2.6 m ,∠AOM =36°.在Rt △AMO 中,边心距OM =AM tan36°= 2.6tan36°≈3.6(m).所以地基的中心到边缘的距离约为3.6 m. (2)3.6-1-1.6=1(m).所以塑像底座的半径最大约为1 m.15.解:(1)∵△ABC 是正三角形,∴∠ABC =60°.∵点M ,N 区分从点B ,C 末尾以相反的速度在⊙O 上做逆时针运动,∴∠BAM =∠CBN , ∴∠APB =180°-∠ABN -∠BAM =180°-∠ABN -∠CBN =180°-∠ABC =120°. (2)90° 72°(3)APB =360°n.16.解:(3)PB +PE 与P A 满足的数量关系是:PB +PE =2P A ·cos36°.理由:衔接OA ,OE ,过点A 作AM ⊥PB 于点M ,AN ⊥PE 于点N . 由于∠APM =∠APN ,所以Rt △AMP ≌Rt △ANP ,所以AM =AN ,PM =PN .由于AB =AE ,所以Rt △AMB ≌Rt △ANE ,所以MB =NE ,所以PB +PE =(PM -MB )+(PN +NE )=2PN .由于∠APE =12∠AOE ,且五边形ABCDE 为正五边形,所以∠AOE =360°5=72°,所以∠APE =36°.在Rt △ANP 中,cos ∠APN =PNP A,所以PN =P A ·cos36°,所以PB +PE =2P A ·cos36°.(4)假定P 是正n 边形A 1A 2A 3…A n 的外接圆A 2A 3︵上的一点,那么P A 2+P A n 与P A 1满足的数量关系是P A 2+P A n =2P A 1·cos(180°n).[关键问答] ①360°n. ②等边三角形.③衔接中心和顶点或过中心向一边作垂线段,结构以边心距、边长的一半和外接圆半径为三边长的直角三角形,经过解直角三角形停止解答.。
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圆内接多边形练习题 一、选择
1.圆内接四边形ABCD 中,//AD BC ,AC 与BD 交于点E ,在下图中全等三角形的对数为 A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
2.如图,四边形ABCD 为圆内接四边形,AC 为BD 的垂直平分线,60,ACB AB a ∠== ,则CD =
A.
3a B.2
a C.12a D.13a
3.(2006年威海市)如图,若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆,则AB
B A 1
1的值为( )
A .
21 B .22 C .
41 D .4
2 二、填空
1、已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ,图中阴影部分的面积为312,则⊙O 的半径为
______________________.
2.如图,正方形ABCD 内接于⊙O ,点E 在 AD 上,则∠BEC= .
3.将一块正六边形硬纸片(图1),做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面,见图2),需在每一个顶点处剪去一个四边形,例如图中的四边形AGA /
H ,那么∠GA /
H 的大小是 度.
D
A
4如图,在正六边形ABCDEF 的内部,以AB 为边作正方形ABMN ,连接MC ,则∠BCM 的度数为( )
5.三角形三边长为5,12,13,则它的外接圆圆心到顶点的距离为 .
6.圆内接四边形ABCD 中,::1:2:3A B C ∠∠∠=,则D ∠= .
7.如图,AB 为半圆O 的直径,C 、D 为半圆上的两点,20BAC ∠=
,则ADC ∠= .
三、解答题
1.如图,锐角三角形ABC 中,60A ∠=
,BC 为圆O 的直径,⊙O 交AB 、AC 于D 、E ,求证:
2BC DE =.
B
2.如图,⊙O 的内接四边形ABCD 中,M 为CD 中点,N 为AB 中点,AC BD ⊥于点E ,连接ON 、ME ,并延长ME 交AB 于点F.求证:MF AB ⊥.
A
B
C
3.已知:如图所示,10,8,AB cm BC cm ==CD 平分ACB ∠. (1)求AC 和DB 的长; (2)求四边形ACBD 的面积.
4、(10分)某超市经销一种销售成本为每件40元的商品.据市场调查分析,如果按每件50
元销售,一周能售出500件;若销售单价每涨1元,每周销量就减少10件.设销售单价为x 元(x ≥50),一周的销售量为y 件.
(1)写出y 与x 的函数关系式(标明x 的取值范围);
(2)设一周的销售利润为S ,写出S 与x 的函数关系式,并确定当单价在什么范围内变化时,利润随着单价的增大而增大?
(3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下,使得一周销售例如达到8000元,销售单价应定为多少?
(2012•临沂)如图,点A 在x 轴上,OA=4,将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置.
(1)求点B 的坐标;
(2)求经过点A 、O 、B 的抛物线的解析式;
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P ,使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由.。