2016-2017学年北京师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试题

北京师大附中2017-2018学年上学期高一年级期中考试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合}2,1,0{=A ，}3,2{=B ，则集合=B AA. }3,2,1{B. }3,2,1,0{C. }2{D. }3,1,0{2. 下列函数中，在其定义域内是减函数的是 A. 3x y = B. 2x y =C. 1+-=x yD. xy 2=3. 若0<a ，10<<b ，则有 A. 2ab ab a >> B. a ab ab >>2C. 2ab a ab >>D. a ab ab >>24. “a=0”是“21)(xaxx f -=为奇函数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 5. 下列不等式中，不正确的是A. 21≥+xxB. 012>++x xC.254522≥++x x D. 若3>x ，则531≥-+x x 6. 函数q px x x f ++=2)(满足对任意的x ，均有)1()1(x f x f -=+，那么)0(f ，)1(-f ，)1(f 的大小关系是A. )0()1()1(f f f <-<B. )1()1()0(f f f <-<C. )1()0()1(-<<f f fD. )1()0()1(f f f <<-7. 若函数22)(23--+=x x x x f 的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程02223=--+x x x 的一个近似根（精确到0.1）为A. 1.2B. 1.3C. 1.4D. 1.58. 已知)(x f 为定义在[-1，1]上的奇函数，且)(x f 在[0，1]上单调递减，则使不等式0)31()(<-+x f x f 成立的x 的取值范围是A. )21,(-∞B. )21,0[C. )21,31[D. ),21(+∞二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。

9. 已知集合}1,0{=A ，}0|{2=-=ax x x B ，且A B ⊆，则实数a=___________。

10. 设⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=0,0,1)(2x x x x x f ，则=-))2((f f ________11. 已知命题)2,(:-∞∈∀x p ，123<-x ，则p ⌝为_______；其中为真命题的是_________（填“p ”或“p ⌝”） 12. 函数231)(xx f -=，则该函数的定义域为_________，值域为__________。

13. 定义运算“⊗”：y x ⊗xyy x 22-=（R y x ∈,，0≠xy ），当0>x ，0>y 时，x y y x ⊗+⊗)2(的最小值是__________。

14. 函数)(x f 的定义域为D ，若对于任意1x ，D x ∈2，当21x x <时，都有)()(21x f x f ≤，则称函数)(x f 在D 上为非减函数，设函数)(x f 在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①0)0(=f ；②)(21)3(x f xf =；③)(1)1(x f x f -=-，则=)31(f _________；=+)76()53(f f ___________。

三、解答题：共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15. 已知集合},116|{R x x x A ∈≥+=，}02|{2<--=m x x x B 。

（I ）当m=8时，求B A C R ；（II ）若]5,3(-=B A ，求实数m 的值。

16. 已知函数xx x f 2)(2+=，（I ）函数)(x f 是否具有奇偶性？若具有，则给出证明；若不具有，请说明理由； （II ）试用函数单调性的定义证明：)(x f 在（1，+∞）上为增函数。

17. 某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y （件）与销售单价x （元/件）可近似看作一次函数)0(≠+=k b kx y 的关系（图象如图所示）（I ）根据图象，求该一次函数)0(≠+=k b kx y 的表达式； （II ）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为s 元。

①求s 关于x 的函数表达式；②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价。

18. 已知函数1)(2-+=bx ax x f ，其中a, R b ∈。

（I ）当2-=a ，6=b 时，求)(x f 在区间[-5，5]上的值域；（II ）当1=a 时，对任意的]1,[+∈b b x ，都有0)(<x f 成立，求实数b 的取值范围； （III ）若函数)(x f 的图像过点（-2，-1），且在区间（1，2）上有一个零点，求实数a 的取值范围。

19. 设函数⎩⎨⎧>--≤-=1))(1(1)(x a x x a x x a x f（I ）当2-=a 时，求)(x f 的单调区间； （II ）当0>a 时，求不等式0)(>x f 的解集；（III ）若)(x f 存在最小值，求实数a 的取值范围；设)(x f 的最小值为)(a g ，求)(a g 的解析式。

20. 已知函数)(x f 的定义域为),0(+∞，若xx f y )(=在),0(+∞上为增函数，则称)(x f 为“一阶比增函数”。

（I ）若ax ax x f +=2)(是“一阶比增函数”，求实数a 的取值范围。

（II ）若)(x f 是“一阶比增函数”，求证：对任意1x ，),0(2+∞∈x ，总有)()()(2121x x f x f x f +<+；（III ）若)(x f 是“一阶比增函数”，且)(x f 有零点，求证：关于x 的不等式2017)(>x f 有解。

【试题答案】 一、选择题 1. B 2. C 3. B 4. A 5. A 6. D7. C8. B二、填空题 9. 0或1；10. -1；11. p ⌝；123),2,(≥--∞∈∃x x ；p 12. }3|{±≠x x ；),31[)0,(+∞-∞ 13. 2 14.21；45 三、解答题15. （I ）C ]1,2(--=B A R ；（II ）实数m 的值为15。

16. （I ）函数)(x f 不具有奇偶性，3)1(=f ，1)1(-=-f ，不满足0)()(=-±x f x f（II ）略17. （I ）由题图，可知函数)0(≠+=k b kx y 的图象经过点（600，400），（700，300），将其代入b kx y +=，得⎩⎨⎧+⨯=+⨯=b k b k 700300,600400解得⎩⎨⎧=-=1000,1b k所以1000+-=x y （800500≤≤x ）（II ）①由（1），知5000001500)500)(1000(5002-+-=-+-=-=x x x x y xy s （800500≤≤x ）。

②由①可知，62500)750(2+--=x s ，此函数图象开口向下，对称轴为750=x 所以当750=x 时，62500max =s 。

即该公司可获得的最大毛利润为62500元，此时相应的销售单价为750元/件。

18. （1）]35,81[-（II ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,22 （III ）⎪⎭⎫⎝⎛31,8119. （I ）当2-=a 时，)(x f 的单调减区间为)1,(-∞，),1(+∞，无单调增区间；（II ）当10≤<a 时，不等式的解集为),1(],(+∞-∞ a ；当1>a 时，不等式的解集为),[]1,(+∞-∞a ；（III ）实数a 的取值范围为),0[+∞；⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-=14)1(101)(2a a a a a a g20. （1）由题意得a ax axx ax x x f y +=+==2)(在),0(+∞是增函数。

由一次函数性质知：当0>a 时，a ax y +=在（+∞,0）上是增函数，0>∴a（II ） )(x f 是“一阶比增函数”，即x x f )(在),0(+∞上是增函数，又,1x ∀),0(2+∞∈x ，有212211,x x x x x x +<+<，212111)()(x x x x f x x f ++<∴，212122)()(x x x x f x x f ++<， 212111)()(x x x x f x x f ++<∴，212122)()(x x x x f x x f ++<，)()()()()(21212122121121x x f x x x x f x x x x x f x x f x f +=+++++<+∴（III ）设0)(0=x f ，其中00>x ，因为)(x f 是“一阶比增函数”，所以当0x x >时，0)()(00=>x x f x x f 。

法一：取),0(+∞∈t ，满足0)(>t f ，记m t f =)(，由（II ）知m t f 2)2(>，同理m t f t f 4)2(2)4(>>，m t f t f 8)4(2)8(>>所以一定存在*N n ∈，使得20172)2(>>nm nt f ， 所以2017)(>x f 一定有解。

法二：取),0(+∞∈t ，满足0)(>t f ，记k t t f =)(因为当t x >时，k t t f x x f =>)()(，所以kx x f >)(对t x >成立。

只要k x 2017>，则有2017)(>>kx x f ， 所以2017)(>x f 一定有解。